EXERCITANDO (AULA 3)
1. Marque, num sistema de coordenadas, os pontos (2, 3, 4) , (3, 2, −4) , (−2, 1, 3), (2, 1, 3) , (−3...
31. Dados os vetores A, B, C ∈ R3
, demonstre que A · (B × C) = (A × B) · C.
32. Ache um vetor de comprimento 5 simultanea...
6) − 2√
5
(1, 2); 7) a = 2
5 e b = −9
5 ; 8) i) (−4, 3); ii) (2, −7); 9) b e d; 10)
√
2; 11) É retângulo em B;
13) a) |A| ...
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Exercitandoaula3

  1. 1. EXERCITANDO (AULA 3) 1. Marque, num sistema de coordenadas, os pontos (2, 3, 4) , (3, 2, −4) , (−2, 1, 3), (2, 1, 3) , (−3, 2, 1) e (−1, −2, 3) . 2. Determine A + B, A − B, 3A e −2B em cada um dos seguintes casos: (a) A = (2, −1) , B = (−1, 1) . (b) A = (−1, 3) , B = (0, 4) . (c) A = (2, −1, 5) , B = (−1, 1, 1) . (d) A = (−1, −2, 3) , B = (−1, 3, −4) . 3. Desenhe os pontos do exercício 2. 4. Sejam A e B como nos exercícios 2.a) e 2.b). Desenhe os vetores A + 2B, A + 3B, A − 2B, A − 3B e 4A + 5B. 5. Uma piscina de base retangular tem, em metros, as seguintes dimensões: base, 5 × 6 e altura, 3. Dois terços do volume da piscina são ocupados por água. Na superfície superior da água, forma-se uma pequena bolha de ar. A bolha de ar está equidistante das paredes de 5m de base. Em relação às paredes de 6m de base, sua posição é tal que a distância a uma das paredes é o dobro da distância à outra. Estabeleça um sistema de coordenadas retangulares que tenha como origem um dos cantos interiores da piscina e como um dos planos coordenados a parede de base de 6m mais próxima da bolha. Em relação a este sistema, determine as coordenadas retangulares do ponto onde se encontra a bolha de ar. 6. Ache um vetor de módulo 2 com mesma direção e sentido contrário do vetor (1, 2) . 7. Sejam A = 1 2 , 3 , B = (−1, −1) e C = (2, 3) . Determine a e b tais que C = aA + bB. 8. Sejam A = (1, −2) , B = (−2, 3) e C = (−1, −2) . Determine X de sorte que: i) X − C = B − A; ii) C − B = X − A. 9. Quais dos seguintes pares de vetores são perpendiculares? a) (1, −1, 1) e (2, 1, 5); b) (1, −1, 1) e (2, 3, 1); c) (−5, 2, 7) e (3, −1, 2); d) (π, 2, 1) e (2, −π, 0) . 10. Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (−1, 1, c) e (−1, 1, −c) e a origem sejam vértices de um triângulo retângulo na origem. 11. Verifique se é retângulo o triângulo cujos vértices são A = (−2, 1) , B = (3, 1) e C = (3, −4) . 12. Seja A um vetor perpendicular a todo vetor X. Mostre que A = O. 13. Determine os comprimentos dos vetores A e B do exercício 2. 14. Determine o módulo de cada vetor a seguir e o vetor unitário na mesma direção e sentido: a) (1, 2); b) (−2, 1); c) (−4, −3); d) −4 3 , 5 2 . 15. Determine as projeções de A sobre B e de B sobre A no exercício 2. 16. Calcule o cosseno do ângulo entre os vetores A e B do exercício 2. 17. Determine o produto escalar e o ângulo entre os seguintes pares de vetores: a) (0, 1) e √ 3, 1 ; b) − √ 3, 1 e −3, − √ 3 . 18. Sejam A = (1, 1) , B = (2, −2) e C = (−1, 1). Calcule o comprimento da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 19. Determine os dois vetores unitários e perpendiculares a cada um dos seguintes vetores: a) (4, 3); b) (−5, −3) . 20. Determine os dois vetores unitários que fazem o ângulo dado com cada vetor dado. a) A = √ 3, 1 e θ = π 3 ; b) A = (−2, −2) e θ = π 4 . 21. Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1, −1) e (1, −1, m + 2) é de 60◦ , determine m. 22. Seja θ o ângulo entre dois vetores A e B não nulos. Demonstre a lei dos co-senos dada por |A − B|2 = |A|2 +|B|2 − 2 |A| |B| cos θ. 23. Sejam A = (1, 2, 3) e B = (−4, 5, 0) . Determine os pontos pertencentes ao segmento de reta AB que o dividem em três partes com mesma medida. 24. Determine A × B nos exercícios 2.c) e 2.d). 25. Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (−1, −2, 4) , (−4, −2, 0) e (3, −2, 1) . 26. Demonstre que se A é um vetor perpendicular a dois vetores B e C, então A é perpendicular a B + C. 27. Demonstre que se A e B são vetores tais que A + B é perpendicular a A − B, então |A| = |B| . 28. Sejam A e B vetores. Demonstre que (A + B) · (A − B) = |A|2 − |B|2 . 29. Calcule o módulo dos vetores A + B e A − B sabendo que |A| = 4, |B| = 3 e o ângulo entre A e B mede 60◦ . 30. Determine A · B + A · C + B · C, sabendo que A + B + C = O, |A| = 2, |B| = 3 e |C| = √ 5. 1
