Revisão de polinômios

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Revisão de polinômios

  1. 1. Revisão de Polinômios Definição; Uma função polinomial ou simplesmentepolinômio, é toda função definida pela relaçãoP(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.Onde:an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reaischamados coeficientes.n INx C (nos complexos) é a variável.
  2. 2. Função Polinomial  Polinômio Identicamente nulo; Operações com polinômios;
  3. 3. Grau de um polinômio  máximo que ele Grau de um polinômio é o expoente possui. Se o coeficiente an 0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos: P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0. P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1. P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5. Obs.: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.
  4. 4. Valor numérico de um polinômio  P(x) para x=a, é o número O valor numérico de um polinômio que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo: Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x3+2x2+x-4 P(2)= 23+2.22+2-4 P(2)= 14 Raiz de um Polinômio Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.
  5. 5. Igualdade de polinômios  Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x) B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1). Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos: x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c) Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
  6. 6. a b 1 a b c 2 a c 1Substituindo a 1ª equação na 2ª:1+c = -2 => c=-3.Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:a-3=1 => a=4.Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:4+b=1 => b=-3.Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.Obs.: um polinômio é dito identicamente nulo setem todos os seus coeficientes nulos.
  7. 7. Divisão de Polinômios  Método da Chave; Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
  8. 8. P ( x ) D( x )Nessa divisão: R( x) Q( x) P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão. Obs.: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão éexata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisorde P(x). Se D(x) é divisor de P(x) R(x)=0
  9. 9. Dispositivo de Briot- Ruffini Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3- 5x2+x-2 por (x-2). Resolução:
  10. 10.   RAIZ DO DIVISOR ES DE P(x)  COEFICIENT  2 3 5 1 2 3.(2) 5 1.(2) 1 3.(2) 2 1  3  3   4  COEFICIENTES DO QUOCIENTEQ(x) RESTO Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.
  11. 11. Teorema do resto  O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a). Teorema de D’ Alembert Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0
  12. 12. Equações polinomiais ou algébricas 
  13. 13. Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n (n≥1) possui pelo menos uma raiz complexa (real ou não).
  14. 14. Decomposição em fatores de primeiro grau. 
  15. 15. Vamos analisar dois casos:1º caso: O polinômio é do 2º grau.De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+cque admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatoresdo 1º grau, da seguinte forma: ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2) Exemplos: Fatorar o polinômio P(x)=x2-4. Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2. Logo: x2-4 = (x-2)(x+2). Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10. Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2. Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).
  16. 16. Multiplicidade da raiz Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2.
  17. 17. Relações de Girard 
  18. 18. Fim da Revisão 

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