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  1. 1. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 1 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TÉCNICO – TRT 4ª Este material foi produzido com o intuito de viabilizar que o candidato consiga aprender técnicas de resolução de questões com a leitura deste texto. É muito importante seguir em ordem os subcapítulos e efetuar todos os exercícios propostos. Professora: Caren Fulginiti da Silva Contato: caren@caren.mat.br Licenciada em Matemática – UFRGS Mestre em Educação – UFRGS PROGRAMA MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO (último concurso TRT9ª-2010) MATEMÁTICA: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas. RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados na prova, constituídos de elementos conhecidos e significativos, visam analisar as habilidades dos candidatos para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio seqüencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova destinam-se a medir a capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. PROGRAMA MATEMÁTICA (último concurso TRT4ª- 2006) MATEMÁTICA: Números inteiros: operações e propriedades, múltiplos e divisores; problemas. Números racionais: operações nas formas fracionária e decimal. Números e grandezas proporcionais; razões e proporções; divisão proporcional; regra de três simples e composta. Porcentagem; Juros simples. Funções de 1° e 2° Graus; problemas. Sistemas de medidas: decimais e não decimais. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  2. 2. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 2 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico MATEMÁTICA OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS: SOMA + com + ou - com - Soma e mantém o sinal a) (+10) + (+8) = +18 b) (-10) + (-8) =-18 MULTIPLICAÇÃO Mesmo sinal: + e) (+10) (+8) = +80 f) (-10) (-8) = +80 Sinal diferente: g) (+10) (-8) = -80 + com - Diferença e sinal do maior. c) (+10) + (-8) = +2 d) (-10) + (+8) = -2 Prioridade das Operações : Prioridade dos Parênteses : 1º Raiz e Potência 1º Parênteses 2º Divisão e Multiplicação 2º Colchetes 3º Subtração e Soma 3º Chaves ( ) [ ] { } ATENÇÃO: ENTRE PARÊNTESES E OPERAÇÕES PREVALECEM OS PARÊNTESES. Observe a diferença: SOLUÇÃORÁPIDA: (4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5 ) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 = (4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 = − 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 18 = SOLUÇÃO LENTA: ( 4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 = − 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 6 × 3 = − 7 + 24 ÷ 4 − 6 × 3 = − 7 + 6 − 18 = −19 − 7 + 6 − 18 = −19 Agora sem parênteses... 4 − 32 ÷ 4 + 9 − 5 × 6 ÷ 3 + 1 − 6 × 3 = 4 − 8 + 9 − 30 ÷ 3 + 1 − 18 = 4 − 8 + 9 − 10 + 1 − 18 = −22 TABUADA: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 45 50 60 70 80 90 100 01. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas: a) 31 + (- 40) : (+ 2) = b) – 10 – 20 : (+ 4) = c) (+ 30) : (- 6) + (- 18) : (+ 3) = d) (- 91) : 7 + 15 = e) 7 : (- 7) + 2 . (- 6) + 11 = f) (- 36) : (- 4) + 3 . (- 3) = g) 35 – 6 . (+ 6) + (+ 54) : (- 6) = h) 81 : (- 9) – 3 . (- 3) + (- 9) = i) 2 + (- 75) : (- 5) – 4 . (-1) = j) 46 : (- 23) + 7 – 4 . (+ 2) = l) 8 . (- 11) + 200 : (+ 2) – 12 = m) 63 – 84 : (- 21) – 3 . (+ 23) = copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  3. 3. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 3 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico MÚLTIPLOS No conjunto dos NATURAIS, chamamos múltiplo de um número, todos os números obtidos multiplicando o número dado por todos os outros números naturais. N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Exemplo: Múltiplos de 12 → 0, 12, 24, 36, ... Construindo outros conjuntos: Múltiplos de 7: 0, 7, 14, 21, ... Múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, ... A grande questão em multiplicidade é saber se dado um número ele é ou não múltiplo de outro... Temos várias maneiras de determinar isso e comentarei algumas delas: 1ª) Podemos dizer que um número é múltiplo de outro se construindo o conjunto de seus múltiplos ele pertencer ao conjunto, por exemplo: Sabemos que 14 é múltiplo de 7 porque ele está no conjunto dos múltiplos de 7, como construímos acima, e sabemos também que 10 não é múltiplo de 7 porque ele não está. Porém esse método é muito primitivo visto que se o número fosse muito grande teríamos que construir o conjunto até lá... 2ª) Outra maneira, bastante intuitiva seria fazer a divisão. Sabemos que se ao dividirmos dois números o resto der zero então o maior é múltiplo do menor, observe: 10 7 14 7 -14 2 0 -7 1 é 3 não é De qualquer forma esse método normalmente não é o mais rápido, por isso para os números mais comuns descobriu-se regras de divisibilidade, que com o uso freqüente se tornam as melhores ferramentas: É divisível por ... se ... Exemplo Nº 2 for par 132, 42 3 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3 183, pois 1+8+3=12 os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou 4 97636, pois 36 é divisível por 4 forem 00 5 terminar em zero ou em 5 80, 655 6 for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo 120, é par e a soma é 3 7 Regra muito difícil melhor dividir os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou 8 9480, pois 480 é divisível por 8 forem 000 9 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 9 819, pois 8 + 1 + 9 = 18 10 terminar em zero 90, 120 a soma dos algarismos de ordem par menos a soma dos 291588, pois 9+ 5+ 8 =22, 2+1+8=11 11 e 22-11=11 algarismos de ordem ímpar der um múltiplo de 11 DICA IMPORTANTE: Uma outra maneira de entender multiplicidade é pensar que se um número N é múltiplo de K, então K é um número que está dentro de N. Veja um exemplo claro: • 60 é múltiplo de 20 pois encontramos o 20 dentro do 60 = 20 × 3 • 60 é múltiplo de 15 pois encontramos o 15 dentro do 60 = 15 × 4 • 60 é múltiplo de 30 pois encontramos o 30 dentro do 60 = 30 × 2 • 60 é múltiplo de 12 pois encontramos o 12 dentro do 60 = 12 × 5 Daqui podemos dizer por exemplo que se um número é múltiplo de 12, então com certeza ele é múltiplo de 1, 2, 3, 4 e 6 também! Agora cuidado pois se um número for múltiplo de 3, não significa que é múltiplo de 9 ! copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  4. 4. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 4 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Pensemos agora a respeito do número 1500 ... Casais: 1 e 1500; 2 e 750 e filho deste 20 e 75; 3 e 500 e filho deste 30 e 50 e mais 5 e 300; 4 e 375; 6 e 250 e filho deste 60 e 25 e mais 12 e 125; 10 e 150 e filho deste 15 e 100. Considerações Importantes: • Qualquer número é múltiplo de 1 Construindo o conjunto dos múltiplos de 1: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } x1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } • Só o zero é múltiplo de zero N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } x0 = {0, 0, 0, 0, 0, 0, ...} • Zero é múltiplo de qualquer número N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } x2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ... } x3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ... } x5 = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... } Múltiplo, divisor e divisível???? • 16 é múltiplo de 4 • 16 é divisível por 4 • 4 é divisor de 16 Então múltiplo ≈ divisível OS NÚMEROS NATURAIS: Os números naturais se dividem em 4 grupos: O zero, o um, os números primos e os números compostos. NÚMEROS PRIMOS Um número é dito primo quando ele admite apenas dois divisores distintos. Um número primo só é múltiplo de si mesmo e de 1. O NÚMERO 1 (UM) NÃO É PRIMO! ALGUNS PRIMOS: (saiba esses de cor...): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... NÚMEROS COMPOSTOS São todos os números que são obtidos de produtos de primos, por exemplo: Pense no 20 ele é 2 x 2 x 5 ou seja produto de 3 números primos. Observação: Todos os conceitos podem ser estendidos ao conjunto dos Números Inteiros: Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} e o zero e o um não são primos nem compostos. MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM O MMC é um número, basicamente o menor número que é múltiplo de dois ou mais números dados. Para encontrá-lo usamos dois métodos o da fatoração (barrinha) ou pela visualização da fatoração dos números dados. Uma observação importante sobre fatoração é que ela deve ser feita utilizando somente números primos ! 12 2 182, 49 2 91, 49 7 6 2 13, 7 7 3 3 13, 1 13 1 Fatoração: 1, 1 MMC:1274 2231 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  5. 5. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 5 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM O MDC é um número, basicamente o maior número que divide dois ou mais números dados. Para encontrá-lo usamos o mesmo método do MMC só que a procura de outra coisa. Vamos ver um exemplo de como encontrar o MMC e MDC de dois números dados: 120 e 80 ... Usando o MMC, observe - Qual o MDC entre 120 e 80? 120 , 80 2(♣) 60 , 40 2(♣) 30 , 20 2(♣) 15 , 10 2 15 , 5 3 5 , 5 5(♣) Marque onde ambos os números sofreram modificação (♣), esses fatores multiplicados geram o MDC, no caso: 2 × 2 × 2 × 5 = 40. Como calcular o MDC de 3 ou mais números? É igual porém devemos marcar apenas os números aonde os três sofreram modificação ao mesmo tempo. e assim por diante. 1,1 QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO PASSOS: 1º Fatore o número 2º Escreva-o em potências 3º Some 1 a cada potência 4º Multiplique-as 50 2 25 5 5 5 1 // 2 × 5 × 5 = 2 × 52 (1+1)(2+1) 2×3 =6 6 divisores que são: 1, 2, 5, 10, 25, 50 Façamos agora com 25, 60, 500... 25 = 52 3(2+1) divisores que são: 1, 5 e 25. 60 = 21⋅ 31⋅ 51 2(1+1) 2(1+1) 2(1+1) = 2⋅2⋅2 = 8 divisores que são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 e 60. 3(2+1) 4 (3+1) = 3⋅4 = 12 divisores que são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250 e 500. 500 = 22 53 CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO Sabendo quantos são fica mais fácil - Exemplos: 6 , 30 e 1000 6 2 3 3 1 // 30 2 15 3 5 5 1 // 2×3 (1+1)(1+1) 2×2 =4 4 divisores que são: 1, 2, 3, 6 2×3×5 (1+1)(1+1)(1+1) 2×2 ×2 =8 8 divisores que são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Ou ainda podemos pensar em casais (divisão): Se pensarmos no 12, sabemos que é múltiplo de 6 e de 2 isso porque se efetuarmos a divisão: 12 6 -12 2 0 quando o divisor ( 6 ) é fator o quociente também é, daí voltando ao 30 temos 8 divisores que vem aos pares: 1 com 30 ; 2 com 15 ; 3 com 10 ; 5 com 6 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  6. 6. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 6 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Então para 1000: 1000 2 500 2 250 2 125 5 25 5 5 5 1 // 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 23 × 5 3 (3+1)(3+1) 4 × 4 =16 16 divisores que são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000 Aos pares temos: 1/1000, 2/500, 4/250, 5/200, 8/125, 10/100, 20/ 50, 25/40 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI: Dizemos que dois números são primos entre si quando o MDC entre eles é 1, ou seja, que o maior e portanto único número que divide ambos é o 1. De um modo mais vulgar poderíamos dizer que olhando para os fatores primos do números não veríamos nenhum fator comum. Exemplo: 4 = 22 e 9 = 32 não há fatores comuns 30 = 2 × 3 × 5 e 49 = 72 não há fatores comuns Detalhe importante: PRIMOS ≠ PRIMOS ENTRE SI 4 e 9 são primos entre si e não são primos. 