1) O documento discute transferência de massa convectiva entre fases, incluindo equilíbrio entre fases e teoria de duas resistências. 2) A teoria de duas resistências explica que a taxa de transferência de massa é controlada pelas taxas de difusão através de cada fase, com nenhuma resistência na interface. 3) Coeficientes de transferência de massa individuais e globais são definidos para descrever as taxas de transferência entre as composições das fases em massa e a interface.

1. TRANSFERÊNCIADE MASSA CONVECTIVAENTRE FASES
Giovana Lara Acco; Jefferson Martins; José Luiz Vieira; Patrícia de Carvalho; Rafaela
Brognara Albino.
RESUMO
29.1 EQUILÍBRIO
O transporte de massa dentro de uma fase, por mecanismos de transporte convectivo
ou molecular, tem demonstrado estar diretamente dependente ao gradiente de concentração
responsável pela transferência de massa. Quando o equilíbrio dentro de um sistema for
estabelecido, o gradiente de concentração e, por sua vez, a taxa de difusão líquida das
espécies que estão difundindo torna-se zero. Como os desvios do equilíbrio proporcionam
uma força motriz de concentração dentro de uma fase, é necessário considerar o equilíbrio
de interfase a fim de descobrir a transferência de massa entre as fases.
Considerando um sistema de duas fases, envolvendo um gás encostando num líquido;
como por exemplo, a composição inicial do sistema incluindo ar e amônia na fase gasosa e
apenas água na fase líquida. Quando ocorre contato, parte da amônia será transferida para
a fase aquosa, a qual é solúvel, e parte da água será vaporizada para fase gasosa. Se a
mistura gás-líquido está contida dentro de um recipiente isobárico e isotérmico, um equilíbrio
dinâmico entre as duas fases será eventualmente estabelecido. Uma porção de moléculas
da entrada da fase líquida retorna à fase gasosa a uma taxa dependente à concentração de
amônia na fase líquida e da pressão de vapor exercida pela amônia na solução aquosa. Do
mesmo modo, uma porção de água vaporizando para a fase gasosa condensa na solução.
O equilíbrio dinâmico é indicado por uma concentração constante de amônia na fase líquida
e uma concentração constante ou pressão parcial de amônia na fase gasosa.
Essa condição de equilíbrio pode ser alterada por mais adição de amônia ao sistema.
Após um período de tempo, um novo equilíbrio será estabelecido com uma diferente
concentração de amônia no líquido e uma diferente pressão parcial de amônia no gás.
Figura 29.1 (a) e (b) ilustram a distribuição de equilíbrio da amônia nas fases líquida e
gasosa a 30 o
C.
Figura 29.1 Solubilidade da amônia na água vs. pressão parcial da amônia a 30 o
C.

2. A figura 29.1 (a) apresenta as concentrações em termos da pressão parcial do soluto
na fase gasosa e a fração molar de soluto dissolvido na fase líquida. A figura 29.1 (b)
apresenta a distribuição de equilíbrio como a concentração de amônia aproximadamente
zero, em termos de pressão parcial na fase gasosa e de concentração molar na fase líquida;
nessa variedade de concentração diluída, a distribuição de equilíbrio é linear e as duas
concentrações são relacionadas pela lei de Henry, equação (29-4).
Para o caso de fases líquidas e gasosas não-ideais, as relações são geralmente
complexas. Entretanto, casos envolvendo fases líquidas e gases ideais, algumas relações
simples são conhecidas.
Por exemplo, quando a fase líquida é ideal, aplica-se a lei de Raoult:
𝑝 𝐴 = 𝑥 𝐴 ∙ 𝑃𝐴 (29-1)
Onde pA é a pressão parcial de equilíbrio do componente A na fase de vapor sobre a
fase líquida, xA é a fração molar de A na fase líquida, e PA é a pressão de vapor de A puro
na temperatura de equilíbrio.
Quando a fase gasosa é ideal, a lei de Dalton é obedecida:
𝑝 𝐴 = 𝑦𝐴 ∙ 𝑃 (29-2)
Onde yA é a fração molar de A na fase gasosa e P é a pressão total do sistema.
Quando as duas fases forem ideais, as duas equações podem ser combinadas para
obter uma relação entre os termos de concentração, xA e yA, a uma pressão e temperatura
constantes, a lei de equilíbrio combinada Raoult-Dalton estipula
𝑥 𝐴 ∙ 𝑃𝐴 = 𝑦𝐴 ∙ 𝑃 (29-3)
Uma outra relação de equilíbrio para fases líquida e gasosa onde soluções diluídas
estão envolvidas é a lei de Henry, essa lei é expressada por
𝑝 𝐴 = 𝐻 ∙ 𝑐 𝐴 (29-4)
Onde H é a constante da lei de Henry e cA é a composição de equilíbrio de A na fase
líquida diluída.
Uma equação similar à relação da lei de Henry descreve a divisão de uma solução
entre dois líquidos imiscíveis. Essa equação, a equação da lei de distribuição é
𝑐 𝐴,𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜1 = 𝐾 ∙ 𝑐 𝐴,𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜2 (29-5)
Onde cA é a concentração de soluto A na fase líquida especificada e K é o coeficiente
de distribuição ou divisão.

