Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações [5/5]

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Minicurso de FWI ministrado por Bruno Pereira Dias, André Bulcão e Djalma Manoel Soares Filho (PETROBRAS), durante a VII Semana de Inverno de Geofísica, 2016, no IMECC/UNICAMP.

Neste módulo é abordado o Método Adjunto para o cálculo do gradiente da função objetivo do método FWI.

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Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações [5/5]

  1. 1. Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações Módulo 05: Método Adjunto Bruno Pereira Dias, Andé Bulcão, Djalma Manoel Soares Filho VII Semana de Inverno de Geofísica, 6 a 8 de Julho/2016 INCT-GP, UNICAMP, Campinas, SP, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 1 / 55
  2. 2. Ementa Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas Módulo 03 Métodos de Otimização Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...) Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar) Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 2 / 55
  3. 3. Sumário 1 Inversão Sísmica 2 Método Adjunto no Domínio do Tempo 3 Operador Adjunto da Modelagem Acústica da Onda 4 Fonte do Campo Adjunto 5 Derivada dos Parâmetros Estruturais 6 Resultados 7 Tarefa BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 3 / 55
  4. 4. Sumário 1 Inversão Sísmica 2 Método Adjunto no Domínio do Tempo 3 Operador Adjunto da Modelagem Acústica da Onda 4 Fonte do Campo Adjunto 5 Derivada dos Parâmetros Estruturais 6 Resultados 7 Tarefa BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 4 / 55
  5. 5. Problemas Direto e Inverso d = L(p) p = L−1 (d) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 5 / 55
  6. 6. Inversão Sísmica A inversão é uma ferramenta para se obter modelos de propriedades da subsuperfície em alta resolução através do ajuste de dados baseado na modelagem completa da onda. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 6 / 55
  7. 7. Inversão Sísmica A inversão é uma ferramenta para se obter modelos de propriedades da subsuperfície em alta resolução através do ajuste de dados baseado na modelagem completa da onda. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 7 / 55
  8. 8. FWI como um problema de otimização Problema direto: simulação numérica da propagação da onda Calcular o campo de onda u(x,t ou ω) L(p)u(x,t ou ω) = f (x,t ou ω) onde L(p) é um operador diferencial linear em u(x,t ou ω) não linear em p(x) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 8 / 55
  9. 9. FWI como um problema de otimização Problema direto: simulação numérica da propagação da onda Calcular o campo de onda u(x,t ou ω) L(p)u(x,t ou ω) = f (x,t ou ω) onde L(p) é um operador diferencial linear em u(x,t ou ω) não linear em p(x) Solução de um problema inverso Obter m(x) no espaço de parâmetros tal que minmχ (m) = 1 2 Ns ∑ s=1 Rsus (m)−ds 2 Ns: número de fontes Rs: operador de restrição de us para os receptores us (m): solução do problema direto para fonte fs ds: dado registrado (sismograma) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 8 / 55
  10. 10. Como resolver o problema inverso? BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 9 / 55
  11. 11. Como resolver o problema inverso? Métodos de otimização local Visa encontrar um mínimo na vizinhança de um modelo inicial fornecido. O método atualiza o modelo de subsuperfície procurando minimizar iterativamente o valor de χ (m). BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 9 / 55
  12. 12. Como resolver o problema inverso? Métodos de otimização local Visa encontrar um mínimo na vizinhança de um modelo inicial fornecido. O método atualiza o modelo de subsuperfície procurando minimizar iterativamente o valor de χ (m). Lembrando... Método gradiente: hi = −∇mχ (mi ). Método gradiente conjugado: hi = combinação do gradiente e atualização anterior Método de Newton: hi = −H−1 χ (m)·∇mχ (m) Método l-BFGS: hi = combinação de alguns gradientes e atualização anteriores BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 9 / 55
  13. 13. Como resolver o problema inverso? Métodos de otimização local Visa encontrar um mínimo na vizinhança de um modelo inicial fornecido. O método atualiza o modelo de subsuperfície procurando minimizar iterativamente o valor de χ (m). Lembrando... Método gradiente: hi = −∇mχ (mi ). Método gradiente conjugado: hi = combinação do gradiente e atualização anterior Método de Newton: hi = −H−1 χ (m)·∇mχ (m) Método l-BFGS: hi = combinação de alguns gradientes e atualização anteriores O cálculo gradiente ∇mχ (m) é necessário para todos esses métodos!! BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 9 / 55
  14. 14. Cálculo do Gradiente Cálculo do gradiente (força bruta...) (∇mχ (m))i = lim ε→0 1 ε [χ (m+εmi )− χ (m)]. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 10 / 55
  15. 15. Cálculo do Gradiente Cálculo do gradiente (força bruta...) (∇mχ (m))i = lim ε→0 1 ε [χ (m+εmi )− χ (m)]. Calcular ∇mχ (m) diretamente é computacionalmente proibitivo, pois exige a avaliação do funcional objetivo para cada ponto do modelo m. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 10 / 55
  16. 16. Cálculo do Gradiente Cálculo do gradiente (força bruta...) (∇mχ (m))i = lim ε→0 1 ε [χ (m+εmi )− χ (m)]. Calcular ∇mχ (m) diretamente é computacionalmente proibitivo, pois exige a avaliação do funcional objetivo para cada ponto do modelo m. Método adjunto Permite o cálculo do gradiente de χ (m) de uma forma eciente (tanto no domínio do tempo, como no da frequência). BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 10 / 55
  17. 17. Cálculo do gradiente pelo método adjunto u (t): campo da fonte propagação de 0 → T fonte: assinatura do equipamento de aquisição BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 11 / 55
  18. 18. Cálculo do gradiente pelo método adjunto u (t): campo da fonte propagação de 0 → T fonte: assinatura do equipamento de aquisição v (t): campo do receptor propagação de T → 0 fonte: resíduo (dado observado - calculado) na posição dos receptores BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 11 / 55
  19. 19. Cálculo do gradiente pelo método adjunto u (t): campo da fonte propagação de 0 → T fonte: assinatura do equipamento de aquisição v (t): campo do receptor propagação de T → 0 fonte: resíduo (dado observado - calculado) na posição dos receptores Correlação com atraso nulo dos campos ∇vp χ = −2 ρv3 p T 0 dt v (t) ∂2 ∂2 t u (t) Cálculo do gradiente para equação acústico e norma L2. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 11 / 55
