SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 16
Baixar para ler offline
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                               1




           www.explicacoes.com
                          Explicadores - ensino superior
 cadeira         cidade           tel           email
 Física          Porto            964207327     explicacoes.com@portugalmail.pt
 Análise Mat.    Porto            966540930     explicacoes.com@portugalmail.pt


                    Outros apontamentos - ensino superior
 Cálculo Probabilidades: http://www.explicacoes.com/estatistica/apontamentos.htm
 análise - eq. diferenciais: http://www.explicacoes.com/analise/apontamentos.htm
 analise - exames resolvidos: http://www.explicacoes.com/analise/apontamentos.htm


                              Páginas com Interesse
 Dúvidas online: http://www.explicacoes.com/forum.htm
 Livraria online: http://www.explicacoes.com/livraria
 bolsa de explicadores: http://www.explicacoes.com/bolsa
 mensagens para telemóvel: http://www.explicacoes.com/sms
 ganhar dinheiro na net: http://www.explicacoes.com/navicash.htm




                explicações de física ou química - tel: 964207327
                       http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                           2




                           Transporte de Calor
                    versão 0.5 - 8 de Abril de 2000


A presente versão é provisória. O leitor interessado deve visitar o site
http://www.explicacoes.com para obter as versões mais recentes. Pretendemos lançar
versões novas semanalmente. Se encontrar incorrecções ou tiver dúvidas pode
contactar-nos através de email: explicacoes.com@portugalmail.pt




                explicações de física ou química - tel: 964207327
                       http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                                3

Nomenclatura:


h               densidade de corrente de calor - fluxo de calor Quantidade de calor que
                passa por unidade de tempo e por unidade de área
dQ              quantidade de calor que passa por unidade de tempo
dt
T               temperatura
ρ               densidade do meio
c               capacidade calorifica
k               condutividade térmica do meio
H               quando há produção interna de calor é a quantidade de calor produzida
                por unidade de tempo e por unidade de volume



1ª Lei de Fourier (estado estacionário):
Condução de calor unidimensional em estado estacionário sem produção interna de
calor:
                  dT
         h = −k
                  dx
         ou


         dQ       dT
            = −kA
         dt       dx




2) 1ª Lei de Fourier - Condução de calor com simetria cilíndrica


                               dT
Aplicação da equação h = − k      ao caso de transporte de calor em estado estacionário
                               dx
num corpo com simetria cilíndrica.


Um cilindro de raio interno a e raio externo b é feito de um material com condutividade
térmica k. A temperatura no interior do cilindro é Ta e a temperatura na superfície
externa é Tb.



                   explicações de física ou química - tel: 964207327
                          http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                                       4




                                     L


                                               a        b
                                          Ta

                                                   Tb
Neste caso, se se admitir que o comprimento do cilindro L é muito maior que o raio do
cilindro, o calor flui na direcção radial. Para cada valor do raio, r, o calor flui através de
uma área A, em que


        A = 2πr1 L


a) Determine uma expressão para o calor transferido através do cilindro.


        dQ       dT
           = −kA    em que A = 2πrL
        dt       dr


        dQ          dT                                               (1)
           = −2kπrL
        dt          dr

            b               T
        dQ dr          b


        dt ∫ r
               = −2kπL ∫ dT
           a          T      a




        dQ b
          ln = −k 2πL( Tb − Ta )
        dt a


        dQ    k 2πL( Tb − Ta )
           =−
        dt            b
                   ln
                      a


b ) Determine o gradiente de temperaturas no cilindro.



                     explicações de física ou química - tel: 964207327
                            http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                  5

              dQ
       dT          equação obtida de (1)
          = − dt
       dx    2kπrL


b) Determine a distribuição de temperaturas no cilindro.


              dQ
                   dr
       dT = − dt
             k 2πL r


                 dQ
       T              r
                  dt    dr
       ∫ dT = − k 2πL ∫ r
       Ta             a


       dQ    2kπL( Tb − Ta )
          =−
       dt           b
                 ln
                    a

              2kπL( Tb − Ta ) 1 r dr
       T

       ∫ dT =        b       2kπL ∫ r
       Ta         ln              a
                     a


       T
                ( Tb − Ta ) r dr
       ∫ dT =           b    ∫     r
       Ta          ln        a
                        a



                  ( Tb − Ta )  ln r 
                                    
                                      a
       T − Ta =
                               b
                            ln
                               a


                      r
                   ln
       T − Ta         a
               =
       Tb − Ta        b
                   ln
                      a


                                 ln r − ln a
       T = Ta + ( Tb − Ta )
                                 ln b − ln a

                   explicações de física ou química - tel: 964207327
                          http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                          6




3- 1ª Lei de Fourier - simetria esférica


Considere uma esfera oca com condutividade k, raio interno a, raio externo b,
temperatura interna Ta e temperatura externa Tb. Admita estado estacionário.




