Questões de matemática dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES

2. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
1
01. (Mackenzie 2019) Os valores de x, 0 x 2 ,
π
≤ ≤ para os quais
1
| sen x |
2
> são
a)
5
x
6 6
π π
< < e
7 11
x
6 6
π π
< <
b)
7
x
6 6
π π
< <
c) 0 x π
< <
d)
5 7
x
6 6
π π
< <
e)
2
x
3 3
π π
< < e
4 5
x
3 3
π π
< <
02. (Fgv 2017) A única solução da equação sen 2x sen 3x cos 2x cos 3x
⋅ = ⋅ com 0 x 90 ,
° ≤ < ° é
a) 72 .
°
b) 36 .
°
c) 24 .
°
d) 18 .
°
e) 15 .
°
03. (Mackenzie 2017) O número de soluções que a equação 2
4 cos x cos2x cosx 2
− + =
admite no intervalo [0, 2 ]
π
é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
04. (Insper 2016) Ao longo de um ano, a taxa de câmbio de uma moeda X em relação a uma moeda Y foi dada pela
seguinte função:
(t 3)
f(t) 1,625 1,25 cos
12
π
−
 
= + ⋅ ⋅
 
 
, sendo t o tempo, dado em meses desde o início do ano. Assim,
t 9
= indica a taxa no início de outubro, que era de 1,625 unidades da moeda X para uma unidade da moeda Y
(note que esse valor da taxa indica que no instante considerado a moeda X era “menos valiosa” que a moeda Y). Ao
longo do ano analisado, a maior taxa de câmbio da moeda X em relação à moeda Y atingida e o instante em que
isso ocorreu foram, respectivamente,
a) 2,625 e início de janeiro
b) 2,625 e início de março
c) 2,875 e início de janeiro
d) 2,875 e início de abril
e) 2,875 e início de junho

3. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
2
05. (Mackenzie 2015) A soma das raízes da equação cos2x cos4x 0,
+ =
no intervalo [0, ],
π é
a) 0
b)
2
π
c) π
d)
3
2
π
e)
2
3
π
06. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB,
= e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo
ˆ
AOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317
° ≅ ° ≅
° ≅ ° ≅
a) 14 28
θ
° < < °
b) 15 60
θ
° < < °
c) 20 90
θ
° < < °
d) 25 120
θ
° < < °
e) 30 150
θ
° < < °
07. (Insper 2014) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei 4 4
f(x) (sen x cos x) (sen x cos x)
= + − −
O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a
a)
5
.
12
π
b)
4
.
9
π
c)
3
.
8
π
d)
5
.
6
π
e)
2
.
3
π

4. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
3
08. (Mackenzie 2014) Em ℝ, o domínio da função f, definida por
sen 2x
f(x) ,
sen x
= é
a) {𝑥𝑥 ∈ ℝ|𝑥𝑥 ≠ 𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑘𝑘 ∈ ℤ}
b) {𝑥𝑥 ∈ ℝ|2𝑘𝑘𝑘𝑘 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋 + 2𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑘𝑘 ∈ ℤ}
c) �𝑥𝑥 ∈ ℝ|
𝜋𝜋
2
+ 2𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 𝑥𝑥 ≤
3𝜋𝜋
2
+ 2𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑘𝑘 ∈ ℤ�
d) �𝑥𝑥 ∈ ℝ|2𝑘𝑘𝑘𝑘 < 𝑥𝑥 ≤
𝜋𝜋
2
+ 2𝑘𝑘𝑘𝑘 ∨
3𝜋𝜋
2
+ 2𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 𝑥𝑥 < 2𝜋𝜋 + 2𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑘𝑘 ∈ ℤ�
e) �𝑥𝑥 ∈ ℝ|2𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 𝑥𝑥 ≤
𝜋𝜋
2
+ 2𝑘𝑘𝑘𝑘 ∨
3𝜋𝜋
2
+ 2𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 𝑥𝑥 < 2𝜋𝜋 + 2𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑘𝑘 ∈ ℤ�
09. (Unesp 2014) O conjunto solução (S) para a inequação 2
2 cos x cos(2x) 2,
⋅ + > em que 0 x ,
π
< < é dado por
a) S x (0, ) | 0 x
6
π
π

