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Transporte de Calor
versão 0.5 - 8 de Abril de 2000

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Nomenclatura:

h densidade de corrente de calor - fluxo de calor Quantidade de calor que
passa por unidade de tempo e por unidade de área
dQ quantidade de calor que passa por unidade de tempo
dt
T temperatura
ρ densidade do meio
c capacidade calorifica
k condutividade térmica do meio
H quando há produção interna de calor é a quantidade de calor produzida
por unidade de tempo e por unidade de volume

1ª Lei de Fourier (estado estacionário):
Condução de calor unidimensional em estado estacionário sem produção interna de
calor:
dT
h = −k
dx
ou

dQ dT
= −kA
dt dx

2) 1ª Lei de Fourier - Condução de calor com simetria cilíndrica

dT
Aplicação da equação h = − k ao caso de transporte de calor em estado estacionário
dx
num corpo com simetria cilíndrica.

Um cilindro de raio interno a e raio externo b é feito de um material com condutividade
térmica k. A temperatura no interior do cilindro é Ta e a temperatura na superfície
externa é Tb.



L

a b
Ta

Tb
Neste caso, se se admitir que o comprimento do cilindro L é muito maior que o raio do
cilindro, o calor flui na direcção radial. Para cada valor do raio, r, o calor flui através de
uma área A, em que

A = 2πr1 L

a) Determine uma expressão para o calor transferido através do cilindro.

dQ dT
= −kA em que A = 2πrL
dt dr

dQ dT (1)
= −2kπrL
dt dr

b T
dQ dr b

dt ∫ r
= −2kπL ∫ dT
a T a

dQ b
ln = −k 2πL( Tb − Ta )
dt a

dQ k 2πL( Tb − Ta )
=−
dt b
ln
a

b ) Determine o gradiente de temperaturas no cilindro.



dQ
dT equação obtida de (1)
= − dt
dx 2kπrL

b) Determine a distribuição de temperaturas no cilindro.

dQ
dr
dT = − dt
k 2πL r

dQ
T r
dt dr
∫ dT = − k 2πL ∫ r
Ta a

dQ 2kπL( Tb − Ta )
=−
dt b
ln
a

2kπL( Tb − Ta ) 1 r dr
T

∫ dT = b 2kπL ∫ r
Ta ln a
a

T
( Tb − Ta ) r dr
∫ dT = b ∫ r
Ta ln a
a

( Tb − Ta )  ln r 
 
 a
T − Ta =
b
ln
a

r
ln
T − Ta a
=
Tb − Ta b
ln
a

ln r − ln a
T = Ta + ( Tb − Ta )
ln b − ln a



3- 1ª Lei de Fourier - simetria esférica

Considere uma esfera oca com condutividade k, raio interno a, raio externo b,
temperatura interna Ta e temperatura externa Tb. Admita estado estacionário.

a b

Ta

Tb

a) Determine o calor transferido

dQ dT
= −kA
dt dr

Área de uma superfície esférica = 4πr 2

dQ dT
= −4kπr 2
dt dr

dQ dr
4kπdT = −
dt r 2

Tb b
dQ dr
4kπ ∫ dT = −
T
dt ∫ r 2
a
a

dQ  1 1 
4kπ ( Tb − Ta ) =  − 
dt  b a 


dQ 4kπ ( Tb − Ta )
=
dt 1 1
−
b a

dQ 4kπ ( Tb − Ta ) ab
=
dt a−b

dQ
dr
dT = − dt 2
4kπ r
dQ
T r
dt dr
∫ dT = − 4kπ ∫ r2
T
a a

dQ
1 1
T − Ta = dt  − 
4kπ r a

4kπ ( Tb − Ta ) ab 1  1 1 
T − Ta =  − 
a−b 4kπ  r a 

( Tb − Ta ) ab  a − r 
T − Ta =  
a−b  ar 

( Tb − Ta ) b  a − r 
T − Ta =  
r a−b

( Tb − Ta ) b  a − r 
T = Ta +  
r a−b



4 - Aplicação - simetria cilíndrica. Um cilindro de raio externo 12 mm a uma
temperatura 140 C encontra-se rodeado por um isolador de raio 28 mm e de
condutividade térmica k=0.11wm-1k-1. A temperatura no exterior é de 35 C.

L

12 m m
o

140 C
is o la n te
28 m m o

35 C
Determine:

a) O fluxo de calor
b) a distribuição da temperatura no meio isolador
c) represente a temperatura em função de r
d) determine o gradiente de temperatura num ponto a 20 mm do eixo

a)
dQ k 2πL( Tb − Ta )
=−
dt b
ln
a

dQ
dt = − 2 × 0.11 × π (140 − 35) = 85.6 js −1m −1
L 28
ln
12

ln r − ln a
b) T = Ta + ( Tb − Ta )
ln b − ln a

r
ln
T = 140 + ( 35 − 140 ) 12
28
ln
12



c)

160

T (C)

