Mecânica Circular - Cálculos de Movimento Curvilíneo

Universo da Física 1
Mecânica

Capítulo 13
Dinâmica dos movimentos
curvos

3ª Parte

1- Uma partícula de massa 6,0 Kg tem movimento
uniforme sobre uma trajetória circular de raio 3,0
m, com velocidade escalar 4,0 m/s. Calcule:

a) O módulo da aceleração centrípeta da
partícula;
b) O módulo da resultante das forças que
atuam na partícula;
c) A velocidade angular da parícula;
d) A frequencia e o período do movimento.

Resposta:

m = 6,0 kg
R = 3,0 m
v = 4,0 m/s
a) v 2
acp =
R
2
4
acp =
3
16
acp = → acp ≅ 5,34m / s 2

3

Resposta:
m = 6,0 kg
R = 3,0 m
v = 4,0 m/s
b)
Fcp = m ⋅ acp Fcp = 2 ⋅16
v2 Fcp = 32
Fcp = m ⋅
R
2 2
41
Fcp = 6 ⋅
3

Resposta:

m = 6,0 kg
R = 3,0 m
v = 4,0 m/s

c) v =ω⋅R
4 = ω ⋅3
4
ω = rad / s
3
ω ≅ 1,34rad / s

Resposta:
m = 6,0 kg
R = 3,0 m
v = 4,0 m/s
d)
ω = 2π ⋅ f 1
T=
1,34 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ f f
1,34 = 6,28 ⋅ f 1
T=
1,34 0,21
f =
6,28 T ≅ 4,76 s
f ≅ 0,21Hz

2- A figura a seguir representa um corpo A que está apoiado
sobre uma mesa e preso a um fio ideal que passa por um tubo
fixado a um buraco feito na mesa. Na outra extremidade do fio
está preso um bloco B. Dando-se um impulso ao bloco A, ele
passa a girar em um movimento circular e uniforme de modo
que o bloco B fica em repouso. Calcule a velocidade do bloco A,
sabendo que g = 10 m/s², o raio da trajetória é 40 cm e as
massas de A e B são respectivamente 2,0 kg e 18 kg.

m A = 2,0kg
Resposta:
mB = 18kg
R = 0,4m
Decomposição das forças:
T
A Como B está em repouso,
T então:
B T =P B
PB
T = mB ⋅ g
T = 18 ⋅10
T = 180 N

m A = 2,0kg
mB = 18kg
R = 0,4m

O bloco A executa movimento circular, então:

T = Fcp 72 = 2 ⋅ v 2

T = ma ⋅ acp 72
v =
2

2 2
v
T = ma ⋅ v = 36
2
R
v 2
v = 36
180 = 2 ⋅
0,4 v = 6m / s

3- Um pequeno bloco de massa 0,10 kg foi colocado sobre
o prato de um antigo toca-discos, a uma distância R do
centro, numa região em que g = 10 m/s². Sabe-se que o
coeficiente de atrito estático entre o bloco e o prato do
toca-discos é igual a µ e . O prato é colocado a girar com
velocidade angular ω.

a) Sendo µ e = 0,60 e R = 12 cm, qual é
o maior valor possível para ω

de modo que o bloco
não escorregue?

ω
µe
b) Sendo R = 10 cm e = 8,0rad/s,
qual é o menor valor posssível para ,

Resposta:

A força de atrito (Fat) aponta para o centro da trajetória Fat = Fcp

N a) Fat = µ ⋅ N µ ⋅ N = m ⋅ω 2 ⋅ R
Fat
Fcp = m ⋅ ω 2 ⋅ R 0,6 ⋅1 = 0,1 ⋅ ω 2 ⋅ 0,12
P 0,6
ω =
2

0,012
ω 2 = 50
ω = 50
ω = 5 2rad / s

Resposta:

b)
µ ⋅ N = m ⋅ω ⋅ R 2

µ ⋅1 = 0,1 ⋅ 8 ⋅ 0,10
2

µ = 0,64

4- O rotor é um brinquedo encontrado em alguns parques de diversões. Ele
consiste em uma cabine cilíndrica, de raio R e eixo vertical. Uma pessoa entra
na cabine e encosta na parede. Ocilindro começa então a girar, aumentando
sua velocidade angularω até atingir um valor predeterminado. Atingindo
esse valor, o chão começa a descer e no entanto a pessoa não cai; ela
continua girando, como se estivesse grudada na parede . A masssa da pessoa
µe
é m e o coeficiente de atrito estático entre a roupa e apessoa e a parede é .
São dados m = 60 kg, g = 10 m/s² e R = 2,0 m. Suponha que o chão já tenha
descido.
a) Faça um desenho das forças que atuam na pessoa.
b) Qual é o valor da força de atrito sobre a pessoa?
c) Que força está fazendo o papel de força centrípeta?
d) Supondo µ e = 0,40, calcule o valor mínimo de de
ω
modo que a pessoa não caia. Esse valor mínimo
depende da massa da pessoa? µe
e) Supondo ω 4,0 rad/s, calcule o valor mínimo de
=
de modo que a pessoa não escorregue. Esse valor
mínimo depende da massa da pessoa?

Resposta:

a)

Fat
N

P

Resposta:

m = 60 kg
R=2m

b) Fat = P
Fat = m·g
Fat = 60 · 10
Fat = 600 N

c) Força normal

Resposta: m = 60 kg
d) Fat = µ ⋅ N R=2m
600 = 0,4 ⋅ N
N = 1500 N
N = Fcp
N = m ⋅ω 2 ⋅ R
1500 = 60 ⋅ ω 2 ⋅ 2
2 1500
ω
120
ω 2 = 12,5
ω = 12,5
ω = 3,54rad / s

Resposta:

m = 60 kg
R=2m

e) N = m ⋅ω 2 ⋅ R Fat = N ⋅ µ
N = 60 ⋅ 4 ⋅ 2
2
600 = 1920 µ
N = 1920 µ = 0,3125

5- Um menino amarrou uma bolinha de massa m = 0,10 kg na
ponta de um fio ideal e fez com que a bolinha adquirisse
movimento uniforme de velocidade escalar v, de modo que a
trajetória da bolinha é uma circunferência de raio R, contida
num plano vertical. São dados: g = 10 m/s² e R = 0,50 m.

• Supondo v = 4,0 m/s², calcule as
intensidades da tração no fio, nos
pontos mais alto (A) e mais baixo
(B).

b) Qual é o valor mínimo de v de modo
que o fio não fique frouxo no
ponto mais alto? Esse valor
mínimo depende da massa da
bolinha?

6- A figura a mostra um trecho de pista de corrida em que ela tem uma
inclinação (pista sobrelevada) para ajudar os veículos a fazerem a curva
dependendo menos do atrito. Vamos supor que, no momento representado
na figura b, o carro esteja percorrendo uma trajetória circular paralela ao
solo, de raio R e centro C . Desprezando o atrito, as forças atuantes no carro
são o peso P e a força normal FN . São dados: g = 10 m/s²; R = 120m; sen
θ = 0,60; cos θ = 0,80. Calculea velocidade do carro de modo que ele faça
essa curva sem depender da força de atrito.

7- Na figura A foi reproduzido o desenho de Newton em que ele
sugere que um caminhão muito poderoso poderia colocar um
projétil em trajetória circular rasante em torno da Terra, como
na figura B. Supondo que o raio da Terra seja R = 6 400 km e que
a aceleração da gravidade próximo á superfície da Terra seja g =
10 m/s², calcule o valor aproximado da velocidade v.

Figura A Figura B

Resposta:  5
v R = 6 400 km = 64 ·10 m

P

v = 64 ⋅10
2 6

P = Fcp
v = 64 ⋅10 6
v2
m⋅ g = m⋅ v = 8 ⋅10 3
R
v2 v = 8000m / s
10 =
64 ⋅10 5

8- Uma partícula de massa m= 0,10 kg é presa à extremidade de
uma mola ideal cujo comprimento natural é 85 cm e cuja
constante elástica é 80 N/m. A outra extremidade da mola é presa
a um anel pelo interior do qual passa um prego preso a uma mesa.
O sistema é posto a girar de modo que a partícula descreve uma
trajetória circular de raio R = 90 cm. Desprezando os atritos, qual
é o módulo da velocidade da partícula?

9- Um automóvel percorre um trecho circular de raio R = 30 m de uma
estrada plana horizontal, num local em que g = 10 m/s². A velocidade escalar
do automóvel é v e o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada
é µe
• Supondo µ e= 0,75, calcule o máximo valor de v de modo que
o carro não derrape.

• Supondo v = 10 m/s, qual é o valor mínimo de µ e de modo
que o carro faça a curva sem derrapar?

