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Movimento Circular

PROFESSORA : ADRIANNE MENDONÇA
Espaço Angular
Espaço angular – φ
Espaço Linear – s




Relação s = φ R
Definição de radiano


Um radiano é a medida do ângulo central φ que
determina, na circunferência, um arco de comprimento
igual ao raio R (s=R)
Definição de radiano


Radiano                        Comprimento de arco
1 rad ---------------------------------- arco = R
φ rad -------------------------------- arco = s

s=φR
O comprimento da circunferência é 2πR
substituindo –se em s = φ R , vem:
 2πR = φ R  φ = 2 π rad
Velocidade angular

Velocidade angular – ω


ω = ∆φ/∆t
ω - rad/s

Relação v = ω R
Velocidade linear v
Aceleração
  angular
Aceleração angular – γ

 γ = ∆ω/∆t
 γ - rad/s2

Relação a = γ R
aceleração linear a
relações
    Grandezas angulares    Grandezas lineares

               φ (rad)                 s (m)

              ω (rad/s)               v (m/s)

              γ (rad/s2)              a (m/s2)




Relações
s=φR                v=ωR              a=γR
Período e freqüência

Um fenômeno é periódico quando ele se repete, identicamente,
em intervalos de tempos sucessivos e iguais.
O período (T) é o menor intervalo de tempo da repetição do
fenômeno.
Período e freqüência

Num fenômeno periódico, chama-se freqüência (f) o
número de vezes em que o fenômeno se repete na
unidade de tempo.

O Período e a Freqüência se relacionam:

f = 1/T ou T = 1/f

unidade de freqüência hertz (Hz) = 1/s
Exercícios

1. Um motor executa 600 rotações por minuto.
Determine sua freqüência em hertz e seu período em
segundos.
Solução:
f = 600 rpm = 600 rot/min = 600 rot/60s
 f = 10 Hz
T = 1/f  T = 1/10 = 0,1 s

Assim: f = 10 Hz e T = 0,1 s
Exercícios

2. Um satélite artificial completa 6 voltas em torno da
Terra, durante 24 h. Qual é, em horas, o período do
movimento do satélite, suposto periódico?
Solução:
 O período do movimento corresponde ao intervalo de
tempo que o satélite gasta para completar 1 volta. Se o
satélite completa 6 voltas em 24 h, 1 volta será
completada em 4 h.
Assim T = 4 h.
Movimento Circular Uniforme (MCU)


O MCU é um movimento periódico. Seu período (T) é
o intervalo de tempo de uma volta completa.
O número de voltas na unidade de tempo é a sua
freqüência f:


                             f = 1/T

unidade de freqüência hertz (Hz) = 1/s
Movimento Circular Uniforme (MCU)


A função horária do MU é: S = S0 + Vt



Dividindo tudo pelo raio:

S/R = S0/R + Vt/R              =     0+   t

Esta é a função horária angular do MCU
Movimento Circular Uniforme (MCU)


Adotando-se 0 = 0, quando o ponto material
completa uma volta têm-se:
  = 2π rad       e      t=T
Assim: = 0 + t

2π = 0 + t

  = 2π/T          ou                  = 2πf
Aceleração centrípeta

No MCU a aceleração tangencial é igual a zero, mas temos
também um outro tipo de aceleração, esta aceleração é voltada
para o centro da trajetória e é denominada de aceleração
centrípeta - ac
Aceleração centrípeta
Aceleração centrípeta

Aceleração centrípeta ac


ac = v2/R         como v =   R

ac = ( R)2/R = ω2R2/R = ω2R

ac = ω2 R
Exercícios

3. Um ponto material descreve uma circunferência
horizontal com velocidade constante em módulo. O
raio da circunferência é de 15 cm e o ponto completa
uma volta a cada 10 s. Calcule:
a) o período e a freqüência;
b) a velocidade angular;
c) a velocidade escalar linear;
d) o módulo da aceleração centrípeta.
Exercícios

3.Solução:
a) o período e a freqüência;

T = 10 s

f = 1/T = 0,1 Hz

f = 0,1 Hz
Exercícios

3.Solução:
b) a velocidade angular;

  = 2π/T

  = 2π/10 = π/5 rad/s

  = π/5 rad/s
Exercícios

3.Solução:
c) a velocidade escalar linear;

v = ωR

v = (π/5) .15 = 15 π /5 = 3 π cm/s

v = 3 π cm/s
Exercícios

3.Solução:
d) o módulo da aceleração centrípeta.

ac = v2/R

ac = (3π)2/15 = 3π2/5 = 0,6π2 cm/s2

ac = 0,6π2 cm/s2
Exercícios

4. Na vitrola da vovó, um disco gira com freqüência
de 45 rpm. Considerando nesse disco um ponto A
situado a 10 cm do centro e outro ponto B situado a
15 cm, determine para cada um deles:
a) a freqüência em hertz e o período em segundos;
b) a velocidade angular em radianos por segundo;
c) a velocidade escalar linear em metros
por segundo.
Exercícios

