Introd logica mat ii

INTRODUÇ ÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
V´ıtor Neves
Universidade de Aveiro
2002

INTRODUÇ ÃO Á LÓGICA MATEMÁTICA
Introdu¸cão
O texto que aqui apresentamos foi redigido durante o segundo semestre do ano lec-
tivo de 1993/94 como um conjunto de notas de apoio ás aulas da disciplina semestral
Lógica, do terceiro ano das licenciaturas em Matemática (para Ensino e com In-
formática) da Universidade da Beira Interior. Esta é a única disciplina de qualquer
das licenciaturas onde a Lógica Matemática pode ser estudada como área indepen-
dente de conhecimento.
Grosso modo, descrevemos aspectos das seguintes questões: em que consiste uma
proposi¸cão ou uma fórmula serem verdadeiras ou serem satisfaz´ıveis? Que é uma
dedu¸cão? Que rela¸cões poderão ser estabelecidas entre veracidade, satisfazibilidade
e demonstrabilidade? O que é um algoritmo e que rela¸cão existe entre algoritmos e
fórmulas?
Pressupõe-se que o leitor tem treino de trabalho puramente formal, já foi exposto
a argumentos de cardinalidade ou por indu¸cão transfinita e conhece estruturas
algébricas. No caso dos alunos de Lógica da UBI esses pressupostos são garanti-
dos pela precedência da disciplina anual Álgebra.
Não tendo encontrado um texto em português que cumprisse o nosso programa com
a eficiência necessária para uma disciplina com as caracter´ısticas atrás descritas e
não sendo especialistas em Lógica Matemática, optámos por fazer uma tradu¸cão com
modifica¸cões e correçcões de alguns cap´ıtulos de [H] e [MA], alicer¸cada em [E] e [BM].
Utilizámos também alguns exerc´ıcios de [BM] que nos pareceram particularmente
bons para ilustrar aspectos mais gerais de teoremas de aplica¸cão aparentemente
restrita.

Índice
1 Lógica proposicional 5
1.1 Conectivos e fórmulas bem formadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Fun¸cões de Boole; tautologias; formas normais . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Teoremas de substitui¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Conjuntos de conectivos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Cálculo Proposicional e tautologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Cálculo Proposicional: o Teorema de Dedu¸cão. . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Completude do Cálculo Proposicional; consistência. . . . . . . . . . . 31
2 Lógica de Predicados (de primeira ordem) 39
2.1 Linguagens de primeira ordem: alfabeto, termos e fórmulas. . . . . . 39
2.2 Interpreta¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Satisfazibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Cálculo de predicados; Teorema de Dedu¸cão . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7 Um Teorema de Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.8 Modelos; completude e compacidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.9 EXERCÍCIOS. Uma introdu¸cão a Análise Não-Standard . . . . . . . 73
2.10 Rela¸cões e fun¸cões aritméticas e recursivas. . . . . . . . . . . . . . . 83

3 Introdu¸cão á Teoria de computabilidade 91
3.1 Máquinas de Turing; fun¸cões computáveis . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 Máquinas especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Composi¸cão e Recursão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4 Rela¸cões computáveis; operador de m´ınimo; fun¸cões recursivas . . . . 110
3.5 Enumerabilidade máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6 Computabilidade , recursividade e aritmética . . . . . . . . . . . . . . 122
3.7 Incompletude da Aritmética I: teorema de Tarsky . . . . . . . . . . . 124
3.8 Incompletude da Aritmética II: axiomatiza¸cão . . . . . . . . . . . . . 130
3.9 Incompletude da Aritmética III: demonstra¸cões . . . . . . . . . . . . 133

Cap´ıtulo 1
Lógica proposicional
1.1 Conectivos e fórmulas bem formadas
Nos exemplos adiante é poss´ıvel decompor a afirma¸cão o completa em asser¸cões con-
stituintes mais simples mediante part´ıculas de conexão gramatical. Os conectivos
que nos interessam para já são dados na seguinte tabela
conectivo nome leitura
≈ nega¸cão não
∧ conjun¸cão e
⇒ implica¸cão implica
⇔ equivalência é equivalente a
Exemplos 1.1.1 Designando as asser¸cões constituintes por p, q e r podemos obter
as estruturas indicadas em cada caso – os parenteses são utilizados apenas como
sinais de pontua¸cão.
1. Como dois mais três é igual a cinco e quatro mais um também (é igual a
cinco), então dois mais três é igual a quatro mais um.
(p ∧ q) ⇒∼ r
2. Se a equa¸cão x5
+ x4
− x3
− x2
+ x + 1 = 0 tiver cinco raizes reais, elas não
são todas negativas.

p ⇒ r
3. Toda a fun¸cão real de variável real e cont´ınua, definida num intervalo, toma
todos os valores entre quaisquer dois que tome, em particular o polinómio
x → x2
toma todos os valores entre zero e quatro.
p ⇒ q
Enquanto o primeiro exemplo não tem impl´ıcita qualquer quantifica¸cão, os outros
envolvem quantificadores a vários n´ıveis de complexidade. No entanto não nos inter-
essa de imediato esse aspecto. De facto, pretendemos, de momento, apenas organizar
de uma certa forma um conjunto de expressões independentemente do significado que
lhes possa ser atribuido , para além de a organiza¸cão ter sido motivada pela forma
de racioc´ınio mais frequentemente utilizada: o silogismo itmodus ponens .
Mais precisamente, pretende-se estudar uma linguagem com os seguintes s´ımbolos:
s´ımbolos proposicionais pi(i ∈ N), os conectivos definidos acima e parente-
ses como sinais de pontua¸cão. Nestes termos uma expressão é uma sequência de
conectivos, s´ımbolos proposicionais e parenteses.
Observa¸cão: para não sobrecarregar a nota¸cão, em situa¸cões onde se considerem
poucos s´ımbolos proposicionais estes serão designados por distintas letras minúsculas
sem sub´ındices.
Defini¸cão 1.1.2 (Fórmula proposicional bem formada ou fpbf ou Fórmula
proposicional)
1. Um conjunto de expressões diz-se indutivo se contiver os s´ımbolos proposi-
cionais e contendo expressões α e β também contém (∼ α ), (α ∧ β), (α ∨ β),
(α ⇒ β) e (α ⇔ β).
2. O conjunto das fórmulas proposicionais é a interseçcão de todos os
conjuntos indutivos de expressões.
Designaremos o conjunto das fórmulas proposicionais por .
Exerc´ıcio 1.1.3 Mostre que é indutivo
A demonstra¸cão do teorema seguinte é agora imediata a partir da defini¸cão de
Teorema 1.1.4 (Princ´ıpio de Indu¸cão)
Qualquer conjunto indutivo de fpbfs é o conjunto de todas as fpbfs.
O teorema seguinte sugere uma máquina que destinge as fbfb de outras expressões(veja-
se o exemplo 1.1.7.4 e [E;1.4,pág.41])

7
Teorema 1.1.5 (Unicidade de leitura)
Uma fpbf ou é um s´ımbolo proposicional ou é de uma das formas (∼ α), (α ∧ β) ,
(α ∨ β), (α ⇒ β) ou (α ⇔ β), para fpbfs α ou β.
Dem. Seja C o conjunto cujos elementos são os s´ımbolos proposicionais ou as
expressões que se obtêm a partir de fpbfs como descrito no enunciado. Como é
indutivo C ⊆ . Basta agora mostrar que C é ele próprio indutivo e aplicar o
Princ´ıpiode Indu¸cão.
O algoritmo consiste então em construir uma ”árvore invertida”come¸cando na ex-
pressão dada e que deverá ter como ”folhas”s´ımbolos proposicionais 1
. Por exemplo
(((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ (s ⇒ (r1 ∧ s2)))
((p ⇒ q) ∨ r) (s ⇒ (r1 ∧ s2))
(p ⇒ q) r s (r1 ∧ s2 )
p s r1 s2
Exerc´ıcios 1.1.6
1. Mostre que qualquer fpbf é equilibrada , i.e., o número de parenteses esquerdos,
(, que ocorre na fórmula é igual ao número de parenteses direitos, ).
2. O comprimento de uma expressão é o número de s´ımbolos que a constituem.
Mostre que não existem fpbfs de comprimentos 2, 3 ou 6, mas quaisquer outros
comprimentos são poss´ıveis.
Omissão de parenteses Com a defini¸cão 1.1.2 as expressões nos exemplos
1.1.1 não são fpbf, mas simplifica¸cões não amb´ıguas que viremos a utilizar
sistematicamente por uma questão de simplicidade de escrita. Eliminam-se
parenteses nas fpbfs aplicando na ordem indicada as regras que se apresen-
tam a seguir.
1. Eliminam-se os parenteses exteriores
2. ∼ aplica-se á fpbf mais curta que se lhe segue á (direita)
3. ∧ e ∨ aplicam-se, na ordem em que ocorrem da direita para a esquerda ,
ás fpbf adjacentes mais curtas (veja-se o exemplo 1.1.7.1)
1
ver página 4

4. ⇒ e ⇔ aplicam-se, na ordem em que ocorrem da direita para a esquerda
, às fpbf adjacentes mais curtas.
Exemplos 1.1.7
1. A aplica¸cão exaustiva das regras 3 ou 4 pode confundir mais que ajudar: (p
∧(q∨r)) simplifica para p ∧ q ∨ r ; parece-nos no entanto mais claro ficar por
p ∧(q ∨ r).
2. A fórmula ((p ∧ (∼ q)) ∨ (r ∨ (s ∧ (∼ p)))) poderia ser simplificada do seguinte
modo, já tomando em conta o exemplo anterior,
((p ∧ (∼ q)) ∨ (r ∨ (s ∧ (∼ p)))) → (p ∧ (∼ q)) ∨ (r ∨ (s ∧ (∼ p)))
→ (p∧ ∼ q) ∨ (r ∨ (s∧ ∼ p)) → (p∧ ∼ q) ∨ r ∨ (s∧ ∼ p)
3. Tem-se também a seguinte cadeia de simplifica¸cões:
(((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ (s ⇒ (r1 ∧ s2))) → ((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ (s ⇒ (r1 ∧ s2))
→ ((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ (s ⇒ r1 ∧ s2) → ((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ s ⇒ r1 ∧ s2
→ (p ⇒ q) ∨ r ⇒ s ⇒ r1 ∧ s2
4. Reciprocamente, os parenteses podem repor-se do seguinte modo
p ⇒ q ∨ r ∧ s ⇒∼ p∧ ∼ q → p ⇒ q ∨ r ∧ s ⇒ (∼ p) ∧ (∼ q)
→ p ⇒ q ∨ (r ∧ s) ⇒ ((∼ p) ∧ (∼ q))
→ p ⇒ (q ∨ (r ∧ s)) ⇒ ((∼ p) ∧ (∼ q))
→ (p ⇒ ((q ∨ (r ∧ s)) ⇒ ((∼ p) ∧ (∼ q))))
Exerc´ıcios 1.1.8
1. Omita o maior número poss´ıvel de parenteses nas seguintes fórmulas
(a) ((p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))
(b) ((p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)))
(c) ((∼ (∼ p)) ⇔ p)
(d) (∼ (p ⇒ q) ↔ (p ∧ (∼ q)))
(e) (p ∨ (∼ p))
(f) (∼ (p ∧ (∼ p)))
(g) (((p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)))

9
2. Reponha os parentêses nas fórmulas seguintes
(a) p ∧ q ⇒ r ∨ s
(b) (p ∧ q) ∨ r∧
(c) p ∨ q ∨ r ∧ s
(d) (∼ p ∨ q ⇒ r) ⇔ p ∧ yq ∨ r
(e) ∼ p ∨ q ⇒ r ⇔ p ∧ yq ∨ r
1.2 Fun¸cões de Boole; tautologias; formas nor-
mais
De um modo natural, cada α ∈ {∼ p, p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q} origina uma
fun¸cão fα
, definida de uma potência cartesiana do conjunto V dos valores lógicos V
(verdadeiro) e F (falso) em si mesmo; estas fun¸cões são dadas pelas seguintes tabelas
de verdade
f∼p
: V → V
X f∼p
(X)
v F
F V
fα
: V → V(α ∈ {p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q})
X Y fp∧q
(x, y) fp∨q
(x, y) fp⇒q
(x, y) fp⇔q
(x, y)
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Também podemos associar aos conectivos fun¸cões definidas de
potências cartesianas do conjunto das expressões para ele próprio; por exemplo
f∧
(p, q) = p ∧ q. Deste modo cada fpbf ou é um s´ımbolo proposicional ou é uma
imagem de uma sequência de s´ımbolos proposicionais por uma composi¸cão destas
fun¸cões (e de projeçcões e imersões); por exemplo
p ∧ q ⇒ r ∨ s = f⇒
(f∧
(p, q), f∨
(r, s)).

Assim, cada fpbf α , digamos que com n s´ımbolos proposicionais
(n ∈ N), define uma fun¸cão 2
fα
: Vn
→ V; por exemplo, se α = p ∧ q ⇒ r, fα
:
ν3
→ ν terá a seguinte tabela
x1 x2 x3 fα
(x1, x2, x3)
V V V V
V V F F
V F V V
V F F V
F V V V
F V V V
F V F V
F F V V
F F F V
As tabelas de verdade podem obter-se de um modo simples, se bem que formal-
mente menos correcto, identificando adequadamente fun¸cões de Boole e conectivos
e subentendendo a substitui¸cão de s´ımbolos proposicionais por variáveis em V , com
uma disposi¸cão de cálculo conveniente; por exemplo para α = (p ∧ q) ⇒ r tem-se a
seguinte
tabela:
p ∧ q ⇒ r
V V V V V
V V V F F
V F F V V
V F F V F
F F V V V
F F V V F
F F F V V
F F F V V
F F F V F
Ás fun¸cões fα
: Vn
→ V dá-se o nome de fun¸cões de Boole e temos vindo a
observar que
(1.2.1) toda a fpbf define uma fun¸cão de Boole
Veremos adiante que também toda a fun¸cão de Boole é da forma
fα
para alguma fpbf α
2
ver página 7

11
Exerc´ıcios 1.2.1
1. Determine as fun¸cões de Boole para as seguintes fórmulas
(a) (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)
(b) (p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)
(c) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
(d) ∼ (p ∨ q)
(e) ∼ (p ∧ q)
(f) p ⇒ q ⇒ p
(g) (p ⇒ q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ q) ⇒ p ⇒ r
(h) (∼ p ⇒∼ q) ⇒ (q ⇒ p)
2. Determine fórmulas α de modo que cada uma das seguintes fun¸cões de Boole
seja da forma fα
.
(a) f : V → V ≡ f(V ) = f(F) = F
(b) f : V → V ≡ f(V ) = f(F) = V
(c) f : V → V ≡ f(x, y) = V sse x = y
(d) f : V → V ≡ f(x, y) = V sse x ≥ y, sendoF < V.
Exerc´ıcios 1.2.2 Uma tautologia é uma fpbf α cuja fun¸cão fα
toma só o valor
V. Nota-se |= α se α é uma tautologia.
Uma lista de tautologias importantes
(T1) Associatividades : c ∈ {∧, ∨, ⇔}
pc(qcr) ⇔ (pcq)cr)
(T2) Distributividades
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(T3) Nega¸cões
∼ (∼ (p)) ⇔
p ∼ (p ⇒ q) ⇔ (p∧ ∼ q) ∼ (p ⇔ q) ⇔ (p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)