Resposta:

Fat = Fcp
a) mv só que n = mg
2
Nµ =
R

mv 2
mgµ = v = 7,5 ⋅ 30
2
R
v2 v = 225
2
gµ =
R
v2
v = 225
10 ⋅ 0,78 =
30 v = 15m / s

Resposta:
2
v
b) gµ =
R
2
10
10 ⋅ µ =
30
100
µ=
300
1
µ=
3

10- (Fuvest-SP) Um bloco de 0,2 kg está sobre um disco
horizontal em repouso, a 0,1 m de distância do centro.
O disco começa a girar, aumentando vagarosamente a
velocidade angular. Acima de uma velocidade angular
crítica de 10 rad/s o bloco começa a deslizar. Qual a
intensidade máxima da força de atrito que atua sobre o
bloco?

a) 1 N b) 2 N C) 3 N d) 4 N e) 5 N

Resposta:

Fat = Fcp
Fat = m ⋅ ω ⋅ R
2

Fat = 0,2 ⋅10 ⋅ 0,1
2

Fat = 2 N
Letra B

11- (Mackenzie-SP) Admitamos que você esteja apoiado , em pé, sobre
o fundo de um cilindro de raio R = 4 m que gira em torno de seu eixo
vertical. Admitindo que g = 10 m/s² e o coeficiente de atrito entre sua
roupa e o cilindro seja 0,4, a menor velocidade escalar que o cilindro
deve ter para uqe, retirado o fundo do mesmo, você fique “preso” à
parede dele é?

b) 10 m/s

d) 8 m/s

f) 9 m/s

h) 11 m/s

Resposta:
N = Fcp
Fat = P
2
Nµ = mg v
N =m
N ⋅ 0,4 = m ⋅10 R
2
10 v
N = m⋅ 25m = m
0,4 4
N = 25m v = 100
2

v = 10m / s
Letra A

12- Um automóvel de massa 800 kg percorre uma estrada, que
tem o perfil desenhado abaixo, com velocidade escalar
constante de 20 m/s. O trecho mais alto é aproximadamente
circular de raio RA = 200m e o trecho mais baixo tem raio de
curvatura RB = 160m. Calcule as intensidades da força normal
exercida pela estrada sobre o automóvel nos pontos A e B.

Resposta:

Ponto A:
N
P − N = Fcp
v2
P
mg − N = m
R
20 2
800 ⋅10 − N = 800 ⋅
200
8000 − N = 1600
N = 8000 − 1600
N = 6400 N

Resposta:

Ponto B: N − P = Fcp
N mv 2
N −P=
R
P
20 2
N − 800 ⋅10 = 800 ⋅
160
400
N − 8000 = 800 ⋅
160
N − 8000 = 800 ⋅ 2,5
N = 8000 + 2000
N = 10000 N

13- (Unisa-SP) Um motociclista descreve uma circunferência vertical num
“globo da morte” de raio R = 4m, numa região onde g = 10m/s². A massa
total de moto e motociclista é 150 kg. Qual a força exercida sobre o
globo no ponto mais alto da trajetória, se a velocidade alí é 12 m/s?

b) 1 500 N
c) 2 400 N
d) 3 900 N
e) 5 400 N
f) 6 900 N

Resposta:
P + N = Fcp
2
v
mg + N = m ⋅
R
2
12
150 ⋅10 + N = 150 ⋅
4
1500 + N = 150 ⋅ 36
N = 5400 − 1500
N = 3900 N

14- Para a situação da questão anterior, qual é o valor
mínimo da velocidade da moto, no ponto mais alto,
para que não perca contato com o globo?

Resposta: P = Fcp
2
v
mg = m
R
v = g⋅R
2

v 2 = 10 ⋅ 4
v 2 = 40
v = 40
2

v = 2 10m / s
2

15- (FEI-SP) Uma esfera gira com velocidade 1 m/s, descrevendo
uma trajetória circular e horizontal, de raio r = 10 cm, estando a
esfera suspensa por meio de um fio ideal. Sendo g = 10 m/s²,
qual o valor do ângulo θ que o fio forma com a vertical?