4.Solução:
a) todos os pontos do disco giram com a mesma
freqüência e com o mesmo período, não importando
a distância em relação ao centro.

f = 45 rpm = 45 rot/min = 45 rot/60 s = 0,75 Hz
f = 0,75 Hz
T = 1/f = 1/0,75 ~ 1,33 s
T = ~ 1,33 s
Exercícios

4.Solução:
b) a velocidade angular também não depende da
distância do ponto ao centro do disco e é dada por:

  = 2π/T ou    = 2πf

  = 2π . 0,75 = 1,5 π rad/s

  = 1,5 π rad/s
Exercícios

4.Solução:
c) a velocidade escalar linear depende do raio da
trajetória descrita. Para o ponto A, cujo raio é Ra =
10 cm = 0,1 m, temos:

va = ωRa  va = 1,5π . 0,10 = 0,15 π m/s

Para o ponto B, cujo raio é Rb = 15 cm = 0,15 m,
temos: vb = ωRb  vb = 1,5π . 0,15 = 0,225 π m/s
TrAnsmissão de movimento circular uniforme



É possível efetuar a transmissão de movimento
circular entre duas rodas, dois discos ou duas polias.

Na transmissão por contato há inversão no sentido
do movimento, o que não ocorre na transmissão por
corrente. Porém as velocidades lineares das duas
rodas, em pontos periféricos, têm o mesmo módulo.
TrAnsmissão de movimento circular uniforme




                va = vb
TrAnsmissão de movimento circular uniforme




va = vb

va = ωaRa       e     vb = ωbRb

ωaRa = ωbRb              Mas, ω = 2πf

2πfaRa = 2πfbRb
       faRa = fbRb
Exercícios

5. Duas polias A e B, ligadas por uma correia têm 10
cm e 20 cm de raio, respectivamente. A primeira
efetua 40 rpm. Calcule:
a) a freqüência da segunda polia;
b) a velocidade linear dos pontos da correia.
Exercícios

5.Solução:
a) faRa = fbRb
(com fa= 40rpm, Ra= 10cm,Rb= 20cm)

Portanto:        40.10 = fb.20

fb = 20rpm
Exercícios
5.Solução:
b) todos os pontos da correia tem a mesma
velocidade linear v. Considerando a polia A, temos:
va = ωaRa  v = 2πfaRa
sendo fa= 40rpm = 40/60 Hz = 2/3 Hz,
vem: va = ωaRa  v = 2πfaRa