  20. 20. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 12 / 55
  21. 21. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes calcula-se o dado residual Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 12 / 55
  22. 22. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes calcula-se o dado residual calcula o campo de onda adjunto com a fonte residual Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 12 / 55
  23. 23. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes calcula-se o dado residual calcula o campo de onda adjunto com a fonte residual multiplica a derivada segunda no tempo do campo de onda incidente com o campo de onda adjunto em cada passo de tempo Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 12 / 55
  24. 24. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes calcula-se o dado residual calcula o campo de onda adjunto com a fonte residual multiplica a derivada segunda no tempo do campo de onda incidente com o campo de onda adjunto em cada passo de tempo integra no tempo. Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 12 / 55
  25. 25. Gradiente no tempo: inversao/m8r/time_gradient Executar: scons Visualizar: scons view Perturbação: Parâmetros k1, l1, k2,l2 → correspondem as posições inciais e nais da perturbação. Exemplo: k1=128, l1=138, k2=150, l2=170 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 13 / 55
  26. 26. Sumário 1 Inversão Sísmica 2 Método Adjunto no Domínio do Tempo 3 Operador Adjunto da Modelagem Acústica da Onda 4 Fonte do Campo Adjunto 5 Derivada dos Parâmetros Estruturais 6 Resultados 7 Tarefa BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 14 / 55
  27. 27. Método Adjunto no Domínio do Tempo Operador de modelagem do problema, L, atuando sobre um conjunto de campos físicos, u, que dependem do modelo, m, através da equação L(u,m) = f, onde f são as fontes externas. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 15 / 55
  28. 28. Método Adjunto no Domínio do Tempo Dado um conjunto de dados observados, d, desejamos encontrar o modelo, m, tal que um funcional objetivo χ (m) seja minimizado. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 15 / 55
  29. 29. Método Adjunto no Domínio do Tempo Uma escolha bastante popular para o funcional objetivo é a norma L2 do resíduo δu = u−d , nos pontos de observação xr : χ (m) = 1 2 T dt G d3 x|u(m;x,t)−d|2 δ (x−xr ). BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 15 / 55
  30. 30. Método Adjunto no Domínio do Tempo De maneira geral, vamos denotar χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 (m) , onde χ1 é um funcional objetivo a ser especicado e · é uma notação para integração no tempo e no espaço T ×G. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 15 / 55
  31. 31. Método Adjunto no Domínio do Tempo Operador de modelagem do problema, L, atuando sobre um conjunto de campos físicos, u, que dependem do modelo, m, através da equação L(u,m) = f, onde f são as fontes externas. Dado um conjunto de dados observados, d, desejamos encontrar o modelo, m, tal que um funcional objetivo χ (m) seja minimizado. Uma escolha bastante popular para o funcional objetivo é a norma L2 do resíduo δu = u−d , nos pontos de observação xr : χ (m) = 1 2 T dt G d3 x|u(m;x,t)−d|2 δ (x−xr ). De maneira geral, vamos denotar χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 (m) , onde χ1 é um funcional objetivo a ser especicado e · é uma notação para integração no tempo e no espaço T ×G. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 15 / 55
  32. 32. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  33. 33. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. Pode-se aplicar a regra da cadeia: ∇mχ (m)δm = BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  34. 34. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. Pode-se aplicar a regra da cadeia: ∇mχ (m)δm = ∇uχ (m)∇mu δm BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  35. 35. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. Pode-se aplicar a regra da cadeia: ∇mχ (m)δm = ∇uχ (m)∇mu δm δu BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  36. 36. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. Pode-se aplicar a regra da cadeia: ∇mχ (m)δm = ∇uχ (m)∇mu δm δu = ∇uχ (m)δu BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  37. 37. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. Pode-se aplicar a regra da cadeia: ∇mχ (m)δm = ∇uχ (m)∇mu δm δu = ∇uχ (m)δu = T dt G d3 x∇uχ1 [u(m;x,t)]δu BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  38. 38. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. Pode-se aplicar a regra da cadeia: ∇mχ (m)δm = ∇uχ (m)∇mu δm δu = ∇uχ (m)δu = T dt G d3 x∇uχ1 [u(m;x,t)]δu = ∇uχ1δu BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  39. 39. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. Pode-se aplicar a regra da cadeia: ∇mχ (m)δm = ∇uχ (m)∇mu δm δu = ∇uχ (m)δu = T dt G d3 x∇uχ1 [u(m;x,t)]δu = ∇uχ1δu δu ≡ ∇mu δm: a derivada de u com relação a m na direção de δm. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  40. 40. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. Pode-se aplicar a regra da cadeia: ∇mχ (m)δm = ∇uχ (m)∇mu δm δu = ∇uχ (m)δu = T dt G d3 x∇uχ1 [u(m;x,t)]δu = ∇uχ1δu δu ≡ ∇mu δm: a derivada de u com relação a m na direção de δm. Avaliar δu diretamente também é computacionalmente custoso, pois é necessário modelar u(m+εδm) para cada direção δm. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  41. 41. Método Adjunto no Domínio do Tempo Vamos se aproveitar do fato que χ (m) = χ [u(m)]. Pode-se aplicar a regra da cadeia: ∇mχ (m)δm = ∇uχ (m)∇mu δm δu = ∇uχ (m)δu = T dt G d3 x∇uχ1 [u(m;x,t)]δu = ∇uχ1δu δu ≡ ∇mu δm: a derivada de u com relação a m na direção de δm. Avaliar δu diretamente também é computacionalmente custoso, pois é necessário modelar u(m+εδm) para cada direção δm. Portanto, deve-se eliminar o cálculo direto de δu. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 16 / 55
  42. 42. Método Adjunto no Domínio do Tempo Como eliminar a dependência de δu? BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 17 / 55
  43. 43. Método Adjunto no Domínio do Tempo Como eliminar a dependência de δu? 1 Utilizar a regra da cadeia na derivação da equação de modelagem L(u,m) = f com relação a m: ∇mLδm+∇uLδu = 0. (1) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 17 / 55
