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8/9/2019 Caderno Atividades Matemática 7ºano
http://slidepdf.com/reader/full/caderno-atividades-matematica-7oano 1/112
CADERNO
DE ATIVIDADES
MATEMÁTICA
7º
. ANO
Fátima Cerqueira Magro
Fernando Fidalgo
Pedro Louçano
  D
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  a
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     0
     1
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O VA
E D I Ç Ã O

Números
Resumir 4
Praticar 8
1. Multiplicação e divisão de números racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 19, 20, 21
2. Propriedades da adição e multiplicação de números
racionaisrelativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
3. Potências de base racional e expoente natural 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20
4. Quadrados perfeitos e raiz quadrada 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 35
5. Cubos perfeitos e raiz cúbica 22, 23, 24, 26, 32, 34
Testar 14
Funções
Resumir 16
Praticar 18
1. Referencial cartesiano
2.1 Correspondências e funções 1
2.2 Modos de representar correspondências 1, 8, 9, 25
2.3 Análise de algumas correspondências 1, 7, 31
3. Funções 2, 3, 15, 17, 18, 19
4. Operações com funções 4
5. Função afim 5, 14, 20, 25, 30
6. Proporcionalidade direta como função 6, 7, 9, 11, 13, 21, 29, 30, 31, 33
7. Interpretação de gráficos 10, 13, 16, 21, 22, 26, 27, 28
Testar 34
Sequências e regularidades
Resumir 36
Praticar 38
1. Sequências 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13
1.1 Gráfico de uma sequência numérica
2. Sucessões 3, 4, 8
Testar 44
Figurasgeométricas
Resumir 46
Praticar 48
1. Demonstrações 19, 30, 32
2. Linha poligonal e polígono 1, 2, 3
3. Ângulos internos e externos de um polígono 6, 11, 13, 17, 21, 22, 26, 28
4.1 Algumas propriedades dos paralelogramos 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18,
20, 23, 30
4.2 Áreas de alguns quadriláteros 26, 27, 29, 32
Testar 58
UNIDADE 4
UNIDADE 3
UNIDADE 2
UNIDADE 1 Atividades Página
ÍNDICE

Tratamentode dados
Resumir 60
Praticar 62
1.1 Média e moda 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13
1.2 Mediana 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11
Testar 70
Equações
Resumir 72
Praticar 74
1. Noção de equação 6, 12, 15, 20, 26, 29, 34
2. Raiz ou solução de uma equação 1, 3, 4, 19, 22
3. Equações equivalentes 19
4. Adição de termos semelhantes 25
5. Princípios de equivalência de equações 2, 3, 4, 25, 26
6. Classiﬁcação de equações 19, 20, 33
7. Equações lineares a uma incógnita 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33
8. Resolução de problemas com equações 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32
Testar 84
Figurassemelhantes
Resumir 86
Praticar 88
1. Comparação entre segmentos de reta 1 (Testar)
2. Segmentos de reta comensuráveis
3. Segmentos de reta proporcionais
4. Decomposição de um triângulo
5. Teorema de Tales 15, 6 (Testar)
6. Figuras semelhantes 1, 4, 7
7. Semelhança de triângulos 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 27, 29
30, 31, 32, 34, 35, 37, 38
8. Semelhança de polígonos 8, 9, 16, 17, 18, 19, 24, 28
9. Círculos semelhantes 22
10. Como dividir um segmento de reta?
11. Homotetias 4, 21
12. Perímetros e áreas de ﬁguras semelhantes 22, 23, 25, 37
13. Determinação de distâncias aplicando semelhanças 12, 27, 28, 31, 33, 36, 38
14. Incomensuráveis
Testar 102
Provasglobais 104
Prova global 1 106
Prova global 2 108
Prova global 3 110
Soluções disponíveis em: www.pi7.asa.pt
UNIDADE 7
UNIDADE 6
UNIDADE 5 Atividades Página

Multiplicaçãoedivisãodenúmeros racionais relativos
Para multiplicar números racionais positivos representados por frações, multiplicam-se os numeradores e os de-
nominadoresdasfrações.
Exemplo:
¥ = =
2
5
11
3
2 ¥ 11
5 ¥ 3
22
15
4
Resumir
Unidade 1 Números
O simétrico da diferença entre dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer q
e r números racionais, –(q – r
) = (–q) + r
.
Exemplo:
–(4 – )= (–4) +
7
5
7
5
Exemplo:
: = ¥ = =
3
7
11
2
33
14
2
11
3
7
3 ¥ 11
7 ¥ 2
Exemplo:
– ( + 3)= (– )+ (–3)
2
5
2
5
Exemplo:
¥ (–5) =
(–
)¥ 5 = –
( ¥ 5
)
2
3
2
3
2
3
Para dividir números racionais representados por frações, basta multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.
Operaçõescomnúmeros racionaisrelativos
O simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer q e r nú-
meros racionais, –(q + r
) = (–q) + (–r
).
Para quaisquer números racionais q e n, n ¥ (–q) = (–q) ¥ n = –(n ¥ q).
O produto de dois quaisquer números racionais é o número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos
valores absolutos dos fatores, sendo o sinal deste produto positivo se os fatores tiverem o mesmo sinal e ne-
gativo no caso contrário.
Exemplos:
1. – ¥ (– )= 2. 5 ¥ (– )= –
2
3
1
5
2
15
2
7
10
7

Exemplo: 3 =
3
2
7
3
6
4
27
64
√∫
7
Quadrados perfeitos eraízes quadradas
Chama-se quadrado perfeito a um número que é quadrado de um número inteiro positivo.
A raiz quadrada de um número a (não negativo) é um número b (não negativo) tal que b2 = b ¥ b = a e repre-
senta-se por a ou 2
a.
• Sejam m e n quocientes de quadrados perfeitos. Então, m ¥ n e , n ≠ 0, também são quocientes de quadra-
dos perfeitos.
m
n
• Sejam q e r dois números racionais positivos. Então, q
¥
r = q ¥ r
.
• Sejam q e r dois números racionais positivos com r ≠ 0. Então, = .

q
r
q
r
√∫
Cubos perfeitos e raízes cúbicas
Chama-se cubo perfeito a um número que é cubo de um número inteiro positivo.
Exemplo: 25 é um quadrado perfeito porque 25 = 52.
Exemplo: 6
4 = 8, porque 82 = 64.
Exemplo: 3
6 = 4
¥
9 = 4 ¥ 9
Exemplo: =
2
5
4
9
25
49
√∫
Exemplos:
1. ¥ = ¥ = = 2. : = : = ¥ = =
16
9
1
4
42
32
12
22
(4 ¥ 1)2
(3 ¥ 2)2
42
62
16
9
1
4
42
32
12
22
42
32
22
12
82
32
(4 ¥ 2)2
(3 ¥ 1)2
Exemplo: 27 é um cubo perfeito porque 27 = 33.
A raiz cúbica de um número a é um número b tal que b3 = b ¥ b ¥ b = a e representa-se por 3
a.
Exemplo: 3
6
4 = 4, porque 43 = 64.
• Sejam m e n quocientes(ousimétricosdequocientes) decubosperfeitos. Então, m ¥ n e , n ≠ 0,tambémsão
quocientes de cubos perfeitos.
m
n
Exemplos:
1. ¥ = ¥ = = 2. : = ¥ = ¥ = =
8
27
1
125
23
33
13
53
(2 ¥ 1)3
(3 ¥ 5)3
23
153
1
343
8
27
(1 ¥ 3)3
(7 ¥ 2)3
33
143
1
343
27
8
13
73
33
23
• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então, 3
q
¥
r = 3
q ¥ 3
r
.
• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então, 3 = , para r ≠ 0.
3
q
3
r
q
r
√∫
Exemplo: 3
8
¥
2
7 = 3
8 ¥ 3
2
7
• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos. Então, 3
–
q = –3
q.
Exemplo: 3
–
8 = –3
8

8
Praticar
Unidade 1 Números
1 Completa as duas tabelas seguintes.
2 Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas.
2.1 (–3) ¥ (+ )= _________________
2.3 (+2) ¥ (+ )= _________________
2.5 (– )¥ (– )= _______________
2.7 (– + 2)¥ (–0,7) = ____________
2.9 (–0,2 – )+ (–7 + )= _______
_________________________________
2.2 (– )¥ (– )= _________________________
2.4 (+ )¥ (– )= _________________________
2.6 (– )¥ (+ )¥ 0,3 = ___________________
2.8 (+5) ¥ (+4 – 2 )= ______________________
2.10 (–2) ¥ (– + )– (– – )= _________
__________________________________________
4
5
7
2
20
7
3
9
5
7
5
4
4
3
5
3
3
4
6
3
8
7
2
3
5
2
1
5
3
4
8
10
5
2
3
5
3 Completaoesquemasabendoqueemcadaretângulose escreveoprodutodosdoisnúmeros queestão
imediatamente por baixo dele.
4 Completa a tabela, identiﬁcando a propriedade da multiplicação que permite escrever cada uma das
igualdades.
+2 –2 –2 –1
×
+
+8
–0,7
–0,6
–2
–1
(–7) ¥ = ¥ (–7)
5
2
5
2
(– ¥ )¥ (–3) = (– )¥ ( ¥ (–3))
2
7
9
5
2
7
9
5
Propriedade
Igualdade
–2
0
+2 –0,3 –4 2
:
+4
+
–12
0
4
3
8
5
3
5
1
3
1
3
(–2) ¥ (– + (– ))= (–2) ¥ (– )+ (–2) ¥ (– )
4
5
6
11
4
5
6
11

9
6 Completa os espaços com um número inteiro de forma a tornar verdadeiras as igualdades.
7 Completa a tabela, indicando, em cada caso, os valores de a, b e c quetornam asigualdadesverdadeiras.
8 Faz corresponder cada expressão da coluna da esquerda a uma expressão da coluna da direita, de modo
que cada uma das expressões ﬁque associada a outra com o mesmo valor.
9 Completa cada uma das seguintes frases de modo a obteres aﬁrmações verdadeiras. Para isso, utiliza
os termos: ímpar/positivo/quadradoperfeito/par/ cubo perfeito/zero.
6.1 –3 ¥ _____ = –
6.3 _____ : (– )= +1
6.5
(– + 3
)¥ _____ = –36
6.2 – : _____ = +15
6.4 _____ : (– – )= –2
6.6 _____ : (–14 ¥ (–1)) = –3
9
7
30
7
15
2
15
3
1
6
3
5
9.1 Uma potência de base positiva é sempre um número _________________________.
9.2 Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre _________________________.
9.3 Uma potência debasenegativa eexpoente_________________________éum númeropositivo.
9.4 Uma potência de base negativa e expoente _________________________ é um número negativo.
9.5 Um número que é quadrado de um número inteiro diz-se um _________________________.
9.6 Um número que é cubo de um número inteiro positivo diz-se um _________________________.
5 Calcula ovalor decada uma dasseguintesexpressões numéricas, utilizando, semprequepossível, a pro-
priedadedistributivada multiplicação.
5.1 ¥
(
– +5
)
5.2 – ¥
(
– +6
)
5.3 –
(
– +
)
+(–4)¥
(
– –
)
5.4
(
–
)
2
¥
(
–22 –
)
+(–1)7 +
2
3
3
5
8
7
5
2
3
2
5
3
3
5
7
3
3
2
5
7
7
2
a b c
a ¥ b = 1,5
c ¥ b ¥ (–4) =
a : c = –2b
(a : b) ¥ c = –
Expressão
(–2)2 + (–1)5 l
: (–1,5) × (–1)200 l
(–2)2 l
–16 : (–4) × (– ) l
9
2
1
5
l (–3)2 – (22 × 3)
l –
l –16 × (–1) – 13
l
(– )
2
: (– )
2
22
5
16
5
8
5
3
2
30
7

