1. Retas

2. Equação Vetorial
 Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor
não nulo v=(a,b,c)
 Teorema: Existe somente uma reta r que
passa por A e tem direção de v. Um ponto
P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP
= (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP
= tv, para todo t є R

3. Equação Vetorial
 Daí, P-A= tv ou P = A + tv
 Ou em coordenadas
 (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada
de equação vetorial da reta r

4. Exemplo
 Encontre a equação vetorial da reta que
passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de
v=(2,3,2). Verifique também se o ponto
P=(5,5,8) pertence a esta reta

5. Equações Paramétricas
 Sabemos que a equação vetorial da reta
que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção
de v=(a,b,c) é:
 (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda
 (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)

6. Equações Paramétricas
 Usando a igualdade de dois vetores na
expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
temos as seguintes equações
paramétricas





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1

7. Exemplo 2
 Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-
2,3) pede-se:
 A) escreva as equações paramétricas da
reta r que passa por A e tem a direção de
v
 B) Encontrar dois pontos B e C de r de
parâmetros t=1 e t=4 respectivamente

8. Exemplo 2
 C) determinar o ponto de r cuja abscissa é
4
 D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e
E=(5,-4,3) pertencem a r
 E) Determinar para que valores de m e n
o ponto F=(m,5,n) pertence a r

9. Exemplo 2
 F) escrever outros dois sistemas de
equações paramétricas de r
 G) Escrever equações paramétricas da
reta s que passa por G=(5,2,-4) e é
paralela a r
 H) Escrever equações paramétricas da
reta u que passa por A e é paralela ao
eixo y

10. Reta Definida por 2 Pontos
 A reta definida pelos pontos A e B é a reta
que passa por A (ou B) e tem direção do
vetor v=AB

11. Exemplo 3
 Escreva as equações paramétricas da
reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)

12. Equação Paramétrica de um
Segmento de Reta
 Considere um segmento de reta cujos pontos
extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3).
Assim as equações paramétricas do segmento
de reta tendo por direção o vetor AB, são
 Para t є [0,1]





−+=
−+=
−+=
)(
)(
)(
333
222
111
xytxz
xytxy
xytxx

13. Nota
 Quando t=0 nas equações anteriores
(x,y,z)=A
 Quando t=1 (x,y,z)=B

14. Equações Simétricas
 Das equações paramétricas tem-se
 Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1

15. a
xx
t
1−
=
b
yy
t
1−
=
c
zz
t
1−
=

16. Equações Simétricas
 Como, para cada ponto da reta
corresponde um só valor de t obtemos
igualdades

17. =
−
a
xx 1
=
−
b
yy 1
c
zz 1−

18. Notas
 As equações do slide anterior são
chamadas de equações simétricas da reta
que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela
ao vetor (a,b,c)

19. Exemplo
 Encontre as equações simétricas da reta
que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a
direção do vetor v=(2,2,-1)

20. Equações Reduzidas
 Seja a reta r definida pelo ponto
A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c)
as equações simétricas da reta são:
=
−
a
xx 1
=
−
b
yy 1
c
zz 1−

21. Equações Reduzidas
 A partir destas equações, pode-se
expressar duas variáveis em função da
terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e
expressá-las em função de x
 Estas duas últimas equações são
chamadas equações reduzidas da reta
)1(1 xx
a
b
yy −+= )1(1 xx
a
c
zz −+=

22. Exemplo
 Dadas as equações reduzidas da reta
y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor
diretor

23. Retas paralelas aos planos
coordenados
 Uma reta é paralela a um dos planos x0y
ou y0z se seus vetores diretores forem
paralelos ao plano correspondente. Neste
caso, uma das componentes do vetor é
nula

24. Exemplo
 Seja a reta r que passa pelo ponto
A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0)
 Note que a terceira componente de v é
nula e a reta é paralela a x0y

25.  Analogamente, uma reta r1 com vetor
diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e
uma reta r2 com vetor diretor do tipo
v=(0,a,b) é paralela a y0z

26. Retas paralelas aos eixos
coordenados
 Uma reta é paralela a um dos eixos
coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores
diretores forem paralelos a i=(1,0,0),
j=(0,1,0) ou k=(0,0,1)
 Neste caso, duas das componentes do
vetor são nulas

27. Exemplo
 Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e
tem a direção do vetor v=(0,0,3)

28. Ângulo de duas retas
 Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1
e v2, respectivamente
 Chama-se ângulo de duas retas o menor
ângulo formado pelos vetores diretores
 Logo, sendo teta este ângulo tem-se:

29.  cosθ = (u . v) /( | u | | v |)
 Com 0<= θ<= pi/2

30. Exemplo
 Calcule o ângulo entre as retas
 r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t
 R2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1

31. Exemplo
 Verifique se as retas são ortogonais
 r1: y=-2x+1,z=4x
 r2: x=3-2t,y=4+t,z=t

32. Reta ortogonal a duas retas
 Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas
com vetores diretores v1 e v2
respectivamente
 Seja r uma reta com vetor diretor v de tal
forma que r é ortogonal a r1 e r é
ortogonal a r2

33.  Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0
 Um vetor v que satisfaz o sistema anterior
é dado por v=v1 x v2

34.  Definido, então, o vetor diretor v, a reta r
estará determinada quando for conhecido
um de seus pontos

35. Exemplo
 Determinar a equações paramétricas da
reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é
ortogonal às retas
 r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4)
 r2: x=5, y=t, z=1-t

36. Retas coplanares
 Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1)
e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são
coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2
forem coplanares, isto é, se
[v1,v2,a1a2]=0

37. Exemplo
 Determine o valor de m para que as retas
sejam coplanares
 R1:y=mx+2,z=3x-1
 R2:x=t,y=1+2t,z=-2t

38. Posição Relativa de duas Retas
 Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser:
 Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia
 Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I}
onde I é o ponto de interseção. Neste
caso as retas tem que ser coplanares

39.  Reversas: não coplanares. Neste caso a
interseção de r1 e r2 é vazia
Posição Relativa de duas Retas

40. Exemplo
 Estudar a posição relativa das retas
 Primeiro caso
R1:y=2x-3,z=-x
R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t
 Segundo caso
R1:x/2=(y-1)/-1=z
R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1

41.  Terceiro caso
R1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4
R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t
 Quarto caso
R1:y=3,z=2x
R2:x=y=z

42. Interseção de duas retas
 Se duas retas se interceptam, elas são
coplanares, isto é, estão situadas no
mesmo plano. Neste caso, são ditas
concorrentes
 Se duas retas não são coplanares, elas
são ditas reversas. Supõe-se que as retas
não são paralelas

43. Exemplo
 Verifica se as retas r1 e r2 são
concorrentes e, em caso afirmativo,
determinar o ponto de interseção
 Primeiro caso
 r1:y=-3x+2,z=3x-1
R2:x=-t,y=1+2t,z=-2t