                                                a        b

                                                Ta


                                                       Tb

a) Determine o calor transferido


    dQ       dT
       = −kA
    dt       dr


Área de uma superfície esférica = 4πr 2


        dQ           dT
           = −4kπr 2
        dt           dr


                     dQ dr
        4kπdT = −
                     dt r 2


            Tb               b
                     dQ dr
        4kπ ∫ dT = −
           T
                     dt ∫ r 2
                        a
             a




                            dQ  1 1 
        4kπ ( Tb − Ta ) =       − 
                            dt  b a 
                   explicações de física ou química - tel: 964207327
                          http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                7



      dQ 4kπ ( Tb − Ta )
         =
      dt    1 1
                −
            b a


      dQ 4kπ ( Tb − Ta ) ab
         =
      dt       a−b


             dQ
                dr
      dT = − dt 2
            4kπ r
               dQ
      T                r
                dt         dr
      ∫ dT = − 4kπ     ∫ r2
      T
      a                a




               dQ
                      1 1
      T − Ta = dt      − 
              4kπ     r a




                 4kπ ( Tb − Ta ) ab 1  1 1 
      T − Ta =                          − 
                       a−b         4kπ  r a 


                 ( Tb − Ta ) ab  a − r 
      T − Ta =                      
                     a−b         ar 


                 ( Tb − Ta ) b  a − r 
      T − Ta =                     
                      r         a−b


                 ( Tb − Ta ) b  a − r 
      T = Ta +                     
                      r         a−b




                 explicações de física ou química - tel: 964207327
                        http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                       8

4 - Aplicação - simetria cilíndrica. Um cilindro de raio externo 12 mm a uma
temperatura 140 C encontra-se rodeado por um isolador de raio 28 mm e de
condutividade térmica k=0.11wm-1k-1. A temperatura no exterior é de 35 C.




                                        L


                                                12 m m
                                                o


                                             140 C
                                                           is o la n te
                                    28 m m            o


                                                    35 C
Determine:


a) O fluxo de calor
b) a distribuição da temperatura no meio isolador
c) represente a temperatura em função de r
d) determine o gradiente de temperatura num ponto a 20 mm do eixo


a)
        dQ    k 2πL( Tb − Ta )
           =−
        dt            b
                   ln
                      a


         dQ
         dt = − 2 × 0.11 × π (140 − 35) = 85.6 js −1m −1
          L                 28
                         ln
                            12


                          ln r − ln a
b) T = Ta + ( Tb − Ta )
                          ln b − ln a


                                  r
                                 ln
        T = 140 + ( 35 − 140 ) 12
                                 28
                              ln
                                 12


                   explicações de física ou química - tel: 964207327
                          http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                                     9

c)

                          160

                     T (C)

                           80



                             0
                                 0              10                 20                30
                                                                            r (mm)



               dQ
        dT                 85.6
           = − dt =                   = −619.7 km −1
        dr    2πrLk 2π 20 × 10 × 0.11
                              −3




5 - Uma esfera de cobre de raio 25 mm está revestida por um isolante de espessura 15
mm. A temperatura exterior é de 25 o C. A quantidade de calor que flui por unidade de
tempo para o exterior é de 600 mW

Dado: condutividade térmica do isolamento k=0.01 wm-1k-1




                                                     25 m m    40 m m

                                                      T in t

                                                                        o


                                                                   25 C

Calcule:

a) a temperatura à superfície da esfera de cobre

dQ 4kπ ( Text − Tint ) rint rext
   =
dt        rint − rext

                4 × 0.01π ( 298 − Tint ) 25 × 10 −3 × 40 × 10 −3
600 × 10 −3 =
                           25 × 10 −3 − 40 × 10 −3

                    explicações de física ou química - tel: 964207327
                           http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                              10



T int = 369 K → 96 o C



b) a distribuição da temperatura no meio isolador

             ( Text − Tint ) rext 
                                  
                                    rint − r     
                                                 
T = Tint +                       r −r           
                      r           int ext       


T = 96 +
           ( 25 − 96) × 40 × 10 −3 
                                   
                                                 25 × 10 −3 − r      
                                                                     
                          r                 25 × 10 −3 − 40 × 10 −3 
                                                                    

c) Represente a temperatura em função de r

       160

   T (C)

        80




           0
               0                      15                 30              45
                                                               r (mm)