13 Uma potência de base negativa é: (Escolhe a opção correta.)
[A] semprepositiva.
[B] semprenegativa.
[C] positiva se o expoente for um número par.
[D] negativa se o expoente for um número par.
10
Praticar
Unidade 1 Números
14 Considera as potências a x
e a y
, de expoente inteiro, sendo a um número inteiro positivo.
Se x – y = 3 , então é igual a: (Escolhe a opção correta.)
[A] a3 [B] a [C] 1 [D] 0
a x
a y
15 Qual das aﬁrmações seguintes é verdadeira?
[A] –1,4 > – [B] (–1)207 = –207 [C] –120 = +1 [D] (–7)4 = –74
1
2
16 Escreve em linguagem matemática e calcula:
16.1 a soma de –2 com o dobro de – ;
16.2 o produto da soma de + com – pelo triplo de –7;
16.3 o triplo do quadradode – ;
16.4 a soma do cubo de – com o quadradode + ;
16.5 o quadradoda soma de – com o dobro do seu simétrico.
3
2
3
5
5
4
1
5
5
4
7
2
5
7
10 Escreve como uma potência de expoente 2. Explica como procedeste.
64
25
11 Escreve 64 como uma potência de base 2. Explica como procedeste.
12 Uma potência de expoente ímpar e base positiva é sempre: (Escolhe a opção correta.)
[A] negativa [B] positiva [C] maior do que 1 [D] menor do que 1

11
19 Considera um número racional a.
19.1 Mostra que o simétrico de a – 1 é 1 – a.
19.2 Calcula cada um dos números referidos na alínea anterior no caso de a = 3.
Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
20 Sabendoque x = –(– + ), y = –
2
– (– )
2
e w = –3 ¥ (– – ), determina o valor de cada uma
das seguintes expressões.
20.1 x + y + w
20.2 x ¥ y + w
20.3 x2 –( y – w)2
2
3
5
2
2
5
2
3
1
5
5
2
21 Dentrodeumsacoestãoquatrocartõesdeigualtexturaeformato.Emcadaumdelesestáescritoumdos
números +1, –1, –2 e +2. Num outro saco estão também quatro cartões de igual textura e formato, mas
todos com o número –3 escrito.
17 A expressão (– – )
2
é igual a: (Escolhe a opção correta.)
[A] (– )
2
– (– )
2
[B] (– )
2
+ (– )
2
[C] – [D] +
3
2
4
5
3
2
4
5
3
2
4
5
23
10
23
10
18 Utiliza um dos símbolos >, < ou = para completar os espaços, tornando as aﬁrmações verdadeiras.
18.1 (– )
3
_____ (– )
2
18.2 1,5 _____ (– )
5
18.3 030 _____ (– )
301
18.4 (–1)4002 _____ (+1)25 18.5 –33 _____ (–3)3 18.6 –34 _____ (–3)4
2
3
2
3
7
2
3
5
21.1 Sem olhar, a Ana retiroudoiscartões, um decada saco, esomouosnúmerosnelesescritos. Ob-
teve –5. Que números estavam escritos nos cartões?
21.2 Da mesma forma, o Pedro retirou dois cartões, um de cada saco, e multiplicou os números neles
escritos. Qual o valor máximo que o Pedro pode ter obtido? Explica o teu raciocínio.
21.3 A Carlota aﬁrmou que, na experiência descrita na alínea anterior, o Pedro tinha mais hipóteses
de obter um produto positivo do que um produto negativo. Concordas com a Carlota? Explica o
teu ponto de vista.

23 Completa a tabela, apresentando, sempre que necessário, os valores arredondados às décimas.
12
Praticar
Unidade 1 Números
64
a
3
√∫
a
5
3
√∫
a (√∫
a)2 (3
√∫
a)3
24 Considera as seguintes afirmações.
A. 9 é um cubo perfeito. B. A raiz quadrada de cinco é vinte e cinco.
C. A raiz cúbica de 64 é 4. D. 36 é um quadrado perfeito.
Escolhe a opção correta.
[A] As afirmações A e B são verdadeiras. [B] As afirmações C e D são verdadeiras.
[C] As afirmações A e D são verdadeiras. [D] Nenhuma das opções anteriores.
25 Qual é o perímetro de um quadrado com 36 cm2 de área? (Escolhe a opção correta.)
[A] 6 cm [B] 9 cm [C] 24 cm [D] 36 cm
26 Qual é o volume de um cubo cuja aresta tem o dobro do comprimento da aresta de um cubo com
125 cm3 de volume? (Escolhe a opção correta.)
[A] 250 cm3 [B] 1000 cm3 [C] 10 cm3 [D] 20 cm3
27 Dado um número racional q, mostra que 5 ¥ (–q) = –(5 ¥ q).
28 Calcula o valor exato de cada uma das seguintes expressões numéricas.
28.1 [(– )¥ ( )]:
28.2 ¥ (–3 + )
28.3 ( 3)2 + 3
6
∫
4 – (3
5)3
28.4 ( 8
∫
1) ¥ (– 1
∫
0
∫
0 – 3
1
∫
2
∫
5)
28.5 –3 + 3
∫
6 : 3 2
∫
7 + (–5) ¥
24
3
√∫
3
3
5
2
3
7
–4
2
7
4
5
22 Completa os espaços em branco.
22.1 √∫
8
∫
1 = _____ porque 92 = _____ ; 22.2 √∫
_
∫
_
∫
_
∫
_
∫
_ = 7 porque 72 = _____ ;
22.3 3
√∫
_
∫
_
∫
_
∫
_
∫
_ = 3 porque 33 = _____ ; 22.4 3
√∫
8 = _____ porque _____3 = _____

35 Na figura ao lado estão representados três quadrados.
Sabe-se que o quadrado menor tem 121 cm2 de área e que o quadrado
maior tem 144 cm2. Sabe-se ainda que C
–
B = B
–
A.
35.1 Determina o comprimento do lado do quadrado maior.
35.2 Determina a área doquadradodolado[BD]. Explica o teu raciocínio.
13
29 Indica dois quadrados perfeitos cuja soma seja um quadrado perfeito e dois cuja soma não seja um qua-
dradoperfeito.
30 Sabe-se que 3< 3
√∫
6
∫
2 < 4.Semutilizara calculadora,indicaoutrosquatro númeroscujaraizcúbicatam-
bém seja maior que 3 e menor que 4. Explica o teu raciocínio.
31 Sabendo que = , q ≠ 0, determina o valor de . Apresenta o resultado sob a forma de fração.
p
q
√∫ p
q
25
36
√∫
32 Mostra que se p e q são cubos perfeitos não nulos, então também é um cubo perfeito.
p
q
33 Considera o número racional .
33.1 Calcula ( )
2
.
33.2 Que relação existe entre o quadrado de e oquadradodo seu simétrico?
5
7
5
7
5
7
34 A Joana comprou um perfume para oferecer ao João Nuno no dia
dosnamorados.Naperfumaria,paraembrulharo perfume,utiliza-
ram uma caixa com a forma de um cubo, tal como ilustra a figura.
Sabendo que a caixa utilizada tem 2197 cm3 de volume, e que para
fazer o laço foram utilizados 30 cm, determina o comprimento total
da fita utilizada no embrulho. Explica como procedeste.
B A
C
D

1 “O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.”
Prova que a afirmação anterior é falsa, apresentando um contraexemplo.
2 Sem efetuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.
3 Determina o valor de cada uma das seguintes expressões.
3.1
[(–3)2 ¥
(–
)]¥
(– +
)
3.2 [–5 ¥ (–2 + )]
3
: (– )
3.3 0456 + (–1)789 ¥ (– )+ (+1)178 ¥ (–
2
+ 3
∫
6)
3.4
4 Observa a figura.
Comopodesobservar, a figura podeser decomposta em 6quadrados. Sabendoquecada um delestem
36 mm2 de área, determina o perímetro da figura.
7
2 5
3 6
5
1
2
5
2
3
4
√
∫
125
27
3
14
Testar
Unidade 1 Números
Potência (–9)2 (–35)457 (+2,4)223
Sinal
(+ )
24
27
9
(– )¥ (– )+ – ( )
3
3
2
2
3 √∫
27
64
3
√∫
3
2
3
√∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫

15
5 Seja p um número racional. Mostra que 2 ¥ (–p) = –(2 ¥ p).
6 Escreve na forma de dízima.
7 Calcula, utilizando a definição de produto de dois números racionais, ( )¥ (– )e verifica que é
igual a –
( ¥
).
8 Observa o polígono [RSTU ].
O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos geometricamente iguais, [RR’U ] e[SS’T ],
e um quadrado, [RR’S’S], tal como mostra a figura seguinte.
Sabendoque U
–
R’ = 4 cm e que a área do quadrado [RR’S’S] é igual a 16 cm2, determina U
–
T
.
4
3
5
7
5
7
4
3
√∫
4
25
3
R S
U
R
R’
R
R’
U
S
S’
S
S’ T
T

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma
abcissa e por uma ordenada.
( x, y)
abcissa ordenada
Coordenadas cartesianas
Referencialcartesiano
Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles
com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitual-
mente igual em ambos.
16
Resumir
Unidade 2 Funções
Funções
Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos, o conjunto de partida e o conjunto de chegada. Numa
função, a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.
Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou ex-
pressões analíticas:
Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-se
por D
. Os elementos deste conjunto chamam-se objetos ou originais. A cada objeto, x, a função fará corres-
ponderumeumsóelementodoconjuntodechegada:aimagemdesseobjeto.A imagemde x representa-se por
f
( x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D
’.
Veículo
Bicicleta
Número de rodas
2
Triciclo 3
Automóvel 4
f
( x) = 2 x
Tempo
       A
       l
      t
     u
     r
     a
Número de pernas
Elefante
Gato
Aranha
Polvo
Homem
4
8
2
2.
o
quadrante
Origem do referencial
Eixo das ordenadas
Eixo das abcissas
x
y
1.
o
quadrante
3.
o
quadrante 4.
o
quadrante
A origem do referencial tem
coordenadas(0, 0).


17
Operações com funções
• A soma de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a imagem de
cada x ∈
A é a soma das imagens. (a + b)( x) = a( x) + b( x)
• A diferença entre funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a ima-
gem de cada x ∈
A é a diferença das imagens. (a – b)( x) = a( x) – b( x)
• O produto de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função de mesmo domínio tal que a imagem de
cada x ∈
A é o produto das imagens. (a ¥ b)( x) = a( x) ¥ b( x)
Proporcionalidadedireta
As grandezas X e Y são diretamente proporcionais se a razão entre os valo-
res correspondentes das duas, tomados pela mesma ordem, for constante e
não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporciona-
lidade direta.
Qualquer função com uma expressão algébrica do tipo y = k
¥ x ou, de forma
equivalente, f
( x) = k ¥ x, k ≠ 0, diz-se uma função de proporcionalidade direta.
Para x nãonulo, = =k diz-seaconstantede proporcionalidadedireta.
Uma função f de proporcionalidade direta é igual, no seu domínio, a uma fun-
ção linear de coeficiente a = f
(1).
Num gráfico de proporcionalidade direta, todos os pontos estão sobre uma reta que passa pela origem do refe-
rencial.
f
( x)
x
k
¥ x
x
Uma dada função f
: A → B diz-se uma função numérica quando B é um conjunto de números e uma função de
variável numérica quando A é um conjunto de números.
O gráfico de uma função f
: A → B é o conjunto dos pares ordenados ( x, y), com x ∈
A e y = f
( x). x designa-se por
variável independente e y, porque depende de x, designa-se por variável dependente.
Funçãoafim
Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional b tal que f
( x) = b, para todo
o racional x, diz-se uma função constante.
Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional a tal que f
( x) = a x, para todo
o racional x, diz-se uma função linear. f
( x) =a x diz-se a forma canónica da função linear e a diz-se o coeficiente
da função.
A soma e a diferença de funções lineares são funções lineares de coeficientes iguais, respetivamente, à soma e
à diferença dos coeficientes das funções dadas.
O produto de uma função linear por uma função constante é uma função linear cujo coeficiente é igual ao pro-
duto pela constante do coeficiente da função linear.
Uma função afim é a soma de uma função linear com uma função constante. f
( x) = a x + b diz-se a forma ca-
nónica da função afim, onde a é o coeficiente da função linear e b o valor da constante. a diz-se o coeficiente
de x e b o termo independente.
O produto por uma função constante, a soma e a diferença de funções afins são funções afins de coeficientes
da variável e termos independentes respetivamente iguais ao produto pela constante, à soma e à diferença dos
coeficientes das funções dadas.
y
1
= k
x
1
y
2
= k
x
2
y
3
= k
x
3
y
x
1
y
3
y
2
y
1
x
2
x
3
x

