Circuitos ufmg (interessante)

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Circuitos ufmg (interessante)

  1. 1. Circuitos Elétricos III Prof. Danilo Melges (danilomelges@cpdee.ufmg.br) Depto. de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais
  2. 2. A Transformada de Laplace em análise de circuitos – parte 1
  3. 3. A resistência no domínio da frequência • O valor de R não se altera ao passar do domínio do tempo para o da frequência. onde Tempo Freqüência
  4. 4. O Indutor no domínio da freqüência • Indutor conduzindo uma corrente inicial I0 • Qual a representação correspondente no domínio da frequência ? Tempo Freqüência
  5. 5. O Indutor no domínio da freqüência • Indutor conduzindo uma corrente inicial I0 • Impedância de sL Ohms em série com uma fonte de tensão de LI0 Volts-segundos. Tempo Freqüência
  6. 6. O Indutor no domínio da freqüência • Indutor conduzindo uma corrente inicial I0 • Impedância de sL Ohms em paralelo com uma fonte de corrente de I0/s ampères-segundos Tempo Freqüência
  7. 7. O Indutor no domínio da freqüência • Se I0=0, então, ambos os circuitos equivalentes se reduzem a uma indutância com impedância sL. ≈ ≈
  8. 8. O Capacitor no domínio da freqüência • Capacitor com uma tensão inicial de V0 • Qual a representação correspondente no domínio da frequência ? Tempo Freqüência
  9. 9. O Capacitor no domínio da freqüência • Capacitor com uma tensão inicial de V0 • Admitância de sC Ohms em paralelo com uma fonte de corrente de –CV0 ampères-segundos Tempo Freqüência
  10. 10. O Capacitor no domínio da freqüência • Capacitor com uma tensão inicial de V0 • Admitância de sC Ohms em série com uma fonte de tensão de +V0/s volts-segundos Tempo Freqüência
  11. 11. O Capacitor no domínio da freqüência • Se V0=0, então, ambos os circuitos equivalentes se reduzem a um capacitor com impedância 1/sC ≈ ≈
  12. 12. Análise de circuitos no domínio da freqüência • Lei de Ohm para o domínio da freqüência: V=ZI (p/ condições iniciais nulas). • Também são válidas as Leis de Kirchhoff para correntes e tensões: ΣI = 0 ΣV = 0 Soma das correntes em um nó é nula. Soma das tensões ao longo do circuito fechado é nula.
  13. 13. Análise de circuitos no domínio da freqüência • Regras para associações de impedâncias e admitâncias no domínio da frequência são as mesmas do domínio do tempo. • Simplificações em série e paralelo também são aplicáveis. • Métodos de tensões de nós e correntes de malha também podem ser empregados no domínio da frequência. • Também são válidas as técnicas usadas para encontrar os circuitos equivalentes Norton e Thèvenin.
  14. 14. Resposta Natural de um circuito RC • Encontrar as expressões para corrente i e tensão v.
  15. 15. Resposta Natural de um circuito RC • Abordagem clássica: • Equações íntegro-diferenciais: • Resolução da eq.: • Substituição de condições iniciais: v(0)=V0 Onde
  16. 16. Resposta Natural de um circuito RC • Abordagem clássica: • Para encontrar a corrente
  17. 17. Resposta Natural de um circuito RC • Abordagem por Laplace: 1. Tomamos o circuito equivalente na frequência. 2. Soma das tensões na malha: 3. Explicitamos I:
  18. 18. Resposta Natural de um circuito RC • Abordagem por Laplace: 4. Determinamos a Transformada Inversa de I: que é equivalente à expressão anterior:
  19. 19. Resposta Natural de um circuito RC • Abordagem por Laplace: 5. Calculamos a tensão:
  20. 20. Resposta Natural de um circuito RC • Abordagem por Laplace: circuito alternativo paralelo 1. Tomamos o circuito equivalente na frequência. 2. Calculamos a Eq. de tensões de nó: 3. Explicitamos V:
  21. 21. Resposta Natural de um circuito RC • Abordagem por Laplace: 4. Determinamos a Transformada Inversa de V:
  22. 22. Resposta ao Degrau de um circuito RLC paralelo A energia inicial armazenada é nula. • Determinar iL após a aplicação da fonte de corrente.
  23. 23. Resposta ao Degrau de um circuito RLC paralelo A energia inicial armazenada é nula. 1. Circuito equivalente na frequência.
  24. 24. Resposta ao Degrau de um circuito RLC paralelo 2. A corrente pode ser dada por: 3. Utilizando a LKC, temos:
  25. 25. Resposta ao Degrau de um circuito RLC paralelo 4. Explicitando V: 5. Substituindo V em: Corrigir as expressões no livro.
  26. 26. Resposta ao Degrau de um circuito RLC paralelo 6. Substituindo os valores dos componentes: Icc=24mA, C=25nF, R=625 e L=25mH 7. Fatorando o denominador:
  27. 27. Resposta ao Degrau de um circuito RLC paralelo 8. Teste da expressão de iL no domínio da frequência (Teorema do valor final - TVF): quando t→∞, iL →Icc=24mA: Logo, obedece ao TVF.
  28. 28. Relembrando: Teorema do Valor Final • Restrição: somente é válido se os pólos de F(s), exceto um pólo de primeira ordem na origem (plano complexo), estiverem localizados no semi-plano lateral esquerdo s. • f(∞) deve existir
  29. 29. Resposta ao Degrau de um circuito RLC paralelo 9. Expansão em frações parciais (EFP): onde
  30. 30. Resposta ao Degrau de um circuito RLC paralelo 10. Transformada Inversa de Laplace:
  31. 31. Resposta transitória de um circuito RLC paralelo Ig • Determinar iL pela aplicação da fonte de corrente senoidal: Com ω=40000 rad/s; Im=24 mA A energia inicial armazenada é nula.
  32. 32. Resposta transitória de um circuito RLC paralelo Ig Com ω=40000 rad/s; Im=24 mA A energia inicial armazenada é nula. 1. A fonte de corrente no domínio s é dada por:
  33. 33. Resposta transitória de um circuito RLC paralelo 2. A tensão nos elementos em paralelo é: 3. Substituindo , temos: Ig
  34. 34. Resposta transitória de um circuito RLC paralelo Ig 4. Calculamos a corrente no indutor: 5. Substituindo os valores (ig=24 cosωt, C=25nF, R=625, L=25mH)
  35. 35. Resposta transitória de um circuito RLC paralelo ig 6. Fatoramos o denominador: Com ω=40000, a=32000 e b=24000.
  36. 36. Resposta transitória de um circuito RLC paralelo ig 7. Expansão em frações parciais:
  37. 37. Resposta transitória de um circuito RLC paralelo ig 8. Transformada Inversa:
  38. 38. Resposta transitória de um circuito RLC paralelo ig 8. Transformada Inversa: 9. A corrente de regime permanente é dada por:
  39. 39. Resposta ao degrau de um circuito de múltiplas malhas A energia armazenada no circuito é nula. • Determinar as correntes de ramo i1 e i2.
  40. 40. Resposta ao degrau de um circuito de múltiplas malhas A energia armazenada no circuito é nula. 1. Circuito equivalente no domínio da frequência:
  41. 41. Resposta ao degrau de um circuito de múltiplas malhas 2. Equações de correntes de malha: Sistema de Equações Lineares
  42. 42. Resposta ao degrau de um circuito de múltiplas malhas 3. Usando o Método de Cramer para calcular I1 e I2:
  43. 43. Resposta ao degrau de um circuito de múltiplas malhas 4. Usando o Método de Cramer para calcular I1 e I2: 5. Expansão em frações parciais:
  44. 44. Resposta ao degrau de um circuito de múltiplas malhas 6. Tomando a Transformada Inversa de Laplace:

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