3. Os seguintes conceitos básicos comuns a todos os sistemas envolvendo a distribuição
de um componente entre duas fases são descritos como transferência de massa entre
fases:
1) A um conjunto de condições fixas, tais como temperatura e pressão, a regra de fase
de Gibbs de que um conjunto de relações de equilíbrio existe, o qual pode ser
mostrado na forma de uma curva de distribuição de equilíbrio.
2) Quando o sistema está em equilíbrio, não há transferência de massa líquida entre
fases.
3) Quando o sistema não está em equilíbrio, componentes ou um componente do
sistema será transportado de tal maneira que cause mudança na composição do
sistema em direção ao equilíbrio. Se tempo suficiente for permitido, o sistema
eventualmente irá alcançar o equilíbrio.
29.2 TEORIADE DUAS RESISTÊNCIAS
Muitas operações de transferência de massa envolvem a transferência de material
entre duas fases de contato, como por exemplo, na absorção de gás, onde um soluto é
transferido da fase gasosa para uma fase líquida, como ilustrado na Figura 29.2.
Figura 29.2 Absorção de gás com o soluto A transferido da fase gasosa para a fase líquida.
A transferência interfásica envolve três etapas de transferência:
 A transferência de massa das condições do fluido de uma fase para a superfície
interfacial;
 A transferência através da interface para a segunda fase;
 A transferência para as condições do fluido da segunda fase.
A teoria de duas resistências, inicialmente sugerida por Whitman, é frequentemente
usada para explicar esse processo. A teoria tem duas suposições principais:

4.  A taxa de transferência de massa entre as duas fases é controlada pelas taxas de
difusão através das fases em cada lado da interface;
 Não é oferecida resistência à transferência do componente difusor através da
interface.
Para produzir a transferência de massa do componente A da fase gasosa para a fase
líquida, é necessária uma força motriz do gradiente de concentração representada na Figura
29.3. Essa força possui um gradiente de pressão parcial a partir da composição de gás em
massa, pA,G, para a composição de gás interfacial, pA,i, e um gradiente de concentração de
líquido na interface de cA,i , para a concentração de líquido em massa, cA,L.
Figura 29.3 Gradientes de concentração entre duas fases de contato onde o soluto é
transferido do gás para o líquido.
Com base na segunda suposição de Whitman de não haver resistência à transferência
de massa na superfície interfacial, a pressão parcial interfacial, pA,i, pode ser menor, igual ou
maior que o valor de cA,i, de acordo com as condições de equilíbrio da temperatura e
pressão do sistema.
Quando a transferência é da fase líquida, tal como na extração líquida mostrada na
Figura 29.4, cAL, será maior do que cAi e pAi será maior do que pAG. Os gradientes de
concentração para este caso são apresentados graficamente na Figura 29.5.

5. Figura 29.4 Eliminação líquida com soluto A transferido de líquido para gás.
Figura 29.5 Os gradientes de concentração entre duas fases de contato onde o soluto é
transferido do líquido para o gás.
Coeficientes individuais de transferência de massa
A transferência de massa em estado estacionário do componente A da fase gasosa
para a fase líquida (para a transferência na direção oposta, as forças motrizes de
concentração seriam invertidas, isto é, pA,i - pA,G em vez de pA,G - pA,i), pode descrever as
taxas de difusão na direção z pelas equações:
𝑁𝐴, 𝑧 = 𝑘𝐺(𝑝𝐴, 𝐺 − 𝑝𝐴, 𝑖) (29-6)
𝑁𝐴, 𝑧 = 𝑘𝐿(𝑐𝐴, 𝑖 − 𝑐𝐴,𝐿) (29-7)
Onde:
kG: é o coeficiente de transferência de massa convectiva na fase gasosa, em [moles de A
transferido / (tempo) (área interfacial) (ΔpA unidades de concentração)];