  44. 44. Método Adjunto no Domínio do Tempo Como eliminar a dependência de δu? 1 Utilizar a regra da cadeia na derivação da equação de modelagem L(u,m) = f com relação a m: ∇mLδm+∇uLδu = 0. (1) 2 O lado direito da Equação (1) se anula, pois as fontes externas não dependem do do modelo m. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 17 / 55
  45. 45. Método Adjunto no Domínio do Tempo Como eliminar a dependência de δu? 1 Utilizar a regra da cadeia na derivação da equação de modelagem L(u,m) = f com relação a m: ∇mLδm+∇uLδu = 0. (1) 2 O lado direito da Equação (1) se anula, pois as fontes externas não dependem do do modelo m. 3 Multiplicar a Equação (1) por uma função teste u† (a ser denida), e aplica-se a integração sobre o espaço e o tempo · : u† ·∇mLδm + u† ·∇uLδu = 0. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 17 / 55
  46. 46. Método Adjunto no Domínio do Tempo Como eliminar a dependência de δu? 1 Utilizar a regra da cadeia na derivação da equação de modelagem L(u,m) = f com relação a m: ∇mLδm+∇uLδu = 0. (1) 2 O lado direito da Equação (1) se anula, pois as fontes externas não dependem do do modelo m. 3 Multiplicar a Equação (1) por uma função teste u† (a ser denida), e aplica-se a integração sobre o espaço e o tempo · : u† ·∇mLδm + u† ·∇uLδu = 0. 4 Adicionar essa expressão a ∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu : ∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu + u† ·∇mLδm + u† ·∇uLδu . (2) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 17 / 55
  47. 47. Método Adjunto no Domínio do Tempo Podemos reecrever a expressão (2) com o auxílio dos operadores adjuntos ∇uχ† 1 e ∇uL†, que são os operadores que satisfazem as relações ∇uχ1δu = δu·∇uχ† 1 u† ∇uLδu = δu·∇uL† u† para todo δu e u†. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 18 / 55
  48. 48. Método Adjunto no Domínio do Tempo Podemos reecrever a expressão (2) com o auxílio dos operadores adjuntos ∇uχ† 1 e ∇uL†, que são os operadores que satisfazem as relações ∇uχ1δu = δu·∇uχ† 1 u† ∇uLδu = δu·∇uL† u† para todo δu e u†. Operador Adjunto Dado um produto interno entre dois vetores u·v = v·u o operador adjunto L† de um operador L deve satifazer u·Lv = L† u·v , ∀u, v. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 18 / 55
  49. 49. Método Adjunto no Domínio do Tempo Assim, obtemos ∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  50. 50. Método Adjunto no Domínio do Tempo Assim, obtemos ∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu + u† ·∇uLδu + u† ·∇mLδm =0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  51. 51. Método Adjunto no Domínio do Tempo Assim, obtemos ∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu + u† ·∇uLδu + u† ·∇mLδm BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  52. 52. Método Adjunto no Domínio do Tempo Assim, obtemos ∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu + u† ·∇uLδu + u† ·∇mLδm = δu·∇uχ† 1 + δu·∇uL†u† + u† ·∇mLδm (operadores adjuntos) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  53. 53. Método Adjunto no Domínio do Tempo Assim, obtemos ∇mχ (m)δm = ∇uχ1δu + u† ·∇uLδu + u† ·∇mLδm = δu·∇uχ† 1 + δu·∇uL†u† + u† ·∇mLδm = δu· ∇uL†u† +∇uχ† 1 + u† ·∇mLδm . BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  54. 54. Método Adjunto no Domínio do Tempo Assim, obtemos ∇mχ (m)δm = δu· ∇uL† u† +∇uχ† 1 + u† ·∇mLδm . (3) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  55. 55. Método Adjunto no Domínio do Tempo Assim, obtemos ∇mχ (m)δm = δu· ∇uL† u† +∇uχ† 1 + u† ·∇mLδm . (3) Desta forma, pode-se eliminar a dependência de δu exigindo que o campo auxiliar u† satisfaça: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 . (4) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  56. 56. Método Adjunto no Domínio do Tempo Assim, obtemos ∇mχ (m)δm = δu·  ∇uL† u† +∇uχ† 1 =0   + u† ·∇mLδm . Desta forma, pode-se eliminar a dependência de δu exigindo que o campo auxiliar u† satisfaça: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 . (3) A Eq. (3) é denotada como equação adjunta de Lu = f. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  57. 57. Método Adjunto no Domínio do Tempo Desta forma, pode-se eliminar a dependência de δu exigindo que o campo auxiliar u† satisfaça: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 . (3) A Eq. (3) é denotada como equação adjunta de Lu = f. u† e ∇uχ† 1 : campo adjunto e fonte adjunta. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  58. 58. Método Adjunto no Domínio do Tempo Desta forma, pode-se eliminar a dependência de δu exigindo que o campo auxiliar u† satisfaça: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 . (3) A Eq. (3) é denotada como equação adjunta de Lu = f. u† e ∇uχ† 1 : campo adjunto e fonte adjunta. Encontrada solução da equação adjunta, o gradiente é simplicado: ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm . BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 19 / 55
  59. 59. Método Adjunto no Domínio do Tempo O cálculo do gradiente pode ser feito com a modelagem de u e u†. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 20 / 55
  60. 60. Método Adjunto no Domínio do Tempo O cálculo do gradiente pode ser feito com a modelagem de u e u†. 1 L(u,m) = f. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 20 / 55
  61. 61. Método Adjunto no Domínio do Tempo O cálculo do gradiente pode ser feito com a modelagem de u e u†. 1 L(u,m) = f. 2 ∇uL†u† = −∇uχ† 1 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 20 / 55
  62. 62. Método Adjunto no Domínio do Tempo O cálculo do gradiente pode ser feito com a modelagem de u e u†. 1 L(u,m) = f. 2 ∇uL†u† = −∇uχ† 1 3 ∇mχ (m)δm = u† ·∇mL(u,m)δm BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 20 / 55
  63. 63. Método Adjunto no Domínio do Tempo O cálculo do gradiente pode ser feito com a modelagem de u e u†. 1 L(u,m) = f. 2 ∇uL†u† = −∇uχ† 1 3 ∇mχ (m)δm = u† ·∇mL(u,m)δm Operador de modelagem linear: L(u) = Lu Então o operador adjunto é linear e temos, L† u† = −∇uχ† 1 ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLuδm BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 20 / 55
  64. 64. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 21 / 55
  65. 65. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. 2 Funcional objetivo: χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 21 / 55
