Prontuário de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Prontu´ario de
´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica
R. Albuquerque
14 de Fevereiro de 2013

Prontuário de
Álgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Segunda versão
Rui Albuquerque
rpa@uevora.pt
Departamento de Matemática da Universidade de Évora
Rua Romão Ramalho, 59, 7000-671 Évora, Portugal
Introdu¸cão
Estes apontamentos serviram de guia à disciplina Álgebra Linear e Geometria
Anal´ıtica das licenciaturas em áreas da Engenharia e da F´ısica da Universidade de
Évora do ano lectivo 2008/09. A matéria segue a das aulas teóricas, complementada
com exemplos e problemas novos.
Percorrem-se diversos temas da álgebra ligados à geometria dos espa¸cos vec-
toriais e das aplica¸cões lineares, estruturas fundamentais da F´ısica-Matemática-
Engenharia.

2
Desejamos cumprir objectivos práticos e concretos de transmissão do conheci-
mento. Todavia, queremos que estas notas contrariem, ou mesmo não permitam, a
redu¸cão da matéria “a um punhado de receitas” e a desvaloriza¸cão do saber teórico.
E por duas razões: nem o conhecimento prático será sempre útil, nem “o saber
teórico ocupa assim tanto lugar”, parafraseando o célebre adágio popular.
O conhecimento teórico deverá ser aliás o esteio de toda a forma¸cão cient´ıfico-
técnica de base.
Vemos a necessidade, como em qualquer outra disciplina nuclear da Matemática,
de demonstrar os teoremas e proposi¸cões que vamos escrevendo. Estas demon-
stra¸cões apoiam-se em defini¸cões e, naturalmente, em teoremas e proposi¸cões anteri-
ores. Assumimos de conhecimento do leitor outras teorias ou delas uma ligeir´ıssima
parte, como a dos conjuntos, da lógica, da geometria euclidiana ou dos números
naturais.
Explicada a extensão aparente do conteúdo, deve o leitor acompanhar-se de uma
folha de papel e lápis para resolver algumas afirma¸cões não provadas — aquelas
que são apenas auxiliares de objectivos maiores ou que julgamos serão exerc´ıcios
interessantes.
Vejamos um resumo dos cap´ıtulos.
Come¸camos com a álgebra abstracta, que tem algumas defini¸cões essenciais para
a parte linear da matéria. São particularmente importantes a no¸cão de fun¸cão e
a no¸cão de grupo, que desde cedo devem ser assimiladas. Outras defini¸cões neste
primeiro cap´ıtulo servem apenas para ilustrar problemas com que os matemáticos se
debatem, esperando que este contacto traga mais luz que permita ao leitor superar
alguns dos purismos que a teoria exige.
Segue-se o estudo das matrizes e dos sistemas de equa¸cões lineares, onde reina o
espa¸co vectorial Rn
posto que nos limitamos a coeficientes reais. Para os sistemas,
invocamos princ´ıpios clássicos de equivalência ou indepedência de equa¸cões. Para
levar à compreensão da no¸cão de caracter´ıstica de uma matriz e à de indepedência
linear de um sistema de vectores.
Neste contexto segue o cap´ıtulo dos determinantes para matrizes quadradas de
coeficientes em R. Apoia-se em elementos da teoria dos grupos de permuta¸cões.
Depois vemos as propriedades multilineares da fun¸cão determinante, a linguagem
que permitirá o aluno interessado prosseguir em Geometria-F´ısica modernas.
O cerne da Álgebra Linear encontra-se no cap´ıtulo quatro, com a introdu¸cão e
manuseio dos conceitos de espa¸co vectorial e aplica¸cão linear.
Mesmo em dimensão finita, em que escolhida uma base poderemos fazer a iden-
tifica¸cão de um dado espa¸co vectorial com Rn
, os conceitos abstractos são os mais
valiosos. São as bases e a dimensão do espa¸co, a partir da no¸cão fundamental de
sistema de vectores linearmente indepedente, são os exemplos em dimensão infinita,
é o retorno às matrizes com o importante conceito de representa¸cão e são, final-

Albuquerque, Prontuário de Álgebra Linear e Geometria Anal´ıtica 3
mente, as transforma¸cões lineares entre espa¸cos vectoriais e a procura de vectores
próprios, como direçcões singulares que são, de um endomorfismo linear.
No cap´ıtulo cinco mostramos aplica¸cões na geometria do espa¸co euclidiano Rn
,
com o seu produto interno canónico: o mais elementar produto interno decorre da
generaliza¸cão do teorema de Pitágoras. É de notar que nesse modelo se verifica o
axioma das paralelas para hiperplanos afins. Temos por isso também uma geometria
euclidiana no sentido axiomático.
Apresentamos uma classifica¸cão dos sólidos platónicos, exemplo da geometria
anal´ıtica e combinatória não usual no contexto de cursos como este. Por muitos
considerada uma autêntica maravilha da matemática, aqueles sólidos poliédricos,
infelizmente, ainda são pouco conhecidos dos estudantes. A nossa necessidade de
referir os poliedros vem de uma seçcão final, em que se define volume como “área
da base vezes altura’, a qual tem múltiplas aplica¸cões e literalmente nos permite
fechar o c´ırculo, retornando às matrizes e aos determinantes de cap´ıtulos iniciais.
Na elabora¸cão deste prontuário fizemos uso dos manuais dos nossos mestres,
[Agu83], [Mac90] e [Mon89], e de outras gratas referências para nós como a de
[Aud03].
Também beneficiámos da consulta à enciclopédia [Wik] e assim poderá e deverá
acontecer, acautele-se a falta de demonstra¸cões, com o leitor ávido de mais con-
hecimento.

Conteúdo
1 6
1.1 Tópicos elementares da Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Primeiras no¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Rela¸cões de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tópicos de Estruturas Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Anéis e Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 14
2.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Primeiras defini¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Sistemas de Equa¸cões Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Método de resolu¸cão pela adi¸cão ordenada . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Condensa¸cão de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Estudo dos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Espa¸co Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 O espa¸co vectorial Rn
ou espa¸co euclidiano . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 A caracter´ıstica e a inversa de novo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Caracter´ıstica de linha vs caracter´ıstica de coluna . . . . . . 23
2.4.2 Cálculo da inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 27
3.1 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Grupos de permuta¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Defini¸cão de determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3 Propriedades do determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.4 Cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.5 Regra do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Regra de Laplace e aplica¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Regra de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 A matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 39
4.1 Espa¸cos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Defini¸cões e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Bases e dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.3 Soma cartesiana e soma directa . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Aplica¸cões lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1 Defini¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2 Representa¸cão matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.3 Composi¸cão vs produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.4 Valores e vectores próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.5 Matrizes semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 52
5.1 Geometria do Espa¸co Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.1 Produto interno euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.3 Subespa¸cos afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.4 Problemas métricos em subespa¸cos afins . . . . . . . . . . . 57
5.2 Geometria de R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.1 Equa¸cões de rectas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.2 Algumas fórmulas de distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.3 Pol´ıgonos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.4 Comprimentos, áreas e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Cap´ıtulo 1
1.1 Tópicos elementares da Teoria dos Conjuntos
1.1.1 Primeiras no¸cões
Amiúde necessitamos de referir aquilo que se conhece como conjuntos e descrever
as suas rela¸cões, que se entendem como rela¸cões que os elementos desses conjuntos,
e de outros, satisfazem entre si.
Os conjuntos designam-se por letras: A, B, C, .... Se escrevemos x ∈ A, quere-
mos dizer que x pertence a A ou, o que é o mesmo, x é elemento de A.
Novas rela¸cões/nota¸cões: chamamos interseçcão e reunião, respectivamente,
aos conjuntos
A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}, A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}. (1.1)
Ao dizermos A é subconjunto de B, em s´ımbolos, A ⊂ B, significamos que ∀x ∈
A, x ∈ B.
O conjunto B A é o conjunto {x : x ∈ B e x /∈ A}. Sabendo, de antemão,
o “universo” a que todos os elementos pertencem, podemos escrever e designar por
complementar de B o conjunto Bc
= {x : x /∈ B}.
Poder-se-á pensar também no conjunto vazio ∅ como o complementar do “uni-
verso”. É o conjunto sem elementos.
Da lógica bivalente (lógica natural constru´ıda ao longo da evolu¸cão humana de
milhões de anos), resultam as seguintes leis de Morgan:
Ac
∩ Bc
= (A ∪ B)c
Ac
∪ Bc
= (A ∩ B)c
. (1.2)
Claro que (Ac
)c
= A, donde a segunda lei também resulta da primeira.
Outras constru¸cões importantes de conjuntos são, por exemplo, o produto
cartesiano de A e B:
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. (1.3)
Os novos elementos “(a, b)” chamam-se pares ordenados.

Note-se que nem todos os subconjuntos de A × B podem ser escritos, de novo,
como produtos cartesianos de subconjuntos de A e B. Por exemplo, tal é o caso da
diagonal de um conjunto A, ou seja, ∆(A) = {(a, a) ∈ A × A : a ∈ A}, a qual é
distinta de A × A se A tem mais do que um elemento.
Claro que (A ∪ B) × C = A × C ∪ B × C. E analogamente para ∩ no lugar de
∪.
1.1.2 Rela¸cões de equivalência
Algum tipo de rela¸cões entre elementos de um ou vários conjuntos é particular-
mente útil na conceptualiza¸cão de novas propriedades e distin¸cões. Por exemplo,
a rela¸cão de ordem total em R está intr´ınsecamente ligada aos fundamentos da
Análise Matemática.
Tratamos, neste momento, das rela¸cões de equivalência, as quais decompõem
um dado conjunto X em classes de equivalência. Lembremos que uma rela¸cão
consiste numa determinada escolha de pares ordenados. Dizemos que uma rela¸cão
∼ em X é uma rela¸cão de equivalência se:
∀x ∈ X, x ∼ x (reflexividade),
∀x ∈ X, x ∼ y ⇒ y ∼ x (simetria),
∀x, y, z ∈ X, x ∼ y & y ∼ z ⇒ x ∼ z (transitividade).
(1.4)
Claro que as tais classes de equivalência são dadas por um representante: Cx =
{y : y ∈ X e x ∼ y}. Note-se que o papel de x é mesmo e apenas o de representante
da sua classe. É fácil ver que:
Cx ∩ Cx1 = ∅ ⇔ x ∼ x1. (1.5)
Com efeito, se ∃y : x ∼ y e x1 ∼ y, então pela simetria e transitividade vem x ∼ x1.
E rec´ıprocamente.
Assim, neste tipo de rela¸cões, as classes ou não se tocam, ou são as mesmas.
Mais ainda, qualquer decomposi¸cão de um dado conjunto Z como união de
subconjuntos não vazios e disjuntos dois-a-dois,
Z =
α
Zα, tal que Zα ∩ Zα = ∅, ∀α = α , (1.6)
dá origem a uma única rela¸cão de equivalência em Z, a saber:
x ∼ y ⇐⇒ ∃α : x, y ∈ Zα. (1.7)
O conjunto dos α’s, isto é, formado como o conjunto das classes de equivalência,
denota-se por Z/ ∼.

1.1.3 Fun¸cões
Conceito fundamental em matemática é o de fun¸cão, um ‘dispositivo’ que estabelece
uma correspondência entre um dado conjunto X, chamado de partida, e outro
conjunto Y , dito de chegada. Também se chama a uma fun¸cão uma aplica¸cão.
Denota-se por
f : X −→ Y, x ∈ X −→ y = f(x) ∈ Y. (1.8)
Uma tal correspondência só é uma fun¸cão quando a cada x ∈ X, um objecto, se
atribui um, e um só, valor ou imagem y = f(x) ∈ Y .
A fun¸cão diz-se injectiva se, para x’s distintos em X, f atribui valores f(x)’s
também distintos. Formalmente,
∀x1, x2 ∈ X, x1 = x2 =⇒ f(x1) = f(x2). (1.9)
Logicamente, esta afirma¸cão é equivalente a
∀x1, x2 ∈ X, f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2. (1.10)
A fun¸cão é sobrejectiva se todo o y é imagem de algum x por meio de f:
∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : y = f(x). (1.11)
A fun¸cão é bijectiva se for injectiva e sobrejectiva. Neste caso pode-se definir
uma fun¸cão chamada de inversa, a saber, a fun¸cão f−1
: Y −→ X dada por
∀y ∈ Y, o valor de f−1
(y) é o único x : f(x) = y. (1.12)
Necessitamos, com frequência, de outras formas de obter novas fun¸cões.
Podemos compôr duas fun¸cões dadas f : X → Y e g : Z → W, por certa ordem,
desde que, por exemplo, Y, Z tenham pontos em comum. Obtemos, com efeito, a
fun¸cão composta g ◦ f : X → W definida por (g ◦ f)(x) = g(f(x)) e onde X é o
dom´ınio onde faz sentido essa mesma expressão, isto é,
X = {x ∈ X : f(x) ∈ Z}. (1.13)
Dado um conjunto X chamamos fun¸cão identidade a 1X : X → X, 1X(x) = x.
Uma fun¸cão f : X → Y tem uma inversa à esquerda, isto é, ∃g : Y → X tal
que g ◦ f = 1X se, e só se1
, f for injectiva.
Uma fun¸cão f : X → Y tem uma inversa à direita, isto é, ∃h : Y → X tal
que f ◦ h = 1Y sse f for sobrejectiva.
As duas afirma¸cões anteriores são exerc´ıcios para o leitor. Delas se conclui, no
caso em que f é bijectiva, h = g = f−1
.
1
Daqui em diante, como abreviatura de “se, e só se,” tomamos “sse”. Significa o mesmo que
“equivalente”.

