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Caderno 1Caderno 1Caderno 1Caderno 1
1111....1111.... ((((CCCC)))). Nota: como a turma tem 28 alunos (número par), a mediana corresponde à média dos valores das
14.ª e 15.ª idades ordenadas, 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9,
ou seja,
8 9
8,5
2
mediana x
+
= = =ɶ .
1111....2222.... 7 anos. Nota: este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos diferentes.
1º Processo:1º Processo:1º Processo:1º Processo: como os dois novos alunos têm a mesma idade, admitindo que x representa a idade dos
alunos novos temos:
3 7 11 8 14 9 2
8,3 8,3
30
x
x
× + × + × + ×
= ⇔ = 21 88 126 2 249 2 249 235x x⇔ + + + = ⇔ = −
2 14 7x x⇔ = ⇔ = .
2º Processo:2º Processo:2º Processo:2º Processo: como a turma passou a ter 30 alunos e a média das suas idades é de 8,3 concluímos que a
soma das idades dos 30 alunos é 249. Como a soma das idades dos 28 alunos era 235
(3 7 11 8 14 9 235× + × + × = ), a soma das idades dos dois novos alunos é 14. Então, os dois novos alunos
tinham 7 anos.
2222.... 2222....1111.... 2,8dm . Nota:
3
196SólidoV dm= ,
2 2
3 9baseA A dmπ π= = × =⊙ . Deste modo: 196Cilindo ConeV V+ =
1
9 6 9 196
3
hπ π⇔ × + × × = ⇔ ⇔ 54 3 196hπ π+ = ⇔
196 54
3
h
π
π
−
= ⇔ 2,8h dm≃ .
2222....2222.... 2222....2222....1.1.1.1.
2
7m . Nota: pelo Teorema de Pitágoras podemos determinar a altura do triângulo [ ]GHO
2 2 2 2
1,5 5 25 2,25x x+ = ⇔ = − ⇔ 2
22,75x = ⇔ 22,75 22,75x x= ± ⇒ = (comprimento),
deste modo
23 22,75
1,5 22,75 7
2
A m
×
= =△ ≃ .
2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2. ((((CCCC))))
Caderno 2Caderno 2Caderno 2Caderno 2
3333.... 2
5−
. Nota:
2
2
1 1
5
25 5
−
= = .
4444.... ((((BBBB)))).
5555.... ((((BBBB)))). Nota: 0,03− pode ser escrito como 0,030− e 0,02− como 0,020− , deste modo é fácil verificar que
0,025− é a resposta correta nesta questão.
6666....
4
6
ou
2
3
. Nota: casos possíveis (6): ( )7 1 7 1× × , ( )2 1 2 1× × , ( )15 3 1 5× × , ( )3 1 1 3× × , ( )14 7 2 1× × ,
( )5 1 1 5× × ; casos favoráveis (4): 2 , 3, 5, 7 ; ( )
4 2
6 3
p produto ser umnúmero primo = = .
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9Ano – TI 21mar2014 – V2 - SoluçõesSoluçõesSoluçõesSoluções Mais fichas de trabalho em http://portalmath.wordpress.comhttp://portalmath.wordpress.comhttp://portalmath.wordpress.comhttp://portalmath.wordpress.com
7777.... 110. Nota: o termo geral da sequência do número de círculos brancos é n , logo é o décimo termo da
sequência que tem 10 círculos brancos. O termo geral da sequência do número de círculos pretos é
2
n , logo
o décimo termo terá 100 círculos pretos. Deste modo, para se construir o décimo termo da sequência são
necessários 110 círculos (
2
10 10 110+ = ) – termo geral da sequência do número total de quadrados
2
n n+ .
8888.... 8888....1111.... ((((DDDD)))). Nota: o gráfico da função f é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, logo ( 3) (3) 5f f− = = .
8888....2222.... 10. Nota: como o ponto ( )3,5B é um ponto do gráfico da função g podemos concluir que
3 5 15k = × = (constante de proporcionalidade inversa), logo g é definida por
15
( )g x
x
= . Deste modo,
como o ponto ( ;1,5)C c também pertence ao gráfico da função g terá de ter coordenadas cujo produto seja
igual a 15, isto é, 1,5 15c× = , ou seja, 10c = (ouououou como o ponto ( ;1,5)C c pertence ao gráfico da função g
terá de verificar a sua expressão algébrica logo
15 15
1,5 10
1,5
c c
c
= ⇔ = ⇔ = ).
