Análise de Dados - Gráficos. Aplicados à Física - Gráficos da Cinemática.

1. ANÁLISE DE DADOS – GRÁFICOS. Aplicados à Física 1
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Função constante Se a velocidade não varia, neste caso, ela é sempre
zero, logo a aceleração também é igual a zero (a = 0).
Toda função f: → , definida por f(x) = c, com Eis os gráficos da posição, da velocidade e da
c , é denominada função constante. aceleração em função do tempo:
Exemplos: Gráfico da posição em função do tempo
a) y = f(x) = 5 b) y = f(x) = 0 c) y = f(x) = -8
O gráfico da função constante é sempre uma reta
paralela ou coincidente com o eixo x, passando pelo
ponto (0, c).
No exemplo (a), c= 5,
o gráfico, então, fica:
Gráfico da velocidade em função do tempo
No exemplo (b), c= 0,
o gráfico, então, fica:
Gráfico da aceleração em função do tempo
No exemplo (c), c= -8,
o gráfico, então, fica:
b) Corpo em moviment o unif orme
Considere um corpo em movimento retilíneo
uniforme, com uma velocidade constante de 25 m/s.
A função constante aparece na relação entre a
velocidade e o tempo de um movimento retilíneo
uniforme, quando, então, a velocidade é constante e
Função constante na FÍSICA diferente de zero.
Como aqui a velocidade é constante, 25 m/s, seu valor
Vejamos exemplos de função constante aplicada à
não varia, a aceleração será igual a zero (a = 0).
Cinemática:
Eis os gráficos da velocidade e da aceleração em
a ) Corpo em repouso função do tempo:
Considere um corpo em repouso situado na posição
Gráfico da velocidade em função do tempo
d= 12 m. Se ele permanece em repouso, sua posição
não varia ao longo do tempo, então sua velocidade é
igual a zero (v = 0). A equação horária da posição
deste corpo é uma função constante: d = 12 . Observe
que y = d e x = t; o tempo não aparece na equação
porque a posição não muda à medida que o tempo
passa.

2. Gráfico da aceleração em função do tempo f(x) decrescente:
2
No movimento uniforme, a equação da posição em
função do tempo é descrita por uma função
polinomial de 10 grau (próximo tópico).
Função polinomial do 1 0 grau
É toda função polinomial representada pela fórmula
matemática f(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a ,
b e a ≠ 0, definida para todo x real.
Na sentença matemática y = a.x + b, as letras x e y
representam as variáveis, enquanto a e b são Função do 10 grau na FÍSICA
denominadas coeficientes.
Vejamos exemplos de função de 10 grau aplicada à
Exemplos: Cinemática:
f(x) = 2x + 3 (a = 2 e b = 3) a ) Corpo em movimento uniforme
y = -3x (a = -3 e b = 0)
f(x) = 5x – 4 (a = 5 e b = -4) Considere um corpo em movimento retilíneo
uniforme, com uma velocidade constante de 8 m/s.
Gráfico de uma função do 10 grau Suponha que a posição inicial do corpo seja igual a 10
m (d0 = 10 m). Da cinemática, sabemos que a posição
O gráfico de uma função de 10 grau é sempre uma em função do tempo deste corpo em movimento
reta inclinada (uma reta horizontal, paralela ao eixo uniforme, quando o instante inicial é igual a zero
x, representa uma função constante). A reta inclinada (t0 = 0), é dada pela equação
pode representar uma função crescente ou
decrescente. d = v.t + d0
f(x) crescente: que representa uma função do 10 grau (y = ax + b).
Variáveis: y → d (posição) e x → t (tempo)
Coeficientes: a = v (velocidade) e b = d0 (posição
inicial)
Logo, para este movimento temos a seguinte equação
horária da posição
d = 8.t + 10
Eis o gráfico da posição em função do tempo deste
movimento uniforme:
Gráfico da posição em função do tempo