  66. 66. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. 2 Funcional objetivo: χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 3 Equação adjunta: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 21 / 55
  67. 67. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. 2 Funcional objetivo: χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 3 Equação adjunta: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 4 Gradiente do funcional objetivo: ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 21 / 55
  68. 68. Sumário 1 Inversão Sísmica 2 Método Adjunto no Domínio do Tempo 3 Operador Adjunto da Modelagem Acústica da Onda 4 Fonte do Campo Adjunto 5 Derivada dos Parâmetros Estruturais 6 Resultados 7 Tarefa BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 22 / 55
  69. 69. Equação da Onda Equação da onda acústica 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u = f (t) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 23 / 55
  70. 70. Equação da Onda Equação da onda acústica 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u = f (t) Operador de onda acústico L(u,vp,ρ) = f L(u,vp,ρ) = 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 23 / 55
  71. 71. Equação da Onda Equação da onda acústica 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u = f (t) Operador de onda acústico L(u,vp,ρ) = f L(u,vp,ρ) = 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u Condições iniciais e de contorno u|t≤t0 = 0, ˙u|t≤t0 = 0 u|x∈∂G = 0. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 23 / 55
  72. 72. Operador Adjunto Devemos encontrar o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v Assim, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 24 / 55
  73. 73. Operador Adjunto Devemos encontrar o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v Assim, v∇uLu = T dt d3 xv∇uLu BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 24 / 55
  74. 74. Operador Adjunto Devemos encontrar o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v Assim, v∇uLu = T dt d3 xv∇uLu = T dt d3 xv 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 24 / 55
  75. 75. Operador Adjunto Devemos encontrar o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v Assim, v∇uLu = T dt d3 xv 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 24 / 55
  76. 76. Operador Adjunto Devemos encontrar o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v Assim, v∇uLu = T dt d3 xv 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u = T dt d3 xv 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 − T dt d3 xv∇· 1 ρ ∇u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 24 / 55
  77. 77. Operador Adjunto Devemos encontrar o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v Assim, v∇uLu = T dt d3 xv 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u = T dt d3 xv 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 Termo v 1 ρv2 p ¨u − T dt d3 xv∇· 1 ρ ∇u Termo v∇· 1 ρ ∇u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 24 / 55
  78. 78. Operador Adjunto Devemos encontrar o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v Assim, v∇uLu = T dt d3 xv 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u = T dt d3 xv 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 Termo v 1 ρv2 p ¨u − T dt d3 xv∇· 1 ρ ∇u Termo v∇· 1 ρ ∇u Vamos trabalhar nesses dois termos separadamente. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 24 / 55
  79. 79. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  80. 80. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv): BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  81. 81. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv): T dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u = t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  82. 82. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv): T dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u = t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u = G d3 x 1 ρv2 p v ˙u t1 t0 − t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p ˙v ˙u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  83. 83. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv): T dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u = G d3 x 1 ρv2 p v ˙u t1 t0 − t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p ˙v ˙u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  84. 84. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv): T dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u = G d3 x 1 ρv2 p v ˙u t1 t0 − t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p ˙v ˙u = G d3 x 1 ρv2 p v ˙u t1 t0 − G d3 x 1 ρv2 p ˙vu t1 t0 + t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p u¨v, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  85. 85. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv): T dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u = G d3 x 1 ρv2 p v ˙u t1 t0 − G d3 x 1 ρv2 p ˙vu t1 t0 + t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p u¨v, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  86. 86. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv): T dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u = G d3 x 1 ρv2 p v ˙u t1 − G d3 x 1 ρv2 p ˙vu t1 + t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p u¨v, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  87. 87. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv): T dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u = G d3 x 1 ρv2 p v ˙u t1 − G d3 x 1 ρv2 p ˙vu t1 + t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p u¨v, Onde foram utilizadas as condições iniciais u|t≤t0 = ˙u|t≤t0 = 0. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  88. 88. Termo v 1 ρv2 p ¨u = T dt G d3x 1 ρv2 p v ¨u É resolvido através de duas integrações por partes ( u ˙v = uv|− ˙uv): T dt G d3 x 1 ρv2 p v ¨u = G d3 x 1 ρv2 p v ˙u t1 − G d3 x 1 ρv2 p ˙vu t1 + t1 t0 dt G d3 x 1 ρv2 p u¨v, Onde foram utilizadas as condições iniciais u|t≤t0 = ˙u|t≤t0 = 0. Condições nais no campo adjunto,v|t≥t1 = ˙v|t≥t1 = 0 : v 1 ρv2 p ¨u = u 1 ρv2 p ¨v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 25 / 55
  89. 89. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 26 / 55
  90. 90. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizamos a propriedade: ∇· ϕA = ∇ϕ ·A+ϕ∇·A, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 26 / 55
  91. 91. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizamos a propriedade: ϕ∇·A = ∇· ϕA −∇ϕ ·A, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 26 / 55