(T4) Leis de De Morgan
∼ (p ∨ q) ⇔∼ p∧ ∼ q ∼ (p ∧ q) ⇔∼ p∨ ∼ q
(T5) Princ´ıpio do terceiro excluido
p∨ ∼ p
(T6) Princ´ıpio da não contradi¸cão
∼ (p∧ ∼ p)
(T7) Lei de conversão
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)
(T8) Regra de exporta¸cão
(p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)
Exerc´ıcio 1.2.3 Mostre que cada (Ti) (1 ≤ i ≤ 8) é uma tautologia.
Retomando a observa¸cão (1.2.1), pode por-se a questão de se saber quando duas
fórmulas definem a mesma fun¸cão de Boole. A resposta é dada mediante a seguinte
Defini¸cão 1.2.4 Duas fpbfs α e β dizem-se tautologicamente equivalentes se
α ⇔ β for uma tautologia.
Por exemplo p∨ ∼ p e q ⇒ q são tautologicamente equivalentes – e compostas de
s´ımbolos proposicionais distintos; para uma maior clareza de exposi¸cão no que vai
seguir-se, tome-se em conta a seguinte observa¸cão: Se uma fórmula α é constituida
de s´ımbolos proposicionais escolhidos de entre p1 a pn, mas não necessariamente de
todos eles, poderiamos pensar numa fun¸cão de Boole associada, digamos
(x1, ..., xn) → Fα
(x1, ..., xn) cujo valor dependeria apenas das variáveis x1j
corre-
spondentes aos s´ımbolos proposicionais pij
que ocorrem de facto em α (j=1,...,m);
ter se-ia então
Fα
(x1, ..., xn) = fα
(x1, ..., xn)

13
Para não tornar o discurso demasiadamente pesado
identificaremos as fun¸cõeses Fα
fα
. 3
Convém observar ainda que, para fpbfs α e β , cujos s´ımbolos proposicionais estão
em {p1, ..., pn} , e conectivos binários c
(1.2.2) f∼α
(p1, ..., pn) = f∼p
(fα
(p1, ..., pn))
(1.2.3) fαcβ
(p1, ..., p2) = fpcq
fα
(p1, ..., p2), fβ
(p1, ..., p2)
Elementos suficientes para demonstrar estas igualdades podem encontrar-se em
[E;1.2]. Com estas observa¸cões é simples demonstrar o
Teorema 1.2.5 Duas fpbfs cujos s´ımbolos proposicionais estão em {p1, ..., pn} de-
finem a mesma fun¸cão de Boole sse são tautologicamente equivalentes.
Dem |= α ⇔ β sse fα⇔β
sse (fα
, fβ
) ≡ V sse fα
efβ
tomam o mesmo valor em
qualquer argumento, i. e., são iguais.
q.e.d.
Vamos então provar a rec´ıproca de (1.2.1), a saber:
Teorema 1.2.6 Toda a fun¸cão de Boole b : Vn
→ V(n ∈ N0) é da forma fα
, para
alguma fpbf α .
Dem
I. Se b ≡ F, tome α = p1∧ ∼ p1.
II. Caso em que b não é identicamente F.
Sejam Xi = (xi1 , ..., xin ) ∈ Vn
(i=1,...,k) as sequências para as quais
b(Xi) = V
Defina-se para cada i=1,...,k
3
Veja-se [E;1.5,pag.46]

βij =



pj se Xij = V ;
(j = 1, ..., n)
∼ pj se Xij = F .
γi =
n
j=1
βij α =
k
i=1
γij
Observe-se que cada γi, de certo modo, descreve a sequência Xi e, portanto, α lista
exactamente as sequências em que b vale V.
Resta mostrar que fα
= b : ora fα
vale V sse uma das fγi
vale V e cada fγi
vale
V apenas em Xi ; portanto fα
(X)=V sse X=Xi, para algum i=1,...,k, como se
pretendia.
q.e.d.
Estes dois últimos teoremas têm uma interessant´ıssima consequência. Diz-se que
uma fpbf tem forma normal dijuntiva se for da forma
α =
n
j=1
βij
em que
γi =
n
j=1
βij (i=1,...,k)
e os βij são s´ımbolos proposicionais ou nega¸cões de s´ımbolos proposicionais. Tem-se
Corolário 1.2.7 Qualquer fpbf é tautologicamente equivalente a uma fórmula na
forma normal dijuntiva.
Dem O corolário é , de facto, consequência da demonstra¸cão: mostrou-se que
qualquer fun¸cão de Boole é representada por uma fpbf na forma normal dijuntiva.
q.e.d.
Repare-se que as tautologias e as contradi¸cões, i. e., as fórmulas cujas fun¸cões de
Boole são identicamente falsas, são tautologicamente equivalentes a fpbfs de formas
normais muito simples: respectivamente p1∨ ∼ p1 e p1∧ ∼ p1 ou, se se insistir
em que cada conectivo ∧ e ∨ ocorra pelo menos uma vez, ainda respectivamente
(p1 ∧ p1) ∨ (∼ p1∧ ∼ p1) e (p1 ∧ p1) ∨ (p1∧ ∼ p1).

15
Exerc´ıcio 1.2.8 Uma fpbf α diz-se na forma normal conjuntiva se existirem
fpbfs γi tais que
α =
n
j=1
γi
em que
γ = n
j=1 βij (i = 1, ..., k)
e os βij são s´ımbolos proposicionais ou nega¸cões de s´ımbolos proposicionais. Mostre
que qualquer fpbf é tautologicamente equivalente a uma fpbf na forma normal con-
juntiva.
1.3 Teoremas de substitui¸cão
No que se segue vamos utilizar frequentemente as igualdades em (1.2.2) e (1.2.3).
Teorema 1.3.1 Sejam α e β fórmulas bem formadas. Se α e α ⇒ β são tautolo-
gias, então β é uma tautologia.
Dem. Suponha-se que α e β têm s´ımbolos proposicionais entre p1, ..., pn . Por
hipótese |= α e |= β e da´ı fα
: Vn
→ V e fα⇔β
: Vn
→ V valem identicamente V.
Considerando também (1.2.3), temos que, para qualquer (x1, ..., xn) ∈ Vn
V = fα⇔β
(x1, ..., xn), = fp⇔q
(fα
(x1, ..., xn), fβ
(x1, ..., xn)), = fp⇔q
(V, fβ
(x1, ..., xn))
Como o único Y ∈ ν para o qual fp⇔q
(V, Y ) = V é o mesmo V, concluimos que
fβ
(x1, ..., xn) é identicamente V, i. e., |= β
q.e.d.
As condi¸cões(1.2.2)e(1.2.3) indicam, de certo modo, casos particulares do seguinte:
se os s´ımbolos proposicionais p1, ...pn de uma fpbf qualquer τ são substituidos re-
spectivamente por fpbfs β1, ..., βn e denotarmos por τ∗
a fpbf resultante, então
(1.3.1) fτ∗
(x1, ..., xn) = fτ
(fβ1
(x1, ..., xn), ..., (fβn
(x1, ..., xn)) 4
O caso em que τ é uma tautologia é de particular importância.
4
Uma demonstra¸cão desta igualdade pode fazer-se de acordo com [E; 1.3.ex.7, pág 38]

Defini¸cão 1.3.2 Uma fpbf α diz-se a realiza¸cão da tautologia τ se verificarem
as seguintes condi¸cões
1. |= τ
2. α obtém-se substituindo cada ocorrência de cada s´ımbolo proposicional pi em
τ por uma fpbf βi .
Por exemplo a fórmula α = p1 ∧ p5 ⇔ p1 ∧ p5 realiza a tautologia τ = p1 ⇔ p6 com
β5 = p1 ∧ p5 e as tautologias são trivialmente realiza¸cões de si próprias.
Teorema 1.3.3 As realiza¸cões de tautologias são tautologias
Dem Basta observar que fτ
é identicamente V sempre que τ é uma tautologia.
q.e.d.
Recapitulando a lista de tautologias (Ti) das páginas 8 e 9 e mostrando que |= p∧q ⇔
q ∧ p, |= p ∨ q ⇔ q ∨ p e |= (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p) pode concluir-se
Corolário 1.3.4 Para quaisquer fpbf α ,β e γ as seguintes fórmulas são tautologias:
α(βcγ) ⇔ (αcβ)cγ (αcβ) ⇔ (βcα) (c ∈ {∧, ∨, ⇔}
α ∧ (β ∨ γ) ⇔ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) α ∨ (β ∧ γ) ⇔ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)
∼ (∼ α) ⇔ α ∼ (α ⇒ β) ⇔ (α∧ ∼ β)
∼ (α ⇔ β) ⇔ (α∧ ∼ β) ∧ (∼ α ∧ β)
∼ (α ∨ β) ⇔∼ α∧ ∼ β ∼ (α ∧ β) ⇔∼ α∨ ∼ β
α∨ ∼ α ∼ (α∧ ∼ α)
(α ⇒ β) ⇔ (∼ β ⇒∼ α) (α ∧ β ⇒ γ) ⇔ (α ⇒ (β ⇒ γ))
Pela sua importância na formaliza¸cão de regras de inferência convirá também ter
presente o seguinte
Corolário 1.3.5 Para quaisquer α, β ∈ , |= α ∧ β ⇒ α e |= α ∧ β ⇒ β e |= α ⇒
α ∨ β e |= β ⇒ α ∨ β

17
Podemos também substituir fpbf componentes por outras fpbfs.
Neste caso o processo consiste em substituir ”nós”da ”árvore”referida imediatamente
antes de 1.1.6 por outras fpbfs e tem-se o
Teorema 1.3.6 Se a fpbf γ(α → β) se obtém da fpbf γ substituindo em γ ocorrências
da fpbf α pela fpbf β e α é tautologicamente equivalente a β, então γ(α → β) é tau-
tologicamente equivalente a γ .
Dem. Suponha-se que α, β ∈ e que |= α ⇔ β. Com a nota¸cão do enunciado, seja
C = {γ ∈ ι :|= γ ⇔ γ(α → β)}. Vamos ver que C = mostrando que C é indutivo.
1o
: Se p é um s´ımbolo proposicional, então p ∈ C. Neste caso, γ =p, só pode acon-
tecer γ = α = β, portanto γ = γ(α → β) =p e, como |= p ⇔ p, p ∈ C.
2o
: Se γ ∈ C , então (∼ γ) ∈ C.
Comecemos por observar que (∼ γ)(α ∼→ β) = (∼ γ(α → β)). Por hipótese
|= γ ⇔ γ(α → β) e, por 1.3.3, |= (γ ⇔ γ(α → β)) ⇒ (∼ γ ⇔ γ(α → β)) donde
por 1.3.1, |= γ ⇔∼ γ(α → β) ou seja |= (∼ γ) ⇔ (∼ γ)(α → β), como se pretendia.
3o
: Se γ, δ ∈ C, então para qualquer c ∈ {∧ , ∨, ⇔, ⇒}(γcδ) ∈ C.
Provamos apenas o caso em que c =⇒ , pois os outros casos são estudados analoga-
mente. Suponha-se que γ, δ ∈ C. Pretendemos mostrar que
|= (γ ⇒ δ) ⇔ (γ ⇒ δ)(α → β)
Repare-se que
(γ ⇒ δ)(α → β) = γ(α → β) ⇒ δ(α → β)
Assim pretende-se de facto mostrar que
(1.3.2)
|= (γ ⇒ δ) ⇔ (γ(α → β) ⇒ δ(α → β))
tendo-se, por hipótese,
(1.3.3)

|= γ ⇔ γ(α → β) e |= δ ⇔ δ(α → β)
dado que γ, δ ∈ C.
Comecemos por observar que, por (1.2.3), se |= τ e |= σ, então |= τ ∧ σ, portanto
resulta de (1.3.3) que
(1.3.4)
|= (γ ⇔ γ(α → β)) ∧ (δ ⇔ δ(α → β))
Ora tem-se também que, para quaisquer s´ımbolos proposicionais p,q, r e s,
|= ((p ⇔ r) ∧ (q ⇔ s)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇔ (r ⇒ s))
Podemos agora utilizar o Teorema 1.3.3 para garantir que
|= ((γ ⇔ γ(α → β)) ∧ (δ ⇔ δ(α → β))) ⇒ ((γ ⇒ δ) ⇔ (γ(α → β) ⇒ δ(α → β)))
Utilizando o Teorema 1.3.1 e a asser¸cãoo (1.3.4) concluimos (1.3.2), como se pre-
tendia. O 30
caso está terminado.
O conjunto C é então indutivo, como se queria mostrar.
q.e.d.
Uma consequência imediata deste teorema permite simplificar bastante alguns cálculos.
Corolário 1.3.7 Para fpbfs α, β e γ, se α é tautologicamente equivalente a β e β é
tautologicamente equivalente a γ, então α é tautologicamente equivalente a γ.
Dem. Suponha-se que |= α ⇔ β e |= β ⇔ γ . De acordo com o teorema anterior
α ⇔ γ é tautologicamente equivalente a α ⇔ β, i. e.,
|= (α ⇔ β) ⇔ (α ⇔ γ). Segue-se que V≡ f(α⇔β)⇔(α⇔γ)
fp⇔q
(fα⇔β
, fα⇔γ
)
Por hipótese fα⇔β
≡ V portanto fα⇔γ
≡, ou seja |= α ⇔ γ, i. e., α é tautologica-
mente equivalente a γ.
q.e.d.

19
A asser¸cão seguinte é muito útil para o estudo da forma em que podem ser rep-
resentadas por fórmulas as fun¸cões de Boole. A forma como a vamos demonstrar
é também um exemplo de técnica por vezes mais adequada que a utiliza¸cão do
Princ´ıpio de Indu¸cão.
Teorema 1.3.8 (Princ´ıpio de Dualidade)
Suponha-se que os únicos conectivos que ocorrem na fpbf γ são ∼, ∧, ou ∨. Seja
γ∗
a fpbf que se obtém de γ são ∼, ∧, ou ∨ . Seja γ∗
a fpbf que se obtém de γ
substituindo cada s´ımbolo proposicional pi por ∼ pi , cada ocorrência de ∧ por ∨ e
cada ocorrência de ∨ por ∧ . Então γ∗
é tautologicamente equivalente a ∼ γ.
Dem. Vamos utilizar indu¸cão no número de conectivos de γ.
1o
) γ tem zero conectivos. Neste caso, para algum s´ımbolo proposicional p, γ=p.
Segue-se que γ∗
=∼ p e é óbvio que |= γ∗
⇔∼ γ.
2o
Suponha-se o teorema válido para qualquer fpbf com n conectivos. Seja γ uma fpbf
com n+1 conectivos. De acordo com o Teorema de Unicidade de Leitura 1.1.5, exis-
tem fpbfs, necessariamente com n conectivos, tais que uma das seguintes alternativas
se dá
1. γ = (∼ α)
2. γ = (α ∧ β)
3. γ = (α ∨ β)
(note-se que ⇒ e ⇔ por hipótese não ocorrem).
No caso 1),γ∗
=∼ α∗
e, por hipótese de indu¸cão, |= α∗
⇔∼ α. Pelo Teorema
1.3.3 tem-se |= (α∗
⇔∼ α) ⇒ (∼ α ⇔∼ (∼ α)). Conclui-se do Teorema 1.3.1 que
|=∼ α∗
⇔∼ (∼ α), i. e., |= γ∗
⇔∼ γ , como se pretendia.
No caso 2), γ∗
= (α ∧ β)∗
= α∗
∨ β∗
e, por hipótese de indu¸cão, |= α∗
⇔∼ α e
|= β∗
⇔∼ β . Utilizando convenientemente os teorema 1.3.1 e 1.3.3 conclui-se |=
(α∗
∨β∗
) ⇔ (∼ α∨ ∼ β). Acontece que, de novo por 1.3.3, |=∼ α∨ ∼ β ⇔∼ (α∧β).
Finalmente, utilizando 1.3.7, concluimos |= (α∗
∨β∗
) ⇔∼ (α∧β), i. e.,|= γ∗
⇔∼ γ,
como se pretendia.
O caso 3) trata-se de modo análogo a 2). q.e.d.
Abreviemos ”α é tautologicamente equivalente a β ”por ”α |=| β”.

