Problemas Inversos
João Batista C. da Silva
IV Semana de Inverno de Geofísica
25 e 26 de julho de 2013
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
INTRODUÇÃO
OBJETIVO DA GEOFÍSICA
Obter informação sobre a subsuperfície
campos:
elétrico
eletromagnétic
o
magnético
gravimétrico
.
tr...
OBJETIVO DA GEOFÍSICA
Obter informação sobre a subsuperfície
indiretamente
Interpretação Geofísica Busca por Informação= Informação
Detecção
Localização
Delineação
Detecção
Informação
Detecção
Localização
Delineação
Localização
Informação
Detecção
Localização
Delineação
Delineação
g γ m
r2=
ρ V
γ
r2g =
m
r
Delineação
Problema mal-posto
Desbalanceamento
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
g γ m
r2=
ρ V
γ
r2g =
m
r
Delineação
Soluções:
Reduzir a demanda de informação
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Reduzir a demanda de informação
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Soluções:
Introduzir informação a priori
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Soluções:
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Introduzir informação a priori
Soluções:
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Introduzir informação a priori
Soluções:
AMBIGUIDADE
2 soluções diferentes de um problema
FALTA DE INFORMAÇÃO
AMBIGUIDADE
SINTOMA DIAGNÓSTICO
FEBRE
INFECÇÃO BACTERIANA
INFECÇÃO VIRÓTICA
EXEMPLO:
Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfóc...
Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfóc...
Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfóc...
Num problema mal-posto
a solução não obedece a pelo
menos uma das condições:
Existência.
.
.
Unicidade
Estabilidade
Existência
N1 e N2 são números naturais.
Encontrar N1 e N2 , tal que:
N1 + N2 = 8,3
Unicidade
N1 e N2 são números naturais.
Encontrar N1 e N2 , tal que
N1 + N2 = 10
Estabilidade
Observar uma componente muito pequena de um
fenômeno ou propriedade
0,000001 x = y
0,000001 x = y + r
xc = y ...
Problemas mal-postos ocorrem
em todas as áreas do conhecimento
Geologia - Não unicidade
Geologia
Introdução de informação a priori
Geologia
Introdução de informação a priori
Geologia
Introdução de informação a priori
Marcas de chuva
Concavidade indica
a parte superior
Geologia
Introdução de informação a priori
Geologia
Introdução de informação a priori
Problema mal-posto:
Desbalanceamento
informação
desejada
informação
contida nos
dados
AMBIGUIDADE FUNDAMENTAL DA
GEOFÍSICA
g γ m
r2=
ρ V
γ
r2g =
m
r
Delineação
Anomalia
gravimétrica
Corpo anômaloModelo
interpretativo
x
z
xo
Gravimetria - Esfera
( ) ( ) ( )
g(x) γ V
z z
x x y y z z
...
0.02
0.04
0.06
0.08
Anomaliagravimétrica(mGal)
0
2
4
6
Profundidade(m)
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
0 5 10 150 5 10 150 5 1...
0.02
0.04
0.06
0.08
Anomaliagravimétrica(mGal)
0
2
4
6
Profundidade(m)
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
0 5 10 150 5 10 150 5 1...
0.02
0.04
0.06
0.08
Anomaliagravimétrica(mGal)
0
2
4
6
Profundidade(m)
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
0 5 10 150 5 10 150 5 1...
O campo magnético é sensível ao
momento de dipolo total (m . V)
Magnetometria:
Gravimetria:
O campo gravimétrico é sensíve...
Métodos eletromagnéticos:
e3
e2
e1
σ3
σ2
σ1
As medidas eletromagnéticas são sensíveis à
condutância (σ . V)
Métodos sísmicos:
e1
e2
e3µ3=
1
3v
µ2=
1
2v
µ1=
1
1v
O tempo de trânsito é dado por
2 . µ . e
A inversão de dados geofísicos é um
problema mal-posto
A solução não obedece a pelo menos
uma das condições:
Existência.
....
( ) ( ) ( ) ''''''
,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii
o
∫Ω
=
x
z
+ +
+ + +
+
+ + + + ++
( )''
, zxp
Ω
( )zxy ii
o
Ω
O problema inverso geofísico é
subdeterminado e portanto não
apresenta solução única
Diagnóstico:
( ) ( ) ( ) ''''''
,,, d...
Problema mal-posto:
Desbalanceamento
informação
desejada
informação
contida nos
dados
Introduzir informação a priori
Solução:
Reduzir a demanda de informação
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
co...
N1 + N2 = 10
Reduzir a demanda de informação
É possível determinar a média de ambos os números (5)
Introduzir informação a...
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
N1 e N2 estão o mais próximo possível um do outro
N1 e N2 são números naturais
N1 + N2...
N1 + N2 = 10
N1 e N2 são números naturais
N1 ≤ N2
Um e somente um dos números é primo
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Na Interpretação Geofísica:
A informação a priori deve provir do
conhecimento geológico
Toda e qualquer informação relevan...
As condições matemáticas que levam a
Informação Geológica
EstabilidadeUnicidade
Podem ser interpretadas em termos de
Vínculos passíveis de serem
introduzidas no problema geofísico
inverso
• Suavidade
• Suavidade ponderada
• Compacidade
• C...
Valores de parâmetros adjacentes devem
estar o mais próximo possível
i
h
hi +1
hi +2
...
...
h
i +1
h
i
h
i +2
≅≅
z
x
SUAV...
z
x
Petróleo
Pinch out
SUAVIDADE
ESCASSEZ - Compacidade
As fontes anômalas não apresentam
cavidades em seu interior
z
x
Corpo compacto
z
x
ESCASSEZ
Concentração no entorno de eixos
z
x
F’
F
z
x
Concentração no entorno de eixos
F’
F
z
x
Concentração no entorno de eixos
Escassez na propriedade física
0 5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
SUAVIDADE
+
+
+ 0 5 10 15 20
ESCASSEZ
+
+
+
0.0
0.2
0....
Escassez na propriedade física
A/m
0
0 5 10 15 20
5
10
15
20
0
0 5 10 15 20
5
10
15
20
SUAVIDADE ESCASSEZ
hi
hi +1
...
...hi +2
Escassez no gradiente dos
parâmetros
Gradientes altos entre parâmetros adjacentes
devem ser escassos...
F’
F
Escassez no gradiente dos
parâmetros
z
x
Petróleo
F’
F
Escassez no gradiente dos
parâmetros
z
x
Resolução × Ambiguidade
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Problema não linear × problema linear
x
F(x)
x
F(x)
constante
)(
=
∂
∂
x
xF
f(x)
)(
=
∂
∂
x
xF
Função linear Função não li...
z
y
Observações
Fonte gravimétrica
x
Célula elementar
O problema linear
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
cy
c...
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
cy
cy
h
h
jjj
jijiji
j
ji
j
j
j
j
b
t
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
'''
'
2
3222
γ...
Problema inverso linear:
Simples
Aplicável a uma classe restrita de problemas
Pode ou não ser mal-posto
Solução tem forma ...
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
∞
∞
p
0
jjj
jijiji
j
ji
oj
oj
j
dzdydx
zzyyxx
zz
dg '''
'''
'
2
3222
γ
x
+ +...
=g F (p)
=g F’(p) (p-po)
p-po= [F’(p)]-1
g
p= po + [F’(p)]-1
g
∑=
j
ig γ f (pj), i=1,2 ...N
p=po
p=po
p=po
( ) ( ) ( )[ ]
...
Analogia com uma equação escalar:
a x + 4 = b
x = a -1
( b-4 )
a x8
+ log(x)+ c e sin(x)
= d
x =
log(x)= d- a x8
- c e sin...
Problema inverso não linear:
Complexo
Aplicável a uma ampla classe de problemas
Em geral resolvido iterativamente
Pode ou ...
Formulação de
problemasinversos
A resolução de um problema inverso
consiste de três etapas:
Formulação do problema
Construção da solução
Avaliação da solu...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Soleiras
Problema geológico:
Localizar e delinear soleiras numa bacia sedimentar
Soleiras
1) Não há contraste lateral ou vertical entre os sedimentos
2) Não há contraste entre os sedimentos e o embasamen...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Profundidade(km)
0 2 4 6 8
0.0
0.5
1.0
1.5
10
4 6 80 2
1
2
3
4
mGal
10
x ( km )
Anomalia gravimétrica
Soleiras
Modelo inte...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
x
+ +
+
+...y1
o
y2
o
y3
o
yN
o
mGal
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−+−+−
−
=
bxo ∞
-∞
jjj
jijiji
j
ji
j
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
...
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−+−+−
−
=
bxo ∞
-∞
jjj
jijiji
j
ji
j
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
'''
'
2
3222
γ
+bzoj
−bxoj
+bzoj
Prof...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Problema matemático
yAp =
Apy −min 2
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Solução de mínimos quadrados
yAp =
( ) yAAAp T1T −
=ˆ
Apy −min 2
x
+ +
+
+...y1 y2
y3
yN
mGalProfundidade
( ) yAAAp T1T −
...
0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
Profundidade(km)
x ( km )
Fontes verdadeiras
Solução de mínimos quadrados
0
0.02
0.05
0.06
0....
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Vínculo de suavidade
0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
Profundidade(km)
x ( km )
Fontes verdadeiras
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.04
...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
x ( km )
100 2 4 6 8
0.0
1.0
1.5
2.0
Profundidade(km)
Vínculo de escassez
Concentração ao longo de eixos
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
O método dos mínimos
quadrados
x
z
Espaços Euclideanos Espaços Topológicos
Espaços Euclideanos Espaços Topológicos
INEXISTÊNCIA
x
z
Existência
Unicidade
Estabilidade
A p = y
p
y
Apy −min
2
Espaços Euclideanos Espaços Topológicos
x
z
?
A p = y
p
y
∂/∂p1
∂/∂p2
∂/∂pM
min (yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
(yo
-Ap)T
{
{(yo
-Ap)2 = 0
-AT
yo
+ AT
Ap = 0
( AT
A ) p = AT
yo
p = ( AT
A)-1
AT...
p = ( AT
A)-1
AT
yo
Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observ...
p
y
?
