O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”. Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto. Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria. Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades. Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

1. HipérboleHistória, Conceituação, Elementos, Equações, Assíntotas, Casos Especiais e Aplicações Práticas

2. História

3. História
O período de cerca de 300 a 200 a.C.
foi denominado Idade Áurea da
Matemática grega por, nessa época,
terem se destacado três grandes
nomes principais: Euclides, Arquimedes
e Apolônio de Perga.

4. História
Apolônio demonstrou que as
três espécies de cônicas
podiam ser obtidas
simplesmente ao variarmos a
inclinação de um plano
qualquer que seccionasse
determinada região específica
de um único cone circular reto.

5. História
Das obras de Apolônio que
não se perderam, a mais
importante se intitula “As
Cônicas”. Ela foi capaz de
aperfeiçoar e surpreender
todos os estudos anteriores
sobre o assunto.

6. Exemplos

7. Exemplos

8. Conceituação

9. Conceituação
Vimos, então, que uma hipérbole é um
tipo de secção cônica definida como
a interseção entre uma superfície
cônica circular regular (dupla) e
um plano paralelo ao seu eixo de
formação.

10. Conceituação
Matematicamente falando, também pode ser
definida como o conjunto de todos
os pontos coplanares para os quais a diferença das
distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é
constante.
Mas, o que isso significa?

11. • Focos: F1 e F2
• Ponto Genérico: P (x, y)
• Distância Focal: d(F1, F2)
| d’(P, F1) - d”(P, F2) |= Constante
0 < Constante < Distância Focal
Conceituação

12. 1° Exemplificação
Todos os pontos dessa
hipérbole, quando
submetidos à relação
fundamental, resultarão
sempre no mesmo valor.
• Distância Focal = 6
• Constante = 4

13. Elementos

14. Elementos
• Focos: F’ e F”
• Distância Focal: 2c
• Vértices: V’ e V”
• Eixo Real: 2a
• Centro: O
• Eixo Imaginário: 2b
• “Limites” do Eixo Imaginário: B’ e B”
• Excentricidade: c/a
• c² = a² + b²
Assíntota’
Assíntota”

15. 2° Exemplificação
Determine :
• Centro;
• Focos;
• Vértices;
• Distância Focal;
• Eixo Real;
• Eixo Imaginário;
• Excentricidade;

16. Tipos de
Hipérbole

17. Tipos de Hipérbole
Uma hipérbole se classifica em 2 casos de acordo
com a localização de seu centro e em 4 casos de
acordo com a posição de seu Eixo Real.

18. Eixo Real sobre o Eixo X Eixo Real sobre o Eixo Y
Tipos de Hipérbole: C(0, 0)

19. Eixo Real paralelo ao Eixo X Eixo Real paralelo ao Eixo Y
Tipos de Hipérbole: C(x, y)

20. Equações

21. 1° Caso:
• C (0, 0);
• F1 (– c, 0);
• F2 (c, 0);
• Quaisquer pontos P da
hipérbole possuirão
coordenadas (x, y).

22. 1° Caso:
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:
[𝑥 − −𝑐 ]2+(𝑦 − 0)² − (𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)² = 2𝑎
𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 − (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎

23. 1° Caso:
𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦² = (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦² + 2𝑎
• Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:
𝑥 + 𝑐 2
+ 𝑦2
= 𝑥 − 𝑐 2
+ 𝑦2
+ 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦² + 4𝑎²
4𝑐𝑥 − 4𝑎² = 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦²

24. 1° Caso:
4𝑐𝑥 − 4𝑎² = 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦²
• Simplificando o termo 4 e elevando a equação ao quadrado:
𝑐𝑥 − 𝑎2 2
= 𝑎2
𝑥 − 𝑐 2
+ 𝑎2
𝑦²
𝑐2
− 𝑎2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦² = 𝑎2
(𝑐2
− 𝑎2
)

25. 1° Caso:
𝑐2
− 𝑎2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦² = 𝑎2
(𝑐2
− 𝑎2
)
• A partir da relação fundamental da hipérbole, temos que:
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏²
• Substituindo o valor de c² na equação anterior:
𝑏²𝑥2
− 𝑎2
𝑦² = 𝑎2
𝑏²

26. 1° Caso:
𝑏²𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
• Dividindo ambos os lados da equação por a²b²:
𝑥2
𝑎²
−
𝑦2
𝑏2
= 1

27. 2° Caso:
• C (0, 0);
• F1 (0, – c);
• F2 (0, c);
• Quaisquer pontos
P da hipérbole
possuirão
coordenadas
(x, y).

28. 2° Caso:
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:
𝑥 − 0 2 + [𝑦 − − 𝑐 ]² − 𝑥 − 0² + (𝑦 − 𝑐)² = 2𝑎
𝑥2 + 𝑦 + 𝑐 2 − 𝑥2 + 𝑦 − 𝑐 2 = 2𝑎

29. 2° Caso:
• Conclui-se que a posição dos valores de X e Y nas
coordenadas dos focos é o inverso do 1° Caso, logo,
simplificadamente:
𝑦2
𝑎²
−
𝑥2
𝑏2
= 1

30. 3° Caso:
• C (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐);
• F1 (𝑥 𝑐 − 𝑐, 𝑦𝑐);
• F2 (𝑥 𝑐 + 𝑐, 𝑦𝑐);
• Quaisquer pontos P da
hipérbole possuirão
coordenadas (x, y).