  92. 92. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizamos a propriedade: ϕ∇·A = ∇· ϕA −∇ϕ ·A, v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3 xv∇· 1 ρ ∇u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 26 / 55
  93. 93. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizamos a propriedade: ϕ∇·A = ∇· ϕA −∇ϕ ·A, v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3 xv∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3 x ∇· 1 ρ v∇u − 1 ρ ∇u ·∇v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 26 / 55
  94. 94. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizamos a propriedade: ϕ∇·A = ∇· ϕA −∇ϕ ·A, v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3 x ∇· 1 ρ v∇u − 1 ρ ∇u ·∇v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 26 / 55
  95. 95. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizamos a propriedade: ∇ϕ ·A = ∇· ϕA −ϕ∇·A, v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3 x ∇· 1 ρ v∇u − 1 ρ ∇u ·∇v = T dt G d3 x ∇· 1 ρ v∇u −∇· 1 ρ u∇v +u∇· 1 ρ ∇v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 26 / 55
  96. 96. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizamos a propriedade: ∇ϕ ·A = ∇· ϕA −ϕ∇·A, v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3 x ∇· 1 ρ v∇u −∇· 1 ρ u∇v +u∇· 1 ρ ∇v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 26 / 55
  97. 97. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizamos a propriedade: ∇ϕ ·A = ∇· ϕA −ϕ∇·A, v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3 x ∇· 1 ρ v∇u −∇· 1 ρ u∇v +u∇· 1 ρ ∇v = T dt G d3 x∇· 1 ρ v∇u − T dt G d3 x∇· 1 ρ u∇v + T dt G d3 xu∇· 1 ρ ∇v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 26 / 55
  98. 98. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizando o teorema da divergência: G d3 x∇·A = ∂G dS A· ˆn BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 27 / 55
  99. 99. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizando o teorema da divergência: G d3 x∇·A = ∂G dS A· ˆn v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3 x∇· 1 ρ v∇u − T dt G d3 x∇· 1 ρ u∇v + T dt G d3 xu∇· 1 ρ ∇v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 27 / 55
  100. 100. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizando o teorema da divergência: G d3 x∇·A = ∂G dS A· ˆn v∇· 1 ρ ∇u = T dt ∂G dS 1 ρ v∇u · ˆn − T dt ∂G dS 1 ρ u∇v · ˆn + T dt G d3 xu∇· 1 ρ ∇v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 27 / 55
  101. 101. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizando o teorema da divergência: G d3 x∇·A = ∂G dS A· ˆn v∇· 1 ρ ∇u = T dt ∂G dS 1 ρ v∇u · ˆn + T dt G d3 xu∇· 1 ρ ∇v Onde foram utilizadas as condições de contorno u|x∈∂G = 0. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 27 / 55
  102. 102. Termo v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3xv∇· 1 ρ ∇u Utilizando o teorema da divergência: G d3 x∇·A = ∂G dS A· ˆn v∇· 1 ρ ∇u = T dt ∂G dS 1 ρ v∇u · ˆn + T dt G d3 xu∇· 1 ρ ∇v Onde foram utilizadas as condições de contorno u|x∈∂G = 0. Impondo as condições de contorno para o campo adjunto v|x∈∂G = 0: v∇· 1 ρ ∇u = T dt G d3 xu∇· 1 ρ ∇v = u∇· 1 ρ ∇v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 27 / 55
  103. 103. Operador Adjunto Encontramos o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 28 / 55
  104. 104. Operador Adjunto Encontramos o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v Como este tem a mesma expressão de L, dizemos que o operador de onda acústico é auto-adjunto ∇v L† v = 1 ρv2 p ∂2 v ∂t2 −∇· 1 ρ ∇v BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 28 / 55
  105. 105. Operador Adjunto Encontramos o adjunto do operador de onda acústico, L†, que satifaz v∇uLu = u∇v L† v , ∀u, v Como este tem a mesma expressão de L, dizemos que o operador de onda acústico é auto-adjunto ∇v L† v = 1 ρv2 p ∂2 v ∂t2 −∇· 1 ρ ∇v Porém, devemos impor condições nais e de contorno para o campo adjunto: v|t≥t1 = ˙v|t≥t1 = 0 v|x∈∂G = 0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 28 / 55
  106. 106. Discussão Fitcher 2010, p.160 The obvious numerical diculty in solving the adjoint equation is the occurrence of the terminal conditions that require that the adjoint eld be zero at time t = t1 when the observation ends. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 29 / 55
  107. 107. Discussão Fitcher 2010, p.160 The obvious numerical diculty in solving the adjoint equation is the occurrence of the terminal conditions that require that the adjoint eld be zero at time t = t1 when the observation ends. In practice, this condition can only be met by solving the adjoint equation backwards in time, that is by reversing the time axis from t0 → t1 to t1 → t0. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 29 / 55
  108. 108. Discussão Fitcher 2010, p.160 The obvious numerical diculty in solving the adjoint equation is the occurrence of the terminal conditions that require that the adjoint eld be zero at time t = t1 when the observation ends. In practice, this condition can only be met by solving the adjoint equation backwards in time, that is by reversing the time axis from t0 → t1 to t1 → t0. The terminal conditions then act as zero initial conditions, at least in the numerical simulation. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 29 / 55
  109. 109. Discussão Fitcher 2010, p.160 The obvious numerical diculty in solving the adjoint equation is the occurrence of the terminal conditions that require that the adjoint eld be zero at time t = t1 when the observation ends. In practice, this condition can only be met by solving the adjoint equation backwards in time, that is by reversing the time axis from t0 → t1 to t1 → t0. The terminal conditions then act as zero initial conditions, at least in the numerical simulation. Time reversal appears in numerous applications including reverse time migration (e.g. Baysal et al., 1983) and the time-reversal imaging of seismic sources (e.g. Larmat et al., 2006; Sect. 9.2). BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 29 / 55