18
Praticar
Unidade 2 Funções
1 Indica quais das seguintes correspondências são funções. Justifica a tua resposta.
   C
   o
   r
   r
   e
   s
   p
   o
   n
   d
    ê
   n
   c
   i
   a
   1
   C
   o
   r
   r
   e
   s
   p
   o
   n
   d
    ê
   n
   c
   i
   a
   2
   C
   o
   r
   r
   e
   s
   p
   o
   n
   d
    ê
   n
   c
   i
   a
   3
   C
   o
   r
   r
   e
   s
   p
   o
   n
   d
    ê
   n
   c
   i
   a
   4
   C
   o
   r
   r
   e
   s
   p
   o
   n
   d
    ê
   n
   c
   i
   a
   5
   C
   o
   r
   r
   e
   s
   p
   o
   n
   d
    ê
   n
   c
   i
   a
   6
   C
   o
   r
   r
   e
   s
   p
   o
   n
   d
    ê
   n
   c
   i
   a
   7
A
–2
–1
0
B
1
2
0
2
1
É função
Não é função
Justificação
y
x
1
–1
1 2 3 4
4 3 2 1
1
2
1
2
–
É função
Não é função
Justificação
É função
Não é função
Justificação
y
x
É função
Não é função
Justificação
C
–2
4
5
D
8
3
9
7
É função
Não é função
Justificação
E F
3
7
9
–2
8
5
4 É função
Não é função
Justificação
y
x
É função
Não é função
Justificação
x y
–2 4
–2 0
–2 1
–2 35

19
2 Considera a função f
: A → B definida pelo diagrama ao lado.
Identifica o domínio, o contradomínio, o conjunto de chegada e o gráfico de f
.
3 Dados os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–6, –3, 0, 3, 6}, a função i
: A → B é definida pela expres-
são i
( x) = 3 x.
3.1 Determina o contradomínio de i
.
3.2 Determina o gráfico de i
.
4 Considera os seguintes referenciais cartesianos, onde se representaram, respetivamente, os gráficos
das funções f e g.
4.1 Indica o domínio de f e de g.
4.2 Identifica o contradomínio de cada uma das funções.
4.3 Completa com números, por forma a obteres igualdades verdadeiras.
(f + g)(2) = f
(2) + g(__) = ___ + ___ = ___
A
f
3
1
4
B
7
a
c
b
y
x
0
1 2 3 4
1
2
3
4
y
x
0
1 2 3 4
1
2
3
4
4.4 Preenche a tabela e indica o contradomínio da função f + g.
x 1
f ( x )
2 3 4
g( x )
(f + g) x )

6 Comenta cada uma das afirmações seguintes.
A. O comprimento de um lado de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu perí-
metro.
B. O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional à sua área.
C. O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional ao seu perímetro.
20
Praticar
Unidade 2 Funções
5 Quais dos seguintes gráficos representam uma função linear? Justifica a tua resposta.
g
h
f
i
j
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x
4.6 Identifica o domínio e determina o contradomínio de cada uma das seguintes funções.
a) f – g b) f ¥ g c) f 2
Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
4.5 Representa num referencial cartesiano o gráfico da função f + g.

21
7 A Matilde inscreveu-se num workshop de dança. Este workshop de 50 h decorre às terças-feiras e cada
sessão tem uma duração de 5 horas. O número P de horas que falta para terminar o workshop é dado
pela fórmula P(n) = 50 – 5n, sendo n o número de sessões já realizadas.
7.1 Quantas sessões terá o workshop?
7.2 Se já se tivessem realizadoquatrosessões, quantashorasfaltariam para terminar o workshop?
7.3 Quantas sessões é que já se teriam realizado se apenas faltassem 10 horas para terminar o
workshop?
8.2 Sendo x o preço do artigo sem desconto e g( x ) o valor do desconto, escreve uma expressão al-
gébrica para a função g.
8.3 Sendo x o preço do artigo sem desconto e f
( x ) o preço do artigo com desconto, escreve uma ex-
pressão algébrica para a função f
.
8.4 Justifica que as funções f e g são funções de proporcionalidade direta e indica as respetivas
constantes de proporcionalidade.
8.5 Determina o preço final a pagar por um MP3 cujo preço de venda inicial é 180 €.
8 Uma loja de eletrodomésticos está em liquidação de stock
.
Assim, durante três dias, todos os artigos expostos têm um
desconto de 70%.
8.1 Qual é o valor do desconto de um frigorífico que cus-
tava 650 €?
9 Indica uma expressão algébrica que defina:
9.1 a área do quadrado, A, em função do comprimento do seu lado, l.
9.2 a área do círculo, A, em função do comprimento do seu raio, r
.

22
Praticar
Unidade 2 Funções
12 O Sr. Fernando produz e vende batatas.
12.1 A tabela seguinte relaciona a quantidade de batatas vendidas, em quilogramas, com a quantia
recebida pelo Sr. Fernando, em euros. Completa-a.
12.2 Seja h a função que à quantidade de batatas vendidas (em quilogramas) associa o valor a rece-
ber pelo Sr. Fernando (em euros). Escreve uma expressão algébrica de h.
12.3 Se alguém comprar três sacos de 20 kg, quanto terá que pagar? Apresenta todos os cálculos que
efetuares.
12.4 Naúltimavendaquerealizou,o Sr.Fernandorecebeu30€.Quantosquilogramasdebatatasvendeu?
Peso (kg) 0
Valor recebido (€)
2
0,60 1,5
PREÇOESPECIAL
0,15 €/kg
10 Observa o gráﬁco ao lado.
Qual das seguintes interpretações pode resultar da observação do gráﬁco?
[A] O Jorge ganha 20 € por cada hora de trabalho.
[B] Por cada 10 rebuçados, a Filipa paga 1 €.
[C] Por cada 10 alunos presentes, são necessários 2 professores.
[D] Um atleta corre a uma velocidade constante de 4 km por hora.
Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Primavera de 2006)
0 1020 30 40 50 60 70 80
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
11 Quais das seguintes variáveis são diretamente proporcionais? (Escolhe a(s) opção(ões) correta(s).)
[A] Número de horas de estudo e nota obtida no exame.
[B] O peso das laranjas e o preço a pagar por elas.
[C] A altura de uma pessoa e o seu peso.
[D] O número de pães e o preço a pagar por eles.

23
13 Considera os quatro retângulos seguintes.
No gráfico ao lado, cada ponto A, B, C e D édefinidopela baseepela altura dos
retângulos I, II, III e IV.
Completa a tabela seguinte, fazendo corresponder cada ponto a cada retân-
gulo.
IV
III
II
I
Base
       A
       l
      t
     u
     r
     a
D
C
B
A
Ponto A
Retângulo
B C D
14 Os pais do Gonçalo foram passar uns dias a Évora e ficaram instalados num hotel mesmo no centro da
cidade. Na tabela que se segue estão registados os preços, em euros, a pagar, por noite, nesse hotel.
0 1 2 3 4 5
50
100
150
200
Preço a pagar (€)
Números de noites
14.1 Desenha o gráfico da função representada pela tabela.
Número de noites ( x )
1
2
3
4
Preço a pagar, em euros ( y)
45 €
90 €
135 €
180 €
Évora
14.2 Indica, justificando, qual das seguintes expressões define a expressão analítica da função re-
presentadapelatabela.
[A] y = 45 x [B] y = 5 x
[C] y = 90 x [D] y = x
1
2

16 Em janeiro, o Vítor, depois de ter vindo do barbeiro, decidiu estudar o
crescimento do seu cabelo, registando todos os meses a sua medida.
O gráfico seguinte representa o crescimento do cabelo do Vítor, desde
o mês de janeiro (mês 0) até ao mês de junho (mês 5).
16.2 Em cada mês, quantos centímetros cresceu o cabelo do Vítor?
24
Praticar
Unidade 2 Funções
(M) – Mês
Janeiro
(C) – Comprimento
do cabelo
0
Fevereiro
1
4,4
Março
2
5,8
Abril
3
7,2
Maio
4
8,6
Junho
5
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
    C
  –
    C
   o
   m
   p
   r
    i
   m
   e
   n
   t
   o
    d
   o
   c
   a
    b
   e
    l
   o
    (
   c
   m
    )
M – Mês
janeiro
fevereiro
março
abril
maio
junho
16.1 Completa a tabela de acordo com os dados representados no gráfico.
16.3 Assinala a expressão que representa o comprimento do cabelo do Vítor, em cada um dos pri-
meiros seis meses.
[A] C = 1,4 M [B] C = 3 + 1,4 M [C] C = 1,4 + 3 M [D] C = 3 M
16.4 O João foi cortar o cabelo no mesmo dia do Vítor, mas o seu
cabelo ficou mais curto, com apenas 2 cm. Constrói o gráfico
que representa o crescimento do cabelo do João desde janeiro
até maio, supondo que cresce 1,5 cm em cada mês.
0 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
    C
  –
    C
   o
   m
   p
   r
    i
   m
   e
   n
   t
   o
    d
   o
   c
   a
    b
   e
    l
   o
    (
   c
   m
    )
(M) – Mês
janeiro fevereiro março abril maio
11
12
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.
o
Ciclo, 2004
15 Considera a função h, representada pela tabela.
15.1 Indica o domínio e o contradomínio de h.
15.2 Completa:
a) h(3) = _______ b) h(_______) = 1
15.3 Qual é a imagem, por h, do objeto 2?
15.4 Qual é o objeto que, por h, tem imagem 0?
x 0
h( x ) 4
2
3
3
5
4
0
5
1

25
17 Considera o gráfico de uma função g definido por Gg = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}.
17.1 Identifica o domínio e o contradomínio de g.
17.2 Representa a função g por um diagrama de setas, supondo que o contradomínio coincide com o
conjunto de chegada.
17.3 Supõe que o contradomínio de g não coincide com o conjunto de chegada. Representa por um dia-
grama de setas um possível exemplo de g.
17.4 Determina uma expressão algébrica que defina o valor de g( x) para qualquer x no domínio de g.
18 Considera a função g de domínio A =
{
– , 0, , 2
}
e conjunto de chegada Q, definida por g( x) =2 x – 1.
18.1 Determina o contradomínio de g.
18.2 Representa o gráfico da função f num referencial cartesiano.
1
2
3
2

