O documento discute métodos iterativos para resolver sistemas lineares, como os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. Ele apresenta as fórmulas para aplicar esses métodos, critérios de convergência e exemplos numéricos de resolução de sistemas lineares usando esses métodos.

1. Sistemas Lineares
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Métodos Iterativos
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2. Métodos Iterativos
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3. Métodos Iterativos
 Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma matricial:
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4. Métodos Iterativos
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5. Métodos Iterativos
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6. Métodos Iterativos
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7. Exemplos
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8. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
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9. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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10. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,8
0,75x + 3y – 10z = -6,9
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11. 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
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12. Exercícios
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13. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-
Jacobi, tendo como para X1=0, X2=0 e X3=0 e ε=0,05.
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14. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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15. 5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.
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16. Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma algébrica:
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17. Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma matricial:
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18. Métodos Iterativos
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19. Métodos Iterativos
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20. Métodos Iterativos
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21. Métodos Iterativos
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22. Métodos Iterativos
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23. Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
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• Segundo esse critério, um determinado sistema
irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
ii
n
ij
j
ij aa
1
, para i=1, 2, 3, ..., n.

24. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das
linhas e essa verificação pode ser feita de
maneira quase imediata, observando-se que:
Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
0.1048.02.14.0
0.12.02.01.0
8.73.06.036.0
4.02.02.02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
4.28.02.14.04
5.02.02.01.01
5.13.06.06.03
4.12.02.012
43424144
34323133
24232122
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
ii
n
ij
j
ij aa
1
para i=1, 2, 3, 4.

25. 29
 Distância entre duas iterações
d(k) = max xi
(k) - xi
(k-1)
 Critério de parada
dr
(k) = d(k)/ (max xi
(k) ) <
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Métodos Iterativos - Critério de Parada

26. 30
EXEMPLO
 Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
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Métodos Iterativos - Critério de Parada

27. 31
Com x0 =
0,7
-1,6
0,6
e = 0,05
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Métodos Iterativos - Critério de Parada

28. 32
obtemos
x(1) =
-0,56
-1,86
-0,26
= 0,05
|x1
(1) – x1
(0)| = 1,26
|x2
(1) – x2
(0)| = 0,26
|x3
(1) – x3
(0)| = 0,86
dr
(1) = 1,26/ (max xi(1) )
= 0,677 >
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Métodos Iterativos - Critério de Parada

29. 33
x(2) =
-0,25
-1,44
0,07
= 0,05
dr
(2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >
x(3) =
-0,43
-1,56
-0,11
dr
(3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >
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Métodos Iterativos - Critério de Parada

30. 34
x(4) =
-0,35
-1,49
-0,04
= 0,05
dr
(4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >
x(5) =
-0,39
-1,52
-0,08
dr
(5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <
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Métodos Iterativos - Critério de Parada

31. 35
SOLUÇÃO
10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
x* =
-0,39
-1,52
-0,08
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Métodos Iterativos - Critério de Parada

32. Exemplos
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33. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
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34. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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35. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,8
0,75x + 3y – 10z = -6,9
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36. 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
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37. Exercícios
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38. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
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39. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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40. 5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.
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41. 