  110. 110. Discussão Fitcher 2010, p.160 The obvious numerical diculty in solving the adjoint equation is the occurrence of the terminal conditions that require that the adjoint eld be zero at time t = t1 when the observation ends. In practice, this condition can only be met by solving the adjoint equation backwards in time, that is by reversing the time axis from t0 → t1 to t1 → t0. The terminal conditions then act as zero initial conditions, at least in the numerical simulation. Time reversal appears in numerous applications including reverse time migration (e.g. Baysal et al., 1983) and the time-reversal imaging of seismic sources (e.g. Larmat et al., 2006; Sect. 9.2). Most of these are closely related to the adjoint method. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 29 / 55
  111. 111. Sumário 1 Inversão Sísmica 2 Método Adjunto no Domínio do Tempo 3 Operador Adjunto da Modelagem Acústica da Onda 4 Fonte do Campo Adjunto 5 Derivada dos Parâmetros Estruturais 6 Resultados 7 Tarefa BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 30 / 55
  112. 112. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 31 / 55
  113. 113. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. 2 Funcional objetivo: χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 31 / 55
  114. 114. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. 2 Funcional objetivo: χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 3 Equação adjunta: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 31 / 55
  115. 115. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. 2 Funcional objetivo: χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 3 Equação adjunta: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 4 Gradiente do funcional objetivo: ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 31 / 55
  116. 116. Equação adjunta para operador linear L: L† u† = −∇uχ† 1 , χ1 : integrando do funcional objetivo. A derivada funcional ∇uχ† 1 deve ser expressa como ∇uχδu = lim ε→0 1 ε {χ [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ [u(x,t)]} BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 32 / 55
  117. 117. Equação adjunta para operador linear L: L† u† = −∇uχ† 1 , χ1 : integrando do funcional objetivo. A derivada funcional ∇uχ† 1 deve ser expressa como ∇uχδu = lim ε→0 1 ε {χ [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ [u(x,t)]} = lim ε→0 1 ε T dt G d3 xχ1 [u(x,t)+εδu(x,t)] − T dt G d3 xχ1 [u(x,t)] BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 32 / 55
  118. 118. Equação adjunta para operador linear L: L† u† = −∇uχ† 1 , χ1 : integrando do funcional objetivo. A derivada funcional ∇uχ† 1 deve ser expressa como ∇uχδu = lim ε→0 1 ε {χ [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ [u(x,t)]} = lim ε→0 1 ε T dt G d3 xχ1 [u(x,t)+εδu(x,t)] − T dt G d3 xχ1 [u(x,t)] = T dt G d3 x lim ε→0 1 ε {χ1 [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ1 [u(x,t)]} BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 32 / 55
  119. 119. Equação adjunta para operador linear L: L† u† = −∇uχ† 1 , χ1 : integrando do funcional objetivo. A derivada funcional ∇uχ† 1 deve ser expressa como ∇uχδu = lim ε→0 1 ε {χ [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ [u(x,t)]} = lim ε→0 1 ε T dt G d3 xχ1 [u(x,t)+εδu(x,t)] − T dt G d3 xχ1 [u(x,t)] = T dt G d3 x lim ε→0 1 ε {χ1 [u(x,t)+εδu(x,t)]− χ1 [u(x,t)]} = T dt G d3 x∇uχ1 [u(x,t)]δu(x,t) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 32 / 55
  120. 120. Norma L2 do Resíduo da Forma da Onda Funcional objetivo χ (m) = 1 2 T dt [u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]2 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 33 / 55
  121. 121. Norma L2 do Resíduo da Forma da Onda Funcional objetivo χ (m) = 1 2 T dt [u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]2 = 1 2 T dt G d3 x [u (m; x,t)−d (x,t)]2 δ (x−xr ) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 33 / 55
  122. 122. Norma L2 do Resíduo da Forma da Onda Funcional objetivo χ (m) = 1 2 T dt [u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]2 = 1 2 T dt G d3 x[u (m; x,t)−d (xr ,t)]2 δ (x−xr ) χ1(m) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 33 / 55
  123. 123. Norma L2 do Resíduo da Forma da Onda Funcional objetivo χ (m) = 1 2 T dt [u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]2 = 1 2 T dt G d3 x[u (m; x,t)−d (xr ,t)]2 δ (x−xr ) χ1(m) Integrando χ1 χ1 (m) = 1 2 [u (m; x,t)−d (xr ,t)]2 δ (x−xr ). BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 33 / 55
  124. 124. Norma L2 do Resíduo da Forma da Onda Funcional objetivo χ (m) = 1 2 T dt [u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]2 = 1 2 T dt G d3 x[u (m; x,t)−d (xr ,t)]2 δ (x−xr ) χ1(m) Integrando χ1 χ1 (m) = 1 2 [u (m; x,t)−d (xr ,t)]2 δ (x−xr ). Fonte adjunta f † (x,t) = −∇uχ1, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 33 / 55
  125. 125. Fonte do Campo Adjunto Fonte adjunta f † (x,t) = −∇uχ1 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 34 / 55
  126. 126. Fonte do Campo Adjunto Fonte adjunta f † (x,t) = −∇uχ1 ∇uχ1δu = lim ε→0 1 ε {χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]} BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 34 / 55
  127. 127. Fonte do Campo Adjunto Fonte adjunta f † (x,t) = −∇uχ1 ∇uχ1δu = lim ε→0 1 ε {χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]} = lim ε→0 1 2ε [u (m; x,t)−d (x,t)+εδu]2 −[u (m; x,t)−d (x,t)]2 δ (x−xr ) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 34 / 55
  128. 128. Fonte do Campo Adjunto Fonte adjunta f † (x,t) = −∇uχ1 ∇uχ1δu = lim ε→0 1 ε {χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]} = lim ε→0 1 2ε [u (m; x,t)−d (x,t)+εδu]2 −[u (m; x,t)−d (x,t)]2 δ (x−xr ) = lim ε→0 1 2ε {2εδu [u (m; x,t)−d (x,t)]}δ (x−xr ) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 34 / 55
  129. 129. Fonte do Campo Adjunto Fonte adjunta f † (x,t) = −∇uχ1 ∇uχ1δu = lim ε→0 1 ε {χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]} = lim ε→0 1 2ε [u (m; x,t)−d (x,t)+εδu]2 −[u (m; x,t)−d (x,t)]2 δ (x−xr ) = lim ε→0 1 2ε {2εδu [u (m; x,t)−d (x,t)]}δ (x−xr ) = [u (m; x,t)−d (x,t)]δ (x−xr )δu BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 34 / 55
  130. 130. Fonte do Campo Adjunto Fonte adjunta f † (x,t) = −∇uχ1 ∇uχ1δu = lim ε→0 1 ε {χ1 [u (x,t)+εδu (x,t)]− χ1 [u (x,t)]} = lim ε→0 1 2ε [u (m; x,t)−d (x,t)+εδu]2 −[u (m; x,t)−d (x,t)]2 δ (x−xr ) = lim ε→0 1 2ε {2εδu [u (m; x,t)−d (x,t)]}δ (x−xr ) = [u (m; x,t)−d (x,t)]δ (x−xr )δu f † (x,t) = −∇uχ1 = −[u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]δ (x−xr ) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 34 / 55
  131. 131. Fonte do Campo Adjunto f † (x,t) = −∇uχ1 = −[u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]δ (x−xr ) Discussão A fonte do campo adjunto são fontes localizadas nas posições dos receptores. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 35 / 55
