Relacoes trigonometricas Circulo trigonometrico

1. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Redução ao Primeiro Quadrante
Prof. Márcio Nascimento
marcio@matematicauva.org
Universidade Estadual Vale do Acaraú
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Matemática Básica II - 2014.1
27 de maio de 2014
1 / 18

2. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Sumário
1 Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
2 Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
3 Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
2 / 18

3. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Sumário
1 Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
2 Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
3 Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
3 / 18

4. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
4 / 18

5. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
4 / 18

6. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
4 / 18

7. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
senβ = sen(π − x)
4 / 18

8. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
senβ = sen(π − x)
senβ = senπ. cos x − senx cos π
4 / 18

9. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
senβ = sen(π − x)
senβ = senπ. cos x − senx cos π
senβ = senx, onde x = π − β.
4 / 18

10. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
5 / 18

11. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen1350
5 / 18

12. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen1350
β = 1350,
x = 1800 − 1350 = 450
5 / 18

13. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen1350
β = 1350,
x = 1800 − 1350 = 450
senβ = senx
5 / 18

14. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen1350
β = 1350,
x = 1800 − 1350 = 450
senβ = senx
sen1350 = sen450 =
√
2
2
5 / 18

15. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
6 / 18

16. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
6 / 18

17. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
6 / 18

18. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
cos β = cos(π − x)
6 / 18

19. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
cos β = cos(π − x)
cos β = cos π. cos x + senπsenx
6 / 18

20. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
cos β = cos(π − x)
cos β = cos π. cos x + senπsenx
cos β = − cos x, onde
x = π − β.
6 / 18

21. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
7 / 18

22. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 1200
7 / 18

23. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 1200
β = 1200,
x = 1800 − 1200 = 600
7 / 18

24. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 1200
β = 1200,
x = 1800 − 1200 = 600
cos β = − cos x
7 / 18

25. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 1200
β = 1200,
x = 1800 − 1200 = 600
cos β = − cos x
cos 1200 = − cos 600 = −
1
2
7 / 18

26. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Sumário
1 Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
2 Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
3 Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
8 / 18

27. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
9 / 18

28. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = π + x
9 / 18

29. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = π + x
senβ = sen(π + x)
9 / 18

30. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = π + x
senβ = sen(π + x)
senβ = senπ. cos x + senx cos π
9 / 18

31. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = π + x
senβ = sen(π + x)
senβ = senπ. cos x + senx cos π
senβ = −senx, onde x = β − π.
9 / 18

32. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
10 / 18

33. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen2100
10 / 18

34. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen2100
β = 2100,
x = 2100 − 1800 = 300
10 / 18

35. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen2100
β = 2100,
x = 2100 − 1800 = 300
sen2100 = −sen300 = −
1
2
10 / 18

36. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
11 / 18

37. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = π + x
11 / 18

38. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = π + x
cos β = cos(π + x)
11 / 18

39. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = π + x
cos β = cos(π + x)
cos β = cos π. cos x − senπsenx
11 / 18

40. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = π + x
cos β = cos(π + x)
cos β = cos π. cos x − senπsenx
cos β = − cos x, onde
x = β − π.
11 / 18

41. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
12 / 18

42. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 2250
12 / 18

43. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 2250
β = 2250,
x = 2250 − 1800 = 450
12 / 18

44. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 2250
β = 2250,
x = 2250 − 1800 = 450
cos 2250 = − cos 450 = −
√
2
2
12 / 18

45. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Sumário
1 Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
2 Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
3 Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
13 / 18

46. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
14 / 18

47. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = 2π − x
14 / 18

48. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = 2π − x
senβ = sen(2π − x)
14 / 18

49. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = 2π − x
senβ = sen(2π − x)
senβ =
sen2π. cos x − senx cos 2π
14 / 18

50. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = 2π − x
senβ = sen(2π − x)
senβ =
sen2π. cos x − senx cos 2π
senβ = −senx, onde
x = 2π − β.
14 / 18

51. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
15 / 18

52. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen3000
15 / 18

53. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen3000
β = 3000,
x = 3600 − 3000 = 600
15 / 18

54. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen3000
β = 3000,
x = 3600 − 3000 = 600
sen3000 = −sen600 = −
√
3
2
15 / 18

55. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
16 / 18

56. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = 2π − x
16 / 18

57. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = 2π − x
cos β = cos(2π − x)
16 / 18

58. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = 2π − x
cos β = cos(2π − x)
cos β =
cos 2π. cos x − sen2πsenx
16 / 18

59. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = 2π − x
cos β = cos(2π − x)
cos β =
cos 2π. cos x − sen2πsenx
cos β = cos x, onde x = 2π − β.
16 / 18

60. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
17 / 18

61. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
17 / 18

62. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,
x = 3600 − 3450 = 150
17 / 18

63. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,
x = 3600 − 3450 = 150
sen150 = sen
300
2
=
r
1 − cos 300
2
17 / 18

64. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,
x = 3600 − 3450 = 150
sen150 = sen
300
2
=
r
1 − cos 300
2
sen150 =
v
u
u
t1 −
√
3
2
2
17 / 18

65. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,
x = 3600 − 3450 = 150
sen150 = sen
300
2
=
r
1 − cos 300
2
sen150 =
v
u
u
t1 −
√
3
2
2
sen150 =
r
2 −
√
3
4
17 / 18

66. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
18 / 18

67. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
cos 150 =
p
1 − sen2(150) =
r
1 −
2 −
√
3
4
18 / 18

68. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
cos 150 =
p
1 − sen2(150) =
r
1 −
2 −
√
3
4
cos 150 =
r
2 +
√
3
4
18 / 18

69. Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
cos 150 =
p
1 − sen2(150) =
r
1 −
2 −
√
3
4
cos 150 =
r
2 +
√
3
4
cos 3450 =
r
2 +
√
3
4
18 / 18