3. 3
Equação da Aletas
Taxa de condução Taxa de condução Taxa de convecção
de calor para o de calor para o de calor a partir
elemento x elemento x+ x do elemento
co ( )nv sQ hA T T
4. 4
2
2
(condutividade térmica) constante
(Área da seção transversal) constante
( ) 0
( ) 0
c
c
c
k
A
d dT hp
T T
dx dx kA
d T hp
T T
dx kA
2 2
2 2
2
( ) ( )
( )
( )
c
Mudança de Variável
T x T x
dT d x
dx dx
d T d x
dx dx
e Chamando
hp
m
kA
2
2
2
0
d
m
dx
A solução geral da equação
diferencial é:
6. 6
Condição de contorno
Na outra Extremidade da Aleta X=L
a) Aleta Infinitamente Tponta da aleta = T∞
(ou seja a temperatura na ponta da aleta
se aproxima da temperatura do meio)
Resolvendo para estas condições de contorno a
equação da temperatura e:
Taxa de Calor por toda superfície da aleta é:
,
0
( ).( )aleta longa c b
x
dT
Q kA hpkA T T
dx
7. 7
Exemplo
• Um bastão longo com 5 mm de diâmetro, tem uma de suas extremidades
mantida a 100 C. A superfície do bastão está exposta ao ambiente a 25C
com coeficiente de convecção de 100 W/m2K
• A) determinar a distribuição de temperatura para bastão de cobre 398
W/mK Alumínio, aço inox
0
25
50
75
100
0 0,2 0,4 0,6 0,8
Cobre
Aluminio
Aço Inox
mL = 5 Aleta infinitaa) Aleta Infinitamente Tponta da aleta = T∞
(ou seja a temperatura na ponta da aleta
se aproxima da temperatura do meio)
8. 8
b) Taxa Perda de calor desprezível na ponta da aleta Qponta da aleta = 0
(Como a área da ponta é muito pequena e a transferência de calor é
proporcional a área essa é uma aproximação razoável para uma aleta
não tão longa)
Condição de contorno
Variação da temperatura
Taxa de Calor por toda superfície da aleta é:
0
( ).( )tanhaleta c b
x
dT
Q kA hpkA T T mL
dx
9. 9
Exemplo
• Determine o erro % entre uma aleta fixa a superfície considerando a
comprimento longo b) sem perda de calor na extremidade
_
0
( ).( )aleta longa c b
x
dT
Q kA hpkA T T
dx
_
0
( ).( )tanhaleta isolada c b
x
dT
Q kA hpkA T T mL
dx
_ _
_
( ).( ) ( ).( )tanh 1
% 1
tanh( ).( )tanh
aleta longa aleta isolada c b c b
aleta isolada c b
Q Q hpkA T T hpkA T T mL
Erro
mLQ hpkA T T mL
2
1
2
(12 / ) (0.0004 )
7,116
(237 / ) (0,004 ) / 4c
hp W m C m
m m
kA W m C m
1 1
% 1 1 0,635 63,5%
tanh tanh (7,116)(0,10)
Erro
mL
10. 10
c) Convecção na ponta da aleta
( é a condição de contorno mas realista
Condição de contorno
Variação da temperatura
Taxa de Calor por toda superfície da aleta é:
( ) cosh ( ) ( / ) ( )
cosh( ) ( / )b
T x T m L x h mk senhm L x
T T mL h mk senhmL
0
( ) ( / )cosh
( ).( )
cosh( ) ( / )
aleta c b
x
dT senh mL h mk mL
Q kA hpkA T T
dx mL h mk senhmL
15. Eficiência da aleta
15
max
Taxa real de calor transferido pela aleta
Taxa de calor ideal transferida pela aleta
(se toda aleta está à mesma temperatura da base)
aQ
Q
16. Efetividade da aleta
16
b
b
Calor transferido a partir de
uma aleta de área da base A
Calor Transferido de uma ( )
superfície de área da base A
aleta aleta
semaleta b b
Q Q
Q h A T T
( )
( ) ( )
aleta aleta aleta aleta b
semaleta b b b b
aleta
aleta
b
Q Q h A T T
Q h A T T h A T T
A
A
17. Exemplo
17
( )
( )
c baleta
semaleta b b
c
b
c b
hpkA T TQ kp
Q h A T T hAc
k Condutividade Térmica
p Perímetro
h CoeficientedeTroca decalor convectivo
A Área da seçãotransversal
A Área dabase
A A
Qual a efetividade de uma aleta infinita de seção transversal uniforme
,inf
0
( ).( )aleta inita c b
x
dT
Q kA hpkA T T
dx
18. Algumas conclusões
18
( )
( )
c baleta
semaleta b b
hpkA T TQ kp
Q h A T T hAc
1. k ↑ ε ↑
2. p/Ac ↑ ε ↑ - Chapas finas e aletas delgadas na forma de pinos
3. h ↓ ε ↑ - Melhor em Gás do que em líquidos, convecção
natural que forçada
Ex. num trocado de calor gás - líquido como radiador de um carro as
aletas são instaladas no lado do gás (ar).
19. Tamanho adequado da
aleta
19
0
( ).( )tanhaleta c b
x
dT
Q kA hpkA T T mL
dx
,
0
( ).( )aleta longa c b
x
dT
Q kA hpkA T T
dx
,
,
( ).( )tanh( )
tanh( )
( ).( )
aleta c b
aleta longa c b
Q hpkA T T mL
mL
Q hpkA T T
mL Tanh(mL)
0,1 0,1
0,2 0,197
0,5 0,467
1 0,762
1,5 0,905
2 0,964
2,5 0,987
3 0,995
4 0,999
5 1,00
20. Superfície com varias aletas
20
( ) ( )
( )( )
total não aletada aleta
nãoaletada b aleta aleta b
nãoaletada aleta aleta b
Q Q Q
hA T T hA T T
h A A T T
( )( )
( )
total aleta não aletada aleta aleta b
global
total sem aleta sem aleta b
Q h A A T T
Q hA T T
21. Lista de Exercícios
1- Uma aleta retangular de 0,002 x 0,02 m k= 50 W/mK está numa parede e troca calor com ar h=600
W/m2K, T∞= 20 °C , sabendo que Tb= 170 °C. Qual o fluxo de calor e sua eficácia.
2-Considere uma aleta retangular muito longa fixada à superfície plana de tal forma que a temperatura na
sua ponta seja essencialmente a mesma do ar circundante , 20˚C, sua largura é5 cm e espessura 1,0 mm, k –
20W/mK e a temperatura na base 40 ˚C, o coeficiente de transferência de calor convectivo h=20W/m^2K.
Estime a temperatura a distancia de 5 cm da base da aleta e a taxa de perda de calor.
3- Uma aleta plana fabricada com a liga de alumínio 2024 (k = 185 W/(m · K)) tem uma espessura na base de t
= 3 mm e um comprimento de 15 mm. Sua temperatura na base é Tb = 100°C e ela está exposta a um fluido
no qual T∞ = 20°C e h = 50 W/(m2 · K). Para as condições anteriores e uma aleta de largura unitária, compare
a taxa de transferência de calor na aleta, a eficiência e para os perfis retangular, triangular e parabólico
4-Uma lamina de turbina feita de liga de metal (K=14W/mK) tem comprimento de 5,3 cm perímetro de 11 cm
e área transversal de 5,1 cm^2. A lamina da turbina e exposta aos gases quente da câmera de combustão a
973°C com coeficiente de transferência de calor h=538 W/m2K. A base da lamina da turbina mantém
temperatura de 450 °C. Determine a taxa de transferência de calor para a lamina e a temperatura na ponta da
turbina
5- uma parede plana com temperatura de 350°C está ligada a aletas retangulares retas k=235 w/mK, as aletas
são expostas ao ar ambiente a 25°C e o coeficiente de transferência de calor convectivo h = 154 W/m2K. Cada
aleta tem 50mm de largura , 5 mm de espessura e 100 mm de comprimento. Determine a eficiência da aleta
, a efetividade, e a taxa de transferência de calor pelo método gráfico e pelas equações da tabela
6- assumindo uma aleta de k=180 W/mK, t=3 mm L=15 mm e tb=100°Ce T∞ =25°C h =50 W/m2K e largura
unitária De termine a taxa de transferência de calor para uma aleta com perfil a) Retangular b) triangular )
parabólico
21