26
Praticar
Unidade 2 Funções
    C
   e
   n
   t
    í
   m
   e
   t
   r
   o
Polegada
8,89
7,62
6,35
5,08
3,81
2,54
1,27
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
  D
  i
a
g o
n a
  l
21 Por vezes, o comprimento da diagonal do ecrã de um televisor é indicado em polegadas. No gráfico que
se segue, podes ver a relação aproximada existente entre esta unidade de comprimento e o centímetro.
20 Para cada uma das funções, de Q em Q, definidas em cada uma das seguintes alíneas, indica se se trata
de uma função afim, linear ou constante, apresentando a respetiva forma canónica.
20.1 f
( x) = 2 – ( x + 1) + x
20.2 g( x) = 1 – 3 x + (4 x – 2) – 1
20.3 h( x) =
20.4 i
( x) = 2 x2 – (2 x2 + 1) – x
2 x – (3 x – 1) + 3
2
19 Na figura está representado o gráfico de uma função g num refe-
rencial cartesiano.
19.1 Indica o domínio de g.
19.2 Completa as igualdades:
a) g(3) = ____ b) g(__) = 4
19.3 Completa com um número de forma a obteres uma afirma-
ção verdadeira: “____________ é o objeto cuja imagem é 0.”
19.4 Indica se é verdadeira ou falsa afirmação: “2 é a imagem de um único objeto”.
y
x
0
1 2 3 4 5
1
2
3
4
21.1 Qual das quatro igualdades que se seguem permite calcular a diagonal do ecrã de um televisor,
em centímetros (c), dado o seu comprimento em polegadas (p)?
[A] c = 1,27 p [B] c = p [C] c = 2,54 p [D] c = p
21.2 O Gonçalo comprou um televisor com 106,68 cm de diagonal. A Marta também comprou um,
mas com 40 polegadas de diagonal. Qual dos dois comprou o televisor com maior diagonal?
Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico, 1.
a
chamada,2007
1
2,54
1
1,27

27
22 O Sr. Marques é alfarrabista.
No final de cada ano, o Sr. Marques estuda as vendas
do ano anterior e regista a informação que obtém
através de um gráfico. O gráfico ao lado é referente
às vendas do ano passado.
22.1 Em que mês foram vendidos mais livros?
22.2 Em que mês foram vendidos menos livros?
22.3 Quantos livros foram vendidos em outubro?
22.4 Em dois dos meses foram vendidos o mesmo número de livros. Quais foram esses meses?
22.5 A determinada altura houve um grande crescimento nas vendas, que terminou com a tendência
de descida que se observava há alguns meses. Em que mês isso aconteceu?
22.6 No total, quantos livros foram vendidos nesse ano?
23 No seu telemóvel, o Marco tem atualmente um tarifário em que cada chamada custa 0,18 €, por minuto,
independente da rede para que ligue.
O Marco está em dúvida. Não sabe se deve aderir a uma promoção em que, pagando 50 € mensais, pode
ligar, sem restriçõesde tempo, para quem quiser. Ajuda o Marco, determinandoonúmerode minutosde
conversação a partir do qual o seu tarifário atual deixa de ser vantajoso. Explica o teu raciocínio.
24 Na bilheteira de um circo, em vez da habitual tabela de preços, estava afixado o seguinte cartaz informativo:
24.1 A Eliana comprou cinco bilhetes. Quanto pagou?
24.2 A Sofia pagou 9 €. Quantos bilhetes comprou?
24.3 Completa a seguinte tabela, que será afixada na bilhe-
teira do circo, em substituição do cartaz informativo.
J
  a
  n
  e
   i
  r
o
   M
  a
  r
ç
o
   F
  e
  v
  e
  r
  e
   i
  r
o
  A
   b
  r
   i
   l
   M
  a
   i
o
J
  u
  n
   h
o
  A
  g
o
  s
  t
o
J
  u
   l
   h
o
  S
  e
  t
  e
  m
   b
  r
o
  O
  u
  t
  u
   b
  r
o
   N
o
  v
  e
  m
   b
  r
o
   D
  e
  z
  e
  m
   b
  r
o
Meses do Ano
    N
    ú
   m
   e
   r
   o
    d
   e
    l
    i
   v
   r
   o
   s
   v
   e
   n
    d
    i
    d
   o
   s 3000
2500
2000
1500
1000
500
0
Número de bilhetes comprados (n)
1
2
3
4
…
n
Preço a pagar (P )
…

28
Praticar
Unidade 2 Funções
26 Imagina que um recipiente com a forma da pirâmide, inicialmente vazio, se vai
encher com água. A quantidade de água que sai da torneira, por unidade de
tempo, até o recipiente ficar cheio, é constante. Qual dos seguintes gráficos
poderá traduzir a variação da altura da água, no recipiente, com o tempo que
decorre desde o início do seu enchimento? Explica, numa pequena composi-
ção, a razão por que não escolheste nenhum dos outros três gráficos.
altura
Exame Nacional de Matemática, 3.
o
Ciclo, 2007
Gráfico A Gráfico B Gráfico C Gráfico D
Tempo
       A
       l
      t
     u
     r
     a
Tempo
       A
       l
      t
     u
     r
     a
Tempo
       A
       l
      t
     u
     r
     a
Tempo
       A
       l
      t
     u
     r
     a
25 Representa graficamente cada uma das funções f e g definidas por:
25.1 f
( x ) = 3 x 25.2 g( x
) = x + 1

29
27 Na realização de uma determinada experiência, foi necessário encher, com água, três recipientes de di-
ferentes formas. Todos os recipientes se encontravam completamente vazios e, para os encher, utili-
zou-se uma torneira que debitava água de forma constante. Para cada um dos recipientes, indica o
gráfico que pode representar a variação da altura da água em função do tempo decorrido desde o ins-
tante em que se abriu a torneira.
   R
   e
   c
   i
   p
   i
   e
   n
   t
   e
   1
Tempo
    A
    l
   t
   u
   r
   a
Tempo
    A
    l
   t
   u
   r
   a
Tempo
    A
    l
   t
   u
   r
   a
   R
   e
   c
   i
   p
   i
   e
   n
   t
   e
   2
Tempo
    A
    l
   t
   u
   r
   a
Tempo
    A
    l
   t
   u
   r
   a
Tempo
    A
    l
   t
   u
   r
   a
   R
   e
   c
   i
   p
   i
   e
   n
   t
   e
   3
Tempo
    A
    l
   t
   u
   r
   a
Tempo
    A
    l
   t
   u
   r
   a
Tempo
    A
    l
   t
   u
   r
   a
28 O Paulo e a Teresa são dois irmãos gémeos de 20 anos de
idade. Os seguintes gráficos permitem calcular a evolu-
ção dos pesos de ambos, desde o nascimento até hoje.
28.1 Com que idade o Paulo e a Teresa pesavam o
mesmo?
28.2 Observa o gráfico e assinala a afirmação correta
sobre o aumento de peso da Teresa, entre os 5 e
os 10 anos de idade.
[A] A Teresa aumentou mais do que 10 kg e menos do que 15 kg.
[B] A Teresa aumentou exatamente 15 kg.
[C] A Teresa aumentou mais do que 15 kg e menos do que 20 kg.
[D] A Teresa aumentou exatamente 20 kg.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.
o
Ciclo, 2003
80
70
60
50
40
30
20
10
0
    P
   e
   s
   o
    (
    k
   g
    )
Idade (anos)
0 5 10 15 20
Paulo
Teresa
[A] [B] [C]
[A] [B] [C]
[A] [B] [C]

30
Praticar
Unidade 2 Funções
29 O intervalo de tempo que decorre entre o momento em que o condutor de um automóvel vê um obstá-
culo na estrada e o momento em que carrega no travão denomina-se tempo de reação. Durante o
tempo de reação, o automóvel continua a circular à mesma velocidade e percorre uma distância a que
se chama distância de reação (Dr
). Quanto menor for a distância de reação, mais depressa se imobi-
liza o automóvel. Existe uma fórmula, aceite internacionalmente, que relaciona a velocidade (v
) a que
um automóvel circula e a distância de reação (Dr
). O gráfico dessa relação está representado na figura
seguinte.
30 Dados dois números racionais b e k
, seja f a função definida em Q por f
( x) = b x e g a função constante
igual a k
. Prova que a função g ¥ f é linear e identifica o respetivo coeficiente.
0
80
Dr
(m)
v
40
0
100 200
(km/h)
De acordo com o gráfico, responde às seguintes questões.
29.1 Qual é a distância que um automóvel percorre quando se desloca a uma velocidade de 100 km/h,
desde o instante em que o condutor vê um obstáculo até que inicia a travagem?
29.2 A que velocidade seguiria um automóvel que percorreu 45 m desde o instante em que o condu-
tor viu um obstáculo até que iniciou a travagem?
29.3 A distância de reação é diretamente proporcional à velocidade a que um automóvel circula. In-
dica qual das seguintes expressões relaciona a distância de reação (Dr
) com a velocidade a que
um automóvel circula (v
).
[A] Dr = v [B] Dr = v
[C] Dr = v [D] Dr = v
Projeto 1000 itens
30
100
3
100
100
3
100
30

31
31 OF-16Fighting Falcon, aviãodecombatesupersónico, éum
dos melhores aviões da atualidade para o combate aéreo e
também para o ataque ao solo, dada a sua extraordinária
manobrabilidade,avançadas característicasaerodinâmicas
e elevada capacidade de suportar acelerações até 9G.
ForçaAéreaPortuguesa,
consultado em junho de 2009
Um caça F-16da Força Aérea Portuguesa encontrava-sea fazer testesno espaçoaéreodoAlentejo. A
determinada altura, o avião atingiu certa velocidade, que se manteve constante por alguns segundos.
Nessa altura, registou-se o seguinte:
31.1 Sabendoque velocidade = , determina a velocidadeatingida pelo avião.
31.2 Se o avião mantivesse a mesma velocidade durante três minutos, quantos quilómetros percor-
reria?
31.3 Mantendoavelocidadeconstante,quantotempo,emhoras,demorariaoaviãoapercorrer4500km?
31.4 Técnicos especializados, que estudavam a hipótese de melhorar a descolagem do avião, regis-
taram as diferentes alturas a que o avião se encontrava,t segundos após ter iniciado o seu mo-
vimento. Alguns desses registos encontram-se na tabela seguinte.
Seja A a função que ao tempo, t
, decorrido desde o instante em que o avião iniciou as manobras
necessárias à descolagem, faz corresponder a altura do avião.
a) Completa as expressões seguintes, indicando o seu significado no contexto da situação.
i. A(20) = ___________
Significado: ________________________________________________________________
ii. A(___________) = 1000
Significado: ________________________________________________________________
b) Comenta a afirmação: “A função A é uma função de proporcionalidade direta”.
distância
tempo
f – Tempo decorrido (segundos) 0
d – Distância percorrida (metros) 0
2
1056
4
2112
6
3168
Tempo decorrido (segundos) 0
Altura do avião (metros) 0
10
0
20
100
40
1000

32
Praticar
Unidade 2 Funções
32 O tempo que um modem leva a transferir um ficheiro via internet depende do tamanho do ficheiro e da
velocidadedetransferência do modem. A tabela seguinte indica o tempo que o modem da Bárbara de-
mora a transferir alguns ficheiros.
33 Considera um polígono regular cujo lado tem 3,4 cm de comprimento e cujo perímetro é 20,4 cm.
33.1 De que polígono regular se trata?
33.2 Escreveuma expressãoalgébrica querepresentea funçãoque a cada valor docomprimentodo
lado associa o perímetro deste polígono regular.
33.3 Representa graficamenteessa função.
32.1 Calculaavelocidadedetransferênciado modem,emkBporsegundo(kB/s).Explicaoteuraciocínio.
32.2 Quantos segundos demora o modem da Bárbara a transferir um ficheiro de 1000 kB? Apresenta
todososcálculosqueefetuareseexplica a tua resposta. Indica oresultadocom uma casa decimal.
32.3 Cada 1024 bytes correspondem a 1 kB (Kilobyte), mas, normalmente, toma-se um valor apro-
ximado, considerando1 kB =1000 bytes, eestabelecem-seasseguintesequivalênciasentreas
diversasunidadesdemedida:
Tendoem conta as equivalênciasda tabela, assinala a igualdadeverdadeira.
[A] 1 kB = 106 bytes [B] 1 MB = 106 bytes
[C] 1 GB = 106 bytes [D] 1 byte = 106 MB
t – Tempo (segundos) 2,5
f – Tamanho (em kB) 72
100
288
25
720
60
1728
105
3024
Gigabyte (GB)
0,001
Megabyte (MB)
1
Kilobyte (kB)
1000
Byte (B)
1 000 000
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – A