3. b) Corpo em moviment o uniforme -
ment e va ria do 3
Se ao invés de possuir uma velocidade constante, ela
variar uniformemente, então a aceleração será
constante e diferente de zero. Teremos, então, um
movimento retilíneo uniformemente variado.
Obteremos, para o gráfico da posição em função do
tempo, uma parábola (será visto no tópico sobre
função polinomial de 20 grau).
A velocidade em função do tempo de um movimento
uniformemente variado é dada por uma função do 10
grau (y = a.x + b) e é escrita assim
v = a.t + v0
Variáveis: y → v (velocidade) e x → t (tempo) Função do 20 grau na FÍSICA
Coeficientes: a = a (aceleração) e b = v0 (velocidade
inicial) Nos exemplos de cinemática anteriores, faltou mostrar
o gráfico da posição em função do tempo do
Considere um corpo com aceleração constante igual a movimento retilíneo uniformemente variado (a
3 m/s2, sendo que sua velocidade inicial é igual a velocidade variando com aceleração constante).
12 m/s. Logo, a equação horária da velocidade deste
movimento é a ) Corpo em movimento uniforme -
v = 3.t + 12 ment e va ria do
Considere um corpo em movimento retilíneo
Eis o gráfico da velocidade em função do tempo deste
uniformemente variado, com uma aceleração
movimento uniformemente variado:
constante de 4 m/s2. Suponha que a posição inicial do
corpo seja igual a 10 m (d0 = 14 m) e sua velocidade
inicial, v0 = 22 m/s. Da cinemática, sabemos que a
posição em função do tempo deste corpo em
movimento uniformemente variado, quando o instante
inicial é igual a zero (t0 = 0), é dada pela equação
a 2
d .t v 0 .t d0
2
que é uma função de 20 grau (y = a.x2 + b.x +c).
Função polinomial do 20 grau Variáveis: y → d (posição) e x → t (tempo)
Coeficientes: a = a/2 (aceleração/2); b = v0 (veloci-
Função polinomial do 20 grau ou função quadrática é dade inicial) e c = d0 (posição inicial)
toda função polinomial representada pela fórmula
matemática y = f(x) = a.x2 + b.x +c, com a, b, c , Logo, para este movimento temos a seguinte equação
a ≠ 0, definida para todo x real. As letras x e y são as horária da posição
variáveis, enquanto a, b e c são denominadas d = 2.t2 + 22.t + 14
coeficientes.
Eis o gráfico da posição em função do tempo deste
Exemplos: movimento uniformemente variado:
a) f(x) = x2 – 2x – 3 (a = 1, b = -2, c = -3) Gráfico da posição em função do tempo
b) f(x) = x2 – 9 (a = 1, b = 0, c = -9)
c) f(x) = 6x2 (a = 6, b = 0, c = 0)
d) f(x) = -4x2 + 2x (a = -4, b = 2, c = 0)
O gráfico de uma função do 20 grau é uma curva
aberta chamada parábola.
Vamos observar, então, o gráfico da função do
exemplo (a): f(x) = x2 – 2x – 3 .

4. Seno, cosseno e tangente
(II) 4
Considere um triângulo retângulo com um dos
ângulos igual a θ. O lado a é a hipotenusa, o lado b é 90º < θ < 180º
o cateto oposto ao ângulo e o lado c é o cateto
adjacente ao ângulo, como mostra a figura abaixo:
(III)
O seno, o cosseno e a tangente desse ângulo θ θ = 90º
(respectivamente, sem θ, cos θ e tg θ) são definidos
da seguinte forma:
cateto oposto b
senθ
hipotenusa a
cateto adjacente c
cos θ Verifica-se, facilmente, que, se r é paralela ao eixo x,
hipotenusa a sua inclinação será zero, ou seja:
cateto oposto b
tg θ (IV)
cateto adjacente c
Exemplo: Calcule a tangente do ângulo θ no θ = 0º
triângulo retângulo da figura, sendo que a hipotenusa
é igual a 5, o cateto oposto é igual a 3 e o cateto
adjacente é igual a 4.
b 3
tg θ 0,75
c 4
Logo, tg θ = 0,75 Coeficiente angular de uma reta
Consultando uma tabela trigonométrica, concluímos Considere uma reta de inclinação θ.
que tg θ = 0,75 corresponde a um ângulo θ = 36,9º.
Denomina-se coeficiente angular ou declividade da
reta r o número real a que expressa a tangente
Inclinação de uma reta trigonométrica de sua inclinação θ, ou seja:
A figura abaixo nos mostra uma reta r, não paralela ao a = tg θ
eixo x (inclinada em relação a esse eixo).
Já vimos que uma reta em um gráfico representa uma
Seja θ o menor ângulo que a reta forma com o eixo x,
função de 1º grau do tipo y = a.x + b. O coeficiente a
medido do eixo para r no sentido anti-horário.
é exatamente o coeficiente angular da reta.
A medida do ângulo θ é chamada inclinação da reta r.
Podem ocorrer, então, três situações: Da Trigonometria, sabemos que:
Se θ = 0º tg θ = 0 a = 0 (figura IV)
(I) Se 0º < θ < 90º tg θ > 0 a > 0 (figura I)
Se 90º < θ < 180º tg θ < 0 a < 0 (figura II)
0º < θ < 90º Se θ = 90º tg θ → ∞ a → ∞ (figura III)
Neste último caso, diz-se que a tangente de θ ou a
tendem ao infinito (a reta, então, é vertical, paralela ao
eixo y).

