Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações [5/5]

Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações
Módulo 05: Método Adjunto
Bruno Pereira Dias, Andé Bulcão, Djalma Manoel Soares Filho
VII Semana de Inverno de Geofísica, 6 a 8 de Julho/2016
INCT-GP, UNICAMP, Campinas, SP,
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 1 / 55

Ementa
Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação
Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas
Módulo 03 Métodos de Otimização
Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de
ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...)
Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar)
Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015)

Sumário
1 Inversão Sísmica
2 Método Adjunto no Domínio do Tempo
3 Operador Adjunto da Modelagem Acústica da Onda
4 Fonte do Campo Adjunto
5 Derivada dos Parâmetros Estruturais
6 Resultados
7 Tarefa

Sumário
6 Resultados
7 Tarefa

Problemas Direto e Inverso
d = L(p)
p = L−1
(d)

Inversão Sísmica
A inversão é uma ferramenta para se obter modelos de propriedades da subsuperfície em
alta resolução através do ajuste de dados baseado na modelagem completa da onda.

FWI como um problema de otimização
Problema direto: simulação numérica da propagação da onda
Calcular o campo de onda u(x,t ou ω)
L(p)u(x,t ou ω) = f (x,t ou ω)
onde L(p) é um operador diferencial linear em u(x,t ou ω) não linear em p(x)

FWI como um problema de otimização
Problema direto: simulação numérica da propagação da onda
Calcular o campo de onda u(x,t ou ω)
L(p)u(x,t ou ω) = f (x,t ou ω)
onde L(p) é um operador diferencial linear em u(x,t ou ω) não linear em p(x)
Solução de um problema inverso
Obter m(x) no espaço de parâmetros tal que
minmχ (m) =
1
2
Ns
∑
s=1
Rsus (m)−ds
2
Ns: número de fontes
Rs: operador de restrição de us para os receptores
us (m): solução do problema direto para fonte fs
ds: dado registrado (sismograma)

Como resolver o problema inverso?

Métodos de otimização local
Visa encontrar um mínimo na vizinhança de um modelo inicial
fornecido. O método atualiza o modelo de subsuperfície procurando
minimizar iterativamente o valor de χ (m).

Lembrando...
Método gradiente: hi = −∇mχ (mi ).
Método gradiente conjugado: hi = combinação do gradiente e
atualização anterior
Método de Newton: hi = −H−1
χ (m)·∇mχ (m)
Método l-BFGS: hi = combinação de alguns gradientes e atualização
anteriores

Lembrando...
Método gradiente: hi = −∇mχ (mi ).
Método gradiente conjugado: hi = combinação do gradiente e
atualização anterior
Método de Newton: hi = −H−1
χ (m)·∇mχ (m)
Método l-BFGS: hi = combinação de alguns gradientes e atualização
anteriores
O cálculo gradiente ∇mχ (m) é necessário para todos esses métodos!!

Cálculo do Gradiente
Cálculo do gradiente (força bruta...)
(∇mχ (m))i = lim
ε→0
1
ε
[χ (m+εmi )− χ (m)].

(∇mχ (m))i = lim
ε→0
1
ε
[χ (m+εmi )− χ (m)].
Calcular ∇mχ (m) diretamente é computacionalmente proibitivo, pois exige
a avaliação do funcional objetivo para cada ponto do modelo m.

(∇mχ (m))i = lim
ε→0
1
ε
[χ (m+εmi )− χ (m)].
Calcular ∇mχ (m) diretamente é computacionalmente proibitivo, pois exige
a avaliação do funcional objetivo para cada ponto do modelo m.
Método adjunto
Permite o cálculo do gradiente de χ (m) de uma forma eciente (tanto
no domínio do tempo, como no da frequência).

Cálculo do gradiente pelo método adjunto
u (t): campo da fonte
propagação de 0 → T
fonte: assinatura do equipamento de aquisição

v (t): campo do receptor
propagação de T → 0
fonte: resíduo (dado observado - calculado) na posição dos receptores

v (t): campo do receptor
propagação de T → 0
fonte: resíduo (dado observado - calculado) na posição dos receptores
Correlação com atraso nulo dos campos
∇vp χ =
−2
ρv3
p
T
0
dt v (t)
∂2
∂2
t
u (t)
Cálculo do gradiente para equação acústico e norma L2.

Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método
adjunto
calcula os campos de
onda incidentes
Figura extraída de Operto, 2013

adjunto
onda incidentes
calcula-se o dado
residual

adjunto
onda incidentes
calcula-se o dado
residual
calcula o campo de
onda adjunto com a
fonte residual

adjunto
onda incidentes
calcula-se o dado
residual
calcula o campo de
onda adjunto com a
fonte residual
multiplica a derivada
segunda no tempo do
campo de onda incidente
com o campo de onda
adjunto em cada passo
de tempo

adjunto
onda incidentes
calcula-se o dado
residual
calcula o campo de
onda adjunto com a
fonte residual
segunda no tempo do
com o campo de onda
de tempo
integra no tempo.

Gradiente no tempo: inversao/m8r/time_gradient
Executar: scons
Visualizar: scons view
Perturbação: Parâmetros k1, l1, k2,l2 → correspondem as posições inciais
e nais da perturbação.
Exemplo: k1=128, l1=138, k2=150, l2=170

Sumário
6 Resultados
7 Tarefa

Método Adjunto no Domínio do Tempo
Operador de modelagem do problema, L, atuando sobre um conjunto
de campos físicos, u, que dependem do modelo, m, através da equação
L(u,m) = f,
onde f são as fontes externas.

Dado um conjunto de dados observados, d, desejamos encontrar o
modelo, m, tal que um funcional objetivo χ (m) seja minimizado.

Uma escolha bastante popular para o funcional objetivo é a norma L2
do resíduo δu = u−d , nos pontos de observação xr :
χ (m) =
1
2 T
dt
G
d3
x|u(m;x,t)−d|2
δ (x−xr
).

De maneira geral, vamos denotar
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 (m) ,
onde χ1 é um funcional objetivo a ser especicado e · é uma
notação para integração no tempo e no espaço T ×G.

Operador de modelagem do problema, L, atuando sobre um conjunto
de campos físicos, u, que dependem do modelo, m, através da equação
L(u,m) = f,
onde f são as fontes externas.
Dado um conjunto de dados observados, d, desejamos encontrar o
modelo, m, tal que um funcional objetivo χ (m) seja minimizado.
Uma escolha bastante popular para o funcional objetivo é a norma L2
do resíduo δu = u−d , nos pontos de observação xr :
χ (m) =
1
2 T
dt
G
d3
x|u(m;x,t)−d|2
δ (x−xr
).
De maneira geral, vamos denotar
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 (m) ,
onde χ1 é um funcional objetivo a ser especicado e · é uma
notação para integração no tempo e no espaço T ×G.

Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)].

Pode-se aplicar a regra da cadeia:
∇mχ (m)δm =

∇mχ (m)δm = ∇uχ (m)∇mu δm

δu

δu
= ∇uχ (m)δu

δu
= ∇uχ (m)δu
=
T
dt
G
d3
x∇uχ1 [u(m;x,t)]δu

δu
= ∇uχ (m)δu
=
T
dt
G
d3
x∇uχ1 [u(m;x,t)]δu = ∇uχ1δu

δu
= ∇uχ (m)δu
=
T
dt
G
d3
δu ≡ ∇mu δm: a derivada de u com relação a m na direção de δm.

δu
= ∇uχ (m)δu
=
T
dt
G
d3
Avaliar δu diretamente também é computacionalmente custoso, pois é
necessário modelar u(m+εδm) para cada direção δm.

δu
= ∇uχ (m)δu
=
T
dt
G
d3
Avaliar δu diretamente também é computacionalmente custoso, pois é
necessário modelar u(m+εδm) para cada direção δm.
Portanto, deve-se eliminar o cálculo direto de δu.

Como eliminar a dependência de δu?

1 Utilizar a regra da cadeia na derivação da equação de modelagem
L(u,m) = f com relação a m:
∇mLδm+∇uLδu = 0. (1)

2 O lado direito da Equação (1) se anula, pois as fontes externas não
dependem do do modelo m.

3 Multiplicar a Equação (1) por uma função teste u† (a ser denida), e
aplica-se a integração sobre o espaço e o tempo · :
u†
·∇mLδm + u†
·∇uLδu = 0.