Resposta: Tx = Fcp
Tx = Tsenθ v2
Tsenθ = m
Ty = T cos θ R
mg v2
⋅ senθ = m
cos θ R
senθ v 2
g⋅ =
cos θ R
Ty = P 2
1
T cos θ = mg 10 ⋅ tgθ = 0,1
mg tgθ = 1
T=
cos θ θ = 45°

16- (Fuvest-SP) Um carro percorre uma pista curva superelevada
( θ = 0,2 ) de 200 m de raio. Desprezando o atrito, qual a
velocidade máxima sem risco de derrapagem?

a) 40 km/h c) 60 km/h e) 80 km/h
b) 45 km/h d) 72 km/h

N x = Fcp
Resposta: v2
Nsenθ = m
R
mg v2
⋅ senθ = m
N v = N cos θ cos θ R
senθ v 2
N x = Nsenθ g =
cos θ R
v2
Ny = P g ⋅ tgθ =
R
N cos θ = mg v2
10 ⋅ 0,2 =
mg 200
N=
cos θ v 2 = 2 ⋅ 200
v 2 = 400
v = 400
Letra D v = 20m / s = 72 Km / h

17- (Mackenzie-SP) Um avião descreve uma trajetória circular
horizontal com velocidade escalar constante v . As asas formam um
ângulo θ com a horizontal. Devem ser considerados apenas o peso do
avião e a força de sustentação, que é perpendicular à asa. Sendo g a
aceleração da gravidade, o raio da trajetória descrita é:
2
a) v · sen θ
b) v 2 b · tg θ
c) v2 · tg θ
g

d) v2 · cotg θ
g
g
e) · tg θ
v2

Resposta: Ex = Fcp2
v
E senθ = m
R
mg v2
senθ = m
cos θ R
2
v
g tgθ =
R
Ey = P v 2
R=
E cos θ = mg g tgθ
2
mg v
E= R = cot gθ
cos θ g
Letra D

18- (Unicamp-SP) Um míssil é lançado horizontalmente
em órbita circular rasante à superfície da Terra. Adote
o raio da Terra como sendo R = 6 400 km π ≅ 3.
e
a) Qual o valor da velocidade de lançamento?
b) Qual o período do movimento do projétil?

Resposta: 2
v
a) mg = m
P = Fcp R
2
v
R = 6400km = 64 ⋅105 m 10 =
R
v = 64 ⋅10
2 6

v = 64 ⋅10 6

v = 8000m / s

Resposta:

v = ωR
b)
8 ⋅103 = ω ⋅ 64 ⋅105
8 ⋅103
ω= = 0,125
64 ⋅10 5

ω = 1,25 ⋅10 −3

2 ⋅ω 2⋅3
ω= =T = −3
= T = 4,8 ⋅10 s
3

T 1,25 ⋅10

19- Um pêndulo simples de comprimento L = 3,0 m e massa m = 2,0 kg
passa pela posição indicada na figura, com velocidade v = 4,0 m/s.
Sendo g = 10 m/s², calcule, para a posição indicada:

a) o módulo da aceleração tangencial;
b) o módulo da aceleração centrípeta;
c) o módulo de tração no fio;
d) o módulo da força resultante sobre a partícula presa ao fio

Resposta:
a) Px = P sen 60
Px = mat
P sen60 = mat
m g sen 60° = mat
3
10 ⋅ = at
2
at = 5 3m / s

Resposta:
2
v
b) acp =
R
2
4
acp =
3
16
acp =
3

Resposta:

c)
T − Py = Fcp
T − m g cos 60 = macp

1
T − 2 ⋅10 ⋅ = 2 ⋅ 5,34
2
T − 10 = 10,68

T = 20,68 N

Resposta:
Fcp = m ⋅ acp 2 2 2
d) FR = Fcp + Px
Fcp = 2 ⋅ 5,34
Fcp = 10,68
2
FR = 10,68 + 10 3
2
( ) 2

2
FR = 114,06 + 300
Px = P sen 60
2
Px = m ⋅ g sen 60 FR = 414,06
FR = 414,06
3
Px = 2 ⋅10 ⋅ FR = 20,35 N
2
Px = 10 3

20- (Fund. Carlos Chagas-SP) A figura ao lado representa um pêndulo
simples que oscila entre as posições A e B no campo gravitacional
terrestre. Quando o pêndulo se encontra na posição C, a força
resultante é melhor indicada por:

c) 1
d) 2
e) 3
f) 4
g) 5

21- A figura a seguir representa a força resultante sobre uma partícula
de massa m = 2,0 kg e a velocidade da partícula no mesmo instante.
Sabendo que a trajetória é circular, F = 120 N e v = 4,0 m/s, calcule o
raio da trajetória.