Corolário 1.3.9
Sejam p1, ..., pn s´ımbolos proposicionais.
1.
n
i=1
(∼ pi) |=| ∼ (
n
i=1
pi)
2.
n
i=1
(∼ pi) |=| ∼ (
n
i=1
pi)
Dem.
i) obtem-se por aplica¸cão do Princ´ıpio de Dualidade a
n
i=1
pi
ii) obtem-se por aplica¸cão do Princ´ıpio de Dualidade a
n
i=1
pi q.e.d.
Aplicando o Teorema 1.3.3 obtem-se deste corolário
Teorema 1.3.10 (Leis de De Morgan) Para fpbfs α1, ..., αn tem-se
i)
n
i=1
(∼ αi) |=| ∼ (
n
i=1
(αi)
ii)
n
i=1
(∼ αi) |=| ∼ (
n
i=1
(αi)
Exerc´ıcio 1.3.3 Uma fpbf α diz-se na forma normal conjuntiva se existirem
fpbfs γi
α =
k
i=1
(γi)
em que
γi =
n
j=1
βij (i=1,...,k)
e os βij são s´ımbolos proposicionais ou nega¸cões de s´ımbolos proposicionais. Mostre
que qualquer fpbf é tautologicamente equivalente a uma fpbf na forma normal con-
juntiva.

21
1.4 Conjuntos de conectivos completos
Um conjunto C de conectivos diz-se completo se for poss´ıvel representar todas as
fun¸cões de Boole por fpbf onde ocorrem apenas conectivos pertencentes a C.
O Teorema 1.2.6 diz-nos de facto que qualquer fun¸cão de Boole é representada por
uma fpbf na forma normal dijuntiva. Portanto
Teorema 1.4.1 O conjunto {∼, ∨, ∧} é completo.
Observando um pouco mais profundamente podemos mesmo afirmar.
Teorema 1.4.2 Os conjuntos {∼, ∧}, {∼, ∨}e{∼, ⇒} são completos.
Dem.
Recorde-se que fα = fβ sse α |=|β . Dada uma fun¸cão de Boole f, o teorema
1.2.6. demonstra-nos que f= fα , para alguma fpbf α na forma normal dijuntiva;
se provarmos que qualquer fpbf α é tautologicamente equivalente a uma fpbf onde
só ocorrem os conectivos ∼ e ∨ ou ∼ e ∧ ou ∼ e ⇒ , concluimos que qualquer
funão de Boole é representável por uma fpbf onde, em cada caso, ocorrem apenas os
conectivos costantes de cada um dos conjuntos em questão.
De acordo com o teorema 1.2.7 cada fpbf γ é tautologicamente equivalente a uma
γν
onde só ocorrem os conectivos ∼, ∧e∨. Vamos partir de γ para obter qualquer
das outras usando os teoremas de substitui¸cão. Utilizaremos a nota¸cão do Teorema
1.3.6.
Se em γV
ocorre η ∧ δ, tome-se γV
((η ∧ δ) → (∼ (∼ η ∨ δ)) e observe-se que
γV
((η ∧ δ) → (∼ (∼ η ∨ δ)) |=|γν
, pelo teorema 1.3.6; repetindo este processo
eliminam-se de γV
todas as ocorrências de ∧; e γ |=|γV
, sendo γV
uma fpbf com
ocorrências apenas de ∼ e. Para o segundo caso tome-se γV
((η ∨ δ) → (∼ (∼
η ∧ δ)), por cada ocorrencia de fpbfs da forma η ∨ δ. Analogamente se obtém γ∧
tautologicamente equivalente a γ e onde só ocorrem os conectivos ∼ e ∧. Por exemplo
partindo de γ∧
podemos substituir subfórmulas da forma η ∧δ por ∼ (η ⇒∼ δ), para
obter γ→
tal que γ⇒
|=|γ e em γ⇒
só ocorrem ∼ e ⇒ . q.e.d.
Exemplos 1.4.3 A fpbf (p∨ ∼ q) ⇒ (r ∧ s) é tautologicamente equivalente às
seguintes:
∼ (p∨ ∼ q) ∨ (r ∧ s), ∼ (p∨ ∼ q)∨ ∼ (∼ r∨ ∼ s),
∼ (∼ (∼ p ∧ q) ∧ (r ∧ s)), (q ⇒ p) ⇒ (r ⇒∼ s).
Nem todos os conjuntos de conectivos são completos

Exemplos 1.4.4
1. {∼} não é completo: é muito fácil mostrar que as fun¸cões de Boole unárias
constantes não podem ser representadas por fpbfs apenas com s´ımbolos proposi-
cionais e ∼ .
2. {∧, ⇔} não é completo. Vamos demonstrar esta afirma¸cão por indu¸cão no
número de conectivos de fpbfs α onde só ocorrem os conectivos ∼ e ⇔ :
mostraremos que fα
toma o valor V se todas as suas variáveis valerem V,
portanto não é poss´ıvel representar por exemplo a fun¸cão que vale identica-
mente F.
Se α tem zero conectivos, então α é um s´ımbolo proposicional, digamos α = p; neste
caso fα
= fp
(V)=V. Admita-se que a afirma¸cão vale quando ocorrem no máximo n
conectivos e suponha-se que α tem n+1 conectivos; necessariamente α = (β ∧ γ) ou
α = (β ⇔ γ), para fpbfs β e γ que terão quando muito n ocorrencias de conectivos
(∧ou ⇔). Atribuindo a todas as variáveis de fα
o valor V tem-se, considerando a
hipótese de indu¸cão,
fα
(V, ..., V ) = fp∧q
(fβ
(V, ..., V ), fα
(V, ..., V )) = fp∧q
(V, V ) = V
ou, analogamente
fα
(V, ..., V ) = fp⇔q
(fα
(V, ..., V ), fβ
(V, ..., V )) = fp⇔q
(V, V ) = V
Pelo Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática a afirma¸cão sobre fα
vale com qualquer
número de conectivos, como se pretendia.
Repare-se que na verdade qualquer tabela de valores lógicos V e F define um conec-
tivo – que poderá ser unário binário, ternário, etc. – sendo assim poss´ıvel definir ao
todo dezasseis conectivos binários, dos quais até aqui estudámos quatro.
Pode mostrar-se que {c} não é completo se c ∈ {∧, ∨, ⇔, ⇒}. No entanto
Teorema 1.4.5 Os conectivos Nor e Nand respectivamente designado por ↓ e |
e definidos pelas tabelas
p q p ↓ q p|q
V V F F
V F F V
F V F V
F F V V

23
formam cada um por si um conjunto completo.
Dem. Em virtude do teorema 1.4.2, bastará mostrar que ∼ p e p ∨ q são tauto-
logicamente equivalentes a fpbfs que só envolvam ↓ ou só envolvem |. Vejamos o
primeiro caso, come¸cando por notar que
p ↓ q |=| ∼ (p ∨ q)
Assim obtém-se com 1.3.7 que
p ↓ p |=| ∼ p
e, consequentemente,
(p ↓ q) ↓ (p ↓ q) |=|(∼ (p ∨ q))
Como ∼ (∼ (p ∨ q)) |=|p ∨ q vem, por 1.3.7,
(p ↓ q) ↓ (p ↓ q) |=|p ∨ q
Para | , comecemos por notar que
p|q |=|(p ∧ q)
e da´ı
p|p |=| ∼ p
Como p∨ |=|(∼ p∧ ∼ q) tem-se
(p|p)|(q|q) |=|p ∨ q
É um excelente exerc´ıcio de paciência e concentra¸cão exprimir ⇔ apenas com ↓ .
Exerc´ıcios 1.4.6 Para os exerc´ıcios seguintes tenha em conta que o Princ´ıpio de
Indu¸cão 1.1.4 vale considerando o conjunto de conectivos ampliado com os que even-
tualmente venham a ser definidos; por exemplo, no exerc´ıcio 1 definimos o conectivo
<: deve juntar-se à constru¸cão de fpbf 1.1.2 que, se α e β são fpbf, (α < β) também
é .

1. Defina o conectivo < pela tabela
p q p < q
V V F
V F F
F V V
F F F
Mostre que {∼, <} é completo, mas {<} não é .
2. Considere a fun¸cao de Boole f: V3
→ V definida pela tabela seguinte
X Y Z f(X, Y, Z)
V V V V
V V F V
V F V V
V F F F
F V V V
F V F F
F F V F
F F F F
a) Determine uma fpbf que represente f com apenas cinco conectivos. Identifique
cuidadosamente as aplica¸cões de teoremas de substitui¸cão.
b) Denote por o conectivo ternário definido pela tabela acima (conectivo de maio-
ria). Mostre que { } não é completo.
1.5 Cálculo Proposicional e tautologias
Nesta seçcão vamos definir um processo de gerar todas as tautologias.
Simplificando a nota¸cão tomaremos como primitivos apenas os conectivos ∼ e ⇒,
definindo todos os outros á sua custa, como abreviaturas – recorde-se que {∼, ⇒} é
completo (teorema 1.4.2) –. Assim a linguagem com que passamos a trabalhar será
o conjunto dado por
= {α ∈ : α não tem ocorrências de ∧, ∨ ou ⇔}
e as igualdades seguintes definem os conectivos ∧, ∨e ⇒
α ∧ β =∼ (α ⇒ (∼ β)) α ∨ β =∼ α ⇒ β a ⇔ β = (α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α)

25
Com as devidas adapta¸cões para vale o Princ´ıpio de Indu¸cão 1.1.4 e o teorema de
Leitura única 1.1.5.
As regras de cálculo incluirão um número infinito de axiomas descritos por um
número finito de esquemas – o que, através do teorema de leitura única, permite um
método ”mecânico”de decidir se uma fpbf é ou não um axioma.
Defini¸cão 1.5.1 O sistema formal L do Cálculo proposicional consiste no
seguinte:
i) O conjunto
ii)O conjunto de esquemas de axiomas: para quaisquer fpbfs α, β e γ, as seguintes
fpbfs são axiomas de L
( L 1) (α ⇒ (β ⇒ α))
( L 2) ((α ⇒ (β ⇒ γ)) ⇒ ((α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ)))
( L 3) (((∼ α) ⇒ β) ⇒ (((∼ α) ⇒ (∼ β)) ⇒ α))
iii) A regra de inferência modus ponens: para quaisquer α, β , de αe(α ⇒ β) ,
deduz-se (ou conclui-se) β .
Tal como observámos no in´ıcio (pág. 2) a regra de inferência pretende formalizar o
processo básico de dedu¸cão em matemática; este processo é ainda mais reflectido na
seguinte
Defini¸cão 1.5.2 Uma dedu¸cão em L é uma sequência α1, ..., αn de fpbfs em que
cada αi (i=1,...,n) é um axioma ou resulta de duas fpbfs de menor ´ındice,αj e αk
(j,k<i), por aplica¸cão de modus ponens. O número n diz-se o comprimento da
dedu¸cão. O último termo , αn , de uma dedu¸cão diz-se um teorema de L e a
sequência diz-se uma dedu¸cao(em L ) de αn.
Repare-se que cada axioma é um teorema: tem uma dedu¸cão cujo único termo é ele
próprio. É também simples de ver que qualquer segmento inicial α1, ..., αn (m<n) de
uma dedu¸cão α1, ..., αn é uma dedu¸cão e, portanto, qualquer termo de uma dedu¸cão
é um teorema. Obviamente o conjunto de premissas {αj, αk} para a conclusão αi é
da forma {α, α ⇒ αi} para alguma fpbf α.
Vimos como o formalismo desenvolvido nas seçcões anteriores pode servir para for-
malizar a linguagem corrente. Também vimos como esse formalismo pode servir
para tratar fun¸cões de Boole que optárm mos por definir á custa de termos ”ver-
dadeiro”e ”falso-- mas poderiam muito bem ter sido definidas em termos de 0 e 1–

dando assim lugar a interpreta¸cões em termos de circuitos eléctrico (”desligado”e
”ligado”). 5
Para nos distanciarmos ainda mais dos poss´ıveis significados atribuiveis aos s´ımbolos
que estamos a utilizar temos a seguinte
Defini¸cão 1.5.3 Uma valua¸cão de L é uma fun¸cão υ : → {0, 1} tal que, para
quaisquer α, β ∈ ,
i) υ(α) = υ(∼ α)
ii) υ(α ⇒ β) = 0 sse υ(α) = 1 e υ(β) = 0
Pode demonstrar-se que qualquer fun¸cão υ definida do conjunto de s´ımbolos proposi-
cionais para {0, 1} se prolonga por uma valua¸cão υ de modo que υ(α) depende apenas
dos s´ımbolos proposicionais que ocorrem em α . Observando que as valua¸cões estão,
por defini¸cão, definidas em todos os s´ımbolos proposicionais, poderiamos reformu-
lar as seçcões anteriores nas novas condi¸cões. Esta possibilidade de reinterpreta¸cão
pode ser levada mais longe ainda.
Defini¸cão 1.5.4
Uma tautologia de L é uma fpbf α tal que υ(α)=1, para qualquer valua¸cão υ .
Notaremos |=L α se α uma tautologia de L.
Esta no¸cão de tautologia comporta-se como a da seçcão 1.2 (veja-se o teorema 1.3.1):
Teorema 1.5.5 Para quaisquer α, β ∈ , se |=L α e |=L α ⇒ β , então |=L β .
Dem Suponha-se que |=L α e |=L α ⇒ β e seja υ uma valua¸cão. Por hipótese
υ(α ⇒ β) = 1; portanto ou υ(α) = 0 ou υ(β) = 1 – por defini¸cã o de valua¸cão
– e como υ(α) = 1 por hipótese, necessariamente υ(β) = 1. Como υ foi tomada
arbitrariamente, |=L β.
Podemos já demonstrar uma parte do resultado para que nos encaminhamos.
5
O exerccio 1.4.6.2.a) pode ser interpretado em termos de encontrar circuitos mais simples para
os mesmos efeitos. Alias Nand e Nor são exemplos de blocos de constru¸cão de circuitos (bastante
complicados...).

27
Teorema 1.5.6 (De boa fundamenta¸cão)
Todos os teoremas de L são tautologias.
Dem. (Por indu¸cão no comprimento das demonstra¸cões)
Se α é um teorema que tem uma deduão de comprimento 1, α1 , então α = α1 e α é
um axioma. É um exerc´ıcio de rotina verificar que todos os axiomas são tautologias.
Suponha-se que todos os teoremas que têm uma dedu¸cão de comprimento menor ou
igual a n são tautologias e seja α um teorema demonstrado por α1, ..., αn+1 . Por
defini¸cão α = αn+1 . Já vimos que os axiomas são tautologias; vejamos o caso em
que α não é um axioma:
Como estamos a supor que α não é um axioma, existem αj, αk, β ∈ tais que
j,k<n+1 e αj = β e αj = β ⇒ α . Como qualquer segmento inicial α1, ..., αm (m ≤
n) é uma dedu¸cão, por hipótese de indu¸cão |=L αj e |=L αk , i. e., |=L β e |=L β → α
; segue-se do Teorema 1.5.5 que |=L α, como se pretendia. Pelo Princ´ıpio de Indu¸cão
Matemática todos os teoremas de L são tautologias.
Mostrar que todas as tautologias são teoremas de L é significativamente mais dif´ıcil.
O processo inicia-se na seçcão seguinte. No entanto podemos já apresentar um teo-
rema de L
Teorema 1.5.7 Para qualquer α ∈ , α ⇒ α é um teorema de L.
Na dedu¸cões descritas daqui em diante a coluna da direita indica a razão de escolha
da fórmula (é o que se pode chamar a justifica¸cão); MP abrevia ”aplica¸cão de modus
ponens”.
Dem.
α1 = (α ⇒ ((α ⇒ α) ⇒ α)) ⇒ ((α ⇒ (α ⇒ α)) ⇒ (α ⇒ α)) (L2)
α2 = α ⇒ ((α ⇒ α) ⇒ α) (L1)
α3 = ((α ⇒ (α ⇒ α)) ⇒ (α ⇒ α) (MP α1&α2)
α4 = α ⇒ (α ⇒ α) (L1)
α5 = α ⇒ α (MP α3 & α4)
q.e.d.