2 e 9 são primos entre si e só o 2 é primo. 2 e 3 são primos entre si e ambos são primos. Primos entre si , como já diz o nome é uma relação que se estabelece na presença de pelo menos dois números. ALGUMAS DICAS... 01. PAR & IMPAR - Alguns comentários... Dizemos que um número é par se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8 e impar se terminar em 1, 3, 5, 7 ou 9. De um modo geral dizemos que todo número par pode ser representado pela forma 2n (onde n ∈ Z) este fato pode também ser entendido porque bem ou mal todos os pares são múltiplos de 2. E como os pares e os impares são intercalados temos que os impares de uma forma geral são representados pela expressão : 2n + 1 ou 2n – 1. Também é bastante interessante pensarmos a respeito das operações feitas com esses números. O que acontece se... Agora cuidado com a divisão: PAR + PAR = PAR PAR ÷ IMPAR = PAR PAR + IMPAR = IMPAR IMPAR ÷ IMPAR = IMPAR IMPAR + IMPAR = PAR PAR × PAR = PAR PAR ÷ PAR = PAR OU IMPAR!!!! PAR × IMPAR = PAR ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ IMPAR × IMPAR = IMPAR 02. POTÊNCIAS PERFEITAS: Γ QUADRADOS PERFEITOS: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Ou podemos pensar em 25 = 52 , 16 = 42 mas não é necessário que a potência seja 2, observe que 16 = 24 e por isso de um modo geral para que um número seja um quadrado perfeito é preciso que seus fatores primos tomem sempre potências múltiplas de dois. Dessa forma: 210 × 518 é quadrado perfeito 29 × 54 não é quadrado perfeito e da mesma forma estendemos essa noção para outras potências... copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  7. 7. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 7 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Γ CUBOS PERFEITOS: 1, 8, 27, 64, ... Podemos pensar em 8 = 23 , 27 = 33 mas não é necessário que a potência seja 3, observe que 64 = 46 e por isso de um modo geral para que um número seja um cubo perfeito é preciso que seus fatores primos tomem sempre potências múltiplas de três. E assim por diante... Dessa forma: 23 × 518 é cubo perfeito 29 × 54 não é cubo perfeito É bom saber de cor a lista dos primeiros quadrados perfeitos e também a lista dos primeiros cubos perfeitos, esses são números que aparecem corriqueiramente em questões de raciocínio lógico. Bem como as potências de 2 e de 3., Seguem as listas abaixo: quadrado cubo quadrado 1 1 1 2 4 8 12 144 potências base 2 base 3 13 169 0 1 1 1 2 3 3 9 27 4 16 64 14 196 2 4 9 5 25 125 15 225 3 8 27 6 36 216 16 256 4 16 81 7 49 343 17 289 5 32 243 8 64 512 18 324 6 64 729 9 81 729 19 361 7 128 x 10 100 1000 20 400 8 256 x 11 121 1331 25 625 9 512 x 30 900 10 1024 x 03. MMC X MDC = PRODUTO DE DOIS NOS: 1ª Pergunta: Qual o MMC entre 12 e 30? 2ª Pergunta: Qual o MDC entre 12 e 30 ? 60 6 30 , 12 2(♣) 15 , 6 2 MMC = 2 × 2 × 3 × 5 = 60 15 , 3 3(♣) MDC = 2 × 3 = 6 5,1 5 1 , 1 // 3ª Pergunta: Será que existe alguma relação possível de ser estabelecida entre o MMC, o MDC e os números que os geraram? A resposta é sim, vamos observar atentamente os números: 12 = 22 × 3 30 = 2 × 3 × 5 comum entre eles temos o 2 e o 3 (MDC) O MMC = 60 = 2 × 2 × 3 × 5, se multiplicarmos 12 × 30 = 22 × 3 × 2 × 3 × 5. Se multiplicarmos MMC × MDC = 2 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3 × MMC 2 × 2 12 × 3 × 5 × Sempre: o produto de dois números é igual ao produto do MMC pelo MDC, formulando: copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® × MDC 2 × 3 30 N1 × N2 = MMC × MDC citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  8. 8. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 8 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXEMPLOS DE QUESTÕES ENVOLVENDO MULTIPLICIDADE: 01. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 33 para se obter um múltiplo de 12 ? Veja 33 = 3 × 11 e 12 = 2² × 3. O que falta ao 33 para ter o 12 dentro dele é o 2² ou seja o 4, então o número 33 × 4 é um múltiplo de 12. 02. Determinar todos os números compreendidos entre 200 e 600 que sejam divisíveis ao mesmo tempo por 12, 33. 12 , 33 2 6 , 33 2 3 , 33 3 1 , 11 11 1 , 1 // MMC = 132 O primeiro número que contém o 12 e o 33 dentro dele é o 132, todos os números que forem múltiplos do 132 terão também o 12 e o 33 dentro de si. Construindo os múltiplos de 132 0, 132, 264, 396, 528, 660 ... Os que estão em negrito são a resposta da questão. 03. Três lâmpadas piscam cada uma com a sua freqüência. A primeira a cada 6 segundos, a segunda a cada 8 segundos e a terceira a cada 9 segundos. Se essas lâmpadas inicialmente acenderam juntas, pergunta-se depois de quanto tempo voltaram a piscar juntas novamente ? Lâmpada 1 6s Lâmpada 2 8s Lâmpada 3 9s Considere o momento 0 como o momento em que elas piscaram juntas. Em que momentos a lâmpada A pisca: Nos momentos 0, 6, 12, 18, 24, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 6. Em que momentos a lâmpada B pisca: Nos momentos 0, 8, 16, 24, 32, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 8 Em que momentos a lâmpada C pisca: Nos momentos 0, 9, 18, 27, 36, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 9 Quando as três lâmpadas piscarão juntas? Quando o momento for múltiplo de 6, 8 e 9, ou seja o primeiro dia que isso acontece é no dia que coincide com o MMC de 6, 8 e 9 ... Daí 72s. Sempre em problemas desse tipo deve-se fazer o MMC dos números, não é necessário pensar sempre todo o processo novamente. Só aplique o conhecimento. Respondendo as perguntas temos: a) 72 s 04. Que nº “n” transforma o produto 1620 × n num cubo perfeito ? 1620 = 2²34 5 para que se torne um cubo é preciso multiplicar por 2 3² 5² = 450 05. Qual é o produto de dois números, se o seu MDC é 8 e o seu MMC é 48? Simplesmente sabemos que N1 × N2 = MMC × MDC, então: Produto = 8 x 48 = 384 06. A gerente de uma loja de tecidos quer dividir três peças de fazenda em partes iguais e de maior tamanho possível. Sabendo que as peças medem 75m, 90m e 150m, determine o número de partes em que será dividida cada peça e o comprimento dessas partes. O MDC entre 75, 90 e 150 é 15, ou seja esse é o maior nº que divide os três em respectivamente 5, 6 e 10 peças. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  9. 9. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 9 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXERCÍCIOS: 01. Consultando a tabela de divisibilidade de 2 até 11, os números abaixo são múltiplos de quem? a) 778 b) 1128 c) 579 d) 663 e) 1320 f) 252 g) 23870 h) 156 i) 504 02. Qual o MMC entre : a) 33 e 80 b) 12 e 64 c) 100 e 250 d) 96 e 150 03. Qual o MDC entre : a) 240 e 780 b) 65 e 156 c) 126 e 147 d) 98 e 441 e) 426 e 213 f) 165 e 385 04. Quantos e quais são os divisores de: a) 900 b) 160 c) 252 d) 308 e) 120 f) 60 12. O MMC de dois números é 11352 e o MDC é 6. Se um dos números é 264, qual é o outro? 13. Para a confecção de uma tela, dois rolos de arame de 40m e 16m vão ser divididos em pedaços de mesma medida e a maior possível, sem sobras. Quantos pedaços serão obtidos em cada rolo? 14. O produto de dois números naturais é 875 e o mdc entre eles é 5. Determine o mmc dos números. 15. Numa certa República, o Presidente deve permanecer em seu cargo durante 4 anos, os Senadores, 6 anos e os Deputados, 3 anos. Se em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano se realizarão novamente juntas as eleições para esses cargos? QUESTÕES DE CONCURSOS: PERGUNTAS: 01. Qual o maior múltiplo de 18 menor que 300? 02. Calcular o número de divisores de 7000. 03. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 480 para se obter um múltiplo de 112? 04. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 56 para se obter um múltiplo de 88? 05. Determinar o MDC entre os números 132, 60 e 84. 06. Determinar os dois números menores possíveis pelos quais devemos multiplicar os números 24 e 36, a fim de obtermos produtos iguais. 07. Determinar todos os números compreendidos entre 1000 e 3000 que sejam divisíveis ao mesmo tempo por 48, 60 e 72. 08. Três navios fazem viagens entre dois portos. O primeiro cada 4 dias, o segundo cada 6 dias e o terceiro cada 9 dias. Tendo esses navios partido juntos, depois de quantos dias voltaram a sair juntos novamente do mesmo local? 09. Qual a diferença entre o MMC e o MDC dos números 121 e 330? 10. Duas rodas de uma engrenagem têm respectivamente, 14 e 21 dentes. Cada roda tem um dente estragado. Se num dado instante estão em contato os dois dentes quebrados, depois de quantas voltas esse encontro se repetirá? 11. Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre-a em 36 segundos e o segundo, em 30 segundos. Tendo partido juntos, depois de quantos segundos se encontrarão novamente no ponto de partida? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 01. (FUVEST 96) Qual dos cinco números relacionados abaixo, não é um divisor de 1015 a) 25 b) 50 c) 64 d) 75 e) 250 02. (UFRGS 92) João corre em uma pista circular, dando uma volta completa a cada 36s. Pedro corre em sentido oposto, e encontra João a cada 12s. O tempo que Pedro leva para dar uma volta completa é a) 72s b) 36s c) 18s d) 12s e) 6s 03. (UFRGS 98) Se P é o produto de todos os números primos menores que 1000, o dígito que ocupa a casa das unidades de P é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 9 04. (UFRGS 99) O algarismo das unidades de (610 +1) é a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7 05. (UFRGS 00) Se n = 107 − 10 , então n não é múltiplo de a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 06. (FUVEST 00) Se x e y são dois nos inteiros, estritamente positivos e consecutivos, qual dos nos abaixo é necessariamente um inteiro ímpar? a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2 e) x + y + 1 07. (FUVEST 05) O menor número natural que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número natural é: a) 37 b) 36 c) 35 d) 34 e) 33 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  10. 10. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 10 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 08. (FUVEST 91) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltaram a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30 09. (FUVEST 95) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então o mdc desses dois números é a) 1 b) 3 c) 5 d) 11 e) 15 10. (UFRGS 01) O resto da divisão do produto 123456 × 654321 por 6 é: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 11. (FUVEST 97) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3888 por n um cubo perfeito é a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 12. (FUVEST 01) Uma senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos. Num ano, quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita, deixaria uma ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo número de ações, ela observou que sobra-riam 3 ações. Nesta última situação, quantas ações receberá cada neto? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 13. O menor nº natural, não nulo, que é divisível por 400, 500 e 1250 é a) 10² b) 10³ c) 5 ⋅ 103 d) 10 4 e) 105 14. (PUCRS 96) Se x e y são números inteiros x = 1 , então x + y necessariamente é e y a) positivo b) negativo d) par e) menor do que 1 c) ímpar 15. (FCC – 2003) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é a) 8 b) 10 c)) 12 d) 14 e) 16 16. (FCC – 2003) O chefe de uma seção de certa empresa dispunha de 60 ingressos para um espetáculo, que pretendia dividir igualmente entre seus funcionários. Como no dia da distribuição dos ingressos faltaram 3 funcionários, coube a cada um dos outros receber 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de ingressos entregues a cada funcionário presente foi a) 3 b) 4 c))5 d) 6 e) 7 17. (FCC – 2001) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e B2. comprimento (m) B1 B2 largura (m) 23,10 18 0,18 0,18 espessura (mm) 1,5 1,5 Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1 como em B2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é c) 140 d) 142 e) 149 a) 135 b) 137 18. (FCC – 2001) Uma pessoa sabe que, para o transporte de 720 caixas iguais, sua caminhonete teria que fazer no mínimo X viagens, levando em cada uma o mesmo número de caixas. Entretanto, ela preferiu usar sua caminhonete duas vezes mais e, assim, a cada viagem ela transportou 18 caixas a menos. Nessas condições, o valor de X é a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e)30 Obs.: (questão original com problema, texto alterado para ter solução) 19. (FCC – 2004) Sabe-se que um número inteiro e positivo N é composto de três algarismos. Se o produto de N por 9 termina à direita por 824, a soma dos algarismos de N é d) 16 e) 18 a) 11 b) 13 c) 14 20. (FCC – 2007) No esquema abaixo tem-se o algoritmo da adição de dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E. A14B6 +10C8D 6E865 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  11. 11. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 11 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Determinando-se corretamente o valor dessas letras, então, A + B – C + D – E é igual a a) 25 b) 19 c) 17 d) 10 e) 7 21. (FCC – 2007) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é a) 97 b) 99 c) 111 d) 117 e) 126 22. (FCC – 2008) O diagrama abaixo apresenta o algoritmo da adição de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E. 7B25A +DCB5 E8A86 Determinando-se corretamente esses algarismos, verifica-se que a) A + C = 2 . D b) B + D = E c) B – A = D d) C = 2 . B e) C – E = A OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS São todas as frações cujo numerador e denominador são números inteiros e o denominador não é zero. NUMERADOR DENOMINADOR OPERANDO FRAÇÕES: 7 1 14+ 5 19 + = = 5 2 10 10 MMC 20 10 20 6 ÷ = ⋅ = 2⋅ 2 = 4 3 6 3 10 INVERTE O SEGUNDO E MULTIPLICA 5 2 10 EM LINHA × = 7 3 21 20 3 = 20 ⋅ 6 = 2 ⋅ 2 = 4 10 3 10 6 INVERTE O DEBAIXO E MULTIPLICA Use sempre que possível o cancelamento ! 126 25 21 5 5 15 ⋅ = ⋅ = 3⋅ = Um de cima com um debaixo... 35 12 7 2 2 2 126 e 12 dão por 2 63 e 6 ambos dão por 3 21 e 2 e 35 e 25 dão por 5 7 e 5 e ainda 21 dá por 7 3 Comparação: Qual dos números é o maior? 1 2 2 1 1 1 & ? O maior é 2º & ? O maior é 9 9 9 8 6 6 9 8 & ? 3º 10 9 9 81 80 81 81 e compare que este é o maior. e é o maior e então como e equivalente a Faça: 90 90 90 90 10 1º 1º Se os denominadores forem iguais a maior fração é aquela que tem MAIOR NUMERADOR. 2º Se os numeradores forem iguais a maior fração é aquela que tem MENOR DENOMINADOR. 3º Se tudo for diferente, a primeira coisa é IGUALAR OS DENOMINADORES e depois usar a 1ª regra. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  12. 12. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 12 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXERCÍCIOS : 01. Calcule o valor das seguintes expressões numéricas: 3 1 6 4 1 + x − = b) x 4 = a) 2 3 5 7 7 1 20 3 2 3 2 9 5 + − + x x x = d) = c) 2 x 6 9 4 3 4 5 4 2 3 1 3  5  1 9 f)  −  x  + = x  + 2 = e) 11  5 4 8   12  4 2 4 1 9 7 7 1 5 g) : + = : = h) − i) : 6 + = 3 5 2 5 10 5 2 12 3  5  1  1 2 1 k)  +  :  + j) :  1 − = = 7  14   4 5   3 10  2 3 3 1 x +  3 1  1 1 m)  −  :  +  = n) 8 6 = l) 3 7 = 1 1 5 4 2 3 6 + 2 14 12 4 1 3 4 1 3 1 6 p) x  + x = + − + = o) 25 5 2 15 6 10 3 5 q) 20   1 6 3 r)  x  x  + = 2 3  4 5  4 3 11 1 − + − = 5 10 5 6 NÚMEROS RACIONAIS COM VÍRGULA Correndo vírgulas 113 113 = 11,3 = 1,13 100 10 113 = 0,113 1000 nº de zeros igual ao nº de casas. Subtraindo 13,2 – 6,96 = É bom completar com zeros! Vírgula embaixo de vírgula . 13,20 - 6,96 6,24 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® Somando 6,9 + 13,72 + 8,785 = Montando vírgula embaixo de vírgula 6,9 + 13,72 8,785 29,405 Multiplicando 23,46 × 3,2 = Multiplica normalmente e no final conta as casas depois da vírgula. 23,46 × 3,2 4692 70380 75072 75,072 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  13. 13. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 13 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXERCÍCIOS: 1 = 0,01 ; 01. Lembrando que, por exemplo, 100 qual é a representação decimal das frações: 4 9 8 9 = b) = c) = d) = a) 10 1000 100 10 5 6 = f) = e) 10000 100 02. Você deve escrever na forma decimal cada uma das seguintes frações decimais: 76 76 76 376 = b) = c) = d) = a) 10 100 1000 10 376 376 376 = f) = g) = e) 100 1000 10000 1265 3048 2107 = i) = j) = h) 10 100 1000 7 83 = m) = l) 100 10 a) b) c) d) e) f) 03. Calcule: 6,9 + 3,078 + 12,45 = 0,326 + 1,78 + 0,095 = 0,945 + 6 + 21,49 = 42,776 + 37,224 = 8,01 + 4,995 + 10,005 = 0,706 + 15 + 2,71 + 13,8 = 04. Calcule: a) 13,1 – 9,86 = c) 9,2 – 5,4207 = d) 20 – 19,5983 = f) 41,3 – 39,682 = b) 27 – 15,083 = e) 0,76 – 0,705 = 05. Calcule o valor das expressões abaixo: a) 2 – 0,447 + 3,36 = b) 30,8 + 22,36 – 10,904 = c) 18,1 – (43 – 29,85) = d) (10 – 3,6) + (1,41 – 0,98) = e) 47 – (72,3 – 58,92) = f) (51,7 + 8,36) – (16,125 + 7,88) = 06. Calcule: a) 1,003 x 10 = b) 2,015 x 100 = c) 12,0092 x 1000 = d) 12,5 x 3,2 = e) 4,23 x 3,1 = f) 4,25 x 0,36 = g) 18 x 0,54 = h) 72,8 x 0,01 = i) 32,5 x 0,041 = j) 4,83 x 5 = l) 4,83 x 0,5 = m) (1,03)²= n) (1,07)³= o) (1,24)² = p) (1,17)³= q) (1,031)²= r) (0,11)²= s) (0,07)³ = copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® CONTAS DE DIVISÃO - ALGORITMO DA DIVISÃO (NOME DAS PARTES): DIVIDENDO DIVISOR M QUOCIENTE RESTO Tenha sempre em mente, antes de fazer a conta, mais ou menos o tamanho da resposta !!! Estimando: 4545 ÷ 15 = podemos pensar que certamente dará mais de 100! 7 ÷ 4 = podemos pensar que é mais que 1 menos que 2, e que não é um número exato. 4 ÷ 7 = podemos pensar que mais que 0,5 porque 4 passa da metade de 7. 45 ÷ 3,2 = podemos esquecer a vírgula e pensar em 45 ÷ 3 = 15. Porém será menos que 15, porque 3 é menor que 3,2. 33,4 ÷ 0,22 = podemos dizer que esta conta equivale a conta 334 ÷ 2,2 que se aproxima do resultado de 300 ÷ 2 que é 150. Portanto a resposta deve estar próxima a 150. 260,1 ÷ 260 = esta dará muito pouca coisa mais que 1. REGRAS PARA EFETUAR DIVISÕES: 1) Na primeira vez, baixe (indicando com um apóstrofe) o suficiente para efetuar a divisão, limitando-se a baixar o máximo que se tenha originalmente no dividendo. 2) Responda e coloque o número no quociente, se não der escreva zero. 3) A partir do segundo “baixar”, só poderá ser baixado um número de cada vez. E obrigatoriamente ele deverá ter sua resposta posta no quociente E caso não dê ponha zero. 4) Siga assim até que terminem os números no dividendo. 5) Quando o dividendo acabar, chame a vírgula. 6) Baixe o primeiro zero emprestado e responda! 7) Repita o procedimento até atingir o número de casas desejado no resultado. (Lembre-se que para cada zero baixado é obrigatória a colocação de resposta no quociente) citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  14. 14. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 14 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico FAZENDO AS CONTAS: 45’4’5’ -45 15 303 045 -45 7’ 4 -4 1,75 30’ -28 0 20’ -20 4’0’ 7 -35 0 0,57 50’ 45,0 -49 3,2 45’0’ 1 32 - 32 14,06 130 33,40 0,22 33’4’0’ 22 - 22 151,81 20’0’ - 192 8 -110 -22 180’ 260,1 260,0 2601’ - 2600 -176 40’ 1,0003 - 7800 - 22 2600 10’0’0’0’ 2200 18 Atenção para as seguintes dificuldades: ▪ Zero no meio do número ▪ Chamando a virgula ▪ Acertando as casas ▪ Zero – Vírgula Tipo 01 a) 2718 : 3 = c) 9292 : 23 = e) 4298 : 14 = Tipo 02 a) 386 : 12 = c) 847 : 66 = e) 4123 : 903 = g) 420 : 645 = i) 333 : 4123 = b) 43,74 : 34 = d) 50 : 0,31 = f) 10 : 31,7 = b) 0,788 : 1,28 = d) 3,52 : 2 = f) 32,16 : 161,7 = b) 603121,8 ÷ 60 d) 0,6 ÷ 23 f) 197,9 ÷ 9,86 h) 0,047 ÷ 230 QUESTÕES DE CONCURSOS: -128 114 40 Tipo 03 a) 3,095 : 7 = c) 5,03 : 6 = e) 73 : 3,52 = Tipo 04 a) 3,15 : 4,655 = c) 31,7 : 15,357 = e) 73 : 0,087 = Avançados a) 5604 ÷ 56 c) 1417,22 ÷ 14 e) 540,275 ÷ 5,4 g) 1071200 ÷ 52 i) 98300 ÷ 98,2 b) 64096 : 32 = d) 7474 : 74 = f) 221166 : 11 = b) 645 : 42 = d) 1052 : 333 = f) 12 : 386 = h) 668 : 847 = j) 1 : 7= copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 23. (FCC – 2006) Ao dividir o número 762 por um número inteiro de dois algarismos, Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado, obteve o quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se enganado e efetuasse corretamente a divisão, o quociente e o resto que ele obteria seriam, respectivamente, iguais a a) 1 e 12 b) 8 e 11 c) 10 e 12 d) 11 e 15 e) 12 e 11 24. (FUVEST 03) Num bolão, sete amigos ganharão vinte e um milhões, sessenta e três mil e quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, o que cada um recebeu, em reais, foi: a) 3.009.006,00 b) 3.009.006,50 c) 3.090.006,00 d) 3.090.006,50 e) 3.900.060,50 25. (UFRGS 02) Na promoção de venda de um produto cujo custo unitário é de R$ 5,75 se lê: “Leve 3 , pague 2”. Usando as condições da promoção, a economia máxima que poderá ser feita na compra de 188 itens deste produto é de a) R$ 336,50 b) R$ 348,00 c) R$ 356,50 d) R$ 366,50 e) R$ 368,00 26. (FUVEST 95) Dividir um nº por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por 1 1 a) b) c) 8 d) 12, 5 e) 80 125 8 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  15. 15. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 15 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico REGRAS DE POTÊNCIA 01. EXPOENTE ZERO Todo nº elevado a zero é igual a um. (− 3) 0 (2) 0 =1 =1 (3)1 = 3 0  1   =1 3 =8 2 (− 3)1 = −3 (2) (− 3 ) = +9 2 (3) − 32 = −9 ↓ sem parênteses somente o nº é elevado ao expoente. (x )1 = x (− 2) 3 07. EXPOENTE DE EXPOENTE COM PARÊNTESES 06. EXPOENTE NEGATIVO Deve-se inverter o nº. 1 2−1 = 2 = −8 05. EXPOENTE DE FRAÇÕES 9  3 −  = 16  4 2 1  1   = 2 2  04. EXPOENTE ÍMPAR MANTÉM O SINAL! (2) (1) (+ 3 ) = +9 1 ATENÇÃO!! − 30 = −1 3 03. EXPOENTE PAR TRÊS CASOS 02. EXPOENTE UM Todo nº elevado a um, é igual a ele mesmo.  