Uma rela¸cão bem estabelecida entre um par de conjuntos2
é a seguinte, denotada
:
A B sse existe fun¸cão bijectiva entre A e B. (1.14)
Trata-se de uma rela¸cão de equivalência, como é fácil provar.
Outras ‘identifica¸cões’ se podem naturalmente estabelecer. Por exemplo, para
três conjuntos dados, tem-se A × (B × C) = (A × B) × C.
1.2 Tópicos de Estruturas Algébricas
1.2.1 Grupos
A no¸cão algébrica simultâneamente mais elementar e necessária é a de grupo.
Um conjunto G munido de uma opera¸cão binária
G × G → G, (a, b) → ab, (1.15)
que satisfaz
- associatividade : ∀a, b, c ∈ G, (ab)c = a(bc),
- existe elemento neutro : ∃e ∈ G : ∀a ∈ G, ae = ea = a,
- todos os elementos têm inverso : ∀a ∈ G, ∃b ∈ G : ab = ba = e,
(1.16)
chama-se um grupo.
Prova-se facilmente que o elemento neutro é único e que o inverso de cada
elemento também é único. O truque está, em ambos os casos, em come¸car por
supôr que existem dois elementos e acabar por chegar a um absurdo.
Usámos acima a nota¸cão multiplicativa. Por vezes usa-se a aditivia. Na primeira
nota¸cão, o elemento neutro designa-se por e ou por 1. Na segunda, por 0. Na
primeira nota¸cão, o inverso de a denota-se por a−1
, e na segunda denota-se por −a
e chama-se oposto ou simétrico de a.
Exemplos:
1. (R, +) é um grupo com a opera¸cão de adi¸cão + usual.
2. (R {0}, ·) é um grupo com a opera¸cão de multiplica¸cão usual.
3. Seja dado um conjunto X e seja
G := A(X) = {f : X → X| f é bijectiva} (1.17)
o conjunto das fun¸cões bijectivas de X para X. Então G é um grupo se
tomarmos como opera¸cão a composi¸cão de fun¸cões. Com efeito, se f, g ∈ G,
2
Evitemos desde já o paradoxo que consiste em tomar “o conjunto de todos os conjuntos”.

então f◦g também está em G porque também é uma fun¸cão bijectiva. Vejamos
a associatividade: duas fun¸cões com o mesmo espa¸co de partida e de chegada
são iguais se, a cada objecto, fazem corresponder a mesma imagem. Então,
por defini¸cão, tomando um terceiro elemento h ∈ G e qualquer x ∈ X,
(g ◦ f) ◦ h (x) = (g ◦ f)(h(x)) = g(f(h(x))) = g ◦ (f ◦ h) (x).
Donde (g◦f)◦h = g◦(f ◦h), como quer´ıamos. Agora, o elemento neutro de G
é naturalmente a fun¸cão identidade 1X. E o inverso de f coincide exactamente
com a fun¸cão inversa, como se esperava.
Nos grupos dos exemplos 1 e 2 acima, as opera¸cões, bem conhecidas, são comu-
tativas.
Um grupo G qualquer diz-se comutativo ou abeliano se
ab = ba, ∀a, b ∈ G. (1.18)
O exemplo 3 de há pouco não é comutativo em geral. Repare-se no grupo de
permuta¸cões de n ∈ N elementos, ou grupo simétrico Sn, o qual consiste no
grupo A(X) com X = {1, 2, 3, . . . , n}. É simples concluir que A(X) = Sn tem n!
elementos.
Se n ≥ 3, então aquele grupo não é comutativo. Basta pensar nas seguintes
fun¸cões (em cima estão os objectos, em baixo as respectivas imagens):
f =
1 2 3
1 3 2
, g =
1 2 3
2 1 3
, (1.19)
admitindo ainda que f, g fixam todos os i ≥ 4. Resulta então
f ◦ g =
1 2 3
3 1 2
, g ◦ f =
1 2 3
2 3 1
(1.20)
onde se rende expl´ıcita a falta de comutatividade.
Há muitos mais grupos não comutativos que comutativos.
Há exemplos, como o de grupo de permuta¸cões, que explicam muito. Veja-se o
seguinte teorema célebre.
Teorema 1 (Cayley). Todo o grupo G é subgrupo de um grupo de permuta¸cões.
A no¸cão de subgrupo é a de um subconjunto que herda a estrutura do grupo
em que está contido. Portanto, um subconjunto fechado para a opera¸cão do grupo
e para a passagem ao inverso.
Vejamos a demonstra¸cão do teorema de Cayley.

Demonstra¸cão. Com efeito, a cada g ∈ G associamos a seguinte permuta¸cão Lg do
próprio grupo G: Lg : G → G, Lg(h) = gh. Vem então que
Lg1g2 (h) = g1g2h = Lg1 (Lg2 (h)) = Lg1 ◦ Lg2 (h), ∀g1, g2, h ∈ G (1.21)
pelo que a estrutura da imagem de L como subgrupo de A(G),
L : G −→ A(G), g → Lg, (1.22)
é a mesma estrutura de G, pois que L é injectiva como se poderá verificar.
Note-se que a aplica¸cão L está subjacente no enunciado do teorema de Cayley.
Raramente, claro, a aplica¸cão L é sobrejectiva.
1.2.2 Anéis e Corpos
A no¸cão que se segue é muito rica, ainda que dispensável num curso de Álgebra
Linear.
Seja A um conjunto munido de duas opera¸cões, + e ‘vezes’ ·, tais que
- (A, +) é grupo comutativo
- a opera¸cão · é associativa
- dão-se as propriedades distribuitivas:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc, ∀a, b, c ∈ A.
(1.23)
Dizemos então que A é um anel. Se · é comutativa, o anel A diz-se comutativo
ou abeliano. Se existe elemento neutro 1 da multiplica¸cão, o anel diz-se unitário.
(Z, +, ·) é o exemplo primário. Não menos o são o anel dos números pares,
2Z, ou os múltiplos de 3, ou 4, etc... Os anéis kZ = {kn : n ∈ Z} são todos
comutativos, mas só Z é unitário.
Outro exemplo menos trivial é o anel de fun¸cões RX
, onde X é um espa¸co fixado
de in´ıcio.
RX
= {f : X → R} (1.24)
tem soma e produto de fun¸cões bem definidos: ∀f1, f2 ∈ RX
, f1 +f2 e f1f2 definem-
se obviamente por
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), (f1f2)(x) = f1(x)f2(x). (1.25)
RX
é um anel e provará a sua utilidade mais à frente.
Nos anéis unitários põe-se a questão de saber quais são os elementos invert´ıveis
para a multiplica¸cão. Mais ainda, um tal anel A contém um grupo U ⊂ A consti-
tu´ıdo pelos elementos invert´ıveis. Por exemplo, o anel Z tem U = {−1, 1}. Já o
anel Q tem U = Q {0}.

É claro que 0 nunca será invert´ıvel: prova-se que 0 · a = 0, ∀a ∈ A.
Um anel K comutativo, unitário e com U = K {0} chama-se um corpo.
São exemplos de corpos: Q, R, C.
Nos corpos vale a lei do anulamento do produto:
ab = 0 =⇒ a = 0 ou b = 0. (1.26)
Também só nos corpos podemos invocar em geral a lei do corte:
ax = b ⇐⇒ x = a−1
b. (1.27)
Estas leis demonstram-se com grande facilidade. Veremos em seguida que há corpos
finitos.
Um famoso teorema de Euclides garante que, se tivermos dois números inteiros
m, n, então existem dois números inteiros únicos q e r (chamados quociente e
resto) tais que
0 ≤ r ≤ n − 1 e m = qn + r. (1.28)
Dizemos que r é o resto de m mod n. Se somarmos ou multiplicarmos dois m1, m2 ∈
Z, temos
m1 + m2 = (q1n + r1) + (q2n + r2) = (q1 + q2)n + (r1 + r2),
m1m2 = (q1q2n + r1q2 + q2r1)n + r1r2
(1.29)
Então vemos que o resto da soma e do produto mod n é o mesmo que o resto mod n
da soma e do produto dos restos, respectivamente.
É trivial verificar agora que as opera¸cões de + e ‘vezes’ habituais, mas “com
n’s fora”, verificam todas as propriedades de anel, pois elas provêm das respectivas
propriedades do anel dos inteiros. Assim, prova-se o
Teorema 2. O conjunto dos restos Zn = {0, 1, . . . , n − 1} é um anel com a soma
e o produto acima.
Dá-se a Zn o nome de anel dos restos mod n.
Por exemplo, o anel Z5 tem as seguintes tabelas de opera¸cões:
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
· 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
(1.30)
Curiosamente, vê-se que x2
= 3 não tem solu¸cões mod 5, ou seja em Z5. Há então
lugar para um estudo de novo tipo de equa¸cões algébricas.
Um resultado importante nesta teoria finaliza o nosso cap´ıtulo.

Teorema 3. Zn é corpo sse n é número primo.
Demonstra¸cão. Suponhamos que Zn é corpo e que ab = n, com 1 < a, b < n. Mas
isto é o mesmo que ab = 0 mod n e então, valendo a lei do corte, resulta a = 0 ou
b = 0, o que é absurdo. Assim, n não tem divisores próprios, ie. é primo.
Suponhamos rec´ıprocamente que n é primo. Então para cada a ∈ Z0 há sempre
solu¸cões inteiras x, y de ax + ny = 1 (tal decorre recursivamente do algoritmo
de Euclides, o poder escrever-se assim o mdc de dois quaisquer inteiros a e n).
Obviamente, em Zn temos ax + ny = ax = 1 mod n, pelo que todos os elementos
a ∈ Zn 0 têm inverso. E estão verificadas as condi¸cões para termos um corpo.

Cap´ıtulo 2
2.1 Matrizes
2.1.1 Primeiras defini¸cões
Damos o nome de matriz a uma tabela A = [aij]i=1,...,p
j=1,...,q
com entradas ou coefi-
cientes1
aij ∈ R.
O ´ındice p é o número de linhas e q o de colunas. Denotamos
A =





a11 a12 · · · a1q
a21 a22 a2q
...
...
...
ap1 ap2 · · · apq





. (2.1)
p e q são as dimensões da matriz A. Faz jeito chamar
Mp,q = {A : A é uma matriz de p linhas e q colunas}. (2.2)
O interesse das matrizes está, como veremos mais tarde, na representa¸cão das
aplica¸cões lineares que elas possibilitam.
A estrutura de grupo de (R, +) passa automáticamente para Mpq. Dadas quais-
quer matrizes A, B ∈ Mpq, sendo A = [aij] e B = [bij], i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q,
temos por defini¸cão
A + B = [aij + bij], (2.3)
permanecendo em Mpq.
Se λ ∈ R, então denotamos por λA a matriz [λaij], com as mesmas dimensões.
Em seguida definimos a multiplica¸cão de duas matrizes. Também aqui há
uma condi¸cão nos ´ındices. Esta opera¸cão tem uma ordem. Logo pomos uma matriz
à esquerda e outra à direita, como um par ordenado, e a condi¸cão é que, para as
multiplicarmos, a da esquerda deve ter número de colunas igual ao número de linhas
da da direita.
1
Poder´ıamos deixar estes aij pertencerem a um corpo K ou mesmo um anel qualquer prévia-
mente fixado, mas aqui prosseguimos apenas com matrizes reais.

Assim
Mpq × Mql −→ Mpl
(A, B) −→ AB.
(2.4)
Atente-se bem no espa¸co de chegada, aquele onde aparece o resultado. O produto
M = AB define-se então como segue: pondo M = [ξij]i=1,...,p
j=1,...,l
, temos
ξij = ai1b1j + · · · + aiqbqj =
q
k=1
aikbkj. (2.5)
Prova-se facilmente que esta multiplica¸cão é associativa: se A, B são como acima
e C ∈ Mlr, então estamos habilitados a fazer tanto (AB)C como A(BC). Com
alguma surpresa, tem-se então
(AB)C = A(BC). (2.6)
Com efeito, sendo M = AB = [ξst]s=1,...,p
t=1,...,l
e BC = [ηuv]u=1,...,l
v=1,...,r
, o elemento genérico
de ´ındice (s, v) do produto do lado esquerdo de (2.6) é igual a
l
t=1
ξstctv =
l
t=1
q
k=1
(askbkt)ctv =
q
k=1
l
t=1
ask(bktctv) =
q
k=1
askηkv. (2.7)
Usámos a associatividade e distributividade dos números reais para reagrupar as
parcelas. O resultado a que se chegou representa o elemento genérico de ´ındice
(s, v) do produto do lado direito de (2.6), ou seja A(BC).
Outra propriedade válida é a distributividade à esquerda e à direita: se A, B ∈
Mpq e C, D ∈ Mql, então
A(C + D) = AC + AD
(A + B)C = AC + BC.
(2.8)
Note que as igualdades fazem sentido no cômputo das dimensões das matrizes. A
demonstra¸cão daquelas igualdades é trivial.
Exemplos:
2 3 1
−2 0 1



4 5 3
1 2 5
2 4 0


 =
13 20 21
−6 −6 −6
, (2.9)
2 3 4



−2
3
1


 = 9,



−2
3
1


 2 3 4 =



−4 −6 −8
6 9 12
2 3 4


 . (2.10)

Como se vê, as matrizes não permutam no produto. Dizemos que duas matrizes
dadas A e B permutam ou comutam se AB = BA. Isso não acontece em geral,
mesmo se forem quadradas.
É importante notar que Mpp, chamado o espa¸co das matrizes quadradas, é
uma anel com a soma e produto introduzidos, pois tal espa¸co é fechado para o
produto. O ´ındice de linhas p igual ao ´ındice de colunas também se diz a ordem
de cada matriz quadrada.
Repare-se agora que, para qualquer matriz A ∈ Mpq,





1 0 · · · 0
0 1 0
... 0
0 0 · · · 1








a11 · · · a1q
...
ap1 · · · apq


 =



a11 · · · a1q
...
ap1 · · · apq


 , (2.11)



a11 · · · a1q
...
ap1 · · · apq








1 0 · · · 0
0 1 0
... 0
0 0 · · · 1





=



a11 · · · a1q
...
ap1 · · · apq


 . (2.12)
Uma matriz quadrada D = [dij] de ordem p diz-se diagonal se dij = 0, ∀i = j.
Chamamos matriz identidade, e denotamo-la por 1p, à matriz diagonal que tem
dii = 1, ∀i = 1, . . . , p.
As fórmulas (2.11,2.12) reescrevem-se portanto como
1pA = A e A1q = A. (2.13)
No caso das matrizes quadradas temos, em particular, um elemento neutro da
multiplica¸cão. Destaca-se assim o
Teorema 4. O espa¸co das matrizes quadradas Mpp é um anel unitário.
Neste espa¸co nem sequer se dá a lei do anulamento do produto. Veja-se o caso:
0 1
0 0
1 0
0 0
=
0 0
0 0
. (2.14)
2.1.2 Matrizes especiais
É claro que o espa¸co das matrizes Mm,n, como tabelas de números reais, se identifica
com Rmn
. O leitor poderá identificar neste grande espa¸co mais do que um simples
produto cartesiano. Há uma estrutura de espa¸co vectorial — o que será trivial de
verificar quando explicarmos do que tal se trata.
Uma matriz A ∈ Mmn diz-se invert´ıvel à esquerda se existe B ∈ Mnm tal
que BA = 1n.