33
33.4 Observa agora o gráfico no qual estão representadas as relações
entreocomprimentodoladoe operímetrodequatropolígonosre-
gulares.
a) Indica a que polígono regular corresponde cada uma das fun-
çõesrepresentadasgraficamentena figura.
b) Indica uma expressão algébrica que represente cada uma das
funçõesde proporcionalidadedireta representadas.
c) Indica a constante de proporcionalidade referente a cada uma das quatro situações.
d) À medida que o valor da constante de proporcionalidade aumenta o que acontece ao gráfico
de uma função do tipo y = k
x?
Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Sequências e Funções
0
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5
d
() c() b() a()
34 Um táxi A cobra 2 € de bandeirada e 0,78 € por quilómetro percorrido. Um táxi B não cobra bandeirada
mas cobra 1,1 € por quilómetro percorrido.
34.1 Quanto paga um consumidor que faça uma viagem de 20 km no táxi A? Explica o teu raciocínio.
34.2 O dono do táxi B pretende colar uma tabela informativa dos preços que pratica, no vidro do seu
táxi. Essa tabela está representada de seguida. Completa-a.
34.3 OcarrodoRui avariou. Para sedeslocar para oemprego, oRuitem dechamar um táxi. Qual dos
dois táxis deve chamar? Justifica a tua resposta.
Número de quilómetros percorridos 1
Preço a pagar (€) 1,1
2
11 49,5

1 Qual das seguintes correspondências não define uma função?
[A] [B] [C] [D]
2 Observa a representação gráfica da função g.
2.1 Indica o domínio e o contradomínio da função g.
2.2 Qual a imagem, por g, do objeto –1?
2.3 Qual é o objeto que, por g, tem imagem 2?
2.4 Completa as seguintes expressões:
a) g(3) = _______ b) g(_______) = 1
3 Numapapelariatodososartigos escolaresestãoempromoção.Aquantiaa pagarporcadaartigomar-
cado originalmente com o preço v, em euros, é dada, também em euros, pela expressão C(v
) = 0,85v
.
3.1 Seum determinadoartigoestiver marcadocom opreçode4,5€elhefor aplicadoo desconto,
qual é o preço a pagar?
3.2 Podemos afirmar que o preço a pagar, C(v
), e o preço de marcado, v
, são grandezas direta-
menteproporcionais?Justifica.
3.3 Qual é a percentagem de desconto aplicada a cada artigo?
3.4 Comentaaafirmação:“Odescontoe opreçomarcadosãograndezasdiretamenteproporcionais”.
34
Testar
Unidade 2 Funções
y
x
y
x
y
x
y
x
0
1
2
–1
0 1 2 3
–1
–2
y
x

35
4 A Sofia é veterinária e vai estagiar, durante sete dias, na clínica Miau-Miau. No gráfico seguinte pode
observar-seacorrespondênciaentreotempode trabalho,emhoras,eaquantiaareceberpelaSofia,
em euros.
4.1 Que valor recebe a Sofia por cada hora de trabalho?
4.2 Se a Sofia, num determinado dia, trabalhar cinco horas, quanto receberá nesse dia?
4.3 A Sofia, depois de combinar com o gerente da clínica o seu horário de trabalho, fez uns cál-
culos e verificou que, pelos sete dias em que vai estagiar na referida clínica, receberá um total
de 315 €. Em média, quantas horas por dia trabalhará a Sofia?
4.4 Comenta a afirmação: “A quantia a receber pela Sofia édiretamenteproporcional ao número
de horas que trabalhará”.
5 OÁlvarotem oseuioiôna mãoelança-o. Quandoo lança pela terceira vez, ofioquebra-seeoioiôcai
no chão.
5.1 Indica qual o gráfico que pode representar a variação da altura do ioiô, em relação ao chão,
desde o momento em que o Álvaro o lança pela primeira vez, até cair ao chão.
5.2 Explica, numa breve composição, a razão pela qual consideras errado cada um dos outros três
gráficos.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – B
40
    Q
   u
   a
   n
   t
    i
   a
   a
   r
   e
   c
   e
    b
   e
   r
    (
    €
    )
Tempo de trabalho (h)
30
20
10
0 2 4 6 8
y
x
Tempo
Altura
Tempo
Altura
Tempo
Altura
Tempo
Altura
[A] [B]
[C] [D]

36
Resumir
Unidade 3 Sequências e regularidades
Sequências numéricas
Numa sequência numérica, cada número tem o nome de termo, pelo que dois números seguidos dizem-setermos
consecutivos. Cada termo obtém-se a partir da lei de formação da sequência.
11, 21, 31, 41, 51, …
Lei de formação: Com exceção do 1.
o
termo, cada termo obtém-se adicionando
10 unidades ao termo anterior.
Os termos de uma sequência relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressão
algébrica. Essa expressão designa-se por termo geral.
O termo geral de uma sequência é muito útil, pois permite determinar qualquer termo da sequência, desde que
se conheça a sua ordem. O termo geral também permite veriﬁcar se um número é, ou não, termo da sequência.
11, 21, 31, 41, 51, … → Termo geral: 10n + 1
Modos distintos de analisar a sequência podem conduzir a expressões diferentes para a representação do termo
geral. Essas expressões são equivalentes, ou seja, são expressões que, depois de simpliﬁcadas, são iguais.
11, 21, 31, 41, 51, …
11 + (n – 1) ¥ 10 = 11 + 10n – 10 = 10n + 1 → 11 + (n – 1) ¥ 10 é equivalente a 10n + 1.
1.
o termo
ou
termo de
ordem 1
2.
o termo
ou
termo de
ordem 2
3.
o termo
ou
termo de
ordem 3
4.
o termo
ou
termo de
ordem 4
5.
o termo
ou
termo de
ordem 5
Termo geral:
10n + 1
Termo geral:
11 + (n – 1) ¥ 10
…

37
Gráfico de uma sequência numérica
O gráfico de uma sequência numérica é constituído pelo conjunto dos pares ordenados (a, b), em que a é a ordem
do termo e b é o próprio termo da sequência.
(a, b)
Sucessões
Uma sequência numérica infinita diz-se uma sucessão.
Assim, uma sucessão é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.
3
1.
o
termo
u1
5
2.
o
termo
u2
7
3.
o
termo
u3
9
4.
o
termo
u4
11
5.
o
termo
u5
13
6.
o
termo
u6
15
7.
o
termo
u7
Ordem
do termo
17
8.
o
termo
u8
Termo
…
Estes pares ordenados de números podem ser representados num referencial cartesiano, obtendo-se assim a
representação gráfica da sequência.
Repara que, da definição de gráfico, a representação gráfica é um conjunto de pontos isolados, como na repre-
sentação da figura, correspondente à sequência de termo geral 2n + 1.

38
Praticar
1 Considera asseguintessequênciasnuméricase supõe que se mantém a regularidade entre termoscon-
secutivos.
Sequência 1: 7, 14, 21, 28, …
Sequência 2: 11, 8, 5, 2, …
Sequência 3: , , , , …
1.1 Indica os próximos três termos de cada uma das sequências.
Sequência 1: _________________________
Sequência 2: _________________________
Sequência 3: _________________________
1.2 Indica o termo de ordem 100 de cada uma das sequências. Explica o teu raciocínio.
Sequência 1: _________________________
Sequência 2: _________________________
Sequência 3: _________________________
1.3 Indica um possível termo geral para cada uma das sequências.
Sequência 1: _________________________
Sequência 2: _________________________
Sequência 3: _________________________
5
9
4
7
3
5
2
3
2 O termo geral de uma sequência finita é 3n + 2. O último termo dessa sequência é 17. Quantos termos
tem a sequência?
3 Considera a sucessão (an) de termo geral an = 4n – 1.
3.1 Determina os quatro primeiros termos da sucessão e repre-
senta-os graficamente.
3.2 Determina o décimo quinto termo da sucessão.
3.3 Verifica se 78 é termo da sucessão. Explica o teu raciocínio.

39
5 Observa a sequência de figuras.
Cada uma das figuras apresentadas é formada por triângulos equiláteros com 1 unidade de medida de
comprimento de lado.
5.1 Quantos triângulos equiláteros são necessários para formar uma figura com 20 unidades de pe-
rímetro? Explica o teu raciocínio.
5.2 Descobre uma regra que permita determinar o perímetro de uma qualquer figura desta sequência.
4 Considera as sucessões, cujos termos gerais são:
an = 3n + 6
bn =
cn = n2 + 1
4.1 Para cada uma das sucessões, determina, a partir do seu termo geral, os cinco primeiros termos.
an: _________________________________________________________________
bn: _________________________________________________________________
cn: _________________________________________________________________
4.2 Considera, agora, apenas a sucessão (an). Verifica se os números 22, 31, 144, 186 e 211 são ter-
mos da sucessão e, caso o sejam, indica a ordem que corresponde a cada um. Apresenta todos
os cálculos ou esquemas que efetuares.
n
n + 1
Figura 1 Figura 2 Figura 3
6 Considera as seguintes sequências.
I. 4, 9, 14, 19, ...
II. 19, 15, 11, 7, ...
6.1 Para cada uma delas, indica:
a) o primeiro termo;
b) o vigésimo termo;
c) o termo de ordem n.
6.2 Considera, agora, a sequência em que cada termo resulta da soma dos termos de igual ordem
das duas sequências da alínea anterior. Determina o termo de ordem n desta nova sequência.

7.1 Representa as figuras 4 e 5 desta sequência e indica o número de palitos que as constituem.
7.2 Por quantos palitos é formada a 40.
a figura? Explica o teu raciocínio.
7.3 Descobre uma regra que permita determinar o número de palitos de uma qualquer figura.
7.4 Para construir uma figura desta sequência foram necessários 122 palitos. Qual é o número da
figura? Explica o teu raciocínio.
7.5 Considera agora os retângulos que limitam as figuras da sequência anterior.
40
Praticar
A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.
1 2 3
Número da figura
7 12 17
Número de palitos
Descobre uma regra que permita determinar a área de cada um desses retângulos. (considera
1 palito como unidade de medida de comprimento).
7.6 Calcula a área do retângulo que limita a figura 19.