3 Multiplicar a Equação (1) por uma função teste u† (a ser denida), e
aplica-se a integração sobre o espaço e o tempo · :
u†
·∇mLδm + u†
·∇uLδu = 0.
4 Adicionar essa expressão a ∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu :
∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu + u†
·∇mLδm + u†
·∇uLδu . (2)

Podemos reecrever a expressão (2) com o auxílio dos operadores
adjuntos ∇uχ†
1
e ∇uL†, que são os operadores que satisfazem as
relações
∇uχ1δu = δu·∇uχ†
1
u†
∇uLδu = δu·∇uL†
u†
para todo δu e u†.

Podemos reecrever a expressão (2) com o auxílio dos operadores
adjuntos ∇uχ†
1
e ∇uL†, que são os operadores que satisfazem as
relações
∇uχ1δu = δu·∇uχ†
1
u†
∇uLδu = δu·∇uL†
u†
para todo δu e u†.
Operador Adjunto
Dado um produto interno entre dois vetores
u·v = v·u
o operador adjunto L† de um operador L deve satifazer
u·Lv = L†
u·v , ∀u, v.

Assim, obtemos
∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu

Assim, obtemos
∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu + u†
·∇uLδu + u†
·∇mLδm
=0

Assim, obtemos
∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu + u† ·∇uLδu + u† ·∇mLδm

Assim, obtemos
= δu·∇uχ†
1
+ δu·∇uL†u† + u† ·∇mLδm
(operadores adjuntos)

Assim, obtemos
= δu·∇uχ†
1
+ δu·∇uL†u† + u† ·∇mLδm
= δu· ∇uL†u† +∇uχ†
1
+ u† ·∇mLδm .

Assim, obtemos
∇mχ (m)δm = δu· ∇uL†
u†
+∇uχ†
1
+ u†
·∇mLδm . (3)

Assim, obtemos
∇mχ (m)δm = δu· ∇uL†
u†
+∇uχ†
1
+ u†
·∇mLδm . (3)
Desta forma, pode-se eliminar a dependência de δu exigindo que o
campo auxiliar u† satisfaça:
∇uL†
u†
= −∇uχ†
1
. (4)

Assim, obtemos
∇mχ (m)δm = δu·

∇uL†
u†
+∇uχ†
1
=0

 + u†
·∇mLδm .
∇uL†
u†
= −∇uχ†
1
. (3)
A Eq. (3) é denotada como equação adjunta de Lu = f.

∇uL†
u†
= −∇uχ†
1
. (3)
u† e ∇uχ†
1
: campo adjunto e fonte adjunta.

∇uL†
u†
= −∇uχ†
1
. (3)
u† e ∇uχ†
1
: campo adjunto e fonte adjunta.
Encontrada solução da equação adjunta, o gradiente é simplicado:
∇mχ (m)δm = u†
·∇mLδm .

O cálculo do gradiente pode ser feito com a modelagem de u e u†.

1 L(u,m) = f.

1 L(u,m) = f.
2 ∇uL†u† = −∇uχ†
1

1 L(u,m) = f.
2 ∇uL†u† = −∇uχ†
1
3 ∇mχ (m)δm = u† ·∇mL(u,m)δm

1 L(u,m) = f.
2 ∇uL†u† = −∇uχ†
1
3 ∇mχ (m)δm = u† ·∇mL(u,m)δm
Operador de modelagem linear: L(u) = Lu
Então o operador adjunto é linear e temos,
L†
u†
= −∇uχ†
1
·∇mLuδm

Resumo do Método Adjunto
1 Problema direto:
L(u,m) = f.

1 Problema direto:
L(u,m) = f.
2 Funcional objetivo:
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1

1 Problema direto:
L(u,m) = f.
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1
3 Equação adjunta:
∇uL†
u†
= −∇uχ†
1

1 Problema direto:
L(u,m) = f.
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1
∇uL†
u†
= −∇uχ†
1
4 Gradiente do funcional objetivo:
·∇mLδm

Sumário
6 Resultados
7 Tarefa

Equação da Onda
Equação da onda acústica
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u = f (t)

Equação da Onda
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u = f (t)
Operador de onda acústico
L(u,vp,ρ) = f
L(u,vp,ρ) =
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u

Equação da Onda
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u = f (t)
Operador de onda acústico
L(u,vp,ρ) = f
L(u,vp,ρ) =
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u
Condições iniciais e de contorno
u|t≤t0
= 0, ˙u|t≤t0
= 0 u|x∈∂G = 0.