Uma matriz A ∈ Mmn diz-se invert´ıvel à direita se existe C ∈ Mnm tal que
AC = 1m.
Uma matriz diz-se invert´ıvel se o fôr à esquerda e à direita. Neste caso prova-se
facilmente que B = C e que a matriz A tem de ser quadrada2
, n = m. A matriz
única B = C denota-se por A−1
:
AA−1
= A−1
A = 1n. (2.15)
Com efeito, o inverso, quando existe, é único. Aqui poder´ıamos falar do grupo das
matrizes invert´ıveis.
Em particular tem-se a regra de inversão do produto:
A, B ∈ Mnn invert´ıveis =⇒ (AB)−1
= B−1
A−1
. (2.16)
Outro tipo de matrizes especiais são as triangulares superiores:
T = [tij]i=1,...,m
j=1,...,n
, com tij = 0, ∀j < i. (2.17)
Ou seja, T ∈ Mmn tem as entradas todas nulas abaixo da diagonal principal (a
diagonal principal de uma matriz P = [pij] designa os números pii).
Também se definem matrizes triangulares inferiores: tij = 0, ∀i < j.
2.1.3 Transposta
Dada uma matriz A ∈ Mmn, definimos a transposta de A = [aij]i=1,...,m
j=1,...,n
como a
matriz AT
∈ Mnm dada por AT
= [aT
ji]j=1,...,n
i=1,...,m
onde
aT
ji = aij. (2.18)
Prova-se com facilidade que a passagem à transposta do produto verifica:
A ∈ Mmn, B ∈ Mnp =⇒ (AB)T
= BT
AT
. (2.19)
Claro que (AT
)T
= A para qualquer matriz A.
Se A é invert´ıvel, então prova-se facilmente que (A−1
)T
= (AT
)
−1
.
Agora, uma matriz diz-se simétrica se A = AT
. Uma matriz diz-se anti-
simétrica se A = −AT
.
O primeiro contributo destas no¸cões está na possibilidade de escrever qualquer
matriz quadrada C ∈ Mmm como a soma de uma matriz simétrica e de uma anti-
simétrica. Essa decomposi¸cão de C está em
C =
1
2
C + CT
+
1
2
C − CT
, (2.20)
como o leitor verificará.
2
Para ver que n = m, sendo AB = 1m e BA = 1n, atente-se a m = i,j ai,jbi,j = n, o cálculo
do tra¸co.

2.2 Sistemas de Equa¸cões Lineares
2.2.1 Método de resolu¸cão pela adi¸cão ordenada
Vamos agora estudar os sistemas de m equa¸cões lineares, isto é, do 1o
grau, a n
incógnitas. Come¸cemos com um exemplo (m, n) = (2, 3) e sua resolu¸cão.
2x + 3y − z = 0
x + 4y = −2z
(2.21)
é um sistema poss´ıvel indeterminado, o qual se resolve pelo método de substitui¸cão
como
2x + 3y = z
x + 4y = −4x − 6y 5x = −10y
z = −y
x = −2y
(2.22)
donde, para cada y ∈ R, há uma solu¸cão (x, y, z) = (−2y, y, −y).
Outro método, chamado de adi¸cão ordenada, permite resolver o sistema de
forma mais rápida.
Utilizando os princ´ıpios elementares de equivalência de equa¸cões, percebemos
que se obtém um sistema equivalente a (2.21) se multiplicarmos a segunda equa¸cão,
em ambos os termos, por −2. E o mesmo acontece se adicionarmos ordenadamente
esse resultado à 1a
equa¸cão. Estamos, por hipótese, a adicionar a mesma quantidade
a ambos os termos, pelo que o novo sistema permanece equivalente.
Conseguimos ‘anular os 2x’ na 1a
equa¸cão.
Fazendo ao mesmo tempo o mesmo para a equa¸cão de baixo, usando a de cima
multiplicada por 2 para ‘anular o z’, obtém-se:
2x + 3y − z = 0
x + 4y + 2z = 0
−5y − 5z = 0
5x + 10y = 0
z = −y
x = −2y
. (2.23)
Claro que as opera¸cões escolhidas foram as que mais rápidamente permitiram anular
alguma variável. Este método tem por isso as suas vantagens sobre o primeiro3
.
Vejamos outro exemplo:



4x + y + z = 0
8x + z = 0
4x − y = 0



4x + y + z = 0
−2y − z = 0
−2y − z = 0



4x + y + z = 0
−2y − z = 0
0 = 0
, (2.24)
é um sistema poss´ıvel e indeterminado. E outro exemplo:
4x + y = ...
4x − y = ...
8x = ...
−2y = ...
. (2.25)
3
Não é propósito de um curso de ALGA a procura do melhor algoritmo de resolu¸cão de sistemas.

Neste caso, quaisquer que sejam os valores nas reticências iniciais, o sistema é
sempre poss´ıvel e determinado. Mas nem sempre é assim. Considere-se o sistema
em x, y:
4x + y = c
8x + 2y = d
4x + y = c
0 = d − 2c
(2.26)
Aqui há claramente duas hipóteses: o sistema é poss´ıvel indeterminado se d = 2c,
e imposs´ıvel no caso contrário. De qualquer forma o estudo das equa¸cões indepen-
dentes parte dos coeficientes do ‘lado esquerdo’.
2.2.2 Condensa¸cão de uma matriz
Em geral, um sistema de m equa¸cões a n incógnitas aparece como



a11x1 + · · · + a1nxn = b1
...
am1x1 + · · · + amnxn = bm
. (2.27)
Claramente podemos escrever (2.27) em termos matriciais:



a11 · · · a1n
...
am1 · · · amn






x1
...
xn


 =



b1
...
bm


 (2.28)
e logo sucintamente como
AX = B (2.29)
onde A, X, B têm correspondência óbvia com as matrizes anteriores.
Nunca esque¸cendo a posi¸cão de cada incógnita xi, i = 1, . . . , n, podemos fazer as
adi¸cões ordenadas sobre as linhas da matriz ampliada [A|B], de um dado sistema,
para o resolver.
Suponhamos, por exemplo, que nos são dadas as equa¸cões



x − y + z = 0,
x + 3y = 1,
z = −3x + 1 + y
. (2.30)
Então a matriz ampliada, seguida da multiplica¸cão e adi¸cão ordenada, resulta em



1 −1 1 | 0
1 3 0 | 1
3 −1 1 | 1



L2−L1, L3−3L1
−−−−−−−−−→



1 −1 1 | 0
0 4 −1 | 1
0 2 −2 | 1



L2−2L3, L2↔L3
−−−−−−−−−−→



1 −1 1 | 0
0 2 −2 | 1
0 0 3 | −1



L1+ 1
2
L2, 3L2+2L3
−−−−−−−−−−−→



1 0 0 | 1
2
0 6 0 | 1
0 0 3 | −1


 .
(2.31)

O sistema está resolvido, x = 1
2
, y = 1
6
, z = −1
3
. Neste caso, a matriz A é quadrada,
pelo que essencialmente fomos ao encontro da sua inversa de modo a obter a solu¸cão
X = A−1
B.
Ao método anteriormente descrito de resolu¸cão de um sistema dá-se o nome de
método de Gauss.
Os exemplos acima mostram o uso da condensa¸cão sobre linhas (ou colunas)
de uma matriz, ou seja a adi¸cão e multiplica¸cão por escalar das linhas (ou colunas)
de uma matriz.
A condensa¸cão sobre as linhas consiste em:
• troca de linhas (para obter elementos não nulos na diagonal principal ou
simplesmente para simplificar cálculos)
• multiplica¸cão de uma linha por um escalar não nulo
• substitui¸cão de uma linha por si própria adicionada de um múltiplo não nulo
de outra linha
• desenvolver este processo de forma ordenada com vista a encontrar uma matriz
triangular superior.
Também se podem escrever as mesmas regras para a condensa¸cão sobre as col-
unas (a qual não pode ser feita na resolu¸cão de sistemas, pois estar´ıamos a juntar
coeficientes de incógnitas diferentes).
2.2.3 Estudo dos sistemas
Dado o sistema (2.29), é imediato concluir que chegamos sempre a um sistema
equivalente do tipo:










ξ11 ξ12 · · · ξ1r · · · ξ1n | η1
0 ξ22 |
0 0
... |
0 · · · 0 ξrr · · · ξrn | ηr
... 0
... 0 |
...
0 0 0 0 | ηm










(2.32)
com r ≤ m, n e os ξii = 0, ∀i = 1, . . . , r.
Os ξ’s resultam da condensa¸cão sobre linhas de A e os η’s resultam das corre-
spondentes transforma¸cões sobre B.
O ´ındice r é o número de equa¸cões independentes. Chama-se caracter´ıstica
de linha de A. Se para algum i > r, tivermos ηi = 0, então há mais ‘equa¸cões
independentes’ na matriz ampliada A|B que em A e o sistema é imposs´ıvel. Rec´ıp-
rocamente, de qualquer sistema imposs´ıvel se retira a mesma condi¸cão.

Agora, das primeiras r linhas, vê-se bem que o sistema é poss´ıvel determinado
sse r = n; ou seja, indeterminado sse r < n. A n − r dá-se o nome de grau de
indetermina¸cão do sistema (este grau é também a dimensão do espa¸co de solu¸cões
do sistema4
).
Em resumo, pondo r(A) = número de linhas independentes, temos o seguinte
quadro.
r(A) = r(A|B) r(A) < r(A|B)
sistema poss´ıvel s. imposs´ıvel
determinado indeterminado
r(A) = n r(A) < n
sem solu¸cões
(2.33)
2.3 Espa¸co Euclidiano
2.3.1 O espa¸co vectorial Rn
ou espa¸co euclidiano
Temos vindo a considerar as linhas de uma dada matriz e a falar da dependência
linear de um conjunto de linhas. Convém então considerar o espa¸co M1,n de tais
linhas (com n colunas) e dar-lhe o destaque que merece.
Damos o nome de espa¸co euclidiano ao produto cartesiano Rn
= R × · · · × R
(com n factores). Também se diz por vezes o espa¸co cartesiano Rn
. Os seus
elementos chamam-se vectores e escrevem-se como n-tuplos ordenados (c1, . . . , cn),
portanto com ci ∈ R.
A adi¸cão de vectores e a multiplica¸cão de um vector por um escalar devolvem-nos
um novo vector (essas opera¸cões são as mesmas do espa¸co de matrizes acima):
(c1, . . . , cn) + (d1, . . . , dn) = (c1 + d1, . . . , cn + dn),
λ(c1, . . . , cn) = (λc1, . . . , λcn)
(2.34)
∀ci, di, λ ∈ R, i = 1, . . . , n.
Repare-se agora que uma matriz A ∈ Mmn induz uma fun¸cão ou aplica¸cão
A : Rn
−→ Rm
, X −→ AX (2.35)
Esta aplica¸cão tem a propriedade de ser linear5
:
A(λX + µY ) = λAX + µAY, ∀X, Y ∈ Rn
, λ, µ ∈ R. (2.36)
Tal resulta da propriedade distribuitiva do produto sobre a soma. Voltaremos a
estas questões mais tarde.
4
Isto fará sentido após a verifica¸cão de que o conjunto de solu¸cões forma um subespa¸co afim.
5
As fun¸cões lineares tomam o nome de aplica¸cões lineares.

