Aula de EDO - Lei do Resfriamento de Newton

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Conforme solicitado em aula pelo professor Anderson, estou postando a minha aula feita em slides no power point!!!

Cristiane P. F. Lima

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Aula de EDO - Lei do Resfriamento de Newton

  1. 1. Celer Faculdades – Xaxim/SCCeler Faculdades – Xaxim/SC Centro de Excelência em Gestão PúblicaCentro de Excelência em Gestão Pública Aula De Equações DiferenciaisAula De Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)Ordinárias (EDO) MATEMÁTICA APLICADAMATEMÁTICA APLICADA
  2. 2. LEI DOLEI DO RESFRIAMENTO DERESFRIAMENTO DE NEWTONNEWTON Determinação do instante daDeterminação do instante da mortemorte
  3. 3. Além das grandesAlém das grandes contribuições para acontribuições para a Física, Newton tambémFísica, Newton também deixou algumasdeixou algumas contribuições para acontribuições para a Matemática. Uma delasMatemática. Uma delas refere-se às trocas derefere-se às trocas de calor entre corpos. O maiscalor entre corpos. O mais interessante disto, parainteressante disto, para nós, é a modelagem donós, é a modelagem do problema, que recairá emproblema, que recairá em uma equação diferencial.uma equação diferencial.
  4. 4. A lei de Newton doA lei de Newton do resfriamentoresfriamento Em 1701, com quase 60 anos, NewtonEm 1701, com quase 60 anos, Newton publicou anonimamente um artigo “Scalapublicou anonimamente um artigo “Scala Graduum Caloris”, onde descreve umGraduum Caloris”, onde descreve um método para medir temperaturas de atémétodo para medir temperaturas de até 1000 °C, algo impossível aos1000 °C, algo impossível aos termômetros da época (SOUZA, 2007).termômetros da época (SOUZA, 2007).
  5. 5. O método estava baseado no que hoje éO método estava baseado no que hoje é conhecido como a Lei do Resfriamento deconhecido como a Lei do Resfriamento de Newton, ou seja:Newton, ou seja: A taxa deA taxa de diminuição dadiminuição da temperatura de umtemperatura de um corpo écorpo é proporcional àproporcional à diferença dediferença de temperaturastemperaturas entre o corpo e oentre o corpo e o ambiente.ambiente. Em termosEm termos matemáticos:matemáticos: dTdT = - k (T – T= - k (T – Tmm )) dtdt
  6. 6. DIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAÇÃO ÀDIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAÇÃO À Onde:Onde: T =T = é a temperatura do corpoé a temperatura do corpo t =t = é o tempoé o tempo TTm =m = é a temperatura do meio ambienteé a temperatura do meio ambiente k =k = é uma constante que depende do materialé uma constante que depende do material comcom que o corpo foi construído.que o corpo foi construído. OBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTÁOBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTÁ TEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.TEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.
  7. 7. VAMOS AO PROBLEMA...VAMOS AO PROBLEMA... Sobre a condução do calor:Sobre a condução do calor: umum modelo real simples que tratamodelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em quesobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que o mesmo está colocado.o mesmo está colocado. Aceita 3 hipóteses básicas:Aceita 3 hipóteses básicas: 1)1) A temperatura T = T (t) depende do tempo t e éA temperatura T = T (t) depende do tempo t e é a mesma em todos os pontos do corpo.a mesma em todos os pontos do corpo. 2)2) A temperatura TA temperatura Tmm do meio ambiente permanecedo meio ambiente permanece constante ao longo da experiência.constante ao longo da experiência. 3)3) A taxa de variação da temperatura com relaçãoA taxa de variação da temperatura com relação ao tempo t é proporcional à diferença entre aao tempo t é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meiotemperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.ambiente.
  8. 8. MONTAGEM E RESOLUÇÃO DAMONTAGEM E RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIALEQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO):ORDINÁRIA (EDO):  Assumiremos verdadeiras as hipótesesAssumiremos verdadeiras as hipóteses enumeradas, observando que:enumeradas, observando que: dTdT = - k (T – T= - k (T – Tmm )) dtdt  Esta é uma EDO separável, que pode serEsta é uma EDO separável, que pode ser transformada em:transformada em: ____dT__dT__ = - k dt= - k dt (T – T(T – Tmm ))
  9. 9.  Integrando ambos os membros em relação à variávelIntegrando ambos os membros em relação à variável tempo:tempo:  Teremos,Teremos, ln (T-Tln (T-Tmm ) = - k t + k) = - k t + k00  Aplicando a função exponencial a ambos osAplicando a função exponencial a ambos os membros, teremos:membros, teremos: ee Ln (T - Tm)Ln (T - Tm) = e= e k (- t + 1)k (- t + 1)
