Alice Ahlert Vanessa Paula Reginatto Bernadete Análise Combinatória
<ul><li>ANÁLISE COMBINATÓRIA </li></ul><ul><li>A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possi...
<ul><li>COMBINAÇÃO SIMPLES </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Combinação simples  é o tipo de agrupamento sem repetição...
<ul><li>Exemplo: Quantas comissões de dois podem ser formados com 5 alunos ( A, B, C, D e E) de uma classe? </li></ul><ul>...
<ul><li>FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES: </li></ul><ul><li>No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, b...
<ul><li>PERMUTAÇÃO SIMPLES </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Permutações simples de  n  elementos ...
<ul><li>Ex.: </li></ul><ul><li>Quantos são os anagramas da palavra AMOR? </li></ul><ul><li>AMOR </li></ul><ul><li>AMRO </l...
<ul><li>Ex 2 - Quantos são os anagramas da palavra  OSSO ? </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>OSSO </li></ul><ul><li>OS...
<ul><li>ARRANJOS SIMPLES </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Arranjos simples  é o tipo de agrupamento em que um grupo é...
  1 )   Quatro clubes Juventude, Palmeiras e  Esperança e Fluminense disputam as finais de um torneio de futebol. Ao final...
<ul><li>1° lugar   2° lugar 3° lugar 4° lugar </li></ul><ul><li>Palmeiras Esperança Fluminense  </li></ul><ul><li>Juventud...
<ul><li>b)  Quantas possibilidades existem? </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Existem 24 possibilidades.  </li></ul><u...
<ul><li>  c) Quantas possibilidades há do Flamengo ficar em 1° lugar? </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Existem 6 poss...
<ul><li>2) Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma­dos, usando os algarismos (elementos) ...
<ul><li>Pode-se observar que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul>...
<ul><li>Trabalho feito por: </li></ul><ul><li>Alice Ahlert </li></ul><ul><li>Vanessa Paula Reginatto </li></ul><ul><li>Ber...
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  1. 1.                 Alice Ahlert Vanessa Paula Reginatto Bernadete Análise Combinatória
  2. 2. <ul><li>ANÁLISE COMBINATÓRIA </li></ul><ul><li>A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento. </li></ul>
  3. 3. <ul><li>COMBINAÇÃO SIMPLES </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Combinação simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Exemplo: Quantas comissões de dois podem ser formados com 5 alunos ( A, B, C, D e E) de uma classe? </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>1° aluno 2ª aluno n° de comissões </li></ul><ul><li>( 5 possibilidades) ( 4 possibilidades) (10 comissões) </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>A B AB </li></ul><ul><li>C AC </li></ul><ul><li>D AD </li></ul><ul><li>E AE </li></ul><ul><li>B A BA = AB </li></ul><ul><li>C BC </li></ul><ul><li>D BD </li></ul><ul><li>E BE </li></ul><ul><li>C A CA = AC </li></ul><ul><li>B CB = BC </li></ul><ul><li>D CD </li></ul><ul><li>E CE </li></ul><ul><li>D A DA = AD </li></ul><ul><li>B DB = BD </li></ul><ul><li>C DC = CD </li></ul><ul><li>E DE </li></ul><ul><li>E A EA = AE </li></ul><ul><li>B EB = BE </li></ul><ul><li>C EC = CE </li></ul><ul><li>D ED = DE </li></ul>
  5. 5. <ul><li>FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES: </li></ul><ul><li>No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta calcular o número de arranjos e dividir o resultado por 2 ( 20 : 2 = 10 ), que é o fatorial do número de elementos que compõe cada comissão ( 2). </li></ul><ul><li>O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p divididos por p!, isto é: </li></ul><ul><li>C n, p = n ! </li></ul><ul><li>p! ( n – p)! </li></ul><ul><li>C 5, 2 = 5 ! = 5. 4. 3. 2. 1 </li></ul><ul><li>2! ( 5 – 2) ! 2! 3! </li></ul><ul><li>C 5, 2 = 120 = 120 = 10 </li></ul><ul><li> 2.1.3.2.1 12 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul>n= elementos distintos, quantidades de coisas ex: 5 alunos (A, B, C, D e E) p= agrupamentos possíveis ex: duplas ou tomados dois a dois.  