2.3.2 Independência linear
Vimos no estudo dos sitemas de equa¸cões lineares a necessidade de fazer anular
linhas de uma dada matriz à custa de outras linhas. Essa possibilidade dá lugar a
um conceito em Rn
.
Dizemos que um conjunto (ou um sistema) de m vectores do espa¸co euclidiano
Rn
, ou seja, {L1, . . . , Lm} ⊂ Rn
, é um conjunto de vectores linearmente depen-
dentes se podemos escrever um deles como combina¸cão linear dos restantes, isto
é, se existe um ´ındice i0 e existem escalares α1, . . . , αi0−1, αi0+1, . . . , αm ∈ R tais
que
Li0 = α1L1 + · · · + αi0−1Li0−1 + αi0+1Li0+1 + · · · + αmLm. (2.37)
Repare-se que passando Li0 para o lado direito de (2.37) obtemos o vector nulo
0 escrito como combina¸cão linear não nula de todos os L1, . . . , Lm.
Uma forma mais simples de dizer o que é a dependência linear será pela negativa:
dizemos que m vectores dados L1, . . . , Lm são linearmente independentes se se
verifica a condi¸cão:
λ1L1 + · · · + λmLm = 0 =⇒ λ1 = · · · = λm = 0. (2.38)
É um simples problema lógico provar que um conjunto de vectores é linearmente
independente sse não é linearmente dependente.
Exemplos:
1. Um vector L1 isolado é linearmente independente sse L1 = 0. Com efeito, só
nesse caso garantimos que λ1L1 = 0 implica λ1 = 0.
2. Os vectores (2, 3), (3, 4) são linearmente independentes. Com efeito,
λ1(2, 3) + λ2(3, 4) = 0 ⇒
2λ1 + 3λ2 = 0
3λ1 + 4λ2 = 0
⇒
λ1 = 0
λ2 = 0
. (2.39)
3. Se o vector nulo está entre os vectores L1, . . . , Lm, então este conjunto é
linearmente dependente. De facto, podemos escrever 0 como combina¸cão
linear dos restantes vectores. Basta fazer a combina¸cão linear com os escalares
nulos.
4. Num dado subconjunto de Rn
, o número máximo de vectores linearmente
independentes que ele poderá conter é n.
O exemplo 4 é muito elucidativo. Dito de outra forma: em Rn
quaisquer vectores
L1, . . . , Ln, Ln+1 são linearmente dependentes.
Com efeito, procurando escrever 0 como combina¸cão linear daqueles, ou seja,
λ1L1 + · · · + λnLn + λn+1Ln+1 = 0, (2.40)

escrevemos o sistema



λ1l11 + · · · + λnln1 + λn+1ln+1,1 = 0
...
λ1l1n + · · · + λnlnn + λn+1ln+1,n = 0
(2.41)
onde Li = (li1, . . . , lin). Como sabemos, tal sistema é sempre poss´ıvel indetermi-
nado. Existem então solu¸cões λ1, . . . , λn+1 não nulas, como quer´ıamos.
2.4 A caracter´ıstica e a inversa de novo
2.4.1 Caracter´ıstica de linha vs caracter´ıstica de coluna
Seja M ∈ Mmn uma matriz qualquer. Chamamos caracter´ıstica de linha de
M, denotada rl, ao número máximo de linhas linearmente independentes que M
contém. Já nos referimos a esta defini¸cão em seçcão anterior.
Chamamos caracter´ıstica de coluna de M, denotada rc, ao número máximo
de colunas linearmente independentes que M contém.
Dissemos anteriormente como obter rl: efectuando uma condensa¸cão da matriz
de modo a fazer aparecer a matriz de aspecto simples (2.32) — evidentemente,
aqui, sem a parte ampliada. Mas é claro que há muitos caminhos desde a matriz
inicial M até aquela forma canónica (2.32), pelo que se poderia perguntar se rl não
depende da escolha do caminho.
Vemos que tal defini¸cão é intr´ınseca, independente da condensa¸cão sobre linhas,
tal como se exprimiu acima: se M tem linhas L1, . . . , Lm e fazemos uma troca de
Li por Li + αLj, α ∈ R, vemos que
λ1L1 + · · · + λiLi + · · · + λjLj + · · · + λmLm = 0 (2.42)
tem solu¸cões não nulas sse
˜λ1L1 + · · · + ˜λi(Li + αLj) + · · · + ˜λjLj + · · · + ˜λmLm = 0 (2.43)
tem solu¸cões não nulas. Só temos de fazer a transforma¸cão λj = ˜λi + α˜λj.6
O próximo teorema afirma que a caracter´ıstica de linha é igual à caracter´ıstica
de coluna. A primeira parte da demonstra¸cão assenta na prova de que não se altera
rl a cada passo para achar rc.
Teorema 5. Em qualquer matriz, rl = rc.
6
Como dissemos em 2.2.3, os sistemas de equa¸cões lineares (independentes ou não), após con-
densa¸cão, mantêm-se equivalentes (em particular, com o mesmo número de equa¸cões indepen-
dentes). Poder´ıamos passar a falar em sistemas de vectores.

Demonstra¸cão. Suponha-se
M =



L1
...
Lm


 =



l11 · · · l1n
...
lm1 · · · lmn


 = C1 · · · Cn . (2.44)
A dependência das linhas estuda-se pelo sistema em λ’s,
λ1l1j + · · · + · · · + λmlmj = 0, ∀j = 1, . . . n. (2.45)
Agora, o passo mais geral da condensa¸cão sobre colunas será a troca Ci ↔ Cj
seguida de Ci → Ci + αCj, para certos i, j e α ∈ R, levando-nos para a matriz
M =



l11 · · · l1j · · · l1i + αl1j · · · l1n
...
...
lm1 · · · lmj · · · lmi + αlmj · · · lmn


 . (2.46)
O respectivo sistema de equa¸cões será o mesmo que o anterior excepto para j = j, i:



· · ·
λ1l1j + · · · + λmlmj = 0
· · ·
λ1(l1i + αl1j) + · · · + λm(lmi + αlmj) = 0
· · ·
(2.47)
Mas é evidente, rearrumando os termos e pondo α em evidência, que este sistema
é equivalente a (2.45).
Agora, tal como em 2.2.3, fazendo uma condensa¸cão por colunas de forma or-
denada, chegaremos a uma matriz de aspecto











ξ11 0 0 0 0
ξ21 ξ22 0 0
... 0
...
...
ξrcrc 0 0
...
...
...
ξm1 ξmrc 0 0











(2.48)
com os ξkk = 0, ∀1 ≤ k ≤ rc. Como nunca se alterou rl desde M e agora já é fácil
descobrir a caracter´ıstica de linha, fazendo por anular tudo o que está abaixo da
diagonal principal de (2.48), deduz-se então que rc = rl, como quer´ıamos demon-
strar.
Exemplo:



1 0 3
2 1 2
2 0 6



L3−2L1, C1−2C2
−−−−−−−−−−→



1 0 3
0 1 2
0 0 0



C3−3C1−2C2
−−−−−−−−→



1 0 0
0 1 0
0 0 0


 (2.49)
e a caracter´ıstica r = rc = rl neste caso é 2.

2.4.2 Cálculo da inversa
Vamos agora estabelecer um método para encontrar a inversa de uma matriz quadrada
A ∈ Mn,n, supondo que existe.
Repare-se que escrevendo o vector-coluna
Vi0 = 0 · · · 0 1 0 · · · 0
T
(2.50)
(1 no lugar i0 e 0 em todas as outras entradas), vem
BVi0 =



b1i0
...
bni0


 (2.51)
para qualquer matriz quadrada B = [bst].
Para encontrar A−1
temos de encontrar os n vectores-coluna Xi tais que AXi =
Vi. Pois da´ı virá
A X1 · · · Xn = V1 · · · Vn = 1n. (2.52)
Note-se em particular que A : Rn
→ Rn
induz, no sentido de (2.35), uma
aplica¸cão bijectiva (tem uma inversa7
) sse a matriz A é invert´ıvel. Por sua vez,
cada sistema AX = Vi é poss´ıvel e determinado sse r(A) = n. Está então provado
o
Teorema 6. Uma matriz quadrada A ∈ Mn é invert´ıvel sse r(A) = n.
Agora, os Xi, 1 ≤ i ≤ n, encontrados acima serão as colunas de A−1
. Pelo
método de condensa¸cão sobre linhas, aplicado simultâneamente na resolu¸cão dos n
sistemas de n equa¸cões a n incógnitas, podemos dar como certo o seguinte algoritmo
para determinar a matriz inversa de A:
A | 1n −→ · · · (condensa¸cão) · · · −→ 1n | A−1
. (2.53)
Exemplo:
1. Para encontrar a inversa de
0 5
−5 3
fazemos
0 5 | 1 0
−5 3 | 0 1
→
−5 3 | 0 1
0 5 | 1 0
→
1 −3
5
| 0 −1
5
0 1 | 1
5
0
→
1 0 | 3
25
−1
5
0 1 | 1
5
0
.
(2.54)
7
Convém aqui notar que a inversa de uma aplica¸cão linear bijectiva é ainda uma aplica¸cão
linear.

A verifica¸cão é imediata:
0 5
−5 3
3
25
−1
5
1
5
0
=
1 0
0 1
. (2.55)

Cap´ıtulo 3
3.1 Determinantes
3.1.1 Grupos de permuta¸cões
Consideremos de novo o grupo de permuta¸cões Sn de n objectos, recorde-se, um
grupo com n! elementos.
Um tipo particular de permuta¸cões são os ciclos. Um ciclo σ ∈ Sn é uma
permuta¸cão denotada (a1 a2 · · · ak), com os ai ∈ {1, . . . , n} todos diferentes, que
obedece a
a1 → a2 → a3 → · · · → ak → a1 (3.1)
e que deixa todos os outros elementos, não referidos, no mesmo lugar.
O natural k é a ordem do ciclo.
Como exemplos, em S4, temos
(143) = (431) = (314) =
1 2 3 4
4 2 1 3
,
(123) ◦ (341) = (234) = (34)(24).
(3.2)
Note-se que a fun¸cão composta se lê da direita para a esquerda e que, como é usual,
deixamos ca´ır o sinal “◦”. À fun¸cão composta também se chama produto.
A permuta¸cão inversa de um ciclo escreve-se facilmente. Em particular, as
chamadas transposi¸cões (ij), ou seja ciclos de ordem 2, verificam (ij)−1
= (ij) =
(ji).
Agora, cada permuta¸cão σ é um produto de ciclos. Para o vermos come¸camos
por construir o ciclo (1 σ(1) σ(σ(1)) · · · σk1−1
(1)). Concerteza que haverá um fim,
de tal forma que σ(σk1−1
(1)) = 1, pois σ não se repete nunca e n é finito. A
seguir procuramos o primeiro elemento i0 ∈ {1, . . . , n} que não está entre os σi
(1) e
construimos o ciclo (i0 σ(i0) σ(σ(i0)) · · · σk2−1
(i0)). Pelas razões anteriores, o ciclo é
finito. Repetimos assim e sucessivamente o processo anterior, sabendo que havemos
de parar porque se esgotam os números. Obtemos finalmente a permuta¸cão dada

como um produto de ciclos, que até comutam entre si pois não têm elementos
comuns.
É quase tão convincente ver um exemplo:
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8
6 5 2 1 3 7 4 8
= (1674)(253). (3.3)
Mais ainda, cada permuta¸cão é produto de transposi¸cões, pois cada ciclo o é:
(a1 a2 · · · ak) = (ak ak−1)(ak ak−2) · · · (ak a2)(ak a1). (3.4)
Fazemos agora a seguinte afirma¸cão: a permuta¸cão identidade é sempre o pro-
duto de um número par de transposi¸cões: (1) = (ij)(ij). A demonstra¸cão deste
facto, só aparentemente óbvio, é um problema de ordem e combinatória que deix-
amos ao leitor para sua pesquisa, [Gro83].
Agora se uma mesma permuta¸cão se decompõe, uma vez, num número l1 de
transposi¸cões e, noutra vez, num número l2 de transposi¸cões, então l1 + l2 é par.
Equivale a passar, nessa igualdade de decomposi¸cões, todas as transposi¸cões para
um lado, ficando a identidade no outro. Em particular, l1 é par sse l2 é par. Com
efeito, apenas dois pares, ou dois ´ımpares, somam um par. Em resumo, temos o
Teorema 7. Toda a permuta¸cão σ ∈ Sn é produto de transposi¸cões.
A paridade do número de transposi¸cões de qualquer decomposi¸cão de σ num
produto de transposi¸cões é um invariante de σ.
Este teorema permite-nos definir rigorosamente o sinal de uma permuta¸cão σ.
Trata-se do valor +1 ou −1, conforme o invariante indicado acima. Ou seja,
sg(σ) = (−1) (3.5)
onde
= número de transposi¸cões numa decomposi¸cão de σ. (3.6)
A conhecida ‘regra dos sinais’ prova de imediato o seguinte
Teorema 8 (Bézout). Para quaisquer permuta¸cões σ, τ ∈ Sn,
sg(στ) = sg(σ)sg(τ). (3.7)
Em particular, sg(σ) = sg(σ−1
).
Para aplica¸cões futuras, com argumentos de tipo indutivo, convém reparar que
podemos escrever a união de subconjuntos disjuntos
Sn = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn (3.8)
onde
Si = {σ : σ(1) = i}. (3.9)
Cada um destes subconjuntos, grosso modo, identifica-se com Sn−1. Para deduzir
tal identifica¸cão, só temos de fixar nova numera¸cão dos objectos, suprimindo o 1 no
espa¸co de partida e o i no espa¸co de chegada.

3.1.2 Defini¸cão de determinante
Voltemos agora às matrizes. Define-se determinante de uma matriz quadrada
A = [aij] ∈ Mn,n como sendo o número real
det A =
σ∈Sn
sg(σ)a1σ1 a2σ2 · · · anσn . (3.10)
A nota¸cão refere σi = σ(i).
Vemos que aquele é um somatório com n! parcelas. De cada linha i apenas se
escolhe um aiσi
, em cada parcela.
A nota¸cão |A| = det A é também usual.
Por exemplo, para n = 2, temos
a b
c d
= ad − cb. (3.11)
A dedu¸cão da chamada regra de Sarrus e da respectiva regra mnemónica para
o determinante de ordem 3 é um bom exerc´ıcio para o leitor:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a31a12a23 + a13a21a32
− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.
(3.12)
3.1.3 Propriedades do determinante
Suponhamos que é dada a matriz A tal como acima.
Tendo em conta que podemos ordenar os factores em cada parcela de (3.10) pelo
´ındice de coluna, que sg(σ) = sg(σ−1
) e que o somatório sobre os σ ∈ Sn é o mesmo
que o somatório sobre os seus inversos, resulta
det A =
σ∈Sn
sg(σ)aσ−1
1 1aσ−1
2 2 · · · aσ−1
n n
=
σ−1=τ∈Sn
sg(τ)aτ11aτ22 · · · aτnn
=
τ∈Sn
sg(τ)aT
1τ1
aT
2τ2
· · · aT
nτn
= det AT
.
(3.13)
Provámos o
Teorema 9. Para qualquer matriz A, tem-se det A = det AT
.
Esta é a primeira das principais propriedades do determinante. Em sua virtude,
daqui em diante ‘tudo o que se diga’ sobre as linhas terá um equivalente sobre as
colunas.