Modelo interpretativo simples
Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observações não redundante...
p
y
?
Ruído nos dados
Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observações não redundante...
p = ( AT
A)-1
AT
yo
x
y
det ( AT
A) ≈ 0
^
0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
Profundidade(km)
x ( km )
Fontes verdadeiras
Solução de mínimos quadrados
0
0.02
0.05
0.06
0....
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Problemas mal-postos
×
Problemas bem-postos
Caracterização física
Problemas mal-postos × Problemas bem-postos
1) Caracterização física
A) Estimar a órbita de um corpo celeste
B) Tomografia simplificada
v1 v2
v1 = 1
v2 = 2
7.9
9.9 0.5
0.4 v1
v2
=
10.9
8.7
v1
v2
=
1
2
7.9
9.9 0.5
0.4 v1
v2
=
10.9
8...
C) Interpretação gravimétrica
( ) ( ) ( )
g(x) γ
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
m
2 2 2 3
2
x
z
mGal
C) Interpretação gravimétrica
x
z
mGal
( ) ( ) ( )
g(x) γ
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
m
2 2 2 3
2
O problema mal-posto ocorre quando:
que o número de parâmetros a ser determinados
1) O número de observações independentes...
v1 v2 7.9
9.9 0.5
0.4 v1
v2
=
10.9
8.7
OBSERVAÇÕES REDUNDANTES
1
0
2
0
1
0
2
1
3
0
6
1
1
2
2
2
det = 0
1
0
1
0
1
0
0
1
3
0
2
1
1
2
0
2
det = 0
PARÂMETROS ACOPLADOS
2x + 1x
Interpretação gravimétrica
x
z
( ) ( ) ( )
g(x) γ
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
ρV
2 2 2 3
2
mGal
Caracterização geométrica
Paradigma de um problema geofísico linear:
ypcpc =+ 2211
1
2c
y
1p
2c
c
2p +−=
p1
p2
Problemas mal-postos × Problemas bem-...
Solução estável Solução instável Solução não única
2 observações
Instabilidade
Solução estável Solução instável
p1
p2 p2
p1
1
2c
y
1p
2c
c
2p +−=
Observações redundantes: retas sub-
paralelas no espaço de parâmetros
x
z
mGal
Para garantir a existência:
minimiza-se:
y1pcpc =+ 212111
o
y2pcpc =+ 222121
o
pcpc − 212111y1
o
−( )2
+ pcpc − 222121y2
o...
p1
p2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15...
Caracterização matemática
Problemas mal-postos × Problemas bem-postos
3) Caracterização matemática
Decomposição em valores singulares
Ax = y
Ax = λx...
det (A – λΙ) = 0
∑ ci λN-i
= 0
0
N
Equação característica de A
As raízes desta equação são os autovalores de A e os
vetore...
Autovalores e autovetores
Interpretação geométrica
4
8 4
8
Matriz de dados:
obs 1
obs 2
var 2var 1
2 4 6 80
6
4
2
0
8
var ...
4
8 4
8
det = 0 (4-λ)2
= 64
λ1 = 12
λ2 = - 4
4-12
8 4-12
8 x1
x2
=
0
0
-8 x1 + 8 x2 = 0
1
1
x1 =
4+4
8 4+4
8 x1
x2
=
0
0
8...
2 4 6 80
6
4
2
0
8
v1= λ1 x1 = 12 x1
v2= λ2 x2 = 4 x2
v1
v2
Os autovetores de uma
matriz simétrica são
ortogonais
2 4 6 80
6
4
2
0
8
Y P
T
.
.
T(p)=y, p∈P; y∈YEspaço nulo de uma transformação
F
é o subespaço F ⊂ P, tal que T(p) = , ∀ p ∈ Fφ
p
y = φy
Espaço nulo de um operador linear
A p*
= y
A po
= 0
A p*
+ λ A po
= y
A ( p*
+ λ po
) = y
λ
A decomposição em valores singulares
na caracterização de problemas mal-postos
Exemplo – tomografia simplificada
p1
p3
p4
...
1 0 0 1
0 1 1 0
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
...
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
U S
VT
1 0
0 1
2
√2...
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
U S
VT
Combinações ...
Combinações de parâmetros que podem ser determinadas:
α1 = v1
T
p
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p2 +p3 )
=
=α2 = v2
T
...
Combinações de parâmetros que não podem ser determinadas
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2...
=
p1
p3
p4
p2
12
=α3 = v3
T
p
2
√2
0 0 2
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p1 - p4 )
α4 = v4
T
p 2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p...
ESPAÇO NULO DA MATRIZ A:
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1...
Mínimos quadrados e a Decomposição
em Valores Singulares
Análise de estabilidade
p = ( AT
A)-1
AT
yo
A = U S VT
p = ( VSUT...
Mínimos quadrados e a Decomposição
em Valores Singulares
Análise de estabilidade
p = VS-1
UT
yo
p = V S-1
β
p = V γ
=
v11 ...
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
Análise de estabilidade
p = ∑
M
=i 1
ivβi + δi
si
Dados contaminados com ruído
β = UT
yo
p = ∑
M
=i 1...
CARACTERIZAÇÃO
2 4 6 80
6
4
2
0
8
Instabilidade
Autovalor nulo
Espaço nulo
Ambiguidade
Autovalor quase nulo
Espaço “quase nulo”
SVD
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Transformação deproblema
mal-posto em bem-posto
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-...
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
p1
p2
p1
p1
p2
po
v1
v2
p1
p2
p2
p1
v1
v2
INVERSA GENERALIZADA
p1
p2
po
Ridge Regression
min pT
p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)=δ
Ridge Regression
min pT
p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
τ =min pT
pµ+
Solução via Função Penalty
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) µ
pT
p+
+
µ .
µ .
=
=
τ|| yo
-Ap ||2
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
=
p1
p2
Ridge Regression
min || p ||2
sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || p ||2
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
p
∇...
DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES
MÍNIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i ...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
1900 1950 1960 1980
Instrumentos pouco
precisos
1990
Calculadoras
rudimentares
1900 1950 1960 1980 1990
1
Instrumentos pouco
precisos
1900 1950 1960 1980 1990
1
1
3
4
5
2
Calculadoras
rudimentares
1900 1950 1960 1980 1990
w
h
x
z
A/2
A
0
h ≅ 0,65 w
Calculadoras
rudimentares
1900 1950 1960 1980 1990
Metodologia simples
Problemas bem-postos
Calculadoras
rudimentares
Instrumentos pouco
precisos
1900 1950 1960 1980 1990
Instrumentos mais
precisos
1900 1950 1960 1980 1990
= +
SEPARAR UMA ANOMALIA COMPLEXA EM SUAS
COMPONENTES
Metodologia simples
Problemas bem-postos
Filtros
1900 1950 1960 1980 1990
19601900 1950 1960 1980
Advento do computador
Mínimos quadrados
Problemas mal-postos
Inversa generalizada
Ridge regression...
19601900 1950 1960 1980
Advento do computador
1900 1950 1960 1980 1990
Problemas mal-postos
Problemas bem-postos
Redução n...
p1
Problema não linear:
Sequencia de problemas lineares
Incógnitas: passo dos parâmetros
Aplicação da I.G. ou ridge ao pas...
1900 1950 1960 1980 1990
Necessidade de métodos
de modo:
que incorporassem informação:
matematicamente simples
geológica
g...
y
x
z
hj
2
j
Modelo interpretativo – Bacias
ρ j
y
x
z
hj
2
j
Caracterização física do novo vínculo - Bacias
ρ j
hj ≈ hj+1
hj+1
p2
p1
Caracterização geométrica do novo vínculo
p1 p2=
( )∑
−
=
+ −=Φ
1
1
2
1
M
i
ii
pp
Funcional estabilizante
pM-1pM
−
p2p3
−
p1p2
−

pM-1pM
−p2p3
−p1p2
−

Φ =
b
1-1000
001-10
001-1




pM-1pM
−
p2p3
−
p1p2
−

pM
p2
p1

=.
p bR =.
Φ = bT
b = pT
RT
Rp
min pT
RT
Rp
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)=δ
Suavidade
min pT
RT
Rp
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
τ =min pT
RT
Rpµ+
Solução via Função Penalty
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) µ
|| Rp ||2
τ|| yo
-Ap ||2
p1
p2 +
+
µ .
µ .
=
=
Caracterização matemática do novo vínculo
SUAVIDADE
min ||Rp ||2
sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Rp ||2
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
RT
R p
∇p...
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
p1
Inversa
GeneralizadaRidge
p2
Suavidade
RIDGE REGRESSION
p2
p1
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || p ||2
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
p2
p1
SUAVIDADE
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Wp ||2
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
O vínculo da suavidade ainda é o mais aplicado na Geofísica
EXEMPLOS
TOMOGRAFIA SÍSMICA POÇO-APOÇO
TOMOGRAFIA SISM0LÓGICA
Manto
TOMOGRAFIA SÍSMICA
INVERSÃO DE DADOS CSEM
0 10 20 30 40 50 60 70 km
10
20
0
N
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
km
7.0
6.2
5.4
4.6
3.8
3.0
2.2
1.4
0.8
0.4
0.1
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
BACIA DE
ALMADA
INVERSÃO MAGNÉTICA 3D
1950
1960
1980
1990
1950
1960
1980
1990
URSS OCIDENTE
Ridge
Suavidade
Ridge, suavidade e a
minimização da norma
de todas a...
min pT
Wp p
sujeito a
(yo
-Ap)T
Wy (yo
-Ap) = δ
τ =min pT
Wp p(yo
-Ap)T
Wy (yo
-Ap) µ+ µ
min (p-po
)T
Wp(p-po
)(yo
-Ap)T
Wy (yo
-Ap) µ+ µ∇p = 0
)()(ˆ oTTo
ApyWyAWpAWyApp −+ µ+= −1
)()(ˆ oTo
Apyµ WyAWpApp −++ Wp ...
