4_Corrente_alternada_3_2020.pptx

Regimes de Ressonância nos Circuitos
Eléctricos de Corrente Alternada
Quando um circuito de corrente alternada sinusoidal contendo
os elementos resistência, indutância e capacidade comporta-se,
nos seus efeitos, como se fosse puramente resistivo, isto é, a
corrente e tensão ficam em fase, diz-se que o mesmo está em
ressonância.
Podemos ter a ressonância de tensão ou ressonância de
corrente.
1
TEORIA DE CIRCUITOS 2020

Ressonância de tensão (Série)
U j XL
R  j XC
I
)2
2
; I 
 XC )
R  j (XL
) ; Z 
Z  R  j (X
C
L
R2
 (X  X
C
L
C
L
U
U
I 
Z
R2
 (X  X )2
; I 
U
 X

Ressonância de tensão
XL  XC   L 0
1 1
 C
; Z  R ;
  

0
Z  R ; I 
U
; I 
U
; Q 
UL
R R UR
I
U
R
Z

R
0
I
L C

UC

0 L

1
UR R 0 C R
UL
U
UC
3

Ressonância de corrente (Paralelo)
j XL
R  j XC
I
U
G2
4
 (Y  Y )2
C L
G2  (Y  Y )2
; I U Y  U [G  j (Y
C L C
1
1
1
1
L
 Y )]
L
L
L
C
C
C
C L
Y 
I  U
X
  j
j X
X
 j ; Y 
R  j X
Y  G  j (Y  Y ) ; G 
1
; Y 

 IL  IC ;
I  IR
Y

1
R
0
R
I  I
IL
U
IC
5

j XL
R1
 j XC
I
U
R2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
 Y2  G  jB
; Y Y1
I  I1  I 2  U . Y
; B 
;
1
; Y 
1
L
R2
XL
 X 2
C
R2
XC
 X 2
C
R2
R2
 X 2
L
R2
R1
 X 2
C
R2
XC
 X 2
C
R2
R2
 X 2
C
L
R2
XL
 X 2
L
R2
R1
 X 2
L
G 
 j
R  j X
 j
R  j X
Y 




I
IL
U
IC
6

Ressonância de corrente
2
2
1
R2
0
1
R2
2
R2
0 
C
C
L
L

 R
L
XL
 X 2
C
XC
 X 2
   

Analisando a expressão da frequência, pode-se considerar que
R1  R2  0 
se :
Por outro lado
  0
tendo em conta o radicando podemos
estabelecer as condições de este ser real:
2
7
2
2
1
2
2
2
1  R
L
C
 R
L
C
 R
L
C
 R
L
C




Ressonância de corrente
Com :
0
0
TEORIA DE CIRCUITOS 2020 8
0
2
1 2
 R  R2
   
L
C
O resultado obtido mostra que a frequência de ressonância é
indeterminada. Isto significa que a ressonância pode ocorrer
com qualquer frequência.

Indutância mútua
Conceitos Básicos
Se um circuito contém uma indutância mútua (isto é,
enrolamentos magneticamente acoplados), o fluxo originado por
um, abraça o outro, e regista-se uma f.e.m., de indução mútua
em cada enrolamento que deve ser levada em conta.
i1 i2 i2
i1
  

a) b)
c) d)

Indutância mútua
Conceitos Básicos
As bobinas em a) estão de tal modo acopuladas que os seus
fluxos somam-se e em b) as bobinas estão acopuladas de modo
que os seus fluxos estão a contrariar-se um ao outro. O sinal
asterisco (ou um ponto) indica o início das bobinas.
Se as correntes numa indutância mútua estão a dirigir-se para
(ou distanciar-se de) terminais homólogos as bobinas
componentes são referidas como sendo ligadas a somar ou em
conjunção.
No caso em que as correntes se dirigem para terminais
diferentes, diz-se que as bobinas estão em oposição.