1   3 3 1  1 −  = − 8  2 −1 =3 3− 2 2   3 4 (+ 2) 2  = 28     1 = 9 −2 = MULTIPLICA OS EXPOENTES 9 4 08. EXPOENTE DE EXPOENTE SEM PARÊNTESES 4 22 = 216 DIVISÃO Subtrai os expoentes 09. BASES IGUAIS MULTIPLICAÇÃO Soma os expoentes am .an = am +n 1000 = 10 POTÊNCIAS DE 10 (dez) 100 = 10 2 10= 101 3 0,1 = 10 −1 am ÷ an = am−n 0,01 = 10 −2 0,001 = 10 −3 1 = 10 0 0,0001 = 10 −4 QUANDO É MAIOR QUE 1 A potência é igual ao número de zeros QUANDO É MENOR QUE 1 A potência é igual ao número de casas depois da vírgula (inclui o 1) EXERCÍCIOS: 01. Calcule: a) (+ 9 )2 = b) (− 9 )2 = c) (+ 9 )3 = d) (− 9 )3 = e) (+ 2)5 = f) (− 2)5 = g) (− 2)6 = h) (+ 2)6 = i) (− 1)10 = j) (− 3 )4 = l) (− 7 )3 = m) (− 100 )0 = n) (− 1)101 = o) (− 25 )2 = p) (+ 10 )6 = q) (− 1)9 = r) (− 1)200 = s) (+ 30 )0 = t) (+ 1)99 = u) − 1100 = 02. Calcule o valor das expressões: a) (− 9 )2 − (+ 5 ) ⋅ (+ 16 ) = b) (− 2)4 ÷ (+ 16 ) ⋅ (− 1)7 = c) (− 6 )2 − (− 7 )2 + 130 = d) 52 − (− 3 )3 + (− 4 )2 = e) 4 ⋅ (− 5 )3 + (− 20 )2 = f) 112 − 4 ⋅ (− 5)2 + 100 = g) 17 − 3 ⋅ (− 2)2 − (− 6 )2 ⋅ (− 1)7 = h) 41 − 3 ⋅ (− 4 )2 + 60 − 20 ÷ (− 2)2 = i) 7 ⋅ (− 2)2 − 5 ⋅ (− 2)3 − 102 = j) (− 3 )3 − 5 ⋅ (− 2) + 2 ⋅ (− 3 )2 − 1 = 03. Calcule o valor das seguintes expressões: 2 3  1  1 a)   +   = 4  2 3 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 2 2  1 2 b)   ÷   = 3  3 c) 3 3  1   1  +  ÷  = 2  10   10  4 2 0  1  1 3 d)   ÷   −   = 2 4   4 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  16. 16. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 16 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 04. Vamos calcular: a) 3−2 = b) 10 −3 = c) 2−6 = −1  2 h)  +  =  5 f) (− 10 )−2 = g) (− 9 )−1 = −5 e) (− 4 )−3 = d) 8−2 =  3 i)  −   4 −2  3 j)  −   2 = −3 = −2  1  5 l)  −  = m)  +  =  2  4 05. Escreva na forma de potência com expoente inteiro negativo: a) 0,01 b) 0,00001 c) 0,001 QUESTÕES DE CONCURSOS: 2.[0,02 − (0,1)2 ] é: 100 b) 0,002 c) 0,02 d) 0,2 e) 2 27. O valor de a) 0,0002 mn − n2 para n 28. O valor numérico da expressão m = 0,2 e n = -0,6 é: 2 2 4 b) − c) − a) 5 5 5 c) 0 − 22 − ( −2)2 + 30 ( −4) 4 d) 5 5 e) 2 igualdade 30. Se n é um número inteiro positivo a expressão ( −1)n + ( −1)n +1 tem por valor numérico: b) -1 37. O valor da expressão −1 29. (UFRGS) O valor de n na ( −3)2 + 32 =n é : 30 a) 0 b) 1 c) 4 d) 12 e) 18 a) –2 0 3   + 5−3 4 36. A expressão   − 2 equivale a 5.10 + 1 24 1 25 c) 24 d) e) a) 25 b) 25 25 24 d) 1 e) 2 Considerando as expressões 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 A = x .x .x .x .x e B = x .x .x .x .x e fazendo x = -1 em ambas, então A − B é igual a a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 31. 32. A representação decimal de (0,01)3 é : a) 0,03 b) 0,001 c) 0,0001 d) 0,000001 e) 0,0000001 a) - 7 4 b) -4 c) 38. (PUC) A 2 2 −2 2 2 .2 + 2.(3 ) + 180 82 / 3 b) 83 a) 164 7 4 d) 4 d) 45 39. A metade de 4 44 é b) 222 c) 4 43 a) 422 0 1 2 3 x por é é igual e) 287 na expressão 100 x + x + x + x + ..... + x , a mesma equivale a a) -100 b) -1 c) 0 d) 1 e) 100 41. (FUVEST 98) Qual desses números é igual a 0,064? 2 2 3 2  1   1 2  1   8  a)   b)   c)   d)   e)    80  8 5  800   10  3 33. (UCS) O valor de y = 4 × 105 × 5 × 10 −3 é: a) 220 b) 202 c) 2 × 103 d) 20 × 10 −15 e) 2 × 10 4 34. A expressão a) 2 b) -1 ( −1)4 .( −1)5 − 3.( −1)7 c) 0 − 16.( −1)3 .19 d)1 vale: e) 3 −2 2 35. O valor da expressão   + ( −2)− 3 é: 3 17 8 76 9 2 a) b) c) d) e) 8 9 76 3 17 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® a e) 41 d) 244 -1 −1 e) 0 expressão c) 82 40. Substituindo  1 +  2 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  17. 17. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 17 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EQUAÇÕES DE 1º GRAU SIGA AS REGRAS ESTUDADAS E APENAS ISOLE O X 01. No conjunto R, vamos resolver as seguintes equações do 1º grau com uma incógnita: b) 17 x + 50 = 7 x c) 9 x − 8 = 5 x + 20 a) 11x − 13 = 20 e) 5(x + 2) − 2(3 x − 1) = 13 f) t − [− t − (t − 1)] = 2 − t d) 12x + 21 = 10 x + 16 2y 3 3 y x 1 g) 3(x + 1) − 2(x − 1) = −(x + 5 ) − = i) − x + 2 = 1 − h) 5 4 20 2 3 2x − 1 x + 3 x −1 7 1 1+ x −2= − − = l) j) 10 4 3 2 5 4 02. Resolva as equações: x+4 =0 a) x − 4 − 3 4x 3 x − 3 − = d) 3 2 3 t − 5 1 t 3t + 14 − = − g) 2 3 3 12 4−a 4−a j) a − =4− 4 5 x−2 x−4 x−8 = −4=x c) 8 3 2 y+4 y 3 − x x +1 x = 1+ f) e) y − = − 2 6 8 4 3 2m − 5 m − 1 13m + 3 x + 1 6x + 1 3x + 1 h) + = i) + = 8 2 4 5 12 3 4 x + 1 2 ⋅ (x + 1) 5 ⋅ (3 x + 2) y 5 ⋅ (y − 3 ) y − 3 y + = m) + + = l) 3 3 4 3 12 4 2 b) PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo equações do 1º grau. ex 01. Somando 20 kg ao dobro da massa de Marli obtemos 136 kg. Qual é a massa de Marli? Solução: Considere x a massa de Marli, montando temos: 2x + 20 = 136 2x = 136 – 20 2x = 116 = x = 58 ex 02. Na sucessão de números pares positivos: 2, 4, 6, 8, ... ache os números vizinhos de modo que a soma deles seja 606. Pense no primeiro número como x como o outro é o próximo par temos que ele será x + 2 e sabemos que x + x + 2 = 606 2x + 2 = 606 2x = 604 x = 302 que o outro que é x + 2 = 304. 1 3 ex 03. Três irmãos receberam uma herança. O mais velho recebeu da herança, o mais jovem 4 3 do resto, ficando $150.000 para o terceiro irmão. Qual o valor da herança? x 2 2 Seja x toda a herança. Para o mais velho coube . Resta então x . Destes x , o mais jovem fica 3 3 3 3 3 2 x (“de” = ●). O do meio ficou com $150.000. O que sabemos é que somando com , ou seja de x = 4 4 3 2 x x as três partes teremos a herança toda, ou seja x. Então: + + 150.000 = x 3 2 2x + 3 x + 900.000 6 x = x = 900.000. Herança igual a $900.000. 6 6 ex 04. Repartir 54 balas entre três meninos sendo que A recebe 8 balas a mais que B, e B recebe 5 balas a mais do que C. Quantas balas A recebe? Começamos pelo último... C recebe x balas, então B recebe x + 5 e A, x + 5 + 8. Somando os três tem que dar 54, então x + x + 5 + x + 5 + 8 = 54 3x = 36 x = 12. Então C recebe 12; B,17 e A, 25. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  18. 18. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 18 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 3 da quantidade de balas da 7 segunda caixa e a segunda caixa deve conter 11 balas a mais do que a terceira caixa. Quantas balas devem ser colocadas em cada caixa? ex 05. Vamos repartir 125 balas em 3 caixas. A primeira deve conter Como a 1ª depende da 2ª e a 2ª depende da 3ª podemos concluir que todos depende da 3ª . Sendo 3 3 assim escreveremos x na 3ª. Na Segunda teremos x + 11 e na 1ª ( x + 11) . Sabemos que ( x + 11) + x + 7 7 3( x + 11) + 7( x + 11) + 7 x 125 ⋅ 7 = 3x + 33 + 7x + 77 + 7x = 875 17 x + 110 = 875 11 + x = 125 7 7 17 x = 875 – 110 = 765 x = 45 3 Voltando temos: 3ª : 45 2ª 45 + 11 = 56 e 3ª ⋅ 56 = 3 ⋅ 8 = 24 7 ex 06. (FCC – 2001) Cada um dos 784 funcionários de uma Repartição Pública presta serviço em um único dos seguintes setores: administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3). 2 do número dos de (3). Se os funcionários Sabe-se que o número de funcionários do setor (2) é igual a 5 3 do setor (1) são numericamente iguais a do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a 8 quantidade de funcionários do setor e) (3) é 380 a) (1) é 284 b) (2) é 150 c) (2) é 180 d)) (3) é 350 2 (2) depende de (3), tome que em (3) existem x pessoas, então em (2) existem de x. Já em (1) existem 5 3 2 de 784 que são 294 pessoas. Somando (1) + (2) + (3) = 784. Então: x + x + 294 = 784 7x = 2450 8 5 x = 350. Temos em (1) 294; em (2), 140 e em (3), 350. LETRA D ex 07. (FCC – 2008) Observe o diagrama. Usando a mesma idéia, é possível determinar os números do interior de cada um dos 4 círculos do diagrama a seguir. Desses quatro números, o a) menor é 3. b) menor é 4. d) maior é 9. e) maior é 12. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® c) maior é 6. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  19. 19. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 19 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Por um lado, chamando de x o número embaixo à direita, podemos escrever que o próximo será x + 4, e que o anterior é x + 1. Pelo diagrama podemos dizer que 2 · (x + 1) = x + 4 e resolvendo a equação obtemos x = 2 e colocando os nos no diagrama temos: 2, 6, 9, 3. PERGUNTAS: 01. Tirar 3 do triplo da idade de Marcelo é a mesma coisa que adicionar cinco a sua idade. Qual é a idade de Marcelo? 02. A quinta parte de um número inteiro somada com 19 dá 82. Qual é o número? 03. Qual é o salário de Flávio se com a metade ele compra uma bicicleta por R$ 93,26 e ainda restam R$ 17,61? 3 04. Em um determinado dia, dos alunos da 5ª série A foram participar de uma gincana cultural, 5 1 dos alunos dessa série participava de uma olimpíada esportiva. Sabendo que 42 alunos da enquanto 3 5ª série A participavam de um dos dois eventos, determine: a) a fração dos alunos da 5ª série A que participaram dos eventos. b) quantos alunos há na 5ª série A c) a fração de alunos da 5ª série A não participam dos eventos. 4 1 de uma parede em um dia e da mesma parede em um segundo dia, um pintor 05. Para pintar 9 6 gastou 11 litros de tinta. Nessas condições, calcule: a) a fração da parede que ele pintou nesses dois dias. b) quantos litros de tinta ele gastará para pintar a parede toda c) quantas latas ele gastará para pintar a parede toda, se uma lata contém 6 litros de tinta. 2 06. Durante a disputa de um torneio de futebol, um quadro venceu dos jogos que disputou e 3 1 dos jogos. Sabendo que o quadro não perdeu 14 dos jogos que disputou, calcule : empatou 9 a) quantos jogos o quadro disputou nesse torneio. b) quantos jogos o quadro venceu c) quantos jogos o quadro empatou. d) quantos jogos o quadro perdeu. 07. Uma pesquisa foi feita com um certo número de pessoas e constatou-se o seguinte: 1 • das pessoas praticavam somente basquete 3 2 das pessoas praticavam somente voleibol • 5 1 das pessoas praticavam somente futebol • 10 • as 20 pessoas restantes não praticavam esportes Nessas condições, determine: a) a fração das pessoas pesquisadas que praticavam esportes b) a fração das pessoas pesquisadas que não praticavam esportes c) o total de pessoas pesquisadas d) o número de pessoas pesquisadas que praticavam basquete e) o número de pessoas pesquisadas que praticavam voleibol. 08. A idade de César é o quíntuplo da idade de Cleópatra e a soma das idades dos dois é 78 anos. Quais são as idades? 09. Um tijolo pesa um quilo e meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  20. 20. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 20 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 10. A soma de dois números impares e consecutivos é 404. Achar o produto dos dois números. 11. Cinco números consecutivos ímpares somam 105. O segundo número vale? e) (40-2x)-20-x QUESTÕES DE CONCURSOS: 42. (FGV) A soma de 3 números inteiros e consecutivos é 60. Assinale a afirmação verdadeira: a) O quociente do maior pelo menor é 2. b) O produto dos 3 números é 8000. c) Não existem números nesta condição. d) Faltam informações para achar os números. e) O produto dos três números é 7980. 