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Vínculo de “escassez”
Vínculos passíveis de serem
introduzidas no problema geofísico
inverso
• Suavidade
• Escassez (Sparsity):
• Compacidade
• ...
1900 1950 1960 1980 1990
Métodos que concentram as distribuições anômalas de
propriedade física em subsuperfície em alguma...
• Compacidade
• Variação total
• Escassez (Sparsity):
y
x
z
Concentrar as distribuições anômalas de propriedade
física em subsuperfície em algumas regiões
x (km)
0.
1.
2.
3.
4.
0.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
0.24
0.19
0.14
0.09
0.05
0.00
AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km)
0. 4. 8. ...
pi
=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε
~
~∑
M
i 1
pi
2
pi
2
+ ε
~
~ = número de células com ≠ 0pi
~
0, se = 0pi
~
1, se ≠ 0pi
~
=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε
~
~∑
M
i 1
= número de células com ≠ 0pi
~min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε∑
M
...
Inversão Compacta
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2 W p ...
p = (AT
A + µ W )-1
AT
yo^
^p = [AT
A + µ W( p ) ]-1
AT
yo^p^p^
x = f (x) Problema de ponto fixo
xn+1 = f (xn )
^pn+1 = [A...
EXEMPLOS
x (km)
0.
1.
2.
3.
4.
0.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
0.24
0.19
0.14
0.09
0.05
0.00
AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km)
0. 4. 8. ...
x (km)
0.
1.
2.
3.
4.
0.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km)
0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28.
GRAVIMETRI...
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
INVERSÃO MAGNÉTICA
150
-150
nT
0.05
-0.05
0 10 km
REFLEXÃO SÍSMICA E INVERSÃO DE DADOS MT
• Compacidade
• Variação total
• Escassez (Sparsity):
Suavidade Variação total
min || Rp ||2 min || Rp ||1
( )∑
−
=
+ −
1
1
2
1
M
i
ii
ppmin | |∑
−
=
+ −
1
1
1
M
i
ii
ppmin
2pˆ1pˆ 3pˆ
p3 – p2
p2 – p1
^ ^
^ ^
x
z
D
dj = |pj+1 – pj|
≤
21
1
21
1
1 ∑∑
−
=
−
=
+ =−=Φ
M
j
j
M
j
jj dpp
2
1
1
2








==Φ ∑
−
=
M
j
jdD
2
11
2


...
D
dj = |pj+1 – pj|
=
1
1
1
1
1 ∑∑
−
=
−
=
+ =−=Φ
M
j
j
M
j
jj dpp
1
1








==Φ ∑
−
=
M
j
jdD
1
1
∑
−
=
M
j
jd
1
1
∑
−
=
M
j
jd
1
1
∑
−
=
M
j
jd ≥
Suavidade Variação total
Variação total
min || Rp ||1 sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Rp ||1
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ || Rp ...
x0
| |x
| |xx∂
∂
| |x = √ x2
+ β 2
x0
| |x
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ ∇p{|| Rp ||1 }
β
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
km
10 km 10 km
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
BACIA DE
ALMADA
Reconstrução de imagem
0.4
0.6
0.5
Inversão sísmica
0.4
0.6
0.5
Inversão sísmica
Tempo
Offset
Tempo
Offset
Reconstrução de famílias CMP
Sintético
Tempo
Offset
Mínimos quadrados Escassez
Que valor atribuir ao parâmetro de regularização?
1) Missão da regularização: estabilizar a solução.
3) O funcional estabilizador incorpora informação a priori factual?
2) ...
SOLUÇÃO ESTÁVEL
AJUSTE ACEITÁVEL
µ
µ2µ1
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
O problema inverso não linear
A p = yo
Problema linear:
Para garantir existência de uma solução,
minimiza-se a forma quadrática:
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
toma...
A (p) p = yo
Problema não linear:
Para garantir existência de uma solução,
minimiza-se a forma contendo derivadas de ordem...
p1
p2
Problema linear
p1
p2
p1
p2
Problema não linear
p1
p2
Solução analítica
Linear Não linear
Solução por iteração
Φ(p)+ µ . = τ(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
Problema linear
Problema não linear
Φ(p)+ µ . = τ[yo
-f (p)]T
[yo
- f (p)]
Incorporação de...
4.00
+ µ . =
Problema linear
+ =
Problema não linear
µ .
Incorporação de informação a priori
pT
Wp = p1 p2 pM
p1
p2
pM
w1
w2
wM
w1 p1 w2 p2 wM pM
p1
p2
pM
=
w1 (p1)2
+ w2( p2)2
+ wM (pM)2
Incorporação de informação ...
p = ( AT
A + µ W)-1
AT
yo
τ
Problema linear
Problema não linear
Metodologia: encontrar uma estratégia de
descida para o mínimo de τ
min Φ(p) = pT
Wp
sujeito a
[yo
- f...
Métodos de busca
Métodos de gradiente
Nelder-Mead
Simulated annealing
Algoritmos genéticos
Máxima declividade
Newton / Gau...
Estratégia de Newton
τ = [yo
- f (p)]T
[yo
- f (p)] + µ pT
Wp
Estratégia de Newton
Ψ(p) + µ Φ(p) = τ
4
10
22
28
2
10
20
28
34
28
22
18
32
26
20
p1
p2
16
Instabilidade do método de Newton
Grande raio de curvatura Grande passo
4
10
22
28
2
10
20
28
34
28
22
18
32
26
20
p1
p2
16
Instabilidade do método de Newton
[ Ψ’’ + µ Φ’’ ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’ ]
[ Ψ’’ + µ Φ’’ + λ I ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’]
Estratégia de Marquardt
Newton:
λ
O p...
p1
p2
10
15
5
15
10
15
19
10
5
10
10
7
Estabilidade do método de Marquardt
p1
p2
Confusão entre: parâmetro de regularização e
parâmetro de Marquardt
Problema linear estabilizado pela norma euclideana (Ri...
Problema linear ou não linear
Problema não linear
Parâmetro de regularização
Parâmetro de Marquardt
A confusão entre parâmetro de regularização e
parâmetro de Marquardt pode levar o intérprete
desavisado a uma perigosa cil...
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Problemas de grande porte
Bacias marginais e oceânicas
50.000 a 500.000 km2
Levantamentos de alta resolução
Uso do tensor gravimétrico/magnético
Espaçamento de 100m
5 componentes
Interpretação 3D
10...
250.000.000 Observações
25.000.000.000 Parâmetros
Limitação física dos computadores:
Aquecimento
Energia
MÉTODOS MAIS EFICIENTES DE INTERPRETAÇÃO
Ap = y
[ Ψ’’ + µ Φ’’] (pk+1-
pk
)= - [ Ψ’ + µ Φ’]
Newton:
[ Ψ’’(pk
) + µ Φ’’(pk
)] (pk+1
– pk
) = - [ Ψ’(pk
) + µ Φ’(pk
)]
Ak
bk
...
Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inver...
min
Gradiente conjugado
x ∈ Rn
Construir uma base para Rn
na qual a minimização de f (x) é
extremamente simples
i ≠ j
Direções ortogonais: 0=j
T
i xx
Direções A-ortogonais: 0=j
T
i xx A
T
ix
T
jxe São direções conjugadas
min
Gradiente conjugado
x ∈ Rn
Construir uma base para Rn
na qual a minimização de f (x) é
extremamente simples
i ≠ j
min
min
Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inver...
0
4000
8000
12000
Tempo(s)
0 400 800 1200 1600 2000
Número de parâmetros
Gauss-Jordan
Gradiente conjugado
Quasi-Newton
Newton
f (x)= f (xo) +
∂f (xo)
∂x
1 ∂2
f (xo)
2 ∂x2
+ (x-xo)2
(x-xo)
∂f (xo)
∂x
∂2
f (xo)
∂x2
+ (x-xo) = 0
∂2...
Hk+1
(pk+1
-pk
) = qk+1
- qk
∂2
f (xk+1)
∂x2
=
(xk+1 - xk)
∂f (xk+1)
∂x
∂f (xk)
∂x∂2
f (xo)
∂x2
(xk+1-xk) =
∂f (xo)
∂x
Hk
...
Rk+1
Rk
+(1/sk
T
yk
)[(sk
-Rk
yk
) sk
T
+sk
(sk
-Rk
yk
)T
]-(1/sk
T
yk
)2
(sk
-Rk
yk
)T
yk
sk
sk
T
=
+
kk
T
k
k
T
kkk
k
T
...
Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inver...
Métodos algorítmicos
ESCASSEZ
Concentração no entorno de eixos
z
x
=
Φ = ∑
M
i 1
0, se pi = 0
= momento de inércia em relação ao eixo
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
p...
min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
= pT
W p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
min pT
W p
=
Φ = ∑
M
i 1
= momento de inérc...
Mínimo Momento de Inércia
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + ...
z
x
Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inver...
Por favor, como faço para
chegar à Rua das Flores?
É muito fácil. Para chegar ao início dela,
encontre o ponto da Avenida ...
pi
min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
= pT
W p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
min pT
W p
=
Φ = ∑
M
i 1
= momento de inérc...
Mínimo Momento de Inércia
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + ...
z
x
Problemas Inversos
Problemas Inversos
Problemas Inversos
Problemas Inversos
Problemas Inversos
Problemas Inversos
Problemas Inversos
Problemas Inversos
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Problemas Inversos

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Minicurso ministrado por João Batista Corrêa da Silva, durante a IV Semana de Inverno de Geofísica, IMECC/Unicamp, 2013.

