1. O documento descreve os passos para provar que o conjunto dos números racionais Q é enumerável. 2. Ele mostra como decompor o conjunto dos números naturais N em uma união infinita enumerável de subconjuntos infinitos enumeráveis e como isso permite definir uma função bijetora entre N e N × N. 3. Usa-se uma sobrecarga natural entre N × N e Q para definir uma sobrecarga de N para Q e, usando o princípio da boa ordenação, uma bijeção entre um subconjunto dos naturais e Q, provando

1. Prova de que Q ´e enumer´avel
Aqui v˜ao os passos que usamos na sala para demonstrar que o con-
junto Q dos n´umeros racionais ´e enumer´avel .
1 - Mostramos que N pode ser escrito como uma uni˜ao infinita enu-
mer´avel de conjuntos infinitos enumer´aveis . Para isso tomamos o
conjunto dos m´ultiplos de 2 , < 2 > . Fizemos A2 = N− < 2 >
e tomamos os m´ultiplos de 3 restritos a A2, < 3 > A2. Fizemos
A3 = A2− < 3 > A2, e tomamos os m´ultiplos de 5 nesse conjunto.
2 - Usamos a decomposi¸c˜ao acima para definir uma fun¸c˜ao bijetora
h entre N e N × N , interpretando N × N como um quadriculado no
primeiro quadrante do plano, e como a uni˜ao infinita enumer´avel de
listas infinitas enumer´aveis .
3 - Como existe uma sobreje¸c˜ao f natural de N × N em Q, que leva
(m, n) −→ m
n , fazendo g = foh temos uma sobreje¸c˜ao de N em Q.
4 - Assim para cada elemento q de Q usando o Princ´ıpio da Boa
Ordena¸c˜ao tomamos o menor elemento de g−1
(q), e fazendo a uni˜ao U
desses menores elementos e restringindo g a U temos uma bije¸c˜ao entre
um subconjunto dos naturais e Q .
5 - Agora , resta provar que todo subconjunto dos naturais ou ´e
finito, ou ´e infinito enumer´avel ,e provar que conjunto do item 4 ´e enu-
mer´avel. O conjunto do item 4 n˜ao pode ser finito, pois se fosse ter´ıamos
uma sobreje¸c˜ao de um conjunto finito no conjunto dos n´umeros racio-
nais. Como N ⊂ Q ter´ıamos uma sobreje¸c˜ao de um conjunto finito
em N, o que ´e imposs´ıvel. Assim o conjunto do item 4 ´e infinito. Tome
um subconjunto infinito A de N. O Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao nos
permite definir a seguinte fun¸c˜ao injetiva de N em A : s(n) −→ (n-
´ezimo menor elemento de A). Claramente vale que s(n) ≥ n. Assim
se s n˜ao for sobrejetiva existe a A , a ≥ s(n), ∀ n N , e conse-
quentemente a ≥ n, ∀ n N. Como a N isso ´e imposs´ıvel, logo s ´e

2. sobrejetiva e portanto bijetiva. Assim todo subconjunto infinito de N
´e enumer´avel e terminamos nossa demonstra¸c˜ao.
Bibliografia :
Naive Set Theory ; Paul Halmos
Topology : a first course ; Munkres
Marcelo R R Alves