Indutâncias mútuas em série e em
conjunção
 
R1 R2
1
L L2
M
I
U
U  I [R1
 R2  j( X1  X 2  2 XM )]
conj 1 2 1 2
 R  j( X M
 2 X )
 X
I
Z 
U
 R

Indutâncias mútuas em série e em
oposição
R1 R2
L1
L2
M
 
I
U
 2 XM )]
 j( X1  X2
U  I [R1  R2
2
1
2
opo 1 M
 2 X )
 X
I
Z 
U
 R  R  j( X

Cálculo de circuitos
magneticamente acopulados
Os circuitos contendo indutância mútua são resolvidos
aplicando-se os métodos das leis de Kirchoff e Malhas
independentes.
Exemplo 1 - Calcular as correntes do circuito que se
segue, aplicando o método das leis de Kirchoff, sabendo
que:
XC1  XL1  XC 2  XL2  8 
E1 10V ; E2

R3
*
jX L1
 *
jX L 2
E2
M
I1
I2
I3
C2
 jX
 jXC1
 10V;R3  XM  4 
E1

I1  I 2 ; I1 (8  j 4)  10  I1  1,12 26,56 , A  (1  j 0,5) A

I3  (2  j 1) A  2,2426,56 
4 I1  (4  j4) I 2  10
 4 I
 r  rc  N 1  3  0  2 1  2
 N 1  2 1  1; N a
eq _ 2 Lei
2
1
 (4  j4)I  4I
2
 (4  j4) I
1
1 2
2
2
 X )]I  E
C2
 3

(R  jX )I [(R  j( X
M 1 3 L2
1
M 2
 [R3  j( X L1  XC1 )] I1  (R3  jX ) I  E
2
1
I1  I 2  I3
N a
eq _1 Lei


(4  j4)I  4 I  10

I j(X  X )  I3 R3  I1 jXM  E
2 L2 C2
 )  I3 R3  I 2 jX  E
 I j(X  X

M
C1
1 L1

Transferência de Energia em
Circuitos Acopulados
M
X cos ( k p  s r )
F
J F
F C F
PC   I R ; Q   I X  2  I I
2 2
C k p s r
. J 
 P  jQ
S  S ; S   E . I 
  U
Q   2 .1,12.1,12. 4. cos (0)  10,04VAR
P  I 2
R  2,242
. 4  20,07W
C 3 3
 10VAR
M I2
I1
.X cos    
L2
F
F
P  20 W ;Q
1 2
C2
 X )  2 I .I
2
C1 )  I 2
(X
Q  I 2
(X  X
1 L1
2 2 1  j 0,5
I  2.10   (20  j 10)VA 

S  E I 
 E
F 1 1

E1  12V ; E2  10V; X2  X3  5  ;
X M  5 , R1  R2  4 
E2
2
X
E1 X 3
R1

M
R2
IA
IB
Exemplo 2 - Calcular as correntes do circuito dado, usando
o método das malhas independentes. Verificar o equilíbr
io
de potências.
;
12
4 I  10

2 
 I  2,5 , A




I 

j X  2 j X I  E
[R  j X  X ] I j X  I

I
I A 4  j 5  12
B
A
4  j5
IB  2,5 A
 1,17  j 1,46 , A I  1,87   51,34
, A

A
B
M B
 B 2 2 3 A M A 3
IA R1  j X3  IB j X M  IB j X3  E1

(39,04  j 17,52)VA
;
2 2 3 3 2 3 M I 2 I3
Q  2,52
. 5  3,952
. 5  2.2, 5 . 3,95. 5. cos 21,74 17.54VAR
Q  I 2
X  I 2
X  2 I .I .X cos    
2
 4 . (1,872
 2,52
)  38,98W
P  I 2
R  I 2
C 1 1 2 2
1,17 j 1,46
I  12  10.2,5 
R
2
S  E I 
 E
F 1 1

 IB  3,67  j 1,46  3,95  21.74 , A

I1  IA ; I 2  IB ; I3  I A

Determinação Experimental da
Indutância Mútua
Discutiremos dois métodos. No primeiro método são
efectuadas duas experiências com as bobinas ligadas em
série e em conjunção e em seguidas as mesmas bobinas são
conectadas em série e em oposição.
A
V
W
*
*
 
R1 R2
1
L L2
M
conj conj conj
conj
conj conj
I2
; R ; X
conj
I
  R2

Uconj

Pconj
Z2
Z

Indutância Mútua
A
V
W
*
*
 
R1 R2
1
L L2
M
opo
opo
Z2
 R2
opo
opo
I2

Popo
; X
opo
; R
opo
opo
I

Uopo
Z 
4
Xopo   (L1  L2  2 M)
Xconj   (L1  L2  2 M)
M 
Xconj  Xopo
Xconj  Xopo  4 M 

Indutância Mútua
A
V V
M
1
2
1
2
1
2 ;U   M I  M 
U
 I
d t
d i
u  M

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