O documento apresenta os conceitos básicos sobre triângulos, incluindo definição, elementos, classificação de acordo com medidas de lados e ângulos, relações entre ângulos e segmentos notáveis. É introduzida a trigonometria no triângulo retângulo, relacionando lados e ângulos por meio de razões trigonométricas.

1. Estudo dos triângulos

2. Definição Dado três pontos A, B e C não-colineares, chama-se triângulo ABC a figura plana constituída pela reunião dos segmentos AB, AC e BC e pelos pontos interiores à região que eles determinam. B C A

7. Ângulos no triângulo

8. Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante e igual a 180º. C r  + C +  = 180º    = A e  = B ⇒ A + B + C = 180º B A r // AB

9. Medida do ângulo externo Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes.  + C = 180º ( I ) C  ( II ) A + B + C = 180º ⇒  + C = A + B + C ⇒ B A  = A + B

10. Medida do ângulo externo Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes. C e e = A + B g = B + C f A f = A + C B g

11. Exemplo Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD. Calcular a medida x do ângulo indicado. A ⇒ y = 39º 76 + y = 115 y y 115 + y = x x 115 + 39 = x 115º 76º B C D ⇒ x = 154º

12. Segmentos notáveis no triângulo

13. Mediana Une o vértice ao ponto médio do lado oposto. A BM = CM ⇒ AM é mediana C B M M é o ponto médio do segmento BC.

14. Altura Une o vértice ao lado oposto (ou a seu prolongamento) e é perpendicular à reta suporte desse lado. A AH é perpendicular a BC ⇒ AH é altura C B H

15. Bissetriz interna Une o vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. A AS é bissetriz C B S

16. Mediatriz Chama-se mediatriz de um segmento AB a reta m perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio. m AM = BM ⇒ B A M A reta m é mediatriz

21. Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. A 16 12 C B 20 cateto oposto a B 12 3 = = 0,6 sen B = = 20 5 hipotenusa cateto adjac. a B 4 16 = = 0,8 cos B = = 20 5 hipotenusa

22. Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. A 16 12 C B 20 cateto oposto a B 12 3 = = 0,75 tg B = = 4 cateto adjac. a B 16

23. Exemplos Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm. y x + y = 90º 16 5 cm x ⇒ x ≈ 40º 6 cm 6 = 1,2 ⇒ y ≈ 50º tg y = 5

24. Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Complementares

25. Ângulos complementares B ⍺ +  = 90º  5 ⇒ 3 Os ângulos ⍺ e  são complementares ⍺ C A 4 3 3 4 tg ⍺ = sen ⍺ = cos ⍺ = 5 5 4 4 4 3 tg  = sen  = cos  = 5 5 3

26. Ângulos complementares B ⍺ +  = 90º  a ⇒ c Os ângulos ⍺ e  são complementares ⍺ C A b 1 tg ⍺ = sen ⍺ = cos  cos ⍺ = sen  tg 

27. Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Notáveis

28. Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º. 60º 45º 30º ½ sen √3/2 √2/2 ½ cos √2/2 √3/2 1 tg √3/3 √3

29. Exemplos A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y. 12 cm 16 x 30º y x ⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm sen 30º = 12 y ⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm cos 30º = 12

30. Exemplos Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z. C y x 60º 30º A B z D 2 cm

31. Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C  sen x a tg x = b cos x ⍺ B A c b/a sen ⍺ b a b . = = = tg ⍺ = c/a cos ⍺ a c c

32. Exemplos Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno e a tangente desse ângulo. sen2 x + cos2 x 2 3 ⇒ cos2 x = 1 + 5 9 ⇒ cos2 x = 1 + 25 25 – 9 9 16 ⇒ cos2 x = 1 = = – 25 25 25 ⇒ ⇒ cos x = ± 4/5 cos x = 4/5

33. Exemplos Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo. 3 sen x 3 5 tg x = = = 4 cos x 4 5