  132. 132. Fonte do Campo Adjunto f † (x,t) = −∇uχ1 = −[u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]δ (x−xr ) Discussão A fonte do campo adjunto são fontes localizadas nas posições dos receptores. A fonte injetada corresponde ao resíduo u (t)−d (t). BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 35 / 55
  133. 133. Fonte do Campo Adjunto f † (x,t) = −∇uχ1 = −[u (m; xr ,t)−d (xr ,t)]δ (x−xr ) Discussão A fonte do campo adjunto são fontes localizadas nas posições dos receptores. A fonte injetada corresponde ao resíduo u (t)−d (t). Comumente diz-se que o método adjunto consiste em propagar o resíduo reversamente no tempo (Fitchner 2009, p. 211). BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 35 / 55
  134. 134. Sumário 1 Inversão Sísmica 2 Método Adjunto no Domínio do Tempo 3 Operador Adjunto da Modelagem Acústica da Onda 4 Fonte do Campo Adjunto 5 Derivada dos Parâmetros Estruturais 6 Resultados 7 Tarefa BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 36 / 55
  135. 135. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 37 / 55
  136. 136. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. 2 Funcional objetivo: χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 37 / 55
  137. 137. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. 2 Funcional objetivo: χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 3 Equação adjunta: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 37 / 55
  138. 138. Resumo do Método Adjunto 1 Problema direto: L(u,m) = f. 2 Funcional objetivo: χ (m) = T dt G d3 xχ1 [u(m;x,t)] = χ1 3 Equação adjunta: ∇uL† u† = −∇uχ† 1 4 Gradiente do funcional objetivo: ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 37 / 55
  139. 139. Gradiente do Funcional Objetivo ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 38 / 55
  140. 140. Gradiente do Funcional Objetivo ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm m = vp BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 38 / 55
  141. 141. Gradiente do Funcional Objetivo ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm m = vp L(u,vp,ρ) = 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 38 / 55
  142. 142. Gradiente do Funcional Objetivo ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm m = vp L(u,vp,ρ) = 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm (m = vp) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 38 / 55
  143. 143. Gradiente do Funcional Objetivo ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm m = vp L(u,vp,ρ) = 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm (m = vp) = T dt G d3 xu† ∇vp Lδvp BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 38 / 55
  144. 144. Gradiente do Funcional Objetivo ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm m = vp L(u,vp,ρ) = 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm (m = vp) = T dt G d3 xu† ∇vp Lδvp = T dt G d3 xu† −2 ρv3 p ∂2 u ∂t2 δvp BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 38 / 55
  145. 145. Gradiente do Funcional Objetivo ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm m = vp L(u,vp,ρ) = 1 ρv2 p ∂2 u ∂t2 −∇· 1 ρ ∇u ∇mχ (m)δm = u† ·∇mLδm (m = vp) = T dt G d3 xu† ∇vp Lδvp = T dt G d3 xu† −2 ρv3 p ∂2 u ∂t2 δvp ∇vp χ = −2 ρv3 p T dt u† ∂2 u ∂t2 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 38 / 55
  146. 146. Sumário 1 Inversão Sísmica 2 Método Adjunto no Domínio do Tempo 3 Operador Adjunto da Modelagem Acústica da Onda 4 Fonte do Campo Adjunto 5 Derivada dos Parâmetros Estruturais 6 Resultados 7 Tarefa BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 39 / 55
  147. 147. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 40 / 55
  148. 148. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes calcula-se o dado residual Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 40 / 55
  149. 149. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes calcula-se o dado residual calcula o campo de onda adjunto com a fonte residual Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 40 / 55
  150. 150. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes calcula-se o dado residual calcula o campo de onda adjunto com a fonte residual multiplica a derivada segunda no tempo do campo de onda incidente com o campo de onda adjunto em cada passo de tempo Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 40 / 55
  151. 151. Cálculo do gradiente no domínio do tempo pelo método adjunto calcula os campos de onda incidentes calcula-se o dado residual calcula o campo de onda adjunto com a fonte residual multiplica a derivada segunda no tempo do campo de onda incidente com o campo de onda adjunto em cada passo de tempo integra no tempo. Figura extraída de Operto, 2013 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 40 / 55
  152. 152. Gradiente no tempo: inversao/m8r/time_gradient Executar: scons Visualizar: scons view Perturbação: Parâmetros k1, l1, k2,l2 → correspondem as posições inciais e nais da perturbação. Exemplo: k1=128, l1=138, k2=150, l2=170 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 41 / 55
  153. 153. FWI Diretório: inversao/shell Permissão: chmod +x commands.sh Executar: ./commands.sh BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 42 / 55
  154. 154. command.sh Model Parameters n1=150 o1=0 d1=0.020 n2=460 o2=0 d2=0.020 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 43 / 55
  155. 155. command.sh Model Parameters n1=150 o1=0 d1=0.020 n2=460 o2=0 d2=0.020 Data Parameters nw=7 ow=2.0 dw=2. # frequency ns=115 srcx0=1 srcdx=4 srcz=2 # shot recz=2 recx0=1 recdx=1 # receiver BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 43 / 55
  156. 156. command.sh Model Parameters n1=150 o1=0 d1=0.020 n2=460 o2=0 d2=0.020 Data Parameters nw=7 ow=2.0 dw=2. # frequency ns=115 srcx0=1 srcdx=4 srcz=2 # shot recz=2 recx0=1 recdx=1 # receiver Inversion parameters niter=10 # number of iterations sm=30 # smoothness of initial model BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 43 / 55
  157. 157. command.sh Generate Shot File sfhelm2D_genshot n1=$n1 n2=$n2 ns=$ns d1=$d1 d2=$d2 nw=$nw dw=$dw ow=$ow mag=1.0 nsource=1 dsource=1 srcz=$srcz srcx0=$srcx0 srcdx=$srcdx | sfput o1=0 o2=0 o3=1 source-real.rsf sfspike n1=$n1 d1=$d1 label1=Depth unit1=km n2=$n2 d2=$d2 label2=Distance unit2=km n3=$ns o3=1 d3=1 label3=Sources unit3=Shot n4=$nw o4=$ow d4=$dw label4=Frequency unit4=Hz mag=0. source-imag.rsf sfcmplx source-real.rsf source-imag.rsf source.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 44 / 55
