calculo matematicp

1. Aula de Matemática
Professor : Neilton Satel
20 de maio 2014
Bom dia!

2. Conteúdo da Aula
1 – TEOREMA DE PITÁGORAS:
O quadrado da hipotenusa é igual a
soma do quadrado dos catetos.
2 – CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

3. Exemplos
 O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
a hipotenusa BC.
12 16
A
B
C
Teorema de Pitágoras
BC2 = AB2 + AC2
x2 = 162 + 122
x2 = 256 + 144
x2 = 400
x = 20
20

6. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

7. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

8. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

9. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

10. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

11. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

12. O Geogebra na Sala de Aula
A matemática pode ser mais divertida e
facilitada pelo uso de softwares na realização de
tarefas, uma vez que há sempre a possibilidade de
maior interação e visualização dos processos
efetuados pelo aluno. (neiltonsatel.wordpress.com)
O GeoGebra é um software de matemática que
reúne Geometria, Álgebra e Cálculo. O seu autor é
o professor Markus Hohenwarter da Universidade
de Salzburgo na Áustria. Tem a grande vantagem
de ser um sotware livre.

13. A partir deste slide, temos
um aprofundamento do
conteúdo para aqueles
mais curiosos!

14. A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que
através de processos particulares , estabelece as relações
existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta ,
uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades
estudadas através de métodos algébricos .
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no
século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René
Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas
(assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a
representação numérica de propriedades geométricas. No seu
livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre
frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

15. Mediana , Altura , Bissetriz e Mediatriz de um Triângulo
Mediana
Definição: Denomina-se mediana de um triângulo o segmento que liga
um vértice ao ponto médio do lado oposto a este vértice.
Obviamente o triângulo possui 3 medianas, uma para cada vértice. O
encontro das 3 medianas ocorre em um ponto denominado Baricentro.

16. Baricentro de um triângulo é o ponto de intersecção das suas medianas.
O Baricentro é conhecido como centro de massa ou centro de gravidade, por
este motivo adota-se a letra G para representá-lo.
O ponto G divide as medianas em dois segmentos tais que a parte que contém
o vértice é igual ao dobro da outra.
Portanto temos: AG = 2 . GMA , BG = 2 . GMB e CG = 2 . GMC

17. Altura
Definição: Denomina-se altura de um triângulo o
segmento de reta que é perpendicular a um lado e
contém o vértice oposto a este lado.
Note que a altura pode ser externa ao triângulo,
como na figura abaixo:

18. Define-se Ortocentro de um triângulo como sendo a
intersecção das retas que contém as Alturas deste
triângulo.

19. Note que o ponto H (ortocentro) pode ser externo ao
triângulo, conforme a figura abaixo:
Como você pode ver o ponto H pertence às retas que
contém os segmentos das alturas, H não é o ponto de
encontro das alturas e sim das retas que contém as
alturas.

20. BISSETRIZ:
Definição: Denomina-se bissetriz do ângulo interno de
um triângulo o segmento de reta que divide o ângulo
interno em duas metades iguais.
Note que a bissetriz de um ângulo é uma semi-reta e a
bissetriz de um triângulo é um segmento, note ainda
que o triângulo possui três bissetrizes internas, uma
para cada vértice.

21. INCENTRO é o ponto de intersecção das bissetrizes internas
de um triângulo.

22. Propriedades:
1) O Incentro é o centro da circunferência inscrita
no triângulo.
S é o centro da circunferência inscrita no triângulo , ou
seja , a circunferência tangência os lados do triângulo nos
pontos P , Q e R . Então: SP = SQ = SR
2) As distâncias dos vértices aos pontos de tangência dos lados
pertencentes a este vértice são congruentes.

23. Mediatriz:
Definição: Denomina-se mediatriz de um segmento de reta, a reta
perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.

24. Circuncentro de um triângulo é o ponto de intersecção das
mediatrizes dos seus lados.
Propriedades:
1) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita a um
triângulo.
Demonstração:

25. 2) O circuncentro pode ser externo ao triângulo e isto
ocorre quando este é obtusângulo.
Casos especiais
1) Em um triângulo equilátero as medianas alturas ,
mediatrizes e bissetrizes são coincidentes, o que implica
que o baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro
também coincidem.
2) Em um triângulo isósceles , o baricentro , ortocentro ,
circuncentro e incentro estão alinhados.
Portanto uma circunferência de centro O e raio R
passa por A , B e C e circunscreve o D ABC.