É poss´ıvel estudar sistemas formais onde os conectivos primitivos são quaisquer
dos pares completos do teorema 1.4.2 – ou outros conjuntos, completos ou não –
no entanto é natural tomar a implica¸cão como conectivo binário primitivo já que
modus ponens é o processo fundamental de inferência em matemática.
Exerc´ıcio 1.5.8 Mostre que {∼, ⇔} não é completo (SUG: mostre que as fun¸cãoes
de Boole representadas por fpbf onde só ocorram ∼ e ⇔ tomam um número par de
vezes o valor V).
1.6 Cálculo Proposicional: o Teorema de Dedu¸cão.
Como sabe quem estuda Matemática, frequentemente interessa tirar conclusões de
conjuntos de premissas especificadas para além dos axiomas.
Defini¸cão 1.6.1 Seja Γ um conjunto de fpbfs, i. e., Γ ⊆ . Diz-se que a sequência
de fpbfs α1, ..., αn é uma dedu¸cão a partir de Γ (em L ) se, para cada i (1 ≤ i ≤ n)
uma das condi¸cões seguintes se verifica
1. αi é um axioma de L
2. αi ∈ Γ
3. αiobtem-se de duas fpbfs αj, αk(1 ≤ j, k ≤ i) por aplica¸cão de modus ponens.
Nestas condi¸cões diz-se que αn é dedut´ıvel de Γ (emL), αn é consequência de
Γ(emL) ou que Γ prova αn . Se a fpbfα é dedut´ıvel de Γ escreve-se Γ L α. Aos
elementos de Γ chamam-se hipóteses.
Uma leitura cuidada da defini¸cão 1.5.3 mostra que os teoremas de L são as con-
sequências de ∅; notaremos L α se α é um teorema. Um caso de aplica¸cão frequente
é descrito no seguinte
Teorema 1.6.2 Para quaisquer α, β, γ ∈ , {α ⇒ β, β ⇒ γ} L α ⇒ γ .
Dem.
α1 = (β ⇒ γ) ⇒ (α ⇒ (β ⇒ γ)) (L1)
α2 = β ⇒ γ (hipotese)
α3 = α ⇒ (β ⇒ γ) (α1, α2e MP)
α4 = (α ⇒ (β ⇒ γ)) ⇒ ((α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ)) (L2)
α5 = (α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ) (α3, α4 e MP)
α6 = α ⇒ β (hipotese)
α7 = α ⇒ γ (α5, α6 e MP)

29
q.e.d.
Deixa-se ao cuidado do leitor o estudo do exemplo seguinte; o estudo será ainda mais
simples se apenas se numerarem os passos das demonstra¸cões em vez de os designar
por αα , conven¸cão que seguiremos de ora em diante.
Exemplos 1.6.3 Para quaisquer Γ ⊆ eα, β ∈ , se Γ L α ⇒ β então Γ∪oα} L β
Uma dificuldade está em demonstrar a rec´ıproca desta asser¸cão, a saber:
Teorema 1.6.4 (De Dedu¸cão)
Para quaisquer Γ ⊆ e α, β ∈ , se Γ ∪ {α} L β, então Γ L α ⇒ β
Antes de apresentarmos uma demonstra¸cão ( e generalizando um pouco os comentários
que fizemos imediatamente a seguir á defini¸cão de dedu¸cão, 1.5.2), convirá ter pre-
sente que
-Se Γ ⊆ Γ , então qualquer dedu¸cão
a partir de Γ é também uma dedu¸cão a partir de Γ . Em particular os
teoremas de L são consequências de qualquer conjunto de fpbfs.
-Qualquer segmento inicial de uma dedu¸cão a partir de Γ é uma dedu¸cão
a partir de Γ
-Se α1, ..., αn e β1, ..., βn são dedu¸cões a partir de Γ , então a sequência
α1, ..., αn, β1, ..., βn é uma dedu¸cão a partir de Γ . Sob um ponto
de vista prático:
-A introdu¸cão de uma consequência de Γ como termo de uma dedu¸cão
a partir de Γ é admiss´ıvel: a consequência pode tomar-se como
abreviatura da sua dedu¸cão.

Dem. (1.6.4). Vamos fazer indu¸cão sobre o comprimento n das dedu¸cões de β
indicando em cada caso uma dedu¸cão de α ⇒ β .
n=1
Nestas condi¸cões α1, ..., αn = αn = β
1o
) β ∈ Γ ou β é um axioma de L
1. β (hipotese ou axioma)
2. β ⇒ α ⇒ β (axioma)
3. α ⇒ β (MP 1 & 2)
2o
) β = α
Neste caso α ⇒ β = α ⇒ α e |=L α ⇒ α Repare-se que de facto também acabámos
de mostrar que
(1.6.1) Se β ∈ Γ ou βé um axioma de L ou β = α e em qualquer dos casos Γ∪{α} L
β , então Γ L α ⇒ β .
independentemente do comprimento de uma poss´ıvel dedu¸cão de β.
Suponha-se agora que o teorema vale quando os comprimentos das dedu¸cões de β
a partir de Γ ∪ {α} são menores ou iguais a n. Seja α1, ..., αn+1, uma dedu¸cão de
β a partir deΓ ∪ {α}. Só interessa estudar o caso em que não se aplica (1.6.1),
i. e., β = αn+1 obtem-se de αj = γ e αk = γ ⇒ β, para alguma fórmula γ, com
i ≤ j, k ≤ n. Por hipótese de indu¸cão Γ L α ⇒ γ e Γ L α ⇒ γ ⇒ β: uma
dedu¸cão de α ⇒ β a partir de Γ pode ser descrita do seguinte modo
(1) α ⇒ γ (Γ L α ⇒ γ)
(2) α ⇒ γ ⇒ β (Γ L α ⇒ γ ⇒ β)
(3) (α ⇒ γ ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ) ⇒ α ⇒ β (L2)
(4) (α ⇒ γ) ⇒ α ⇒ β (MP 2 & 3)
(5) α ⇒ β (MP 1 & 4)
Pelo Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática o teorema vale para qualquer n ∈ N{0}.
q.e.d.
Algumas aplica¸cões deste teorema que utilizaremos adiante:
Teorema 1.6.5 Para quaisquer α, β ∈
1. ∼∼ α L α

31
2. α L∼∼ α
3. {β, ∼ β} L α
Dem.
1. (1) ∼ α ⇒∼ α ( L , 1.5.7)
(2) (∼ α ⇒∼ α) ⇒ (∼ α ⇒∼∼ α) ⇒ α (L3)
(3) (∼ α ⇒∼∼ α) ⇒ α (MP 1 & 2)
(4) ∼∼ α (hipotese)
(5) ∼∼ α ⇒ (∼ α ⇒∼∼ α) (L1)
(6) ∼ α ⇒∼∼ α (MP4&5)
(7) α (MP2&6)
2. (1) ∼∼∼ α ⇒ α ( L , caso 1)
(2) (∼∼∼ α ⇒ α) ⇒ (∼∼∼ α) ⇒∼ α) ⇒∼∼ α (L3)
(3) α (hipotese)
(4) α ⇒ (∼∼∼ α ⇒∼ α) (L1)
(5) ∼∼∼ α ⇒ α (MP3&4)
(6) (∼∼∼ α ⇒ α) ⇒∼∼ α (MP2&5)
(7) ∼∼ α (MP1&6)
3. (1) (∼ α ⇒ β) ⇒ (∼ α ⇒∼ β) ⇒ α (L3)
(2) β ⇒ (∼ α ⇒ β ) (L1)
(3) β (hipotese)
(4) ∼ α ⇒ β (MP2&3)
(5) (∼ α ⇒ β) ⇒ α (MP1&4)
(6) ∼ β ⇒ (∼ α ⇒ β) (L1)
(7) ∼ β (hipotese)
(8) ∼ α ⇒ β (MP6&7)
(9) α (MP5&8)
q.e.d.
1.7 Completude do Cálculo Proposicional; con-
sistência.
Para mostrarmos que todas as tautologias são teoremas vamos ver que não é poss´ıvel
ampliar o conjunto dos teoremas sem que na amplia¸cão surja uma fórmula sobre a
qual alguma valua¸cão valeria simultaneamente 0 e 1, o que é imposs´ıvel.

As defini¸cões da seçcão 1.5 são muito facilmente generalizáveis:
Um sistema formal F (para o Cálculo Proposicional ) consiste em , um conjunto
especificado de fórmulas de , que serão designados por axiomas de F, e um con-
junto de regras de inferência. Uma dedu¸cão de αn a partir de Γ ⊆ em F é
uma sequência fpbf α1, ..., αn em que cada αi é um axioma ou é um elemento de Γ
ou resulta de fórmulas anteriores por aplica¸cão de alguma regra de inferência. As
fórmulas dedut´ıveis de ∅ serão chamadas teoremas de F, notando-se Γ |=F α, se
α é dedut´ıvel de Γ, e |=F α, se α é um teorema de F
Designemos por Teo (F) o conjunto de teoremas do sistema formal F .
Defini¸cão 1.7.1 Uma extensão de um sistema formal F é um sistema formal F∗
tal que Teo (F) ⊆ Teo(F∗
). Uma extensão-MP de L é uma extensão cuja única
regra de inferência é modus ponens.
Extensões-MP obtêm-se por prolongamento ou modifica¸cão do conjunto de axiomas.
Há no entanto que ter cuidado com a aquisi¸cão de novos teoremas.
Defini¸cão 1.7.2 Uma extensão F de L diz-se consistente se ∼ α e α não são
simultaneamente teoremas de F , seja qual for α ∈ .
Teorema 1.7.3 L é consistente.
Dem. Pelo Teorema de Boa Fundamenta¸cão 1.5.6, os teoremas de L são tautologias
e α e ∼ α não o podem ser simultaneamente.
q.e.d.
Consistência para extensões-MP é caracterizável do seguinte modo:
Teorema 1.7.4 Uma extensão-MP L∗
de L é consistente sse existe uma fórmula
em que não é teorema de L∗
.
Ou seja, uma extensão-MP L∗
de L é inconsistente (ou não consistente) se e só se
todas as fórmulas são teoremas de L∗
.
Dem. Se L∗
é consistente e α é uma fórmula qualquer apenas um dos casos é
poss´ıvel |=L∗ α ou |=L∗ ∼ α ; o caso que se não der indica a fórmula que não é
teorema.
Se L∗
não é consistente então para uma certa α ∈ tem-se |=L∗ α e |=L∗ ∼ α. Vamos
ver que (1.7.1)
|=L∗ β para qualquer β ∈ .

33
Comecemos por supor demonstrado o seguinte lema
LEMA. |=L∼ γ ⇒ γ ⇒ β para quaisquer γ, β ∈
Segue-se que também (1.7.2)
|=L∗ ∼ γ ⇒ γ ⇒ β para quaisquer γ, β ∈
pois L∗
é extensão de L ; mas então tem-se a seguinte dedu¸cão, para qualquer β ∈
(1) α |=L∗ α
(2) ∼ α |=L∗ ∼ α
(3) ∼ α ⇒ α ⇒ β ((1.7.2))
(4) α ⇒ β (MP 2 & 3)
(5) β (MP 1 & 4)
Portanto |=L∗ β, como se pretendia. Resta demonstrar o Lema.
Dem. do Lema: de acordo com o teorema de dedu¸cão, basta mostrar que {∼ γ, γ} |=L
β, o que foi feito em 1.6.5.3. q.e.d.
A asser¸cão seguinte diz que podemos acrescentar a um sistema formal as nega¸cões
de fórmulas que não sejam teoremas sem perder a consistência.
Teorema 1.7.5 Seja L∗
uma extensão-MP consistente de L suponha que α ∈
Teo (L∗
). Seja L∗∗
a extensão-MP de L∗
que se obtem juntando ∼ α aos axiomas
de L∗
. L∗∗
é consistente.
Dem. Suponha que α, L, L∗
, L∗∗
estão nas condi¸cões da hipótese mas que L∗∗
é
inconsistente. De acordo com o teorema anterior,|=L∗∗ α. Como a diferen¸ca entre
L∗
e L∗∗
é que ∼ α é também um axioma do segundo, conclui-se em particular que
∼ α |=L∗ α. Como os teoremas de L também são teoremas de L∗
, os axiomas de
L são teoremas de L∗
e portanto vale o Teorema de Dedu¸cão em L∗
; segue-se que
|=L∗∗∼ α ⇒ α. Suponha-se demonstrado o seguinte Lema
LEMA. |=L (∼ α ⇒ α), para qualquer α ∈ .
Como L∗
é uma extensão de L, |=L∗ (∼ α ⇒ α) ⇒ α. Consequentemente |=L∗ α,
como se pretendia. Resta provar o lema.
Dem. do lema. Utilizamos o Teorema de Dedu¸cão.

(1) ∼ α ⇒ α (hipotese)
(2) (∼ α ⇒ α) ⇒ (∼ α ⇒ α) ⇒ α (L3)
(3) (∼ α ⇒ α) ⇒ α (MP 1 & 2)
(4) ∼ α ⇒∼ α (1.5.7)
(5) α (MP 3 & 4)
q.e.d
Pode saturar-se L adicionando um número suficiente de fpbfs.
Defini¸cão 1.7.6 Uma extensão L∗
de L diz-se completa se para qualquer α ∈
, ou |=L∗ αou |=L∗ ∼ α.
Observe-se que qualquer extensão inconsistente é completa (teorema 1.7.4), que
qualquer extensão completa não pode ser estritamente ampliada sem se tornar in-
consistente e que L não é completa: para qualquer s´ımbolo proposicional p, nem p
nem ∼p são teoremas de L .
Podemos concluir de 1.7.5 e da última observa¸cão que L tem extensões estritas L∗
,
i. e., Teo(L) ⊂ Teo(L∗
). Note-se também que qualquer extensão de uma extensão
é extensão do sistema inicial.
Teorema 1.7.7 Toda a extensão consistente de L tem por sua vez uma extensão
consistente e completa.
Dem. Seja α0, α1, ..., αn, ... uma enumera¸cão de todas as fpbfs de . Vamos con-
struir a extensão por n´ıveis que serão reunidos no fim. Seja L∗
uma extensão con-
sistente de L. Notemos por F; α o sistema formal que se obtem do sistema formal
F por adi¸cão da fórmula α ao conjunto de axiomas.
Defina
L0 = L∗
Ln+1 =



Ln se |=Ln αn
(n ∈ N)
Ln; ∼ αn se αn /∈ Teo(Ln)
Por hipótese L0 é consistente e, pelo teorema 1.7.5, se Ln é consistente também
Ln+1 é consistente; pelo princ´ıpio de Indu¸cão Matemática todas as extensões Ln são
consistentes.
Note-se por F ∪ F a extensão dos sistemas F e F cujo conjunto de axiomas é a
reunião dos conjuntos de axiomas de F e F . Seja

35
L∞ = ∪∞
n=0Ln
É imediato que L∞ é uma extensão de L∗
.
Vejamos que L∞ é consistente: se o não fosse, existiria α ∈ tal que |=L∞ ∼ α
e |=L∞ α. Tomem-se dedu¸cões de ∼ α e de α em L∞ . O número de fórmulas
envolvidas em ambas as dedu¸cões é finito, portanto o número de axiomas também e
estes serão axiomas de algum Ln , para n suficientemente grande; mas então α e ∼ α
são de facto teoremas de Ln , o que é imposs´ıvel pois todos os Ln são consistentes.
Em suma, L∞ não pode ser inconsistente.
Para vermos que L∞ é completa basta observar que qualquer fórmula de ocorre em
algum lugar na listagem inicial portanto, em algum passo da constru¸cão, ela ou a sua
nega¸cão foi incluida como axioma e, assim, também como teorema. q.e.d.
Resta-nos mais um passo preliminar para o qual convirá ter presente o seguinte
exerc´ıcio
Exerc´ıcio 1.7.8 Mostre que |=L (∼ α ⇒∼ β) ⇒ (β ⇒ α), para quaisquerα, β ∈ .
Teorema 1.7.9 Se L∗
é uma extensão-MP consistente de L, existe uma valua¸cão
que vale 1 em todos os teoremas de L∗
.
Dem.Tome uma extensão completa e consistente L∞ de L (por exemplo como
construida no teorema anterior) e defina
υ(α) =



1 se |=L∞ α
0 se |=L∞ ∼ α
Repare-se que υ está definida em todas as fpbfs de pois L∞ é completa. Falta ver
que υ(α ⇒ β) = 0 sse υ(α) = 1 e υ(β) = 0, pois υ(α) = υ(∼ α) resulta de L∞ ser
consistente.
Suponha que υ(α ⇒ β) = 0. Comece por observar que então
(1.7.2)
|=L∞ ∼ (α ⇒ β)
Se υ(α) = 0 ou υ(β) = 1 então |=L∞ ∼ α ou |=L∞ β . Utilizando o axioma (L1)
convenientemente conclui-se

|=L∞ ∼ β ⇒∼ α ou |=L∞ α ⇒ β
o que, pelo exerc´ıcio anterior, leva em qualquer caso a
|=L∞ α ⇒ β
o que, com (1.7.2), contradiz a consistência de L∞ . Segue-se que necessariamente
υ(α) = 1 e υ(β) = 0, se υ(α ⇒ β) = 0.
Suponha agora que υ(α) = 1 e υ(β) = 0, mas υ(α ⇒ β) = 1. Então |=L∞ α e |=L∞ β,
portanto |=L∞ β ; mas de υ(β) = 0 conclui-se |=L∞ β e L∞ não seria consistente.
Tem de ser υ(α ⇒ β) = 0 se υ(α) = 1 e υ(β) = 0.
q.e.d.
Finalmente
Teorema 1.7.10 (de Completude Fraca)
Para qualquer α ∈ , se |=L ∞, então |=L ∞ .
Dem. Se |=L ∞ mas α ∈ Teo (L), então, pelo teorema 1.7.5,L ;∼ α é consis-
tente; pelo teorema anterior, existe uma valua¸cão υ que vale 1 em todos os teo-
remas de L; ∼ α, em particular υ(∼ α) = 1, o que é imposs´ıvel pois necessaria-
mente υ(∼ α) = υ(α) e υ(α) = 1 por α ser uma tautologia. Segue-se que |=L α
q.e.d.
Uma nota final: as tabelas de verdade fornecem um algoritmo para verificar se uma
dada fórmula é ou não um teorema do Cálculo proposicional sem ser necessario
explicitar uma deduão.
Exerc´ıcios 1.7.11 1. Mostre que para quaisquer fórmulas α, β, γ ∈
(a) |=L ((α ∧ β) ⇒ α)
(b) |=L ((α ∧ β) ⇒ β)
(c) |=L (α ⇒ (β ⇒ (α ∧ β)))
(d) |=L ((α ⇒ (α ⇒ (α ∨ β)))
(e) |=L ((β ⇒ (α ⇒ (α ∧ β)))
(f) |=L ((α ⇒ γ ⇒ ((β ⇒ γ) ⇒ ((α ∨ β) ⇒ γ))

37
2. Seja F o sistema formal que se obtém de L juntando as regras de inferência
I1)
α ∧ β
...α
I2)
α ∧ β
...β
I3)
α
...α ∨ β
I4)
β
...α ∨ β
I5)
∼ αα∧β
...β
I6)
∼ βα∨β
...α
Mostre que Teo (L) = Teo (F).
3. Seja L∗
o sistema formal que se obtém de L substituindo o esquema de axiomas
(L3) por
(L 3) (∼ α ⇒ β) ⇒ β ⇒ α (α, β ∈ )
mantendo os outros esquemas e tendo MP como única regra de inferência.
Mostre que Teo(L) =Teo(L∗
).
4. Um conjunto Γ ⊆ diz-se inconsistente (em L) se existir α ∈ tal que Γ |=L α
e Γ |=L∼ α . Seja Γ um subconjunto de . Mostre que, para quaisquer α, β ∈
,
(a) se (α ⇒ β) ∈ Γ e ambos os conjuntos Γ ∪ {∼ α} e Γ ∪ {β} são inconsis-
tentes, então Γ é inconsistente.
(b) se ∼ (α ⇒ β) ∈ Γ e Γ∪{α, ∼ β}é inconsistente, então Γ é inconsistente.
(c) Um subconjunto de diz-se consistente (em L)se não for inconsistente
(em L). Mostre que Γ ⊆ é consistente sse todos os subconjuntos finitos
de Γ são consistentes.

Cap´ıtulo 2
Lógica de Predicados (de primeira
ordem)
A formaliza¸cão p ⇒ q no exemplo 1.1.1.3 é claramente insuficiente para explici-
tar a estrutura da asser¸cão a´ı descrita; um caso de estrutura¸cão ainda menor ocorre
quando se pretende representar ”os quadrados de números reais são números não neg-
ativos”: no âmbito do Cálculo Proposicional teremos de utilizar apenas um s´ımbolo
proposicional sem quaisquer conectivos!
Para podermos analizar mais profundamente este tipo de afirma¸cões vamos desen-
volver uma linguagem mais elaborada.
2.1 Linguagens de primeira ordem: alfabeto, ter-
mos e fórmulas.
O alfabeto de uma linguagem de primeira ordem consiste em s´ımbolos que se dis-
tribuem por duas classes a saber
1. S´ımbolos lógicos
(a) Parênteses (, )−− para pontua¸cão
(b) V´ırgula , −− para pontua¸cão
(c) Conectivos ∼ e ⇒ −− respectivamente nega¸cão e implica¸cão
(d) Variáveis xi(i ∈ N{0})
2. Parâmetros
(a) O quantificador universal ∀ – que se lê ”para todo o”
(b) S´ımbolos predicativos n-ários An
i (n, i ∈ N{0})

(c) Constantes ai (i ∈ bkN{0})
(d) S´ımbolos funcionais n-ários fn
i (n, i ∈ N{0}).
Consoante as estruturas que se têm em mente – adiante precisaremos o que se
entende por estrutura – assim o conjunto de parâmetros.
Exemplos 2.1.1
1. A linguagem do Cálculo de Predicados Puro tem apenas os parâmetros ∀ ,
s´ımbolos predicativos An
i (n, i ∈ N{0}) e constantes ai(i ∈ N{0}).
2. A linguagem para a Teoria dos Corpos Ordenados tem parâmetros∀, dois
s´ımbolos predicativos A2
i e A2
2 – respectivamente para as rela¸cões binárias de
igualdade e de ordem – duas constantes a1ea2 – respectivamente para o zero e
a unidade – dois s´ımbolos funcionais f2
1 ef2
2 – respectivamente para a soma e o
produto.
Tal como para a lógica proposicional, uma expressão é uma sequência de s´ımbolos.
De entre as expressões come¸caamos por distinguir os termos com os quais serão
formadas as fórmulas de uma linguagem de primeira ordem L .
Defini¸cão 2.1.2 O conjunto dos termos de L é a interseçcão de todos os conjun-
tos de expressões E que verifiquem as seguintes propriedades
1. As variáveis e as constantes de L são elementos de E
2. Se t1, ..., tn ∈ E e fn
i um s´ımbolo funcional n-ário de L , então fn
i (t1, ..., tn) ∈
E (n ∈ N{0}). T designa o conjunto de todos os termos de L .
Repare-se que vale o seguinte
Teorema 2.1.3 (Princ´ıpio de Indu¸cão em Termos)
Se E ⊆ T , as variáveis e as constantes de L são elementos de E e fn
i (t1, ..., tn) ∈ E
sempre que os termos t1, ..., tn estão em E e fn
i é um s´ım mbolo funcional n-ário de
L , então E = T .
A demonstra¸cão fica a cargo do leitor.

41
Exemplos 2.1.4 Retomando o exemplo 2 de 2.1.1: a1, f2
i (a1, x1) e x5 são termos da
linguagem da teoria de corpos ordenados. De facto são termos de qualquer linguagem
que inclua a constante ai e o s´ımbolo funcional binário f2
1 no seu alfabeto.
Como temos vindo a dar a entender, pretende-se essencialmente estudar expressões
envolvendo variãveis 1
. Mais precisamente
Defini¸cão 2.1.5 O conjunto das fórmulas bem formadas L é a interseçcão
de todos os conjuntos de expressões E tais que
1. Se t1, ..., tn ∈ T e An
i é um s´ımbolo predicativo n-ário, então An
i (t1, ..., tn) ∈
E (n ∈ N{0})
2. Se α, β ∈ E e xi é uma variável, então (∼ α), (α ⇒ β), ∀xiα são todas elemen-
tos de E .
As fórmulas Ai(t1, ..., tn) definidas em 2.1.5.i) são chamadas atómicas .
De ora em diante abreviamos ”fórmula bem formada”por ”fórmula”ou ”fbf”.
Mais uma vez vale um princ´ıpio de indu¸cão e mais uma vez também esperamos que
o leitor o demonstre.
Teorema 2.1.6 (de Indu¸cão em Fórmulas)
Se E ⊆ F , E contém todas as fórmulas atómicas e, contendo as fómulasα e β ,
também contém (∼ α) e (α ⇒ β) e ∀xiα , seja qual for a variável xi , então E = F
.
De modo a aliviar um pouco a carga de s´ımbolos em algumas fórmulas, definimos as
seguintes abreviaturas: para quaisquer fbfs α e β e qualquer variável x
(α ∧ β) = (∼ (α ⇒ β)) (α ∨ β) = ((∼ α) ⇒ β)
(α ⇔ β) = ((α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α)) ∃xα = (∼ ∀x(∼ α))
∃ chama-se quantificador existencial e ∃ x lê -se ”existe x tal que”.
Também omitiremos parenteses de acordo com as regras definidas em 1, página 4;
há no entanto que tornar mais precisas algumas situa¸cões novas.
1
Em certos casos estas expressões costumam designar-se por condi¸cões

Defini¸cão 2.1.7 Sejam Q um quantificador (∀ ou ∃), x uma variável e α uma
fórmula. Se Q x ocorre em α , o campo de quantifica¸cão ) de Qx em α é a
fórmula mais curta à direita de Qx.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplos 2.1.8
1. Seja α = ∀x1(∃x2A2
1(f2
1 (x1, x2), a1)).
O campo de ∀x1 em α é β = ∃x2A2
1(f2
1 (x1, xn), a1) e o campo de ∃x2, em α e
em β, é γ = A2
1(f2
1 (x1, x2), a1)
2. Considere a fórmula
∀x1(∃x2A2
1(f2
2 (x1, x2), a2) ⇒ ∀x2(∼ A2
1(x2, a1) ⇒ A2
1(f2
2 (x1, x2), a1)))
O campo de ∀x1 é toda a fórmula restante; o campo de ∀x1 é ∼ A2
1(x2, a1) ⇒
A2
1(f2
2 (x1, xn), a1); o campo de ∃x2 é A2
1(f2
2 (x1, x2), a2).
Adiante pretendemos substituir variáveis livres por outros termos sem alterar poss´ıveis
”significados atribuiveis à ”fórmula.
Para tal tenha-se em conta a seguinte
Defini¸cão 2.1.9
1. Uma variável x diz-se livre na fbf α se não ocorre no campo de uma quan-
tifica¸cão Qx.
2. Um termo t diz-se livre para a variável x na fbf α se t=x ou as ocorrências
livres de x em α não estão no campo de alguma quantifica¸cão Qy na qual y
ocorre em t.
A parte 2 desta defini¸cão estabelece as condi¸cões em que as ocorrências livres de
uma variável podem ser substituidas por um termo numa fbf.
É simples decidir quais as variáveis livres de uma fbf. A defini¸cão anterior postula
que qualquer variável x é sempre livre para si própria em qualquer fbf; não é tão
simples determinar se um termo com mais de uma variável é ou não livre para
alguma outra.

43
Exemplos 2.1.10
1. As variáveis que ocorrem em α do exemplo 2.1.8 são todas mudas em α; x1 é
livre em β e em γ, x2 só é livre em γ .
2. O termo f3
2 (x3, x4) é livre para qualquer das variáveis em qualquer das fórmulas
consideradas em 1 e 2 dos exemplos 2.1.8, pois não há quantifica¸cões em x3
ou x4 .
3. O termo f2
1 (x1, x2)não é livre para x1 em β , porque x1 ocorre livre no campo
de quantifica¸cão de ∃x2 .
Em termos de interpreta¸cão: se A2
1 for interpretada pela igualdade, f2
1 pela
soma e a1 por zero num anel, β ”toma a forma”∃x2(x1 + x2 = 0) e esta não
tem por certo o mesmo ”significado”que ∃x2 ((x1 + x2) + x2 = 0). No entanto
x1ef2
1 (x1, x2)são livres para x2 em α, pois a única ocorrência de x2 em α muda
no campo de ∃x2 .
4. Agora na fórmula do segundo exemplo de 2.1.8: x1 é livre para x2 , pois x2
só tem ocorrências mudas; x1 não é livre para x1 porque x1 ocorre livre em
A2
1(f2
2 (x1, x2), a2) no campo de ∃x2 .
5. Na fbf
∀x4(A1
2(x1) ⇒ ∃x2A2
2(x2, x2) ∧ ∀x1(A1
2(x3) ⇒ A3
2(x1, x4, x1))).
O termo f3
2 (x1, x2, x3) é livre para x1 − − pois a única ocorrência livre de x1
na fórmula está no campo de ∀x4 e x4 ∈ {x1, x2, x3} − − mas não é livre para
x2 − − que ocorre livre no campo de ∃x2 − − nem para x3 ou x4 − − que
ocorrem livres no campo de ∀x1.
2.2 Interpreta¸cões
Uma interpreta¸cão da linguagem de primeira ordem L é uma fun¸cão I cujo dom´ınio
é o conjunto dos parâmetros de L verificando as seguintes propriedades:
(I1)I(∀) é um conjunto não vazio, denominado o universo de I .
(I2) Para cada s´ımbolo predicativo An
i de L, I(An
i ) é uma rela¸cão n-ária

em I(∀), i. e., I(An
i ) ⊆ I(∀)n
(I3) Para cada constante ai de L, I(ai) é um elemento de I(∀)
(I4) Para cada s´ımbolo funcional fn
i de L, I(fn
i )é uma fun¸cão n-ária de
I(∀) em I(∀), i. e., I(fn
i ) : I(∀) → I(∀)
Recorde-se que L pode não ter s´ımbolos funcionais ou constantes −− casos em que
(I3) ou (I4) se não aplicam −− e note-se também que I(An
i ) pode ser vazia. Ao
contradom´ınio de uma interpreta¸cão I que, um pouco abusivamente, designaremos
por < I(∀), I(An
i ), I(ai), I(fn
i ) >chamaremos estrutura para L ; o exemplo
seguinte mostra onde está o abuso de nota¸cão.
Exemplos 2.2.1 Se L tem parâmetros ∀, A2
1, A2
2, a1, a2, f2
1 , f2
2 uma interpreta¸cão
pode ser dada por I(∀) = R, I(A 2
1 ) é a rela¸cão de igualdade em R, I(A2
2)
é a rela¸cão de ordem total lata usual, I(a1) = 0, I(a2) = 1, I(f2
1 ) e I(f2
2 )
são, respectivamente, soma e o produto usuais. A correspondente estrutura será
< R, =, ≤, 0, 1, +, • >, o corpo ordenado dos números reais. De um modo semelhante
também se vê que < Q, =, ≤<, 0, 1, +, • > ou < N, =, ≤, 0, 1, +, • > são estruturas
para L .
Ainda outra interpreta¸cão pode ser dada por I(∀) = Z, I(A2
2) = {(m, n) ∈ Z2
: m =
0 e m divide n },
I(f2
1 )(m, n) =



0 se m=0 ou m não divide n
nm caso contrário
mantendo-se as outras imagens por I com as adapta¸cões adequadas.
Cada interpreta¸cão de uma linguagem permite dar significado ás suas fórmulas, como
vamos ver a seguir.
2.3 Satisfazibilidade
Uma das razões pelas quais estamos no âmbito da lógica de predicados de primeira
ordem está impl´ıcita no que vamos definir como satisfazibilidade de uma fbf da forma
∀xα .

45
Com a defini¸cãoo de satisfazibilidade estabeleceremos o que significa uma fórmula
ser ou não verificada numa estrutura. As fbfs verificadas em todas as interpreta¸cões
de uma mesma linguagem virão a ser consideradas em particular.
Comecemos por atribuir valores ás variáveis
Defini¸cão 2.3.1 Seja I uma interpreta¸cão da linguagem de primeira ordem L cujo
conjunto de termos é T . Uma valua¸cão para I (na interpreta¸cão e estrutura
correspondentes) é uma fun¸cão υ : T → I(∀) tal que
1. υ(ai) = I(ai), se ai é uma constante de L
2. υ(fn
i (t1, ..., tn) = I(fn
i )(υ(t1), ..., υ(tn)), se fn
i é um s´ımbolo funcional e t1, ..., tn
são termos de L .
Uma valua¸cãoo é assim uma forma de associar a cada termo de L o objecto que é
a sua interpreta¸cão. Repare-se que, por defini¸cão, para cada interpreta¸cão o valor
das valua¸cões nas constantes é sempre o mesmo. No entanto mesmo em casos muito
simples podem construir-se valua¸cões diferentes.
Exemplos 2.3.2
1. Seja L uma linguagem de primeira ordem com uma constante, a, sem s´ımbolos
funcionais e com apenas um conectivo unário A. Uma estrutura para Lpode
ser < {1, 2}, ∅, 1 >, sendo a interpreta¸cão dada por I(∀) = {1, 2}, I(A) =
∅, I(a) = 1. Os termos de L são apenas as variáveis e as constantes. Duas
valua¸cões diferentes podem ser definidas da seguinte maneira: υ1(t) = 1, se t é
uma constante ou uma variável, υ2(a) = 1 e υ2(x) = 2 para qualquer variável
x.
2. Acrescentando á linguagem L do número anterior um s´ımbolo funcional unário
f e definindo I(f)(1) = 2 e I(f)(2) = 1 ter-se-ia υ1(f(a)) = I(f)(υ1(a)) =
I(f)(1) = 2, υ1(f(x)) = I(f)(υ1(x)) = I(f)(1) = 2 para qualquer variável x,
υ2(f(a)) = I(f)(υ2(a)) = I(f)(1) = 2, υ2(f(x)) = I(f)(υ2(x)) = I(f)(2) = 1
para qualquer variável x.
Adiante veremos valua¸cões mais interessantes. Tenha-se, no entanto presente que
uma valua¸cão fica de facto determinada pelos valores que toma nas variáveis, i. e.,
todas as valua¸cões têm a seguinte propriedade, que aceitaremos sem demonstra¸cão
2
.
2
Uma demonstra¸cão pode ser feita a partir do Teorema de recurso que se pode encontrar em
[E;1.2, pág.27]

Teorema 2.3.3
Sejam V o conjunto das variáveis de uma linguagem de primeira ordem L e I uma
interpreta¸cão de L . Para cada fun¸cão V : V → I(∀) existe uma e uma só valua¸cão
υ0 : V → I(∀) que coincide com υ0 em V .
Em particular, se duas valua¸cões coincidem no conjunto das variáveis, então coin-
cidem no conjunto dos termos, i.e., são iguais.
Podemos ser mais precisos. Para tal −−e também para outros efeitos −− introduz-
imos nota¸cão a saber: dada uma valua¸cão υ e uma variável x a valua¸cão υ(x|c) vale
c em x e coincide com V em todas as outras variáveis; mais formalmente
(2.3.1) υ(xi|c)(xi) =



υ(xj|c) se i = j
(i ∈ N{0})
c se i = j
Genericamente definimos também
(2.3.2) υ(xi1 |c1; ...; xip |cp) = υ(xi1 |c1)...(xip |cp)
Teorema 2.3.4 Sejam I uma interpreta¸cão da linguagem de primeira ordem L .
Se duas valua¸cões υ e ω para I coincidem nas variáveis de um termo t de L , então
υ(t) = ω(t).
Dem. Tomem-se L e I como na hipótese. Seja E o conjunto dos termos de L para
os quais se tem υ(t) = ω(t) sempre que as valua¸cões υ e ω para I coincidem nas
variáis que ocorrem em t. Vamos mostrar que E = T .
As valua¸cões coincidem nas constantes por defini¸cão, portanto E contém as con-
stantes. Se t é uma variável, dizer que υeω coincidem nas variáveis de t é dizer
que υ(t) = ω(t), donde todas as variáveis estão em E . Suponhamos agora que
t1, ..., tn ∈ E , f é um s´ımbolo funcional n-ário, t=f(t1, ..., tn) e υ e ω são valua¸cões
que coincidem nas variáveis que ocorrem em t; como uma variável ocorre em t sse
ocorre em algum dos t i, υ e ω coincidem nas variáveis que ocorrem em cada ti
portanto υ(ti) = ω(ti) para 1 ≤ i ≤ n, dado que os ti estão em E ; mas então tem-se
υ(t) = υ(f(t1, ..., tn)) = I(f)(υ(t1), ..., υ(tn)) = I(f)(υ(t1), ..., υ(tn)) =
ω(f(t1, ..., tn)) = ω(t).

47
Segue-se que t ∈ E . Pelo princ´ıpio de Indu¸cão em Termos E = T . q.e.d.
Passamos a definir o que se entende por uma fórmula ser ou não verificada ou
satisfeita.
Mais um pouco de nota¸cão: se α for uma fórmula de L, I for uma interpreta¸cão e υ
for uma valua¸cão para I
(2.3.3) |=I α[υ] abrevia ”υ satisfaz α em I ”
(2.3.4) |=I α[υ] abrevia ”υ não satisfaz α em I ”
Defini¸cão 2.3.5 . Sejam L uma linguagem de primeira ordem e υ uma valua¸cão
de L para a interpreta¸cão I .
1. Se α é uma fórmula atómica, α = An
1 (t1, ..., tn),
|=I α[υ] sse (υ(t1), ..., υ(tn)) ∈ I(An
i )
2. Para quaisquer fbfs α, β e variável x,
(a) |=I α[υ] sse |=I α[υ]
(b) |=I (α ⇒ β)[υ] sse |=I α[V] ou |=I β[υ] ou, de outro modo, se υ satisfaz
α em I então também satisfaz β em I .
(c) |=I ∀xα[υ] sse |=I α[υ(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀)
A satisfazibilidade de uma fbf por uma valua¸cão depende apenas das variáveis livres
da fbf.
Nota 2.3.6 Para maior simplicidade de discurso, de ora em diante pressuporemos
que todas as linguagens consideradas são de primeira ordem.
Teorema 2.3.7 Para qualquer fbf α e quaisquer valua¸cões υ e ω que coincidam nas
variáveis livres deα tem-se
|=I α[υ] sse |=I α[ω]

Dem. Fixe-se a interpreta¸cão Ie seja I o conjunto de fórmulas α para as quais
|=I α[υ] sse |=I α[ω], quando υ e ω coincidem nas variáveis livres de α . Suponha-se
no que se segue que υ e ω coincidem nas variáveis livres das fórmulas apropriadas
em cada caso.
1) E contém as fórmulas atómicas. Se α é atómica, para algum s´ımbolo predicativo
P e termos t1, ..., tn, α = P(t1, ..., tn); além disso as variáveis que ocorrem em α
ocorrem livres e em algum ti ; desse modo V e ω coincidem nas variáveis livres de α
sse coincidem nas variáveis de α sse coincidem nas variáveis de cada termo ti ; mas
então, se υ e ω coincidem nas variáveis de α, |=I α[υ] sse (υ(t1), ..., υ(tn)) ∈ I(P)−
por defini¸cão − sse (ω(t1), ..., ω(tn)) ∈ I (P) − Teorema 2.3.4. − sse |=I α[ω]− por
defini¸cão; portanto α ∈|=E , como se pretendia mostrar.
2) Se α ∈ E também ∼ α ∈ I .
Observe-se que as variáveis de α são as mesmas que as de ∼ α e que são livres numa
das fórmulas sse o são na outra. Assim, se α ∈ E vem
Iα[υ] sse |=I α[υ]− por defini¸cão −
sse |=I α[ω]− porque α ∈|=E −
sse |=I α[ω]− por defini¸cão;
donde ∼ α ∈ E , como se pretendia verificar.
3) Se α ∈ E e x é uma variável, também ∀xα ∈ E.
Comecemos por notar que, para qualquer a∈ I(∀), υ(x|a) e ω(x|a) coincidem em x,
pelo que, se υ e ω coincidem nas variáveis livres de ∀xα , então υ(x|a) e υ(x|a)
coincidem nas variáveis livres em α .
Assim, se α ∈ E ,
|=I ∀α[υ] sse |=I α[υ(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀)− por defini¸cão - sse |=I α[ω(x|a)]
para qualquer a ∈ I(∀)− pois α ∈ E−
sse |=I ∀xα[ω]− por defini¸cão;
portanto ∀xα ∈|=E , como pretendiamos concluir.
4 ) Se α, β ∈ E , então α ⇒ β ∈ E
As variáveis livres de α e β são-no sse são livres em α ou em β e tem-se o seguinte:
|=I (α ⇒ β)[υ] sse |=I α[υ] ou |=I β[υ]− por defini¸cão −
sse |=I α[ω] ou |=I β[ω]− pois α, β ∈ I−]

49
sse |=I (α ⇒ β)[ω];
ou seja α ⇒ β ∈ E como se pretendia mostrar. q.e.d.
Chama-se proposi¸cão ou fórmula fechada a uma fbf que não tem variáveis livres.
Uma consequência imediata deste teorema é
Corolário 2.3.8 Para uma mesma interpreta¸cão, uma proposi¸cão é satisfeita por
alguma valua¸cão sse é satisfeita por todas as valua¸cões.
O conceito análogo ao de tautologia da lógica proposicional é o de fbf logicamente
válida que vai ser introduzido a seguir.
Defini¸cão 2.3.9 Sejam I uma interpreta¸cão da linguagem L e α uma fórmula de
L .
1. α é satisfaz´ıvel em I se |=I α[υ] para alguma valua¸cão υ .
2. α é válida em I se |=I α[υ] para qualquer valua¸cão υ ; nota-se |=I α se α é
válida em I .
3. α é logicamente válida se |=I α para qualquer interpreta¸cão I ; nota-se
|=I α se α é logicamente válida.
Reformulando 2.3.8: uma proposi¸cão é válida numa interpreta¸cão sse é satisfaz´ıvel.
Quando uma proposi¸cão é válida numa interpreta¸cão diz-se também que é verdadeira
nessa interpreta¸cão, caso contrário diz-se falsa . Mais precisamente
Corolário 2.3.10 . Para quaisquer proposi¸cão α e interpreta¸cão I, ou α é ver-
dadeira em I ou ∼ α é verdadeira em I, não podendo ocorrer ambos os casos.
Os próximos exemplos ilustram a distin¸cão entre validade e satisfazibilidade.
Exemplos 2.3.11 Para os exemplos 1,2 e 3 recorde-se a estrutura < R, =, ≤, 0, 1, +, • >
definida em 2.2.1.
1. A fórmula α = A2
1(f2
1 (x1, x2), f2
2 (x1, x2))é satisfaz´ıvel: tome-se a valua¸cão
identicamente nula ou qualquer valua¸cão υ que verifique υ(x1) = −1+
√
5
2
e
υ(x2) = −1−
√
5
2
. Mas α não é válida: a valua¸cão identicamente 1 a satisfaz.

2. β = A2
2(a1, f2
2 (x1, x1)) é válida em I mas não é logicamente válida considere
a interpreta¸cão K para a qual K(∀) = C, K(A2
2)é a rela¸cão de igualdade em
C, K(A2
2) é a rela¸cão de ordem parcial dada por (z,w)∈ K(A2
2) sse Re(z)≤
Re(w), (K)(a1) = 0, K(a2) = 1, K(f2
1 )K(f2
2 ) são respectivamente a soma e
o produto usuais; se υ(x1) = i, tem-se υ(f2
2 (x1, x1)) = i2
= −1 e (0, −1) ∈
K(A2
2).
3. ∃x1β é verdadeira em < R, =, ≤, 0, 1, +, • > e em < C, =, K(A2
2), 0, 1, +, • >
mas não é verdadeira para a seguinte interpreta¸cão:
P(∀) = {0, 1}, P(a1) = P(a2) = 0, P(A2
1) = P(A2
2) = {(0, 1), (1, 0)}, P(f2
1 ) =
P(f2
2 ) ≡ 0.
4. Para qualquer fbf α de qualquer linguagem Lα ⇒ α é logicamente válida.
Atente-se neste último exemplo.
Defini¸cão 2.3.12 Uma fórmula α de uma linguagem L diz-se a realiza¸cão de
uma tautologia se existir uma tautologia β do cálculo proposicional de modo que
α se obtem de β substituindo os s´ımbolos proposicionais de β por fbfs de L .
No exemplo 4 acima tratamos a realiza¸cão de uma tautologia que é válida, como
seria de esperar.
Teorema 2.3.13 As realiza¸cões de tautologias são logicamente válidas.
Antes de provarmos este teorema mostramos que a asser¸cão rec´ıproca não vale
mostrando uma fórmula logicamente válida que não é realiza¸cão de tautologia.
Exemplos 2.3.14 Se a variável x não ocorre livre na fórmula α, então |= ∀x ⇒ α
.
Dem. Vamos ver que, para qualquer valua¸cão υ , se |=I α[υ(x|a)] então |=I α[υ]:
se |=I α[υ], por defini¸cão |=I α[υ(x|a)] para qualquerv a ∈ I(∀); mas x não ocorre
livre em α , portanto υ(x|a) e υ coincidem nas variáveis livres de α; do teorema
2.3.7 concluimos que |=I α[υ] como pretendiamos.
Dem. (do Teorema 2.3.13.) Vamos utilizar indu¸cão em fpbfs. Para cada fpbf ϕ com
s´ımbolos proposicionais entre pi, 1 ≤ i ≤ m, e cada sequência de fbfs α, 1 ≤ i ≤ m,
designemos por α(ϕ) a fbf da linguagem L que realiza ϕ substituindo-se cada pi por
α em ϕ . Para cada valua¸cão υ de L e cada realiza¸cão α(ϕ) de ϕ defina-se para
cada s´ımbolo proposicional p

51
υα(ϕ)(p) =



1 se p = pi e |=I αi[υ]
(1 ≤ i ≤ m)
0 se p = pi e |=I αi[υ]
1 caso contrário
Fica assim determinada uma valua¸cão υα(ϕ) em . Vamos ver que se α realiza ϕ ,
então |=I [υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1.
Seja E o conjunto das fpbfs ϕ tais que, para qualquer fbf α(ϕ) e qualquer valua¸cão
υ, |=I α(ϕ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1.
1. ) Os s´ımbolos proposicionais estão em E.
Se ϕ = pj , para algum s´ımbolo proposicional pjα(ϕ) = αj , para alguma fbf
αj, e
υαj
(p) =



1 se p = pj e |=I αj[υ]
0 se p = pj e |=I αj[υ]
1 caso contrário
Como também υα(ϕ)(ϕ) = υαj
(pj), é imediato que |= Iα(ϕ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1
e conclui-se que pj ∈ E .
2. ) Se ϕ ∈ E , então ∼ ϕ ∈ E . É fácil verificar que α(∼ ϕ) =∼ α(ϕ),
pois os s´ımbolos proposicionais de φ e ∼ ϕ são os mesmos. Tem-se, para ϕ
em E :|=I α(∼ ϕ)[υ] sse |=I α(ϕ)[υ] sse |= Iα(ϕ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1 sse
υα(ϕ)(∼ ϕ) = 1. E ∼ ϕ ∈ E com se pretendia concluir.
3. ) Se ϕ, φ ∈ E , então ϕ ⇒ φ ∈ E .
Também é praticamente imediato que α(ϕ ⇒ ϕ) = α(ϕ) ⇒ α(ϕ). Convém
ainda observar que υα(ϕ)⇒α(φ)(ϕ) = υα(ϕ)(ϕ) e que υα(ϕ)⇒α(φ)(φ), pois as valua¸cões
em causa coincidem nos s´ımbolos proposicionais das fpbfs a serem avaliadas.
Tem-se então, para φ, ϕ ∈ E : |=I α(ϕ ⇒ φ)[υ] sse |=I (α(ϕ) ⇒ α(φ))[υ] sse
|=I α(ϕ)[υ] ou |=I α(φ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1 ou υα(φ)(φ) = 1 sse υα(ϕ)⇒α(φ)(ϕ) =
1 ou υα(ϕ)⇒α(φ)(φ) = 1 sse υα(ϕ)⇒α(φ)
(ϕ ⇒ φ) = 1 sse υα(ϕ⇒φ)(ϕ ⇒ φ) = 1. Ou
seja ϕ ⇒ φinE. Segue-se que E = T .
q.e.d.
Um outro aspecto da validade de fbfs que interessa ter em conta é o seguinte.

Teorema 2.3.15 Para qualquer fbf α em L , qualquer variável x e qualquer inter-
preta¸cão I, |=I α sse |=I ∀xα .
A demonstra¸cão faz-se muito simplesmente utilizando 2.3.7. Uma aplica¸cão iterada
deste teorema prova o
Corolário 2.3.16 Para qualquer fbf α em L , quaisquer variáveis xi, 1 ≤ i ≤ m,
e qualquer interpret¸cão I, |=I α sse |=I ∀x1...∀xnα . Em particular |= α sse |=
∀x1...∀xmα .
Observe-se ainda que
Teorema 2.3.17 Para quaisquer fbfs α e β em L , e qualquer interpreta¸cão I , se
|=I α e |=I α ⇒ β, então |=I β .
Em particular
Corolário 2.3.18 Para quaisquer fbfs α e β em L , se |= α e |= α ⇒ β ,então |= β
.
2.4 Exerc´ıcios
1. Sejam α(xi) uma fbf onde a variável xi ocorre livre e xj uma variável que não
ocorre livre em α(xi). Seja α(xj) a fbf que resulta de substituir em α(xj) todas
as ocorrências livres de xi por xj . Mostre que se xj é livre para xi em α(xi)
também xi é livre para xj em α(xj).
2. O quantificador existencial e os conectivos ∨, ∧ ⇔
(a) Mostre que para quaisquer fbf α , interpreta¸cão I , valua¸cão υ e variável
x, |=I ∃xα[υ] sse |=I α[υ(x|a)] para algum a ∈ I(∀).
(b) Mostre que para quaisquer fbfs α, β, interpreta¸cão I e valua¸cão υ se tem
i. |=I (α ∧ β)[υ] sse |= α[υ] e |=I β[υ]
ii. |=I (α ∨ β)[υ] sse |= α[υ] ou |=I β[υ]
iii. |= (α ⇔ β)[υ] sse |=I (α ⇒ β)[υ] e |=I (β ⇒ α)[υ]
3. Implica¸cão lógica
Diz-se que o conjunto de fbfs Γ implica logicamente a fbf α quando para qual-
quer interpreta¸cão I e qualquer valua¸cão υ , se |=I γ[υ] para qualquer fbf
γ ∈ Γ , então |= α[υ]; Γ |= α abrevia ”Γ implica logicamente α ”; α |= β
abrevia ”{α} |= β ”.

53
(a) Mostre que Γ ∪ {α} |= β sse Γ |= α ⇒ β
(b) Mostre que {∀x(α ⇒ β), ∀xα} |= β
(c) Mostre que, se x não ocorre livre em α , então α |= ∀xα (compare com o
exemplo 2.3.14.)
4. Mostre que nenhuma das seguintes proposi¸cões implica logicamente a outra:
α = ∀x∃yP(x, y) ⇒ ∃y∀xP(x, y), β = ∀x∀y∀z(P(x, y) ⇒ P(y, z) ⇒ P(x, z))
5. Seja L uma linguagem cujos únicos parâmetros, além de ∀ , são dois s´ımbolos
predicativos binários, E e P. Determine uma interpreta¸cão I e uma proposi¸cão
π tais que
(a) |=I π sse I (P) é uma fun¸cão de I(∀) em I(∀)
(b) |=I π sse I (P) é uma permuta¸cão de I(∀)
2.5 Cálculo de predicados; Teorema de Dedu¸cão
Continuando a formalizar os processos básicos de dedu¸cão em matemática vamos
estabelecer um sistema formal para a lógica de predicados cujos teoremas serão as
fbfs logicamente válidas.
Fixando nota¸cão: uma fbf α pode ser também notada α(x1, ..., xn) se pretendemos
evidenciar que algumas das variáveis livres da fórmula α estão entre x1, ..., xn− nada
impede α(x1, ..., xn) = α(x1, ..., xm) com m = n - o número de variáveis explicitadas
depende de quais pretendemos considerar; se ϕ nota um termo ou uma fbf, ϕx
t nota
a expressão que se obtém de ϕ substituindo todas as ocorrências (livres, no caso de
ϕ ser uma fbf) da variável x pelo termo t.
Defini¸cão 2.5.1 Para cada linguagem L com conjunto de fbfs F , o sistema formal
F(L) consiste no seguinte: para α e β fbfs arbitrárias de L , O conjunto de ax-
iomas dado pelos esquemas
(F(L)1) Todas as realiza¸cões de tautologias em L
(F(L)2)∀xα(x) ⇒ αx
t , se o termo t é livre para a variável α
(F(L)3)∀x(α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ ∀xβ), se a variável x não ocorre livre em α

As regras de inferência
(MP) Modus ponens: de α ⇒ β e α conclui-se β
(GEN) Generaliza¸cão : de α conclui-se ∀xα , para qualquer variável x
De ora em diante suporemos fixada uma linguagem de primeira ordem L .
Tal como para o Cálculo Proposicional, segue-se a defini¸cão de dedu¸cão.
Defini¸cão 2.5.2 Seja Γ um conjunto de fbfs. Diz-se que a sequência de fbfs α1, ..., αn
é uma dedu¸cão a partir de Γ (em F ( L )) se, para cada i (1 ≤ i ≤ n) uma das
condi¸cões seguintes se verifica
1. αi é um axioma de F(L)
2. αi ∈ Γ
3. α obtem-se de duas fbfs αj, αk(1 ≤ j, k ≤ i) por aplica¸cão de modus ponens.
4. αi obtem-se de alguma fbf anterior por generaliza¸cão, i. e., αi = ∀xαj, para
algum j < i.
Nestas condi¸cões diz-se que αn dedut´ıvel deΓ (em F(L)), αn é consequência de Γ
(em F(L)) ou que Γ prova αn, sendo n o comprimento da dedu¸cão. Se a fpbf é
dedut´ıvel de Γ escreve-se Γ F(L) α. Aos elementos de Γ chamam-se hipóteses.
Os teoremas de F(L) são as fbfs dedut´ıveis de ∅ e nota-se F(L) α se α é um
teorema.
Os axiomas são os teoremas de F(L) de mais curta dedu¸cão e, em particular, todas
as realiza¸cões de tautologias são teoremas de F(L).
A caminho do teorema de completude temos
Teorema 2.5.3 As instâncias dos axiomas (F(L)2), (F(L)3) e (F(L)4) são logi-
camente válidas.
Vamos utilizar os seguintes lemas, que provaremos mais tarde.
Lema 2.5.4 Para quaisquer valua¸cão υ , termo ϕ , variável x e termo t, υ(ϕx
t ) =
υ(x|υ(t))(ϕ).

55
Lema 2.5.5 Se o termo t é livre para a variável x na fbf α, então para qualquer
valua¸cão υ numa interpreta¸cão I
|=I αx
t [υ] sse |=I α[υ(x|υ(t))]
Dem. (de 2.5.3) Para o estudo de (F(L)2) veja-se o exemplo 2.3.14.
Quanto a (F(L)4) tem-se, para quaisquer fbfs α, β , tais que x não ocorre livre em
α , qualquer interpreta¸cão I e qualquer valua¸cão υ ,
|=I ∀x(α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ xβ)[υ] sse |=I x(α ⇒ β)[υ] ou |=I (α ⇒ ∀xβ)[υ] sse
para algum a ∈ I(∀) |=I α ⇒ β[υ(x|a)] ou |=I (α ⇒ xβ)[υ] sse para algum
a ∈ I(∀) |= α[υ(x|a)] e |=I β[υ(x|a)], ou |=I (α ⇒ xβ)[υ]
Como x não ocorre livre em α , pelo teorema 2.3.7 a última situa¸cão acontece
sse |= α[υ] e |= xβ[υ], ou |= (α ⇒ ∀xβ)[υ]
sse |= (α ⇒ xβ)[υ] ou |=I (α ⇒ xβ)[υ]
Ora a última condi¸cão é sempre verificada. Portanto
|= ∀x(α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ ∀xβ)
como se pretendia demonstrar.
Para as instâncias de (F(L)3) utilizaremos 2.5.5.
Para quaisquer interpreta¸cão I e valua¸cão υ tem-se |=I (∀xαx
t (x) ⇒ α)[υ] sse |=I
∀xα(x)[υ] ou |=I αx
t [υ] ou, de outro modo, sse (2.5.1)
|=I αx
t [υ] quando |= ∀xα(x)[υ];
ora, por defini¸cão,|= ∀xα(x)[υ] sse |=I α(x)[υ(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀), em
particular, se |= ∀xα(x)[υ] então, por 2.5.5, |=I α(x)[υ(x|υ(t))] ou seja |=I αx
t [υ];
em suma (2.5.1) verifica-se, como pretendiamos mostrar. q.e.d.
Demonstramos agora os lemas 2.5.4 e 2.5.5.
Dem. Tomem-se arbitrariamente as interpreta¸cão I , valua¸cão υ, variável x, termo
t e fbf α .
(Dem. de 2.5.4) Seja E = {ϕ ∈ T : υ(ϕx
t ) = υ(x|υ(t))(ϕ)}.

1. As variáveis estão em E .
Se ϕ é a variável y, tem-se
ϕx
t = yx
t =



y se y = x
t se y = x
Assim, se y = x, υ(ϕx
t ) = υ(y) = υ(x|υ(t))(y) = υ(x|υ(t))(ϕ) pois υ(x|υ(t))
coincide com υ em todas as variáveis que não são x. Se y=x, υ(ϕx
t ) = υ(t) =
υ(x|υ(t))(x) = υ(x|υ(t))(y) = υ(x|υ(t))(ϕ).
E 1 fiva provado.
2. Se ϕ1, ..., ϕn ∈ E e f é um s´ımbolo funcional (n-ário), f( ϕ1, ..., ϕn) ∈ E .
Tem-se f(ϕ1, ..., ϕn)x
t = f((ϕ1)x
t , ..., (ϕn)x
t ) e portanto υ(f(ϕ1, ..., ϕn)x
t ) =
I(f)(υ((ϕ1)x
t ), ..., υ((ϕn)x
t ))
= I(f)(υ(x|υ(t))(ϕ1), ..., υ(x|υ(t))(ϕn))
= υ(x|υ(t))(f(ϕ1, ..., ϕn))
Portanto 2 fica provado
Pelo Princ´ıpio de Indu¸cão em Termos E = T e 2.5.4 está demonstrado.
(Dem. de 2.5.5) Seja E o conjunto das fbfs α para as quais
|=I αx
t [υ] sse |=I α[υ(x|υ(t))]
quando t é livre para x em α.
No que segue t é livre para x nas fbfs adequadas.
1. E contêm as fórmulas atómicas. Sejam t1 termos (1 ≤ i ≤ n) e P um s´ımbolo
predicativo (n-ário).
Tem-se, para terminar a prova de 1a ,|=I P(t1, ..., tn)x
t [υ] sse |=I P((t1)x
t , ..., (tn)x
t )[υ]
sse (υ((t1)x
t ), ..., υ((t1)x
t )) ∈ I (P) (por defini¸cão)
sse (υ(x|υ(t))(t1), ..., υ(x|υ(t))(tn)) ∈ I (P) (por 2.5.4)
sse |= P(t1, ..., tn) [υ(x|υ(t))] (por defini¸cão)

57
2. Se α ∈ E também ∼ α ∈ E .
A demonstra¸cão ainda é mais simples que a anterior e deixamo-la ao cuidado
do leitor.
3. Se α ∈ E e y é uma variável, então ∀yα ∈ E .
(a) y=x
|=I (∀yα)x
t [υ] sse |=I (∀xα)x
t [υ] sse |=I ∀xα[υ]
Como υ e υ(x|υ(t)) coincidem nas variáveis livres de ∀xα, vem |=I ∀xα[υ]
sse |=I ∀xα[υ(x|υ(t))] e neste caso vale 3.
(b) y = x
|=I (∀yα)x
t [υ] sse |=I ∀y(αx
t )[υ]
sse |=I αx
t [υ(y|a)] para qualquer a ∈ I(∀) (por defini¸cão)
sse |=I α[υ(y|a)(x|υ(t))] para qualquer a ∈ I(∀)(a ∈ E)
sse |=I α[υ(x|υ(t))(y|a)] para qualquer a∈ I(∀)
sse |=I (∀α)[υ(x|υ(t))].
e continua a valer 3 .
(c) Se α, β ∈ E , então α ⇒ β ∈ E
Comecemos por observar que (α ⇒ β)x
t = αx
t ⇒ βx
t . Tem-se então
|=I (α ⇒ β)x
t [υ] sse |=I (αx
t ⇒ βx
t )[υ]
sse |=I αx
t [υ]ou |= βx
t [υ] (por defini¸cão)
sse |=I α[υ(x|υ(t))] ou |=I β[υ(x|υ(t))] (α, β ∈ E)
sse |=I α ⇒ β[υ(x|υ(t))] (por defini¸cão)
4 verifica-se e 2.3.5 resulta do Princ´ıpio de Indu¸cão em Fórmulas.
q.e.d.
O corolário 2.3.18. diz que a a regra MP preserva a validade lógica. O corolário
2.3.16 implica que a regra GEN preserva a validade lógica. Segue-se então um
resultado facilmente demonstrável por indu¸cão no comprimento das demon-
stra¸cões.
Teorema 2.5.6 (De Boa Fundamenta¸cão) Os teoremas de F(L) são logicamente
válidos.
Uma consequência imediata é
Corolário 2.5.7 Para qualquer fbf α, α e ∼ α não podem ser simultâ neamente
teoremas de F(L).
Ou seja F(L) é consistente; mas voltaremos a este assunto mais adiante.
regra GEN introduz uma restri¸cão no Teorema de Dedu¸cão para F(L).

Teorema 2.5.8 (De Dedu¸cão)
Sejam α e β fbfs e Γ um conjunto de fbfs. Se Γ∪{α} F(L β com uma demonstra¸cão
que não utiliza GEN em alguma variável livre em α, então Γ F(L) α ⇒ β .
Os exemplos seguintes mostram que a hipótese suplementar sobre GEN é necessária.
Exemplos 2.5.9 1. Sejam P um s´ımbolo predicativo binário, x uma variável e c
uma constante. Uma aplica¸cão de GEN mostra que {P(x, c)} F(L) ∀xP(x, c).
Vamos ver que |= {P(x, c)} ⇒ ∀P(x, c) e portanto, de acordo com o teorema
de boa fundamenta¸cão, P(x, c) ⇒ ∀xP(x, c) não é um teorema de F(L ).
Basta Definir I do seguinte modo: I(∀) = {1, 2}, I(c) = 1, I(P) = {(2, 1)}.
Se υ (x)=2 vem |= P(x, c)[υ], mas |= ∀xP(x, c)[υ] pois de facto P(x,c) só é
satisfeita pelas valua¸cões υ que verificam υ (x)=2.
2. Sejam P um s´ımbolo predicativo binário e x1 e xn variáveis. Uma aplica¸cão
de GEN mostra que {P(x1, x2)} F(L) ∀x1P(x1, x2).
Vamos ver que |= P(x1, x2) ⇒ ∀x1P(x1, x2). Basta Definir I do seguinte
modo: I(∀) = {1, 2}, I(P) = {(2, 1), (1, 1), (1, 2)}. Se υ(x2) = 1, então |=I
∀x1P(x1, x2)[υ] e portanto |=I P(x1, x2) ⇒ ∀x1P(x1, x2)[υ]; mas se υ(x1) = 1
e υ(x2) = 2, então |=I P(x1, x2)[υ] e |=I1 P(x1, x2)[υ] e assim |=I P(x1, x2) ⇒
∀x1P(x1, x2)[υ].
Dem. (teorema 2.5.8) Utilizaremos indu¸cão no comprimento n das dedu¸cões
de β a partir de Γ ∪ {α}. Suponha-se então que Γ ∪ {α} F(L) β com uma
dedu¸cão de comprimento n.
Se n=1, ou β é um axioma ou β ∈ Γ ou β = α . Nos dois primeiros casos
a sequência β, β ⇒ α ⇒ β, α ⇒ β é uma dedu¸cão de α ⇒ β a partir de Γ−
note-se que β ⇒ α ⇒ β é uma realiza¸cão de tautologia − consequentemente
Γ F(L) α ⇒ β. No terceiro caso α ⇒ β = α ⇒ α e a realiza¸cão de tautologia
α ⇒ α é um axioma, logo um teorema de F(L), portanto Γ F(L) α ⇒ β .
Admita-se, como hipótese de indu¸cão, que a asser¸cão do teorema vale para
quaisquer α e β quando as dedu¸cões têm comprimento menor ou igual a n.
Suponha-se que α1, ..., αn+1 é uma dedu¸cão de β a partir de Γ∪{α}− e portanto
β = αn+1 .
Se β não se concluiu por GEN podemos utilizar a demonstra¸cão do teorema
de dedu¸cão da lógica proposicional para concluir Γ F(L) α ⇒ β.
Se β se concluiu por GEN, por hipótese − do próprio teorema− existe um
i ≤ n e uma variável x que não ocorre livre em α tal que β = ∀xαi . Por
hipótese de indu¸cão Γ F(L) α ⇒ αi . Temos então a seguinte dedu¸cão a
partir de Γ

59
(a) α ⇒ αi (Γ F(L
(b) ∀x(α ⇒ α) (GEN em x que nao ocorre livre em α)
(c) ∀x(α ⇒ αi) ⇒ (α ⇒ ∀xαi) (F(L)4)
(d) α ⇒ ∀xαi (MP 2 & 3)
Observando que a última fbf da dedu¸cão é precisamente α ⇒ β e aplicando o
Princ´ıpio de Indu¸cão matemática concluimos a demonstra¸cão do Teorema de Dedu¸cão.
q.e.d.
É claro que sem restri¸cões ao uso de GEN
Teorema 2.5.10 Para quaisquer fbfs α e β e conjunto de fórmulas Γ, se Γ F(L)
α ⇒ β , então Γ ∪ {α} F(L) β .
Um caso bastante mais importante é descrito no seguinte corolário do Teorema de
Dedu¸cão.
Corolário 2.5.11 Quando α é uma proposi¸cão, β é uma fbf qualquer e Γ é um
conjunto de fórmulas, se Γ ∪ {α} F(L) β então Γ F(L) α ⇒ β .
Dem. Mesmo que se utilize GEN em alguma dedu¸cão de β a partir deΓ ∪ {α},
será sempre sobre variáveis que não ocorrem livres em α , pois todas as variáveis
em α ocorrem mudas. q.e.d.
2.6 Exerc´ıcios
No que segue, letras gregas minúsculas α, β, γ, etc. designam fbfs de uma linguagem
L ; as últimas letras do alfabeto latino x, y, z, designam variáveis, não necessaria-
mente distintas, de L ; t designa um termo de L ; letras maiúsculas P ou Q designam
s´ımbolos proposicionais de adequada n-aridade.
1. Mostre que
(a) F(L) ∀xα ⇒ α
(b) F(L) ∀x(α ⇒ β) ⇒ (∀xα ⇒ ∀xβ )
(c) F(L) (∀xα ⇒ x∀β) ⇒ x(∀α ⇒ β)
(d) F(L) α(t) ⇒ ∃xα(x) se t é livre para x em α
(e) F(L) ∀xα ⇒ ∃xα
2. Mostre que

(a) F(L) α ⇔ β sse F(L) α ⇒ β e F(L β ⇒ α
(b) Se F(L) α ⇒ β e F(L) β ⇒ γ , então F(L) α ⇒ γ
(c) Se x ocorre livre em α e y não ocorre em α , então F(L) Qxα(x) ⇔
Qyα(y), onde Q designa ∀ ou ∃ .
3. Suponha que x não ocorre livre em α. Mostre que
(a) F(L) (α ⇒ ∃xβ) ⇔ ∃x(α ⇒ β)
(b) F(L) (∀xβ ⇒ α) ⇔ ∃x(β ⇒ α)
4. Mostre que ∀x∀yP(x, y) F(L) ∀x∀yP(y, x)
5. Mostre que
(a) F(L) ∃x(α ∨ β) ⇔ (∃xα ∨ ∃xβ)
(b) F(L) (∀xα ∨ forallxβ) ⇒ ∀x(α ∨ β)
(c) F(L) ∃x(α ∧ β) ⇒ (∃xα ∧ ∃xβ)
(d) F(L) ∀x(α ⇒ β) ⇒ (∃xα ⇒ ∃xβ)
(e) F(L) ∃x(P(y) ∧ Q(x)) ⇔ P(y) ∧ ∃xQ(x).
6. Mostre que as implica¸cões se não podem inverter nas al´ıneas (b), (c) e (d) do
exerc´ıcio anterior.
2.7 Um Teorema de Completude
Esta seçcão é dedicada a terminar a demonstra¸cão do seguinte
Teorema 2.7.1 (de Completude) Seja Luma linguagem de primeira ordem. Para
qualquer fbf α de L, |= α sse F(L) α.
Repare-se que o Teorema de Boa Fundamenta¸cão 2.5.6 já afirma que se F(L) α
então |= α, pelo que só resta demonstrar a asser¸cão rec´ıproca.
Tal como para o Cálculo Proposicional, vamos utilizar a no¸cão de extensão de sis-
temas formais. No caso presente interessam-nos apenas as extensões em que even-
tualmente se modificam os axiomas mas se mantêm as regras de inferência.
Continuamos a supor fixada arbitrariamente uma linguagem de primeira ordem L
cujas fórmulas bem formadas serão designadas abreviadamente por fbf.
Um sistema formal para a Lógica de predicados consiste num conjunto de fórmulas
de L, designadas por axiomas, e pelas regras de inferência MP e GEN. Em qualquer
sistema formal há dedu¸cões e teoremas.

61
Defini¸cão 2.7.2 Seja Γ um conjunto de fbfs. Diz-se que a sequência de fbfs α1, ..., αn
é uma dedu¸cão a partir de Γ no sistema formal G(L) se, para cada i (≤ i ≤ n)
uma das condi¸cões seguintes se verifica
1. αi é um axioma de G(L)
2. αi ∈ Γ
3. α obtem-se de duas fbfs αj, αk(1 ≤ j, k < i) por aplica¸cão de modus ponens.
4. αi obtem-se de alguma fbf anterior por generaliza¸cão, i. e., αi = ∀xαj , para
algum j < i.
Nestas condi¸cões diz-se que α é dedut´ıvel de Γ em S(L), αn é consequência de Γ
(em S(L)) ou que Γ prova αn , sendo n o comprimento da dedu¸cão. Se a fpbf é
dedut´ıvel de Γ escreve-seΓ G(L) α . Aos elementos de Γ chamam-se hipóteses. Os
teoremas de G(L) são as fbfs dedut´ıveis de ∅ e nota-se G(L) α se α é um teorema.
O conjunto dos teoremas de G(L) designa-se por Teo (G(L)).
Alguns sistemas formais são comparáveis
Defini¸cão 2.7.3 O sistema formal G (L) diz-se uma extensão de G(L) se Teo
(G(L)) ⊆ Teo (G (L )).
De ora em diante designaremos por sistema ou sistema de primeira ordem
qualquer sistema formal que seja extensão de F(L).
Também neste contexto interessa avaliar a consistência dos sistemas
Defini¸cão 2.7.4 Um sistema G(L) diz-se consistente se para nenhuma fbf αse
tem simultâneamente G(L) α e G(L)∼ α
O teorema de Boa Fundamenta¸cão permite concluir
Teorema 2.7.5 F(L) é consistente
A expressão S(L); α designa o sistema que se obtem de G(L) adicionando a fbf α
ao conjunto de axiomas.
Teorema 2.7.6 Sejam G(L) um sistema e π uma proposi¸cão de L. Se G(L) é
consistente e }(L) π, então G(L); ∼ π é consistente.
Este teorema estabelece de facto o método de redu¸cão ao absurdo , pois tem
também a seguinte formula¸cão.

Teorema 2.7.6.1 Sejam G(L) um sistema e π uma proposi¸cão de L. Se G(L); ∼ π
é inconsistente então G(L) π .
É esta a versão que vamos demonstrar.
Dem. Suponha-se que G(L); ∼ π é inconsistente e seja α uma fbf tal que G(L);∼π α
e G(L);∼π∼ α
{∼ π} G(L) α e {∼ π} G(L)∼ α
Como π por hipótese não tem variáveis livres, o Teorema de Dedu¸cão permite con-
cluir
G(L)∼ π ⇒ α e G(L)∼ π ⇒∼ α
Existe assim uma dedu¸cão em G(L) com a seguinte forma abreviada − recorde-se
que G(L) é extensão de F(L)−
1. ∼ π ⇒ α ( G(L))
2. ∼ π ⇒ α ( G(L))
3. (∼ π ⇒ α) ⇒ (∼ π ⇒ α) ⇒ π (F(L)1)
4. π (MP1&2&3)
Portanto G(L) π . q.e.d.
Exemplos 2.7.7
1. Sem a hipótese de π ser uma proposi¸cão o teorema não vale, como se pode ver
com o seguinte exemplo: Seja α = P(x) ⇒ ∀xP(x), para algum s´ımbolo pred-
icativo P; F(L) α pois |= α (Teorema de Boa Fundamenta¸cão); por outro lado
∼ α = P(x)∧ ∼ ∀xP(x), portanto ∼ α F(L) P(x) e ∼ α F(L)∼ ∀xP(x) (pelo
exerc´ıcio 1.8.1). De ∼ α F(L) P(x) obtem-se ∼ α F(L) xP(x) utilizando
GEN, consequentemente F(L);∼α ∀xP(x) e F(L);∼α∼ ∀xP(x).F(L); ∼ α é
inconsistente e F(L) α.
2. Deixa-se ao cuidado do leitor mostrar que G(F) ∃x(P(x) ⇒ ∀xP(x)).
As proposi¸cões interessam-nos particularmente.

63
Defini¸cão 2.7.8 Um sistema G(L) diz-se completo se para qualquer proposicao
π de L se tem G(L) π ou G(L)∼ π.
Tal como em 1.7.7 também se tem
Teorema 2.7.9 Todo o sistema consistente tem uma extensão consistente e com-
pleta.
Dem. O conjunto das proposi¸cões é numerável, pelo que podemos supo-las enu-
meradas em π0, π1, ..., πn, ... Analogamente ao que fizemos em 1.7.7 definimos, com
nota¸cão adaptada naturalmente
G(L)0 = F(L)
G(L)n+1 =



G(L)n se G(L)n πn
(n ∈ N)
G(L)n; ∼ πn se G(L)n πn
G(L)∞ = ∪∞
n=0G(L)n
Todos os G(L)n são consistentes (pelo Teorema 2.7.6). Uma prova de inconsistência
de G(L)∞, i.e., uma dedu¸cão de α e outra de ∼ α para alguma fbf α, prova de facto a
inconsistência de algum G(L)n . Consequentemente G(L)∞ é consistente. Por con-
stru¸cão, qualquer proposi¸cão π é uma das πne ou já era um teorema de algum dos sis-
temas − logo de G(L)∞− ou ∼ π foi adicionada ao conjunto de axiomas − e passou a
ser um teorema. Conclui-se que G(L)∞ é completo. q.e.d.
Os próximos teoremas também descrevem vários aspectos de um processo usual de
demonstra¸cão em Matemática: a generaliza¸cão de um resultado obtido para uma
constante arbitrária ; para a sua demonstra¸cão vamos utilizar a seguinte nota¸cão:
para cada fbf φ, cada constante c e cada variável x, φc
x designa a fbf que se obtém de
φ substituindo cada ocorrência de c em φ por x. Recorde-se que, para uma variável
x e um termo t, φx
t é a fbf que resulta de φ substituindo as ocorrências livres de x
em φ por t. Finalmente observe-se que, se t é um termo que não ocorre na fbf φ ,
então φt
s = φ , seja qual for o termo s.
Teorema 2.7.10 (de Generaliza¸cão em Constantes) Sejam Γ um conjunto de fbfs,
φ uma fbf e c uma constante que não ocorre em Γ. Se Γ F(L) ϕ, existe uma variável
x, que não ocorre em ϕ, tal que Γ F(L) ∀xϕc
x. Além disso, existe uma dedu¸cão de
∀xϕc
x a partir de Γ onde c não ocorre.
Dem. Sejam α1, ..., αn uma dedu¸cão de ϕ a partir de Γ e x uma variável que não
ocorre em qualquer das αi . Vamos ver que (*)

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