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LISTA DE EXERCÍCIOS – VETORES
1) Determine 𝑥 para que se tenha 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo 𝐴(𝑥, 1), 𝐵(4, 𝑥 + 3), 𝐶(𝑥, 𝑥 + 2) e 𝐷(2𝑥, 𝑥 + 6).
2) Escreva o vetor (7, −1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1, −1) e outro paralelo ao
vetor (1, 1).
3) Dados 𝐴(−1, −1) e 𝐵(3, 5), determinar 𝐶, tal que:
a) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
4) Dados os vetores 𝑎 = (2, −1) e 𝑏⃗ = (1, 3), determinar um vetor 𝑥, tal que:
a)
2
3
𝑥 +
1
2
[2(𝑥 + 𝑎) − 𝑏⃗ ] =
𝑥 + 𝑎
2
b) 4a⃗ − 2𝑥 =
1
3
𝑏⃗ −
𝑥 + 𝑎
2
5) Sendo 𝐴(1, – 1) e 𝐵(3, 1), até que ponto se deve prolongar o segmento 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , no sentido de 𝐴 para 𝐵, para
que seu comprimento quadruplique de valor?
6) Sendo 𝐴(−2,1) e 𝐵(6, −7) extremidades de um segmento, determinar:
a) Os pontos 𝐶, 𝐷 e 𝐸, nesta ordem, que dividem o segmento 𝐴𝐵 em quatro partes de mesmo comprimento;
b) Os pontos 𝐹 e 𝐺, nesta ordem que dividem o segmento 𝐴𝐵 em três partes de mesmo comprimento.
7) Dada a coordenada 𝑥 = 4 de um vetor 𝑣 do plano, calcular sua segunda coordenada 𝑦, de maneira que
‖ 𝑣‖ = 13.
8) Sejam os pontos 𝑀(1, −2) e 𝑃(0, −1), determine um vetor 𝑣 colinear à 𝑃𝑀 e tal que ‖ 𝑣‖ = √3.
9) Achar um vetor 𝑢⃗ de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor 𝑣 = 6𝑖 − 2𝑗.
10) Sejam os vetores 𝑎 = 𝑖 + 2𝑗 e 𝑏⃗ = 2𝑖 + 𝑗. Determine um versor para os vetores abaixo:
a) 𝑎 + 𝑏⃗
b) 2𝑎 − 3𝑏⃗
c) 5𝑎 + 4𝑏⃗
11) Determine um vetor mesma direção de 𝑣 = (2, −1) e que:
a) Tenha norma (módulo) igual a 9.
b) Seja o versor de 𝑣.
c) Tenha módulo igual a metade de 𝑣.
12) Dados os vetores 𝑢⃗ = (3, 2), 𝑣 = (2,4) e 𝑤⃗⃗ = (1,3), exprimir 𝑤⃗⃗ como a combinação linear de 𝑢⃗ e 𝑣.
13) Sejam os vetores 𝑎 = (1, −𝑚), 𝑏⃗ = (𝑚 + 3,4 − 𝑚) e 𝑐 = (𝑚, −2). Determinar 𝑚 para que 𝑎 ∙ 𝑏⃗ = (𝑎 +
𝑏⃗ ) ∙ 𝑐.
14) Os vetores 𝑎 e 𝑏⃗ formam um ângulo de 150°. Sabe-se que ‖ 𝑎‖ = √3 e ‖𝑏⃗ ‖ = √2, calcule:
a) ‖𝑎 + 𝑏⃗ ‖
b) ‖𝑎 − 𝑏⃗ ‖
c) ‖3𝑎 + 2𝑏⃗ ‖
d) ‖5𝑎 − 4𝑏⃗ ‖
15) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 𝑎 = (2, 6) e 𝑏⃗ = (0, −2).
16) O vetor 𝑣 = (−1, −1) forma um ângulo de 60° com um vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , onde 𝐴(0, 3) e 𝐵 = (𝑚, −1). Calcular
o valor de 𝑚.
17) Dados os vetores 𝑢⃗ = (2, −3) e 𝑣 = (3, −4), determine:
a) Projeção de 𝑢⃗ em 𝑣.
b) Projeção de 𝑣 em 𝑢⃗ .