Publicada em: Educação
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  • Vejamos o conceito de ambiguidade. Ambiguidade é a existência de 2 ou mais soluções diferentes de um problema. Por exemplo, o brinquedo infantil que consiste em descobrir qual objeto se encaixa perfeitamente através de um buraco redondo. Claramente temos duas soluções diferentes. Claramente, se existem duas soluções diferentes é porque não informamos, no enunciado do problema a diferença entre estas soluções. Se tivéssemos dito que queríamos o menor corpo que se encaixa perfeitamente no buraco redondo, então haveria somente uma solução
  • Vemos desse modo que a ambiguidade está relacionada à falta de informação. Especificamente, a falta de informação é a causa da ambiguidade. Vejamos um exemplo mais prático. É comum um paciente ir ao médico, relatar alguns sintomas que o incomodam e esperar por um diagnóstico. Por exemplo, ele se queixa de estar com febre. Este sintoma pode estar associado a pelo menos duas situações como uma infecção bacteriana e uma infecção virótica. Sem mais informações além do sintoma da febre, o médico não consegue fazer um diagnóstico. Para tal ele precisa de mais informações, que no caso consiste em solicitar um exame de sangue.
  • Ou seja, um leucograma que descreve a quantidade de cada grupo de células de defesa do organismo. Na coluna do meio estão os valores medidos e na coluna da direita estão os valores de referência com os intervalos de normalidade. Se o paciente apresentar excesso de neutrófilos, ele terá uma infecção bacteriana, ao passo que um excesso de linfócitos indicará uma infecção virótica.
  • Fig 4
  • Considere o espaço Euclideano 2D x-z representando o semiespaço inferior, onde estão situadas todas as possíveis distribuições espaciais de propriedade física. Este semiespaço corresponde a este espaço topológico representado por este círculo branco. Este outro espaço representado por estes eixos cor de rosa é o espaço das anomalias geofísicas produzidas pelas diversas distribuições de propriedade física. O correspondente espaço topológico está representado por este círculo cor de rosa. Vamos presumir um modelo interpretativo consistindo de um cilindro horizontal, ou seja, vamos procurar o cilindro que melhor represente a fonte anômala. Este cilindro horizontal particular corresponde ao ponto verde no espaço topológico e o círculo cinza escuro representa o sub-espaço que contém todos os possíveis cilindros horizontais do mundo Esta é a anomalia produzida pelo cilindro verde, que é mapeada como o ponto azul no espaço topológico das anomalias e o círculo vermelho representa o sub-espaço que contém todas as anomalias produzidas por cilindros. Acontece que uma anomalia observada pode ser parecida com a anomalia de um cilindro, mas é diferente porque contém ruído, ou seja, ela está situada fora do subespaço representado pelo círculo vermelho, de modo que não existe cilindro no mundo que explique a anomalia observada, ou seja a solução não existe. Vamos ampliar este espaço contendo as observações geofísicas.
  • Embora não exista anomalia de um cilindro capaz de explicar exatamente a anomalia observada, sempre será possível encontrar um cilindro que produza uma anomalia que esteja o mais próximo possível da anomalia observada. No espaço topológico, essa anomalia é representada pela projeção da solução no subespaço das anomalias produzidas por cilindros, mostrada por este ponto azul. Em outras palavras, o ponto azul é a anomalia produzida por um cilindro que está mais próxima da anomalia observada (ponto amarelo)
  • Se houver só uma observação, ela definirá um plano que sempre interceptará a reta de 45 graus. num espaço de 3 dimensões, se houver 2 observações, a interseção destas definirá uma reta que em geral será reversa com a reta de 45 graus.
  • Portugal
  • A 3-d view of a mercator projection of the mantle, with orange surfaces surrounding warm blobs of mantle, which should be rising plumes.
  • Mackenzie River, CA
  • Hydrate Ridge (HR), located about 100 km oshore from Newport, Oregon,
  • (a) Figura 3: (a) Anomalia Bouguer contaminada com ruído (linha contínua azul) devido à bacia sedimentar simulada em (b) tendo duas regiões distintas (I e II) com LPs definidas por D r o I = -0,6 g/cm 3 , a I = 0,10 g/cm 3 /km e D r o II = -0,4 g/cm 3 , a II = 0,05 g/cm 3 /km. As linhas tracejadas vermelhas indicam a anomalia ajustada produzida pela solução (c). Os asteriscos indicam as posições dos poços utilizados na varredura do funcional . Mapas de contorno e as correspondentes vistas em perspectivas das profundidades do embasamento verdadeiro (b ) e estimado (c ) via inversão após a identificação dos pares (D r o , a ) pela varredura do funcional .
  • (b) Figura 3: (a) Anomalia Bouguer contaminada com ruído (linha contínua azul) devido à bacia sedimentar simulada em (b) tendo duas regiões distintas (I e II) com LPs definidas por D r o I = -0,6 g/cm 3 , a I = 0,10 g/cm 3 /km e D r o II = -0,4 g/cm 3 , a II = 0,05 g/cm 3 /km. As linhas tracejadas vermelhas indicam a anomalia ajustada produzida pela solução (c). Os asteriscos indicam as posições dos poços utilizados na varredura do funcional . Mapas de contorno e as correspondentes vistas em perspectivas das profundidades do embasamento verdadeiro (b ) e estimado (c ) via inversão após a identificação dos pares (D r o , a ) pela varredura do funcional .
  • (c) Figura 3: (a) Anomalia Bouguer contaminada com ruído (linha contínua azul) devido à bacia sedimentar simulada em (b) tendo duas regiões distintas (I e II) com LPs definidas por D r o I = -0,6 g/cm 3 , a I = 0,10 g/cm 3 /km e D r o II = -0,4 g/cm 3 , a II = 0,05 g/cm 3 /km. As linhas tracejadas vermelhas indicam a anomalia ajustada produzida pela solução (c). Os asteriscos indicam as posições dos poços utilizados na varredura do funcional . Mapas de contorno e as correspondentes vistas em perspectivas das profundidades do embasamento verdadeiro (b ) e estimado (c ) via inversão após a identificação dos pares (D r o , a ) pela varredura do funcional .
  • Figura 8: Bacia de Almada - Relevo estimado da Bacia de Almada, asteriscos vermelhos indicam as posições dos 8 poços que atingem o embasamento.
  • The SEG/EAGE AA salt model Fig. 13. Image amplitude recovery for noisy data (SNR 3 dB). (a) Noise image according to Eq. (24). (b) Image after nonlinear recovery from noisy data ( P ). The clearly visible nonstationary noise in (a) is removed during the recovery while the amplitudes are also restored. Steeply dipping reflectors denoted by the arrows are also well recovered.
  • Figure 3: This seismic section is from southeast Asia and represents a sequence of sands and shales. The Yellow horizon interpretation has not been completed. It is made difficult by the close proximity of events and the structure SEISMIC INVERSION – THE BEST TOOL FOR RESERVOIR CHARACTERIZATION By John Pendrel, Jason Geosystems Canada
  • Figure 4: This shows the constrained sparse spike inversion of the data in Figure 3. It is a much simpler section due to the attenuation of wavelet sidelobes. The completion of the Yellow horizon is now easy. The low impedance region above the Yellow, in the middle of the figure has been interpreted to be a valley fil SEISMIC INVERSION – THE BEST TOOL FOR RESERVOIR CHARACTERIZATION By John Pendrel, Jason Geosystems Canada
  • Ulrych 1995
  • Fig 4a
  • Fig 4a
  • Fig.4b
  • Problemas Inversos

    1. 1. Problemas Inversos João Batista C. da Silva IV Semana de Inverno de Geofísica 25 e 26 de julho de 2013
    2. 2. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
    3. 3. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
    4. 4. INTRODUÇÃO
    5. 5. OBJETIVO DA GEOFÍSICA Obter informação sobre a subsuperfície campos: elétrico eletromagnétic o magnético gravimétrico . transmissão do calor. perturbações elásticas. radiação nuclear. indiretamente
    6. 6. OBJETIVO DA GEOFÍSICA Obter informação sobre a subsuperfície indiretamente
    7. 7. Interpretação Geofísica Busca por Informação= Informação Detecção Localização Delineação
    8. 8. Detecção
    9. 9. Informação Detecção Localização Delineação
    10. 10. Localização
    11. 11. Informação Detecção Localização Delineação
    12. 12. Delineação
    13. 13. g γ m r2= ρ V γ r2g = m r Delineação
    14. 14. Problema mal-posto Desbalanceamento Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados
    15. 15. g γ m r2= ρ V γ r2g = m r Delineação
    16. 16. Soluções: Reduzir a demanda de informação Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados
    17. 17. Reduzir a demanda de informação Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados Soluções:
    18. 18. Introduzir informação a priori Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados Soluções:
    19. 19. Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados Introduzir informação a priori Soluções:
    20. 20. Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados Introduzir informação a priori Soluções:
    21. 21. AMBIGUIDADE 2 soluções diferentes de um problema
    22. 22. FALTA DE INFORMAÇÃO AMBIGUIDADE SINTOMA DIAGNÓSTICO FEBRE INFECÇÃO BACTERIANA INFECÇÃO VIRÓTICA EXEMPLO:
    23. 23. Paciente: Vlad Tepes Médico: Dr. Bram Stoker LEUCOGRAMA Valores de referência Leucócitos 4600/ mm3 4000 a 10000/mm3 Linfócitos 35 % 25 a 50 % Monócitos 9 % 2 a 10 % Neutrófilos 53 % 50 a 80 % Eosinófilos 2 % 0 a 5 % Basófilos 1 % 0 a 2 % Laboratório Sangue Azul
