O documento apresenta os principais conceitos sobre sistemas lineares e suas técnicas de resolução: eliminação de Gauss, eliminação de Gauss-Jordan e substituição inversa. Explica as propriedades da matriz na forma escalonada reduzida e fornece exemplos de resolução de sistemas lineares com solução única, indeterminado e impossível. Por fim, lista exercícios para treino dos métodos estudados.

1. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Profª Cristiane Cozin – cristianecozin@unibrasil.com.br

2. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Eliminacao Gaussiana:
 Matriz na forma escalonada reduzida por linhas:
Propriedades:
1) Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro
número não-nulo da linha é um 1. Chamamos este número 1
de líder ou pivô;
2) Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas
estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz;
3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só
de zeros, o líder da linha inferior ocorre mais à direita que
o líder da linha superior;
4) Cada coluna que contém um líder tem zeros nas demais
entradas.

3. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Forma escalonada reduzida por linhas :
 Exemplo:
1 1 3
2 2 3
3
3
2
1 0 3 8 1 0 0 4
0 1 3/ 2 3 0 1 0 3
0 0 1 4 0 0 1 4
L L L
L L L
 
 
   
   
    
       
Matriz Escalonada
Matriz Escalonada
Reduzida por linhas
Eliminação Gaussiana Eliminação de Gauss-Jordan

4. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Substituição Inversa:
Técnica de Solução de sistemas utilizada com a Eliminação de
Gauss.
Exemplos:
1)








26523
442
83
zyx
yx
zx

5. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Substituição Inversa:













































501420
32/310
8301
501420
12640
8301
26523
4042
8301 22
122
133
4
1
2
3
LL
LLL
LLL
3 3
3 3 2
1
2 11
1 0 3 8 1 0 3 8 4
0 1 3/ 3 3 0 1 3/ 2 3 3
0 0 11 44 0 0 1 4 4
L L
L L L
x
y
z


 
      
   
        
          

6. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Solução de Sistemas Lineares:
 1 Técnica: Escalonamento de Matrizes:
Eliminação Gaussiana;
Eliminação de Gauss-Jordan.

7. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Eliminação de Gauss-Jordan:
Exemplos:
1)
Sistema Linear com solução única.








26523
442
83
zyx
yx
zx
2 2
3 3 22 2 1
3 3 1
1
22 4
3
1 0 3 8 1 0 3 8 1 0 3 8 1 0 3 8
2 4 0 4 0 4 6 12 0 1 3/ 2 3 0 1 3/ 3 3
3 2 5 26 0 2 14 50 0 2 14 50 0 0 11 44
L L
L L LL L L
L L L


  
 
          
       
               
                    
3 3
1 1 3
2 2 3
1
311
3
2
1 0 3 8 1 0 0 4 4
0 1 3/ 2 3 0 1 0 3 3
0 0 1 4 0 0 1 4 4
L L
L L L
L L L
x
y
z


 
 
     
   
       
          

8. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Eliminação de Gauss-Jordan:
Exemplos:
2)
Neste caso o sistema tem infinitas soluções e é dito
indeterminado.








042
042
02
tzyx
zyx
tzyx




















 




























































01000
00010
00201
01000
03/2010
03/1201
03000
03/2010
03/1201
03000
03/2010
01211
03000
02030
01211
04211
00412
01211
3
3
1
11
3
3
2
22
3
3
1
3
211
2
3
1
2
1222
133
LLL
LLL
LL
LLL
LL
LLL
LLL








0
0
02
t
y
zx

9. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Eliminação de Gauss-Jordan:
Exemplos:
3)
Neste caso dizemos que o sistema não tem solução, ou
que é impossível.








1222
3132
4
zyx
zyx
zyx































































1000
0310
0401
1000
5310
9401
1000
5310
4111
7000
5310
4111
1222
3132
4111
3911
3522
211
3
7
1
3
1222
1233
LLL
LLL
LLL
LL
LLL
LLL

10. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
5ª Lista de Exercícios:
1) Resolva os sistemas abaixo pelas duas técnicas
estudadas:
1) Eliminação de Gauss + Substituição Inversa;
2) Eliminação de Gauss-Jordan.
a) b)
c) d)








12352
4224
832
321
321
321
xxx
xxx
xxx








7432
7523
1534
321
321
321
xxx
xxx
xxx








2472
5453
2232
321
321
321
xxx
xxx
xxx








11698
12237
14983
321
321
32
xxx
xxx
xxx

11. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
Estudo Complementar:
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com
Aplicações. Bookman, 2001.
Páginas: 28 a 39

12. AULA 4 – SISTEMAS LINEARES
4ª Lista de Exercícios - Respostas:
1) a)
b)
c)
d)
3;5;2 321  xxx
2;3;3 321  xxx
3;2;1 321  xxx
1;1;1 321  xxx