9999.... 9999....1.1.1.1. A expressão 7x representa o custo, em euros, dos bilhetes dos sete adultos que foram ao circo.
9999....2.2.2.2.
7 4 172
8 3 184
x y
x y
+ =

+ =
ouououou
7 4 172
12
x y
x y
+ =

− =
ouououou
8 3 184
12
x y
x y
+ =

− =
.
10101010.... { }7,0S = − . Nota: este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos diferentes.
1111....º Processoº Processoº Processoº Processo (lei do anulamento do produto)(lei do anulamento do produto)(lei do anulamento do produto)(lei do anulamento do produto):::: ( )
2 2 2
2 4 3 4 4 4 3 7 0x x x x x x x+ = − ⇔ + + = − ⇔ + =
( 7) 0x x⇔ + = 0 7 0x x⇔ = ∨ + = ⇔ 0 7x x= ∨ = − .
2222....º Processo:º Processo:º Processo:º Processo: ( )
2 2 2
2 4 3 4 4 4 3 7 0x x x x x x x+ = − ⇔ + + = − ⇔ + = , pela Fórmula ResolventeFórmula ResolventeFórmula ResolventeFórmula Resolvente como 1a = ,
7b = e 0c = obtemos
7 49
2
x
− ±
= ⇔
7 7
2
x
− ±
= ⇔
7 7 7 7
2 2
x x
− + − −
= ∨ = ⇔ 0 7x x= ∨ = − .
11111111.... 11111111....1111.... O e A ouououou O e C ouououou A e C (escolher 2 dos três pontos que pertencem à mediatriz de [ ]BD : O , A e C ).
11111111....2222.... 60FD = ° . Nota: a amplitude, em graus, do ângulo EAF é 50° , dado que este ângulo está inscrito
na circunferência e o seu arco correspondente é EF , concluiu-se que a amplitude do arco EF é 100° (o
dobro da amplitude do ângulo inscrito correspondente). Como o segmento de reta [ ]BD é um diâmetro
da circunferência e a amplitude do arco BE é 20° concluiu-se que:
180 100 20 60FD BD EF BE= − − = ° − ° − ° = °.
12121212.... 12121212....1111.... Os triângulos [ ]ABC e [ ]AED são semelhantes porque têm dois ângulos geometricamente iguais:
os ângulos BCA e EDA são retos e os ângulos CAB e EAD são ângulos de lados paralelos ambos
agudos, ou seja, têm a mesma amplitude. (critério aa).
12121212....2222.... 12AC cm= . Nota: este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos diferentes.
1111....º Processo:º Processo:º Processo:º Processo: começa por desenhar os triângulos [ ]ABC e [ ]AED separadamente e identificar os lados
correspondentes. Por serem semelhantes conclui-se que
AB AC
AE AD
= , ou seja,
15
5 4
AC
= 12AC⇔ = .
2222....º Processo:º Processo:º Processo:º Processo: como os triângulos [ ]ABC e [ ]AED são semelhantes e o triângulo [ ]ABC é uma
ampliação de razão 3 (
15
3
5
ampliação
AB
r
AE
= = = ) do triângulo [ ]AED , concluímos que
3 3 4 12AC AD AC AC= × ⇔ = × ⇔ = .
