01 conjuntos nmericos - introduo

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01 conjuntos nmericos - introduo

  1. 1. MATEMÁTICA CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. DIAGRAMA DE INCLUSÃO (x + y ) + z = x + (y + z ) e (x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z ) Comutativa I x+y = y+x e x⋅y = y⋅x Z Q Existência do elemento neutro x + 0 = x e x ⋅1 = x Lei do cancelamento N Se x + z = y + z , então x = y . R C Se x ⋅ z = y ⋅ z , então x = y (desde que z ≠ 0 ). 3.3 Paridade de um número inteiro Os conjuntos numéricos serão estudados passo Um número a ∈ Z é chamado de par quando a a passo ao longo de nosso curso. Essa unidade deverá divisão por 2 for exata, ou seja, o resto da divisão por trabalhar os conjuntos até o campo dos Reais e deixar 2 é zero. Em símbolos, temos: para depois o estudo no campo dos Complexos. Se a é par, então existe um número k ∈ Z, tal que a=2k. Devemos observar que o número a ∈ 2. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS M(2). O Conjunto dos Naturais, simbolizado por N, Exemplos: representa os elementos inteiros positivos e o zero. E.1) 4 é par, pois 4 = 2.2 ; Observe que, nesse contexto, o zero foi separado dos E.2) –6 é par, pois −6 = 2 ⋅ (−3) . números positivos, ou seja, caracterizando a neutrali- Um número a e ∈ Z é chamado de ímpar no dade do elemento. caso contrário ao par, ou seja, a divisão de a por 2 2.1 Notações deixa resto 1. Logo, podemos escrever que a = 2k + 1, N= {0,1,2,3,4,...} com k ∈ Z. N*= { ,2,3,4,...} , nessa notação, excluímos o 1 Exemplos: número 0 (zero). E.1) 5 é ímpar, pois 5 = 2 ⋅ 2 + 1 ; 3. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E.2) −17 é ímpar, pois −17 = 2 ⋅ (−9) + 1 . 3.4 Número Primo e Composto O conjunto dos Inteiros, simbolizado por Z, É todo número inteiro que só é divisível por representa os elementos inteiros positivos, negativos ele mesmo ou por ±1 , excluindo-se o 1. e o zero. P {±2, ±3, ±5, ±7,...} 3.1 Notações Um número p ∈ Z* é denominado de composto Z= {...,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...} se possuir mais de quatro divisores. Z*= {...,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,...} , nessa notação, Exemplos: excluímos o número 0 (zero). E.1) 2 é primo, pois D(2) = {± 1,±2} , 2 ≠ 1 e Z+=N= {0,1,2,3,4,...} , esse conjunto será cha- 2 ≠ −1 ; mado de conjunto dos números inteiros não E.2) −7 é primo, pois D(− 7 ) = {± 1,±7} , −7 ≠ 1 e negativos. −7 ≠ −1; Z-= {...,−4,−3,−2,−1,0} , esse conjunto será E.3) 6 é composto, pois D(6) = {± 1,±2,±3,±6} ; chamado de conjunto dos números inteiros E.4) −10 é composto, pois não positivos. D(− 10 ) = {± 1 ±2,±5,±10} . , Z * = { ,2,3,4,...} =N*, esse conjunto será cha- + 1 Observações: mado de inteiros positivos. - Não existe até o presente momento uma lei Z *− = {...,−4,−3,−2,−1} , esse conjunto será de formação para os números primos. chamado de inteiros negativos. - O conjunto dos números primos possui infini- tos elementos. 3.2 Propriedades estruturais - A classificação da paridade em primos e No corpo dos inteiros, a soma e o produto pos- compostos só pode ser efetuada para números intei- suem as propriedades abaixo. ros. Dados x, y e z ∈ Z. Associativa Editora Exato 1