43. A solução da equação 5 x − a) 3 7 b) 7 3 c) 3 x +1 = 10 é: 2 d) 7 e) 0 44. (UFMG) De um recipiente cheio de água 2 do seu conteúdo. Recolocando-se 30l tiram-se 3 de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é: a) 45l b) 75l c) 120l d) 150l e) 180l 45. (ULBRA) Um tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 50 litros. O marcador de gasolina mostra que o combustível ocupa a quarta parte do tanque. Se o litro de gasolina custa R$ 0,476, o motorista gastará para completar o tanque: a) R$ 5,93 b) R$ 6,50 c) R$ 16,00 d) R$ 17,85 e) R$ 23,75 46. (FUVEST) O dobro de um número mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. Determinando o número, teremos: a) 24 b) 12 c) 10 d) 8 e) 31 47. O número que somado aos seus é: a) impar d) primo 2 resulta 30 3 b) múltiplo de 9 c) divisor de 30 e) quadrado perfeito 48. (UFRGS) De um total de 40 questões planejadas para uma prova, eliminaram-se 2x delas e do resto, ainda tirou-- se a metade do que havia sobrado. Qual a tradução algébrica do número de questões que restaram? a) (40-2x) - 20 +x b) (40-2x)-20 x d) (40-2x)-x c) ( 40 − 2x ) − 2 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 49. (UFRGS 93) Com A cruzeiros compram-se uma dúzia de laranjas e meia dúzia de limões. Com B cruzeiros compram-se meia dúzia de laranjas e uma dúzia de limões. A quantia , em cruzeiros, para se comprar meia dúzia de laranjas e meia dúzia de limões é a) 3 ( A + B ) b) 2 ( A + B ) c) A + B A + B A + B d) e) 2 3 50. (UFRGS 97) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida, e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro de 800,00? a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 51. (UFRGS 97) Uma pessoa gasta que tem e, em seguida 1 do dinheiro 4 2 do que lhe resta, 3 350,00. Quanto tinha ficando com R$ inicialmente ? a) R$ 400,00 b) R$ 700,00 c) R$ 1400,00 d) R$ 2100,00 e) R$ 2800,00 52. (FCC – 2001) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o a) 8 b) 12 c)) 18 d) 22 e) 24 53. (FCC – 2008) Um lote de 9 000 disquetes foi colocado em 4 caixas de tamanhos diferentes, de forma que o número de disquetes colocados em 1 da quantidade cada uma correspondia a 3 colocada na anterior. O número de disquetes colocados na a) primeira foi 4 075. b) segunda foi 2 025. c) terceira foi 850. d) quarta foi 500. e) quarta foi 255. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  21. 21. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 21 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 54. (FCC – 2008) Das 182 páginas de um relatório, digitadas por Adilson, Benilson e Cevilson, sabe-se que: o número das digitadas por 2 do número das Adilson correspondia a 3 digitadas por Benilson; o número das digitadas por 11 das digitadas por Cevilson. Benilson, a 12 Quantas páginas Cevilson digitou a mais do que Benilson? a) 28 b) 22 c) 12 d) 8 e) 6 55. (FCC – 2006) Certo dia, um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento: – nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; – nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página; – nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página. Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20 56. (FCC – 2004) Hoje, dois técnicos judiciários, Marilza e Ricardo, receberam 600 e 480 processos para arquivar, respectivamente. Se Marilza arquivar 20 processos por dia e Ricardo arquivar 12 por dia, a partir de quantos dias, contados de hoje, Marilza terá menos processos para arquivar do que Ricardo? a) 12 b) 14 c))16 d) 18 e) 20 57. (FCC – 2007) De acordo com um relatório estatístico de 2006, um setor de certa empresa expediu em agosto um total de 1347 documentos. Se a soma dos documentos expedidos em setembro e outubro foi o triplo do de agosto e o número dos expedidos em setembro ultrapassou o de outubro em 853 unidades, a diferença entre a quantidade de documentos expedidos em setembro e a de agosto foi a) 165 b) 247 c) 426 d) 427 e) 1 100 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 58. (FCC – 2007) Pelo controle de entrada e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, verificou-se em certa semana que o número de visitantes na segunda-feira cor3 respondeu a do da terça-feira e este correspon4 2 do da quarta-feira. Na quinta-feira e na deu a 3 sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o número de visitantes na a) segunda-feira foi 120. b) terça-feira foi 150. c) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. d) quinta-feira foi igual ao da terça-feira. e) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira. 59. (FCC – 2007) Certo dia, Veridiana saiu às compras com uma certa quantia em dinheiro e foi a apenas três lojas. Em cada loja ela gastou a quarta parte da quantia que possuía na carteira e, em seguida, usou R$ 5,00 para pagar o estacionamento onde deixou seu carro. Se após todas essas atividades ainda lhe restaram R$ 49,00, a quantia que Veridiana tinha inicialmente na carteira estava compreendida entre a) R$ 20,00 e R$ 50,00. b) R$ 50,00 e R$ 80,00. c) R$ 80,00 e R$ 110,00. d) R$ 110,00 e R$ 140,00. e) R$ 140,00 e R$ 170,00. 60.(FCC – 2003) Do total de processos arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que: 3 1 foram arquivados numa primeira etapa e 8 4 numa segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de processos era a) 18 b)) 24 c) 27 d) 30 e) 34 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  22. 22. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br Exemplos: Adição 01 2x + y = 5 01)  8 x − y = 5 22 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico SISTEMAS DE 1º GRAU Adição 02 2x − y = 3 02)  3 x + 2y = 8 10x = 10 x=1 Voltando: 2.1+y=5 y=5–2=3 Solução: ( 1 , 3 ) Substituição 01 y = 3x + 2 03)  2x − y = −4 2x – ( 3x + 2 ) = -4 2x – 3x – 2 = -4 -x = -2 x=2 y=3.2+2=8 Solução: ( 2 , 8 ) 4 x − 2y = 6  3 x + 2y = 8 7x = 14 x=2 Voltando: 2 . 2 – y = 3 y = 4 – 3 = 1 Solução: ( 2 , 1 ) Usando qualquer um dos métodos, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas: x + y x − y =  x − 5y = 15 3 x + y = −2 x = 2y  3 05)  06)  07)  5 04)  x 2x + y = 19 x + 2y = 6 2x − 5 y = 3  =y+2 2   x = −5 y 08)  4x − y = −21 6 x − 3 y = 20 09)  4 x + 3 y = 40 2x = 3 y 10)  x + y = 50 7 x + 6 y = 23 12)  5 x + 6 y = 21 x − 2y = −4 13)  − x − 4 y = 10 x + y = 6 16)  x = y + 2 x + 5 y = −24 17)  3 x − 2y = −4 8 x + 5 y = 11 14)  4 x + 5 y = 3 y x  = 10 + 18)  5 2 x − y = 29  2x − y = 12  11)  x y 3 + 2 = 6  2x − 3 y = 11 15)  2x + 7 y = 1 PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DO 1º GRAU O Objetivo nesse tipo de problema é que você traduza o texto da questão em um sistema, inventando para isso duas letras diferentes, cada uma representando um dos dois objetos do problema. Preferencialmente escolha letras que tenham relação com o problema, por exemplo se forem vacas e galinhas escolha V e G e não x e y. Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo sistemas do 1º grau. EX 01. No fim de um dia de trabalho, o caixa de um banco consegue juntar 160 notas de R$ 10,00 e de R$ 50,00, num total de R$ 6.240,00. Quantas notas há de cada espécie? Considere D = nº de notas de R$ 10 e C = nº de notas de R$ 50 Sabemos que D + C = 160 e que 10D + 50C = 6240 − 10D − 10C = −1600 D + C = 160 Montando o sistema:   10D + 50C = 6240 10D + 50C = 6240 40C = 4640 C =116 10D + 10 ( 116 ) = 1600 10D = 1600 – 1160 = 440 D = 44 ex 02. Quando trabalho ganho R$ 32,00 por dia. Quando falto pago multa de R$ 25,00. Em 45 dias recebi um total de R$ 528,00, quantos dias eu faltei? Considere T = dias trabalhados e F = dias com falta Sabemos que T + F = 45 e que ganha 32T e perde 25F e que isso 32T – 25F = 528. T + F = 45 Montando o sistema:  32T − 25F = 528 Temos que F = 45 – T por substituição: 32T – 25( 45 – T ) = 528 57T = 1653 T = 29. Voltando temos que F = 45 – 29 = 16. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 32T – 1125 + 25T = 528 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  23. 23. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 23 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico ex 03. (FCC – 2003) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois? a) R$ 200 b) R$ 250 c) R$ 300 d) R$ 350 e)) R$ 400 3 A + 2B = 6800   , sabemos que 4A = 3B, remontando o sistema temos: Montando o sistema temos:  A 3 B = 4  3 A + 2B = 6800 12A + 8B = 27200 , para a adição transformamos em   4 A − 3B = 0 − 12 A + 9B = 0 17 B = 27200 B = 1600 e A = 1200 (pela razão). A diferença entre os salários é de R$ 400,00. LETRA E PERGUNTAS: 3 em que a soma dos seus termos é 152. 5 02. Em uma revendedora há x carros e y motos, num total de 22 veículos. Esses veículos apresentam um total de 74 rodas. Determine quantos carros e quantas motos há nessa revendedora . 03. Em um jogo de basquete, a equipe A venceu a equipe B por uma diferença de 3 pontos. O número 41 x de pontos que a equipe A marcou é igual a do número y de pontos que a equipe B marcou. Qual foi 40 o resultado dessa partida? 04. Um sorvete custa x reais e um doce custa y reais. A diferença entre o preço de um sorvete e o preço de um doce é 4 reais. Karina tomou um sorvete e comprou dois doces, gastando ao todo R$ 52. Qual é o preço do sorvete? 05. O preço de uma lapiseira é o triplo do preço de uma caneta esferográfica. Se as duas juntas custam R$ 32,00, qual é o preço de cada uma? 06. Uma tábua com 2,85m de comprimento foi dividida em duas partes. O comprimento x da primeira parte tem 0,93m a mais que o comprimento y da segunda. Qual é o comprimento de cada parte? 07. Um livro tem 160 páginas e eu já li uma parte dele. O número x de páginas que já li do livro 5 do número y de páginas que falta para eu terminar de ler este livro. Quantas páginas corresponde a 3 eu já li? 08. Um colégio tem 30 professores. O número x de professores que ensinam outras matérias é igual a quatro vezes o número y de professores que ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nesse colégio ? 09. Um time de futebol marca em média, 2 gols para cada gol que toma. Neste campeonato, até agora, o seu saldo de gols é 38. Quantos gols o time sofreu neste campeonato? Quantos marcou? 10. Vou repartir minha coleção de 520 moedas antigas entre meus dois primos: Fábio e Cristina. 1 Para Fábio eu vou dar do que eu der para Cristina. Quantas moedas devo dar a cada primo? 25 11. Um número dividido por quatro dá um quociente exato que lhe é inferior em 48 unidades, qual é o número? 12. Certos sacos precisam ser transportado, para isso, dispõem-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos. Se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram três jumentos. Quantos são os sacos e os jumentos? 13. Comprou-se vinho a R$ 4,85 o litro e chope a R$ 2,50 o litro. O número de litros de chope ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de R$ 19,75 a mais do que a paga pelo chope. A quantidade de litros de vinho e chope comprada foi ? 01. Determine uma fração equivalente a copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  24. 24. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 24 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico QUESTÕES DE CONCURSOS: 61. Somando-se 13 ao numerador de uma fração esta se torna igual a 1; somando-se 14 ao denominador da fração dada, esta se torna igual a 1 . Então a diferença entre o denominador e o 2 numerador da fração dada é: a) 12 b) 5 c) 7 d) 1 e) 13 62. (PUCRS) Uma escola tem 960 alunos e 30 turmas entre primeiro e segundo graus. Cada turma do primeiro grau tem 30 alunos e, do segundo grau , 40 alunos. Definindo como x o número de turmas do primeiro grau e y o número de turmas do segundo grau, o problema para determinar o número de turmas de cada nível pode ser resolvido pelo sistema: x + y = 960 x + y = 30 x + y = 30 a)  b)  c)  x + y = 70 10 xy = 960   70 xy = 960 x + y = 30 d)  30 x + 40 y = 960 x + y = 960 e)  30 x + 40 y = 30 63. (UFRGS 94) O denominador de uma fração excede o numerador em 3 unidades. Adicionandose 11 unidades ao denominador , a fração torna-se 3 equivalente a . A fração original é 4 54 30 33 42 18 b) c) d) e) a) 57 33 36 45 21 64. (FUVEST 05) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergente a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregue no aroma limão foi: a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 66. (FCC – 2003) Bento e Caio tinham, juntos, R$ 96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a Caio e restou-lhe a metade da quantia com que Caio ficou. Originalmente, Bento tinha a) R$ 58,00 b) R$ 56,00 c) R$ 54,00 d))R$ 52,00 e) R$ 50,00 67. (FCC – 2008) Certo ano, três técnicos em segurança registraram um total de 1 080 ocorrências não rotineiras. Sabe-se que o primeiro registrou 547 delas, enquanto que as registradas pelos outros dois diferiam entre si de 53 unidades. Nessas condições, a maior quantidade de ocorrências registradas por um desses dois técnicos é um número a) primo. b) par. c) divisível por 3. d) múltiplo de 4. e) divisível por 5. 