1. Forma Canônica de Jordan
Matriz por Blocos
A matriz A ∈ Mat n×m (R ) é uma matriz por blocos quando consideramos sua partição em submatrizes,
denominadas blocos.
Notação: A = [ Aij ]
Exemplos: Partições de uma matriz.
 1 3 −1 1  1 3 −1 1  1 3 −1 1
     
 2 4 1 0  2 4 1 0  2 4 1 0
 1 0 0 − 1  1 0 0 − 1  1 0 0 − 1
     
 0 1 6 1  0 1 6 1  0 1 6 1
−1 2 −1 2 −1
 0 5   0 5   0 5 2
 C11 C12 
 B11 B12   
   C 21 C 22   D11 D12 D13 
 B21 B22  
D 
B
C C 32   21 D22 D23 

 31 B32 
  31
C

 41 C 42 

Observe que, A é uma matriz 5 × 4 , a blocagem [ Bij ] é de ordem 3 × 2 , [C ij ] é 4 × 2 e [ Dij ] é
2 × 3 . Já cada um dos blocos em si têm diferentes ordens, por exemplo, B22 é 2 × 2 , C 32 é 1× 1
e D11 é 3 × 2 .
Considere duas matrizes por blocos de mesma ordem A = [ Aij ] e B = [ Bij ] que possuam a mesma
quantidade de blocos e os blocos correspondentes têm a mesma ordem.
Assim, A + B = [ Aij ] + [ Bij ] e k ⋅ A = [k ⋅ Aij ] .Sejam duas matrizes por blocos A = [ Aik ] , de ordem n × p ,
e B = [ Bkj ] , de ordem p × m , tais que o número de colunas de cada bloco Aik é igual ao número de linhas
de cada bloco Bkj .
p
Assim, A ⋅ B = C = [C ij ] , com C ij = ∑ Aik Bkj .
k =1
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2. Matriz Quadrada por Blocos
Seja a matriz quadrada A ∈ Mat n (R ) . Sua matriz por blocos A = [ Aij ] é denominada matriz quadrada
por blocos quando os blocos formam uma matriz quadrada e os blocos da diagonal são também matrizes
quadradas.
Exemplos: A primeira blocagem não é uma matriz quadrada por blocos, já a segunda é.
1 3 0 2 1 1 3 0 2 1
   
0 4 0 5 1 0 4 0 5 1
2 0 1 0 2 2 0 1 0 2
   
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
1 2 3 2 0 1 2 3 2 0
   
Matriz Diagonal por Blocos
A matriz quadrada por blocos A = [ Aij ] é uma matriz diagonal por blocos quando os blocos que não
pertencem à diagonal são todos matrizes nulas.
Notação: A = Diag ( A11 ,K , Akk ) , com k ≤ n .
1 0 0
 
Exemplo:  0 2 3 é uma matriz diagonal por blocos.
0 4 5
 
Revendo Operadores
Seja V um R-espaço vetorial n dimensional e T : V → V um operador linear.
 A B
Teo113. Seja S ≤ V T-invariante. Então existe uma base α de V tal que [T ]α = 
 0 C  é uma matriz por

 
blocos, sendo A a matriz associada ao operador T S : S → S restrição do operador T ao
subespaço S.
Teo114. Sejam S1 , K , S r subespaços de V e B1 , K , Br suas respectivas bases. Então V = S1 ⊕ K ⊕ S r se e
somente se B1 ∪K ∪ Br é uma base de V.
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3. Teo115. Sejam S1 , K , S r ≤ V T-invariantes tais que V = S1 ⊕ K ⊕ S r . Então existe uma base α de V tal
que [T ]α = Diag ( A1 ,K, Ar ) , sendo Ai = [T Si ] , i = 1,K, r .
Neste caso, V = S1 ⊕ K ⊕ S r é denominada a decomposição de V em soma direta T-invariante.
Operadores Nilpotentes
Um operador linear T : V → V é nilpotente quando T k = 0 , para algum k ∈ Z * . Se T k −1 ≠ 0 então k é
+
denominado índice de nilpotência de T.
Exemplo: T : R 4 → R 4 tal que T ( x, y, z, t ) = ( y, z , t ,0) é um operador nilpotente de ordem 4.
Forma Canônica de Jordan
 0 1 0...0 0 
 