  2. 2. 3.5 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 5. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIO- O MMC entre n números é o menor número NAIS divisível pelos n números. Um número é chamado de irracional quando, Exemplo: escrito na forma decimal, apresenta um número infi- O MMC de 4, 6, 12: nito de casas decimais sem apresentar períodos. Exemplos: 4, 6, 12 2 E.1) 2 ; 2 3 3 2 E.2) π=3,141592... 3 1 3 3 E.3) e=2,71828... 1 1 1 2 x 2 x 3 = 12 5.1 Notação O conjunto dos números irracionais será repre- sentado por I. 3.6 Decomposição simultânea Determine mmc (18, 24, 36). 6. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais é formado pelos Resolução: elementos da união dos conjuntos dos números Ra- Consideremos o dispositivo prático. cionais e Irracionais. Em símbolo, temos: 18 24 36 2 9 12 18 2 R = I Q 9 6 9 2 Racionais 9 3 9 3 Irracionais Reais 3 1 3 3 1 1 1 23 . 32 = 72 6.1 Representação na reta real Assim, temos: mmc (18, 24, 36) = 72. Podemos representar os números reais em uma reta orientada, denominada reta real ou reta numéri- 4. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ca. 4.1 Definição -5 -2 É o conjunto formado por todos os números 2 3 a que podem ser escritos na forma , em que a ∈ Z e b -3 -2 -1 0 1 1 2 3 reta numérica b 2 ∈ Z*. 4.2 Notação 6.3 Critérios de divisibilidade Q= {números que podem ser reduzidos à for- Divisibilidade por 2. a Um número natural é divisível por 2 se, e so- ma , com a ∈ Z e B ∈ Z*}. b mente se, terminar em 0, 2, 4, 6, 8. Exemplos: Divisibilidade por 3. 2 Um número natural é divisível por 3, se e so- E.1) é racional, pois 2∈Z e 3∈Z*. mente se, a soma dos seus algarismos for um número 3 1 1 divisível por 3. 2 2 = 1⋅3 = 3 Divisibilidade por 4. E.2) é racional, pois , com 3 2 2 2 2 4 Um número natural é divisível por 4 se, e so- 3 3 mente se, os dois últimos algarismos da direita for- ∈Z e 4∈Z*. marem um número divisível por 4. 2 Divisibilidade por 5. E.3) 0,666... é racional, pois 0,666... = , com 3 Um número natural é divisível por 5 se, e so- 2 ∈Z e 3∈ Z*. mente se, terminar em 0 ou 5. Observação Divisibilidade por 6. - Na representação decimal de um número ra- Um número natural é divisível por 6 se, e so- a mente se, for divisível por 2 e por 3. cional , a dividido por b, encontramos dois tipos de b Divisibilidade por 9. números, os decimais exatos ou decimais periódicos Um número natural é divisível por 9 se, e so- (dízimas periódicas). mente se, a soma de seus algarismos for um número divisível por 9. Divisibilidade por 11. Editora Exato 2
  3. 3. Um número natural é divisível por 11 se, e 2 O resultado de (-4).(50:10)+(-1) é: somente se, a diferença entre a soma dos algarismos a) 20 de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem b) –20 par, considerados da direita para a esquerda, for divi- c) –21 sível por 11. d) 19 e) Nenhuma. 7. REGRA DE SINAIS Soma e subtração 3 Resolva: [( −4).( +1).( −4).( −1)] : ( −16) : Sinais iguais + +=+ soma e conserva o a) 1 d) 2 − −=− sinal b) –1 e) –2 + −= subtrai o módulo c) 0 Sinais dife- − += maior do módulo rentes menor e conserva o sinal do módulo 4 Se x= 4+2. {8 + 2.[1− 3.(4 : 2)]} então: maior a) x=1 d) 0 Multiplicação e divisão b) x= -1 e) –4 sinais iguais + +=+ c) x=32 − −=+ sinais diferentes + −=− − + =− 5 Resolva: [( −2).( −3)] : [( −3).( +2)] : EXERCÍCIOS RESOLVIDOS a) –1 d) –2 b) 1 e) –3 1 Resolva: c) 2 a) ( +3) ⋅ ( +2) = b) ( +3) ⋅ ( −2) = 6 O m.m.c. entre 12, 5, 6 e 4 é: c) ( −6 ) : ( −2) = a) 12 d) 40 b) 24 e) 60 d) ( −8) : ( +4) = c) 30 e) ( −3) : ( −3) = Resolução: a) +6 7 Não é um número primo: b)-6 a) 5 d) 29 c)3 b) 13 e) 37 d)-2 c) 1 e)1  4   1   8 Efetue:   :  −   .(−1) =  3   3   EXERCÍCIOS a) –4 d) 3 1 Resolva: (-2).(-5)+(-5).(+3)= b) 4 e) –12 a) d) 0 c) 1 b) e) – c) –5 9 Considere as afirmações: d) –4 2 e) –7 I. − ∈N 5 2 II. − ∈ Z 5 2 III. − ∈ Q 5 Quantas são verdadeiras? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 Editora Exato 3
  4. 4. e) Nenhuma. 10 O valor de  −  :  + 1  é: 3 2   1 1  4 3   5 2 17 a) 120 5 b) 102 10 c) 12 17 d) 15 e) Nenhuma. GABARITO 1 C 2 C 3 A 4 D 5 A 6 E 7 C 8 B 9 B 10 B Editora Exato 4

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