6 - Equação de Laplace
Quando se verifica estado estacionário, fluxo unidimensional e não há produção interna
de calor é válida a equação de Laplace:


        d 2T
             =0
        dx 2
Resolução da equação recorrendo às condições fronteira:


        x = 0 ⇒ T = T2
       
       
        x = L ⇒ T = T1
       



                       explicações de física ou química - tel: 964207327
                              http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                 11

Integração da equação de Laplace:


       d 2T
            =0
       dx 2


         d 2T
       ∫ dx 2 = k1

       dT
          = k1
       dx



       ∫ dT = ∫ k1dx

       T = k1 x + k 2


Determinação das constantes com base nas condições fronteira:


        x = 0 ⇒ T2 = k1 × 0 + k 2
       
       
        x = L ⇒ T1 = k1 × L + k 2
       


       k 2 = T2
       
             T − k2
       k1 = 1
                L


       k 2 = T2
       
             T − T2
       k1 = 1
                L


Substituição das constantes na equação:


            T1 − T2
       T=           x + T2
               L
                  explicações de física ou química - tel: 964207327
                         http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                    12




7 - Equação de Laplace para simetria cilíndrica




                                     L


                                               a        b
                                          Ta

                                                   Tb
       d  dT 
          r   =0
       dr  dr 


Resolver esta equação admitindo as seguintes condições fronteira:


       r = a ⇒ T = Ta
       
       
       r = b ⇒ T = Tb
       
Integração da equação:




       d  dT 
          r   =0
       dr  dr 


           dT
       r      = k1
           dr


              dr
       dT =      k1
               r


                      dr
       ∫ dT = k1 ∫     r


       T = k1 ln r + k 2
                     explicações de física ou química - tel: 964207327
                            http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                       13

Determinação das constantes:


       r = a ⇒ Ta = k1 ln a + k 2
       
       
       r = b ⇒ Tb = k1 ln b + k 2
       


       k1 ln a + k 2 = Ta
       
       
       k1 ln b + k 2 = Tb
       


               Ta 1
               Tb 1         Ta − Tb
       k1 =             =
               ln a 1         ln a
               ln b 1         ln b



               ln a Ta
               ln b Tb          Tb ln a − Ta ln b
       k2 =                 =
                ln a 1                 ln a
                ln b 1                 ln b


Substituir as constantes na equação:


              Ta − Tb       T ln a − Ta ln b
       T=             ln r + b
                ln a              ln a
                ln b              ln b


Outra forma para a mesma equação:


              Ta − Tb                 T ln a − Ta ln b
       T=             ln r + Ta − Ta + b
                ln a                        ln a
                ln b                        ln b


                   Ta − Tb        − Ta ln a + Ta ln b + Tb ln a − Ta ln b
       T = Ta +            ln r +
                     ln a                          ln a
                     ln b                          ln b

                   explicações de física ou química - tel: 964207327
                          http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                   14



                   Ta − Tb       ( T − Ta ) ln a
       T = Ta +            ln r + b
                     ln a             ln a
                     ln b             ln b


                   Ta − Tb r
       T = Ta +           ln
                     ln a    a
                     ln b

8 - Equação de Laplace para simetria esférica




                                                   a      b

                                                   Ta


                                                        Tb


        d  2 dT 
           r    =0
        dr  dr 

Integrar para as condições fronteira:

       r = a ⇒ T = Ta
       
       
       r = b ⇒ T = Tb
       

Integração:

            dT
       r2      = k1
            dr

              k1
       dT =        dr
              r2

                      dr
       ∫ dT = k1 ∫ r 2
                   1
       T = −k1       + k2
                   r
                    explicações de física ou química - tel: 964207327
                           http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                    15



Determinação das constantes:

                          1
        r = a ⇒ Ta = −k1 a + k 2
        
        
                          1
         r = b ⇒ Tb = − k1 + k 2
                          b

             1
        − k1 a + k 2 = Ta
        
        
             1
        − k1 b + k 2 = Tb
        

             Ta      1
             Tb      1         Ta − Tb ( Ta − Tb ) ab
        k1 =              =           =
               1                1 1        a−b
             −        1           −
               a                b a
               1
             −        1
               b

              1
               −      Ta
              a
              1               Ta Tb
            −         Tb        −
        k2 = b              = b   a = aTa − bTb
               1               1 1      a−b
             −            1     −
               a               b a
               1
             −            1
               b

       ( Ta − Tb ) ab 1       aTa − bTb
T =−                      +
          a−b        r          a −b

Outra versão - determinação de k2 por outro método a partir de k1:

determinação de k2:

                     k1
        k 2 = Ta +
                     a

                     ( Ta − Tb ) ab
        k 2 = Ta +            a−b
                               a



                     explicações de física ou química - tel: 964207327
                            http://www.explicacoes.com/fisica
WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações                                16

