Pitágoras foi um filósofo grego que fundou uma escola influente e provou o teorema que leva seu nome, relacionando os lados de um triângulo retângulo. A trigonometria estuda as relações entre os lados e ângulos de triângulos retângulos, usando funções como seno, cosseno e tangente, que podem ser encontradas em tabelas trigonométricas.
2. Teorema de Pitágoras
• Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa
antiga, era filho de um gravador, Mnesarco.
Nasceu por volta de 572 anos a.c., em Samos,
uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em
Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre
a sua juventude, a não ser que conquistou
prêmios nos Jogos Olímpicos.
3. Teorema de Pitágoras
• Fundou a escola pitagórica que teve grande
influência no desenvolvimento da Filosofia e da
ciência, em especial da Matemática.
• Por volta do ano 500 a.C., quando estava no auge,
a escola foi fechada, sob a acusação de apoiar a
aristocracia, contrária ao governo.
• Pitágoras refugiou-se em Metaponto (colônia
Grega no Sul da Itália), porém a escola pitágorica
sobreviveu por cerca de dois séculos.
4. Teorema de Pitágoras
• A julgar por alguns relatos históricos, deve-se
a Pitágoras(ou talvez a algum membro de sua
escola) a primeira demonstração do teorema
de Pitágoras (daí o nome), hoje comumente
enunciado assim.
O quadrado da hipotenusa de um triângulo
retângulo é igual à soma dos quadrados dos
catetos.
5. Teorema de Pitágoras
• De acordo com esse teorema, podemos
escrever essa relação da seguinte maneira:
a2 = b 2 + c2
6. Teorema de Pitágoras
• Veja como podemos
verificar essa relação:
• Sobre cada lado de um
triângulo retângulo,
desenhamos um quadrado.
7. Teorema de Pitágoras
Note que a soma das áreas dos dois quadrados menores é igual à área
do quadrado maior
8. Teorema de Pitágoras
• Utilizando algumas relações
métricas estudadas
anteriormente, podemos
demonstrar o Teorema de
Pitágoras.
• Observe o triângulo ao lado:
• Nesse triângulo, sabemos
que:
c2 = a . n
b2 = a . m
9. Teorema de Pitágoras
• Adicionando as relações 1 e 2 membro a membro
temos:
c2 + b2 = a . n + a . m
• Colocando, no segundo membro o fato comum
em evidência:
c2 + b2 = a .( n + m )
• Como m + n = a
c2 + b2 = a . a
• Dessa forma, em um triângulo retângulo:
c2 + b 2 = a 2
10. Teorema de Pitágoras
• Agora, utilizando o Teorema de Pitágoras. Veja como podemos
obter os valores de x e y nos triângulos a seguir:
11. Relações Trigonométricas no
triângulo retângulo
• Estudamos anteriormente as relações
métricas no triângulo retângulo, ou seja,
aquelas que envolviam as medidas de seus
lados.
• Vamos estudar agora outras relações que
envolvem não somente as medidas dos lados,
mas também as medidas dos ângulos internos
do triângulo retângulo.
12. Relações Trigonométricas no
triângulo retângulo
• A parte da geometria que estuda os métodos
para calcular as medidas dos lados e dos
ângulos de um triangulo retângulo chama-se
trigonometria.
13. Relações Trigonométricas no
triângulo retângulo
• Observe o triângulo retângulo abaixo e alguns
de seus elementos:
14. Relações Trigonométricas no
triângulo retângulo
• Em um triângulo retângulo podemos
determinar três razões envolvendo as medidas
dos catetos e da hipotenusa. Essas razões são
chamadas razões trigonométricas e recebem o
nome de seno, cosseno e tangente.
15. Relações Trigonométricas no
triângulo retângulo
• Tomando como referência o ângulo B no triângulo abaixo,
temos:
16. Relações Trigonométricas no
triângulo retângulo
• Tomando como referência o ângulo C no triângulo abaixo,
temos:
19. Tabela Trigonométrica
• Exemplos de uso da tabela:
• Consultando a tabela para encontrar as razões
trigonométricas de um ângulo dado.
• Seja o ângulo de 35º. Então:
20. Tabela Trigonométrica
• Consultando a tabela para determinar o valor
de um elemento desconhecido do triângulo.
Vamos calcular o valor de x no triângulo
abaixo: