Intro teoria dos numerros cap8

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Intro teoria dos numerros cap8

  1. 1. 8 O Teorema Fundamental da Aritm¶etica Vimos, no cap¶³tulo 5, o teorema 5.1, que estabelece que os primos positivos s~ao os blocos usados para construir, atrav¶es de produtos, todos os inteiros positivos maiores que 1. Mais precisamente, o teorema 5.1 estabelece que Todo inteiro positivo, maior que 1, ou ¶e um n¶umero primo ou ¶e um produto de inteiros positivos todos primos. Neste cap¶³tulo estabeleceremos ainda que essa decomposi»c~ao, em fatores primos positivos, ¶e ¶unica, a menos da ordem dos fatores. Daremos ainda caracteriza»c~oes do m¶aximo divisor comum e do m¶³nimo m¶ultiplo comum de dois inteiros, a partir das decomposi»c~oes, desses inteiros, em fatores primos positivos. Teorema 8.1 (Teorema Fundamental da Aritm¶etica) Todo inteiro n, n ¸ 2, pode ser escrito na forma m = p1 ¢¢ ¢ ¢ ¢ps, para certos primos positivos p1; : : : ; ps, com s ¸ 1 e p1 · : : : · ps. Al¶em disso, os fatores primos p1; : : : ; ps, satisfazendo as condi»c~oes acima, s~ao ¶unicos, isto ¶e, se q1; : : : ; qr s~ao tamb¶em primos positivos com q1 · : : : · qr e n = q1 ¢ ¢ ¢ qs, ent~ao n = s e, al¶em disso, p1 = q1; : : : ; pn = qn. Exempli¯cando o teorema fundamental da aritm¶etica, temos as seguintes fato- ra»c~oes de inteiros, com os fatores primos escritos em ordem n~ao decrescente: 342 = 2 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 19 = 2 ¢ 32 ¢ 19 3888 = 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 3 = 24 ¢ 35 10100 = 2 ¢ 2 ¢ 5 ¢ 5 ¢ 101 = 22 ¢ 52 ¢ 101: 65
  2. 2. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 66 A exist^encia da decomposi»c~ao de n, n ¸ 2, em fatores primos, j¶a foi estabelecida pelo teorema 5.1, cap¶³tulo 5. Para completar a demonstra»c~ao do teorema 8.1, resta demonstrar que a decom- posi»c~ao de n, em fatores primos, nas condi»c~oes enunciadas pelo teorema, ¶e ¶unica. Para tal, a seguinte proposi»c~ao, j¶a enunciada e demonstrada no cap¶³tulo 6, ¶e usada como pr¶e-requisito preliminar. Proposi»c~ao 6.4 Sejam a, b e p inteiros, com p primo. Se p j ab ent~ao p j a ou p j b (podendo ser fator de ambos, a e b). Como corol¶ario da proposi»c~ao 6.4, temos o seguinte lema. Lema 8.1 Sejam p; a1; : : : ; an n¶umeros inteiros com n ¸ 2 e p primo. Se p j (a1a2 ¢ ¢ ¢ an) ent~ao p j ai para algum ¶³ndice i, i 2 f1; 2; : : : ; ng. Demonstra»c~ao por indu»c~ao sobre n. Para n = 2, o corol¶ario ¶e verdadeiro, pela proposi»c~ao 6.4. Seja k um inteiro, com k ¸ 2, e suponhamos que a a¯rma»c~ao do corol¶ario seja verdadeira para n = k, isto ¶e, suponhamos que se p ¶e primo, e p divide um produto de k n¶umeros inteiros, ent~ao p divide ao menos um dos fatores. Consideremos ent~ao um produto de k + 1 inteiros a1a2 ¢ ¢ ¢ akak+1 e suponhamos que p j (a1a2 ¢ ¢ ¢ akak+1). Ent~ao p j (a1a2 ¢ ¢ ¢ ak)ak+1. Pela proposi»c~ao 6.4, p j (a1a2 ¢ ¢ ¢ ak) ou p j ak+1. Logo, p j aj para algum j 2 f1; : : : ; kg (pela hip¶otese de indu»c~ao) ou p j ak+1, e assim a propriedade enunciada tamb¶em se aplica ao produto de k + 1 inteiros. Pelo primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, o lema est¶a demonstrado. Finaliza»c~ao da demonstra»c~ao do Teorema Fundamental da Aritm¶etica. Demonstra»c~ao da unicidade na fatora»c~ao de n, n ¸ 2. Suponhamos que existe um inteiro positivo n, n ¸ 2, que se escreve como produto de fatores primos positivos de duas maneiras diferentes, isto ¶e, suponhamos n = p1p2 ¢ ¢ ¢ ps = q1q2 ¢ ¢ ¢ qr sendo p1; p2; : : : ; pr; q1; q2; : : : ; qs primos positivos, com p1 · p2 · ¢ ¢ ¢ · pr e q1 · q2 · ¢ ¢ ¢ · qs. Cancelando os fatores primos que aparecem em ambos os lados da igualdade p1p2 ¢ ¢ ¢ ps = q1q2 ¢ ¢ ¢ qr, como as duas fatora»c~oes de n s~ao supostamente distintas, chegaremos a uma igualdade pi1 pi2 ¢ ¢ ¢ piu = qj1 qj2 ¢ ¢ ¢ qjv com u ¸ 1 e v ¸ 1, na qual cada um dos primos do lado esquerdo ¶e diferente de cada um dos primos do lado direito, ou seja, os membros µa esquerda e µa direita n~ao tem mais fatores primos comuns.
  3. 3. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 67 Assim sendo, temos que pi1 divide o produto qj1 qj2 ¢ ¢ ¢ qjv . Pelo lema 8.1, temos que pi1 divide um dos fatores qj1 , qj2 , : : : , qjv , o que ¶e imposs¶³vel, visto que cada um desses fatores ¶e primo e diferente de pi1 . Portanto, a fatora»c~ao de n em primos positivos ¶e ¶unica. Corol¶ario 8.1 Para cada inteiro n, com n ¸ 2, existem primos positivos p1, : : : , ps, com s ¸ 1 e p1 < : : : < ps se s ¸ 2, e inteiros positivos ®1; : : : ; ®s tal que n = p1 ®1 ¢ ¢ ¢ ps ®s . Tal representa»c~ao de n ¶e ¶unica. Demonstra»c~ao. Pelo teorema fundamental da aritm¶etica, n ¶e um produto de fatores primos, q1 ¢ ¢ ¢ qr, com q1 · : : : · qr (r ¸ 1). Agrupando-se os fatores primos repetidos na forma de pot^encias de primos, temos a representa»c~ao enunciada neste corol¶ario. Ademais, pelo teorema fundamental da aritm¶etica, tal representa»c~ao ¶e ¶unica. Proposi»c~ao 8.1 Seja m um inteiro, m = p®1 1 ¢ ¢ ¢ p®n n , com n ¸ 1 e p1; : : : ; pn primos positivos com p1 < : : : < pn se n ¸ 2 e ®1; : : : ; ®n inteiros positivos. Ent~ao cada inteiro a, divisor de m, ¶e da forma a = p¯1 1 ¢ ¢ ¢ p¯n n com ¯1; : : : ; ¯n inteiros satisfazendo 0 · ¯1 · ®1; : : : ; 0 · ¯n · ®n. Demonstra»c~ao. Se a j m, ent~ao m = a ¢ c para um certo inteiro positivo c. Assim, os eventuais fatores primos de a (eventuais, pois podemos ter a = 1) s~ao fatores primos de m. Ou seja, o conjunto de fatores primos de a ¶e um subconjunto dos fatores primos de m. Assim sendo, a = p¯1 1 ¢ ¢ ¢ p¯n n para certos inteiros n~ao negativos ¯1; : : : ; ¯n (onde teremos ¯j = 0 se pj n~ao for fator de a). Claramente, para cada ¶³ndice j, teremos ¯j · ®j, pois como p®1 1 ¢ ¢ ¢ p®n n = p¯1 1 ¢ ¢ ¢ p¯n n ¢c, se ®j < ¯j para algum¶³ndice j, teremos uma contradi»c~ao ao teorema fundamental da aritm¶etica. A proposi»c~ao 8.1 nos prov^e um meio de encontrar todos os divisores positivos de um inteiro m, m ¸ 2, a partir da fatora»c~ao de m em primos positivos. Por exemplo, os divisores positivos de 120 = 23 ¢ 3 ¢ 5 s~ao os inteiros positivos cujas fatora»c~oes possuem somente pot^encias dos primos 2, 3 e 5, com expoentes menores que ou iguais a 3, 1 e 1, respectivamente. Os divisores de 120 s~ao portanto 1 3 5 3 ¢ 5 = 15 2 2 ¢ 3 = 6 2 ¢ 5 = 10 2 ¢ 3 ¢ 5 = 30 22 = 4 22 ¢ 3 = 12 22 ¢ 5 = 20 22 ¢ 3 ¢ 5 = 60 23 = 8 23 ¢ 3 = 24 23 ¢ 5 = 40 23 ¢ 3 ¢ 5 = 120
  4. 4. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 68 Proposi»c~ao 8.2 Sejam a e b dois inteiros positivos. Ent~ao existem primos positivos p1; : : : ; pn, com n ¸ 1, sendo p1 < : : : < pn se n ¸ 2, e inteiros n~ao negativos ®1; : : : ; ®n, ¯1; : : : ; ¯n, tais que a = p®1 1 ¢ ¢ ¢ p®n n e b = p¯1 1 ¢ ¢ ¢ p¯n n E a partir destas representa»c~oes de a e b, teremos mdc(a; b) = p°1 1 ¢ ¢ ¢ p°n n sendo, para cada ¶³ndice i, °i = minf®i; ¯ig. Demonstra»c~ao. A demonstra»c~ao desta proposi»c~ao, que ¶e conseqÄu^encia da de¯ni»c~ao de mdc e da proposi»c~ao 8.1, ser¶a deixada para o leitor. Exemplo 8.1 Calcular mdc(700; 720), com base nas decomposi»c~oes de 700 e 720 em fatores primos. Fatorando-se 720 e 700 em pot^encias de primos obtemos 720 = 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 5 = 24 ¢ 32 ¢ 5 700 = 2 ¢ 2 ¢ 5 ¢ 5 ¢ 7 = 22 ¢ 52 ¢ 7 Podemos ent~ao escrever 720 = 24 ¢ 32 ¢ 51 ¢ 70 700 = 22 ¢ 30 ¢ 52 ¢ 71 Pela proposi»c~ao 8.2, mdc(720; 700) = 22 ¢ 30 ¢ 51 ¢ 70 = 22 ¢ 5 = 20: A fatora»c~ao de inteiros em primos positivos, ¶e freqÄuentemente empregada no c¶alculo do m¶³nimo m¶ultiplo comum de dois inteiros, usado para igualar denominadores na soma de fra»c~oes. De¯ni»c~ao 8.1 (M¶³nimo m¶ultiplo comum) O m¶³nimo m¶ultiplo comum de dois in- teiros a e b, n~ao simultaneamente nulos, denotado por mmc(a; b), ¶e o menor inteiro positivo que ¶e simultaneamente m¶ultiplo de a e de b, ou seja, divis¶³vel simultaneamente por a e por b. Como exemplos, temos: mmc(15; 21) = 105, mmc(24; 36) = 72, mmc(2; 20) = 20, mmc(7; 11) = 77.
  5. 5. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 69 Proposi»c~ao 8.3 Sejam a e b inteiros positivos, e considere-os representados como na proposi»c~ao 8.2. Ent~ao mmc(a; b) = p±1 1 ¢ ¢ ¢ p±n n sendo, para cada ¶³ndice i, ±i = maxf®i; ¯ig. Demonstra»c~ao. A demonstra»c~ao desta proposi»c~ao, que ¶e conseqÄu^encia da de¯ni»c~ao de mmc e tamb¶em da proposi»c~ao 8.1, ser¶a deixada para o leitor. Exemplo 8.2 Calcular mmc(700; 720), com base nas decomposi»c~oes de 700 e 720 em fatores primos. Conforme vimos acima, 720 = 24 ¢ 32 ¢ 51 ¢ 70 700 = 22 ¢ 30 ¢ 52 ¢ 71 Pela proposi»c~ao 8.3, mmc(720; 700) = 24 ¢ 32 ¢ 52 ¢ 71 = 25200 Teorema 8.2 Se a e b s~ao dois inteiros positivos ent~ao mmc(a; b) = ab= mdc(a; b). Demonstra»c~ao. Sejam a e b inteiros positivos, e considere-os representados como na proposi»c~ao 8.2, isto ¶e, a = p®1 1 ¢ ¢ ¢ p®n n e b = p¯1 1 ¢ ¢ ¢ p¯n n sendo p1; : : : ; pn primos positivos, e ®1; : : : ; ®n, ¯1; : : : ; ¯n, inteiros n~ao negativos. Pelas proposi»c~oes 8.2 e 8.3, temos mdc(a; b) = p°1 1 ¢ ¢ ¢ p°n n mmc(a; b) = p±1 1 ¢ ¢ ¢ p±n n sendo, para cada ¶³ndice i, °i = minf®i; ¯ig, e ±i = maxf®i; ¯ig. Notemos que, para cada ¶³ndice i, °i + ±i = minf®i; ¯ig + maxf®i; ¯ig = ®i + ¯i. Ent~ao mdc(a; b) ¢ mmc(a; b) = (p°1 1 ¢ ¢ ¢ p°n n )(p±1 1 ¢ ¢ ¢ p±n n ) = p°1+±1 1 ¢ ¢ ¢ p°n+±n n = p®1+¯1 1 ¢ ¢ ¢ p®n+¯n n = (p®1 1 ¢ ¢ ¢ p®n n )(p¯1 1 ¢ ¢ ¢ p¯n n ) = ab
  6. 6. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 70 8.1 Exerc¶³cios 1. Encontre as fatora»c~oes, em produtos de primos, dos inteiros 36, 256, 504 e 1111. 2. Mostre que os expoentes, na fatora»c~ao em pot^encias de primos, de um inteiro n, s~ao todos pares se e somente se n ¶e um quadrado perfeito. 3. Mostre que se p ¶e um primo positivo, ent~ao p p ¶e irracional. Sugest~ao. Suponha p p = a=b, para certos inteiros positivos a e b. Explique ent~ao porqu^e a igualdade pb2 = a2 ¶e imposs¶³vel. 4. Mostre que log 5 (= log10 5) ¶e irracional. Sugest~ao. Suponha log 5 = a=b, para certos inteiros positivos a e b (log 5 > 0). Ent~ao 10a=b = 5 e portanto 10a = 5b . Explique porqu^e isto ¶e imposs¶³vel. 5. Mostre que sendo m = p1 ®1 ¢ ¢ ¢ ps ®s , com p1; : : : ; ps todos primos positivos, e ®1; : : : ; ®s, todos inteiros n~ao negativos, o n¶umero de divisores positivos de m ¶e igual a (®1 + 1) ¢ ¢ ¢ (®s + 1). Quantos s~ao os divisores positivos de 11016 ? 6. Quais (tipos de) inteiros positivos tem exatamente tr^es divisores positivos ? Quais tem exatamente quatro divisores positivos ? 7. Determine quantos s~ao os zeros existentes ao ¯nal da expans~ao decimal de 1000!. Sugest~ao. Um inteiro positivo ter¶a n zeros ao ¯nal de sua representa»c~ao decimal se for da forma a ¢ 10n , sendo a um inteiro positivo n~ao divis¶³vel por 10. Note que 10 = 2 ¢ 5. 8. Encontre todos os pares (x; y), de inteiros, satisfazendo x2 + 112 = y2 . 9. Encontre o m¶³nimo m¶ultiplo comum dos pares de inteiros a seguir: 8 e 12, 111 e 303, 343 e 999. 10. Encontre o m¶aximo divisor comum e o m¶³nimo m¶ultiplo comum de cada um dos pares de inteiros a seguir: (a) 2 ¢ 3 ¢ 5 ¢ 7 ¢ 11 ¢ 13 e 17 ¢ 19 ¢ 23 ¢ 29 (b) 23 ¢ 57 ¢ 1113 e 2 ¢ 3 ¢ 5 ¢ 7 ¢ 11 ¢ 13 (c) 4711 ¢ 79111 ¢ 1011001 e 4111 ¢ 83111 ¢ 1011000 11. ¶E poss¶³vel calcular o m¶³nimo m¶ultiplo comum de dois inteiros positivos, sem co- nhecer suas decomposi»c~oes em fatores primos ? 12. Mostre que qualquer m¶ultiplo comum, de dois inteiros positivos a e b, ¶e divis¶³vel pelo m¶³nimo m¶ultiplo comum de a e b. 13. Quais pares de inteiros positivos possuem m¶aximo divisor comum 18 e m¶³nimo m¶ultiplo comum 540 ?
  7. 7. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 71 14. Mostre que se a e b s~ao inteiros ent~ao mdc(a; b) j mmc(a; b). Sob quais condi»c~oes mdc(a; b) = mmc(a; b) ? 15. Sejam a, b e c inteiros positivos. Mostre que mmc(a; b) j c se e s¶o se a j c e b j c. 16. Encontre as fatora»c~oes, em pot^encias de primos, dos inteiros 106 ¡ 1; 108 ¡ 1; 220 ¡ 1; 210 + 1; 212 + 4: 17. Mostre que se p ¶e um primo, a ¶e um inteiro, n ¶e um inteiro positivo, e p j an ent~ao p j a. 18. Sejam a e b dois inteiros positivos. Mostre que se a2 j b2 ent~ao a j b. 19. Mostre que, sendo a e b inteiros positivos, primos entre si, todo divisor de ab, se escreve de maneira ¶unica na forma d = d1d2, sendo d1 um divisor de a, d2 um divisor de b, e d1 e d2 positivos e primos entre si. Sugest~ao. Aplique o teorema fundamental da aritm¶etica a ambos, a e b, e utilize o fato (justi¯cado) de que a e b n~ao tem fatores primos em comum.

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