                    ( Ta − Tb ) b
       k 2 = Ta +
                       a −b

Substituição na equação:

                  ( Ta − Tb ) ab 1 ( Ta − Tb ) ab 1            ( Ta − Tb ) ab  1
                                                                                1
       T = Ta −                         +             = Ta +                  − 
                      a −b          r       a−b   a                a−b       a r




                    explicações de física ou química - tel: 964207327
                           http://www.explicacoes.com/fisica

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Colisões nucleares ultrarelativísticas e seu papel no big bang, marvel univer...
Colisões nucleares ultrarelativísticas e seu papel no big bang, marvel univer...Colisões nucleares ultrarelativísticas e seu papel no big bang, marvel univer...
Colisões nucleares ultrarelativísticas e seu papel no big bang, marvel univer...Alex Quadros
 
Aula 1 fic
Aula 1   ficAula 1   fic
Aula 1 ficBUIAR
 
Leis fundamentais da dinâmica dos fluidos
Leis fundamentais da dinâmica dos fluidosLeis fundamentais da dinâmica dos fluidos
Leis fundamentais da dinâmica dos fluidosSérgio Rocha
 
Ita2005
Ita2005Ita2005
Ita2005cavip
 
Unicamp2010 2afase fisresp
Unicamp2010 2afase fisrespUnicamp2010 2afase fisresp
Unicamp2010 2afase fisrespRildo Borges
 
Corrente E ResistêNcia
Corrente E ResistêNciaCorrente E ResistêNcia
Corrente E ResistêNciaguestf9bbf1
 
4 análise dos dados cinéticos
4 análise dos dados cinéticos4 análise dos dados cinéticos
4 análise dos dados cinéticosDenis Lima
 
DinâMica Dos Fluidos
DinâMica Dos FluidosDinâMica Dos Fluidos
DinâMica Dos Fluidosdalgo
 
Exercicios resolvidos quantica
Exercicios resolvidos   quanticaExercicios resolvidos   quantica
Exercicios resolvidos quanticaPedro Debossam
 
Algebra Linear cap 06
Algebra Linear cap  06Algebra Linear cap  06
Algebra Linear cap 06Andrei Bastos
 
51187144 lista-de-exercicios-1-cinetica
51187144 lista-de-exercicios-1-cinetica51187144 lista-de-exercicios-1-cinetica
51187144 lista-de-exercicios-1-cineticaAlcoa
 

Mais procurados (20)

Lista fisica1 solucao
Lista fisica1 solucao Lista fisica1 solucao
Lista fisica1 solucao
 
Analise dimensional 11 usj-2012-of
Analise dimensional  11 usj-2012-ofAnalise dimensional  11 usj-2012-of
Analise dimensional 11 usj-2012-of
 
Física - Analise Dimensional
Física - Analise DimensionalFísica - Analise Dimensional
Física - Analise Dimensional
 
Blog fis 26
Blog fis 26Blog fis 26
Blog fis 26
 
Lista 3
Lista 3Lista 3
Lista 3
 
Colisões nucleares ultrarelativísticas e seu papel no big bang, marvel univer...
Colisões nucleares ultrarelativísticas e seu papel no big bang, marvel univer...Colisões nucleares ultrarelativísticas e seu papel no big bang, marvel univer...
Colisões nucleares ultrarelativísticas e seu papel no big bang, marvel univer...
 
Aula 1 fic
Aula 1   ficAula 1   fic
Aula 1 fic
 
Leis fundamentais da dinâmica dos fluidos
Leis fundamentais da dinâmica dos fluidosLeis fundamentais da dinâmica dos fluidos
Leis fundamentais da dinâmica dos fluidos
 
Ita2005
Ita2005Ita2005
Ita2005
 
Ita2005 parte 001
Ita2005 parte 001Ita2005 parte 001
Ita2005 parte 001
 
Unicamp2010 2afase fisresp
Unicamp2010 2afase fisrespUnicamp2010 2afase fisresp
Unicamp2010 2afase fisresp
 
Corrente E ResistêNcia
Corrente E ResistêNciaCorrente E ResistêNcia
Corrente E ResistêNcia
 
4 análise dos dados cinéticos
4 análise dos dados cinéticos4 análise dos dados cinéticos
4 análise dos dados cinéticos
 
DinâMica Dos Fluidos
DinâMica Dos FluidosDinâMica Dos Fluidos
DinâMica Dos Fluidos
 
6 dinamica
6 dinamica6 dinamica
6 dinamica
 
Funcoesvetorias
FuncoesvetoriasFuncoesvetorias
Funcoesvetorias
 
Exercicios resolvidos quantica
Exercicios resolvidos   quanticaExercicios resolvidos   quantica
Exercicios resolvidos quantica
 