Agora, uma pequena altera¸cão nas linhas de A podemos cometer sem muito
perturbar o seu determinante.
Sejam 1 ≤ i = j ≤ n. Se trocarmos as linhas i e j de A uma pela outra,
aparece-nos a matriz Ã, e da´ı decorrem as seguintes igualdades:
det Ã =
σ∈Sn
sg(σ)a1σ1 · · · ajσi
· · · aiσj
· · · anσn
=
σ∈Sn
sg(σ(ij))a1σ1 · · · ajσj
· · · aiσi
· · · anσn
= sg((ij))
σ∈Sn
sg(σ)a1σ1 · · · anσn = −det A.
(3.14)
Em particular, se as linhas i e j forem iguais, ou seja A = Ã, então
det A = 0. (3.15)
Escrevendo agora
A =



a11 · · · a1n
...
an1 · · · ann


 =





L1
L2
...
Ln





(3.16)
e logo
det A = det (L1, . . . , Ln), (3.17)
tem-se que o determinante é uma aplica¸cão multilinear nas linhas (e nas colunas).
Com efeito, para qualquer´ındice i, det é linear na linha i quando se fixam as outras
variáveis todas, ou seja, para quaisquer linhas Lj, j = 1, . . . , n, e ˜L e quaisquer
λ, µ ∈ R, det verifica
det (L1, . . . , λLi + µ˜L, . . . , Ln) =
λ det (L1, . . . , Li, . . . , Ln) + µ det (L1, . . . , ˜L, . . . , Ln).
(3.18)
Compare-se esta linearidade1
com aquela descrita em (2.36).
Demostremos (3.18). Suponhamos que a linha ˜L = (ã1, . . . , ãn). Como a linha
i da matriz do lado esquerdo é igual a (λai1 + µã1, . . . , λain + µãn), no cálculo do
determinante vem
σ∈Sn
sg(σ)a1σ1 · · · (λaiσi
+ µãσi
) · · · anσn
= λ
σ∈Sn
sg(σ)a1σ1 · · · aiσi
· · · anσn + µ
σ∈Sn
sg(σ)a1σ1 · · · ãσi
· · · anσn .
(3.19)
1
O conceito de aplica¸cão linear ou de aplica¸cão multilinear será formalizado no cap´ıtulo 4.

Usámos apenas as propriedades de distributividade e comutatividade de R. A
expressão a que se chegou é claramente aquela do lado direito de (3.18), como
quer´ıamos.
Vejamos um exemplo de aplica¸cão (como na teoria dos polinómios em várias
variáveis):
x2
1 x1x2 0
x1x3 x2
2x3 x3x4
x1x4 x2
2 0
= x2
1x2x3
1 1 0
1 x2 x4
x4 x2 0
=
= x2
1x2x3
1 0 0
1 x2 x4
x4 x2 0
+ x2
1x2x3
0 1 0
1 x2 x4
x4 x2 0
=
= x2
1x2x3(−x2x4 + x2
4) = x2
1x2x3x4(x4 − x2).
(3.20)
Para finalizar, reescrevendo (3.14) na nota¸cão anterior, verificou-se que o deter-
minante é uma aplica¸cão multilinear alternada ou anti-simétrica:
det (L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln) =
= − det (L1, . . . , Lj, . . . , Li, . . . , Ln).
(3.21)
Também se pode escrever (3.18) em dois passos. O respeito pela multiplica¸cão de
uma linha por um escalar:
det (L1, . . . , λLi, . . . , Ln) = λ det (L1, . . . , Li, . . . , Ln) (3.22)
e o respeito pela soma de duas linhas
det (L1, . . . , Li + ˜L, . . . , Ln) =
det (L1, . . . , Li, . . . , Ln) + det (L1, . . . , ˜L, . . . , Ln)
(3.23)
∀Li, ˜L ∈ Rn
, λ ∈ R.
3.1.4 Cálculo de determinantes
Pela defini¸cão, é trivial provar que
t11 t12 t13 · · · t1n
0 t22 t23 t2n
0 0 t33 · · · t3n
0 0
...
0 0 0 tnn
= t11t22 · · · tnn. (3.24)
E se a matriz dada for triangular inferior, o resultado é análogo.
Agora, o processo de condensa¸cão de uma qualquer matriz A ∈ Mnn conduz-nos
a uma matriz triangular. Observamos então que há uma forma prática de calcular
determinantes, tendo em conta as regras:

• se trocarmos duas linhas (ou colunas) diferentes, o determinante muda de
sinal
• se substituirmos uma linha por ela mesma adicionada de um múltiplo de outra
linha, o determinante não se altera
• se substituirmos uma coluna por ela mesma adicionada de um múltiplo de
outra coluna, o determinante não se altera.
Por exemplo,
1 2 3 4
0 1 −3 5
−1 3 −1 7
3 2 5 4
=
1 2 3 4
0 1 −3 5
0 5 2 11
0 −4 −4 −8
= −4
1 −3 5
5 2 11
1 1 2
=
= −4
1 −3 5
0 17 −14
0 4 −3
= −4
3 −14
1 −3
= −20.
(3.25)
A segunda igualdade resulta de apenas valerem σ ∈ S4 tais que σ(1) = 1. Na quarta
acontece o mesmo.
Teorema 10. Uma qualquer matriz A é invert´ıvel sse det A = 0.
De podermos usar a condensa¸cão sobre uma dada matriz para a levar a outra na
forma triangular, sem alterar o seu determinante ou caracter´ıstica, resulta que se
pode supôr desde já que A é triangular. Ora, algum dos ajj, j = 1, . . . , n da matriz
triangular (3.24) é nulo, ou seja, r(A) < n, sse det A = 0. Invocando o teorema 6,
vê-se que dele decorre o teorema anterior.
3.1.5 Regra do produto
Verificaremos primeiro que aplica¸cões multilineares2
alternadas
f : Rn
× · · · × Rn
−→ R
(v1, . . . , vn) −→ f(v1, . . . , vn),
(3.26)
tais como o determinante sobre as linhas ou colunas de uma matriz, existe essen-
cialmente uma.
Para prová-lo necessitamos da base canónica de Rn
, isto é, o conjunto de n
vectores
ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (3.27)
2
Recordamos que este conceito pode ser visto no cap´ıtulo 4.

com 1 na i-ésima entrada (cf. (2.50)).
Dizendo de outra forma,
1n =





1 0 · · · 0
0 1 0
... 0
0 0 · · · 1





=



e1
...
en


 . (3.28)
É evidente que qualquer vector de Rn
(o mesmo que uma matriz-linha) satisfaz
(x1, x2, . . . , xn) = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen =
n
j=1
xjej. (3.29)
Eis o resultado que refer´ıamos.
Teorema 11. Qualquer aplica¸cão multilinear alternada f sobre n vectores de Rn
verifica
f(A) = det (A) f(1n). (3.30)
Demonstra¸cão. Com efeito, por multilinearidade e por (3.29)
f(A) = f(L1, . . . , Ln)
= f
n
j1=1
a1j1 ej1 ,
n
j2=1
a2j2 ej2 , . . . ,
n
jn=1
anjn ejn
=
n
j1,j2,...,jn=1
a1j1 · · · anjn f(ej1 , . . . , ejn ).
(3.31)
Note-se que, por hipótese de f ser alternada, tal como em (3.15), resulta
f(ej1 , . . . , ejn ) = 0 (3.32)
no caso em que há dois jl iguais, l = 1, . . . , n, e resulta
f(ej1 , . . . , ejn ) = sg( 1 · · · n
j1 · · · jn
) f(e1, . . . , en) (3.33)
no caso em que todos os jl são diferentes.
Continuamos agora o cálculo inicial. Aparece a´ı então apenas o somatório sobre
as permuta¸cões de 1, . . . , n, ou seja
f(A) =
σ∈Sn
a1σ1 · · · anσn sg(σ) f(e1, . . . , en) = det A f(1n) (3.34)
visto que f(e1, . . . , en) = f(1n). Chegámos a (3.30), como quer´ıamos demonstrar.

Agora podemos provar um valioso teorema com a regra do produto para os
determinantes.
Teorema 12. Para quaisquer A, B ∈ Mnn, vem
det (AB) = det (A) det (B). (3.35)
Em particular, det (A−1
) = (det A)−1
.
Demonstra¸cão. Fixemos B e consideremos a fun¸cão sobre as matrizes A ∈ (Rn
)n
=
Mnn
f(A) = det (AB) = |AB| (3.36)
com valores reais. É trivial verificar que
f(A) = f(L1, . . . , Ln) =
L1B
...
LnB
(3.37)
e, logo, que f é multilinear e alternada: lembrar que (Li +λ˜L)B = LiB+λ˜LB, para
cada i e para quaisquer λ, Li, ˜L, e que a própria fun¸cão determinante tem aquelas
propriedades.
Então f está nas condi¸cões da hipótese do teorema 11, donde f(A) = |A| f(1n).
Como f(1n) = |1nB| = |B|, a fórmula anterior lê-se |AB| = |A||B|, como quer´ıamos
demonstrar.
Por outras palavras, o determinante do produto de duas quaisquer matrizes é o
produto dos determinantes.
Por exemplo, 


a b c
0 d e
0 0 f






x 0 0
y z 0
w s t


 = adfxzt, (3.38)
o que se tornou muito fácil de ver.
3.2 Regra de Laplace e aplica¸cões
3.2.1 Regra de Laplace
Suponhamos que é dada uma matriz A ∈ Mnn da qual queremos calcular o deter-
minante.
Repare-se agora na decomposi¸cão (3.8) e restringa-se o somatório sobre Sn na
defini¸cão (3.10) de determinante apenas ao subconjunto Sj = {σ ∈ Sn : σ1 = j},

com j ∈ {1, . . . , n} préviamente escolhido. Uma vez que σ1 = j está fixo, obtemos
σ∈Sj
sg(σ)a1σ1 · · · anσn =
= (−1)j−1
a1j
σ∈Sj
sg( 1 · · · j · · · n
σ2 · · · j · · · σn
)a2σ2 · · · anσn
= (−1)j−1
a1j|A(1,j)|.
(3.39)
Com efeito, o sinal da permuta¸cão σ ∈ Sj, multiplicado por (−1)j−1
, é o da mesma
permuta¸cão composta com j −1 trocas de j com σ2, σ3, etc, até σj, ou seja, j levado
de 1 até à posi¸cão j. Depois é imediato constatar que aparece o determinante da
matriz A(1,j), como se escreveu, a matriz sem linha 1 nem coluna j.
Em geral, define-se
A(i,j) =










a11 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1n
...
...
...
...
ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · · ai−1,n
ai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · · ai+1,n
...
...
...
...
an1 · · · an,j−1 an,j+1 · · · ann










. (3.40)
Passando o resultado anterior para um somatório sobre Sn = ∪n
j=1Sj, vem
σ∈Sn
=
σ∈S1
+ · · · +
σ∈Sn
(3.41)
e logo a regra de Laplace na primeira linha
|A| = a11|A(1,1)| − a12|A(1,2)|+
+ a13|A(1,3)| − · · · + (−1)n−1
a1n|A(1,n)|.
(3.42)
Dito de outra forma, |A| = j(−1)j−1
a1j|A(1,j)|.
Se quisermos fazer o mesmo cálculo mas a partir de outra linha, só temos de
puxar essa linha para o 1o
lugar de tal forma que tudo o resto permane¸ca na mesma
ordem, ou seja, trocando sucessivamente digamos a linha i com a linha i−1, depois,
esta, com a linha i − 2, etc, até ao primeiro lugar. É o mesmo que considerar as
matrizes A(i,j) e a alternância do sinal em (−1)i−1
, o que acrescentado ao sinal das
parcelas acima vai dar (−1)i−1
(−1)j−1
= (−1)i+j
.
Assim ficou provado o
Teorema 13 (regra de Laplace). Para qualquer ´ındice de linha i, tem-se
|A| =
n
j=1
(−1)i+j
aij|A(i,j)|. (3.43)

Esta regra é muito prática; permite calcular determinantes recursivamente sobre
a ordem n das matrizes.
Note-se que também existe uma regra de Laplace sobre as colunas. É simples:
na fórmula (3.43) fazemos o somatório em i em vez de j.
3.2.2 A matriz adjunta
Se na matriz A da seçcão anterior, uma matriz n por n qualquer, substituirmos a
linha i pela linha k = i, então já sabemos que o determinante é nulo (tem duas
linhas iguais). Pela regra de Laplace aplicada na linha i, obtemos então
0 =
n
j=1
(−1)i+j
akj|A(i,j)|. (3.44)
Como veremos, o número (−1)i+j
|A(i,j)| tem grande importância; designa-se por
complemento algébrico de aij.
À matriz adj A que tem entradas (j, i) iguais ao complemento algébrico de aij,
ou seja, a matriz transposta da matriz formada pelos complementos algébricos, ou
seja, ainda,
(adj A)ji = (−1)i+j
|A(i,j)|, (3.45)
dá-se o nome de matriz adjunta de A.
Já vimos que:
n
j=1
aij(adj A)ji = |A|,
n
j=1
akj(adj A)ji = 0 (3.46)
para k = i. Ora isto é equivalente a
A adj A = |A| 1n. (3.47)
Em particular, se A é invert´ıvel, então
A−1
=
1
|A|
adj A. (3.48)
Eis uma nova solu¸cão para o problema de calcular a inversa de uma matriz.
Exemplos:
1. A fórmula (3.48) permite demonstrar esse facto bel´ıssimo que é o de uma
matriz de coeficientes inteiros e determinante 1 ter inversa também com coe-
ficientes inteiros.
7 5
11 8
−1
=
8 −5
−11 7
(3.49)
é um exemplo, calculado pela dita fórmula.

2. Outro exemplo, com a matriz dada de determinante 56,



−5 2 3
0 1 3
2 4 2



−1
=
1
56











1 3
4 2
−
2 3
4 2
2 3
1 3
−
0 3
2 2
−5 3
2 2
−
−5 3
0 3
0 1
2 4
−
−5 2
2 4
−5 2
0 1











=
1
56



−10 8 3
6 −16 15
−2 24 −5



(3.50)
3.2.3 Regra de Cramer
Suponhamos que temos um sistema de n equa¸cões lineares, independentes, a n
incógnitas,
AX = B. (3.51)
Ou seja, de caracter´ıstica n. Logo com A invert´ıvel e logo com uma única solu¸cão.
Pelo exposto na seçcão 3.2.2,
X = A−1
B =
1
|A|
(adj A)B =
1
|A| j
(−1)i+j
|A(j,i)|bj (3.52)
ou seja
xi =
a11 · · · b1 · · · a1n
...
...
an1 · · · bn · · · ann
|A|
(3.53)
com B tomando o lugar da coluna i de A.
Esta é a chamada regra de Cramer para a resolu¸cão de sistemas poss´ıveis
determinados.
Por exemplo: sendo 


x + y + z = 2v
3x − y − z = 2 + v
x + y = 3
, (3.54)
a matriz ampliada do sistema em x, y, z vem a ser



1 1 1 | 2v
3 −1 −1 | 2 + v
1 1 0 | 3


 . (3.55)

Aplicando a regra de Cramer encontramos as solu¸c˜oes
x =
1
4
2v 1 1
2 + v −1 −1
3 1 0
=
1
4
2v 1 1
2 + 3v 0 0
3 1 0
=
3v + 2
4
, (3.56)
y =
1
4
1 2v 1
3 2 + v −1
1 3 0
=
−3v + 10
4
, (3.57)
z =
1
4
1 1 2v
3 −1 2 + v
1 1 3
=
1
4
0 0 2v − 3
3 −1 2 + v
1 1 3
=
8v − 12
4
. (3.58)

Cap´ıtulo 4
4.1 Espa¸cos vectoriais
4.1.1 Defini¸cões e exemplos
Por espa¸co vectorial sobre o corpo R entende-se um grupo abeliano (V, +)
no qual estão definidas, adicionalmente, opera¸cões de multiplica¸cão por escalar
para cada real α ∈ R,
α : V −→ V, v −→ αv, (4.1)
de tal modo que
α(v1 + v2) = αv1 + αv2 1v = v
(α1 + α2)v = α1v + α2v (αβ)v = α(βv)
(4.2)
∀v, v1, v2 ∈ V, α, α1, α2, β ∈ R.
Aos números reais chamamos escalares e aos elementos de V vectores. Repare-
se que estamos1
a generalizar os conceitos aprendidos em 2.3.1 a propósito do espa¸co
euclidiano Rn
.
Exemplos:
1. Rn
ou Mnm são espa¸cos vectoriais sobre R já bem conhecidos2
.
2. Para qualquer conjunto X e espa¸co vectorial V temos um novo espa¸co vec-
torial V X
= {f : X → V }. Este exemplo generaliza outro, referido como
exemplo de um anel em 1.2.2. Os vectores são as fun¸cões e a sua soma e
produto por escalar definem-se trivialmente.
1
Dev´ıamos ir mais longe e falar de espa¸cos vectoriais sobre um corpo qualquer. Significaria
que no lugar e no papel dos escalares reais ter´ıamos os elementos de um outro corpo unitário (cf.
seçcão 1.2.2). As aplica¸cões são inúmeras. Porém, note-se que ocorrem logo fenómenos peculiares
se a chamada caracter´ıstica ou torsão do corpo for não nula.
2
Observe-se a no¸cão de espa¸co vectorial ser tão simples, por não requerer a multiplica¸cão de
dois vectores à semelhan¸ca do espa¸co das matrizes.

3. Recordemos C∞
⊂ · · · ⊂ Ck+1
⊂ Ck
⊂ · · · C0
⊂ RI
onde Ck
é o espa¸co de
fun¸cões do intervalo I em R, k vezes diferenciáveis e com derivada de ordem
k cont´ınua. Todos estes são espa¸cos vectoriais sobre R. São muito grandes...
4. Um subconjunto U de um espa¸co vectorial V tal que
∀u1, u2 ∈ U, λ ∈ R =⇒ u1 + λu2 ∈ U (4.3)
diz-se um subespa¸co vectorial de V . Claro que, neste caso, U herda uma
estrutura de espa¸co vectorial sobre R.
Conceito central na teoria dos espa¸cos vectoriais é o seguinte. Dizemos que
v ∈ V é combina¸cão linear de vectores u1, . . . , um se existem escalares α1, . . . , αm
tais que v = i αiui. Note-se que só falamos de somas finitas.
Dado um subconjunto S ⊂ V , chamamos espa¸co vectorial gerado por S a
S = combina¸cões lineares de vectores de S . (4.4)
S é um subespa¸co vectorial de V .
Apresentemos agora a no¸cão de sistema de vectores linearmente independentes
(sli). Um conjunto, ou sistema, de vectores B = {uα}α∈I diz-se linearmente
independente se qualquer parte finita {u1, . . . , uk} ⊂ B for linearmente indepen-
dente no sentido que já conhec´ıamos de (2.38), ou seja, no sentido em que nenhum
ui, i = 1, . . . , k, é combina¸cão linear dos restantes, ou seja, ainda, se, supondo que
existem λi ∈ R,
λ1u1 + · · · + λkuk = 0 =⇒ λ1 = · · · = λk = 0. (4.5)
Em presen¸ca de um sli {uα}α∈I, não há duas formas de escrever a mesma com-
bina¸cão linear. Essencialmente, isto vale por v = i αiui = i ˜αiui implicar
i(αi − ˜αi)ui = 0. E logo αi − ˜αi = 0. Ou seja αi = ˜αi, ∀i.
Diz-se, no caso acima, que é uma escrita de forma única.
4.1.2 Bases e dimensão
Suponhamos que é dado um espa¸co vectorial V sobre R.
Um sli (sistema linearmente independente) B diz-se menor ( ) que o sli B se
∀u ∈ B , u é combina¸cão linear de vectores de B. (4.6)
Um sli B diz-se maximal se for maior que todos os outros: ∀B , B B. A
um sli maximal chamamos uma base de V .
Dizemos que V tem dimensão finita se V admite uma base finita.

Teorema 14. Se V tem dimensão finita, então todas as bases de V são finitas e
têm o mesmo número de vectores.
Demonstra¸cão. Seja B = {u1, . . . , un} a base finita e B1 outra base qualquer. Ora,
qualquer vector u na segunda base é combina¸cão linear de vectores da primeira,
porque B1 B. Portanto existem sempre escalares λ1, . . . , λn com os quais es-
crever u = j λjuj — escrita de forma única. Os vectores de B1 estão assim em
correspondência biúnivoca com vectores (λ1, . . . , λn) de Rn
. Estes têm de ser linear-
mente independentes, porque os u ∈ B1 o são. Mas não há mais do que n vectores
linearmente independentes em Rn
(cf. exemplo 4 da seçcão 2.3.2).
Chamamos dimensão de um espa¸co vectorial de dimensão finita V , denotada
dim V , ao número comum de vectores de qualquer base de V .
Dada uma base B ⊂ V de um espa¸co de dimensão qualquer, tem-se B = V ,
pois no caso contrário entrar´ıamos em contradi¸cão.
Assim, uma base de V é o mesmo que um sistema de vectores linearmente
independente que gera o espa¸co todo.
Muito importante é observar que, escolhida uma base, cada vector v ∈ V se
escreve de forma única como combina¸cão linear dos vectores da base.
Exemplos:
1. Os seguintes conjuntos são subespa¸cos vectoriais dos espa¸cos onde estão con-
tidos:
i) Ua = {(x, y, z) ∈ R3
: a2
(x + y) + z = 0, 3x + y = 0} verifica (4.3), tem
dimensão 1 e uma base {(1, −3, 2a2
)}.
ii) W = {A ∈ Mnn : a11 + 3a1n + an−1,1 − ann = 0} tem dimensão n2
− 1.
Trata-se do espa¸co de todas as matrizes n por n, sujeitas a uma única equa¸cão
linear.
iii) O subespa¸co vectorial de Mn,n das matrizes simétricas de ordem n tem
dimensão igual a n(n + 1)/2 (pense-se na área do triângulo pois só contam as
entradas de um lado triangular da matriz).
2. O conjunto Rn[x] = {polinómios em x de grau ≤ n} é um subespa¸co vecto-
rial real, de dimensão n + 1, do espa¸co de todos os polinómios. Este último
tem dimensão ∞ e é por sua vez subespa¸co de C∞
R . Uma base de Rn[x] é
1, x, x2
, . . . , xn
.
3. Um sistema AX = 0 como em (2.27), portanto um sistema homogéneo, com
A ∈ Mmn e X ∈ Rn
, dá origem a um subespa¸co vectorial: Nuc A = {X ∈ Rn
:
AX = 0} é subespa¸co vectorial devido à fórmula (2.36). A sua dimensão é
n−r(A) por que o sistema resolve a equa¸cão de dependência linear das colunas
de A e a caracter´ıstica de linha é igual à caracter´ıstica de coluna.

Repare-se que B B implica B ⊂ B , donde se diz também que uma base
é um conjunto minimal de geradores de V .
Sob certas condi¸cões da teoria dos conjuntos, pode-se provar que todo o espa¸co
vectorial admite uma base. Mesmo os de dimensão ∞.
4.1.3 Soma cartesiana e soma directa
Partindo de W, Z dois quaisquer espa¸cos vectoriais, falamos de espa¸co vectorial
produto ou de soma cartesiana de W e Z quando fazemos o produto cartesiano
W × Z e nele tomamos, para estrutura de espa¸co vectorial, a adi¸cão
(w1, z1) + (w2, z2) = (w1 + w2, z1 + z2) (4.7)
e multiplica¸cão por escalar
λ(w, z) = (λw, λz) (4.8)
∀w, w1, w2 ∈ W, z, z1, z2 ∈ Z, λ ∈ R. É fácil perceber que são satisfeitas as
condi¸cões (4.2).
Se W, Z têm dimensão finita, a dimensão do espa¸co vectorial produto é sempre
a soma das dimensões.
Exemplo:
1. Rn
= R × R · · · × R.
Sejam agora dados dois subespa¸cos vectoriais U, V de um mesmo espa¸co vectorial
W.
Chamamos soma de U e V ao subespa¸co
U + V = u + v : u ∈ U, v ∈ V . (4.9)
Trata-se de facto de um subespa¸co vectorial, como é fácil provar. Mais ainda
U, V ⊂ U + V . É evidente, pois u = u + 0, ∀u ∈ U.
Outra forma de obter um subespa¸co vectorial é pela interseçcão
U ∩ V (4.10)
dos subespa¸cos dados. Com efeito, é claro que a soma de vectores e produto por
escalar de u, v ∈ U ∩ V está tanto em U como em V , ou seja, em U ∩ V .
É claro que um subespa¸co vectorial U de um espa¸co de dim finita W tem ele
próprio dim finita. Basta come¸car num vector = 0 e ir procurando sli cada vez
maiores dentro do subespa¸co U até obter um sli maximal. O processo é finito por
estar majorado pela dimensão do espa¸co W.
Teorema 15. Se U, V têm dimensão finita, então
dim(U + V ) = dim U + dim V − dim(U ∩ V ). (4.11)
Em particular, U + V tem dimensão finita.

Demonstra¸cão. Come¸cemos com uma base {u1, . . . , up} de U ∩V , que prolongamos,
como acima, a uma base {u1, . . . , up, up+1, . . . , un} de U. Seja {v1, . . . , vm} uma
base de V . Então o conjunto {up+1, . . . , un, v1, . . . , vm} é um sistema de vectores
linearmente independentes, pois se fosse
λp+1up+1 + · · · + λnun + α1v1 + · · · + αmvm = 0
⇐⇒ λp+1up+1 + · · · + λnun = −α1v1 − · · · − αmvm
então este último vector estaria em U ∩ V , pelo que seria combina¸cão linear dos
u1 . . . , up. Mas sendo escrito só com os ui, com i > p, tem de ser 0. Então todos os
λi, αj são 0, como quer´ıamos.
É também fácil verificar que qualquer outro vector de U +V é combina¸cão linear
daqueles. Então está provado que {up+1, . . . , un, v1, . . . , vm} é uma base. O número
de vectores de tal base é n − p + m.
Finalmente, chamamos soma directa a U + V quando os dois subespa¸cos ver-
ificam U ∩ V = {0}. Denota-se por U ⊕ V . A dimensão desta é a soma das
dimensões.
4.2 Aplica¸cões lineares
4.2.1 Defini¸cões
Finalmente formalizamos o conceito já utilizado em duas ocasiões: em 2.3.1 como
caso particular e em (3.15) a propósito da propriedade do determinante de matrizes
ser uma aplica¸cão multilinear.
São dados dois espa¸cos vectoriais V e W.
Uma fun¸cão f : V → W diz-se uma aplica¸cão linear se
f(v + u) = f(v) + f(u) e f(λu) = λf(u) (4.12)
∀u, v ∈ V, λ ∈ R.
Assim, uma aplica¸cão linear é uma aplica¸cão que preserva as estruturas dos
espa¸cos vectoriais em causa. Em particular, tem-se o facto trivial: f(0) = f(0+0) =
0.
É trivial verificar que a imagem de uma aplica¸cão linear
Im f = f(V ) = f(v) : v ∈ V (4.13)
é um subespa¸co vectorial de W. Com efeito, f(u) + λf(v) = f(u + λv) também
está na imagem de f, quaisquer que sejam u, v, λ.
Também, dado um qualquer subespa¸co U ⊂ W, o conjunto imagem rec´ıproca
f∗
U = v ∈ V : f(v) ∈ U (4.14)

é um subespa¸co vectorial de V .
Em particular f∗
{0}, denotado
Nuc f = v ∈ V : f(v) = 0 , (4.15)
é um subespa¸co vectorial de V chamado núcleo de f.
Deixamos a demonstra¸cão do próximo resultado como um exerc´ıcio.
Teorema 16. Seja f : V → W uma aplica¸cão linear entre espa¸cos vectoriais.
Então:
i) f é injectiva sse Nuc f = {0}.
ii) f é injectiva sse f transforma vectores linearmente independentes em vectores
linearmente independentes.
iii) f é sobrejectiva sse o espa¸co gerado por f(B) é igual a W, ou seja f(B) = W,
para qualquer base B de V .
iv) f é bijectiva sse transforma uma base de V numa base de W.
Há nomes próprios para f linear e injectiva, sobrejectiva ou bijectiva. Diremos
então que f é, respectivamente, um monomorfismo, um epimorfismo ou um
isomorfismo.
Se V = W, então f : V → V diz-se um endomorfismo. Um isomorfismo
endomorfismo diz-se um automorfismo.
Prove-se, à parte, que a inversa de uma aplica¸cão linear bijectiva é uma aplica¸cão
linear.
O conjunto das aplica¸cões lineares de V para W denota-se por L(V, W).
É trivial mostrar que a soma ou a composi¸cão de duas aplica¸cões lineares é uma
aplica¸cão linear e que o mesmo acontece com o produto de uma aplica¸cão linear
por um escalar. Enfim, prova-se sem dificuldade o
Teorema 17. L(V, W) é um espa¸co vectorial sobre R. O espa¸co End (V ) :=
L(V, V ) dos endomorfismos de V é um anel e o subconjunto dos automorfismos
Aut(V ) = {isomorfismos de V para V } é um grupo.
Contudo, o resultado não é surpreendente: em dim finita há correspondência
entre aqueles espa¸cos e, respectivamente, o espa¸co vectorial das matrizes Mnm, o
anel das matrizes quadradas Mnn e o grupo das matrizes invert´ıveis.
4.2.2 Representa¸cão matricial
Sejam V, W espa¸cos vectoriais reais de dimensão finita n, m, respectivamente. Se-
jam B = {v1, . . . , vn}, ˜B = {w1, . . . , wm} bases fixadas em V, W, respectivamente.
Sejam
X =



x1
...
xn


 , B =



b1
...
bn


 (4.16)

a matriz dos coeficientes de um qualquer vector v ∈ V e, respectivamente, a matriz
dos coeficientes de um vector w0 ∈ W. Ou seja,
v =
n
i=1
xivi = v1 · · · vn



x1
...
xn


 , w0 =
m
j=1
bjwj = ˜B B (4.17)
Seja agora f : V → W uma aplica¸cão linear. Denotamos então
A = M(f, B, ˜B) (4.18)
a matriz definida da seguinte forma: como para cada 1 ≤ i ≤ n, o vector f(vi) se
escreve de forma única à custa dos vectores wj, 1 ≤ j ≤ m, existem escalares aji
tais que
f(vi) =
m
j=1
ajiwj. (4.19)
É óbvio que A = [aji] ∈ Mmn. A esta matriz damos o nome de matriz da
aplica¸cão linear f nas bases {vi}, {wj}.
Note-se bem que esta representa¸cão depende das bases.
Rec´ıprocamente, fixadas as bases, a cada matriz A ∈ Mmn corresponde uma
única aplica¸cão linear f. A linearidade, como condi¸cão, determina un´ıvocamente f
de tal forma que a sua representa¸cão em matriz é a matriz dada.
Exemplo:
1. Seja f : R2
→ R2[ξ] definida por
f(x, y) = 2xξ2
+ 3(x + y)ξ + 4x − y. (4.20)
Trata-se com efeito de uma aplica¸cão linear entre espa¸cos vectorias (cf. ex-
emplo 2 da seçcão 4.1.2). Considerando as bases canónicas daqueles espa¸cos,
de um lado B = {(1, 0), (0, 1)}, do outro ˜B = {ξ2
, ξ, 1}, temos
f(1, 0) = 2ξ2
+ 3ξ + 4, f(0, 1) = 3ξ − 1. (4.21)
Donde
M(f, B, ˜B) =



2 0
3 3
4 −1


 (4.22)
é a matriz de f nas bases escolhidas.
2. Consideremos a aplica¸cão identidade 1V : V → V . Podemos tomar a mesma
base no espa¸co de chegada — aliás é quase sempre assim que fazemos quando

tratamos de endomorfismos de um dado espa¸co. Tem-se logo 1V (vi) = vi,
∀1 ≤ i ≤ n, pelo que a representa¸cão matricial é
M(1V , B, B) = 1n (4.23)
como era de esperar.
Prova-se naturalmente, sem dificuldade, que a uma equa¸cão linear f(v) = w0
em v corresponde um e um só sistema linear AX = B:
f(v) = w0 ⇔
n
i=1
xif(vi) =
m
j=1
bjwj ⇔
⇔
m
j=1
n
i=1
xiajiwj =
m
j=1
bjwj ⇔
⇔
n
i=1
ajixi = bj, ∀j ⇔ AX = B.
(4.24)
Prova-se ainda que o conjunto solu¸cão Cw0 = {v : f(v) = w0} é igual a
v0 + Nuc f, onde v0 é uma solu¸cão particular, isto é, f(v0) = w0. De facto, v ∈ Cw0
sse f(v − v0) = w0 − w0 = 0.
Como já foi certamente observado no teorema 16, a dimensão da imagem de
f está relacionada com o maior sli contido na imagem, em W, dos vectores de
uma base de V . Ou seja, é exactamente a caracter´ıstica da matriz A. Mais ainda,
conclui-se que o grau de indetermina¸cão n − r(A) do sistema acima é a dimensão
do núcleo de f. Uma vez que n = n − r(A) + r(A), está provado o
Teorema 18. dim V = dim Nuc f + dim Im f.
É um resultado relevante pois não depende da escolha das bases.
Nesta teoria acresce dizer que segue sem demonstra¸cão a identidade
M(f + λg, B, ˜B) = M(f, B, ˜B) + λM(g, B, ˜B) (4.25)
∀f, g ∈ L(V, W), λ ∈ R.
4.2.3 Composi¸cão vs produto
Sejam V, W, U espa¸cos vectoriais reais de dimensão finita n, m, p, respectivamente.
Sejam B = {v1, . . . , vn}, ˜B = {w1, . . . , wm}, B = {u1, . . . , up} bases fixadas em
V, W, U, respectivamente.
Suponhamos que são dadas aplica¸cões lineares
V
f
−→ W
g
−→ U. (4.26)

Uma vez que g◦f também é uma aplica¸cão linear, põe-se a questão de relacionar
as matrizes
A = M(f, B, ˜B), B = M(g, ˜B, B ) (4.27)
com a matriz C = M(g ◦ f, B, B ).
Por defini¸cão, analogamente com (4.19), isto é, f(vi) = m
j=1 ajiwj, tem-se
g(wj) =
p
k=1
bkjuk, g ◦ f (vi) =
p
k=1
ckiuk. (4.28)
Mas uma vez que
g ◦ f (vi) = g
m
j=1
ajiwj =
m
j=1
ajig(wj) =
=
m
j=1
p
k=1
ajibkjuk =
p
k=1
m
j=1
bkjajiuk
(4.29)
obtém-se afinal
C = BA. (4.30)
Repare-se que A ∈ Mmn, B ∈ Mpm, pelo que o resultado C = BA ∈ Mpn faz
pleno sentido.
Está descoberta a natureza geométrica do produto de matrizes. Toda a teoria
estudada nos cap´ıtulos anteriores passou a fazer parte de um todo coerente.
Recordemos agora a aplica¸cão identidade 1V : V → V e representêmo-la numa
dada base B = {vi} de V como a matriz M(1V , B, B) = 1n. Pela lei demonstrada da
‘composi¸cão vs produto’, deduz-se logo que a matriz da inversa de um isomorfismo
f : V → W, nas mesmas bases acima, verifica
M(f−1
, ˜B, B) = (M(f, B, ˜B))
−1
. (4.31)
Repare-se que se mudarmos para a base B1 do mesmo espa¸co V temos uma
matriz quadrada
P = M(1V , B, B1) = (M(1V , B1, B))−1
(4.32)
(a qual não tem nada que ser a matriz identidade). Uma tal matriz P chama-se
uma matriz de mudan¸ca de base.
Vejamos como se transforma em geral a matriz de uma aplica¸cão linear qualquer
como a f : V → W inicial. Suponhamos que, além da mudan¸ca de bases em V ,
descrita por P, temos a mudan¸ca de bases ˜B para ˜B1 em W, descrita pela matriz
Q = M(1W , ˜B1, ˜B). Sendo A1 = M(f, B1, ˜B1), resulta de se ter f = 1W ◦ f ◦ 1V , de
(4.27) e de (4.30) que
A = QA1P. (4.33)

Em particular, se f : V → V é um endomorfismo e usamos a mesma base dos
dois lados, uma mudan¸ca de bases, de ambos os lados, descrita por P, produz o
efeito A = P−1
A1P.
Exemplos:
1. Consideremos o exemplo 1 da seçcão 4.2.2 e, em W = R2[ξ], mudemos da
base ˜B = {ξ2
, ξ, 1} para a base ˜B1 = {(ξ + 2)2
, (ξ + 2), 1}. Imediatamente
calculamos
ξ2
= (ξ + 2)2
− 4(ξ + 2) + 4
ξ = (ξ + 2) − 2
1 = 1
(4.34)
pelo que
Q = M(1W , ˜B, ˜B1) =



1 0 0
−4 1 0
4 −2 1


 . (4.35)
Logo
M(f, B, ˜B1) = Q



2 0
3 3
4 −1


 =



2 0
−5 3
6 −7


 . (4.36)
Podemos usar este resultado para escrever3
f na nova base:
f(x, y) = 2x(ξ + 2)2
+ (−5x + 3y)(ξ + 2) + 6x − 7y. (4.37)
Lembrar que também as matrizes, fixadas as bases, determinam un´ıvocamente
as aplica¸cões lineares.
2. Como exemplo de aplica¸cão, temos que se pode definir o determinante de
um endomorfismo f : V → V . Basta escrever
det f = det (M(f, B, B)). (4.38)
É trivial provar, por (4.32) e (4.33), que (4.38) não depende da escolha da
base. Por exemplo, se f(v) = κv, então det f = κn
.
4.2.4 Valores e vectores próprios
Suponhamos que é dado um endomorfismo f : V → V de um espa¸co vectorial V
sobre R. Interessa-nos encontrar as direçcões em V , socorrendo-nos aqui de uma
3 É o desenvolvimento de Taylor do polinómio em ξ em torno de −2.

linguagem geométrica, sobre as quais a imagem de f se expande ou se contrai. Ou
seja, interessam as direçcões não nulas u ∈ V tais que
f(u) = λ0u (4.39)
para algum λ0 ∈ R. Um vector como u chama-se um vector próprio de f asso-
ciado ao valor próprio λ0.
Assumamos que V tem dimensão finita n e que uma sua base foi préviamente
escolhida. É claro que a equa¸cão f(u) − λu = 0 tem solu¸cões em u, λ, u = 0, sse o
sistema homogéneo (A − λ1n)X = 0 é poss´ıvel indeterminado, quando representa-
mos por A a matriz de f (veja-se (4.24)).
Escrevendo o polinómio caracter´ıstico de A,
pA(λ) = det (A − λ1n), (4.40)
diz´ıamos que o sistema tem solu¸cão (u, λ0) sse λ0 é uma ra´ız de pA, ou seja,
λ0 é valor próprio de A ⇐⇒ pA(λ0) = 0. (4.41)
Com efeito, se aquele determinante é nulo, a matriz A − λ01n tem caracter´ıstica
< n e logo o sistema tem solu¸cões u ∈ V não nulas. E rec´ıprocamente.
Prova-se, reflectindo um pouco sobre as defini¸cões, que pA é de facto um polinómio
em λ, que o seu grau é n, que o coeficiente do termo λn
é (−1)n
e que o termo in-
dependente é |A|.
Exemplo:
1. Seja f(x, y) = (2x, 3x − y) de R2
para si mesmo. A sua matriz na base
canónica (1, 0), (0, 1) e o respectivo polinómio caracter´ıstico são
A =
2 0
3 −1
, pA =
2 − λ 0
3 −1 − λ
= (λ − 2)(λ + 1). (4.42)
Então os valores próprios são 2 e −1. Os vectores próprios associados resultam
de resolver, por exemplo, f(x, y) = 2(x, y). Isto é equivalente a (2x, 3x−y)−
2(x, y) = 0, ou ainda x = y. Segue portanto que os vectores em U2 = {(y, y) :
y ∈ R} = (1, 1) são associados ao valor próprio 2. Fazendo o mesmo para
−1, vê-se logo que o respectivo subespa¸co próprio é U−1 = (0, 1) .
Dissemos bem no exemplo anterior. Prova-se sem dificuldade que o subespa¸co
próprio de V associado ao valor próprio λ0 de f,
Uλ0 = u ∈ V : f(u) = λ0u , (4.43)
é um subespa¸co vectorial. A sua dimensão é a multiplicidade geométrica de λ0.
Esta distingue-se da multiplicidade algébrica de λ0, que é a multiplicidade do
valor próprio λ0 como ra´ız de pA.