5. No exemplo a seguir, mostramos como calcular o Calculando o valor de a, temos
coeficiente angular de uma reta r, se conhecermos 5
19 4 15
dois de seus pontos. a tg θ 5 obtemos, a = 5.
3 0 3
Cálculo do coeficiente angular da reta A reta cruza o eixo y no ponto A, de ordenada y0 = 4.
Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta Logo, a equação desta reta, a qual descreve uma
r que passa por dois pontos A(x 0, y0) e B(x1, y1), estes função d0 1º grau, é dada por
dois pontos determinam a hipotenusa de um triângulo
retângulo que tem um dos ângulos agudos igual a θ, y = 5x + 4
que é a inclinação da reta (como mostra a figura).
Vamos agora, aplicar estes conhecimentos de
Trigonometria e Geometria Analítica na Física.
Análise do gráfico de uma reta na
Física – Cinemática e assuntos gerais
Exemplo 1
Calcular a velocidade do corpo, dado o gráfico da
posição em função do tempo abaixo, e achar a
Pelo gráfico, observamos que a medida do cateto equação horária da posição deste movimento.
oposto ao ângulo é dada por y1 – y0 e a medida do
cateto adjacente ao ângulo é dada por x1 – x0. É
sempre a variável final menos a variável inicial, ou
seja, o ponto B menos o ponto A (para a abscissa x e a
ordenada y).
Sabendo que o coeficiente angular a é dado por:
a = tg θ; e que a tangente de θ é igual ao cateto oposto
pelo cateto adjacente. Então, temos:
y1 y0
a tg θ
x1 x0 Temos o gráfico de uma reta, que representa uma
Este será o valor de a na equação da reta: y = a.x + b. função do 1º grau (y = a.x + b). Esse é o gráfico de um
E qual é o valor de b? movimento uniforme. Logo, a equação horária da
posição é uma função do 1º grau: d = v.t + d0.
O valor de b, que é chamado de coeficiente linear da O coeficiente linear b é a posição inicial d0, que é a
reta, é determinado pela ordenada do ponto onde a ordenada do ponto onde a reta cruza o eixo y, neste
reta cruza o eixo y. No gráfico acima, a reta cruza o caso, o eixo d. Então,
eixo y no ponto de ordenada y0 .
d0 = 10 m.
Exemplo: O coeficiente angular a é a velocidade do corpo v, que
O gráfico abaixo mostra uma reta r que passa por dois é dado pela tangente do ângulo θ (inclinação da reta).
pontos A (0, 4) e B (3, 19).
x0 = 0
x1 = 3
y0 = 4
y1 = 19

6. Calculando o valor de v, temos v
a 6
50 10 40
a v tg θ 8 então, v = 8 m/s. t
5 0 5
∆v = v1 – v0 = 27 – 12 = 15
Lembre-se que a velocidade, para um movimento
uniforme, é igual à variação da posição pelo intervalo ∆t = t1 – t0 = 5 – 0 = 5
de tempo: v 15
a 3 a = 3 m/s2
d t 5
v
t Que é o mesmo resultado verificado acima.
∆d = d1 – d0 = 50 – 10 = 40 Finalmente, a equação horária da posição obtida é:
∆t = t1 – t0 = 5 – 0 = 5
v = 3.t + 12
d 40
v 8 v = 8 m/s
t 5 Assim, podemos aplicar os conhecimentos de
Que é o mesmo resultado verificado acima. Funções, Trigonometria e de Geometria Analítica em
várias situações da Física, nas quais a construção de
Finalmente, a equação horária da posição obtida é: um gráfico resulte em uma reta no plano cartesiano.
d = 8.t + 10
Exemplo 2 Recado
Calcular a aceleração do corpo, dado o gráfico da Tudo o que foi visto aqui não pode ser assimilado com
velocidade em função do tempo abaixo, e achar a uma simples “olhadela”. É necessário concentração e
equação horária da velocidade deste movimento. muito raciocínio, para que as equações e os gráficos
não se tornem elementos confusos e desconexos.
Antes disso, é preciso treinar aquela matemática bem
básica, aquela do Ensino Fundamental. Deve-se
começar “por baixo” (tabuada, por exemplo) e ir
aumentando o nível de dificuldade, até se chegar na
matemática do terceiro ano do Ensino Médio.
Porém, depois de assimilado o conteúdo deste texto –
isso exige dedicação – você terá desenvolvido uma
habilidade razoável na interpretação de gráficos na
Temos, novamente, o gráfico de uma reta, que Física e outras ciências; e terá mais chances de
representa uma função do 1º grau (y = a.x + b). Esse é pontuar nas questões do ENEM que exigem raciocínio
o gráfico de um movimento uniformemente lógico (acontece que todas as questões exigem).
variado. Logo, a equação horária da velocidade
descreve uma função do 1º grau: v = a.t + v0.
O coeficiente linear b é a velocidade inicial v0, que é a BOA SORTE!
ordenada do ponto onde a reta cruza o eixo y, neste
caso, o eixo v. Então,
v0 = 12 m/s.
O coeficiente angular a é a aceleração do corpo a, que
é dado pela tangente do ângulo θ (inclinação da reta).
Calculando o valor de a, temos
27 12 15 2
a tg θ 3 então, a = 3 m/s .
5 0 5
Lembre-se que a aceleração, para um movimento
uniformemente variado, é igual à variação da
velocidade pelo intervalo de tempo: