Geoanalitica atualização1
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Primeira atualização de complementação do assunto.

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  • GEOMETRIA ANALÍTICA Alfredo Coelho Itabuna BA 2011
  • INTRODUÇÃO:A Geometria Analítica é uma vertente da Matemática que, nouso de processos próprios, procura estabelecer relaçõesentre a Geometria e a Álgebra. Pela Geometria Analíticapodemos estudar as propriedades de elementos como umareta, uma circunferência, uma elipse ou outra figurageométrica qualquer, criando expressões e fórmulas que osposicione no plano ou mesmo no espaço, através demétodos algébricos e outros recursos da matemática.Foi com René Descartes (1596 - 1650), filósofo ematemático, francês que, por volta do século XVII,começaram os primeiros estudos dessa área da Matemática,quando ele inventou as coordenadas cartesianasdeterminadas por infinitas retas perpendiculares entre si. Essas infinitas retas geram uma malhasobre um plano chamado de PLANO CARTESIANO que tem por base os eixos coordenados x0y,onde: “x0” (x zero), eixo das ABSCISSAS, posiciona-se na horizontal e “0y” (zero y), eixo dasORDENADAS, se posiciona na vertical do Plano Cartesiano, dividindo-o em quatro partes iguaisdenominadas de QUADRANTES.COORDENADAS CARTESIANAS:Tomando-se uma reta perpendicular ao eixo 0X,consequentemente paralela ao eixo 0Y, passando pelaabscissa determinada por xP, e outra reta perpendicular a 0Y,consequentemente paralela ao eixo 0X, passando pelo pontode ordenada yP, a intersecção entre essa duas retas,perpendiculares entre si, determina o ponto P(xP,yP), deabscissa xP e ordenada yP.Genericamente um ponto no plano é representado por suascoordenadas: abscissa x e ordenada y, ou seja, P(x, y).Dependendo do quadrante em que se encontram as coordenadas x e y podem ser positivas ounegativas, conforme a figura exibida na introdução: I Quadrante ; II Quadrante ; III Quadrante , IV QuadranteOBSERVAÇÃO:Se um ponto está localizado sobre um eixo, este ponto não pertence a nenhum quadrante. Se estiver: • Sobre o eixo dos , o ponto pertence ao semieixo positivos dos “x” se localizado à direita do eixo dos “y” e ao semieixo negativo dos “x” se estiver localizado à esquerda do eixo dos “y”. • Sobre o eixo dos , o ponto pertence ao semieixo positivos dos “y” se localizado acima do eixo dos “x” e ao semieixo negativo dos “y” se estiver localizado abaixo do eixo dos “x”.MEDIDA ALGÉBRICA DA ABSCISSA OU ORDENADA:A medida de um segmento é a distância entre as duas extremidades do segmento. Se sobregráfico da figura anterior tomarmos como sendo a medida do segmento temos deonde ou seja . Neste caso dizemos que é a medida algébrica da abscissa doponto P, positiva se P estiver à direita do eixo dos “y” e negativa se P estiver à esquerda. No casodas ordenadas o raciocínio é o análogo, é a medida algébrica da ordenada do ponto P, positivase P estiver acima do eixo dos “x” e negativa se P estiver abaixo. 2
  • MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO:Dado o segmento de extremos e , temos ossegmentos algébricos sobre o eixo das abscissas e o outrosegmento no eixo das ordenadas, tais que: e .Como se trata de segmentos algébricos podemser positivos ou negativos, dependendo do valor numérico decada coordenada.As medidas algébricas de qualquer segmento são tomadas sobreo eixo relativo se for abscissa: eixo dos “x” se ordenadas eixo dos“y”.DISTÂNCIAENTRE DOIS PONTOS NO PLANOTomando-se dois pontos sobre o plano cartesiano, comomostra a figura, considerando-se a abscissa e a ordenada forma-se um triângulo retângulo de catetos a e b ehipotenusa h, onde a é igual à medida algébrica ,béigual à medida algébrica e h é igual a ),distância do ponto A ao ponto B.Pelo teorema de Pitágoras: h² = a²+ b².Substituindo estes valores pelos valores anteriormenteencontrados temos: ,extraindo a raiz quadrada em ambos os membros vem:Que é a expressão que calcula a distância entre dois pontos no plano.RAZÃO DE SECÇÃO DE UM PONTO NUM SEGMENTO:Tomados três pontos alinhados e não coincidentes A, C e B, nestaordem: definimos razão de secção do ponto C no segmento ABcomo sendo a razão entre o primeiro segmento formado, eosegundo segmento . Sendo a razão de secção do ponto C,podemos concluir que:COORDENADAS DO PONTO DIVISOR:Calculando a abscissa do ponto:Sendo pela propriedade fundamental das proporções temos:Concluindo temos: , de modo análogo encontramos que são as coordenadasdo ponto divisor do segmento AB, se .PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:O ponto médio M(xM,yM) é o ponto que divide o segmento AB em dois segmentos iguais, tais quecomo AM é igual MB concluímos . 3
  • Deste modo podemos fazer: e quesão as coordenadas do ponto M.EXERCÍCIOS: 1. Um ponto no plano cartesiano fica determinado por suas ________________ a ____________( ) e a _______________( ). 2. Use uma folha de papel milimetrado, quadriculado ou mesmo marque as quadrículas na folha de seu caderno e, em seguida, determine os eixos coordenados 0x e 0y e marque sobre ele os pontos (use cada quadricula 0,5 cm, como sendo uma unidade): c. e. g. b. a. d. f. h. 3. Identifique o quadrante de cada um dos pontos da questão anterior. 4. Determine o ponto P(x, y) sabendo que: e identifique o quadrando a que ele pertence. 5. Calcule as medidas algébricas dos segmentos determinados pelos pontos: (observação: não precisa expressar a unidade de grandeza, pois é um número algébrico) a. e c. e e. e b. e d. e f. e 6. Calcule a distância entre os pontos: a. e c. e b. e d. e 7. Determine o valor de para que a distância entre os pontos seja igual a . 8. Determine o valor de para que a distância entre os pontos e seja igual a . 9. Calcule o valor , tal que a distância entre os pontos e seja igual a . 10. Calcule a distância entre os pontos e . 11. Dados os pontos , e calcule a razão de secção do ponto em relação ao segmento . 12. Calcule a razão de secção dos pontos , , e em relação ao segmento na figura dada ao lado, considerando u igual a uma unidade de comprimento: 13. Calcule a razão de secção dos pontos , , , e em relação ao segmento na figura dada ao lado, tal v seja igual a uma unidade de comprimento. 14. Dados os pontos , e calcule as coordenadas do ponto C sabendo que a razão de secção do ponto C em relação ao segmento AB é igual a . 15. Dados os pontos e calcule as coordenadas do ponto médio M. 16. Dados os pontos e calcule o valor de e de , sabendo que o ponto médio do segmento AB é . NOTA: Com relação à razão de secção de um ponto, pelos exercícios 12 e 13 verificamos que se o ponto estiver à esquerda do ponto médio do segmento a razão de secção é fracionária, se estiver à direita do ponto médio é inteira; se estiver entre os extremos do segmento a razão de secção é positiva e crescente para a direita. Se o ponto estiver antes do extremo esquerdo à razão de secção é negativa e crescente para a esquerda, se estiver após o extremo direito a razão de secção é negativa e crescente para a direita. 4
  • ESTUDO DA RETAALINHAMENTO ENTRE TRÊS PONTOS:Três pontos estão alinhados se forem colineares, caso contrário elesdeterminam um triângulo. Considerando os pontos A, B e C da figura,alinhados e os dois pontos D e E formando dois triângulos retângulossemelhantes, e, pela teoria da semelhança entre triângulosretângulos, temos: de onde: vem que é a mesma expressão encontrada no cálculo dodeterminante: . Logo, para determinar se três pontos estão ou não alinhados podemosusar a proporção: ou o determinanteEQUAÇÃO DA RETA NA FORMA GERAL:Dois pontos A e B qualquer, determinam uma única reta, mas se umterceiro ponto P(x, y) pertence a esta reta, então A, B e P são colineares,deste modo a equação pode ser determinada com o uso de: ou o do determinanteDe onde temos: Ou seja:Fazendo , eTemosQue é a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B.COEFICIENTE ANGULAR DA RETA:O coeficiente angular de uma reta é o parâmetro “m” que mede ainclinação de uma reta em relação ao eixo das abscissas. Pela figuravemos que a inclinação da reta fica evidenciada pela inclinaçãodeterminada pelo ângulo θ e, da trigonometria vimos que a tangente doângulo é quem mede o valor desta inclinação como tangente de umângulo no triângulo retângulo é dada pala relação: Temos, no nosso triângulo,Como implica , sendo e podemos concluir que ocoeficiente angular: . 5