  158. 158. command.sh Generate receiver le for Helmholtz solver sfhelm2D_genrec n1=$n1 n2=$n2 d1=$d1 d2=$d2 recz=$recz recx0=$recx0 recdx=$recdx receiver.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 45 / 55
  159. 159. command.sh Generate receiver le for Helmholtz solver sfhelm2D_genrec n1=$n1 n2=$n2 d1=$d1 d2=$d2 recz=$recz recx0=$recx0 recdx=$recdx receiver.rsf 2D Helmholtz forward solver by LU factorization sfhelm2D_forward marmvel.rsf source=source.rsf npml=10 verb=y record.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 45 / 55
  160. 160. command.sh Generate receiver le for Helmholtz solver sfhelm2D_genrec n1=$n1 n2=$n2 d1=$d1 d2=$d2 recz=$recz recx0=$recx0 recdx=$recdx receiver.rsf 2D Helmholtz forward solver by LU factorization sfhelm2D_forward marmvel.rsf source=source.rsf npml=10 verb=y record.rsf 2D Frequency Domain Full Waveform Inversion ../../src/sfhelm2D_fwi marmini.rsf receiver=receiver.rsf source=source.rsf record=record.rsf dip= niter=$niter uts= npml=10 precond=n radius= alpha0=0.01 out.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 45 / 55
  161. 161. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  162. 162. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  163. 163. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  164. 164. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  165. 165. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  166. 166. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  167. 167. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  168. 168. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  169. 169. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  170. 170. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  171. 171. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  172. 172. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  173. 173. FWI: Modelo Suavizado Initial Model: smooth model sfmath output=1./input marmvel.rsf | sfsmooth rect1=$sm rect2=$sm | sfmath output=1./input marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 46 / 55
  174. 174. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  175. 175. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  176. 176. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  177. 177. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  178. 178. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  179. 179. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  180. 180. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  181. 181. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  182. 182. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  183. 183. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  184. 184. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  185. 185. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  186. 186. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  187. 187. FWI: Modelo Linear Initial Model: linear model sfmath output=1.5+x1 marmvel.rsf marmini.rsf BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 47 / 55
  188. 188. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  189. 189. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  190. 190. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  191. 191. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  192. 192. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  193. 193. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  194. 194. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  195. 195. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  196. 196. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  197. 197. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  198. 198. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  199. 199. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  200. 200. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  201. 201. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  202. 202. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  203. 203. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  204. 204. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  205. 205. FWI: Modelo Linear com baixa frequência Data Parameters nw=7 ow=1.0 dw=1. # frequency BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 48 / 55
  206. 206. Sumário 1 Inversão Sísmica 2 Método Adjunto no Domínio do Tempo 3 Operador Adjunto da Modelagem Acústica da Onda 4 Fonte do Campo Adjunto 5 Derivada dos Parâmetros Estruturais 6 Resultados 7 Tarefa BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 49 / 55
  207. 207. Tarefa 1 Escolher um modelo sintético 2 Parametrizar o problema: determinar dimensões (possivelmente reduzir dimensões), frequência máxima (critério de dispersão). 3 Determinar geometria: número de fontes e receptores, posição.... 4 Modelar dado observado. 5 Criar modelo inicial. 6 Realizar inversão e analizar os resultados. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 50 / 55
  208. 208. BP 2004 Salt Model Site: http://software.seg.org/datasets/2D/ 2004_BP_Vel_Benchmark/ vel_z6.25m_x12.5m_exact.segy.gz Modelo Verdadeiro vel_z6.25m_x12.5m_lw.segy.gz Modelo Suavizado vel_z6.25m_x12.5m_nosalt.segy.gz Modelo sem o corpo de Sal BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 51 / 55
  209. 209. Hess Model Site: http://software.seg.org/datasets/2D/Hess_VTI/ BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 52 / 55
  210. 210. Pluto Site: http://www.ahay.org/data/pluto/ Arquivo: pluto.velo.hh Comando: sfdd form=native pluto.velo.hh pluto_vel.rsf datapath=${PWD}/ BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 53 / 55
  211. 211. Sigsbee2A Site: http://www.ahay.org/data/sigsbee/ Arquivo: sigsbee2a_stratigraphy.sgy Comando: sfsegyread tle=hdr_sigsbee2a_stratigraphy.rsf tape=sigsbee2a_stratigraphy.sgy | sfput d2=0.025 sigsbee2a_stratigraphy.rsf datapath=${PWD}/ BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 54 / 55
  212. 212. Ementa Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas Módulo 03 Métodos de Otimização Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...) Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar) Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 05 VII SIG / 2016 55 / 55

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