6. kL: é o coeficiente de transferência de massa convectiva na fase líquida, em [moles de A
transferido / (tempo) (área interfacial) (ΔcA unidades de concentração)].
A diferença de pressão parcial, pA,G - pA,i, é a força motriz necessária para transferir o
componente A das condições de gás em massa para a interface que separa as duas fases.
A diferença de concentração, cA,i - cA,L, é a força motriz necessária para continuar a
transferência de A para a fase líquida.
Em condições de estado estacionário, o fluxo de massa em uma fase deve ser igual
ao fluxo de massa na segunda fase. Combinando as equações (29.6) e (29.7), obtemos
𝑁𝐴, 𝑧 = 𝑘𝐺( 𝑝𝐴, 𝐺 − 𝑝𝐴, 𝑖) = −𝑘𝐿(𝑐𝐴, 𝐿 − 𝑐𝐴,𝑖) (29-8)
A razão dos dois coeficientes de transferência de massa convectiva pode ser obtida a
partir da equação (29.8):
−
𝑘𝐿
𝑘𝐺
=
𝑝𝐴,𝐺−𝑝𝐴,𝑖
𝑐𝐴,𝐿−𝑐𝐴,𝑖
(29-9)
Na Figura 29.6, é ilustrada a aplicação da equação (29-9) para a avaliação das
composições interfaciais. O ponto O, localizado acima da linha de equilíbrio, representa
condições encontradas no plano num amortecedor de gás, onde a transferência é da fase
gasosa para a fase líquida.
Figura 29.6 Composições interfaciais como previsto pela teoria de duas resistências.
Caso o ponto O estivesse localizado abaixo da linha de equilíbrio, representaria as
condições de massa encontradas numa torre de remoção líquida, onde a transferência do
soluto seria da fase líquida para a fase gasosa.

7. Coeficiente de massa global
É difícil medir fisicamente a pressão parcial e a concentração na interface. Então é
conveniente implementar coeficientes globais baseados na força motriz entre as
composições do bulk ρg,CAL.
Não se pode expressar a força motriz global como ρg,CAL. devido diferenças nas
unidades, na figura a baixo observa-se a composição do bulk líquido CAL está em equilíbrio
com a pressão parcial Pa*. Esta é a única pressão parcial na temperatura e pressão do
sistema Pa* é uma boa medida de CAL como CAL nela mesma e possui unidades iguais a ρg,
Figura 29.7 Forças motrizes de concentração para a teoria das duas resistências
De acordo com o coeficiente geral de transferência de massa, Kg que inclui a
resistência a difusão nas duas fases em termos de pressão parcial e é definida como
𝑁𝐴 = 𝐾𝐺(𝑝 𝐴,𝐺 − 𝑝 𝐴
∗
) (29-10)
Pa,g é a composição do bulk na fase gasosa
Pa* é a pressão parcial de A em equilíbrio na composição do bulk na fase líquida Ca,L
Kg é o coeficiente de massa baseado na pressão parcial (molA/tempo. Área interfacial
pressão)
Similarmente a composição geral do gás no bulk Pa,G em equilíbrio com a
concentração Ca* é também uma única concentração na pressão e temperatura do sistema
e Ca* é uma boa medida de Pa,G como Pa,G.

8. O coeficiente de transferência de massa Kl que envolve a resistência a difusão nas
duas fases e em termos de concentração em fase líquida é definido como
𝑁𝐴 = 𝐾𝐿(𝑐 𝐴
∗
− 𝑐 𝐴,𝐿) (29-11)
Ca* = concentração de A em equilíbrio com PaG e CaL
Kl = coeficiente de transferencia de massa geal baseado na fase lóquida
A relação a baixo ilustra as forças motrizes associadas a cada fase e nas forças
motrizes gerais
O alcance das resistências em fase individual com a resistência total pode ser
definida como uma relação entre esses coeficientes gerais e as fases individuais, pode ser
obtida quando a relação de equilíbrio é linear.
𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑜𝑠𝑎
𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠
=
∆ 𝑝 𝐴,𝑓𝑖𝑙𝑚𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑜𝑠𝑜
∆ 𝑝 𝐴,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
1/𝑘 𝐺
1/𝐾𝐺
(29 − 12)
e
𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎
𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠
=
∆ 𝑐 𝐴,𝑓𝑖𝑙 𝑚 𝑒 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
∆ 𝑐 𝐴,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
1/𝑘 𝐿
1/𝐾𝐿
(29 − 13)
Esta condição é sempre concentrada em baixas concentrações onde a lei de Henry é
obedecida. Utilizando a relação acima podemos relacionar as concentrações na fase gás
líquida.
𝑝 𝐴,𝐺 = 𝑚𝑐 𝐴
∗
𝑝 𝐴
∗
= 𝑚𝑐 𝐴,𝐿
e
𝑝 𝐴,𝑖 = 𝑚𝑐 𝐴,𝑖
Rearranjando a equação 29-10, obtem-se
1
𝐾𝐺
=
𝑝 𝐴,𝐺 − 𝑝 𝐴
∗
𝑁𝐴,𝑧
=
𝑝 𝐴,𝐺 − 𝑝 𝐴,𝑖
𝑁𝐴,𝑧
+
𝑝 𝐴,𝑖 − 𝑝 𝐴
∗
𝑁𝐴,𝑧
Ou em termos de m