41
8 Considera as três primeiras figuras de uma sequência.
8.1 Completa a tabela.
8.2 Descreve o padrão que observas.
8.3 Considera a sucessão (an) do número de pontos de cada figura.
a) Determina o termo geral da sucessão.
b) Calcula a5 e interpreta o resultado no contexto do problema.
c) Determina o número de pontos da figura 5.
d) Existirá alguma figura com 90 pontos? Justifica a tua resposta.
8.4 Determina o termo geral da sucessão (bn) do número de segmentos de ligação de uma figura de
qualquer ordem.
A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.
1 2 3
Número da figura
5 8 11
4 5
Número de pontos
5 9 13
Número de segmentos de ligação
9.1 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados brancos de uma figura
de qualquer ordem.
9.2 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados amarelos de uma fi-
gura de qualquer ordem.
9.3 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados total de uma figura de
qualquer ordem.
Figura 4
Figura 3
Figura 2
Figura 1

42
Praticar
10 Durante as férias de Natal, a Catarina foi a Barcelona. Uma
das zonas que visitou foi a Praça de Espanha, onde se en-
contram duas magníficas torres. Tal como a figura sugere,
as torres da Praça de Espanha têm a forma de uma pirâ-
mide quadrangular no topo de um prisma quadrangular, for-
mando uma torre de quatro lados.
De seguida apresenta-se um modelo das referidas torres.
10.1 O modelo apresentado respeita a Fórmula de Euler? (Fórmula de Euler: Vértices + Faces = Arestas + 2)
10.2 Determina o número de vértices, arestas e faces de um modelo de uma torre de 5 lados.
10.3 Descobre uma expressão que permita calcular:
a) o número de vértices do modelo de uma torre com n lados;
b) o número de arestas do modelo de uma torre com n lados;
c) o número de faces do modelo de uma torre com n lados.
10.4 Averigua se a Fórmula de Euler se verifica no modelo de uma torre de n lados.
11 O irmão do João pintou a seguinte sequência de desenhos em papel quadriculado.
Quantas quadrículas pintadas tem o décimo desenho? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Olimpíadas Portuguesas da Matemática – Pré-Olimpíadas
…
Barcelona

43
12 O Superchocolate é uma caixa de doces constituída por chocolates e caramelos. As caixas são organi-
zadas da seguinte forma: cada caramelo é colocado no centro de cada conjunto de quatro chocolates,
tal como sugere a figura seguinte.
As dimensões de cada uma das caixas dizem-nos o número de colunas e de linhas de chocolates que cada
caixa possui.
Descreve um método para encontrar o número de caramelos de qualquer caixa, conhecidas as suas di-
mensões. Exemplifica e justifica o teu método através de palavras, diagramas ou expressões.
Adaptado de Principles and Standards, NCTM , 2000
2 2 2 4
3 5
13 De regresso ao Colégio, depois das férias do Natal, todos os colegas de turma da Margarida se cumpri-
mentaram com um abraço. Cada um cumprimentou cada colega uma só vez. A tabela seguinte esque-
matiza parte da situação descrita.
Número de
colegas
2
3
4
5
Esquema
Número de
abraços
1
3
6
13.1 Completa a tabela anterior.
13.2 Observa com atenção o esquema constituído por quatro colegas. Quantos abraços deu cada
colega? E no esquema constituído por cinco colegas?
13.3 Quantos abraços se tinham dado, no momento em que se encontravam na sala 10 meninos? Ex-
plica o teu raciocínio.
13.4 Escreve uma expressão algébrica que permita determinar o número de abraços dados por um
qualquer número de colegas.
13.5 Quantos colegas tem a Margarida na sua turma, sabendo que, no total, foram dados 55 abraços?

1 Observa as sequências e supõe que se mantém a regularidade entre termos consecutivos.
I. 26, 24, 22, 20, …
II. , , , , …
1.1 Indica os próximos três termos de cada uma das sequências.
I.
II.
1.2 Indica um possível termo geral para cada uma das sequências.
I.
II.
2 Considera uma sequência em que o primeiro termo é 126. Sabendo que a lei de formação dos res-
tantes termos da referida sequência é subtrair seis ao termo anterior e dividir por três, determina o
seu quarto termo. Explica o teu raciocínio através de palavras, cálculos ou diagramas.
3 Considera a seguinte sequência de pontuações obtidas pela Joana nas primeiras seis vezes em que
jogou um determinado jogo: 65, 35, 25, 20, 17, 15.
3.1 Veriﬁca se alguma das expressões seguintes permite gerar esta sequência de números.
[A] 95 – 30n [B] [C] 55 – 10n [D] 5 +
3.2 Admitindo que a sequência foi gerada por uma das expressões indicadas na alínea anterior e
se a Joana continuasse a jogar e as pontuações continuassem a seguir este mesmo modelo,
que pontuação iria obter na 10.
a jogada?
5
25
4
16
3
9
2
4
60
n
5n + 60
2n – 1
44
Testar

45
4 Considera as sequências:
Sequência 1: 5n – 3
Sequência 2: + 1
4.1 Para cada uma das anteriores sequências, determina, a partir do seu termo geral, os cinco
primeiros termos.
Sequência 1: _________________________________________________________________
Sequência 2: _________________________________________________________________
4.2 Considera, agora, apenas a sequência 1. Verifica se os números 33, 72 e 222 são termos da se-
quência e, em caso afirmativo, indica a ordem que corresponde cada um. Apresenta todos os
cálculos ou esquemas que efetuares.
5 De seguida apresentam-se as primeiras figuras de uma sequência.
5.1 Encontra o número de pontos da 20.
a figura. Explica o teu raciocínio.
5.2 Escreve uma expressão que permita determinar o número de pontos de uma figura de qual-
quer ordem.
5.3 Para construir uma figura desta sequência foram necessários 128 pontos. Qual é o número da
figura? Explica o teu raciocínio.
1
n

46
Resumir
Unidade 4 Figurasgeométricas
Ângulos internos e externos de um polígono
Cada ângulo externo de um polígono convexo é adjacente a um ângulo
interno e é suplementar de um ângulo interno.
A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo
com n lados é dada pela expressão (n – 2) x 180o
.
A soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é 360o
.
ângulo externo
A
D
C
B
ângulo interno
Quadriláteros
Quadriláteros
Nãotrapézios:
Quadrilátero sem lados paralelos.
Trapézios:
Quadrilátero com lados paralelos.
Retângulo:
Paralelogramo com quatro ângulos retos.
Quadrado:
Paralelogramocomquatroladosgeometricamente
iguais e quatro ângulos retos.
Losango:
Paralelogramocomquatroladosgeometricamente
iguais.
Paralelogramo
obliquângulo:
Paralelogramo sem ângulos retos.
Trapézio
isósceles:
Trapézio em que os lados opostos não paralelos são
geometricamente iguais.
Trapézio
retângulo:
Trapézio em que um dos lados opostos não paralelos
é perpendicular às bases.
Trapézio
escaleno:
Trapézio em que os lados opostos não paralelos não
são geometricamente iguais.
Paralelogramos:
Quadrilátero com dois
pares de lados paralelos.
Trapézio não paralelogramo:
Quadrilátero com um único
par de lados paralelos.
Num paralelogramo:
• os ângulos opostos são geometricamente iguais;
• os ângulos consecutivos são suplementares;
• os lados opostos são geometricamente iguais;
• as diagonais bissetam-se e dividem o paralelogramo em quatro
triângulos geometricamente iguais dois a dois. A
D
B
C
E
a b
c
d

47
Num losango, as diagonais bissetam-se e são perpendiculares.
Num retângulo, as diagonais bissetam-se e são geometricamente iguais.
Num quadrado, as diagonais bissetam-se, são perpendiculares e são geometricamente iguais.
Num trapézio, ângulos adjacentes a um dos lados opostos não paralelos são suplementares.
Num trapézio isósceles, ângulos adjacentes à mesma base são geometricamente iguais e a suas diagonais são
geometricamenteiguais.
Área do paralelogramo = base × altura
Área do papagaio =
Área do trapézio = ¥ h
A
B
D
C
E
A
B
D
C
A D
B C
B C
A D
altura
base
d ¥ D
2
b + B
2
d
– diagonal menor
D – diagonal maior
d
D
h
b
b – base menor
B – base maior
h – altura
B

48
Praticar
1 Desenha três linhas poligonais.
2 Desenha um pentágono e traça as suas diagonais.
3 De entre as seguintes ﬁguras, indica, justiﬁcando, as que são polígonos.
A B C D

49
4 Desenha, na grelha seguinte, um:
4.1 quadrado;
4.2 retângulo não quadrado;
4.3 trapézio isósceles;
4.4 paralelogramoobliquângulo;
4.5 losango não quadrado;
4.6 trapézio retângulo;
4.7 papagaio;
4.8 quadrilátero não trapézio.
5 Em cada uma das seguintes alíneas, estão representados dois dos lados dos quadriláteros referidos.
Desenha os dois lados em falta.
5.1 Retângulo 5.2 Losango 5.3 Paralelogramo obliquângulo 5.4 Quadrado

6 Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x.
6.1
7 Determina o perímetro e a área do seguinte paralelogramo.
50
Praticar
6.2
6.3 6.4
6.5 6.6
8 Completa o esquema, utilizando os termos trapézio, papagaio, paralelogramo, quadrado e losango.

51
11 Na figura seguinte está representado um losango.
11.1 Indica a amplitude do:
a) ∠a;
b) ∠b;
c) ∠q;
d) ∠e.
11.2 Sabendo que O
–
A = 3 cm, indica o comprimento de [ AC]. Explica o teu raciocínio.
9 Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
[A] Todos os losangos são papagaios. [B] Todos os papagaios são losangos.
[C] Todos os retângulos são quadrados. [D] Todos os losangos são quadrados.
10 Na figura estão representados dois pontos, A e B.
10.1 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que
A e B sejam dois dos seus vértices?
10.2 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que
A e B sejam dois vértices consecutivos?
10.3 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que o segmento de reta AB seja uma das suas
diagonais?
B
A
D C
A B
O
α
β
ε
θ
27o
12 De entre os quadriláteros seguintes, apenas um não é sempre um paralelogramo. Assinala-o.
[A] Quadrado [B] Retângulo
[C] Losango [D] Papagaio

52
Praticar
13 Na figura está representado o triângulo [ ABC] eo
trapézio retângulo [ ABDE
].
13.1 Determina a amplitude do ∠ε . Explica o
teu raciocínio.
13.2 Classifica o triângulo [ ABC] quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos
seus lados.
B D
A E
C 60o
150o
45o
14 Considera o segmento de reta [ AB], representado de seguida.
Sabe-se que [
AB
] é um dos lados de um paralelogramo obliquângulo com 21 cm
2
de área.
14.1 Desenha, na figura, o paralelogramo referido.
14.2 Será que a tua resposta é única? Justifica.
A B
1 cm2
15 Apenas uma das afirmações seguintes é falsa. Assinala-a.
[A] Todos os quadrados são paralelogramos. [B] Todos os triângulos são polígonos.
[C] Todos os trapézios são retângulos. [D] Todos os retângulos são paralelogramos.
16 Uitlizando os triângulos [ ABC] e [DEF
], construiu-se um papagaio, como o que podes observar na figura
seguinte.
Que outros quadriláteros é possível construir, utilizando os mesmos dois triângulos retângulos?
B
A
C
D F
E

53
17 Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos α e β
. Explica o teu raciocínio.
17.1
18.1 Prova que A, B e C podem ser vértices consecutivos de um losango.
18.2 Utilizando material de desenho, assinala na figura o quarto vértice do losango referido na alínea
anterior.
18 Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro A.
17.2
B
A
C
30o
150o
99o
51o
42o
66o
50o
A
C
B
D
17.3 A C
B
E
60o
31o
D
A
B
C
19 Na figura ao lado pode observar-se o triângulo [ AGF ] e o
quadrado [ ABCD].
19.1 Provaque ∠
AGF e ∠DCF são geometricamente iguais.
19.2 Determinaaamplitudedo ∠β
.Explicaoteuraciocínio.
19.3 Classifica o triângulo [ AGF
] quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos
seus lados. Justifica.
A
C
B
F
29o
D
G

54
Praticar
20 As diagonais de um paralelogramo [ ABCD] intersetam-se no ponto X
. Sabe-se que BX
ˆ A = 90o
.
20.1 O Filipe acha que [ ABCD] é um quadrado. A Catarina não concorda e afirma que, com as infor-
mações fornecidas, apenas se pode garantir que [ ABCD] é um losango. Qual dos dois achas que
tem razão? Justifica a tua opinião.
20.2 Sabendo que BD
ˆ A = 60o
, determina a amplitude do ∠ XCD. Explica o teu raciocínio.
(Sugestão: começa por fazer um esboço do paralelogramo.)
21 Na figura está representado um triângulo equilátero[ ABC]. Determina a
amplitude do ângulo x. Explica o teu raciocínio.
84o
B
A
C
x
22 Na figura, [ ABCD] é um retângulo.
22.1 Classifica o triângulo [ AED] quanto à amplitude dos seus ângulos
e quanto ao comprimento dos seus lados. Explica o teu raciocínio.
22.2 Determina a área do trapézio [ ADCE ], sabendo que A
   –
D = 4 cm,
D
   –
C = 2 cm e E
   –
C = 3 cm.
A
B C
D
51o
63o
E
23 Num teste de Matemática, era pedido aos alunos que riscassem, de entre os quadriláteros apresenta-
dos, os que nãoverificavam determinada característica. De seguida, apresenta-se a resposta da Sandra
a esta questão.
Sabendo que a resposta da Sandra está correta, formula uma possível questão para o teste. Explica o
teu raciocínio.