31. 3° Caso:
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:
[𝑥 – (𝑥 𝑐 − 𝑐)]² + (𝑦 − 𝑦𝑐)² + [𝑥 – (𝑥 𝑐 + 𝑐)]² + (𝑦 − 𝑦𝑐)² = 2𝑎

32. 3° Caso:
• Desenvolvendo a equação obtida da mesma forma
como foi feito nos 2 casos anteriores, temos a
formação da seguinte equação:
(𝑥 − 𝑥 𝑐)2
𝑎²
−
(𝑦 − 𝑦𝑐)2
𝑏2
= 1

33. 4° Caso:
• C (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐);
• F1 (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐 − 𝑐);
• F2 (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐 + 𝑐);
• Quaisquer pontos P da
hipérbole possuirão
coordenadas (x, y).

34. 4° Caso:
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:
𝑥 – 𝑥 𝑐
2 + [𝑦 − 𝑦𝑐 − 𝑐 ]² + 𝑥 – 𝑥 𝑐
2 + [𝑦 − 𝑦𝑐 + 𝑐 ]² = 2𝑎

35. 4° Caso:
• Analisando a posição dos termos obtidos na
equação anterior, observamos que, assim como o
2° Caso é oposto ao 1°, o 4° é oposto ao 3°. Assim:
(𝑦 − 𝑦𝑐)2
𝑎²
−
(𝑥 − 𝑥 𝑐)2
𝑏2
= 1

36. 3° Exemplificação
Determine a equação da hipérbole com focos
F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e Eixo Real medindo 16 unidades.

37. 3° Exemplificação
Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de
equação:
𝑦²
16
−
𝑥2
9
= 1

38. Assíntotas

39. Equações das Assíntotas
Considerando a hipérbole ao
lado, temos: Centro (𝑥 𝑐, 𝑦𝑐).
Sua representação algébrica é:
𝑥 − 𝑥 𝑐
2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑦𝑐
2
𝑏2
= 1

40. Equações das Assíntotas
• Isolando o membro Y da equação:
−
𝑦 − 𝑦𝑐
2
𝑏2
= 1 −
𝑥 − 𝑥 𝑐
2
𝑎2
• Multiplicando ambos os lados pelo fator -b²:
𝑦 − 𝑦𝑐
2
= − 𝑏2
+
𝑏2
𝑎2
𝑥 − 𝑥 𝑐
2

41. Equações das Assíntotas
𝑦 − 𝑦𝑐
2
= − 𝑏2
+
𝑏2
𝑎2
𝑥 − 𝑥 𝑐
2
• Extraindo a raiz quadrada do segundo membro da equação:
𝑦 − 𝑦𝑐 = ±
𝑏2
𝑎2
𝑥 − 𝑥 𝑐
2 − 𝑏2

42. Equações das Assíntotas
• Aproximando:
𝑦 − 𝑦𝑐 ≈ ±
𝑏
𝑎
𝑥 − 𝑥 𝑐
• Logo, obtemos as equações de ambas assíntotas:
𝑦 − 𝑦𝑐 = +
𝑏
𝑎
𝑥 − 𝑥 𝑐 𝑦 − 𝑦𝑐 = −
𝑏
𝑎
𝑥 − 𝑥 𝑐

43. 4° Exemplificação
Determine as equações das
assíntotas pertencentes à hipérbole
de equação:
𝑦²
9
−
𝑥2
16
= 1

44. Hipérbole
Equilátera

45. Hipérbole Equilátera
Quando temos b = a,
observamos que as assíntotas
tornam-se perpendiculares e
a hipérbole passa a ser
nomeada como hipérbole
equilátera.

46. Aplicações

47. Propriedade Reflexiva
Se um raio de luz
proveniente de um
ponto A incidir no
espelho em P, de forma
que a reta AP passe
pelo foco F´, então o
raio será refletido para o
outro foco F.

48. Telescópios Refrator
A desvantagem de um Telescópio
Refrator é que a lente possui a
capacidade de desfragmentar o raio
de luz.

49. Telescópios Refletor
A desvantagem de um Telescópio Refletor
Newtoniano é o limite de comprimento que o espelho
plano deve possuir.

50. Telescópios Cassegrain

51. Telescópios Cassegrain
Telescópio Espacial Hubble

52. Relógio Solar

53. Conclusão

54. Conclusão
Possui uma propriedade de reflexão bastante útil
quando se estuda fenômenos óticos, proporcionando
a ela diversas aplicações práticas no ramo da
Astronomia e da Física.
Os estudos acerca de suas propriedades são bastante
arcaicos e proporcionaram até mesmo a criação e
desenvolvimento dos relógios mais primitivos.

55. Alexandre de Araújo Barreto Filho
Felipe Costa Almeida
Gabriel Resende Miranda
Janaína Soares S. Torres Almeida
Matheus Machado de Araújo
Pedro Henrique Chagas Alves
Rayssa Souza Araújo
Sara da Silva Lopes
Tainara Gabriela Costa
3° Ano – Informática (IFTM – Campus Ituiutaba)
Integrantes