    24. 24. Paciente: Vlad Tepes Médico: Dr. Bram Stoker LEUCOGRAMA Valores de referência Leucócitos 4600/ mm3 4000 a 10000/mm3 Linfócitos 35 % 25 a 50 % Monócitos 9 % 2 a 10 % Neutrófilos 96 % 50 a 80 % Eosinófilos 2 % 0 a 5 % Basófilos 1 % 0 a 2 % Laboratório Sangue Azul
    25. 25. Paciente: Vlad Tepes Médico: Dr. Bram Stoker LEUCOGRAMA Valores de referência Leucócitos 4600/ mm3 4000 a 10000/mm3 Linfócitos 87 % 25 a 50 % Monócitos 9 % 2 a 10 % Neutrófilos 53 % 50 a 80 % Eosinófilos 2 % 0 a 5 % Basófilos 1 % 0 a 2 % Laboratório Sangue Azul
    26. 26. Num problema mal-posto a solução não obedece a pelo menos uma das condições: Existência. . . Unicidade Estabilidade
    27. 27. Existência N1 e N2 são números naturais. Encontrar N1 e N2 , tal que: N1 + N2 = 8,3
    28. 28. Unicidade N1 e N2 são números naturais. Encontrar N1 e N2 , tal que N1 + N2 = 10
    29. 29. Estabilidade Observar uma componente muito pequena de um fenômeno ou propriedade 0,000001 x = y 0,000001 x = y + r xc = y / 0,000001 x = y / 0,000001 + r/ 0,000001 x = xc + 1 00000 r
    30. 30. Problemas mal-postos ocorrem em todas as áreas do conhecimento
    31. 31. Geologia - Não unicidade
    32. 32. Geologia Introdução de informação a priori
    33. 33. Geologia Introdução de informação a priori
    34. 34. Geologia Introdução de informação a priori Marcas de chuva Concavidade indica a parte superior
    35. 35. Geologia Introdução de informação a priori
    36. 36. Geologia Introdução de informação a priori
    37. 37. Problema mal-posto: Desbalanceamento informação desejada informação contida nos dados
    38. 38. AMBIGUIDADE FUNDAMENTAL DA GEOFÍSICA
    39. 39. g γ m r2= ρ V γ r2g = m r Delineação
    40. 40. Anomalia gravimétrica Corpo anômaloModelo interpretativo x z xo Gravimetria - Esfera ( ) ( ) ( ) g(x) γ V z z x x y y z z o o o o = − − + − + − .ρ 2 2 2 3 2 zo
    41. 41. 0.02 0.04 0.06 0.08 Anomaliagravimétrica(mGal) 0 2 4 6 Profundidade(m) 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 0 5 10 150 5 10 150 5 10 15 m 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 d = 1
    42. 42. 0.02 0.04 0.06 0.08 Anomaliagravimétrica(mGal) 0 2 4 6 Profundidade(m) 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 0 5 10 150 5 10 150 5 10 15 m 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 d = 3
    43. 43. 0.02 0.04 0.06 0.08 Anomaliagravimétrica(mGal) 0 2 4 6 Profundidade(m) 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 0 5 10 150 5 10 150 5 10 15 m 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 d = 5
    44. 44. O campo magnético é sensível ao momento de dipolo total (m . V) Magnetometria: Gravimetria: O campo gravimétrico é sensível à massa (ρ . V)
    45. 45. Métodos eletromagnéticos: e3 e2 e1 σ3 σ2 σ1 As medidas eletromagnéticas são sensíveis à condutância (σ . V)
    46. 46. Métodos sísmicos: e1 e2 e3µ3= 1 3v µ2= 1 2v µ1= 1 1v O tempo de trânsito é dado por 2 . µ . e
    47. 47. A inversão de dados geofísicos é um problema mal-posto A solução não obedece a pelo menos uma das condições: Existência. . . Unicidade Estabilidade
    48. 48. ( ) ( ) ( ) '''''' ,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii o ∫Ω = x z + + + + + + + + + + ++ ( )'' , zxp Ω ( )zxy ii o Ω
    49. 49. O problema inverso geofísico é subdeterminado e portanto não apresenta solução única Diagnóstico: ( ) ( ) ( ) '''''' ,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii o ∫Ω =
    50. 50. Problema mal-posto: Desbalanceamento informação desejada informação contida nos dados
    51. 51. Introduzir informação a priori Solução: Reduzir a demanda de informação Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados
    52. 52. N1 + N2 = 10 Reduzir a demanda de informação É possível determinar a média de ambos os números (5) Introduzir informação a priori: Não é necessário conhecer o valor de um dos números para determinar o outro É suficiente conhecer algumas características dos números
    53. 53. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 N1 e N2 estão o mais próximo possível um do outro N1 e N2 são números naturais N1 + N2 = 10
    54. 54. N1 + N2 = 10 N1 e N2 são números naturais N1 ≤ N2 Um e somente um dos números é primo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1
    55. 55. Na Interpretação Geofísica: A informação a priori deve provir do conhecimento geológico Toda e qualquer informação relevante deve ser usada
    56. 56. As condições matemáticas que levam a Informação Geológica EstabilidadeUnicidade Podem ser interpretadas em termos de
    57. 57. Vínculos passíveis de serem introduzidas no problema geofísico inverso • Suavidade • Suavidade ponderada • Compacidade • Concentração no entorno de eixos e pontos • Escassez (Sparsity): • Variação total
    58. 58. Valores de parâmetros adjacentes devem estar o mais próximo possível i h hi +1 hi +2 ... ... h i +1 h i h i +2 ≅≅ z x SUAVIDADE
    59. 59. z x Petróleo Pinch out SUAVIDADE
    60. 60. ESCASSEZ - Compacidade As fontes anômalas não apresentam cavidades em seu interior z x
    61. 61. Corpo compacto z x
    62. 62. ESCASSEZ Concentração no entorno de eixos z x
    63. 63. F’ F z x Concentração no entorno de eixos
    64. 64. F’ F z x Concentração no entorno de eixos
    65. 65. Escassez na propriedade física 0 5 10 15 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 SUAVIDADE + + + 0 5 10 15 20 ESCASSEZ + + + 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Valores altos de parâmetros devem ser escassos + + + + + + + + + + + +
    66. 66. Escassez na propriedade física A/m 0 0 5 10 15 20 5 10 15 20 0 0 5 10 15 20 5 10 15 20 SUAVIDADE ESCASSEZ
    67. 67. hi hi +1 ... ...hi +2 Escassez no gradiente dos parâmetros Gradientes altos entre parâmetros adjacentes devem ser escassos z x
    68. 68. F’ F Escassez no gradiente dos parâmetros z x
    69. 69. Petróleo F’ F Escassez no gradiente dos parâmetros z x
    70. 70. Resolução × Ambiguidade
    71. 71. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
    72. 72. Problema não linear × problema linear x F(x) x F(x) constante )( = ∂ ∂ x xF f(x) )( = ∂ ∂ x xF Função linear Função não linear
    73. 73. z y Observações Fonte gravimétrica x Célula elementar O problema linear ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + − + − −+−+− − = bx bx cy cy h h jjj jijiji j ji j j j j b t dzdydx zzyyxx zz pg ''' ''' ' 2 3222 γ
    74. 74. ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + − + − −+−+− − = bx bx cy cy h h jjj jijiji j ji j j j j b t dzdydx zzyyxx zz pg ''' ''' ' 2 3222 γ = aij ∑= j i jpg γ ia j , i=1,2 ...N g =A p
    75. 75. Problema inverso linear: Simples Aplicável a uma classe restrita de problemas Pode ou não ser mal-posto Solução tem forma explícita
    76. 76. ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + − + − −+−+− − = bx bx ∞ ∞ p 0 jjj jijiji j ji oj oj j dzdydx zzyyxx zz dg ''' ''' ' 2 3222 γ x + + + +...y1 o y2 o y3 o yN o mGal ...p1 p2 pM Profundidade O problema não linear
    77. 77. =g F (p) =g F’(p) (p-po) p-po= [F’(p)]-1 g p= po + [F’(p)]-1 g ∑= j ig γ f (pj), i=1,2 ...N p=po p=po p=po ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + − + − −+−+− − = bx bx ∞ ∞ p 0 jjj jijiji j ji i i j dzdydx zzyyxx zz dg ''' ''' ' 2 3222 γ
    78. 78. Analogia com uma equação escalar: a x + 4 = b x = a -1 ( b-4 ) a x8 + log(x)+ c e sin(x) = d x = log(x)= d- a x8 - c e sin(x) )sin( x ceaxd ex −− = 8 x = f (x) xk+1 = f (xk)
    79. 79. Problema inverso não linear: Complexo Aplicável a uma ampla classe de problemas Em geral resolvido iterativamente Pode ou não ser mal-posto
    80. 80. Formulação de problemasinversos
    81. 81. A resolução de um problema inverso consiste de três etapas: Formulação do problema Construção da solução Avaliação da solução
    82. 82. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
    83. 83. Soleiras Problema geológico: Localizar e delinear soleiras numa bacia sedimentar
    84. 84. Soleiras 1) Não há contraste lateral ou vertical entre os sedimentos 2) Não há contraste entre os sedimentos e o embasamento ou o efeito correspondente foi previamente removido Simplificações:
    85. 85. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
    86. 86. Profundidade(km) 0 2 4 6 8 0.0 0.5 1.0 1.5 10 4 6 80 2 1 2 3 4 mGal 10 x ( km ) Anomalia gravimétrica Soleiras Modelo interpretativo
    87. 87. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
    88. 88. x + + + +...y1 o y2 o y3 o yN o mGal ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + −+−+− − = bxo ∞ -∞ jjj jijiji j ji j dzdydx zzyyxx zz pg ''' ''' ' 2 3222 γ +bzoj −bxoj +bzoj Profundidade
    89. 89. ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + −+−+− − = bxo ∞ -∞ jjj jijiji j ji j dzdydx zzyyxx zz pg ''' ''' ' 2 3222 γ +bzoj −bxoj +bzoj Profundidade = aij ∑= j i jpg γ ia j , i=1,2 ...N g =A p
    90. 90. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
    91. 91. Problema matemático yAp = Apy −min 2
    92. 92. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
    93. 93. Solução de mínimos quadrados yAp = ( ) yAAAp T1T − =ˆ Apy −min 2 x + + + +...y1 y2 y3 yN mGalProfundidade ( ) yAAAp T1T − =ˆ
    94. 94. 0.0 0.5 1.0 1.5 0 2 4 6 8 10 Profundidade(km) x ( km ) Fontes verdadeiras Solução de mínimos quadrados 0 0.02 0.05 0.06 0.03 0.07 0.04
    95. 95. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
    96. 96. Vínculo de suavidade 0.0 0.5 1.0 1.5 0 2 4 6 8 10 Profundidade(km) x ( km ) Fontes verdadeiras 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06
    97. 97. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