Há, no máximo, tantas direçcões próprias linearmente independentes dentro de
Uλ0 quanto a multiplicidade algébrica de λ0. Ou seja,
m.g. λ0 ≤ m.a. λ0. (4.44)
O caso da matriz
3 3
0 3
mostra-nos o problema que está em procurar uma
base de vectores próprios. No exemplo vertente, de valor próprio 3, 1 = m.g. 3 ≤
m.a. 3 = 2.
Seguramente para valores próprios distintos há independência linear, como diz
o
Teorema 19. Vectores próprios u1, . . . , uk ∈ V de uma aplica¸cão linear f associ-
ados a valores próprios distintos λ1, . . . , λk, respectivamente, formam um sistema
de vectores linearmente independente.
Demonstra¸cão. Por indu¸cão em k. Sendo o resultado claro para k = 1, admitamo-
lo como válido para k e provêmo-lo para k + 1. Podemos já supôr λk+1 = 0.
Suponhamos, por absurdo, que existem escalares α1, . . . , αk tais que
uk+1 = α1u1 + · · · + αkuk.
Aplicando então f de ambos os lados temos, por defini¸cão e por linearidade,
λk+1uk+1 = λ1α1u1 + · · · + λkαkuk.
Ou seja, igualando a uk+1, temos
α1u1 + · · · + αkuk =
λ1α1
λk+1
u1 + · · · +
λkαk
λk+1
uk.
Agora, para vectores linearmente independentes, há unicidade da escrita de uma
combina¸cão linear. Usando a hipótese de indu¸cão, só podemos ter então λi
λk+1
=
1, ∀1 ≤ i ≤ k. Mas isto contradiz o facto de os λi serem todos distintos.
Outra forma de enunciar o teorema é simplesmente dizer que os diferentes sube-
spa¸cos vectoriais próprios
Uλ1 ⊕ · · · ⊕ Uλk
(4.45)
estão em soma directa.
4.2.5 Matrizes semelhantes
Duas matrizes quadradas A, A1 de ordem n dizem-se semelhantes se existe uma
matriz invert´ıvel P de ordem n tal que
A1 = PAP−1
. (4.46)

Trata-se de uma rela¸cão de equivalência entre matrizes, cf. 1.1.2. Por exemplo,
a propriedade de transitividade resulta de
A = PA1P−1
& A1 = QA2Q−1
(4.47)
implicar
A = PQA2Q−1
P−1
= (PQ)A2(PQ)−1
. (4.48)
A reflexividade e simetria são ainda mais simples de ver.
Já vimos que são semelhantes as várias matrizes M(f, B, B) de um endomorfismo
f representadas nas diferentes bases B de um mesmo espa¸co vectorial.
Pela mesma razão de representarem endomorfismos e de os vectores próprios
destes serem independentes da base fixada, o polinómio caracter´ıstico de matrizes
semelhantes não se altera:
pA(λ) = pA1 (λ). (4.49)
Mas pode e deve-se verificar este facto directamente da defini¸cão de pA1 .
Uma matriz diz-se diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal.
Podemos agora afirmar sintéticamente que um endomorfismo admite uma base
de vectores próprios sse a sua representa¸cão matricial é diagonalizável.
A melhor aproxima¸cão ao problema de diagonaliza¸cão de uma matriz é dada,
grosso modo, pelo teorema da forma canónica de Jordan, que estudaremos mais
tarde.
Para finalizar, lembramos que há invariantes numéricos da classe de equivalência
por semelhan¸ca de cada matriz. O primeiro, já visto no exemplo 2 de 4.2.3, é o
determinante.
O mesmo se passa com o tra¸co de uma matriz. Chamamos tra¸co de A à soma
das entradas da diagonal principal.
Tr : Mn,n −→ R, Tr A =
n
i=1
aii (4.50)
é uma aplica¸cão linear à qual acresce a propriedade
Tr (AB) = Tr (BA) (4.51)
para quaisquer matrizes A, B ∈ Mn,n.
Donde Tr A1 = Tr (PAP−1
) = Tr (P−1
PA) = Tr A para matrizes semelhantes.

Cap´ıtulo 5
5.1 Geometria do Espa¸co Euclidiano
5.1.1 Produto interno euclidiano
No espa¸co euclidiano Rn
, os problemas métricos, étimo de problemas de medi¸cão, são
entendidos como aqueles que envolvem questões sobre o produto interno euclidiano.
Trata-se de um conceito matemático que joga o papel da régua e do compasso, ou
seja, dos instrumentos de medida de distâncias e ângulos. Assim será também
em geral, como veremos mais tarde, em qualquer espa¸co vectorial munido de um
dispositivo em tudo semelhante e ainda designado de produto interno.
Comecemos pela presente situa¸cão.
O produto interno euclidiano consiste na fun¸cão1
Rn
× Rn
−→ R, (u, v) −→ u, v =
n
i=1
xiyi (5.1)
onde se admite u = (x1, . . . , xn), v = (y1, . . . , yn).
É imediato constatar que o produto interno é uma aplica¸cão bilinear, ou seja, lin-
ear em u quando se fixa v e vice-versa. Basta aliás verificá-lo de um lado, porque tem
a propriedade adicional de ser simétrico. Assim, ∀u, u1, u2, v, v1, v2 ∈ Rn
, λ, µ ∈ R,
u1 + λu2, v1 + µv2 = u1, v1 + µv2 + λ u2, v1 + µv2 =
= u1, v1 + µ u1, v2 + λ u2, v1 + λµ u2, v2 ,
u, v = v, u .
(5.2)
Verifica-se também que u, u ≥ 0, com igualdade sse u = 0.
Posto isto, pode-se definir a norma de um vector, associada ao produto interno
euclidiano, como sendo
u = u, u = x2
1 + · · · + x2
n. (5.3)
1
Roga-se ao leitor o cuidado de não confundir os parênteses do p.i. com os de subespa¸co gerado.

O leitor, numa primeira abordagem, poderá aqui reconhecer formalmente o teorema
de Pitágoras.
O produto interno euclidiano respeita mesmo a decomposi¸cão de Rn
como soma
directa Rn1
⊕ Rn2
, onde n = n1 + n2, de espa¸cos com produto interno. É imediato
provar pela defini¸cão, em sentido dos ´ındices fácil de entender, que se tem
u, v n = u1, v1 n1 + u2, v2 n2 (5.4)
onde u = u1 + u2 e v = v1 + v2 representa a decomposi¸cão, única, na soma directa.
Daqui segue de facto o teorema de Pitágoras, mas vê-lo-emos adiante noutra forma,
mais geral.
Como exemplo a destacar, calculemos o produto interno de alguns pares de
vectores em Rn
. Seja ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), i = 1, . . . , n, a base canónica;
então
ei, ei = 02
+ · · · + 02
+ 12
+ 02
+ · · · + 02
= 1
ei, ej = 02
+ · · · + 0.1 + · · · + 1.0 + · · · + 02
= 0
(5.5)
para i = j.
A norma euclidiana obedece à desigualdade de Cauchy
| u, v | ≤ u v , com igualdade sse u, v são colineares. (5.6)
A demonstra¸cão pode ser feita por indu¸cão ou pela análise do binómio descriminante
da parábola u+λv, u+λv em λ, a qual como já vimos está sempre acima do eixo
dos λ’s.
Repare-se agora nas propriedades, fáceis de provar, para todos os vectores e
escalares,
λu = |λ| u , u + v ≤ u + v . (5.7)
A segunda chama-se desigualdade triangular.
A desigualdade de Cauchy permite definir o ângulo entre dois vectores
(u, v) = arccos
u, v
u v
(5.8)
com a determina¸cão de arccos, e.g., entre 0 e π.
5.1.2 Ortogonalidade
Seja U ⊂ Rn
um subconjunto qualquer, não vazio. Define-se o ortogonal de U
como o subconjunto
U⊥
= v ∈ Rn
: u, v = 0, ∀u ∈ U . (5.9)
Tem-se que U⊥
é sempre um subespa¸co vectorial.

Por linearidade, é evidente que U⊥
aparece como espa¸co solu¸cão do sistema
homogéneo em v = (x1, . . . , xn) de, digamos, k equa¸cões lineares:
u1, v = 0, u2, v = 0, . . . , uk, v = 0 (5.10)
onde u1, . . . , uk é um sistema de vectores linearmente independente maximal dentro
de U, ou seja, uma base de U (subespa¸co gerado por U). Logo dim U⊥
= n − k.
Como U⊥
∩ U = {0}, está provado o
Teorema 20. Para qualquer subconjunto U do espa¸co euclidiano, temos a decom-
posi¸cão em soma directa
Rn
= U⊥
⊕ U . (5.11)
Em particular, dim U⊥
= n − dim U .
Seja V um subespa¸co vectorial; de modo que Rn
= V ⊕ V ⊥
.
Podemos definir aplica¸cões lineares π : Rn
→ V e π⊥
: Rn
→ V ⊥
dadas pela
decomposi¸cão única, ∀w ∈ Rn
, w = w1 + w2 com w1 ∈ V, w2 ∈ V ⊥
: escrevemos
então π(w) = w1, π⊥
(w) = w2. Têm-se então as rela¸cões:
1Rn = π + π⊥
, π ◦ π⊥
= 0, π⊥
◦ π = 0,
π ◦ π = π π⊥
◦ π⊥
= π⊥
, ker π = V ⊥
ker π⊥
= V.
(5.12)
π e π⊥
são de facto lineares e chamam-se projeçcões ortogonais.
Repare-se que a sucessão de aplica¸cões lineares
0 −→ V ⊥ ι
−→ Rn π
−→ V −→ 0 (5.13)
com ι a aplica¸cão de inclusão, ι(w) = w, verifica em cada espa¸co que a imagem da
aplica¸cão anterior é igual ao núcleo da seguinte.
É claro que {0}⊥
= Rn
, Rn⊥
= {0}. Mais cuidado é preciso ter em verificar que
(U⊥
)⊥
= U . (5.14)
Em particular, para um subespa¸co vectorial V ⊂ Rn
, tem-se (V ⊥
)⊥
= V . (É pela
dedu¸cão da dimensão, vista no teorema acima, que se afirma a inclusão do ortogonal
do ortogonal em V .)
Por exemplo em R2
, o ortogonal ao vector (a, b), suposto = 0, é a recta gerada
por (−b, a).
Em R3
, o ortogonal a (a, b, c), suposto = 0, é o plano (dim 2) gerado pelo
sistema de vectores linearmente dependente (−b, a, 0), (−c, 0, a), (0, c, −b). Com
efeito, todos os três vectores são ortogonais a (a, b, c), como se vê por exemplo no
caso do primeiro, (−b, a, 0), (a, b, c) = −ba + ab + 0c = 0, e tem-se a combina¸cão
linear −c(−b, a, 0)+b(−c, 0, a)+a(0, c, −b) = 0, donde apenas dois em três daqueles
vectores são linearmente independentes.

Escrevemos agora duas identidades cuja verifica¸cão é um exerc´ıcio. Primeiro, a
do paralelogramo
u + v 2
+ u − v 2
= 2 u 2
+ 2 v 2
(5.15)
e, segundo, a identidade de Pitágoras generalizada: se u ⊥ v, ou seja, u, v = 0,
então
u + v 2
= u 2
+ v 2
. (5.16)
Muitos problemas surgem em geometria euclidiana dos subespa¸cos de Rn
para
os quais certas bases são mais indicadas que outras.
Dizemos, para come¸car, que um vector u é unitário ou normado se u = 1.
Define-se base ortonormada como uma base {u1, . . . , un} do espa¸co euclidiano
formada de vectores unitários e ortogonais entre si. Ou seja,
uα, uβ = δαβ =
1 se α = β
0 se α = β
(5.17)
Os δαβ são chamados de s´ımbolos de Kronecker e correspondem às entradas
da matriz 1n.
Exemplos:
1. A célebre base canónica de Rn
é uma base ortonormada, cf. (5.5).
2. Seja U o subespa¸co vectorial de R4
gerado por u1 = (1, 2, 3, 0) e u2 =
(2, 1, 4, −1). Portanto U = {λ1u1 + λ2u2 : λ1, λ2 ∈ R}. É fácil ver que
os dois geradores são linearmente independentes, ie. formam uma base de U.
A projeçcão de u2 sobre a recta ortogonal a u1 dentro de U é u2 = u2 − v
onde v = u1, u2
u1
u1
2 . Com efeito,
u1, u2 = u1, u2 − u1, u2
u1, u1
u1
2
= 0
e, por outro lado, u2 = u2 + v com v sobre o eixo u1. Então
˜u1 =
u1
u1
=
1
√
14
(1, 2, 3, 0) e ˜u2 =
u2
u2
=
1
√
182
(6, −9, 4, −7) (5.18)
formam outra base de U, desta feita uma base ortonormada: ˜ui, ˜uj = δij,
i, j = 1, 2.
Agora, U⊥
é dado pelos vectores (x, y, z, w) solu¸cão de
x + 2y + 3z = 0
2x + y + 4z − w = 0
. (5.19)

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