  10. 10.  Logo:Logo: T – TT – Tmm = e= e-kt-kt . e. e11 CC ,, e tomando as constantes embutidas, obtém-se:e tomando as constantes embutidas, obtém-se: T (t) – TT (t) – Tmm = C . e= C . e-kt-kt  Então a solução da equação diferencial será:Então a solução da equação diferencial será: T(t) = TT(t) = Tmm + C .+ C . ee-kt-kt
  11. 11. Determinação da constante C:Determinação da constante C: Mas como sabemos que a temperatura inicial doMas como sabemos que a temperatura inicial do corpo é T(0) = Tcorpo é T(0) = T00 , então substituindo t = 0 na solução da, então substituindo t = 0 na solução da equação, teremos:equação, teremos: T(0) =T(0) = TTmm + C . e+ C . eoo TT00 = T= Tmm + C+ C Logo,Logo, C =C = TT00 – T– Tmm Então substituindo C na equação, obtém-se aEntão substituindo C na equação, obtém-se a solução final:solução final: T(t) = TT(t) = Tmm + (T+ (T00 – T– Tmm ) . e) . e-kt-kt
  12. 12. DETERMINAÇÃO DODETERMINAÇÃO DO INSTANTE DA MORTEINSTANTE DA MORTE Na investigação de um homicídio, ou de uma morteNa investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é muitas vezes importante estimar o instanteacidental, é muitas vezes importante estimar o instante da morte.da morte. Por exemplo:Por exemplo: 1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notícia:1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notícia: CORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTECORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTE Foi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpoFoi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpo de um homem aparentando 30 anos. Moradores do localde um homem aparentando 30 anos. Moradores do local disseram ter ouvido tiros por volta da meia-noite e também emdisseram ter ouvido tiros por volta da meia-noite e também em torno das 3 da madrugada. A polícia já encontrou ambos ostorno das 3 da madrugada. A polícia já encontrou ambos os autores dos disparos. Somente após o legista identificar a horaautores dos disparos. Somente após o legista identificar a hora da morte é que a polícia poderá prender um dos suspeitos.da morte é que a polícia poderá prender um dos suspeitos. Você deve estar se perguntando:Você deve estar se perguntando: Como podemos saber quando a vítima morreu?Como podemos saber quando a vítima morreu?
  13. 13. Para responder a esta pergunta precisamos saberPara responder a esta pergunta precisamos saber a temperatura do corpo no instante da descoberta e aa temperatura do corpo no instante da descoberta e a temperatura ambiente, e efetuarmos os seguintestemperatura ambiente, e efetuarmos os seguintes cálculos, usando a equação final da temperatura emcálculos, usando a equação final da temperatura em função do tempo.função do tempo. Então vamos admitir que aEntão vamos admitir que a temperatura do corpo seja 30°Ctemperatura do corpo seja 30°C no instante da descoberta e 23°Cno instante da descoberta e 23°C duas horas depois, e aduas horas depois, e a temperatura ambiente é de 20°C.temperatura ambiente é de 20°C. Primeiramente,Primeiramente, calcularemos a constante k, tendocalcularemos a constante k, tendo os dados:os dados: T = 23°CT = 23°C t = 2ht = 2h TTmm = 20°C= 20°C TT00 = 30°C= 30°C RESOLVENDO:RESOLVENDO: T(t) = TT(t) = Tmm + (T+ (T00 – T– Tmm) . e) . e-kt-kt 23 = 20 + (30 – 20) . e23 = 20 + (30 – 20) . e-2k-2k 3 / 10 = e3 / 10 = e-2k-2k ee-2k-2k = 0,3= 0,3 -2k = ln 0,3-2k = ln 0,3 k = -1,2 / -2k = -1,2 / -2 k = 0,6k = 0,6
  14. 14. Agora precisamos saber o instante daAgora precisamos saber o instante da morte, ou seja, a hora exata da morte.morte, ou seja, a hora exata da morte. Então vamos admitir que aEntão vamos admitir que a temperatura do corpo seja igual atemperatura do corpo seja igual a temperatura normal de 37°C notemperatura normal de 37°C no instante t = 0, a temperaturainstante t = 0, a temperatura ambiente é de 20°C.ambiente é de 20°C. Calcularemos t (instante daCalcularemos t (instante da morte), tendo os dados:morte), tendo os dados: TT00 = 37°C= 37°C TTmm = 20°C= 20°C TT = 30°C= 30°C k = 0,6k = 0,6 RESOLVENDO:RESOLVENDO: T(t) = TT(t) = Tmm + (T+ (T00 – T– Tmm) . e) . e-kt-kt 30 = 20 + (37 – 20) . e30 = 20 + (37 – 20) . e-0,6t-0,6t 10 / 17 = e10 / 17 = e-0,6t-0,6t ee-0,6t-0,6t = 0,58823...= 0,58823... -0,6t = ln 0,58823...-0,6t = ln 0,58823... t = -0,53 / -0,6t = -0,53 / -0,6 t = 0,88333...ht = 0,88333...h t 53 mint 53 min ≅
  15. 15. RESPONDENDO A PERGUNTARESPONDENDO A PERGUNTA INICIAL:INICIAL: Como podemos saber quando a vítima morreu?Como podemos saber quando a vítima morreu? Como acharam o corpo às 4h, e oComo acharam o corpo às 4h, e o instante de sua morte foi 53 mininstante de sua morte foi 53 min antes, então a vítima morreuantes, então a vítima morreu aproximadamente às 3h 07min.aproximadamente às 3h 07min.
  16. 16. 23/06/201423/06/2014

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