  6. 6. <ul><li>PERMUTAÇÃO SIMPLES </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.  </li></ul><ul><li>P n = n!    </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Ex.: </li></ul><ul><li>Quantos são os anagramas da palavra AMOR? </li></ul><ul><li>AMOR </li></ul><ul><li>AMRO </li></ul><ul><li>A AORM </li></ul><ul><li>AOMR </li></ul><ul><li>ARMO </li></ul><ul><li>AROM </li></ul><ul><li>MORA </li></ul><ul><li>MOAR </li></ul><ul><li>MROA </li></ul><ul><li>M MRAO </li></ul><ul><li>MAOR </li></ul><ul><li>MARO </li></ul><ul><li>OAMR </li></ul><ul><li>OARM </li></ul><ul><li>O OMAR </li></ul><ul><li>OMRA </li></ul><ul><li>ORMA </li></ul><ul><li>ORAM </li></ul><ul><li>R O M A </li></ul><ul><li>R O A M </li></ul><ul><li>R A O M </li></ul><ul><li>R R A M O </li></ul><ul><li>R M A O </li></ul><ul><li>R M O A </li></ul>P 4 = 4! P = 4. 3. 2. 1 = 24     Temos 24 possibilidades de escrever a palavra amor. Com a 1ª letra da palavra amor, (A) , consigo obter 6 possibilidades
  8. 8. <ul><li>Ex 2 - Quantos são os anagramas da palavra OSSO ? </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>OSSO </li></ul><ul><li>OSOS SOSO OOSS SSOO SOOS </li></ul><ul><li>  P 4 2, 2 = 6 permutações ou anagramas </li></ul>
  9. 9. <ul><li>ARRANJOS SIMPLES </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Arranjos simples é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  10. 10.   1 )  Quatro clubes Juventude, Palmeiras e Esperança e Fluminense disputam as finais de um torneio de futebol. Ao final do certame as classificações possíveis desses clubes são os arranjos simples dos quatro elementos Juventude, Palmeiras, Esperança e Fluminense tomados quatro a quatro. <ul><li>a)  Quais são as possibilidades que podemos encontrar? </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  11. 11. <ul><li>1° lugar 2° lugar 3° lugar 4° lugar </li></ul><ul><li>Palmeiras Esperança Fluminense </li></ul><ul><li>Juventude Palmeiras Fluminense Esperança </li></ul><ul><li>Fluminense Palmeiras Esperança </li></ul><ul><li>Fluminense Esperança Palmeiras </li></ul><ul><li>Esperança Palmeiras Fluminense </li></ul><ul><li>Esperança Fluminense Palmeiras </li></ul><ul><li>Juventude Esperança Fluminense </li></ul><ul><li>Juventude Fluminense Esperança </li></ul><ul><li>Fluminense Juventude Esperança </li></ul><ul><li>Fluminense Esperança Juventude </li></ul><ul><li>Esperança Juventude Fluminense </li></ul><ul><li>Esperança Fluminense Juventude </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>Juventude Palmeiras Fluminense </li></ul><ul><li>Juventude Fluminense Palmeiras </li></ul><ul><li>Fluminense Juventude Palmeiras </li></ul><ul><li>Fluminense Palmeiras Juventude </li></ul><ul><li>Palmeiras Juventude Fluminense </li></ul><ul><li>Palmeiras Fluminense Palmeiras </li></ul><ul><li>Juventude Palmeiras Esperança </li></ul><ul><li>Juventude Esperança Palmeiras </li></ul><ul><li>Esperança Juventude Palmeiras </li></ul><ul><li>Esperança Palmeiras Juventude </li></ul><ul><li>Palmeiras Juventude Esperança </li></ul><ul><li>Palmeiras Esperança Juventude </li></ul>Palmeiras Esperança Fluminense
  12. 12. <ul><li>b)  Quantas possibilidades existem? </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Existem 24 possibilidades. </li></ul><ul><li>O número de arranjos simples tomados quatro a quatro ( A 4, 4 ) também pode ser calculado pelo princípio fundamental da contagem: </li></ul><ul><li>A 4, 4 = 4. 3. 2. 1 = 24 </li></ul>
  13. 13. <ul><li>  c) Quantas possibilidades há do Flamengo ficar em 1° lugar? </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Existem 6 possibilidades do Flamengo ficar em primeiro lugar, assim como os demais times também possuem 6 possibilidades de ficar em primeiro lugar. </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  14. 14. <ul><li>2) Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma­dos, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5? </li></ul><ul><li>1 ° algarismo 2° algarismo números formados </li></ul><ul><li>(4 possibilidades) (3 possibitidades) ( 12 números) </li></ul><ul><li>3 23 </li></ul><ul><li>2 4 24 </li></ul><ul><li>5 25 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>2 32 </li></ul><ul><li>3 4 34 </li></ul><ul><li>5 35 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>2 42 </li></ul><ul><li>4 3 43 </li></ul><ul><li>5 45 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>2 52 </li></ul><ul><li>5 3 53 </li></ul><ul><li>4 54 </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Pode-se observar que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li> * pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo) </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Os grupos assim obtidos são denominados arranjos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados A 4, 2 = 4. 3 = 12 </li></ul>
  16. 16. <ul><li>Trabalho feito por: </li></ul><ul><li>Alice Ahlert </li></ul><ul><li>Vanessa Paula Reginatto </li></ul><ul><li>Bernadete </li></ul><ul><li>Estudantes do curso de Ciências Exatas – UNIVATES </li></ul><ul><li>Lajeado - RS </li></ul>

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