SOLUÇÃO
1) 𝑥 = 2
2) (7, −1) = 4(1, −1) + 3(1, 1)
3) a) 𝐶 = (−3, −4) b) 𝐶 = (−11/3, −5)
4) a) 𝑥 = (−3/7, 12/7) b) 𝑥 = (52/9, −11/3)
5) (9, 7)
6) a) 𝐶 = (0, −1), 𝐷 = (2, −3), 𝐸 = (4, −5) b) 𝐹 = (2/3, −5/3), 𝐷 = (10/3, −13/3)
7) 𝑦 = ±3√17
8) 𝑣 = (√3/2, −√3/2)
9) 𝑢⃗ = (6√10/5, −6√10/5)
10) a) (1/√2, 1/√2) b) (−4/√17, 1/√17) c) (13/√365, 14/√365)
11) a) (18√5/5, −9√5/5) b) (2/√5, −1/√5) c) (1, −1/2)
12) (1, 3) = (−1/4)(3, 2) + (7/8)(2, 4)
13) 𝑚 = 1
14) a) √5 − √18/2 b) √5 + √18/2 c) √25 − 3√18 d) √112 + 10√18
15) Não existe
16) 𝑥 = 1/3 (16 − 2√2 − √78 − 16√2)
17) a) (36/13, −54/13) b) (54/25, −72/25)

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Lista de exercícios - vetores(Alguns gabaritos estão errados)

  • 1. LISTA DE EXERCÍCIOS – VETORES 1) Determine 𝑥 para que se tenha 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo 𝐴(𝑥, 1), 𝐵(4, 𝑥 + 3), 𝐶(𝑥, 𝑥 + 2) e 𝐷(2𝑥, 𝑥 + 6). 2) Escreva o vetor (7, −1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1, −1) e outro paralelo ao vetor (1, 1). 3) Dados 𝐴(−1, −1) e 𝐵(3, 5), determinar 𝐶, tal que: a) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ b) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 4) Dados os vetores 𝑎 = (2, −1) e 𝑏⃗ = (1, 3), determinar um vetor 𝑥, tal que: a) 2 3 𝑥 + 1 2 [2(𝑥 + 𝑎) − 𝑏⃗ ] = 𝑥 + 𝑎 2 b) 4a⃗ − 2𝑥 = 1 3 𝑏⃗ − 𝑥 + 𝑎 2 5) Sendo 𝐴(1, – 1) e 𝐵(3, 1), até que ponto se deve prolongar o segmento 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , no sentido de 𝐴 para 𝐵, para que seu comprimento quadruplique de valor? 6) Sendo 𝐴(−2,1) e 𝐵(6, −7) extremidades de um segmento, determinar: a) Os pontos 𝐶, 𝐷 e 𝐸, nesta ordem, que dividem o segmento 𝐴𝐵 em quatro partes de mesmo comprimento; b) Os pontos 𝐹 e 𝐺, nesta ordem que dividem o segmento 𝐴𝐵 em três partes de mesmo comprimento. 7) Dada a coordenada 𝑥 = 4 de um vetor 𝑣 do plano, calcular sua segunda coordenada 𝑦, de maneira que ‖ 𝑣‖ = 13. 8) Sejam os pontos 𝑀(1, −2) e 𝑃(0, −1), determine um vetor 𝑣 colinear à 𝑃𝑀 e tal que ‖ 𝑣‖ = √3. 9) Achar um vetor 𝑢⃗ de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor 𝑣 = 6𝑖 − 2𝑗. 10) Sejam os vetores 𝑎 = 𝑖 + 2𝑗 e 𝑏⃗ = 2𝑖 + 𝑗. Determine um versor para os vetores abaixo: a) 𝑎 + 𝑏⃗ b) 2𝑎 − 3𝑏⃗ c) 5𝑎 + 4𝑏⃗ 11) Determine um vetor mesma direção de 𝑣 = (2, −1) e que: a) Tenha norma (módulo) igual a 9. b) Seja o versor de 𝑣. c) Tenha módulo igual a metade de 𝑣. 12) Dados os vetores 𝑢⃗ = (3, 2), 𝑣 = (2,4) e 𝑤⃗⃗ = (1,3), exprimir 𝑤⃗⃗ como a combinação linear de 𝑢⃗ e 𝑣. 13) Sejam os vetores 𝑎 = (1, −𝑚), 𝑏⃗ = (𝑚 + 3,4 − 𝑚) e 𝑐 = (𝑚, −2). Determinar 𝑚 para que 𝑎 ∙ 𝑏⃗ = (𝑎 + 𝑏⃗ ) ∙ 𝑐.
  • 2. 14) Os vetores 𝑎 e 𝑏⃗ formam um ângulo de 150°. Sabe-se que ‖ 𝑎‖ = √3 e ‖𝑏⃗ ‖ = √2, calcule: a) ‖𝑎 + 𝑏⃗ ‖ b) ‖𝑎 − 𝑏⃗ ‖ c) ‖3𝑎 + 2𝑏⃗ ‖ d) ‖5𝑎 − 4𝑏⃗ ‖ 15) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 𝑎 = (2, 6) e 𝑏⃗ = (0, −2). 16) O vetor 𝑣 = (−1, −1) forma um ângulo de 60° com um vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , onde 𝐴(0, 3) e 𝐵 = (𝑚, −1). Calcular o valor de 𝑚. 17) Dados os vetores 𝑢⃗ = (2, −3) e 𝑣 = (3, −4), determine: a) Projeção de 𝑢⃗ em 𝑣. b) Projeção de 𝑣 em 𝑢⃗ . SOLUÇÃO 1) 𝑥 = 2 2) (7, −1) = 4(1, −1) + 3(1, 1) 3) a) 𝐶 = (−3, −4) b) 𝐶 = (−11/3, −5) 4) a) 𝑥 = (−3/7, 12/7) b) 𝑥 = (52/9, −11/3) 5) (9, 7) 6) a) 𝐶 = (0, −1), 𝐷 = (2, −3), 𝐸 = (4, −5) b) 𝐹 = (2/3, −5/3), 𝐷 = (10/3, −13/3) 7) 𝑦 = ±3√17 8) 𝑣 = (√3/2, −√3/2) 9) 𝑢⃗ = (6√10/5, −6√10/5) 10) a) (1/√2, 1/√2) b) (−4/√17, 1/√17) c) (13/√365, 14/√365) 11) a) (18√5/5, −9√5/5) b) (2/√5, −1/√5) c) (1, −1/2) 12) (1, 3) = (−1/4)(3, 2) + (7/8)(2, 4) 13) 𝑚 = 1 14) a) √5 − √18/2 b) √5 + √18/2 c) √25 − 3√18 d) √112 + 10√18 15) Não existe 16) 𝑥 = 1/3 (16 − 2√2 − √78 − 16√2) 17) a) (36/13, −54/13) b) (54/25, −72/25)