Análise combinatória

1. Análise Combinatória
Fatorial de um número:
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
Definições especiais:
0!=1
1!=1

2. Exemplo:
( x + 1)!
2) Resolva a equação = 56.
( x − 1)!
( x + 1)! ( x + 1)( x)( x − 1)!
= 56 ⇒ = 56 ⇒ ( x + 1)( x) = 56 ⇒ x 2 + x = 56 ⇒
( x − 1)! ( x − 1)!
− 1 ± 225 − 1 ± 15 x = 7
⇒ x 2 + x − 56 = 0 ⇒ x = ⇒ x= ⇒
2 2 x = -8
Resposta : x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo.

3. Agora é com você!
Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos
campeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares?

4. R : Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2
possibilidades para o 3º lugar →
4.3.2 = 24 possibilidades.

5. Arranjo simples:
n!
An , p =
(n − p)!

6. Exemplo
A6, 2 + A4,3 − A5, 2
4) Calcule .
A9, 2 + A8,1
6! 4! 5!
+ −
A6, 2 + A4,3 − A5, 2 (6 − 2)! (4 − 3)! (5 − 2)! 30 + 24 − 20 34 17
= = = =
A9, 2 + A8,1 9! 8! 72 + 8 80 40
+
(9 − 2)! (8 − 1)!

7. Permutação Simples
 É um caso particular de arranjo simples. É
o tipo de agrupamento ordenado onde
entram todos os elementos.

Pn = n!

8. Exemplo
Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?
P5 = 5!= 5.4.3.2.1 = 120 números.

9. Combinação Simples
 Cn,p = n!
p!( n − p )!

10. Exemplo:
Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3
rapazes e 4 moças?
RAPAZES - C7 ,3
MOÇAS - C6, 4
O resultado é o produto C7 ,3 .C6, 4 .
7! 6! 7.6.5.4! 6.5.4! 210 30
. = . = . = 35.15 = 525 comissões.
3!(7 − 3)! 4!(6 − 4)! 3!.4! 4!.2! 3! 2

11. Distinguindo Permutações, arranjos e combinações simples
Critério de Formação Tipo de Agrupamento Nome do AGRUPAMENTO
Só ordenar os Ordenado Permutação
elementos(todos)
Só escolher os Não-ordenado Combinação
elementos
Escolher e ordenar os Ordenado Arranjo
elementos escolhidos

12. Ou seja:
 Arranjos são os agrupamentos que
diferem pela ordem e pela natureza de
seus elementos.
 Combinações são os agrupamentos que
diferem pela natureza de seus elementos.
 Permutações são os agrupamentos que
diferem apenas pela ordem de seus
elementos.

13. Ex1. Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números naturais de 4 algarismos distintos
podemos formar?
 Observe que os agrupamentos 1234 e
4231 diferem apenas pela ordem de seus
elementos enquanto que 1234 e 2456
diferem tanto pela ordem como pela
natureza de dois de seus elementos.
 Portanto esse tipo de problema é
classificado como Arranjo Simples.
 Pelo PFC temos, 6.5.4.3=360 números de
4 algarismos distintos.

14. Ex2. Entre os professores André,Douglas, Zuza, Sandro e Gilberto deseja-se formar uma comissão
com 3 professores para representar os colegas numa reunião com a diretoria da escola. De quantas
maneiras diferentes esta escolha pode ser feita?
 Conjunto dos professores: A,D,Z,S,G
 Algumas combinações possíveis:
 (A,D,S), (D,G,S), (Z,S,G)....
 Observe que (A,D,S) e (D,S,A) representam a mesma comissão: a ordem
dos elementos não altera a comissão.
 As comissões só diferem se mudarmos a natureza de seus elementos.
 (D,G,S) e (Z,S,G) diferem pela natureza de dois de seus elementos,
portanto esse tipo de problema é como combinação simples.
 É importante observar que um agrupamento qualquer, com três
elementos,pode ser representado, nesse caso por 6 modos diferentes:
 (A,D,S) = (A,S,D) = (D,A,S) = (D,S,A) = (S,A,D) = (S,D,A).
 Portanto, ao aplicar o PFC, devemos dividir o resultado por 6.
 Pelo PFC, 5.4.3=60 e dividindo este resultado por 6, temos 10 comissões
diferentes.

15. Ex3. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 5,6 e
7?
 Pelo PFC, temos 3.2.1 = 6números de três
algarismos.
 Os resultados possíveis são :
567,576,657,675,756 e 765.
 Observe que 567 e 756 se diferem apenas
pela ordem de seus elementos.
 Como não podemos repetir elementos,
esse tipo de agrupamentos é classificado
como Permutação Simples.

16. Permutação com Repetição
 P α , β ,=
δ ,.....
n!
α ! β !δ !....
 Onde n é o número de elementos e
n
o
α , β , δ ,.....
número de repetições.
 Ex.:
 A palavra BANANA possui quantos
anagramas?