Operador Adjunto
Devemos encontrar o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz
v∇uLu = u∇v L†
v , ∀u, v
Assim,

Operador Adjunto
v , ∀u, v
Assim,
v∇uLu =
T
dt d3
xv∇uLu

Operador Adjunto
v , ∀u, v
Assim,
v∇uLu =
T
dt d3
xv∇uLu
=
T
dt d3
xv
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u

Operador Adjunto
v , ∀u, v
Assim,
v∇uLu =
T
dt d3
xv
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u

Operador Adjunto
v , ∀u, v
Assim,
v∇uLu =
T
dt d3
xv
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u
=
T
dt d3
xv
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−
T
dt d3
xv∇·
1
ρ
∇u

Operador Adjunto
v , ∀u, v
Assim,
v∇uLu =
T
dt d3
xv
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u
=
T
dt d3
xv
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
Termo v 1
ρv2
p
¨u
−
T
dt d3
xv∇·
1
ρ
∇u
Termo v∇· 1
ρ ∇u

Operador Adjunto
v , ∀u, v
Assim,
v∇uLu =
T
dt d3
xv
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
−∇·
1
ρ
∇u
=
T
dt d3
xv
1
ρv2
p
∂2
u
∂t2
Termo v 1
ρv2
p
¨u
−
T
dt d3
xv∇·
1
ρ
∇u
Termo v∇· 1
ρ ∇u
Vamos trabalhar nesses dois termos separadamente.

Termo v 1
ρv2
p
¨u = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ¨u

Termo v 1
ρv2
p
¨u = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ¨u
É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv):

Termo v 1
ρv2
p
ü = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ü
T
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü =
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü

Termo v 1
ρv2
p
ü = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ü
T
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü =
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü
=
G
d3
x
1
ρv2
p
v ˙u
t1
t0
−
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
˙v ˙u

Termo v 1
ρv2
p
ü = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ü
T
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü =
G
d3
x
1
ρv2
p
v ˙u
t1
t0
−
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
˙v ˙u

Termo v 1
ρv2
p
ü = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ü
T
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü =
G
d3
x
1
ρv2
p
v ˙u
t1
t0
−
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
˙v ˙u
=
G
d3
x
1
ρv2
p
v ˙u
t1
t0
−
G
d3
x
1
ρv2
p
˙vu
t1
t0
+
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
u¨v,

Termo v 1
ρv2
p
ü = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ü
T
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü =
G
d3
x
1
ρv2
p
v ˙u
t1
t0
−
G
d3
x
1
ρv2
p
˙vu
t1
t0
+
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
u¨v,

Termo v 1
ρv2
p
ü = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ü
T
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü =
G
d3
x
1
ρv2
p
v ˙u
t1
−
G
d3
x
1
ρv2
p
˙vu
t1
+
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
u¨v,

Termo v 1
ρv2
p
ü = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ü
T
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü =
G
d3
x
1
ρv2
p
v ˙u
t1
−
G
d3
x
1
ρv2
p
˙vu
t1
+
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
u¨v,
Onde foram utilizadas as condições iniciais u|t≤t0
= ˙u|t≤t0
= 0.

Termo v 1
ρv2
p
ü = T dt G d3x 1
ρv2
p
v ü
T
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
v ü =
G
d3
x
1
ρv2
p
v ˙u
t1
−
G
d3
x
1
ρv2
p
˙vu
t1
+
t1
t0
dt
G
d3
x
1
ρv2
p
u¨v,
Onde foram utilizadas as condições iniciais u|t≤t0
= ˙u|t≤t0
= 0.
Condições nais no campo adjunto,v|t≥t1
= ˙v|t≥t1
= 0 :
v
1
ρv2
p
ü = u
1
ρv2
p
¨v

Termo v∇· 1
ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1
ρ ∇u

Termo v∇· 1
ρ ∇u
Utilizamos a propriedade: ∇· ϕA = ∇ϕ ·A+ϕ∇·A,

Termo v∇· 1
ρ ∇u
Utilizamos a propriedade: ϕ∇·A = ∇· ϕA −∇ϕ ·A,

Termo v∇· 1
ρ ∇u
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
G
d3
xv∇·
1
ρ
∇u