    98. 98. x ( km ) 100 2 4 6 8 0.0 1.0 1.5 2.0 Profundidade(km) Vínculo de escassez Concentração ao longo de eixos
    99. 99. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
    100. 100. O método dos mínimos quadrados
    101. 101. x z Espaços Euclideanos Espaços Topológicos
    102. 102. Espaços Euclideanos Espaços Topológicos INEXISTÊNCIA x z
    103. 103. Existência Unicidade Estabilidade
    104. 104. A p = y p y
    105. 105. Apy −min 2 Espaços Euclideanos Espaços Topológicos x z ? A p = y p y
    106. 106. ∂/∂p1 ∂/∂p2 ∂/∂pM min (yo -Ap)T (yo -Ap) (yo -Ap)T { {(yo -Ap)2 = 0 -AT yo + AT Ap = 0 ( AT A ) p = AT yo p = ( AT A)-1 AT yo -AT = 0(yo -Ap) ^^ ^ ^ ^ ^
    107. 107. p = ( AT A)-1 AT yo Mínimos quadrados elimina o problema da inexistência de solução causada: Por um número maior de observações não redundantes que parâmetros Pela presença de ruído p = A-1 yo
    108. 108. p y ? Modelo interpretativo simples
    109. 109. Mínimos quadrados elimina o problema da inexistência de solução causada: Por um número maior de observações não redundantes que parâmetros Pela presença de ruído
    110. 110. p y ? Ruído nos dados
    111. 111. Mínimos quadrados elimina o problema da inexistência de solução causada: Por um número maior de observações não redundantes que parâmetros Pela presença de ruído (Modelo interpretativo simples) Não elimina a instabilidade
    112. 112. p = ( AT A)-1 AT yo x y det ( AT A) ≈ 0 ^
    113. 113. 0.0 0.5 1.0 1.5 0 2 4 6 8 10 Profundidade(km) x ( km ) Fontes verdadeiras Solução de mínimos quadrados 0 0.02 0.05 0.06 0.03 0.07 0.04
    114. 114. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
    115. 115. Problemas mal-postos × Problemas bem-postos
    116. 116. Caracterização física
    117. 117. Problemas mal-postos × Problemas bem-postos 1) Caracterização física A) Estimar a órbita de um corpo celeste
    118. 118. B) Tomografia simplificada v1 v2 v1 = 1 v2 = 2 7.9 9.9 0.5 0.4 v1 v2 = 10.9 8.7 v1 v2 = 1 2 7.9 9.9 0.5 0.4 v1 v2 = 10.9 8.75 v1 v2 = -1.5 51.5
    119. 119. C) Interpretação gravimétrica ( ) ( ) ( ) g(x) γ z z x x y y z z o o o o = − − + − + − m 2 2 2 3 2 x z mGal
    120. 120. C) Interpretação gravimétrica x z mGal ( ) ( ) ( ) g(x) γ z z x x y y z z o o o o = − − + − + − m 2 2 2 3 2
    121. 121. O problema mal-posto ocorre quando: que o número de parâmetros a ser determinados 1) O número de observações independentes é menor 2) Dois ou mais parâmetros podem ser grupados na expressão do funcional ajustante
    122. 122. v1 v2 7.9 9.9 0.5 0.4 v1 v2 = 10.9 8.7
    123. 123. OBSERVAÇÕES REDUNDANTES 1 0 2 0 1 0 2 1 3 0 6 1 1 2 2 2 det = 0
    124. 124. 1 0 1 0 1 0 0 1 3 0 2 1 1 2 0 2 det = 0 PARÂMETROS ACOPLADOS 2x + 1x
    125. 125. Interpretação gravimétrica x z ( ) ( ) ( ) g(x) γ z z x x y y z z o o o o = − − + − + − ρV 2 2 2 3 2 mGal
    126. 126. Caracterização geométrica
    127. 127. Paradigma de um problema geofísico linear: ypcpc =+ 2211 1 2c y 1p 2c c 2p +−= p1 p2 Problemas mal-postos × Problemas bem- postos2) Caracterização geométrica
    128. 128. Solução estável Solução instável Solução não única 2 observações
    129. 129. Instabilidade Solução estável Solução instável p1 p2 p2 p1 1 2c y 1p 2c c 2p +−=
    130. 130. Observações redundantes: retas sub- paralelas no espaço de parâmetros x z mGal
    131. 131. Para garantir a existência: minimiza-se: y1pcpc =+ 212111 o y2pcpc =+ 222121 o pcpc − 212111y1 o −( )2 + pcpc − 222121y2 o −( )2 ao invés de resolver o sistema: no sentido dos mínimos quadrados
    132. 132. p1 p2 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 p1 p2
    133. 133. Caracterização matemática
    134. 134. Problemas mal-postos × Problemas bem-postos 3) Caracterização matemática Decomposição em valores singulares Ax = y Ax = λx, x ≠ 0 A é uma matriz N × N Ax – λx = 0 (A – λΙ) x = 0 det (A – λΙ) = 0 Autovetores e autovalores
    135. 135. det (A – λΙ) = 0 ∑ ci λN-i = 0 0 N Equação característica de A As raízes desta equação são os autovalores de A e os vetores x associados a cada autovalor são os autovetores
    136. 136. Autovalores e autovetores Interpretação geométrica 4 8 4 8 Matriz de dados: obs 1 obs 2 var 2var 1 2 4 6 80 6 4 2 0 8 var 1 var 2
    137. 137. 4 8 4 8 det = 0 (4-λ)2 = 64 λ1 = 12 λ2 = - 4 4-12 8 4-12 8 x1 x2 = 0 0 -8 x1 + 8 x2 = 0 1 1 x1 = 4+4 8 4+4 8 x1 x2 = 0 0 8 x1 + 8 x2 = 0 -1 1 x2 = Primeiro autovetor: Segundo autovetor: - λ - λ
    138. 138. 2 4 6 80 6 4 2 0 8 v1= λ1 x1 = 12 x1 v2= λ2 x2 = 4 x2 v1 v2 Os autovetores de uma matriz simétrica são ortogonais
    139. 139. 2 4 6 80 6 4 2 0 8
    140. 140. Y P T . . T(p)=y, p∈P; y∈YEspaço nulo de uma transformação F é o subespaço F ⊂ P, tal que T(p) = , ∀ p ∈ Fφ p y = φy
    141. 141. Espaço nulo de um operador linear A p* = y A po = 0 A p* + λ A po = y A ( p* + λ po ) = y λ
    142. 142. A decomposição em valores singulares na caracterização de problemas mal-postos Exemplo – tomografia simplificada p1 p3 p4 p2 d t1= d p1 + d p4 t2= d p2 + d p3 1 0 0 1 0 1 1 0 p1 p2 p3 p4 = 12 d t1 d t2
    143. 143. 1 0 0 1 0 1 1 0 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 A U S VT
    144. 144. 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 U S VT 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 U S VT
    145. 145. 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 U S VT Combinações de parâmetros que podem ser determinadas: α1 = v1 T p 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p2 +p3 )=
    146. 146. Combinações de parâmetros que podem ser determinadas: α1 = v1 T p 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p2 +p3 ) = =α2 = v2 T p 2 √2 0 0 2 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p1 +p4 ) p1 p3 p4 p2 12
    147. 147. Combinações de parâmetros que não podem ser determinadas 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 U S VT =α3 = v3 T p 2 √2 0 0 2 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p1 - p4 )
    148. 148. = p1 p3 p4 p2 12 =α3 = v3 T p 2 √2 0 0 2 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p1 - p4 ) α4 = v4 T p 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p2 – p3 )
    149. 149. ESPAÇO NULO DA MATRIZ A: 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 p1 p3 p4 p2 12
    150. 150. Mínimos quadrados e a Decomposição em Valores Singulares Análise de estabilidade p = ( AT A)-1 AT yo A = U S VT p = ( VSUT USVT )-1 VSUT yo p = ( VSSVT )-1 VSUT yo p = ( VS2 VT )-1 VSUT yo p = VS-2 VT VSUT yo p = VS-2 SUT yo p = VS-1 UT yo
    151. 151. Mínimos quadrados e a Decomposição em Valores Singulares Análise de estabilidade p = VS-1 UT yo p = V S-1 β p = V γ = v11 γ1 + v12 γ2 v21 γ1 + v22 γ2 v11 v12 v21 v22 γ1 γ2 v11 v12 v21 v22 γ1 γ2 = + v11 v21 γ1 v12 v22 γ2ivp = ∑ M =i 1 iγ p = ∑ M =i 1 ivβi si
    152. 152. p = ∑ M =i 1 ivβi si Análise de estabilidade p = ∑ M =i 1 ivβi + δi si Dados contaminados com ruído β = UT yo p = ∑ M =i 1 ivβi si + ivδi si ∑ M =i 1
    153. 153. CARACTERIZAÇÃO 2 4 6 80 6 4 2 0 8
    154. 154. Instabilidade Autovalor nulo Espaço nulo Ambiguidade Autovalor quase nulo Espaço “quase nulo” SVD
    155. 155. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
    156. 156. Transformação deproblema mal-posto em bem-posto
    157. 157. -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
    158. 158. -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 p1 p2
    159. 159. -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 p1 p2 p1
    160. 160. p1 p2
    161. 161. po v1 v2 p1 p2
    162. 162. p2 p1 v1 v2 INVERSA GENERALIZADA
    163. 163. p1 p2 po Ridge Regression
    164. 164. min pT p sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap)=δ Ridge Regression
    165. 165. min pT p sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ τ =min pT pµ+ Solução via Função Penalty (yo -Ap)T (yo -Ap) µ
    166. 166. pT p+ + µ . µ . = = τ|| yo -Ap ||2 (yo -Ap)T (yo -Ap) = p1 p2
    167. 167. Ridge Regression min || p ||2 sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = || yo -Ap ||2 + µ || p ||2 τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2 p = 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ p = 0^ ^ (AT A + µ Ι ) p = AT yo^ p = (AT A + µ Ι )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT } p
    168. 168. DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES MÍNIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + M r si si M
    169. 169. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1
    170. 170. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1
    171. 171. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1
    172. 172. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1
    173. 173. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1 τ = || yo -Ap ||2 + µ || p ||2
    174. 174. 1900 1950 1960 1980 Instrumentos pouco precisos 1990
    175. 175. Calculadoras rudimentares 1900 1950 1960 1980 1990
    176. 176. 1 Instrumentos pouco precisos 1900 1950 1960 1980 1990
    177. 177. 1 1 3 4 5 2 Calculadoras rudimentares 1900 1950 1960 1980 1990
    178. 178. w h x z A/2 A 0 h ≅ 0,65 w Calculadoras rudimentares 1900 1950 1960 1980 1990
    179. 179. Metodologia simples Problemas bem-postos Calculadoras rudimentares Instrumentos pouco precisos 1900 1950 1960 1980 1990
    180. 180. Instrumentos mais precisos 1900 1950 1960 1980 1990
    181. 181. = + SEPARAR UMA ANOMALIA COMPLEXA EM SUAS COMPONENTES
    182. 182. Metodologia simples Problemas bem-postos Filtros 1900 1950 1960 1980 1990