  2. 2. 31. Dados os vetores A, B, C ∈ R3 , demonstre que A · (B × C) = (A × B) · C. 32. Ache um vetor de comprimento 5 simultaneamente perpendicular aos vetores (1, 1, 0) e (2, −1, 3) . 33. Sabendo que |A × B| = 3 √ 3, |A| = 3 e 60◦ é a medida do ângulo entre A e B, encontre |B| . 34. Calcule a área do paralelogramo gerado pelos vetores (3, 1, 2) e (4, −1, 0) . 35. Determine os valores de x para os quais (x, 1, 1) , (1, −1, 0) e (2, 1, −1) são vértices de um triângulo cuja área vale√ 29 2 . 36. Demonstre que A × B = B × C = C × A, sabendo que A + B + C = O. 37. Demonstre que (A − B) × (A + B) = 2A × B. 38. Sejam A = (a1, a2) , B = (b1, b2) e C = (c1, c2) pontos não colineares. Mostre que a área do triângulo ABC vale 1 2 det   1 1 1 a1 b1 c1 a2 b2 c2   . 39. Ache o volume do tetraedro cujos vértices são os pontos A = (1, −2, 0) , B = (1, 3, −1) C = (0, 1, 0) e D = (0, 3, −3) . 40. Considere os pontos A = (1, −2, 3) , B = (4, 3, −1) e C = (5, 7, −3) . Determine o ponto D tal que ABCD seja um paralelogramo e calcule sua área. 41. Sejam A = (1, −2, 3) , B = (2, −1, −4) , C = (0, 2, 0) e D = (−1, m, 1). Encontre os valores de m para que seja igual a 20 o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores −−→ AB, −→ AC e −−→ AD. 42. Sejam A = (−1, 3, 2) , B = (0, 1, −1) , C = (−2, 0, 1) e D = (1, −2, 0) . Determine o volume do tetraedro cujos vértices são A, B, C e D e sua altura em relação à base BCD. 43. Sejam A = (a1, a2, a3) , B = (b1, b2, b3) , C = (c1, c2, c3) e D = (d1, d2, d3) pontos não coplanares. Mostre que o volume do tetraedro ABCD vale 1 6 det     1 1 1 1 a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3     . . Capítulo 3 (RESPOSTAS) 1) 1 —3 —4 —2 —1 2 2 3 4 —2 3 1 3 X Y Z ; 2) a) A + B = (1, 0) , A − B = (3, −2) , 3A = (6, −3) e −2B = (2, −2); b) A + B = (−1, 7) , A − B = (−1, −1) , 3A = (−3, 9) e −2B = (0, −8); c) A + B = (1, 0, 6) , A − B = (3, −2, 4) , 3A = (6, −3, 15) e −2B = (2, −2, −2); d) A + B = (−2, 1, −1) , A − B = (0, −5, 7) , 3A = (−3, −6, 9) e −2B = (2, −6, 8); 3) a) x y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 A B A + B A – B 3A – 2B ; b) proceder como em 3) a); c) e d) proceder como no exercício 1; 4) a) x y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 A B A + 2B A + 3B A – 2B A – 3B 4A + 5B ; b) proceder como em 4) a); 5) 2 5 6 3 3 x , coorde- nadas da bolha: (5 3 , 3, 2); 2
  3. 3. 6) − 2√ 5 (1, 2); 7) a = 2 5 e b = −9 5 ; 8) i) (−4, 3); ii) (2, −7); 9) b e d; 10) √ 2; 11) É retângulo em B; 13) a) |A| = √ 5 e |B| = √ 2; b) |A| = √ 10 e |B| = 4; c) |A| = √ 30 e |B| = √ 3; d) |A| = √ 14 e |B| = √ 26; 14) a) √ 5 e 1√ 5 (1, 2); b) √ 5 e 1√ 5 (−2, 1); c) 5 e 1 5 (−4, −3); d) 17 6 e 6 17 −4 3 , 5 2 ; 15) a) projBA = (3/2, −3/2) e projAB = (−6/5, 3/5); b) projBA = (0, 3) e projAB = (−6/5, 18/5); c) projBA = (−2/3, 2/3, 2/3) e projAB = (4/30, −2/30, 10/30); d) projBA = (17/26, −51/26, 34/13) e projAB = (17/14, 34/14, −51/14); 16) a) − 3 10 √ 10; b) 3 10 √ 10; c) 1 15 √ 10; d) − 17 182 √ 91; 17) a) 1 e 60◦ ; b) 2 √ 3 e 60◦ ; 18) √ 10/2; 19) a) ±1/5 (3, −4); b) ± √ 34/34 (3, −5); 20) a) (0, 1) e √ 3/2, −1/2 ; b) (0, −1) e (−1, 0); 21) m = −4; 23) (−2/3, 3, 2) e (−7/3, 4, 1); 24) c) (−6, −7, 1) e d) (−1, −7, −5); 25) 90◦ , 45◦ e 45◦ ; 29) |A + B| = √ 37 e |A − B| = √ 13; 30) −9; 32) ±5 √ 3/3 (−1, 1, 1); 33) |B| = 2; 34) 3 √ 13; 35) x = 3 ou x = 1/5; 38) Acrescente 0 à terceira componente e use produto vetorial; 39) 13/6; 40) D = (2, 2, 1) e √ 89; 41) m = 2 ou m = 6; 42) V = 4 e h = 4 5 √ 10. 3

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