Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

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Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

  1. 1. Cap´ıtulo 5Trigonometria esf´ericaA astronomia esf´erica, ou astronomia de posi¸c˜ao, diz respeito, fundamental-mente, `as dire¸c˜oes nas quais os astros s˜ao vistos, sem se preocupar com suadistˆancia. ´E conveniente expressar essas dire¸c˜oes em termos das posi¸c˜oessobre a superf´ıcie de uma esfera – a esfera celeste. Essas posi¸c˜oes s˜ao medi-das unicamente em ˆangulos. Dessa forma, o raio da esfera, que ´e totalmentearbitr´ario, n˜ao entra nas equa¸c˜oes.5.1 Defini¸c˜oes b´asicasSe um plano passa pelo centro de uma esfera, ele a dividir´a em dois he-misf´erios idˆenticos, ao longo de um grande c´ırculo, ou c´ırculo m´aximo. Qual-quer plano que corta a esfera sem passar pelo seu centro a intercepta em umc´ırculo menor ou pequeno.Quando dois c´ırculos m´aximos se interceptam em um ponto, formamentre si um ˆangulo esf´erico. A medida de um ˆangulo esf´erico ´e igual amedida do ˆangulo plano entre as tangentes dos dois arcos que o formam.Um ˆangulo esf´erico tamb´em ´e medido pelo arco esf´erico correspondente,que ´e o arco de um c´ırculo m´aximo contido entre os dois lados do ˆanguloesf´erico e distantes 90◦ de seu v´ertice. A medida de um arco esf´erico, porsua vez, ´e igual ao ˆangulo que ele subentende no centro da circunferˆencia.5.2 Triˆangulos esf´ericosUm triˆangulo esf´erico n˜ao ´e qualquer figura de trˆes lados sobre a esfera; seuslados devem ser arcos de grandes c´ırculos, ou seja, arcos esf´ericos. Denota-25
  2. 2. mos os ˆangulos de um triˆangulo esf´erico por letras mai´usculas (A,B,C), e osseus lados por letras min´usculas (a,b,c).CABacb5.2.1 Propriedades dos triˆangulos esf´ericos1. A soma dos ˆangulos de um triˆangulo esf´erico ´e sempre maior que 180graus e menor do que 540 graus e n˜ao ´e constante, dependendo dotriˆangulo. De fato, o excesso a 180 graus ´e diretamente proporcional`a ´area do triˆangulo.2. A soma dos lados de um triˆangulos esf´erico ´e maior do que zero emenor do que 180 graus.3. Os lados maiores est˜ao opostos aos ˆangulos maiores no triˆangulo.4. A soma de dois lados do triˆangulo ´e sempre maior do que o terceirolado, e a diferen¸ca ´e sempre menor.5. Cada um dos lados do triˆangulo ´e menor do que 180 graus e isso seaplica tamb´em aos ˆangulos.5.2.2 Solu¸c˜ao de triˆangulos esf´ericosAo contr´ario da trigonometria plana, n˜ao ´e suficiente conhecer dois ˆangulospara resolver o triˆangulo. ´E sempre necess´ario conhecer no m´ınimo trˆes26
  3. 3. elementos: ou trˆes ˆangulos, ou trˆes lados, ou dois lados e um ˆangulo, ou umˆangulo e dois lados.Seja ABC um triˆangulo esf´erico como na figura, chamando os lados BCde a, CA de b e AB de c. O lado a mede o ˆangulo BOC subentendido nocentro da esfera O pelo arco de grande c´ırculo BC. Similarmente, b ´e medidopelo ˆangulo AOC e c pelo ˆangulo AOB. Seja AD a tangente em A do grandec´ırculo AB, e AE a tangente em A do grande c´ırculo AC. Neste caso, a retaOA ´e perpendicular a AD e AE. Por constru¸c˜ao, AD est´a no plano do grandec´ırculo AB. Portanto, extendendo a reta OB, ela interceptar´a a tangente ADno ponto D. E OC interceptar´a a tangente AE em E. O ˆangulo esf´erico BAC´e definido como o ˆangulo entre as tangentes, em A, aos grandes c´ırculos ABe AC. Logo, BAC=DAE e chamamos de A.No triˆangulo plano OAD, o ˆangulo OAD ´e 90o e o ˆangulo AOD ´e idˆenticoao ˆangulo AOB, que chamamos de c. PortantoAD = OA tan cOD = OA sec cDo triˆangulo plano OAE podemos deduzirAE = OA tan bOE = OA sec bE do triˆangulo plano DAE temosDE2= AD2+ AE2− 2AD · AE cos DAEouDE2= OA2[tan2c + tan2b − 2 tan b tan c cos A]Do triˆangulo plano DOEDE2= OD2+ OE2− 2OD · OE cos DOEComo DOE=BOC=a,DE2= OA2[sec2c + sec2b − 2 sec b sec c cos a]das quais obtemossec2c + sec2b − 2 sec b sec c cos a = tan2c + tan2b − 2 tan b tan c cos A27
  4. 4. Comosec2c = 1 + tan2csec2b = 1 + tan2bobtemoscos a = cos b cos c + senb senc cos AAs f´ormulas principais para a solu¸c˜ao dos triˆangulos esf´ericos s˜ao:F´ormula dos cossenos:cos a = cos b cos c + sen b sen c cos AF´ormula dos senos:sen asen A=sen bsen B=sen csen C5.3 O triˆangulo de posi¸c˜aoDenomina-se triˆangulo de posi¸c˜ao o triˆangulo esf´erico situado na esfera ce-leste cujos v´ertices s˜ao o p´olo elevado, o astro e o zˆenite.Os lados e ˆangulos do triˆangulo de posi¸c˜ao s˜ao:• arco entre o zˆenite e o p´olo = 90◦ - |φ|• arco entre o zˆenite e astro = z28