    183. 183. 19601900 1950 1960 1980 Advento do computador Mínimos quadrados Problemas mal-postos Inversa generalizada Ridge regression 1900 1950 1960 1980 1990
    184. 184. 19601900 1950 1960 1980 Advento do computador 1900 1950 1960 1980 1990 Problemas mal-postos Problemas bem-postos Redução na busca de informação Mínimos quadrados Ambiguidade reconhecida Introdução de Informação a priori Vínculos locais - geológicos Vínculos globais - matemáticos Inversa generalizada Ridge regression Aproximação inicial Modelos simples
    185. 185. p1 Problema não linear: Sequencia de problemas lineares Incógnitas: passo dos parâmetros Aplicação da I.G. ou ridge ao passo Passos pequenos A aproximação inicial como vínculo geológico e matemático
    186. 186. 1900 1950 1960 1980 1990 Necessidade de métodos de modo: que incorporassem informação: matematicamente simples geológica global prático efetivo
    187. 187. y x z hj 2 j Modelo interpretativo – Bacias ρ j
    188. 188. y x z hj 2 j Caracterização física do novo vínculo - Bacias ρ j hj ≈ hj+1 hj+1
    189. 189. p2 p1 Caracterização geométrica do novo vínculo p1 p2=
    190. 190. ( )∑ − = + −=Φ 1 1 2 1 M i ii pp Funcional estabilizante pM-1pM − p2p3 − p1p2 −  pM-1pM −p2p3 −p1p2 −  Φ = b
    191. 191. 1-1000 001-10 001-1     pM-1pM − p2p3 − p1p2 −  pM p2 p1  =. p bR =. Φ = bT b = pT RT Rp
    192. 192. min pT RT Rp sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap)=δ Suavidade
    193. 193. min pT RT Rp sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ τ =min pT RT Rpµ+ Solução via Função Penalty (yo -Ap)T (yo -Ap) µ
    194. 194. || Rp ||2 τ|| yo -Ap ||2 p1 p2 + + µ . µ . = =
    195. 195. Caracterização matemática do novo vínculo
    196. 196. SUAVIDADE min ||Rp ||2 sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = || yo -Ap ||2 + µ || Rp ||2 τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT RT R p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2RT R p= 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ RT Rp = 0^ ^ (AT A + µ RT R ) p = AT yo^ p = (AT A + µ RT R )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT RT } Rp
    197. 197. 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 p1 Inversa GeneralizadaRidge p2 Suavidade
    198. 198. RIDGE REGRESSION p2 p1 τ = || yo -Ap ||2 + µ || p ||2
    199. 199. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
    200. 200. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
    201. 201. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
    202. 202. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
    203. 203. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal)mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
    204. 204. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal)mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
    205. 205. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal)mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
    206. 206. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal)mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
    207. 207. p2 p1 SUAVIDADE τ = || yo -Ap ||2 + µ || Wp ||2
    208. 208. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    209. 209. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    210. 210. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    211. 211. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    212. 212. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    213. 213. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    214. 214. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    215. 215. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    216. 216. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    217. 217. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    218. 218. O vínculo da suavidade ainda é o mais aplicado na Geofísica EXEMPLOS
    219. 219. TOMOGRAFIA SÍSMICA POÇO-APOÇO
    220. 220. TOMOGRAFIA SISM0LÓGICA Manto
    221. 221. TOMOGRAFIA SÍSMICA
    222. 222. INVERSÃO DE DADOS CSEM
    223. 223. 0 10 20 30 40 50 60 70 km 10 20 0 N GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
    224. 224. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
    225. 225. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
    226. 226. km 7.0 6.2 5.4 4.6 3.8 3.0 2.2 1.4 0.8 0.4 0.1 GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO BACIA DE ALMADA
    227. 227. INVERSÃO MAGNÉTICA 3D
    228. 228. 1950 1960 1980 1990 1950 1960 1980 1990 URSS OCIDENTE Ridge Suavidade Ridge, suavidade e a minimização da norma de todas as derivadas dos parâmetros Tikhonov
    229. 229. min pT Wp p sujeito a (yo -Ap)T Wy (yo -Ap) = δ τ =min pT Wp p(yo -Ap)T Wy (yo -Ap) µ+ µ
    230. 230. min (p-po )T Wp(p-po )(yo -Ap)T Wy (yo -Ap) µ+ µ∇p = 0 )()(ˆ oTTo ApyWyAWpAWyApp −+ µ+= −1 )()(ˆ oTo Apyµ WyAWpApp −++ Wp A= −1T -1-1 -1
    231. 231. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
    232. 232. Vínculo de “escassez”
    233. 233. Vínculos passíveis de serem introduzidas no problema geofísico inverso • Suavidade • Escassez (Sparsity): • Compacidade • Variação total
    234. 234. 1900 1950 1960 1980 1990 Métodos que concentram as distribuições anômalas de propriedade física em subsuperfície em algumas regiões
    235. 235. • Compacidade • Variação total • Escassez (Sparsity):
    236. 236. y x z Concentrar as distribuições anômalas de propriedade física em subsuperfície em algumas regiões
    237. 237. x (km) 0. 1. 2. 3. 4. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 0.24 0.19 0.14 0.09 0.05 0.00 AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km) 0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28. SUAVIDADE
    238. 238. pi = Φ = pi 2 pi 2 + ε ~ ~∑ M i 1 pi 2 pi 2 + ε ~ ~ = número de células com ≠ 0pi ~ 0, se = 0pi ~ 1, se ≠ 0pi ~
    239. 239. = Φ = pi 2 pi 2 + ε ~ ~∑ M i 1 = número de células com ≠ 0pi ~min sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ = Φ = pi 2 pi 2 + ε∑ M i 1 = pT W p W= 1 pi 2 + ε sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ min pT W p
    240. 240. Inversão Compacta min pT W p sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT W p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2 W p = 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ W p = 0^^ (AT A + µ W ) p = AT yo^ p = (AT A + µ W )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT } Wp
    241. 241. p = (AT A + µ W )-1 AT yo^ ^p = [AT A + µ W( p ) ]-1 AT yo^p^p^ x = f (x) Problema de ponto fixo xn+1 = f (xn ) ^pn+1 = [AT A + µ W( pn ) ]-1 AT yo^ ^pn+1 = pn + [AT A + µ W( pn ) ]-1 AT (yo –Apn)^ ^ ^
    242. 242. EXEMPLOS
    243. 243. x (km) 0. 1. 2. 3. 4. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 0.24 0.19 0.14 0.09 0.05 0.00 AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km) 0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28. GRAVIMETRIA - SUAVIDADE
    244. 244. x (km) 0. 1. 2. 3. 4. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km) 0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28. GRAVIMETRIA - COMPACIDADE
    245. 245. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    246. 246. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    247. 247. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    248. 248. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    249. 249. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    250. 250. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    251. 251. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    252. 252. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    253. 253. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    254. 254. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    255. 255. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
    256. 256. INVERSÃO MAGNÉTICA 150 -150 nT 0.05 -0.05 0 10 km
    257. 257. REFLEXÃO SÍSMICA E INVERSÃO DE DADOS MT
    258. 258. • Compacidade • Variação total • Escassez (Sparsity):
    259. 259. Suavidade Variação total min || Rp ||2 min || Rp ||1 ( )∑ − = + − 1 1 2 1 M i ii ppmin | |∑ − = + − 1 1 1 M i ii ppmin
    260. 260. 2pˆ1pˆ 3pˆ p3 – p2 p2 – p1 ^ ^ ^ ^ x z
    261. 261. D dj = |pj+1 – pj| ≤ 21 1 21 1 1 ∑∑ − = − = + =−=Φ M j j M j jj dpp 2 1 1 2         ==Φ ∑ − = M j jdD 2 11 2         ≤ ∑∑ == L j j L j j dd
    262. 262. D dj = |pj+1 – pj| = 1 1 1 1 1 ∑∑ − = − = + =−=Φ M j j M j jj dpp 1 1         ==Φ ∑ − = M j jdD
    263. 263. 1 1 ∑ − = M j jd 1 1 ∑ − = M j jd 1 1 ∑ − = M j jd ≥ Suavidade Variação total
    264. 264. Variação total min || Rp ||1 sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = || yo -Ap ||2 + µ || Rp ||1 τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ || Rp ||1 ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ ∇p{|| Rp ||1 }
    265. 265. x0 | |x | |xx∂ ∂
    266. 266. | |x = √ x2 + β 2 x0 | |x
    267. 267. ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ ∇p{|| Rp ||1 } β
    268. 268. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
    269. 269. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
    270. 270. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
    271. 271. km 10 km 10 km GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO BACIA DE ALMADA
    272. 272. Reconstrução de imagem
    273. 273. 0.4 0.6 0.5 Inversão sísmica
    274. 274. 0.4 0.6 0.5 Inversão sísmica
    275. 275. Tempo Offset Tempo Offset Reconstrução de famílias CMP Sintético Tempo Offset Mínimos quadrados Escassez
    276. 276. Que valor atribuir ao parâmetro de regularização?
