Mecanica dos fluidos

1. Equação de
Bernoulli

2. Equação de Bernoulli
Daniel Bernoulli, 1700-1782, cientista suíço,
demonstrou que em um sistema, com
escoamento constante, a energia é
transformada cada vez que se modifica a
seção transversal do tubo.
.

3. Definição Máxima de
Bernoulli
Princípio de Bernoulli, diz que a soma das
energias, potencial e cinética, nos vário
pontos no sistema tem que ser constante
se o escoamento for constate.

4. NÃO VISCOSO
 Desprezando o atrito existente entre as distintas partes
do fluido;
ESTACIONÁRIO
 A velocidade do fluido é constante em cada ponto;
INCOMPRESSÍVEL
 A densidade do fluido é a mesma em todos os pontos e
permanece constante no tempo;
IRROTACIONAL
 Não há movimento de rotação em nenhuma parte do
fluido, ou seja, não apresenta turbilhões.
Considerando um Fluído perfeito

5. Conservação de energia
A lei de conservação da energia, nos diz
que em um escoamento constante a
energia permanece constante, enquanto
não houver troca com o exterior.

6. Conservação da Energia
Deixando de lado as formas de energia que não
se modificam no escoamento de um fluido,
podemos dividir a energia Total (He) desta forma:
 Energia potencial - energia de posição, em função da altura
da coluna de fluido
 Energia de pressão (Pressão estática)
 Energia Cinética - energia de movimento, em função da
velocidade do fluido

7. Equação de Bernolli
Energia
v
gh
P 


2
2
1



9. Energia potencial ou de altura
A energia potencial é a que temos quando o líquido se
encontra a uma determinada altura, como nos casos de
barragens de usinas hidrelétricas.
A água, ao escoar da cota em que se encontra até as turbinas
hidráulicas, localizadas num nível mais baixo, tem capacidade
de acionar uma turbina acoplada a um gerador de eletricidade.
Essa capacidade é chamada de energia potencial. Para uma
mesma massa, quanto maior a altura, maior a energia contida.

10. Energia de pressão
A energia sob a forma de pressão é a que,
por exemplo, permite a realização de um
trabalho como o deslocamento de um
pistão numa prensa hidráulica. Outro
exemplo é o de um macaco hidráulico que
levanta um peso.

11. Energia de velocidade
A energia de velocidade, também
chamada de energia cinética, é a
decorrente da velocidade de escoamento.
Um exemplo de uso da energia cinética
são os geradores eólicos (movidos pelo
vento).

12. Pelo princípio de conservação de energia, no qual afirmamos
que energia não se perde nem se cria, apenas se transforma,
a energia no ponto 1 é igual à energia no ponto 2. Temos
então que

13. Observando a equação da continuidade e a equação de energia, podemos
deduzir:
 1- Quando se diminui a seção transversal de passagem, a velocidade
aumenta, com isso aumenta também a energia cinética;
 2- Já que a quantidade de energia total permanece constante, é
necessário que se reduzam a energia de posição ou de pressão, ou
ambas.

14. Equação de Bernoulli para
líquido REAL
A equação anterior é válida apenas
teoricamente, já que, na prática, temos
algumas perdas de energia entre os
pontos 1 e 2 decorrentes de atritos,
choques etc., ficando a equação como:

15. A soma das três componentes da energia total não é
constante. Assim a equação de Bernoulli recebe um
termo que representa a quantidade de energia
dissipada entre dois pontos considerados de uma
tubulação.
Essas perdas recebem o nome de perda de carga entre
o ponto 1 e o ponto 2.

16. Representação gráfica:
2
2
2
2
2
1
v
gh
P
v
gh
P



 





17. Relação entre velocidade e
pressão
Aplicando a equação de Bernoulli ao caso particular em
que h1=h2=h, temos:

18. 2
2
2
2
2
1
v
P
v
P





Observando que A2< A1, temos que v1>v2
No trecho em que a velocidade é maior a pressão
é menor.

19. As superfícies S1 e S2 do tubo indicado na figura
possuem áreas 3,0 cm2 e 2,0 cm2 , respectivamente. Um
líquido de densidade ρ=0,80.103kg/m3 escoa pelo tubo
do ponto 1, velocidade v1=2,0m/s e pressão
p1=4.104Pa. Determine a velocidade e a pressão do
líquido no ponto 2.
s
m
v
v
/
3
2
)
2
(
3
2
2



20. 2
2
2
2
2
1
v
gh
P
v
gh
P



 




2
10
.
8
,
0
)
0
(
2
10
.
8
,
0
)
0
(
10
.
4
2
2
3
2
2
1
3
4 v
g
P
v
g 



 