= ∈ < <


ou
5
x
6
π
π

< < 

b)
2
S x (0, ) | x
3 3
π π
π
 
= ∈ < <
 
 
c) S x (0, ) | 0 x
3
π
π

= ∈ < <


ou
2
x
3
π
π

< < 

d)
5
S x (0, ) | x
6 6
π π
π
 
= ∈ < <
 
 
e) { }
S x (0, )
π
= ∈
10. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x tg x.
= O valor de sen x é
a)
3 1
.
2
−
b)
1 3
.
2
−
c)
5 1
.
2
−
d)
1 5
.
2
−
11. (Mackenzie 2014) O valor de θ que satisfaz o sistema
x 1 sen 2
,
2x 2 cos
θ
θ
= −


= +

para x e θ reais, com 0 θ π
≤ ≤ é
a) 0
b)
2
π
c) π
d)
4
π
e)
3
π

5. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
4
12. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com 2 2
π α π
− < < e 0 .
β π
< < Se o sistema de equações, dado em
notação matricial,
0
3 6 tg
,
6 8 cos 2 3
α
β
 
   
=  
   
−
     
for satisfeito, então α β
+ é igual a
a)
3
π
−
b)
6
π
−
c) 0
d)
6
π
e)
3
π
13. (Fgv 2012) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em um certo ponto era dada por
 
= +  
 
x
f(x) 4 3cos
6
π
em que x representa o número de horas decorridas a partir de zero hora de determinado dia, e
a altura f(x) é medida em metros. Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m naquele dia?
a) 5 e 9 horas
b) 7 e 12 horas
c) 4 e 8 horas
d) 3 e 7 horas
e) 6 e 10 horas
14. (Fgv 2012) No intervalo [ ]
0,4 ,
π a equação 3 2
sen x 2sen x 5senx 6 0
− − + = tem raízes cuja soma é
a) 2
b) -2
c) 6
d)
2
π
e) 3π
15. (Fgv 2010) No intervalo [0, π], a equação
2
1
senx
sen x 8
8 4
−
= admite o seguinte número de raízes
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
16. (Fgv 2009) Resolvendo a equação 2 4
log (sen x) log (cosx)
= no intervalo 0 x 90
° < < ° o valor de x é tal que
a) 45 x 60
° < < °
b) 30 x 45
° < < °
c) 0 x 30
° < < °
d) 75 x 90
° < < °
e) 60 x 75
° < < °

6. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
5
17. (Fgv 2007) O número de soluções da equação 1 + sen x - 2│ cos 2x │ = 0, com 0 ≤ x < 2π, é
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
18. (Fuvest 2005) Sabe-se que x 1
= é raiz da equação 2 2 3
(cos )x (4cos sen )x sen 0,
2
α α β β
− + =
sendo α e β os
ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura a seguir.
Pode-se então afirmar que as medidas de α e β são, respectivamente,
a)
8
π
e
3
8
π
b)
6
π
e
3
π
c)
4
π
e
4
π
d)
3
π
e
6
π
e)
3
8
π
e
8
π
19. (Fuvest 2002) Se α está no intervalo [0, 2]
π e satisfaz 4 4 1
sen cos ,
4
α − α = então o valor da tangente de α é
a) 3
5
b) 5
3
c) 3
7
d) 7
3
e) 5
7

7. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
6
20. (Fuvest 2002) A soma das raízes da equação 2 4
sen x 2cos x 0
− =
, que estão no intervalo [0,2 ],
π é
a) 2π
b) 3π
c) 4π
d) 6π
e) 7π
GABARITO
1 - A 2 - D 3 - D 4 - D 5 - D
6 - E 7 - A 8 - D 9 - A 10 - C
11 - B 12 - B 13 - C 14 - E 15 - B
16 - A 17 - B 18 - D 19 - B 20 - C