Algebra Linear cap 06
Algebra Linear cap  06Algebra Linear cap  06
Algebra Linear cap 06
 
51187144 lista-de-exercicios-1-cinetica
51187144 lista-de-exercicios-1-cinetica51187144 lista-de-exercicios-1-cinetica
51187144 lista-de-exercicios-1-cinetica
 
movimento retilíneo
movimento retilíneomovimento retilíneo
movimento retilíneo
 

Semelhante a Transf calor

Transferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdf
Transferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdfTransferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdf
Transferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdfmafakina Malolo JRr
 
Corrente E Resistência
Corrente E ResistênciaCorrente E Resistência
Corrente E Resistênciadalgo
 
Entropia E 2a Lei Da TermodinâMica
Entropia E 2a  Lei Da TermodinâMicaEntropia E 2a  Lei Da TermodinâMica
Entropia E 2a Lei Da TermodinâMicadalgo
 
Aula4 aletas aula-+__lista__exercicio
Aula4 aletas aula-+__lista__exercicioAula4 aletas aula-+__lista__exercicio
Aula4 aletas aula-+__lista__exercicioCarlos Santos
 
Fisica 02 - A teoria cinética dos gases
Fisica 02 - A teoria cinética dos gasesFisica 02 - A teoria cinética dos gases
Fisica 02 - A teoria cinética dos gasesWalmor Godoi
 
Ita2009 4dia
Ita2009 4diaIta2009 4dia
Ita2009 4diacavip
 
Ita2008 1e2dias
Ita2008 1e2diasIta2008 1e2dias
Ita2008 1e2diascavip
 
Ita2008 1e2dias
Ita2008 1e2diasIta2008 1e2dias
Ita2008 1e2diascavip
 
Ita2008 1dia parte_001
Ita2008 1dia parte_001Ita2008 1dia parte_001
Ita2008 1dia parte_001Thommas Kevin
 
CinemáTica Rotacional
CinemáTica RotacionalCinemáTica Rotacional
CinemáTica Rotacionalguestf9bbf1
 
Ita2007 4dia
Ita2007 4diaIta2007 4dia
Ita2007 4diacavip
 
Temperatura
TemperaturaTemperatura
Temperaturadalgo
 
Temperatura
TemperaturaTemperatura
Temperaturadalgo
 
Introducao ao escoamento compressivel
 Introducao ao escoamento compressivel Introducao ao escoamento compressivel
Introducao ao escoamento compressivelRose Miguel
 
CCE0330_aula08.pdf
CCE0330_aula08.pdfCCE0330_aula08.pdf
CCE0330_aula08.pdfmariobros34
 
Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015
Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015
Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015Jorge Vieira
 

Semelhante a Transf calor (20)

Transferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdf
Transferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdfTransferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdf
Transferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdf
 
Corrente E Resistência
Corrente E ResistênciaCorrente E Resistência
Corrente E Resistência
 
Entropia E 2a Lei Da TermodinâMica
Entropia E 2a  Lei Da TermodinâMicaEntropia E 2a  Lei Da TermodinâMica
Entropia E 2a Lei Da TermodinâMica
 
Refrigeração
RefrigeraçãoRefrigeração
Refrigeração
 
Aula4 aletas aula-+__lista__exercicio
Aula4 aletas aula-+__lista__exercicioAula4 aletas aula-+__lista__exercicio
Aula4 aletas aula-+__lista__exercicio
 
Fisica 02 - A teoria cinética dos gases
Fisica 02 - A teoria cinética dos gasesFisica 02 - A teoria cinética dos gases
Fisica 02 - A teoria cinética dos gases
 
Aula 24 trocadores-de-calor
Aula 24 trocadores-de-calorAula 24 trocadores-de-calor
Aula 24 trocadores-de-calor
 
Ita2009 4dia
Ita2009 4diaIta2009 4dia
Ita2009 4dia
 
Tcm 04
Tcm 04Tcm 04
Tcm 04
 
Sobre Transiente.pptx
Sobre Transiente.pptxSobre Transiente.pptx
Sobre Transiente.pptx
 
Ita2008 1e2dias
Ita2008 1e2diasIta2008 1e2dias
Ita2008 1e2dias
 
Ita2008 1e2dias
Ita2008 1e2diasIta2008 1e2dias
Ita2008 1e2dias
 
Ita2008 1dia parte_001
Ita2008 1dia parte_001Ita2008 1dia parte_001
Ita2008 1dia parte_001
 