Resposta:
F cos θ = Fcp 32 3
R=
v2
180
F cos 30° = m
R 8 3
R=
3 42 45
120 ⋅ = 2⋅
2 R R = 0,31m
32
60 3 =
R
32
R=
60 3

22- (PUC-SP) A figura mostra dois corpos A e B, de massas iguais,
ligados por fios ideais, girando num plano horizontal, sem atrito,
com velocidade angularω constante, em torno de um ponto
fixo O. A razão2 T1
T T
, entre as trações 1 e T2 , que atuam
respectivamente nos fios (2) e (1), tem valor:
a) 2

b) 3
2

f) 1

h) 2
3

k) 1
2

Resposta:
Corpo A
T1 = Fcp
T1 = mω 2 ⋅ R
T1 = mω 2 ⋅ 2 L
Corpo B
T2 3mω 2 L 3
= =
T2 − T1 = mω 2 ⋅ R T1 2mω L 2
2

T2 − T1 = mω 2 ⋅ L
T2 = mω 2 L = mω L
2 2 Letra B
T2 = mω 2 L + 2mω 2 L
T2 = 3mω 2 L

23- Consideremos uma mola ideal de constante elástica 16 N/m,
cujo comprimento quando não deformada é 1,0 m. Uma das
extremidades da mola está presa a um anel liso por dentro do
qual passa um prego fixado em uma mesa lisa. A outra
extremidade está presa a uma bolinha de massa 3,0 kg, também
apoiada na mesa. Dando-se um impulso à bolinha, ela passa a
descrever um movimento circular com velocidade escalar
constante e igual a 2,0 m/s. Calcule o comprimento da mola
nessas condições.

16 x 2 + 16 x − 12 = 0
Resposta:
4x + 4x − 3 = 0
Comprimento
Fel = Fcp
2

1 + 0,25 = 1,25m
v 2
∆ = b − 4ac
2
Kx = m
R ∆ = 4 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ ( − 3)
Sendo que : ∆ = 16 + 48
R =1 + x ∆ + 64
v2
Kx = m
1= x −b± ∆ −4±8
v
2 ⇒ =
16 x = 3 ⋅ 3a 16
1+ x x1 = 0,25
16 x(1 + x ) = 12 x2 = −0,75
16 x +16 x 2 = 12

24- A figura abaixo representa um brinquedo encontrado em
parques de diversões. Quando o sistema gira com veloccidade
angular constante, o fio forma angulo θ = 30° com a vertical.
Sendo g = 10 m/s², calcule a velocidade angular do sistema.

Tx = Fcp
Resposta:
Tsenθ = m ⋅ ω ⋅ R2

Ty = T cos θ mg
senθ = mω 2 ⋅ R
cos θ
Tx = Tsenθ
g ⋅ tgθ = ω ⋅ R
2

10 ⋅ tg 30 = ω 2 ⋅ 4
Ty = P
3
T cos θ = mg 10 ⋅ = ω2 ⋅4
2
mg
T= 5 3
cos θ ω =
2

4
ω = 1,46rad / s

25- Um automóvel percorre um trecho sobrelevado de estrada
numa trajetória circular de raio R. No exercício 6, vimos que
velocidade um automóvel deve ter para conseguir fazer essa
curva sem depender de atrito, sendo R =120 m, g = 10 m/s²,
sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80. Suponhamos agora que o coeficiente
de atrito estático entre os pneus e a estrada seja µ e = 0,80.
calcule as velocidades máxima e mínima que o automóvel deve
ter para fazer essa curva sem derrapar.

Eixo y
Resposta:
N y = Faty + P
P = N y − Faty
mg = N cos θ − Nµ senθ
mg = N ( cos θ − µ senθ )
N y = N cos θ mg
N=
N x = Nsenθ ( cos θ − µ senθ )
Fatx = Fat cos θ
Faty = Fat senθ

2
Resposta: v 10
= ⋅1,24
Eixo x
R 0,32
N x + Fatx = Fcp v2
= 38,75
120
mv 2
Nsenθ + N µ cos θ = v 2 = 4650
R

N ( senθ + µ cos θ ) =
mv 2 v = 68m / s
R
mg mv 2
− ( senθ + µ cos θ ) =
( cos θ − µ senθ ) R

26-

a) Um carrinho está fazendo um loop em uma montanha-russa. A velocidade
mínima para que uma pessoa não caia depende da massa da pessoa?
b) Quando se planeja o ângulo de sobrelevação em uma curva de uma
estrada, esse ângulo depende da massa do veículo?
c) Na figura a seguir, quais forças não podem representar a resultante em um
movimento circular?

d) Um automóvel faz uma curva circular com velocidade escalar constante,
numa estrada plana horizontal. A força de atrito é estática ou cinética?

Resposta:

a) Não

Fcp = P
2
v
m = mg
R

Resposta:

b) Não
2
mg v
senθ = m
cos θ R

Resposta:

c) F1 , F2 e F
4

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