25 A figura ao lado é composta por dois paralelogramos obli-
quângulos, [
ABCD] e [BCFE
].
Tendo em conta os comprimentos assinalados, determina a
área da figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
3 cm
5 cm
A D E F
B C
2,5 cm
55
24 Um agrimensor romano (cerca de 180 d. C.) usou triângulos geometrica-
mente iguais para determinar a largura de um rio numa zona do seu leito.
Começou por traçar uma reta AB ao longo da margem onde se encontrava.
Num ponto C tirou uma perpendicular CG a AB. Colocou uma estaca no ponto
E
, ponto médio de [ AC]. De A fixou um ponto F na outra margem, sendo AF
perpendicular a AC. Finalmente, descobriu um ponto D a partir do qual ob-
servou os pontos E e F de modo que D, E e F estivessem sobre a mesma reta.
24.1 O agrimensor concluiu que os triângulos [ECD] e [EAF
] são geome-
tricamente iguais. Esta conclusão é correta? Porquê?
24.2 A afirmação “A largura do rio na zona do ponto A é igual ao comprimento do segmento de reta CD”
é verdadeira ou falsa? Justifica.
Adaptado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulosequadriláteros
B
E
A
F
C D G
Rio
26 Considera o losango [ ABCD], representado de seguida. Sabe-se que
A
–
C = 3 cm e B
–
D = 5 cm.
26.1 Sabendo que I e J são os pontos médios dos lados [ AB] e [BC],
respetivamente, determina a amplitude do ângulo ε . Explica o
teu raciocínio.
26.2 Determina a área do losango [ ABCD].
26.3 Determina a área do trapézio [ AIJC].
A C
D
B
I J
67o

56
Praticar
Determina a área da figura colorida a verde. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Sabe-se que:
• [
ABCD] é um retângulo;
• [EFGD] é um paralelogramo obliquângulo;
• [HKJI
] é um paralelogramo obliquângulo.
A
9 cm
6 cm
1 cm
D
E
F
H
K
G
I
J
B C
1 cm
28 Na figura 1 está representado o quadrilátero [ ABCD] e, na figura 2, uma sua decomposição em dois
triângulos e um quadrilátero.
Determina a amplitude dos ângulos α , β , ε e δ . Explica o teu raciocínio.
A
D
C
B
27o
28o
18o
42o
79o
139o
Figura 1 Figura 2
29 Prova que a área de um papagaio, em unidades quadradas, é igual ao semiproduto das diagonais per-
correndo os seguintes passos:
1. Considera um papagaio [
ABCD] em que A
   –
B = A
   –
D e B
   –
C = C
   –
D.
Designando o ponto de interseção das diagonais por E
, es-
creve uma expressão que permita determinar a área de cada
um dos triângulos [
ACD] e [
ACB].
2. Completa as seguintes igualdades com medidas de compri-
mento de segmentos de reta:
A[
ACD] + A[
ACB] = + = =
___ ¥ E
   –
D
2
___ ¥ E
   –
B
2
___ ¥ (E
   –
D + E
   –
B)
2
___ ¥ ___
2
D
B
A
E
C

57
30 Na figura estão representadas duas circunferências com o
mesmo raio, uma de centro A e outra de centro B.
30.1 Prova que [
AEBF
] é um losango.
30.2 Classifica o triângulo [
AEB] quanto ao comprimento
dos seus lados.
A B
E
F
31 A e B são dois pontos situados em duas ilhotas fluviais. Pre-
tende determinar-se a distância entre A e B. Fixa-se uma es-
taca em terra num certo ponto C colinear com A e B, à nossa
escolha. Fixa-se outra estaca em D de modo que AC ⊥ CD.
Toma-se o ponto médio do segmento de reta [CD], que se de-
signa por E
. Traça-se uma reta r perpendicular a CD e que
passa por D. Finalmente, marcam-se os pontos G e F que re-
sultam da interseção das retas BE e AE com a reta r
, respeti-
vamente. Então, [GF
] representa a distância entre as ilhotas.
Porquê?
Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulosequadriláteros
Rio
A
B
D
G
F
r
C
E
32 Dois quadrados, [
ABCD] e [EFGH ], sobrepõem-se tal como
mostra a figura ao lado.
Sabendo que um dos vértices do quadrado maior, E
, coincide
com o centro do quadrado menor, prova que a área do polígono
[IEJC] é a quarta parte da área do quadrado menor.
Sugestão: Percorre as seguintes etapas.
• Traça as diagonais do quadrado menor.
• Prova que os triângulos [EIC] e [EJD] são geometricamente
iguais.
• Utiliza a prova anterior para justificar que a área do polígono
[IEJC] é a quarta parte da área do quadrado menor.
A
D
E
B
C
I
F
G
H
J

1 Observa os quadriláteros.
Indica, pelo número correspondente:
1.1 os trapézios não paralelogramos;
1.2 os paralelogramos;
1.3 os retângulos;
1.4 os quadrados;
1.5 os losangos não quadrados.
2 Na ﬁgura seguinte estão representados os triângulos [ ABC] e [BED]. Sabe-se que A, B e E estão ali-
nhados, que A
   –
C = B
   –
D e que C
   –
B = D
   –
E
.
2.1 Prova que os triângulos [
ABC] e [BED] são geometricamente iguais.
2.2 Determina a amplitude do ângulo ε . Explica o teu raciocínio.
1
2
3 4 5
6
7
12
11
10
9
8
45o
45o
108o
27o
A B E
C D
58
Testar

59
Determina a amplitude dos ângulos α e β
. Explica
o teu raciocínio.
4 Considera um paralelogramo [
ABCD], tal que as diagonais [ AC] e [BD] têm o mesmo comprimento.
4.1 Justifica que os triângulos [
ACD] e [BCD] são geometricamente iguais.
4.2 Justifica que os ângulos ∠
ADC e ∠BCD são geometricamente iguais.
4.3 Sabendo que dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares e que os ân-
gulos opostos são geometricamente iguais, verifica que o paralelogramo [ ABCD] é um retângulo.
5 Qual das seguintes afirmações é falsa?
[A] Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
[B] Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
[C] Num paralelogramo, as diagonais bissetam-se.
[D] Num paralelogramo, as diagonais são sempre congruentes.
6 Justifica que os quadrados são os paralelogramos que têm as diagonais perpendiculares e iguais.
7 Pretende calcular-se a distância entre duas árvores situadas à beira
de um lago nos pontos A e B. Para tal, colocou-se uma estaca num
ponto C e outra num ponto D de modo que os pontos B, C e D estão
sobre a mesma reta e C
   –
D = B
   –
C. Colocou-se uma outra estaca em E
tal que A, C e E também estão sobre uma mesma reta e A
   –
C = C
   –
E
.
Com esta construção, é possível concluir que a distância entre as
árvores é igual ao comprimento do segmento de reta [DE
]?Justifica
a tua resposta.
Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulosequadriláteros
C
A
B
E
D
110o
51
o
28o
A
B
D
C
F

60
Resumir
Unidade 5 Tratamento de dados
Estatística
A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados.
Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de população. Quando
se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recenseamento (ou censo).
Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acontece, escolhe-se
uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados referentes a uma amostra da
população trata-se uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatístico podem resultar
conclusões válidas para toda a população.
Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequências. A frequência absoluta é o número de
vezes que se observa um determinado acontecimento. A frequência relativa é o valor que se obtém dividindo a
frequência absoluta pelo número total de observações.
Depois de organizados, os dados recolhidos podem ser representados por um gráfico.
Exemplos:
1. Gráficocircular
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Profissões desejadas pelos alunos
Número
de alunos
Profissões
Astronauta Professor Comerciante Futebolista
Médico
Consumo de água
Higiene pessoal
Autoclismo
Comida e bebida
Roupa
Outros
12,50%
18,75%
6,25%
43,75%
2. Gráfico de barras

Medidas de localização
Média de um conjunto de dados
A média de um conjunto de dados, que se representa por –
x, é o valor que se obtém dividindo a soma dos va-
lores observados pelo número total de observações.
61
Exemplo:
Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.
–
x = = 7,5
Mediana de um conjunto de dados
Depois de ordenado o conjunto de dados, podem veriﬁcar-se duas situações:
• se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me) é o valor central desse conjunto de dados;
• se o número de dados do conjunto for par, a mediana (Me) é a média dos dois valores centrais do conjunto
de dados.
Exemplos:
1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8. 2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.
Mediana: Mediana:
4 5 6 8 8 12 4 5 6 8 10 12
Me = 7 Me = = 7,5
5 + 6 + 4 + 8 + 12 + 7 + 8 + 10
8
7 + 8
2
7 8
7
7
6
5
4
3
2
1
0
Crescimento demográfico nas últimas décadas
População
(mil milhões)
Anos
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
5
6
7
8
9
1
6
6
2
0
8
4
3
6
3
3
8
9
1
9
7
3
6
6
6
7
1
4
3
caule folhas
3. Gráﬁco de linha
4. Diagrama decaule-e-folhas

62
Praticar
1 Os carboidratos são um composto orgânico indispensável para o metabolismo energético. A tabela se-
guinte resultou de um estudo estatístico e revela a quantidade de carboidratos existente em determi-
nadas marcas de cereais.
1.1 Determina o número de marcas de cereais que foram alvo do estudo estatístico.
1.2 Com os dados da tabela, constrói um diagrama de caule-e-folhas.
1.3 Quantasmarcasdecereaistêmmaisde33gramasdecarboidratosnaconstituiçãodos seuscereais?
1.4 Qual éa percentagem demarcasdecereaisquetêm, nomáximo, 21 gramasdecarboidratosna
constituição dos seus cereais?
1.5 Qual é a percentagem de marcas de cereais que têm entre 21 e 33 gramas de carboidratos na
constituição dos seus cereais?
16
37
41
43
15
18
37
32
39
35
31
20
41
22
37
15
37
28
16
33
17
27
17
27
26
Carboidratos existentes em diferentes marcas de cereais (gramas)

63
2 Determina a mediana de cada um dos seguintes conjuntos de valores.
2.1 2, 7, 3, 3, 5, 6, 2, 2, 7, 3, 4, 2.
2.2 6, 3, 2, 6, 6, 2, 4, 5, 8, 4.
3 A família da Patrícia reuniu-se na noite de consoada para celebrar o Natal. Pais, tios, avós, primos e ir-
mãos encontram nesta festividade um momento raro de confraternização.
De seguida apresentam-se as idades dos familiares da Patrícia.
10 76 12 68 12 37 25 22 16 34 20 33 35
3.1 Constrói um diagrama de caule-e-folhas.
3.2 Determina a média, a mediana e a moda das idades dos familiares da Patrícia.
3.3 Qual das medidas de localização referidas na alínea anterior é a mais adequada para represen-
tar o conjunto de dados? Explica o teu raciocínio.
3.4 Indica a percentagem de familiares da Patrícia que têm, pelo menos, 25 anos de idade. Explica
o teu raciocínio.
3.5 O Dinis, primo da Patrícia, apenas se pôde juntar à família depois da consoada. Sabendo que,
com a sua chegada, a média de idades mudou para 30 anos, determina a idade do Dinis. Explica
o teu raciocínio.