68. (FCC – 2008) A razão entre as idades de 5 . Se a soma dessas dois técnicos é igual a 9 idades é igual a 70 anos, quantos anos o mais jovem tem a menos do que o mais velho? a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25 69. (FCC – 2001) O esquema abaixo mostra, passo a passo, a seqüência de operações a serem efetuadas a partir de um certo número, a fim de obter o resultado final 10,4. O número que deve ser considerado como ponto de partida está compreendido entre a) 1 000 e 1 050 b) 1 050 e 1 100 c) 1 100 e 1 150 d) 1 150 e 1 200 e) 1 250 e 1 300 65. (FUVEST 94) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem um número de irmão igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  25. 25. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 25 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico RAZÃO E PROPORÇÃO Chama-se RAZÃO entre a e b , o quociente entre a e b ou seja a . b Chama-se PROPORÇÃO a igualdade entre duas razões : a c = b d lê-se: a está para b assim como c está para d PERGUNTAS: 01. Calcule a razão entre os números: 1 4 2 1 c) e d) 3 e 9 e) – 5 e f) –0,75 e 0,15 a) 28 e 14 b) 3 e 2 5 5 2 a é igual a 0,6. Qual é maior a ou b? Quantas vezes é maior? 02. Sendo a e b números positivos e b 03. A razão de um número x para um número y é 4. Qual é a razão de y para x ? 04. Uma foto de dimensões 3cm X 4cm foi ampliada passando o seu comprimento de 4cm para 28cm. Quanto passou a medir sua largura? 3 05. Qual razão é igual a , se a soma de seus termos é 2387? 8 3 , se a diferença dos termos for 448? 06. Qual razão é igual a 11 07. Em duas caixas d’águas há 6.600 litros de água. Determine as capacidades das caixas, sabendo que as suas capacidades estão entre si, como três está para cinco. 13 de B. C é a metade de B. O total é 1232. Então A vale? 08.A é 17 DIVISÕES PROPORCIONAIS E REGRA DE SOCIEDADE Nos diretamente proporcionais: Observe as sucessões de nos: • 2, 6, 10, 18 • 1, 3, 5, 9 Fator de proporcionalidade: 2 Então: duas seqüências numéricas são diretamente proporcionais se houver um único nº que multiplicando ou dividindo leve de uma para a outra. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® Nos inversamente proporcionais: Observe as sucessões de nos: • 2, 3, 4, 6 • 12, 8, 6, 4 Observe: 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 6 × 4 = 24 Fator de proporcionalidade : 24 Então: duas seqüências numéricas são inversamente proporcionais se o produto dos nos em posições equivalente for sempre um mesmo nº fixo. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  26. 26. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 26 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Exemplo 1: Dada a sucessão com moldura, decida, quais das sucessões seguintes são diretamente proporcionais a da moldura: O cara é 2 S N a) 6, 8, 10, 12, 14 1º 2º 3, 4, 5, 6, 7 1, 2, 6, 10 b) 9, 12, 15, 18, 21 c) 7, 6, 5, 4, 3 1 1 1 1 1 d) , , , , 3 4 5 6 7 e) –3, -4, -5, -6, -7 f) 3², 4², 5², 6², 7² S N S N S N S N S N a) 1, 4, 36, 100 b) 0,1 ; 0,2 ; 0,6 ; 1 c) 5, 10, 30, 50 S N S N O cara é 10 S N O cara é 5 O cara é 3 O cara é -1 Exemplo 2: Dada a sucessão com moldura, decida quais das sucessões seguintes são inversamente proporcionais a da moldura: O cara é 60 – Valor fixo! S N a) 60, 20, 12, 6 3º 4º 1, 3, 5, 10 2, 4, 7 b) 10, 5, 3, 1 c) 30, 10, 6, 3 1 1 1 d) 1, , , 3 5 10 e) –1, -3, -5, -10 f) 1², 3², 5², 10² S N S N O cara é 30 – Valor fixo! S N O cara é 1 – Valor fixo! S N S N a) –2, -4, -7 1 1 1 b) , , 2 4 7 c) 0,2; 0,4; 0,7 S N S N S N O cara é 1 – Valor fixo! Técnica para efetuar divisões proporcionais: Exemplo 3. Divida 420 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 6 : Quantas são as partes? 3 + 5 + 6 = 14 420 = 30 Tenho 420 para dividir entre elas 14 30 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. Construindo a proporção temos: 3 5 6 × 30 90 150 180 Fazendo a prova real temos: 90 + 150 + 180 = 420. Exemplo 4. Divida 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 : Dividir 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 é a mesma coisa que dividir 80 em partes 1 1 1 e , daqui repetimos o raciocínio anterior. Quantas são as partes? diretamente proporcionais a , 2 5 10 1 1 1 5 + 2 +1 8 4 + + = = = 2 5 10 10 10 5 80 5 = 80 ⋅ = 100 Tenho 80 para dividir entre elas 4 4 5 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  27. 27. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 27 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 100 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. Construindo a proporção temos: 1 1 1 2 5 10 × 100 50 20 10 Montando a tabela de inversamente proporcional (curiosidade): 2 5 10 50 20 10 = 100 Fazendo a prova real temos: 50 + 20 + 10 = 80. Exemplo 5. Divida 3720 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 5 e ao mesmo tempo a 5, 2 e 1. A maior parte obtida é? Crie a seqüência guia, que é o produto das seqüências apresentadas no enunciado (4x5), (3x2) e (5x1) 20, 6, 5 Quantas são as partes? 20 + 6 + 5 = 31 3720 = 120 Tenho 3720 para dividir entre elas 31 120 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. Construindo a proporção temos: 20 6 5 × 120 2400 720 600 Fazendo a prova real temos: 2400 + 720 + 600 = 3720. Exemplo 6. Divida 620 em partes diretamente proporcionais a 7, 3 e 2 e inversamente proporcionais a 1, 5 e 3. A segunda parte é? Crie a seqüência guia, que é o divisão da 1ª seqüência (DP) pela 2ª (IP) apresentadas no enunciado 3 2 e . 7, 5 3 3 2 124 + = Quantas são as partes? 7 + 5 3 15 620 15 = 620 ⋅ = 75 Tenho 620 para dividir entre elas 124 124 15 75 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. Construindo a proporção temos: 3 2 7 5 3 × 75 525 45 50 Fazendo a prova real temos: 525 + 45 + 50 = 620. Exemplo 7. Sobre REGRA DE SOCIEDADE, é uma divisão proporcional onde o lucro ou prejuízo é dividido de maneira diretamente proporcional aos capitais iniciais de investimento e ao tempo de permanência na sociedade de cada uma das partes. Resolve-se do mesmo modo que o exemplo 5. Problema: Três sócios tiveram de lucro $540.000. O 1º entrou na empresa com $6.000, por 3 meses; o 2º com $5.000 por 5 meses; o 3º $6.400 por 7 meses. Faça-se a distribuição dos lucros em conformidade com o tempo e com as entradas. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  28. 28. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 28 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Para resolver crie a seqüência guia: 18.000, 25.000, 44.800. Depois é só proceder como já estudado. Resulta aproximadamente: $110.710, $153.760 e $275.530. EXERCÍCIOS: 01. Divida: a) 360 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. b) 63 em partes diretamente proporcionais a 9 e 12. c) 1650 em partes diretamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7. 02. Precisamos repartir R$ 5.000,00 entre Marcelo (7 anos), Luciano (8 anos) e Alexandre (10 anos), de modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como devemos fazer a divisão? 03. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$ 30.000,00. Se ao fim de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber a cada um? 04. Divida: a) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. b) 295 em partes inversamente proporcionais a 5, 1 e 9. 05. Calcule x e y, sabendo que os números da sucessão 2, x, y são inversamente proporcionais aos da sucessão 15, 6, 5. 06. Dividir 15.000 em três partes tais que a 1ª esteja para a 2ª assim como 2 está para 5; e a 2ª esteja para a 3ª assim como 5 para 3. 07. Repartir 1420 entre três pessoas de forma que a parte da 1ª esteja para a 2ª assim como 4 4 16 está para 5; e a parte da 2ª esteja para a 3ª assim como 4 está para 7. (Dica: lembre que = e 5 20 4 20 = ) 7 35 08. Lucro de uma empresa foi $ 68.000. Tempos de cada sócio na empresa: 4, 8 e 5 meses. Qual o lucro de cada um? 1 1 e 1. 09. Dividir 26390 em partes inversamente proporcionais a , 5 7 10. Dividir 94000 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5. 11. Divida 372 em 5 partes, sendo cada uma, metade da anterior. A segunda parte vale? 12. (TRT) Três números são proporcionais a 3, 4 e 5. Determine o maior deles, sabendo que a diferença entre o triplo do menor e o número médio é 60. 13. (TTN) Dividir o número 570 em, três partes tais que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 para 12. 14. (TTN) Divida 305 em três partes de modo que a 1ª esteja para a 2ª como 2 está para 5 e a 2ª esteja para a 3ª como 3 está para 8. 15. O latão é obtido fundindo-se 7 partes de cobra com 3 de zinco. Quantos gramas de cobre e de zinco são necessários para produzir 150g de latão? 16. Três números são proporcionais a 5, 7 e 9. O dobro do último menos a soma dos dois primeiros é 66. Qual o menor deles? 2 1 5 e . 17. Dividir 840 em partes proporcionais aos números , 3 2 6 18. Divida uma herança em partes inversamente às idades; 20, 8 e 12 anos. Se a parte do mais novo é $ 243.000, qual o do mais velho? 19. Três associados tendo formado uma empresa com o capital de $ 32.000, tiveram de lucro, ao fim de certo tempo: um, $2.400; outro, $3.000 e o 3º $4.200, calcular a entrada de cada um. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  29. 29. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 29 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico QUESTÕES DE CONCURSOS: 70. (UFRGS 92) Uma estrada de 315 km foi asfaltada por 3 equipes; A, B e C, cada uma delas atuando, respectivamente, em um trecho proporcional a 2, 3 e 4. O trecho da estrada que coube à equipe C foi de a) 70 km b) 96 km c) 105 km d) 126 km e) 140 km 71. (FCC-2004) Num dado momento, no almoxarifado de certa empresa, havia dois tipos de impressos: A e B. Após a retirada de 80 unidades de A, observou-se que o número de impressos B estava para o de A na proporção de 9 para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidades de B e a proporção passou a ser de 7 de B para cada 5 de A. Inicialmente, o total de impressos dos dois tipos era b) 800 c) 840 d) 860 e) 920 a)) 780 72. (FCC-2007) Dos 343 funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se que o número de homens está para o de mulheres assim como 5 está para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferença entre o número de homens e o de mulheres é a) 245 b) 147 c) 125 d) 109 e) 98 73. (FCC-2007) Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se o primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em anos, é a) 35 b) 33 c) 32 d) 31 e) 30 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 74. (FCC-2001) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é a) 48 b) 50 c)) 52 d) 54 e) 56 75. (FCC-2008) Certa noite, dois técnicos em segurança vistoriaram as 130 salas do edifício de uma unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de salas vistoriadas pelo mais jovem foi a) 68 b) 66 c) 64 d) 62 e) 60 76. (FCC-2003) Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153 documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 32 e 40 anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem foi c) 70 d) 68 e) 65 a) 87 b)) 85 77. (FCC-2001) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária. Idade Tempo de Serviço (em anos) (em anos) João 36 8 Maria 30 12 Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  30. 30. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 30 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico REGRAS DE TRÊS Para resolver Regras de Três temos duas opções: Decorar como se resolve cada caso (abaixo comentado) ou usar sempre o mesmo método que se chama: Pontas e Bundas de setas. ... Segue a regra: 1º Passo: Coloque uma seta apontado para o X (a dúvida) 2º Passo: Faça as perguntas e direcione as outras setas em função das respostas obtidas. 3º Passo: Aplique a fórmula: BX ⋅ PS x= BS Onde: BX = Bunda de x ; PS = Ponta de seta & BS = Bunda de setas Regra de Três Simples: Ana comprou 5m de uma fita por R$ 4,80. Quanto vai pagar por 25m da mesma fita? Noção importante: Diretamente proporcional m R$ 5 4,80 25 x Pergunta: Se Ana comprar mais fita ela pagará mais ou menos? MAIS . + fita 4,80 ⋅ 25 = 24 2ª Solução (em X) : 5x = 4,80 25 1ª Solução (fórmula) : x = 5 + R$ DP 4,80 ⋅ 25 x= = 24 5 Regra de Três Inversa: Abrindo completamente 4 torneira iguais, é possível encher um tanque com água em 72 minutos. Se abrimos 6 torneiras iguais a essas, em quanto tempo vamos encher o tanque? Noção importante: Inversamente proporcional Torneiras 4 6 Tempo 72 x Pergunta: Se abrirmos mais torneiras o tanque estará cheio em mais ou menos tempo? MENOS . + TORNEIRA - TEMPO IP 72 ⋅ 4 = 48 1ª Solução ( fórmula ) : x = 6 72 ⋅ 4 = 48 2ª Solução ( em LINHA ) : 6x = 72 4 x= 6 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  31. 31. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 31 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Regra de Três Composta: ATENÇÃO: No caso da regra de três composta para fazer as perguntas é muito importante pensar que o resto (o que fica fora da pergunta) deve ser considerado fixo! Exemplo 1: Para alimentar 12 porcos durante 20 dias são necessários 400kg de farelo. Quantos porcos podem ser alimentados com 600kg de farelo durante 24 dias? Porcos Dias Farelo 12 20 400 x 24 600 1ª Pergunta: Considere farelo fixo, se tivermos que alimentar os porcos por mais dias, alimentaremos mais ou menos porcos? MENOS + DIAS - PORCOS IP 2ª Pergunta: Considere dias fixos, se tivermos mais farelo alimentaremos mais ou menos porcos? MAIS + FARELO + PORCOS DP 12 ⋅ 20 ⋅ 600 = 15 1ª Solução (fórmula) : x = 24 ⋅ 400 REGRA DA 2ª SOLUÇÃO: 1º) Endireite todas as setas. 2º) Isole a fração do x e iguale ao produto de todas as outras. x 20 600 12 ⋅ 20 ⋅ 600 2ª Solução : = ⋅ x= = 15 12 24 400 24 ⋅ 400 Exemplo 2: Se 4 operários, trabalhando 8 horas por dia, levantam um muro de 30m de comprimento em 10 dias, qual o comprimento do muro (com a mesma largura e altura que o anterior) que 6 operários erguerão em 8 dias, trabalhando 9 horas por dia ? Operários 4 Horas/dia 8 Comp. 30 Dias 10 6 9 x 8 1ª Pergunta: Considere horas/dia e dias fixos, se tiver mais operários construirão um muro maior ou menor? MAIOR + OPERÁRIOS + MURO DP 2ª Pergunta: Considere operários e dias fixos, se trabalharem mais horas todos os dias construirão um muro maior ou menor? MAIOR + HORAS/DIA + MURO DP 3ª Pergunta: Considere operários e horas/dia fixos, se trabalharem menos dias construirão um muro maior ou menor? MENOR - DIAS - MURO DP 30 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 8 1ª Solução ( fórmula ) : x = = 40,50 4 ⋅ 8 ⋅ 10 x 6 9 8 30 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 8 = ⋅ ⋅ x= = 40,50 2ª Solução : 30 4 8 10 4 ⋅ 8 ⋅ 10 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  32. 32. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 32 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Comentário sobre cálculos envolvendo tempo: Muitas questões trazem de forma embutida questões envolvendo conversões de tempo: ano, semestre, trimestre, bimestre, mês, quinzena, semana, dia, horas, minutos e segundos. Devemos tomar cuidado pois há alguns tipos de pegadinha que são muito perigosas tipo: 1,4h NÃO 4 de 1 hora, ou seja, SÃO 1 hora e 40 minutos. Na verdade 1,4h são 1 hora e 24 minutos, pois 0,4 são 10 4 de 60 minutos = 4 x 6 = 24 minutos. Enfim, problemas com o tempo, resolvemos usando regra de 10 três simples. É importante saber que: 1 ano = 12 meses = 52 semanas = 365 dias (366, se bissexto) 1 mês (comercial) = 30 dias = 4 semanas 1 semana = 7 dias 1 dia = 24 horas = 1440 minutos 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos 1 minuto = 60 segundos Depois disso os segundos são repartidos em décimos, centésimos e milésimos. Obs. 1: Um ano é bissexto se for múltiplo de 4 (veja regra), por exemplo: 1960, 1988, 1240, 936. Fevereiro tem 28 dias em ano normal e 29 em anos bissextos. Têm 31 dias: Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Outubro e Dezembro. Obs. 2: De um ano para o outro os dias no calendário andam um dia dentro da semana, ou seja, se 03 de março de 2010 foi uma quarta-feira, dia 03 de março de 2011 será uma quinta-feira e por sua vez 03 de março de 2012 será um sábado (por culpa do ano bissexto). Obs. 3: Como somar e subtrair horas… a) 4h52min + 6h23min = b) 5h23min – 2h55min = Some normalmente: 10 horas 75 minutos Transforme inicialmente 5horas e 23 minutos Daí transforme 75 minutos em 1 hora e 15 em 4 horas e 83 minutos e depois efetue a minutos. Então finalize dizendo 11 horas e 15 diferença: 2 horas e 28 minutos. minutos. (4-2) (83–55) EXERCÍCIOS: Converta: 01. Um terço de ano em dias e horas. 02. 0,72 de mês em dias, horas e minutos. 03. 0,4 de semana em dias, horas e minutos. 04. 0,67 de hora em minutos e segundos. Calcule: 05. São 15h e 45 minutos passadas mais 10h e 37 minutos que horas serão? 06. Um relógio parou de funcionar as 8h e 46 minutos, um outro relógio marca 17h e 12 minutos quando o dono dos relógios percebe que um deles parou. Nesse instante, há quanto tempo o relógio está parado? PERGUNTAS: 01. Duas rodas dentadas que estão engrenadas uma na outra têm respectivamente, 12 e 54 dentes. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 8? 02. Num internato, 35 alunos gastam R$ 15,40 pelas refeições de 22 dias. Quanto gastariam 100 alunos pelas refeições de 83 dias no mesmo internato? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  33. 33. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 33 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 03. Uma adega de vinho abastece 35 homens por um mês, dando a cada um deles os homens ficassem reduzidos a 20 e se cada um deles recebesse 3 de litro por dia. Se 5 3 de litro, quantos dias a adega 4 poderia abastecê-los? 04. Se 10 operários, trabalhando 8h por dia, levam 5,5 dias para levantar uma parede de 22m de comprimento por 0,45m de espessura, em quanto tempo 16 operários, trabalhando 12h por dia levantam outra parede de 18m de comprimento 0,30m de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira? 05. Num livro de 200 páginas há quarenta linhas em cada página. Se cada página tiver 50 linhas, o número de páginas do livro será? 3 06. Usei 250 ladrilhos de 20cm X 60cm em de uma sala. Quantos usarei de 40cm X 10cm, para 4 ladrilhar o resto ? 07. Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 85km. Quantos quilômetros percorrerá com 45 litros de gasolina? 08. Vinte operários fazem um trabalho em 18 dias. Quantos operários seriam necessários para fazer o mesmo serviço em 12 dias? 09. Em cada 100 alunos foram reprovados 25. Em uma classe de 48 alunos, qual foi o número de reprovados? 10. Para equilibrar uma carga, colocam-se 25 objetos pesando 3kg cada um. Quantos objetos seriam necessários colocar, se eles pesassem 5kg ? 11. Um operário recebeu R$ 3.400,00 por 40 dias de trabalho; quanto teria recebido se tivesse trabalhado 11 dias a menos? 12. Uma torneira despeja 1200 litros de água em 8 horas. Quantos litros despejará se permanecer aberta 3 horas somente? 13. Se 18 homens abrem um valo em 60 dias, quantos homens seriam necessários para abrir o mesmo valo em 15 dias? 14. Em um forte isolado, 75 soldados têm víveres para 168 dias. Se receberem um reforço de 25 homens, para quantos dias darão os víveres, sem reduzir a ração diária? 15. Para alimentar uma família de 6 pessoas, durante 2 dias, são necessários 3 litros de leite. Para alimentá-la durante 5 dias, estando ausente 2 pessoas, quantos litros de leite serão necessários? 16. Trabalhando 10 horas por dia, 6 operários fizeram em 12 dias, 200 metros de corda. Quantos dias 4 operários levarão para fazer 320 metros, trabalhando 12 horas diárias, se a dificuldade do primeiro trabalho está para o segundo assim como 4 para 7? 17. Um automóvel percorre um certo trecho em 8h a velocidade de 60 km/h. Se sua velocidade fosse 90 km/h quanto tempo levaria para percorrer o mesmo trecho? 18. Doze torneiras enchem 240m³ de água em 12 horas. Quantas torneiras serão necessárias para encher 170m³ em 34 horas? 19. Cinco operários realizam um trabalho em 72 dias. quantos dias levarão 8 operários se o trabalho for 3 vezes mais difícil? 20. Quatro operários fizeram 480 metros de um trabalho com um grau de dificuldade 1,2 em 24 dias. Quantos operários deverão ser contratados a mais, para fazerem 720 metros do mesmo trabalho, em 6 dias a menos com um grau de dificuldade de 3? 21. Por estar mal fechada a torneira de um reservatório, perde-se 3 gotas de líquido por segundo. Qual a quantidade de líquido perdida entre 7h e 45 min e 16h e 15 min, se 15 gotas desse líquido formam 1ml. 22. Um relógio adianta-se por dia 1min e 10 s. Qual a correção a fazer após 7 dias e 6 horas da última realizada? 23. Qual a razão entre 3 horas e 45 minutos? 24. Qual a razão entre 5 minutos e 20 segundos e 10 minutos e 30 segundos? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  34. 34. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 34 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico QUESTÕES DE CONCURSOS: 78. (UFRGS 95) Um ciclista, pedalando a uma velocidade constante v, percorreu 6km em 30min. 3 de v, percorreria essa Se sua velocidade fosse 5 mesma distância em a) 20min b) 25min c) 35min d) 40min e) 50min 79. (UFRGS 00) As rodas traseiras de um veiculo têm 4,25 metros de circunferência cada uma. Enquanto as rodas dianteiras dão 15 voltas, as traseiras dão somente 12 voltas. A circunferência de cada roda dianteira mede a) 2,125 metros b) 2,25 metros c) 3,4 metros d) 3,75 metros e) 5 metros 80. (UFRGS 07) Em 2006, segundo notícias veiculadas na imprensa, a dívida interna brasileira superou um trilhão de reais. Em notas de R$ 50,00, um trilhão de reais tem massa de 20.000 toneladas. Com base nessas informações, pode-se afirmar corretamente que a quantidade de notas de R$ 50,00 necessárias para pagar um carro de R$ 24.000 tem massa, em quilogramas, de a) 0,46 b) 0,48 c) 0,50 d) 0,52 e) 0,54 81. (FUVEST 99) Um nadador, disputando a prova dos 400 metros, nado livre, completou os primeiros 300 metros em 3 minutos e 51 segundos. Se este nadador mantiver a mesma velocidade média nos últimos 100 metros, completará a prova em a) 4 minutos e 51 segundos b) 5 minutos e 8 segundos c) 5 minutos e 28 segundos d) 5 minutos e 49 segundos e) 6 minutos e 3 segundos. 82. (UFRGS 00) Considerando que um dia equivale a 24 horas 1,8 dias equivalem a a) 1 dia e 8 horas b) 1 dia e 18 horas c) 1 dia e 19 horas d) 1 dia, 19 horas e 2 minutos e) 1 dia, 19 horas e 12 minutos copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 83. (UFRGS 01) 0,3 semanas corresponde a a) 2 dias e 1 hora b) 2 dias , 2 horas e 4 minutos c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos d) 2 dias e 12 horas e) 3 dias 3 84. (UFRGS 02) Os de um dia correspondem a 50 a) 1 hora, 4 minutos e 4 segundos b) 1 hora, 26 minutos e 4 segundos c) 1 hora, 26 minutos e 24 segundos d) 1 hora, 40 minutos e 4 segundos e) 1 hora e 44 minutos 85. (UFRGS 04) Durante os jogos PanAmericanos de Santo Domingo, os brasileiros perderam o ouro para os cubanos por 37 centésimos de segundo nas provas de remo. Dentre as alternativas, o valor mais próximo desse tempo, medido em horas, é a) 1,03 ⋅ 10 −4 b) 1,3 ⋅ 10 −4 c) 1,03 ⋅ 10 −3 d) 1,3 ⋅ 10 −3 e) 1,03 ⋅ 10 −2 86. (FCC – 2007) Em uma gráfica, foram impressos 1200 panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir 5000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas, (A) 10 minutos e 40 segundos. (B) 24 minutos e 20 segundos. (C) 37 minutos e 30 segundos. (D) 42 minutos e 20 segundos. (E) 58 minutos e 30 segundos. 87. (FCC – 2003) Um funcionário de uma Repartição Pública iniciou seu trabalho às 7h50min, executando ininterruptamente três tarefas que tiveram a seguinte duração: 1 hora e 3 de uma hora e 95 minutos. Nessas 15minutos, 5 condições, ele terminou a execução das três tarefas às a)) 11h16min. b) 11h12min. c) 10h48min. d) 10h46min. e) 10h18min. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  35. 35. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 35 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 88. (FCC – 2007) Durante todo o mês de março de 2007, o relógio de um técnico estava adiantando 5 segundos por hora. Se ele só foi acertado às 7h do dia 2 de março, então às 7h do dia 5 de março ele marcava a) 7h5min b) 7h6min c) 7h15min d) 7h30min e) 8h 89. (FCC – 2001) Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu 11 do dia, essa tarefa quando eram decorridos 16 então ele iniciou a digitação do texto às b) 13h20min c) 13h a)) 13h40min d) 12h20min e) 12h10min em 4 horas de trabalho ininterrupto. Nessas condições, o esperado é que dois deles sejam capazes de digitar 120 páginas de tal relatório se trabalharem juntos durante a) 4 horas e 10 minutos. b) 4 horas e 20 minutos. c) 4 horas e 30 minutos. d) 4 horas e 45 minutos. e) 5 horas. 91. (FCC – 2003) Suponha que quatro técnicos judiciários sejam capazes de atender, em média, 54 pessoas por hora. Espera-se que seis técnicos, com a mesma capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender, por hora, a quantas pessoas? e) 85 a) 71 b) 75 c) 78 d)) 81 90. (FCC – 2008) Sabe-se que, juntos, três funcionários de mesma capacidade operacional são capazes de digitar as 160 páginas de um relatório QUESTÕES DE TORNEIRAS : Considere o seguinte problema: Há duas torneiras que podem ser abertas para encher um tanque com água. Se abrirmos apenas a primeira torneira, o tanque estará cheio após 10 minutos. A segunda torneira, sozinha, enche o tanque em 15 minutos. a) Qual das torneiras despeja mais água por minuto? Primeira b) Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanque Sim, porque a primeira sozinha estará cheio em menos de 10 minutos. Certo ou errado? consegue isso. c) Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanque Não porque a primeira enche meio estará cheio em exatamente 5 minutos. Certo ou errado? tanque em 5 minutos, mas a outra não o faz. 1 1 d) Que fração do tanque a primeira torneira enche em um ; 10 15 minuto? E a segunda? 1 1 1 e) Que fração do tanque as duas torneiras juntas enchem + = 10 15 6 em um minuto? f) Em quanto tempo, exatamente, as duas torneiras juntas enchem o tanque? TÉCNICA PARA ESTA QUESTÃO: Exemplos: 01. Uma torneira enche um tanque em 5h e outra em 7h. Em quanto tempo o tanque estará cheio, estando as duas torneiras abertas? Primeiro calcule a fração do tanque cheia em 1h 1 do tanque em 1 hora; e a 2ª, por torneira: 1ª) 5 1 1 1 12 . Depois somar as frações: + = . 7 5 7 35 Traduzindo, acabamos de saber que juntas as copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 6 minutos. 12 do tanque a cada hora. 35 Enfim, agora falta só a regra de três: 35 ?h = =2,916666…h = 12 12 1h 2h + 0,916666 de h = 35 1 ?h 2h + 0,916666 × 60 minutos = 2horas e 55 minutos duas torneiras enchem 02. (UFRGS) Duas torneiras abertas ao mesmo tempo enchem uma piscina em 6 horas. Separadamente uma delas demora 5 horas a mais citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  36. 36. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 36 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico que a outra. Chamando de x o tempo em horas em que enche a piscina de maior vazão tem-se : 1 1 =6 b) x + ( x + 5 ) = 6 a) + x x+5 1 1 1  1 1 1  1 d) +  +  = c) +  + 5  = x x x x 5 6  6 1 1 1 e) + = x x+5 6 Duas torneiras abertas ao mesmo tempo enchem uma piscina em 6 horas, portanto em 1 hora, elas 1 da piscina. Sozinha, a torneira de enchem 6 maior vazão enche a piscina em x horas, logo, em 1 1 da piscina e a torneira de menor hora enche x vazão demora 5 horas a mais para encher a 1 da piscina, assim, em 1 hora ela enche x+5 piscina. Montando a equação, temos: 1 1 1 LETRA E + = . x x+5 6 PERGUNTAS: 01. Uma torneira enche um reservatório em 2h e outra o esvazia em 3h. Estando as duas torneiras abertas, em quanto tempo o reservatório estará cheio? 02. Uma torneira enche um tanque em três horas; outra o vazaria em quatro horas. Abertas as duas torneiras em quanto tempo ficaria o tanque cheio ? 03. A primeira torneira enche um tanque em 3 horas; a segunda torneira enche em 4 horas e a terceira enche em 5 horas. Abrindo-se as três simultaneamente em quanto tempo o tanque ficará cheio? 04. Duas torneiras podem encher um tanque em 3 e 4 horas respectivamente e uma válvula pode esvaziá-lo em 6 horas. Com as 3 abertas, em 5 quanto tempo ficam cheios do tanque? 8 05. Duas pessoas fariam, juntas um trabalho em 4 dias. Uma delas, sozinha, levaria 6 dias. Em que tempo a outra faria o trabalho, só? 06. Um operário tinha executado 1/3 de um trabalho em 6 dias, quando chega um segundo operário para auxiliá-lo, e juntos concluem o serviço com mais 4 dias de trabalho. Em quanto copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® tempo executaria o segundo sozinho todo o mesmo serviço? 07. Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda em 12 horas. Conservando-se abertas as duas torneiras, a primeira durante 24 minutos e a segunda durante 20 minutos, que parte do reservatório ficará cheia? QUESTÕES DE CONCURSOS: 92. (UFRGS 91) (N3) Dois homens, trabalhando juntos, podem fazer um trabalho em 20 dias. Se trabalhassem sozinhos, um deles levaria 9 dias mais do que o outro para fazer o mesmo trabalho. Se o mais lento leva x dias para fazer o trabalho sozinho, o valor de x é a solução da equação 1 1 + = 20 a) x + ( x + 9 ) = 20 b) x x + 9 1 1 1  c) +  + 9 = x 20 x  1 1 1 1 1 1 + = e) + = d) x x + 9 20 x x − 9 20 93. (FCC – 2007) Às 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque continha 9 050 litros de água. Entretanto, um furo em sua base fez com que a água escoasse em vazão constante e, então, às 18 horas do mesmo dia restavam apenas 8 850 litros de água em seu interior. Considerando que o furo não foi consertado e não foi colocada água dentro do tanque, ele ficou totalmente vazio às a) 11 horas de 02/06/2007. b) 12 horas de 02/06/2007. c) 12 horas de 03/06/2007. d) 13 horas de 03/06/2007. e) 13 horas de 04/06/2007. 94. (FCC – 2007) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de a) 6 horas. b) 6 horas e 10 minutos. c) 6 horas e 54 minutos. d) 7 horas e 12 minutos. e) 8 horas e meia. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
  37. 37. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora: Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 37 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 95. (FCC – 2006) Operando ininterruptamente, uma máquina é capaz de tirar X cópias de um texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas condições, outra copiadora executaria o mesmo serviço em 4 horas. Se essas duas máquinas operassem juntas, que fração das X cópias elas tirariam após 2 horas de funcionamento ininterrupto? 5 1 7 2 5 a) b) c) d) e) 12 2 12 3 6 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME – MRU Vale a justificativa: Analisando as provas dos últimos concursos, percebi várias questões envolvendo superficiais conhecimentos de MRU, tudo dá para deduzir, mas para facilitar a vida de vocês aqui registro algumas dicas para resolução destes problemas. As fórmulas mais comuns são: d = v · t e p = p0 + v · t onde: d = distância, v = velocidade, t = tempo e p0 = posição inicial. Unidades de velocidade são duas km/h ou m/s. Para converter de km/h para m/s Para converter de m/s para km/h ÷ por 3,6. x por 3,6. PERGUNTAS: 01. Numa viagem de trem um viajante consulta o relógio no momento exato em que o trem passava no marco 237. Eram 8h e 17min. Às 8h25min, o trem passa no marco 249km. Calcular a velocidade do trem em m/s e km/h. 02. Um automóvel percorre 507km em 10h e 5 min. Calcular a velocidade do automóvel em km/h e m/s. 03. Um automóvel percorre 840.000 metros em 720 minutos. Sua velocidade média é em km/h 04. Dois trens partem no mesmo instante de duas estações situadas a 400km uma da outra e se dirigem em sentidos contrários. O primeiro tem a velocidade de 50km/h e o segundo de 65km/h. Qual a distância entre os dois no fim de 2 horas? E no fim de 4h? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® QUESTÕES DE CONCURSOS: 96. (UFRGS 96) O ônibus X parte da cidade A com velocidade constante de 80km/h, à zero hora de certo dia. Às 2 horas da madrugada, o ônibus Y parte da mesma cidade, na mesma direção e sentido do ônibus X, com velocidade constante de 100 km/h. O ônibus Y vai cruzar com o ônibus X, pela manhã, às a) 6 horas b) 8 horas c) 10 horas d) 11 horas e) 12 horas 97.(FCC – 2008) Em uma estrada, dois automóveis percorreram a distância entre dois pontos X e Y, ininterruptamente. Ambos saíram de X, o primeiro às 10h e o segundo às 11h30min, chegando juntos em Y às 14h. Se a velocidade média do primeiro foi de 50 km/h, a velocidade média do segundo foi de a) 60 km/h b) 70 km/h c) 75 km/h d) 80 km/h e) 85 km/h 98. (FCC – 2006) Valfredo fez uma viagem de automóvel, em que percorreu 380 km, sem ter 3 do feito qualquer parada. Sabe-se que em 5 percurso o veículo rodou à velocidade média de 90 km/h e no restante do percurso, à velocidade média de 120 km/h. Assim, se a viagem teve início 69 do dia, Valfredo quando eram decorridos 144 chegou ao seu destino às (A) 14h18min (B) 14h36min (C) 14h44min (D) 15h18min (E) 15h36min citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.

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