CinemáTica Rotacional
CinemáTica RotacionalCinemáTica Rotacional
CinemáTica Rotacional
 
Ita2007 4dia
Ita2007 4diaIta2007 4dia
Ita2007 4dia
 
Temperatura
TemperaturaTemperatura
Temperatura
 
Temperatura
TemperaturaTemperatura
Temperatura
 
Introducao ao escoamento compressivel
 Introducao ao escoamento compressivel Introducao ao escoamento compressivel
Introducao ao escoamento compressivel
 
CCE0330_aula08.pdf
CCE0330_aula08.pdfCCE0330_aula08.pdf
CCE0330_aula08.pdf
 
Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015
Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015
Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015
 

Mais de zeramento contabil (20)

Contabilidade 11
Contabilidade 11Contabilidade 11
Contabilidade 11
 
Contabilidade 01
Contabilidade 01Contabilidade 01
Contabilidade 01
 
Contabilidade 02
Contabilidade 02Contabilidade 02
Contabilidade 02
 
Contabilidade 03
Contabilidade 03Contabilidade 03
Contabilidade 03
 
Contabilidade 04
Contabilidade 04Contabilidade 04
Contabilidade 04
 
Contabilidade 05
Contabilidade 05Contabilidade 05
Contabilidade 05
 
Contabilidade 06
Contabilidade 06Contabilidade 06
Contabilidade 06
 
Contabilidade 07
Contabilidade 07Contabilidade 07
Contabilidade 07
 
Contabilidade 08
Contabilidade 08Contabilidade 08
Contabilidade 08
 
Contabilidade 09
Contabilidade 09Contabilidade 09
Contabilidade 09
 
Contabilidade 10
Contabilidade 10Contabilidade 10
Contabilidade 10
 
Contabilidade 12
Contabilidade 12Contabilidade 12
Contabilidade 12
 
Contabilidade 13
Contabilidade 13Contabilidade 13
Contabilidade 13
 
Contabilidade 15
Contabilidade 15Contabilidade 15
Contabilidade 15
 
Razonetes cap i 2015
Razonetes cap i 2015Razonetes cap i 2015
Razonetes cap i 2015
 
Caderno de-exercicios-contab-ii
Caderno de-exercicios-contab-iiCaderno de-exercicios-contab-ii
Caderno de-exercicios-contab-ii
 
Livro contabilidade intermediaria 2
Livro contabilidade intermediaria 2Livro contabilidade intermediaria 2
Livro contabilidade intermediaria 2
 
Contabilidade respostas 00
Contabilidade respostas 00Contabilidade respostas 00
Contabilidade respostas 00
 
Contabilidade respostas 00
Contabilidade respostas 00Contabilidade respostas 00
Contabilidade respostas 00
 
