1. PIRÂMIDES
Definição
Pirâmides são poliedros cuja base é uma
região poligonal ABCDEF e as faces são
regiões triangulares. Uma pirâmide se diz
regular quando for reta (projeção
ortogonal do vértice coincide com o centro
da base) e a figura da base for regular
Nomenclatura
Dá-se o nome da pirâmide através do
polígono da base.
Observe alguns exemplos.
Pirâmide Triangular a base é um
triângulo
Pirâmide quadrangular a base é
um quadrado
Pirâmide Hexagonal a base é um
pentágono
Pirâmides Regulares
Se a base de uma pirâmide reta for um
polígono regular, a pirâmide é regular.
Elementos
Para uma pirâmide regular com n lados da
base vale as seguintes relações:
Relações Auxiliares na Pirâmide
ap2
= H2
+ ab2
a  2
= ap2
+

2
2
a  2
= H2
+ R2
Área total e volume
A área total é dada pela soma de todos os
lados, logo AT=AB + AL. O Volume
corresponde a 1/3 do volume do prisma!
1. (Uerj 2014) Um quadrado ABCD de
centro O está situado sobre um plano α.
Esse plano contém o segmento OV,
perpendicular a BC, conforme ilustra a
imagem:
Admita a rotação de centro O do
segmento OV em um plano perpendicular
ao plano a, como se observa nas imagens:
Considere as seguintes informações:
- o lado do quadrado ABCD e o segmento
OV medem 1 metro;
- a rotação do segmento OV é de x
radianos, sendo ;
- x corresponde ao ângulo formado pelo
segmento OV e o plano ;
- o volume da pirâmide ABCDV, em
metros cúbicos, é igual a y.
O gráfico que melhor representa o volume
y da pirâmide, em m3
, em função do
ângulo x, em radianos, é:
a)
0 x
2
π
α

2. b)
c)
d)
2. (Epcar (Afa) 2013) Uma pirâmide
regular ABCV, de base triangular ABC, é
tal, que sua aresta lateral mede
Sendo a altura de tal pirâmide, a
distância, em cm, de A à face BCV é igual
a
a) b) c) d)
3. (Upe 2013) Para a premiação dos
melhores administradores de uma galeria
comercial, um designer projetou um peso
de papel com a forma de um tetraedro
regular reto, de aresta 20 cm que será
entregue aos vencedores. Esse peso de
papel será recoberto com placas de
platina, nas faces laterais e com uma
placa de prata na base. Se o preço da
platina é de 30 reais por centímetro
quadrado, e o da prata é de 50 reais por
centímetro quadrado, assinale a
alternativa que apresenta o valor mais
próximo, em reais, do custo desse
recobrimento. Considere
a) 24 000 b) 18 000 c) 16 000
d) 14 000 e) 12 000
4. (Uepb 2013) A altura de um
tetraedro regular que possui área total e
volume numericamente iguais, é:
a) b) c) d) e)
5. (Enem 2012) Maria quer inovar em
sua loja de embalagens e decidiu vender
caixas com diferentes formatos. Nas
imagens apresentadas estão as
planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que
Maria obterá a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e
pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e
pirâmide.
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
6. (Unesp 2011) Há 4.500 anos, o
Imperador Quéops do Egito mandou
construir uma pirâmide regular que seria
usada como seu túmulo.
As características e dimensões
aproximadas dessa pirâmide hoje, são:
1.ª) Sua base é um quadrado com 220
metros de lado;
2.ª) Sua altura é de 140 metros.
Suponha que, para construir parte da
pirâmide equivalente a 1,88 × 104
m3
, o
número médio de operários utilizados
como mão de obra gastava em média 60
dias. Dados que 2,22
× 1,4 ≅ 6,78 e 2,26
÷ 1,88 ≅ 1,2 e mantidas estas médias, o
tempo necessário para a construção de
toda pirâmide, medido em anos de 360
dias, foi de, aproximadamente,
a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. e) 60.
7. (Insper 2011) Dois faraós do antigo
Egito mandaram construir seus túmulos,
ambos na forma de pirâmides
quadrangulares regulares, num mesmo
terreno plano, com os centros de suas
bases distando As duas pirâmides
têm o mesmo volume, mas a área da base
de uma delas é o dobro da área da base
da outra. Se a pirâmide mais alta tem
de altura, então a distância entre
os vértices das duas pirâmides, em
metros, é igual a
a) 100. b) 120. c) 130. d) 150. e) 160.
AV
3 cm.
5 cm
30
2
7
26
2
2 2
3 1,7
2 6 36 6 6 2 12
120 m.
100 m