64
Praticar
4 O casal Silva tem quatro filhos, dos quais três são raparigas. As idades, em anos, das raparigas são 18,
8 e 4 e a do rapaz é 10.
Qual é a mediana das idades dos quatro filhos do casal Silva?
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 9.
o
ano, 12/04/2013
5 As tabelas seguintes mostram os sucessivos Presidentes da República Portuguesa, desde a sua im-
plantação, e o período de tempo durante o qual presidiram a esse cargo.
5.1 Indica osPresidentesqueestiveram durantemaise menostempona Presidênciada República.
5.2 Consegues detetar algum período bastante conturbado da vida política portuguesa? Justifica.
(a) Cavaco Silva iniciou o seu mandato a 09/03/2006. Nesta contagem do tempo considerámos as datas 09/03/2006 a 09/02/2010.
(b) Inclui os dois mandatos de Bernardino Machado.
2006 – Cavaco Silva
1996-2006 – Jorge Sampaio
1986-1996 – Mário Soares
1976-1986 – Ramalho Eanes
1974-1976 – Costa Gomes
1974-1974 – António Spínola
1958-1974 – Américo Tomas
1951-1958 – Craveiro Lopes
1926-1951 – ÓscarCarmona
1926-1926 – Gomes da Costa
1926-1926 – Mendes Cabeçadas
1925-1926 – Bernardino Machado
1923-1925 – Teixeira Gomes
1919-1923 – António José de Almeida
1918-1919 – Canto e Castro
1917-1918 – Sidónio Pais
1915-1915 – Bernardino Machado
1915-1915 – Teófilo Braga
1911-1915 – Manuel de Arriaga
Presidentes
CavacoSilva
Jorge Sampaio
Mário Soares
Ramalho Eanes
Costa Gomes
António Spínola
AméricoTomas
Craveiro Lopes
Óscar Carmona
Gomes da Costa
Mendes Cabeçadas
TeixeiraGomes
António José de Almeida
Canto e Castro
Sidónio Pais
Bernardino Machado
TeófiloBraga
Manuel de Arriaga
47(a)
120
120
115,8
21,4
4,2
188,5
84
297,3
0,4
0,6
26,2
48
9,6
11,7
31,7(b)
4,2
45,2
Presidentes
Tempo
(aproximado em meses)

65
0
Número de mensagens
Número
dealunos
Número de mensagens que os colegas
do Sérgio enviaram num dia
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6.1 Organiza os dados numa tabela de frequências absolutas e relativas.
6.2 Quantos colegas tem o Sérgio na sua turma?
6.3 Indica a percentagem de colegas do Sérgio que enviou mais de cinco mensagens nesse dia.
6.4 Determina a média e mediana do conjunto de dados.
6 O Sérgio realizou um inquérito para saber o número de mensagens escritas que os colegas de turma en-
viaram num determinado dia. Os resultados que obteve estão representados no gráﬁco de barras se-
guinte.

7.1 Qual foi o gráfico apresentado pelo governo? E qual foi usado pela oposição?
7.2 Para defenderem as suas posições, tanto o governo como os diferentes partidos da oposição fi-
zeram usodeoutras ferramentasestatísticas. Tendoem conta asmedidasestatísticasqueco-
nheces, indica as que terão sido utilizadas pelo governo e as que terão sido utilizadas pela
oposição. Explica a tua escolha.
Adaptado de Brochura de Apoio ao NPMEB – OTD
66
Praticar
7 Os gráficos seguintes mostram a mesma informação. No entanto, apresentam uma imagem diferente.
Supõe que um desses gráficos foi apresentado pelo governo de um determinado país e o outro pela opo-
sição.
Gráfico I Gráfico II
8 Considera o conjunto de dados seguinte.
2 8 9 8 3 4 a 7
Sabendo que a mediana é 6, qual é o valor de a?
250
200
150
100
60
0
Anos
Desemprego entre 2000 e 2003
   N
    ú
   m
   e
   r
   o
   s
   d
   e
   d
   e
   s
   e
   m
   p
   r
   e
   g
   a
   d
   o
   s
    (
   e
   m

   m
   i
   l
   h
   a
   r
   e
   s
    )
2000 2001 2002 2003 2004
230
220
210
200
190
180
170
160
150
Anos
Desemprego entre 2000 e 2003
   N
    ú
   m
   e
   r
   o
   s
   d
   e
   d
   e
   s
   e
   m
   p
   r
   e
   g
   a
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   s
    (
   e
   m

   m
   i
   l
   h
   a
   r
   e
   s
    )
2000 2001 2002 2003 2004

67
9 Oqueijo,provenientedoleite,éum alimentoricoemcálcio.Noentanto, énecessárionãoabusar,jáque,
de um modo geral, é um alimento muito calórico e a maior parte das vezes rico em gordura. Na tabela
seguinte apresentam-se, para vários tipos de queijo, a quantidade de gordura e o número de calorias, por
cada 100 gramas.
Considera os dados respeitantes à quantidade de gordura, por cada 100 gramas de queijo.
9.1 Representa essa informação através de um diagrama de caule-e-folhas.
9.2 Como podes observar, as representações anteriores revelam um determinado tipo de enviesa-
mento. Atendendoa estefacto, oquepodesesperar relativamenteaosvaloresda média eda me-
diana? Explica o teu raciocínio. Comprova a tua tese determinando os valores das medidas de
tendência central referidas.
Adaptado de Análise de Dados, Ministério da Educação – DGDIC
Alimento (100 g)
 Queijo Brie
 Queijo Camembert
 Queijo da Ilha
 Queijo da Serra curado
 Queijo da Serra fresco
 Queijo de Azeitão
 Queijo de Évora
 Queijo de Serpa
 Queijode Tomar
 Queijo flamengo 20%
 Queijo flamengo 30%
 Queijo flamengo 45%
 Queijo fresco
 Queijo Gorgonzola
 Queijo Gruyère
 Queijo Parmesão
 Queijo Roquefort
 Queijo Suíço
Gordura (g)
20
23
26
32
27
25
34
26
27
8
14
23
21
37
20
28
32
29
Calorias
263
313
357
385
327
309
412
330
305
185
246
315
265
407
315
401
371
357
 – Alimento com baixo teor em gordura mas podendo ter um elevado
conteúdo em calorias.
 – Alimento intermediário: consumir com moderação.

– Alimento rico em gordura: comer pontualmente ou moderar o seu
consumo.

68
Praticar
10 No ensino profissional, o número de horas semanais na disciplina de Matemática varia de acordo com
os cursos e com os anos de escolaridade.
Numagrupamentodeescolas,registou-seo númerodehorassemanaisna disciplinadeMatemáticade
cada turma do ensino profissional.
Com base nesse registo, elaborou-se o seguinte gráfico.
11 A Ana registouonúmerodepessoasquea sua mãeatendeuna papelaria duranteuma semana eregistou
os dados na tabela seguinte.
Qual é o número médio de horas semanais na disciplina de Matemática das turmas dos cursos do en-
sino profissional deste agrupamento? (Escolhe a opção correta.)
[A] 2,2 [B] 2,3 [C] 22 [D] 23
o ano, 12/04/2013
11.1 Determina a média e a mediana das pessoas atendidas pela mãe da Ana durante essa semana.
11.2 Qual seria a média de pessoas atendidas se na quinta-feira tivesse atendido 40 pessoas? E a
mediana? Mostra como chegaste à tua resposta.
30
Segunda-feira
24
Terça-feira
31
Quarta-feira
28
Quinta-feira
42
Sexta-feira
21
Sábado
1 1,5 2 2,5 3
4
10
13
8
15
Número de horas semanais
Número de turmas
Número de horas semanais de Matemática

69
12 Na turma da Marta fizeram um estudo acerca do número de idas ao cinema dos alunos durante o pri-
meiroperíodoeconcluíram quea mediana era quatro. Sabe-sequea turma tem 27 alunos, quea Marta
foi ao cinema só uma vez e a colega Ana foi oito vezes.
12.1 Qual o número mínimo e máximo de alunos que foi ao cinema:
a) mais do que quatro vezes?
b) menos do que quatro vezes?
12.2 Sabendoqueamédiado conjuntodedadosé 3,apresenta,justificando,umpossívelconjuntode
dados correspondente a este estudo.
Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
13 A Helena elaborou a seguinte tabela com o desporto preferido de todos os alunos da sua turma.
13.1 Completa a tabela, sabendo que a turma tem 24 alunos e que 12,5% preferem andebol.
13.2 Com os dados da alínea anterior constrói um gráfico de barras e indica a moda do desporto pre-
ferido dos alunos da turma da Helena.
Desporto
Número de alunos
Andebol
10
Futebol
8
Basquetebol Voleibol
1
Hóquei

1 Na tabela seguinte, estão as classificações dos alunos de uma turma do 10.
o ano na disciplina de Ma-
temática. O número de alunos que tiveram classificação de 10 valores e o número de alunos que ti-
veram classificação de 12 valores estão representados pela letra a.
1.1 Determinaamédiadasclassificaçõesdos alunosquetiveramclassificaçãosuperiora12 va-
lores.
Apresenta os cálculos que efetuaste.
1.2 Admitequeamedianadasclassificaçõesdosalunosdaturma é13valores.Qualéo valorde
a? (Escolhe a opção correta.)
[A] 3 [B] 4 [C] 5 [D] 6
o ano – 29/02/2012
2 Oseguinteconjuntode dadosrepresenta a duração, em horas, da carga da bateria de10 modelosdi-
ferentesdetelemóveis.
400, 360, 270, 440, 220, 180, 190, 270, 300, 240
Determina a média e a mediana do conjunto de dados.
70
Testar
9
Classificações (em valores)
2
10
a
12
a
14
5
15
3
18
2
Número de alunos

71
3 Observa atentamente o gráfico de barras relativo às faltas dos alunos do 7.
o ano, turma A, durante o
mês de setembro.
Determina a mediana do conjunto de dados e o número médio de faltas.
4 A Joana pretende saber o que os alunos da sua escola preferem fazer nos tempos livres. No gráfico
está representado o estudo ilustrativo das respostas dadas por 200 alunos.
4.1 Quantosalunosresponderam jogar computador?Justifica.
4.2 Comenta a afirmação: “A maioria dos alunos prefere andar de bicicleta”.
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Número defaltas
Número de alunos
Faltas no mês de setembro (7.
o
A)
Ocupação preferida nos tempos livres
Ler
Andarbicicleta
Jogar no computador
31% 29%

Dadas duas funções f e g, chama-se equação com uma incógnita x a uma expressão da forma f
( x) = g( x).
Quando as funções f e g que constituem a equação f
( x) = g( x) forem funções afins, a equação designa-se por
equação linear com uma incógnita ou, simplesmente, equação linear.
Uma equação tem sempre duas partes separadas pelo sinal de igualdade (=). Cada uma dessas partes diz-se um
membro da equação: a quefica à esquerda dosinal éo primeiro membro, f ( x
), ea quefica à direita éo segundo
membro, g( x ).
x – 3 = 5 – 2 x
Cada um dosmembrosda equaçãopodeser constituídopor uma ou maisparcelas, quesedesignam por termos
da equação. Os termos que contêm incógnita denominam-se termos com incógnita. Os termos sem incógnita
chamam-se termos independentes.
x – 3 = 5 – 2 x
Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal.
Os valores da incógnita que transformam a equação numa igualdade verdadeira dizem-se as soluções ou raízes
dessa equação. Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes (⇔).
72
Resumir
Unidade 6 Equações
1.
o membro
f
( x)
Termos
com incógnita
( x, –2 x)
Termos
independentes
(–3, 5)

2.
o membro
g( x)

Regra da adição: Se se adicionar (ou subtrair) a ambos os membros da equação um mesmo número, obtém-se
uma equação equivalente à inicial.
Regradamultiplicação: Se se multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um número, diferente
de zero, obtém-se uma equação equivalente à inicial.
a
x = b ⇔ c .a
x = c. b e a
x = b ⇔ x = , em que c é um número diferente de zero.
b
c
a
c
Regra prática da adição: numa equação, podemos mudar um termo de um membro para outro desde que se
lhe troque o sinal: x + a = b ⇔ x = b – a

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