v = 2π . 2/3 . 10 = 40π/3 cm/s
v = 40π/3 cm/s
Movimento Circular Uniforme

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Movimento Circular Uniforme

  • 1. Movimento Circular PROFESSORA : ADRIANNE MENDONÇA
  • 2. Espaço Angular Espaço angular – φ Espaço Linear – s Relação s = φ R
  • 3. Definição de radiano Um radiano é a medida do ângulo central φ que determina, na circunferência, um arco de comprimento igual ao raio R (s=R)
  • 4. Definição de radiano Radiano Comprimento de arco 1 rad ---------------------------------- arco = R φ rad -------------------------------- arco = s s=φR O comprimento da circunferência é 2πR substituindo –se em s = φ R , vem: 2πR = φ R  φ = 2 π rad
  • 5. Velocidade angular Velocidade angular – ω ω = ∆φ/∆t ω - rad/s Relação v = ω R Velocidade linear v
  • 6. Aceleração angular Aceleração angular – γ γ = ∆ω/∆t γ - rad/s2 Relação a = γ R aceleração linear a
  • 7. relações Grandezas angulares Grandezas lineares φ (rad) s (m) ω (rad/s) v (m/s) γ (rad/s2) a (m/s2) Relações s=φR v=ωR a=γR
  • 8. Período e freqüência Um fenômeno é periódico quando ele se repete, identicamente, em intervalos de tempos sucessivos e iguais. O período (T) é o menor intervalo de tempo da repetição do fenômeno.
  • 9. Período e freqüência Num fenômeno periódico, chama-se freqüência (f) o número de vezes em que o fenômeno se repete na unidade de tempo. O Período e a Freqüência se relacionam: f = 1/T ou T = 1/f unidade de freqüência hertz (Hz) = 1/s
  • 10. Exercícios 1. Um motor executa 600 rotações por minuto. Determine sua freqüência em hertz e seu período em segundos. Solução: f = 600 rpm = 600 rot/min = 600 rot/60s  f = 10 Hz T = 1/f  T = 1/10 = 0,1 s Assim: f = 10 Hz e T = 0,1 s
  • 11. Exercícios 2. Um satélite artificial completa 6 voltas em torno da Terra, durante 24 h. Qual é, em horas, o período do movimento do satélite, suposto periódico? Solução: O período do movimento corresponde ao intervalo de tempo que o satélite gasta para completar 1 volta. Se o satélite completa 6 voltas em 24 h, 1 volta será completada em 4 h. Assim T = 4 h.
  • 12. Movimento Circular Uniforme (MCU) O MCU é um movimento periódico. Seu período (T) é o intervalo de tempo de uma volta completa. O número de voltas na unidade de tempo é a sua freqüência f: f = 1/T unidade de freqüência hertz (Hz) = 1/s
  • 13. Movimento Circular Uniforme (MCU) A função horária do MU é: S = S0 + Vt Dividindo tudo pelo raio: S/R = S0/R + Vt/R  = 0+ t Esta é a função horária angular do MCU
  • 14. Movimento Circular Uniforme (MCU) Adotando-se 0 = 0, quando o ponto material completa uma volta têm-se: = 2π rad e t=T Assim: = 0 + t 2π = 0 + t = 2π/T ou = 2πf
  • 15. Aceleração centrípeta No MCU a aceleração tangencial é igual a zero, mas temos também um outro tipo de aceleração, esta aceleração é voltada para o centro da trajetória e é denominada de aceleração centrípeta - ac
  • 17. Aceleração centrípeta Aceleração centrípeta ac ac = v2/R como v = R ac = ( R)2/R = ω2R2/R = ω2R ac = ω2 R
  • 18. Exercícios 3. Um ponto material descreve uma circunferência horizontal com velocidade constante em módulo. O raio da circunferência é de 15 cm e o ponto completa uma volta a cada 10 s. Calcule: a) o período e a freqüência; b) a velocidade angular; c) a velocidade escalar linear; d) o módulo da aceleração centrípeta.
  • 19. Exercícios 3.Solução: a) o período e a freqüência; T = 10 s f = 1/T = 0,1 Hz f = 0,1 Hz
  • 20. Exercícios 3.Solução: b) a velocidade angular; = 2π/T = 2π/10 = π/5 rad/s = π/5 rad/s
  • 21. Exercícios 3.Solução: c) a velocidade escalar linear; v = ωR v = (π/5) .15 = 15 π /5 = 3 π cm/s v = 3 π cm/s
  • 22. Exercícios 3.Solução: d) o módulo da aceleração centrípeta. ac = v2/R ac = (3π)2/15 = 3π2/5 = 0,6π2 cm/s2 ac = 0,6π2 cm/s2
  • 23. Exercícios 4. Na vitrola da vovó, um disco gira com freqüência de 45 rpm. Considerando nesse disco um ponto A situado a 10 cm do centro e outro ponto B situado a 15 cm, determine para cada um deles: a) a freqüência em hertz e o período em segundos; b) a velocidade angular em radianos por segundo; c) a velocidade escalar linear em metros por segundo.
  • 24. Exercícios 4.Solução: a) todos os pontos do disco giram com a mesma freqüência e com o mesmo período, não importando a distância em relação ao centro. f = 45 rpm = 45 rot/min = 45 rot/60 s = 0,75 Hz f = 0,75 Hz T = 1/f = 1/0,75 ~ 1,33 s T = ~ 1,33 s
  • 25. Exercícios 4.Solução: b) a velocidade angular também não depende da distância do ponto ao centro do disco e é dada por: = 2π/T ou = 2πf = 2π . 0,75 = 1,5 π rad/s = 1,5 π rad/s
  • 26. Exercícios 4.Solução: c) a velocidade escalar linear depende do raio da trajetória descrita. Para o ponto A, cujo raio é Ra = 10 cm = 0,1 m, temos: va = ωRa  va = 1,5π . 0,10 = 0,15 π m/s Para o ponto B, cujo raio é Rb = 15 cm = 0,15 m, temos: vb = ωRb  vb = 1,5π . 0,15 = 0,225 π m/s
  • 27. TrAnsmissão de movimento circular uniforme É possível efetuar a transmissão de movimento circular entre duas rodas, dois discos ou duas polias. Na transmissão por contato há inversão no sentido do movimento, o que não ocorre na transmissão por corrente. Porém as velocidades lineares das duas rodas, em pontos periféricos, têm o mesmo módulo.
  • 28. TrAnsmissão de movimento circular uniforme va = vb
  • 29. TrAnsmissão de movimento circular uniforme va = vb va = ωaRa e vb = ωbRb ωaRa = ωbRb Mas, ω = 2πf 2πfaRa = 2πfbRb faRa = fbRb
  • 30. Exercícios 5. Duas polias A e B, ligadas por uma correia têm 10 cm e 20 cm de raio, respectivamente. A primeira efetua 40 rpm. Calcule: a) a freqüência da segunda polia; b) a velocidade linear dos pontos da correia.
  • 31. Exercícios 5.Solução: a) faRa = fbRb (com fa= 40rpm, Ra= 10cm,Rb= 20cm) Portanto: 40.10 = fb.20 fb = 20rpm
  • 32. Exercícios 5.Solução: b) todos os pontos da correia tem a mesma velocidade linear v. Considerando a polia A, temos: va = ωaRa  v = 2πfaRa sendo fa= 40rpm = 40/60 Hz = 2/3 Hz, vem: va = ωaRa  v = 2πfaRa v = 2π . 2/3 . 10 = 40π/3 cm/s v = 40π/3 cm/s