Rosa dos ventos
Rosa dos ventosRosa dos ventos
Rosa dos ventos
 

Transf calor

  • 1. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 1 www.explicacoes.com Explicadores - ensino superior cadeira cidade tel email Física Porto 964207327 explicacoes.com@portugalmail.pt Análise Mat. Porto 966540930 explicacoes.com@portugalmail.pt Outros apontamentos - ensino superior Cálculo Probabilidades: http://www.explicacoes.com/estatistica/apontamentos.htm análise - eq. diferenciais: http://www.explicacoes.com/analise/apontamentos.htm analise - exames resolvidos: http://www.explicacoes.com/analise/apontamentos.htm Páginas com Interesse Dúvidas online: http://www.explicacoes.com/forum.htm Livraria online: http://www.explicacoes.com/livraria bolsa de explicadores: http://www.explicacoes.com/bolsa mensagens para telemóvel: http://www.explicacoes.com/sms ganhar dinheiro na net: http://www.explicacoes.com/navicash.htm explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 2. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 2 Transporte de Calor versão 0.5 - 8 de Abril de 2000 A presente versão é provisória. O leitor interessado deve visitar o site http://www.explicacoes.com para obter as versões mais recentes. Pretendemos lançar versões novas semanalmente. Se encontrar incorrecções ou tiver dúvidas pode contactar-nos através de email: explicacoes.com@portugalmail.pt explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 3. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 3 Nomenclatura: h densidade de corrente de calor - fluxo de calor Quantidade de calor que passa por unidade de tempo e por unidade de área dQ quantidade de calor que passa por unidade de tempo dt T temperatura ρ densidade do meio c capacidade calorifica k condutividade térmica do meio H quando há produção interna de calor é a quantidade de calor produzida por unidade de tempo e por unidade de volume 1ª Lei de Fourier (estado estacionário): Condução de calor unidimensional em estado estacionário sem produção interna de calor: dT h = −k dx ou dQ dT = −kA dt dx 2) 1ª Lei de Fourier - Condução de calor com simetria cilíndrica dT Aplicação da equação h = − k ao caso de transporte de calor em estado estacionário dx num corpo com simetria cilíndrica. Um cilindro de raio interno a e raio externo b é feito de um material com condutividade térmica k. A temperatura no interior do cilindro é Ta e a temperatura na superfície externa é Tb. explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 4. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 4 L a b Ta Tb Neste caso, se se admitir que o comprimento do cilindro L é muito maior que o raio do cilindro, o calor flui na direcção radial. Para cada valor do raio, r, o calor flui através de uma área A, em que A = 2πr1 L a) Determine uma expressão para o calor transferido através do cilindro. dQ dT = −kA em que A = 2πrL dt dr dQ dT (1) = −2kπrL dt dr b T dQ dr b dt ∫ r = −2kπL ∫ dT a T a dQ b ln = −k 2πL( Tb − Ta ) dt a dQ k 2πL( Tb − Ta ) =− dt b ln a b ) Determine o gradiente de temperaturas no cilindro. explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 5. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 5 dQ dT equação obtida de (1) = − dt dx 2kπrL b) Determine a distribuição de temperaturas no cilindro. dQ dr dT = − dt k 2πL r dQ T r dt dr ∫ dT = − k 2πL ∫ r Ta a dQ 2kπL( Tb − Ta ) =− dt b ln a 2kπL( Tb − Ta ) 1 r dr T ∫ dT = b 2kπL ∫ r Ta ln a a T ( Tb − Ta ) r dr ∫ dT = b ∫ r Ta ln a a ( Tb − Ta )  ln r     a T − Ta = b ln a r ln T − Ta a = Tb − Ta b ln a ln r − ln a T = Ta + ( Tb − Ta ) ln b − ln a explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 6. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 6 3- 1ª Lei de Fourier - simetria esférica Considere uma esfera oca com condutividade k, raio interno a, raio externo b, temperatura interna Ta e temperatura externa Tb. Admita estado estacionário. a b Ta Tb a) Determine o calor transferido dQ dT = −kA dt dr Área de uma superfície esférica = 4πr 2 dQ dT = −4kπr 2 dt dr dQ dr 4kπdT = − dt r 2 Tb b dQ dr 4kπ ∫ dT = − T dt ∫ r 2 a a dQ  1 1  4kπ ( Tb − Ta ) =  −  dt  b a  explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 7. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 7 dQ 4kπ ( Tb − Ta ) = dt 1 1 − b a dQ 4kπ ( Tb − Ta ) ab = dt a−b dQ dr dT = − dt 2 4kπ r dQ T r dt dr ∫ dT = − 4kπ ∫ r2 T a a dQ 1 1 T − Ta = dt  −  4kπ r a 4kπ ( Tb − Ta ) ab 1  1 1  T − Ta =  −  a−b 4kπ  r a  ( Tb − Ta ) ab  a − r  T − Ta =   a−b  ar  ( Tb − Ta ) b  a − r  T − Ta =   r a−b ( Tb − Ta ) b  a − r  T = Ta +   r a−b explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 8. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 8 4 - Aplicação - simetria cilíndrica. Um cilindro de raio externo 12 mm a uma temperatura 140 C encontra-se rodeado por um isolador de raio 28 mm e de condutividade térmica k=0.11wm-1k-1. A temperatura no exterior é de 35 C. L 12 m m o 140 C is o la n te 28 m m o 35 C Determine: a) O fluxo de calor b) a distribuição da temperatura no meio isolador c) represente a temperatura em função de r d) determine o gradiente de temperatura num ponto a 20 mm do eixo a) dQ k 2πL( Tb − Ta ) =− dt b ln a dQ dt = − 2 × 0.11 × π (140 − 35) = 85.6 js −1m −1 L 28 ln 12 ln r − ln a b) T = Ta + ( Tb − Ta ) ln b − ln a r ln T = 140 + ( 35 − 140 ) 12 28 ln 12 explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 9. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 9 c) 160 T (C) 80 0 0 10 20 30 r (mm) dQ dT 85.6 = − dt = = −619.7 km −1 dr 2πrLk 2π 20 × 10 × 0.11 −3 5 - Uma esfera de cobre de raio 25 mm está revestida por um isolante de espessura 15 mm. A temperatura exterior é de 25 o C. A quantidade de calor que flui por unidade de tempo para o exterior é de 600 mW Dado: condutividade térmica do isolamento k=0.01 wm-1k-1 25 m m 40 m m T in t o 25 C Calcule: a) a temperatura à superfície da esfera de cobre dQ 4kπ ( Text − Tint ) rint rext = dt rint − rext 4 × 0.01π ( 298 − Tint ) 25 × 10 −3 × 40 × 10 −3 600 × 10 −3 = 25 × 10 −3 − 40 × 10 −3 explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 10. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 10 T int = 369 K → 96 o C b) a distribuição da temperatura no meio isolador ( Text − Tint ) rext   rint − r   T = Tint + r −r  r  int ext  T = 96 + ( 25 − 96) × 40 × 10 −3   25 × 10 −3 − r   r  25 × 10 −3 − 40 × 10 −3    c) Represente a temperatura em função de r 160 T (C) 80 0 0 15 30 45 r (mm) 6 - Equação de Laplace Quando se verifica estado estacionário, fluxo unidimensional e não há produção interna de calor é válida a equação de Laplace: d 2T =0 dx 2 Resolução da equação recorrendo às condições fronteira:  x = 0 ⇒ T = T2    x = L ⇒ T = T1  explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 11. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 11 Integração da equação de Laplace: d 2T =0 dx 2 d 2T ∫ dx 2 = k1 dT = k1 dx ∫ dT = ∫ k1dx T = k1 x + k 2 Determinação das constantes com base nas condições fronteira:  x = 0 ⇒ T2 = k1 × 0 + k 2    x = L ⇒ T1 = k1 × L + k 2  k 2 = T2   T − k2 k1 = 1  L k 2 = T2   T − T2 k1 = 1  L Substituição das constantes na equação: T1 − T2 T= x + T2 L explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 12. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 12 7 - Equação de Laplace para simetria cilíndrica L a b Ta Tb d  dT  r =0 dr  dr  Resolver esta equação admitindo as seguintes condições fronteira: r = a ⇒ T = Ta   r = b ⇒ T = Tb  Integração da equação: d  dT  r =0 dr  dr  dT r = k1 dr dr dT = k1 r dr ∫ dT = k1 ∫ r T = k1 ln r + k 2 explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 13. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 13 Determinação das constantes: r = a ⇒ Ta = k1 ln a + k 2   r = b ⇒ Tb = k1 ln b + k 2  k1 ln a + k 2 = Ta   k1 ln b + k 2 = Tb  Ta 1 Tb 1 Ta − Tb k1 = = ln a 1 ln a ln b 1 ln b ln a Ta ln b Tb Tb ln a − Ta ln b k2 = = ln a 1 ln a ln b 1 ln b Substituir as constantes na equação: Ta − Tb T ln a − Ta ln b T= ln r + b ln a ln a ln b ln b Outra forma para a mesma equação: Ta − Tb T ln a − Ta ln b T= ln r + Ta − Ta + b ln a ln a ln b ln b Ta − Tb − Ta ln a + Ta ln b + Tb ln a − Ta ln b T = Ta + ln r + ln a ln a ln b ln b explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 14. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 14 Ta − Tb ( T − Ta ) ln a T = Ta + ln r + b ln a ln a ln b ln b Ta − Tb r T = Ta + ln ln a a ln b 8 - Equação de Laplace para simetria esférica a b Ta Tb d  2 dT  r =0 dr  dr  Integrar para as condições fronteira: r = a ⇒ T = Ta   r = b ⇒ T = Tb  Integração: dT r2 = k1 dr k1 dT = dr r2 dr ∫ dT = k1 ∫ r 2 1 T = −k1 + k2 r explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 15. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 15 Determinação das constantes:  1 r = a ⇒ Ta = −k1 a + k 2    1  r = b ⇒ Tb = − k1 + k 2  b  1 − k1 a + k 2 = Ta    1 − k1 b + k 2 = Tb  Ta 1 Tb 1 Ta − Tb ( Ta − Tb ) ab k1 = = = 1 1 1 a−b − 1 − a b a 1 − 1 b 1 − Ta a 1 Ta Tb − Tb − k2 = b = b a = aTa − bTb 1 1 1 a−b − 1 − a b a 1 − 1 b ( Ta − Tb ) ab 1 aTa − bTb T =− + a−b r a −b Outra versão - determinação de k2 por outro método a partir de k1: determinação de k2: k1 k 2 = Ta + a ( Ta − Tb ) ab k 2 = Ta + a−b a explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica
  • 16. WWW.EXPLICACOES.COM - exames resolvidos e explicações 16 ( Ta − Tb ) b k 2 = Ta + a −b Substituição na equação: ( Ta − Tb ) ab 1 ( Ta − Tb ) ab 1 ( Ta − Tb ) ab  1 1 T = Ta − + = Ta +  −  a −b r a−b a a−b a r explicações de física ou química - tel: 964207327 http://www.explicacoes.com/fisica