 0 0 1...0 0 
A matriz quadrada N =  ................... de ordem r é denominada bloco nilpotente de Jordan de ordem r,
 
 0 0 0...0 1 
 0 0 0...0 0 
 
 λ 1 0...0 0 
 
 0 λ 1...0 0 
e a matriz quadrada J (λ ) =  ................... de ordem r é dita bloco de Jordan associado ao autovalor λ .
 
 0 0 0...λ 1 
 0 0 0...0 λ 
 
Teo116. Seja T :V → V um operador linear, λ1 ,K , λ r autovalores todos distintos,
PT (λ ) = (λ − λ1 ) m1 K (λ − λ r ) mr o polinômio característico e mT (λ ) = (λ − λ1 ) l1 K (λ − λ r ) lr o polinômio
minimal. Então existe uma base α de V tal que [T ]α = Diag ( J ij ) é uma matriz diagonal por blocos,
sendo J ij = J (λi ) um bloco de Jordan com as seguintes propriedades:
i) Existe pelo menos um bloco J ij de ordem li , todos os outros blocos têm ordem menor ou igual a li .
ii) A soma das ordens dos J ij é mi .
iii) A quantidade dos blocos J ij é a multiplicidade geométrica de λi .
iv) A quantidade dos blocos J ij de uma ordem qualquer possível é unicamente determinada por T.
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4. Exemplos:
1. Considere PT (λ ) = (λ − 2) 4 (λ − 5) 3 e mT (λ ) = (λ − 2) 2 (λ − 5) 3 . As possíveis formas de Jordan para
o operador T são:
  5 1 0  5 1 0
 2 1  2 1    2 1  
Diag  
 , 
 ,  0 5 1   ou Diag  
  , (2), (2),  0 5 1  

 0 2  0 2  0 0 5  0 2  
    0 0 5
2. Sejam PT (λ ) = (λ − 2) 5 e mT (λ ) = (λ − 2) 2 . As formas de Jordan para o operador são:
 2 1  2 1   2 1 
  0 2 ,  0 2 , (2 ) ou Diag   0 2 , (2 ), (2 ), (2 )
Diag        
      
Exercícios
1) Analise a transposição de matrizes por blocos.
2) Definir matriz triangular superior por blocos e também matriz triangular inferior por blocos.
A 0
3) Mostre que det
 0 B  = det A ⋅ det B , sendo A e B matrizes quadradas.

 
Considere A = Diag ( A11 , K , Akk ) . Mostre que:
4) Seja f ( x) = a m x m + K + a1 x + a 0 um polinômio então f ( A) = Diag ( f ( A11 ),K , f ( Akk )) .
5) A é invertível se e somente se Aii é invertível, para todo i = 1,K, k .
6) A −1 = Diag ( A111 ,K, Akk1 ) .
− −
7) A r = Diag ( A11 ,K, Akk ) , sendo r ≥ 1 .
r r
Considere A = Diag ( A11 ,K , Akk ) e B = Diag ( B11 ,K, Bkk ) matrizes quadradas de mesma ordem. Então:
8) A + B = Diag ( A11 + B11 ,K, Akk + Bkk )
9) A ⋅ B = Diag ( A11 ⋅ B11 ,K, Akk ⋅ Bkk )
Considere T : V → V um operador nilpotente com índice k.
10) Se v ≠ 0V então o conjunto {v, T (v),K, T k −1 (v)} é LI?
11) [v, T (v),K , T k −1 (v)] é T-invariante?
12) Dado PT (λ ) = (λ − 2) 3 (λ − 5) 2 escolha um polinômio minimal e indique as formas de Jordan
possíveis.
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