Termo v∇· 1
ρ ∇u
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
G
d3
xv∇·
1
ρ
∇u
=
T
dt
G
d3
x ∇·
1
ρ
v∇u −
1
ρ
∇u ·∇v

Termo v∇· 1
ρ ∇u
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
G
d3
x ∇·
1
ρ
v∇u −
1
ρ
∇u ·∇v

Termo v∇· 1
ρ ∇u
Utilizamos a propriedade: ∇ϕ ·A = ∇· ϕA −ϕ∇·A,
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
G
d3
x ∇·
1
ρ
v∇u −
1
ρ
∇u ·∇v
=
T
dt
G
d3
x ∇·
1
ρ
v∇u −∇·
1
ρ
u∇v +u∇·
1
ρ
∇v

Termo v∇· 1
ρ ∇u
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
G
d3
x ∇·
1
ρ
v∇u −∇·
1
ρ
u∇v +u∇·
1
ρ
∇v

Termo v∇· 1
ρ ∇u
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
G
d3
x ∇·
1
ρ
v∇u −∇·
1
ρ
u∇v +u∇·
1
ρ
∇v
=
T
dt
G
d3
x∇·
1
ρ
v∇u
−
T
dt
G
d3
x∇·
1
ρ
u∇v
+
T
dt
G
d3
xu∇·
1
ρ
∇v

Termo v∇· 1
ρ ∇u
Utilizando o teorema da divergência: G d3
x∇·A = ∂G dS A· ˆn

Termo v∇· 1
ρ ∇u
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
G
d3
x∇·
1
ρ
v∇u
−
T
dt
G
d3
x∇·
1
ρ
u∇v
+
T
dt
G
d3
xu∇·
1
ρ
∇v

Termo v∇· 1
ρ ∇u
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
∂G
dS
1
ρ
v∇u · ˆn
−
T
dt
∂G
dS
1
ρ
u∇v · ˆn
+
T
dt
G
d3
xu∇·
1
ρ
∇v

Termo v∇· 1
ρ ∇u
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
∂G
dS
1
ρ
v∇u · ˆn
+
T
dt
G
d3
xu∇·
1
ρ
∇v
Onde foram utilizadas as condições de contorno u|x∈∂G = 0.

Termo v∇· 1
ρ ∇u
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
∂G
dS
1
ρ
v∇u · ˆn
+
T
dt
G
d3
xu∇·
1
ρ
∇v
Onde foram utilizadas as condições de contorno u|x∈∂G = 0.
Impondo as condições de contorno para o campo adjunto v|x∈∂G = 0:
v∇·
1
ρ
∇u =
T
dt
G
d3
xu∇·
1
ρ
∇v = u∇·
1
ρ
∇v

Operador Adjunto
Encontramos o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz
v , ∀u, v

Operador Adjunto
v , ∀u, v
Como este tem a mesma expressão de L, dizemos que o operador de
onda acústico é auto-adjunto
∇v L†
v =
1
ρv2
p
∂2
v
∂t2
−∇·
1
ρ
∇v

Operador Adjunto
v , ∀u, v
Como este tem a mesma expressão de L, dizemos que o operador de
onda acústico é auto-adjunto
∇v L†
v =
1
ρv2
p
∂2
v
∂t2
−∇·
1
ρ
∇v
Porém, devemos impor condições nais e de contorno para o campo
adjunto:
v|t≥t1
= ˙v|t≥t1
= 0
v|x∈∂G = 0

Discussão
Fitcher 2010, p.160
The obvious numerical diculty in solving the adjoint equation is the
occurrence of the terminal conditions that require that the adjoint
eld be zero at time t = t1 when the observation ends.

Discussão
Fitcher 2010, p.160
In practice, this condition can only be met by solving the adjoint
equation backwards in time, that is by reversing the time axis from
t0 → t1 to t1 → t0.

Discussão
Fitcher 2010, p.160
t0 → t1 to t1 → t0.
The terminal conditions then act as zero initial conditions, at least in
the numerical simulation.

Discussão
Fitcher 2010, p.160
t0 → t1 to t1 → t0.
Time reversal appears in numerous applications including reverse time
migration (e.g. Baysal et al., 1983) and the time-reversal imaging of
seismic sources (e.g. Larmat et al., 2006; Sect. 9.2).

