1) O documento discute conceitos preliminares de trigonometria, incluindo o número π, medidas de ângulos e classificação de triângulos. 2) É apresentado o Teorema de Pitágoras para triângulos retângulos e as definições das seis razões trigonométricas. 3) Valores de seno, cosseno e tangente são dados para ângulos de 30°, 45° e 60°. Algumas identidades trigonométricas também são mostradas.

1. Capítulo 1
Trigonometria
1.1 Conceitos preliminares
O número π
Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = 2r, o número π é denido como a razão do comprimento C da
circunfeência pelo seu diâmetro d, isto é,
C C
π= = (1.1)
d 2r
O comprimento de uma circunferência
Pela denição do número π na equação (1.1) observamos que o comprimento da circunferência é dado por
C = πd = 2πr (1.2)
Medida de ângulos
Existem 3 unidades para a medida de ângulos.
1
• Grado: 1 grado é um ângulo correspondente a 400 de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente,
a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 400 grados - Figura 1.1(a).
1
• Grau: 1 grau, denotado 1o , é um ângulo correspondente a 360 de uma volta completa da circunferência. Conse-
qüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360o - Figura 1.1(b).
• Radiano: 1 radiano, denotado 1 rad, é um ângulo correspondente a um arco de mesmo comprimento do raio da
circunferência - Figura 1.1(c).
100 90o
q
........................................ q
...................................... ........................................
.......... ....... ........... ....... .......... .....q.
....... ...... ....... ...... ....... .....
. ..
..... ..... ..... ..... ..... ......
..... .... ..... .... ..... ...
.... ... .... .... .... ...
... ... ... ... ... ...
... s =r
..
. ..
.. ..
. ..
.. ... ...... ...
...
...
..
. . . . . ...
.
.
.
. .
.
.
. .
.
.
. .
.
.
. o .
.
.
. ..1 rad ...
.. ..
..
..
.
.q .
.q 0 ou
. .
.q .
.q 0 ou
. .
. .
. ..
..q
.
.
200 . .
. o.
.
180 . .
. .
. . ..
.
.
. .. .
. .. o .
.
. .
.
.
.
..
.. .. 400
. .
.
..
.. .. 360
. ..
..
..
r .
.
.
.. .. .. .. .. ..
.. . .. . .. .
... .. ... .. ... ..
.... ... .... ... .... ...
..... .... ..... .... ..... ....
..... ..... ..... ..... ..... .....
....... ..... ....... ..... ....... .....
......... ...... ......... ...... ......... ......
...........................................
q ...........................................
q o ...........................................
300 270
(a) A denição de grado (b) A denição de grau (c) A denição de radiano
Figura 1.1: Medidas de ângulo
1

2. O comprimentro de um arco
Em uma circunferência de raio r a denição de radiano implica que um ângulo de 1 radiano compreende um arco de
comprimento r. Logo um ângulo de θ radianos compreende um arco de comprimento s - Figura 1.2(a). O valor s é
dado por
1 rad θ rad
= ∴ s = rθ
r s
Conversão grau-radiano
De modo análogo, um arco de comprimento r compreende um ângulo de 1 radiano. A circunferência completa, um
arco de comprimento 2 π r, compreende um ângulo θ dado por
r 2πr
= ∴ θ = 2 π rad
1 rad θ rad
Isto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo de medida 2 π radianos - Figura 1.2(b).
90o = π rad
................................................ ................q.......................
. 2
............. .......... s = r θ .......... .......
....... .... ....... ......
...... . ... ...... .....
...q
. ......
... .... ....
... ...
. ... ....
... ...
.... ........
.......... ..............
θ rad ......... ...
....
...
..
..
.
. .... ... ..
...
.. .
. ..
.
.. .. ..
.. .
. ..
.
. ..
.. ..
.. .
. 180o = π rad θ .
.
. o
. ..
..q .
.q .
.q 0 = 0 rad ou 360 = 2 π rad
.
.
. . .. .
. .
. o
.
. .. .
. .
.
.
. r .. ..
. .
.
..
.. .. ..
.. .
.
.. . . .. ..
.. . .. .
... .. ... ..
.... ... .... ...
.... ... .... ...
..... .... ..... ....
...... ..... ...... .....
........ ...... ........ ......
............
................................. ........ ............
..................................
.......
q
270 = 3π rad o
2
(a) Comprimento de arco (b) Conversão grau-radiano
Figura 1.2: Comprimento de arco e a conversão grau-radiano
Assim, dado um ângulo θ radianos, sua medida x em graus é dada por
π rad θ rad 180
= ∴ x= θ
180o x π
Exemplo 1.1 Determine a medida do ângulo 3 π rad em graus.
4
3
π rad 4π rad 180 3
= ∴ x= π = 135o
180o x π 4
Exemplo 1.2 Determine a medida do ângulo 155o em radianos.
π rad x rad 155 31
= ∴ x= π= π rad
180o 155o 180 35
Classicação de triângulos
Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classicá-los de duas maneiras:
• quanto aos tamanhos dos lados:
equilátero - 3 lados de mesmo comprimento,
isóceles - 2 lados de mesmo comprimento,
escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes;
2

3. • quanto às medidas dos ângulos:
acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90o graus),
retângulo - 1 ângulo reto (90o graus),
obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90o graus).
1.2 Triângulo retângulo
1.2.1 Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo, Figura 1.3(a), os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto
ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema
de Pitágoras
a2 = b2 + c2 . (1.3)
b c
¨¨e
c ¨¨ e
¨¨ a e
¨ b
¨ ae
a ¨ ¨¨ e
e
¨ e
c e
¨¨ b e e
¨¨ e a
a ¨¨
¨
b e ¨ c
e ¨¨
e¨
c b
(a) Um triângulo retângulo. (b) O Teorema de Pitágo-
ras.
Figura 1.3: Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.
Uma prova bastante simples do Teorema de Pitágoras pode ser obtida através da Figura 1.3(b): a área do quadrado
externo é igual à soma da área do quadrado interno mais a área dos 4 triângulos retângulos, isto é:
bc
a2 + 4 = (b + c)2 ∴ a2 + 2bc = b2 + 2bc + c2 ∴ a2 = b2 + c2 .
2
1.2.2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulo dene-se 6 razões trigonométricas (conhecidas como seno, cosseno,
tangente, cotangente, secante e cossecante) da seguinte maneira
cateto oposto cateto oposto hipotenusa
• seno = hipotenusa • tangente = cateto adjacente • secante = cateto adjacente
cateto adjacente cateto adjacente hipotenusa
• cosseno = hipotenusa • cotangente = cateto oposto • cossecante = cateto oposto
A Figura 1.4 ilustra as 6 razões trigonométricas para os ângulos α e β de um triângulo retângulo.
3

4. c b
seno: sen(α) = a sen(β) = a
b c
cosseno: cos(α) = cos(β) =
....¨ a a
¨¨..........
..
tangente: c b
¨¨ tg(α) = tg(β) =
a β b c
¨¨
c
b c
¨
..... cotangente: ctg(α) = ctg(β) =
¨¨ .... α
c b
a a
b secante: sec(α) = b sec(β) = c
a a
cossecante: csc(α) = c csc(β) = b
Figura 1.4: As razões trigonométricas.
Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis
Na Figura 1.5(a) traçamos a diagonal de um quadrado de lado a e então determinamos as razões trigonométricas para
o ângulo de 45o obtido:
√ √
o a 1 2 o a 1 2 a
cos(45 ) = √ = √ = , sen(45 ) = √ = √ = , tg(45o ) = = 1.
a 2 2 2 a 2 2 2 a
Na Figura 1.5(b) traçamos a altura de um triângulo equilátero de lado a e então determinamos as razões trigonométricas
para os ângulos de 30o e 60o obtidos:
√ √ √
o a 3/2 3 o a/2 1 o a/2 1 3
cos(30 ) = = , sen(30 ) = = , tg(30 ) = √ =√ = .
a 2 a 2 a 3/2 3 3
√ √ √
o a/2 1 o a 3/2 3 o a 3/2 √
cos(60 ) = = , sen(60 ) = = , tg(60 ) = = 3.
a 2 a 2 a/2
A tabela 1.1 resume estes resutados.
ângulo 30o 45o
√
60o
√
sen √
1
2 √2
2
2
3
cos 2
3
2
2 1
2
√ √
tg 3
3
1 3
Tabela 1.1: Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30o , 45o e 60o .
1.3 Algumas identidades trigonométricas
Na Figura 1.4 temos que b = a cos(α) e c = a sen(α); obtemos então as seguintes identidades:
c a sen(α) sen(α)
tg(α) = = ∴ tg(α) = (1.4a)
b a cos(α) cos(α)
b a cos(α) cos(α)
cotg(α) = = ∴ cotg(α) = (1.4b)
c a sen(α) sen(α)
a a 1
sec(α) = = ∴ sec(α) = (1.4c)
b a cos(α) cos(α)
a a 1
csc(α) = = ∴ csc(α) = (1.4d)
c a sen(α) sen(α)
4

5.
¡e
¡e
...
¡........ e
¡30o e
√ ¡ e
a 2
a ¡ √
a 3
e
a¡ 2 e c
¡ e
¡ e
45o
......
.
¡.
......
60 o e
.
.
.
. ¡ .... e
a a/2 a/2
(a) Ângulo de 45o . (b) Ângulos de 30o e 60o .
Figura 1.5: Ângulos notáveis.
Usando o Teorema de Pitágoras obtemos
b2 + c2 = a2 ∴ a2 cos2 (α) + a2 sen2 (α) = a2 ∴ a2 cos2 (α) + sen2 (α) = a2
donde
cos2 (α) + sen2 (α) = 1 (1.4e)
A identidade (1.4e) é chamada de identidade fundamental: o quadrado do cosseno mais o quadrado do seno de qualquer
ângulo é sempre igual a um. A partir da identidade fundamental obtemos outras duas importantes identidades:
cos2 (α) + sen2 (α) 1 sen2 (α) 1
= ∴ 1+ = ∴ 1 + tg 2 (α) = sec2 (α) (1.4f)
cos2 (α) cos2 (α) cos2 (α) cos2 (α)
cos2 (α) + sen2 (α) 1 cos2 (α) 1
2 (α)
= 2 (α)
∴ +1= ∴ cotg 2 (α) + 1 = csc2 (α) (1.4g)
sen sen sen2 (α) sen2 (α)
Exemplo 1.3 Para um dado ângulo θ sabe-se que cos(θ) = 1 . Determine as outras razões trigonométricas para θ.
5
Da identidade fundamental obtemos
2 √
1 2 2 1 24 2 6
+ sen (θ) = 1 ∴ sen (θ) = 1 − ∴ sen(θ) = = .
5 25 25 5
Logo:
√
2 6/5
√
2 6 5
√
• pela identidade (1.4a): tg(θ) = 1/5 = 5 1 = 2 6;
√
1/5 1 √5 6
• pela identidade (1.4b): cotg(θ) = √
2 6/5
= 5 2 6 = 12 ;
1
• pela identidade (1.4c): sec(θ) = 1/5 = 5;
• pela identidade (1.4d): csc(θ) = √1 = 5
√ .
2 6/5 2 6
1.4 Triângulos quaisquer
1.4.1 A Lei dos Cossenos
Vimos que para triângulos retângulos as medidas dos lados estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. Para
triângulos quaisquer os comprimentos dos lados estão relacionados pela Lei dos Cossenos (Figura 1.6).
5

6. Para o ângulo α: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
a ¨..¨..d
........ ......
.. ..
¨
¨ β d c Para o ângulo β : b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β )
.. ¨
¨.. γ ...
..
α.d
..
¨¨ ...
.
. d
. Para o ângulo γ : c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ )
b
Figura 1.6: A Lei dos Cossenos.
A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ pode ser obtida a partir da Figura 1.7. No triângulo retângulo
da esquerda temos
x
cos(γ) = ∴ x = acos(γ) (1.5a)
a
a2 = x2 + H 2 ∴ H 2 = a2 − x2 . (1.5b)
No triângulo retângulo da direita temos
c2 = H 2 + (b − x)2 = H 2 + b2 − 2bx + x2 (1.5c)
Substituindo (1.5a) e (1.5b) em (1.5c) obtemos
c2 = a2 − x2 + b2 − 2ab cos(γ) + x2
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
que é a Lei dos Cossenos para o ângulo γ .
¨
¨¨ d
a
¨ d c
¨..¨
..
..
γ
H d
¨¨ .
.
.
. d
x
b
Figura 1.7: A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ .
1.4.2 A Lei dos Senos
Outra relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo qualquer é a Lei dos Senos (Figura 1.8),
cuja demonstração ca a cargo do leitor (Problema Teórico 1.1).
¨ ...
....
¨¨ ........dd c
a
.. .....
sen(β) sen(α) sen(γ)
.. ¨
¨ β b = a = c
¨.. γ ...
..
α.d
..
¨¨ ...
.
. d
. d
b
Figura 1.8: A Lei dos Senos.
1.5 Círculo Trigonométrico e Funções Circulares
Círculo trigonométrico é o circulo1 de raio unitário e centro na origem do sistema cartesiano - Figura 1.9(a).
1 Um termo mais apropriado seria circunferência trigonométrica, mas o termo círculo trigonométrico é tradicionalmente utilizado na
literatura e vamos mantê-lo.
6