80

0
0 10 20 30
r (mm)

dQ
dT 85.6
= − dt = = −619.7 km −1
dr 2πrLk 2π 20 × 10 × 0.11
−3

5 - Uma esfera de cobre de raio 25 mm está revestida por um isolante de espessura 15
mm. A temperatura exterior é de 25 o C. A quantidade de calor que flui por unidade de
tempo para o exterior é de 600 mW

Dado: condutividade térmica do isolamento k=0.01 wm-1k-1

25 m m 40 m m

T in t

o

25 C

Calcule:

a) a temperatura à superfície da esfera de cobre

dQ 4kπ ( Text − Tint ) rint rext
=
dt rint − rext

4 × 0.01π ( 298 − Tint ) 25 × 10 −3 × 40 × 10 −3
600 × 10 −3 =
25 × 10 −3 − 40 × 10 −3



T int = 369 K → 96 o C

b) a distribuição da temperatura no meio isolador

( Text − Tint ) rext 

rint − r 

T = Tint + r −r 
r  int ext 

T = 96 +
( 25 − 96) × 40 × 10 −3 

25 × 10 −3 − r 

r  25 × 10 −3 − 40 × 10 −3 
 

c) Represente a temperatura em função de r

160

T (C)

80

0
0 15 30 45
r (mm)

6 - Equação de Laplace
Quando se verifica estado estacionário, fluxo unidimensional e não há produção interna
de calor é válida a equação de Laplace:

d 2T
=0
dx 2
Resolução da equação recorrendo às condições fronteira:

 x = 0 ⇒ T = T2


 x = L ⇒ T = T1




Integração da equação de Laplace:

d 2T
=0
dx 2

d 2T
∫ dx 2 = k1

dT
= k1
dx

∫ dT = ∫ k1dx

T = k1 x + k 2

Determinação das constantes com base nas condições fronteira:

 x = 0 ⇒ T2 = k1 × 0 + k 2


 x = L ⇒ T1 = k1 × L + k 2


k 2 = T2

 T − k2
k1 = 1
 L

k 2 = T2

 T − T2
k1 = 1
 L

Substituição das constantes na equação:

T1 − T2
T= x + T2
L


7 - Equação de Laplace para simetria cilíndrica

L

a b
Ta

Tb
d  dT 
r =0
dr  dr 

Resolver esta equação admitindo as seguintes condições fronteira:

r = a ⇒ T = Ta


r = b ⇒ T = Tb

Integração da equação:

d  dT 
r =0
dr  dr 

dT
r = k1
dr

dr
dT = k1
r

dr
∫ dT = k1 ∫ r

T = k1 ln r + k 2


Determinação das constantes:

r = a ⇒ Ta = k1 ln a + k 2


r = b ⇒ Tb = k1 ln b + k 2


k1 ln a + k 2 = Ta


k1 ln b + k 2 = Tb


Ta 1
Tb 1 Ta − Tb
k1 = =
ln a 1 ln a
ln b 1 ln b

ln a Ta
ln b Tb Tb ln a − Ta ln b
k2 = =
ln a 1 ln a
ln b 1 ln b

Substituir as constantes na equação:

Ta − Tb T ln a − Ta ln b
T= ln r + b
ln a ln a
ln b ln b

Outra forma para a mesma equação:

Ta − Tb T ln a − Ta ln b
T= ln r + Ta − Ta + b
ln a ln a
ln b ln b

Ta − Tb − Ta ln a + Ta ln b + Tb ln a − Ta ln b
T = Ta + ln r +
ln a ln a
ln b ln b



Ta − Tb ( T − Ta ) ln a
T = Ta + ln r + b
ln a ln a
ln b ln b

Ta − Tb r
T = Ta + ln
ln a a
ln b

8 - Equação de Laplace para simetria esférica

a b

Ta

Tb

d  2 dT 
r =0
dr  dr 

Integrar para as condições fronteira:

r = a ⇒ T = Ta


r = b ⇒ T = Tb


Integração:

dT
r2 = k1
dr

k1
dT = dr
r2

dr
∫ dT = k1 ∫ r 2
1
T = −k1 + k2
r


Determinação das constantes:

 1
r = a ⇒ Ta = −k1 a + k 2


 1
 r = b ⇒ Tb = − k1 + k 2
 b

 1
− k1 a + k 2 = Ta


 1
− k1 b + k 2 = Tb


Ta 1
Tb 1 Ta − Tb ( Ta − Tb ) ab
k1 = = =
1 1 1 a−b
− 1 −
a b a
1
− 1
b

1
− Ta
a
1 Ta Tb
− Tb −
k2 = b = b a = aTa − bTb
1 1 1 a−b
− 1 −
a b a
1
− 1
b

( Ta − Tb ) ab 1 aTa − bTb
T =− +
a−b r a −b

Outra versão - determinação de k2 por outro método a partir de k1:

determinação de k2:

k1
k 2 = Ta +
a

( Ta − Tb ) ab
k 2 = Ta + a−b
a



( Ta − Tb ) b
k 2 = Ta +
a −b

Substituição na equação:

( Ta − Tb ) ab 1 ( Ta − Tb ) ab 1 ( Ta − Tb ) ab  1
1
T = Ta − + = Ta +  − 
a −b r a−b a a−b a r


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