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  • 2. 9Ano – TI 21mar2014 – V2 - SoluçõesSoluçõesSoluçõesSoluções Mais fichas de trabalho em http://portalmath.wordpress.comhttp://portalmath.wordpress.comhttp://portalmath.wordpress.comhttp://portalmath.wordpress.com 7777.... 110. Nota: o termo geral da sequência do número de círculos brancos é n , logo é o décimo termo da sequência que tem 10 círculos brancos. O termo geral da sequência do número de círculos pretos é 2 n , logo o décimo termo terá 100 círculos pretos. Deste modo, para se construir o décimo termo da sequência são necessários 110 círculos ( 2 10 10 110+ = ) – termo geral da sequência do número total de quadrados 2 n n+ . 8888.... 8888....1111.... ((((DDDD)))). Nota: o gráfico da função f é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, logo ( 3) (3) 5f f− = = . 8888....2222.... 10. Nota: como o ponto ( )3,5B é um ponto do gráfico da função g podemos concluir que 3 5 15k = × = (constante de proporcionalidade inversa), logo g é definida por 15 ( )g x x = . Deste modo, como o ponto ( ;1,5)C c também pertence ao gráfico da função g terá de ter coordenadas cujo produto seja igual a 15, isto é, 1,5 15c× = , ou seja, 10c = (ouououou como o ponto ( ;1,5)C c pertence ao gráfico da função g terá de verificar a sua expressão algébrica logo 15 15 1,5 10 1,5 c c c = ⇔ = ⇔ = ). 9999.... 9999....1.1.1.1. A expressão 7x representa o custo, em euros, dos bilhetes dos sete adultos que foram ao circo. 9999....2.2.2.2. 7 4 172 8 3 184 x y x y + =  + = ouououou 7 4 172 12 x y x y + =  − = ouououou 8 3 184 12 x y x y + =  − = . 10101010.... { }7,0S = − . Nota: este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos diferentes. 1111....º Processoº Processoº Processoº Processo (lei do anulamento do produto)(lei do anulamento do produto)(lei do anulamento do produto)(lei do anulamento do produto):::: ( ) 2 2 2 2 4 3 4 4 4 3 7 0x x x x x x x+ = − ⇔ + + = − ⇔ + = ( 7) 0x x⇔ + = 0 7 0x x⇔ = ∨ + = ⇔ 0 7x x= ∨ = − . 2222....º Processo:º Processo:º Processo:º Processo: ( ) 2 2 2 2 4 3 4 4 4 3 7 0x x x x x x x+ = − ⇔ + + = − ⇔ + = , pela Fórmula ResolventeFórmula ResolventeFórmula ResolventeFórmula Resolvente como 1a = , 7b = e 0c = obtemos 7 49 2 x − ± = ⇔ 7 7 2 x − ± = ⇔ 7 7 7 7 2 2 x x − + − − = ∨ = ⇔ 0 7x x= ∨ = − . 11111111.... 11111111....1111.... O e A ouououou O e C ouououou A e C (escolher 2 dos três pontos que pertencem à mediatriz de [ ]BD : O , A e C ). 11111111....2222.... 60FD = ° . Nota: a amplitude, em graus, do ângulo EAF é 50° , dado que este ângulo está inscrito na circunferência e o seu arco correspondente é EF , concluiu-se que a amplitude do arco EF é 100° (o dobro da amplitude do ângulo inscrito correspondente). Como o segmento de reta [ ]BD é um diâmetro da circunferência e a amplitude do arco BE é 20° concluiu-se que: 180 100 20 60FD BD EF BE= − − = ° − ° − ° = °. 12121212.... 12121212....1111.... Os triângulos [ ]ABC e [ ]AED são semelhantes porque têm dois ângulos geometricamente iguais: os ângulos BCA e EDA são retos e os ângulos CAB e EAD são ângulos de lados paralelos ambos agudos, ou seja, têm a mesma amplitude. (critério aa). 12121212....2222.... 12AC cm= . Nota: este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos diferentes. 1111....º Processo:º Processo:º Processo:º Processo: começa por desenhar os triângulos [ ]ABC e [ ]AED separadamente e identificar os lados correspondentes. Por serem semelhantes conclui-se que AB AC AE AD = , ou seja, 15 5 4 AC = 12AC⇔ = . 2222....º Processo:º Processo:º Processo:º Processo: como os triângulos [ ]ABC e [ ]AED são semelhantes e o triângulo [ ]ABC é uma ampliação de razão 3 ( 15 3 5 ampliação AB r AE = = = ) do triângulo [ ]AED , concluímos que 3 3 4 12AC AD AC AC= × ⇔ = × ⇔ = . http://portalmath.wordpress.com http://portalmath.wordpress.com http://portalmath.wordpress.com