2
)
3
(
10
.
8
,
0
2
)
2
(
10
.
8
,
0
10
.
4
2
3
2
2
3
4


 P
Pa
P 4
2 10
.
8
,
3


22. Pretende-se medir a vazão de um líquido que escoa por uma canalização.
Para isso utiliza-se um aparelho chamado tubo de venturi, que consiste
essencialmente de um tubo cujas seções S1 e S2 têm áreas A1 e A2
conhecidas. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é medida por meio
do desnível h do líquido existente nos tubos verticais. O tubo de Venturi é
inserido na canalização, conforme mostra a figura. Sendo A1=10cm2,
A2=5cm2, h=0,60m, g=10m/s2 e d=1,2.103 kg/m3, a densidade do líquido,
determine a vazão do líquido através da canalização.
1
2
2
1
2
2
1
1
2
)
(
5
)
(
10
)
(
)
(
v
v
v
v
v
A
v
A




23. 2
2
2
2
2
1
v
gh
P
v
gh
P



 




2
)
0
(
2
)
0
(
2
2
2
1
v
g
P
v
g
P



 



 2
2
1
/
10
.
2
,
7
)
6
,
0
)(
10
(
10
.
2
,
1
3
3
m
kg
P
P
gh
P
P
P






  

24. 2
/
10
.
2
,
7 3
m
kg
s
m
v
v
v
v
v
v
/
2
4
2
10
.
2
,
1
2
)
2
(
10
.
2
,
1
10
.
2
,
7
2
2
10
.
2
,
7
1
2
1
2
1
3
2
1
3
3
2
1
2
2
3








s
m
v /
4
2 
s
m
Q
A
v
Q
/
10
.
2
)
10
(
2
3
3
1
1





25. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é medida por
meio do desnível h do líquido existente nos tubos verticais.
O tubo de Venturi é inserido na canalização, conforme
mostra a figura. Sendo A1=12cm2, A2=8cm2, h=0,7m,
g=10m/s2 e d=1,6.103 kg/m3, a densidade do líquido,
determine a vazão do líquido através da canalização.

26. A velocidade de um líquido no ponto (1) é 2 m/s, encontrar
a pressão manométrica do ponto (1) sabendo que a
pressão manometrica no ponto 2 é 5.105Pa; A área do
ponto (2) é metade da área do ponto (1). Dados: g=10
m/s2, p=103kg/m3

27. 3
3
2
1
2
5
2
1
/
10
/
10
)
(
2
/
1
10
.
5
?
m
kg
s
m
g
A
A
Pa
P
P






2
2
2
2
2
1
v
gh
P
v
gh
P



 




Pa
P
P
5
1
2
3
5
2
3
3
1
10
.
06
,
3
2
)
4
(
10
0
)
10
(
5
2
)
2
(
10
)
20
)(
10
(
10






s
m
v
v
A
v
A
v
/
4
)
2
/
1
(
)
1
(
2
2
2
2
2
1
1




28. No ponto (1) de uma instalação hidráulica na qual
escoa água, a pressão 2,5.105 Pa, a uma velocidade
de 1 m/s. No ponto (2) a pressão manométrica
2,2.105 Pa com velocidade de 2 m/s. Determinar a
altura h. Dados g=10 m/s2; =1000kg/m3

29. 3
3
2
2
5
2
1
5
1
/
10
/
10
?
/
2
10
.
2
,
2
/
1
10
.
5
,
2
m
kg
s
m
g
h
s
m
v
Pa
P
s
m
v
Pa
P








2
2
2
2
2
1
v
gh
P
v
gh
P



 




m
h
h
85
,
2
2
)
2
(
10
)
10
(
10
10
.
2
,
2
2
)
1
(
10
10
.
5
,
2
2
3
3
5
2
3
5






30. Mostrar que:
2
2
2
2
2
1
v
gh
P
v
gh
P



 




É igual a:

31. 5. A água escoa pelo tubo indicado na figura abaixo, cuja
seção varia do ponto 1 para o ponto 2, de 100 cm² para 50
cm². Em 1, a pressão é de 0,5 kgf/cm² e a elevação 100m,
ao passo que, no ponto 2, a pressão é de 3,38 kgf/cm² na
elevação 70m. Calcular a vazão em litros por segundo.

33. 2
2
2
2
2
1
v
gh
P
v
gh
P



 




Observe que:
P1=P2= Pressão atmosférica;
V1=0 (pois a área da seção transversal
do recipiente é muito maior que a área
de orifício)
2
2
)
0
(
2
2
2
2
1
v
gh
gh



 



)
(
2
2
2
)
0
(
1
2
2
2
2
2
h
h
g
v
v
gh
gh











34. 4 – Qual a velocidade da água através de um furo
na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo
e a superfície livre é de 2 m?