9. 1
𝐾𝐺
=
( 𝑝 𝐴,𝐺 − 𝑝 𝐴,𝑖)
𝑁𝐴,𝑧
+
𝑚(𝑐 𝐴,𝑖 − 𝑐 𝐴,𝐿)
𝑁𝐴,𝑧
(29 − 15)
A substituição das equações 29-6 e 29-7 nas relações de KG para os coeficientes de
fase individual por
1
𝐾𝐺
=
1
𝑘 𝐺
+
𝑚
𝑘 𝐿
(29 − 16)
Essas equações estipulam as magnitudes relativas das resistências das fases
individuais dependendo da solubilidade do gás, como é indicada pela magnitude da
constante de proporcionalidade. Para um sistema envolvendo um gás solúvel, como amônia
na água, m é muito pequeno. Para a equação (29-16) podemos concluir que a resistência da
fase gasosa é essencialmente igual a resistência geral como um sistema. Quando isso é
verdade, a maior resistência de transferência de massa prevalece na fase gasosa, como um
sistema dito como sendo controlado pela fase gasosa.
Sistemas envolvendo gases com baixa solubilidade tem um grande valor de m,
estipulando que a resistência da fase gasosa pode ser negligenciada, e o coeficiente global
Kl é essencialmente igual ao coeficiente individual Kl. Esse tipo de sistema pode ser
designado como controlado pela fase líquida. Em muitos sistemas as duas resistências de
fase são importantes a devem ser consideradas quando se avalia a resistência total.
29.3 ENCERRAMENTO DO CAPÍTULO
Neste capítulo, estudamos a teoria de duas resistências que define a transferência de
massa em cada fase em função da força motriz da concentração e do coeficiente de
transferência de massa individual, considerando o mecanismo de transferência de massa
em estado estacionário entre fases.
Os coeficientes globais de transferência de massa foram definidos pelas equações:
N 𝐴,𝑧 = k 𝐺 (p 𝐴,𝐺 – p 𝐴
∗
) e N 𝐴,𝑧 = kL (c 𝐴
∗
– c 𝐴,𝐿)
E relacionados aos coeficientes individuais pelas relações:
1
KG
=
1
kG
+
m
kL
e
1
KL
=
1
mkG
+
1
kL

10. 29.5 – To raise the oxigen concentration level in wastewater, air is injected through spargers
located near the bottom of a water holding, aeration tank. Oxygen is transferred from the
released air bubbles into the surrounding aqueous phase. Determine the overall liquid mass
transfer coefficient, KL, and the percent resistance encountered in the liquid phase if the
individual mass-transfer coefficients of oxygen transferring from air into 293K water are kL =
2,15.10-15
kg.mol/m2
.s(kg.mol/m3
) and kG 9,8x10-8
kg.mol/m2
.s.Pa. The Henry’s law
coefficient for oxygen in water at 293k is 4,06x109
Pa/(moles of oxygen/total moles of
solution).
1
𝐾𝐿
=
1
𝑘 𝐿
+
1
𝐻𝑘 𝑔
ϕ 𝑎 = 𝐻𝐶 𝑎 = 𝐻𝐶𝑋 𝑎
𝐶 = (
1𝑔
𝑐𝑚3
)(
106 𝑐𝑚3
𝑚3
)(
1𝑘𝑔
1000𝑔
)(
𝑘𝑔 ∙ 𝑚𝑜𝑙
18 𝑘𝑔
) = 55,56
𝑘𝑔 ∙ 𝑚𝑜𝑙
𝑚3
𝐻 =
4,06 ∙ 109
55,56
= 7,3 ∙ 107
𝑃𝑎
𝑘𝑔 ∙ 𝑚𝑜𝑙/𝑚3
1
𝐾𝐿
=
1
2,15 ∙ 10−5 +
1
(9,28 ∙ 10−8) ∙ (7,3 ∙ 107)
= 4,65 ∙ 105 + 0,148 ≅ 4,65 ∙ 105
𝑲 𝑳 = 𝟐, 𝟏𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟓 𝒎/𝒔
Toda resistência está no gás ϕ.