    277. 277. 1) Missão da regularização: estabilizar a solução. 3) O funcional estabilizador incorpora informação a priori factual? 2) Solução geofísica: tem que ser estabilizada NÃO: Menor valor SIM: Maior valor SOLUÇÃO ESTÁVEL AJUSTE ACEITÁVEL
    278. 278. SOLUÇÃO ESTÁVEL AJUSTE ACEITÁVEL µ µ2µ1
    279. 279. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    280. 280. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    281. 281. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    282. 282. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    283. 283. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    284. 284. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    285. 285. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    286. 286. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    287. 287. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    288. 288. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
    289. 289. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
    290. 290. O problema inverso não linear
    291. 291. A p = yo Problema linear: Para garantir existência de uma solução, minimiza-se a forma quadrática: (yo -Ap)T (yo -Ap) tomando-se o gradiente em relação a p e igualando ao vetor nulo, o que leva à equação linear: AT A p = AT yo
    292. 292. A (p) p = yo Problema não linear: Para garantir existência de uma solução, minimiza-se a forma contendo derivadas de ordem arbitrária: [yo -f (p) ]T [yo -f (p)] que, mesmo após tomar o gradiente, não leva a uma equação linear: Desse modo, não há uma expressão explícita para o estimador de p:
    293. 293. p1 p2 Problema linear p1 p2
    294. 294. p1 p2 Problema não linear p1 p2
    295. 295. Solução analítica Linear Não linear Solução por iteração
    296. 296. Φ(p)+ µ . = τ(yo -Ap)T (yo -Ap) Problema linear Problema não linear Φ(p)+ µ . = τ[yo -f (p)]T [yo - f (p)] Incorporação de informação a priori
    297. 297. 4.00 + µ . = Problema linear + = Problema não linear µ . Incorporação de informação a priori
    298. 298. pT Wp = p1 p2 pM p1 p2 pM w1 w2 wM w1 p1 w2 p2 wM pM p1 p2 pM = w1 (p1)2 + w2( p2)2 + wM (pM)2 Incorporação de informação a priori min Φ(p) = pT Wp sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap)=δ Problema linear Problema não linear Forma explícita: p=(AT A+µW)-1 AT yo ? Forma explícita: min Φ(p) = pT Wp sujeito a [yo - f (p)]T [yo - f (p)]=δ
    299. 299. p = ( AT A + µ W)-1 AT yo τ Problema linear
    300. 300. Problema não linear Metodologia: encontrar uma estratégia de descida para o mínimo de τ min Φ(p) = pT Wp sujeito a [yo - f (p)]T [yo -f (p)]=δ τ =[yo -f (p)]T [yo -f (p)] + µ pT Wpmin
    301. 301. Métodos de busca Métodos de gradiente Nelder-Mead Simulated annealing Algoritmos genéticos Máxima declividade Newton / Gauss-Newton Marquardt Principais estratégias
    302. 302. Estratégia de Newton
    303. 303. τ = [yo - f (p)]T [yo - f (p)] + µ pT Wp Estratégia de Newton Ψ(p) + µ Φ(p) = τ
    304. 304. 4 10 22 28 2 10 20 28 34 28 22 18 32 26 20 p1 p2 16 Instabilidade do método de Newton
    305. 305. Grande raio de curvatura Grande passo
    306. 306. 4 10 22 28 2 10 20 28 34 28 22 18 32 26 20 p1 p2 16 Instabilidade do método de Newton
    307. 307. [ Ψ’’ + µ Φ’’ ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’ ] [ Ψ’’ + µ Φ’’ + λ I ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’] Estratégia de Marquardt Newton: λ O parâmetro λ estabiliza o passo do processo iterativo Marquardt:
    308. 308. p1 p2 10 15 5 15 10 15 19 10 5 10 10 7 Estabilidade do método de Marquardt p1 p2
    309. 309. Confusão entre: parâmetro de regularização e parâmetro de Marquardt Problema linear estabilizado pela norma euclideana (Ridge regression): min pT p sujeito a [yo -Ap]T [yo -Ap]=δ Problema não linear não estabilizado (passo de Gauss-Newton): [yo -f (p)]T [yo -f (p)]min p = ( AT A + µ I )-1 AT yo^ ∆p = [ AT (pk) A(pk) + λ I ]-1 AT (pk)∆yo^ Marquardt
    310. 310. Problema linear ou não linear Problema não linear Parâmetro de regularização Parâmetro de Marquardt
    311. 311. A confusão entre parâmetro de regularização e parâmetro de Marquardt pode levar o intérprete desavisado a uma perigosa cilada: Usar somente o parâmetro de Marquardt com duplo papel de estabilizar o passo e os parâmetros diminuindo-o ao longo das iterações
    312. 312. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
    313. 313. Problemas de grande porte
    314. 314. Bacias marginais e oceânicas 50.000 a 500.000 km2
    315. 315. Levantamentos de alta resolução Uso do tensor gravimétrico/magnético Espaçamento de 100m 5 componentes Interpretação 3D 100 células em z Bacias marginais e oceânicas 50.000 a 500.000 km2
    316. 316. 250.000.000 Observações 25.000.000.000 Parâmetros Limitação física dos computadores: Aquecimento Energia
    317. 317. MÉTODOS MAIS EFICIENTES DE INTERPRETAÇÃO Ap = y
    318. 318. [ Ψ’’ + µ Φ’’] (pk+1- pk )= - [ Ψ’ + µ Φ’] Newton: [ Ψ’’(pk ) + µ Φ’’(pk )] (pk+1 – pk ) = - [ Ψ’(pk ) + µ Φ’(pk )] Ak bk yk= Carga computacional: Formação da matriz A Inversão da matriz A (ou resolução do sistema)
    319. 319. Gradiente Conjugado: Forma a matriz A Resolve eficientemente o sistema Quasi-Newton: Formação aproximada da matriz A Inversão aproximada da matriz A Métodos algorítmicos: Não forma a matriz A Não inverte a matriz A
    320. 320. min Gradiente conjugado x ∈ Rn Construir uma base para Rn na qual a minimização de f (x) é extremamente simples i ≠ j
    321. 321. Direções ortogonais: 0=j T i xx
    322. 322. Direções A-ortogonais: 0=j T i xx A T ix T jxe São direções conjugadas
    323. 323. min Gradiente conjugado x ∈ Rn Construir uma base para Rn na qual a minimização de f (x) é extremamente simples i ≠ j
    324. 324. min min
    325. 325. Gradiente Conjugado: Forma a matriz A Resolve eficientemente o sistema Quasi-Newton: Formação aproximada da matriz A Inversão aproximada da matriz A Métodos algorítmicos: Não forma a matriz A Não inverte a matriz A
    326. 326. 0 4000 8000 12000 Tempo(s) 0 400 800 1200 1600 2000 Número de parâmetros Gauss-Jordan Gradiente conjugado
    327. 327. Quasi-Newton Newton f (x)= f (xo) + ∂f (xo) ∂x 1 ∂2 f (xo) 2 ∂x2 + (x-xo)2 (x-xo) ∂f (xo) ∂x ∂2 f (xo) ∂x2 + (x-xo) = 0 ∂2 f (xo) ∂x2 (x-xo) = ∂f (xo) ∂x Hk (pk+1 -pk ) = -qk
    328. 328. Hk+1 (pk+1 -pk ) = qk+1 - qk ∂2 f (xk+1) ∂x2 = (xk+1 - xk) ∂f (xk+1) ∂x ∂f (xk) ∂x∂2 f (xo) ∂x2 (xk+1-xk) = ∂f (xo) ∂x Hk (pk+1 -pk ) = -qk Newton Quasi-Newton Hk+1 sk = yk Hk+1 = Hk + uvT ?
    329. 329. Rk+1 Rk +(1/sk T yk )[(sk -Rk yk ) sk T +sk (sk -Rk yk )T ]-(1/sk T yk )2 (sk -Rk yk )T yk sk sk T = + kk T k k T kkk k T k T kk sHs HssH sy yy −1+kH kH= R = H-1 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
    330. 330. Gradiente Conjugado: Forma a matriz A Resolve eficientemente o sistema Quasi-Newton: Formação aproximada da matriz A Inversão aproximada da matriz A Métodos algorítmicos: Não forma a matriz A Não inverte a matriz A
    331. 331. Métodos algorítmicos
    332. 332. ESCASSEZ Concentração no entorno de eixos z x
    333. 333. = Φ = ∑ M i 1 0, se pi = 0 = momento de inércia em relação ao eixo pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 pi di 2 , se pi ≠ 0 ~ pi
    334. 334. min sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ = pT W p sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ min pT W p = Φ = ∑ M i 1 = momento de inércia em relação ao eixo pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 = Φ = ∑ M i 1 pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 W= pi + ε~ di 2
    335. 335. Mínimo Momento de Inércia min pT W p sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT W p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2 W p = 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ W p = 0^^ (AT A + µ W ) p = AT yo^ p = (AT A + µ W )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT } Wp
    336. 336. z x
    337. 337. Gradiente Conjugado: Forma a matriz A Resolve eficientemente o sistema Quasi-Newton: Formação aproximada da matriz A Inversão aproximada da matriz A Métodos algorítmicos: Não forma a matriz A Não inverte a matriz A
    338. 338. Por favor, como faço para chegar à Rua das Flores? É muito fácil. Para chegar ao início dela, encontre o ponto da Avenida Rio Branco situado a uma distância mínima (na norma L2) do Obelisco da Avenida Central.
    339. 339. pi
    340. 340. min sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ = pT W p sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ min pT W p = Φ = ∑ M i 1 = momento de inércia em relação ao eixo pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 = Φ = ∑ M i 1 pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 W= pi + ε~ di 2
    341. 341. Mínimo Momento de Inércia min pT W p sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT W p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2 W p = 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ W p = 0^^ (AT A + µ W ) p = AT yo^ p = (AT A + µ W )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT } Wp
    342. 342. z x

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