  • EQUAÇÃO DE RETA CONHECENDO-SE UM PONTO E SEU COEFICIENTE ANGULAR:Seja o ponto e o coeficiente angular para um ponto genérico , da proporção , vem: , como chegamos a:EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA REDUZIDA:Verificando o valor na equação da reta em sua forma geral temos: . Como fazendo vem:O m é o coeficiente angular e q o coeficiente linear. Já foi visto que o coeficiente angular mede ainclinação da reta em relação ao eixo das abscissas e o coeficiente linear determina o ponto emque a reta intercepta o eixo das ordenadas.EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA SEGMENTÁRIA:Se considerarmos uma reta que intercepta os eixo coordenados nopontos e a equação da reta é dada pelo determinante:Dividindo ambos os membros por , encontramos:Que é a equação de uma reta na forma segmentária.EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA PARAMÉTRICA:Uma equação pode ser apresentada segundo um parâmetro qualquer , de forma que: ondeé o parâmetro dado.Encontrando o valor de t em uma das equações e substituindo na outra, encontramos a equação dareta na forma geral.EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA NORMAL:A reta quepassa por P(x, y)é perpendicularao segmento dereta OP. Pelatrigonometriatemose Como é perpendicular a seu coeficiente angular é igual a cotangente de . Aplicandoa equação que passa por um ponto de onde vem: pondo em evidência vem como , temos: Equação na forma normal da reta. 6
  • EXERCÍCIOS: 1. Verifique se os pontos estão alinhados, isto é, são colineares: a. 2, 1), (−2, −7) e (5, 7) c. (−3, 2), (0, 5) e (3, 8) b. (2, 7), (6, 5) e (4, 3) d. (3, 5), (−2, 4) e (1, 1) 2. Determine o valor de k para que os pontos dados estejam alinhados: a. (2, 8), ( , −1) e (1, 5) c. ( , 1), (−1, −3) e (5, ) b. (−3, 4), (0, ) e (2, 9) d. ( , 0), (3, ) e (−1, −6) 3. Dados os pontos, determine a equação, na forma geral, da reta que os contém: a. (2, 1) e (−2, −7) c. (3, 2) e (−1, 5) b. (2, 5) e (3, 1) d. (−3, 2) e (2, −5) 4. Dadas as retas, determine o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada uma delas: a. 3 + − 1 = 0 c. 5 − 5 − 15 = 0 b. 2 − 3 + 7 = 0 d. 3 − 5 = 0 5. Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto dado conhecendo-se o coeficiente angular: a. (3, 5) = −2 c. (−3, 1) = b. (2, −1) =− d. (−4, −5) =2 6. Dada a reta na forma geral determine sua equação na forma reduzida: a. 2 + − 4 = 0 c. 5 − 2 + 13 = 0 b. 3 − 4 + 9 = 0 d. 2 + 3 − 7 = 0 7. Encontre a equação, na forma segmentária, da reta que passa pelos pontos: a. (0, 5) e (2, 0) c. (0, −2) e (5, 0) b. (0, 7) e (3, 0) d. (0, ) e (5, 0) 8. Converta a reta da forma segmentária para a forma geral: a. + = 1 c. + =1 b. + =1 d. + =1 9. Encontre a forma geral das retas, dadas as suas formas paramétricas: =2 = a. : : = +1 c. = =3 −2 b. : = +1 =2 +1 d. : =3 −2 10. Encontre a equação da reta na forma normal, dados e : =5 =6 : : = 30° a. = c. = 10 : =6 = : b. = d. 11. Passe as equações anteriores para a forma geral: 12. Determine a intersecção entre as retas : 2 + − 4 = 0 e : 3 − 4 + 9 = 0 13. Determine os pontos em que a reta : 2 − 3 + 7 = 0 intercepta os eixos coordenados 14. Determine a intersecção entre as retas : 3 − − 2 = 0 e : 5 − 2 − 3 = 0 7
  • RESPOSTAS DA LISTA ANTERIOR: 1. Coordenadas, abscissa ( ) e ordenada ( ) 2. 3. – Semieixo positivo das abscissas – Semieixo negativo das abscissas – IV quadrante – III quadrante – Semieixo positivo das ordenadas – I quadrante – II quadrante – Semieixo negativo das ordenadas 4. IV quadrante 5. a. c. e. b. d. f. 6. a. b. c. d. 7. 8. 9. 10. 11. e 12. , , , e 13. , , , , e 14. 15. 16.POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS:Dadas duas retas e elas só podem ocupara três posiçõesrelativas entre si: CONCORRENTES, PARALELAS ou COINCIDENTES. Quando concorrentes têm um ponto comum às duas retas. Se são paralelas, não tem nenhum ponto comum às duas retas. Se são coincidentes todos os pontos pertencem àsduas retas, trata-se de uma mesma reta, que se orientadas, têm sentidos opostos. 8