Discussão
Fitcher 2010, p.160
t0 → t1 to t1 → t0.
Time reversal appears in numerous applications including reverse time
migration (e.g. Baysal et al., 1983) and the time-reversal imaging of
seismic sources (e.g. Larmat et al., 2006; Sect. 9.2).
Most of these are closely related to the adjoint method.

Sumário
6 Resultados
7 Tarefa

1 Problema direto:
L(u,m) = f.

1 Problema direto:
L(u,m) = f.
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1

1 Problema direto:
L(u,m) = f.
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1
∇uL†
u†
= −∇uχ†
1

1 Problema direto:
L(u,m) = f.
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1
∇uL†
u†
= −∇uχ†
1
·∇mLδm

Equação adjunta para operador linear L:
L†
u†
= −∇uχ†
1
,
χ1 : integrando do funcional objetivo.
A derivada funcional ∇uχ†
1
deve ser expressa como
∇uχδu = lim
ε→0
1
ε
{χ [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ [u(x,t)]}

L†
u†
= −∇uχ†
1
,
1
∇uχδu = lim
ε→0
1
ε
{χ [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ [u(x,t)]}
= lim
ε→0
1
ε T
dt
G
d3
xχ1 [u(x,t)+εδu(x,t)]
−
T
dt
G
d3
xχ1 [u(x,t)]

L†
u†
= −∇uχ†
1
,
1
∇uχδu = lim
ε→0
1
ε
{χ [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ [u(x,t)]}
= lim
ε→0
1
ε T
dt
G
d3
−
T
dt
G
d3
xχ1 [u(x,t)]
=
T
dt
G
d3
x lim
ε→0
1
ε
{χ1 [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ1 [u(x,t)]}

L†
u†
= −∇uχ†
1
,
1
∇uχδu = lim
ε→0
1
ε
{χ [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ [u(x,t)]}
= lim
ε→0
1
ε T
dt
G
d3
−
T
dt
G
d3
xχ1 [u(x,t)]
=
T
dt
G
d3
x lim
ε→0
1
ε
{χ1 [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ1 [u(x,t)]}
=
T
dt
G
d3
x∇uχ1 [u(x,t)]δu(x,t)

Norma L2 do Resíduo da Forma da Onda
Funcional objetivo
χ (m) =
1
2 T
dt [u (m; xr
,t)−d (xr
,t)]2

Funcional objetivo
χ (m) =
1
2 T
dt [u (m; xr
,t)−d (xr
,t)]2
=
1
2 T
dt
G
d3
x [u (m; x,t)−d (x,t)]2
δ (x−xr
)

Funcional objetivo
χ (m) =
1
2 T
dt [u (m; xr
,t)−d (xr
,t)]2
=
1
2 T
dt
G
d3
x[u (m; x,t)−d (xr
,t)]2
δ (x−xr
)
χ1(m)

Funcional objetivo
χ (m) =
1
2 T
dt [u (m; xr
,t)−d (xr
,t)]2
=
1
2 T
dt
G
d3
,t)]2
δ (x−xr
)
χ1(m)
Integrando χ1
χ1 (m) =
1
2
[u (m; x,t)−d (xr
,t)]2
δ (x−xr
).

Funcional objetivo
χ (m) =
1
2 T
dt [u (m; xr
,t)−d (xr
,t)]2
=
1
2 T
dt
G
d3
,t)]2
δ (x−xr
)
χ1(m)
Integrando χ1
χ1 (m) =
1
2
[u (m; x,t)−d (xr
,t)]2
δ (x−xr
).
Fonte adjunta
f †
(x,t) = −∇uχ1,

Fonte do Campo Adjunto
Fonte adjunta
f †
(x,t) = −∇uχ1

Fonte adjunta
f †
(x,t) = −∇uχ1
∇uχ1δu = lim
ε→0
1
ε
{χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]}

Fonte adjunta
f †
(x,t) = −∇uχ1
∇uχ1δu = lim
ε→0
1
ε
{χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]}
= lim
ε→0
1
2ε
[u (m; x,t)−d (x,t)+εδu]2
−[u (m; x,t)−d (x,t)]2
δ (x−xr
)

Fonte adjunta
f †
(x,t) = −∇uχ1
∇uχ1δu = lim
ε→0
1
ε
{χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]}
= lim
ε→0
1
2ε
−[u (m; x,t)−d (x,t)]2
δ (x−xr
)
= lim
ε→0
1
2ε
{2εδu [u (m; x,t)−d (x,t)]}δ (x−xr
)

Fonte adjunta
f †
(x,t) = −∇uχ1
∇uχ1δu = lim
ε→0
1
ε
{χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]}
= lim
ε→0
1
2ε
−[u (m; x,t)−d (x,t)]2
δ (x−xr
)
= lim
ε→0
1
2ε
)
= [u (m; x,t)−d (x,t)]δ (x−xr
)δu

Fonte adjunta
f †
(x,t) = −∇uχ1
∇uχ1δu = lim
ε→0
1
ε
{χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]}
= lim
ε→0
1
2ε
−[u (m; x,t)−d (x,t)]2
δ (x−xr
)
= lim
ε→0
1
2ε
)
= [u (m; x,t)−d (x,t)]δ (x−xr
)δu
f † (x,t) = −∇uχ1 = −[u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]δ (x−xr )

Discussão
A fonte do campo adjunto são fontes localizadas nas posições dos
receptores.

Discussão
receptores.
A fonte injetada corresponde ao resíduo u (t)−d (t).

Discussão
receptores.
A fonte injetada corresponde ao resíduo u (t)−d (t).
Comumente diz-se que o método adjunto consiste em propagar o
resíduo reversamente no tempo (Fitchner 2009, p. 211).

Sumário
6 Resultados
7 Tarefa

1 Problema direto:
L(u,m) = f.

1 Problema direto:
L(u,m) = f.
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1

1 Problema direto:
L(u,m) = f.
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1
∇uL†
u†
= −∇uχ†
1

1 Problema direto:
L(u,m) = f.
χ (m) =
T
dt
G
d3
xχ1 [u(m;x,t)] = χ1
∇uL†
u†
= −∇uχ†
1
·∇mLδm

Gradiente do Funcional Objetivo
·∇mLδm

·∇mLδm
m = vp

·∇mLδm
m = vp
L(u,vp,ρ) = 1
ρv2
p
∂2
u
∂t2 −∇· 1
ρ ∇u

·∇mLδm
m = vp
L(u,vp,ρ) = 1
ρv2
p
∂2
u
∂t2 −∇· 1
ρ ∇u
·∇mLδm (m = vp)

·∇mLδm
m = vp
L(u,vp,ρ) = 1
ρv2
p
∂2
u
∂t2 −∇· 1
ρ ∇u
·∇mLδm (m = vp)
=
T
dt
G
d3
xu†
∇vp Lδvp

·∇mLδm
m = vp
L(u,vp,ρ) = 1
ρv2
p
∂2
u
∂t2 −∇· 1
ρ ∇u
·∇mLδm (m = vp)
=
T
dt
G
d3
xu†
∇vp Lδvp
=
T
dt
G
d3
xu† −2
ρv3
p
∂2
u
∂t2
δvp

·∇mLδm
m = vp
L(u,vp,ρ) = 1
ρv2
p
∂2
u
∂t2 −∇· 1
ρ ∇u
·∇mLδm (m = vp)
=
T
dt
G
d3
xu†
∇vp Lδvp
=
T
dt
G
d3
xu† −2
ρv3
p
∂2
u
∂t2
δvp
∇vp χ = −2
ρv3
p T dt u† ∂2
u
∂t2

Sumário
6 Resultados
7 Tarefa

adjunto
onda incidentes

adjunto
onda incidentes
calcula-se o dado
residual

adjunto
onda incidentes
calcula-se o dado
residual
calcula o campo de
onda adjunto com a
fonte residual

adjunto
onda incidentes
calcula-se o dado
residual
calcula o campo de
onda adjunto com a
fonte residual
segunda no tempo do
com o campo de onda
de tempo

adjunto
onda incidentes
calcula-se o dado
residual
calcula o campo de
onda adjunto com a
fonte residual
segunda no tempo do
com o campo de onda
de tempo
integra no tempo.

Gradiente no tempo: inversao/m8r/time_gradient
Executar: scons
Visualizar: scons view
Perturbação: Parâmetros k1, l1, k2,l2 → correspondem as posições inciais
e nais da perturbação.
Exemplo: k1=128, l1=138, k2=150, l2=170

FWI
Diretório: inversao/shell
Permissão: chmod +x commands.sh
Executar: ./commands.sh

command.sh
Model Parameters
n1=150 o1=0 d1=0.020
n2=460 o2=0 d2=0.020

command.sh
Model Parameters
n1=150 o1=0 d1=0.020
n2=460 o2=0 d2=0.020
Data Parameters
nw=7 ow=2.0 dw=2. # frequency
ns=115 srcx0=1 srcdx=4 srcz=2 # shot
recz=2 recx0=1 recdx=1 # receiver

command.sh
Model Parameters
n1=150 o1=0 d1=0.020
n2=460 o2=0 d2=0.020
Data Parameters
ns=115 srcx0=1 srcdx=4 srcz=2 # shot
recz=2 recx0=1 recdx=1 # receiver
Inversion parameters
niter=10 # number of iterations
sm=30 # smoothness of initial model

command.sh
Generate Shot File
sfhelm2D_genshot n1=$n1 n2=$n2 ns=$ns d1=$d1 d2=$d2
nw=$nw dw=$dw ow=$ow mag=1.0 nsource=1 dsource=1
srcz=$srcz srcx0=$srcx0 srcdx=$srcdx | sfput o1=0 o2=0 o3=1
source-real.rsf
sfspike n1=$n1 d1=$d1 label1=Depth unit1=km n2=$n2
d2=$d2 label2=Distance unit2=km n3=$ns o3=1 d3=1
label3=Sources unit3=Shot n4=$nw o4=$ow d4=$dw
label4=Frequency unit4=Hz mag=0. source-imag.rsf
sfcmplx source-real.rsf source-imag.rsf source.rsf

command.sh
Generate receiver le for Helmholtz solver
sfhelm2D_genrec n1=$n1 n2=$n2 d1=$d1 d2=$d2 recz=$recz
recx0=$recx0 recdx=$recdx receiver.rsf

command.sh
2D Helmholtz forward solver by LU factorization
sfhelm2D_forward marmvel.rsf source=source.rsf npml=10 verb=y
record.rsf

command.sh
2D Helmholtz forward solver by LU factorization
sfhelm2D_forward marmvel.rsf source=source.rsf npml=10 verb=y
record.rsf
2D Frequency Domain Full Waveform Inversion
../../src/sfhelm2D_fwi marmini.rsf receiver=receiver.rsf
source=source.rsf record=record.rsf dip= niter=$niter uts= npml=10
precond=n radius= alpha0=0.01 out.rsf

FWI: Modelo Suavizado
Initial Model: smooth model
sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm
rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf

FWI: Modelo Linear
Initial Model: linear model
sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf

FWI: Modelo Linear com baixa frequência
Data Parameters

Sumário
6 Resultados
7 Tarefa

Tarefa
1 Escolher um modelo sintético
2 Parametrizar o problema: determinar dimensões (possivelmente
reduzir dimensões), frequência máxima (critério de dispersão).
3 Determinar geometria: número de fontes e receptores, posição....
4 Modelar dado observado.
5 Criar modelo inicial.
6 Realizar inversão e analizar os resultados.

BP 2004 Salt Model
Site: http://software.seg.org/datasets/2D/
2004_BP_Vel_Benchmark/
vel_z6.25m_x12.5m_exact.segy.gz Modelo Verdadeiro
vel_z6.25m_x12.5m_lw.segy.gz Modelo Suavizado
vel_z6.25m_x12.5m_nosalt.segy.gz Modelo sem o corpo de Sal

Hess Model
Site: http://software.seg.org/datasets/2D/Hess_VTI/

Pluto
Site: http://www.ahay.org/data/pluto/
Arquivo: pluto.velo.hh
Comando: sfdd form=native pluto.velo.hh pluto_vel.rsf
datapath=${PWD}/

Sigsbee2A
Site: http://www.ahay.org/data/sigsbee/
Arquivo: sigsbee2a_stratigraphy.sgy
Comando: sfsegyread tle=hdr_sigsbee2a_stratigraphy.rsf
tape=sigsbee2a_stratigraphy.sgy | sfput d2=0.025
sigsbee2a_stratigraphy.rsf datapath=${PWD}/

Ementa
Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação
Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas
Módulo 03 Métodos de Otimização
Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de
ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...)
Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar)
Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015)

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