  5. 5. • arco entre o p´olo e o astro = 90◦ - |δ|• ˆangulo com v´ertice no zˆenite = A (no Hemisf´erio Norte) ou A - 180◦(no Hemisf´erio Sul)• ˆangulo com v´ertice no p´olo = H• ˆangulo com v´ertice na estrelaO triˆangulo de posi¸c˜ao ´e usado para derivar as coordenadas do astroquando conhecida a posi¸c˜ao geogr´afica do lugar, ou determinar as coor-denadas geogr´aficas do lugar quando conhecidas as coordenadas do astro.Tamb´em permite fazer as transforma¸c˜oes de um sistema de coordenadaspara outro.Rela¸c˜oes entre distˆancia zenital (z), azimute (A), ˆangulo hor´ario(H), e declina¸c˜ao (δ)Pela f´ormula dos cossenos, podemos tirar duas rela¸c˜oes b´asicas entre ossistemas de coordenadas:1.cos z = cos(90◦− φ)cos(90◦− δ) + sen (90◦− φ) sen (90◦− δ) cos HDonde:cos z = sen φ sen δ + cos φ cos δ cos He:cos H = cos z sec φ sec δ − tan φ tan δ2.cos(90◦− δ) = cos(90◦− φ) cos z + sen (90◦− φ) sen z cos ADe modo que:sen δ = sen φ cos z + cos φsenz cos Aecos A = sen δ csc z sec φ − tan φ cot z29
  6. 6. 5.4 Algumas aplica¸c˜oes:5.4.1 ˆAngulo hor´ario no ocasoDeterminar o ˆangulo hor´ario no ocaso (z = 90◦) para uma estrela de de-clina¸c˜ao δ, em um local de latitude φ.cos ZF = cos PZ cos PF + sen PZ sen PF cos ZPFoucos 90◦= sen φ sen δ + cos φ cos δ cos Hou seja:cos H = − tan φ tan δCom essa f´ormula podemos calcular, por exemplo, quanto tempo o Sol per-manece acima do horizonte em um certo local e em certa data do ano, pois,para qualquer astro, o tempo de permanˆencia acima do horizonte ser´a duasvezes o ˆangulo hor´ario desse astro no momento do nascer ou ocaso.Sol acima do horizonteQuanto tempo o Sol permanece acima do horizonte, em Porto Alegre (φ =−30◦), no dia do solst´ıcio de ver˜ao no HS (δ = −23◦27 ).Especificamente em Porto Alegre, o Sol estar´a acima do horizonte apro-ximadamente 14 h e 10 min em 21 de dezembro, e 10 h e 10 min em 21 dejunho. Note que a diferen¸ca de 10 minutos ´e devido `a defini¸c˜ao de que o diacome¸ca com a borda superior do Sol no horizonte e termina com a bordasuperior do Sol no horizonte, e n˜ao o centro do disco solar, como assumidona f´ormula anterior.O azimute do astro no nascer (ou ocaso) tamb´em pode ser deduzido dafigura:cos A = sen δ sec φcos A = sen (−23◦27 ) sec(30◦) = −0, 46Logo, A = 117◦ (243◦), o que significa entre o leste (A = 90◦) e o sul(A = 180◦).5.4.2 Determinar a separa¸c˜ao angular entre duas estrelas.A separa¸c˜ao angular entre duas estrelas ´e a distˆancia medida ao longo doc´ırculo m´aximo passando pelas duas estrelas. Sejam A e B as duas estrelas,e sejam αA, δA, αB e δB as suas coordenadas.30
  7. 7. Podemos construir um triˆangulo esf´erico em que um dos lados seja asepara¸c˜ao angular entre elas e os outros dois lados sejam as suas distˆanciaspolares, ou seja, os arcos ao longo dos meridianos das estrelas desde o p´olo(P) at´e as estrelas. Pela f´ormula dos cossenos temos:δΑδΒαΑ−αΒΑΒcosAB = cosPA cosPB + sen PA sen PB cosAPBOnde:AB = distˆancia polar entre A e BPA = distˆancia polar de A = 90◦− δAPB = distˆancia polar de B = 90◦− δBAPB = ˆangulo entre o meridiano de A e o meridiano de B = αA − αBE portanto:cos PA = sen δAcos PB = sen δBsen PA = cos δAsen PB = cos δB31
  8. 8. cos APB = cos (αA − αB)E finalmente:cos AB = senδA senδB + cos δA cos δB cos(αA − αB)Exemplo:Qual o tamanho da constela¸c˜ao do Cruzeiro do Sul, medido pelo eixo maiorda Cruz?O eixo maior da Cruz ´e formado pelas estrelas Gacrux (α = 12h 31m 11s;δ = −57◦ 07 ) e Acrux (α = 12h 26m 37s; δ = −63◦ 06 )Chamando D o tamanho do eixo maior da Cruz, e aplicando a equa¸c˜aoacima, temos:cos D = senδGacrux senδAcrux + cos δGacrux cos δAcrux cos(αGacrux − αAcrux)δGacrux = −57◦07 = −57, 11◦αGacrux = 12h 31m 11s = 187, 80◦δAcrux = −63◦06 = −63, 10◦αAcrux = 12h 26m 37s = 186, 65◦Substituindo esses valores na equa¸c˜ao temos:cos D = sen (−57, 11◦) sen (−63, 10◦)++ cos (−57, 11◦) cos (−63, 10◦) cos(187, 80◦− 186, 65◦)Portanto:cos D = 0, 9945 ⇒ D = 6◦32

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