1. O documento discute diagramas de estado e mudanças de fase da matéria. É apresentado o conceito de três estados da matéria (sólido, líquido e gasoso) e como eles dependem da temperatura e pressão. 2. São descritos diagramas de estado P-T que delimitam as regiões dos diferentes estados e as curvas que separam cada região. 3. São explicados os conceitos de mudança de fase, temperatura e pressão crítica, vapor saturado e máxima pressão de vapor.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Curso Técnico do Petróleo
Disciplina de Termodinâmica
Professor Jeferson Avila Souza
1º semestre de 2004

2. 1. Diagramas de Equilíbrio
1.1. Os estados de agregação da matéria
Há três estados de agregação da matéria, classicamente considerados: sólido, líquido e
gasoso (gás ou vapor).
O estado sólido é caracterizado por uma elevada força de coesão entre as moléculas,
garantindo forma e volume bem definidos.
No estado líquido, a substância apresenta volume definido, mas forma variável (do
recipiente), em virtude de as forças de coesão entre as moléculas serem menos intensas.
No estado gasoso, as forças de coesão são praticamente inexistentes, fazendo com que
em volume nem forma sejam definidos. Nesse estado, a substância se distribui por todo o
espaço disponível.
O estado de agregação em que uma substância pura se apresenta depende das
condições de pressão e de temperatura a que está submetida. Por exemplo, sob pressão normal
(1 atm), a água está no estado sólido (gelo) em temperaturas inferiores a 0ºC, no estado
líquido entre 0ºC e 100ºC e no estado gasoso em temperaturas superiores a 100ºC.
1.2. Diagrama de estado
Em vista do exposto, concluímos que há vários pares de valores de pressão e
temperatura em que a substância está no estado sólido, outros pares que correspondem ao
estado líquido e outros ainda correspondendo ao estado gasoso.
Assim, se considerarmos um sistema cartesiano, representado a pressão p em
ordenadas e a temperatura T em abscissa, o plano definido pelos dois eixos ficará dividido em
três regiões correspondentes aos três estados de agregação (Fig. 1)

3. P
0 T
estado gasoso
estado
líquidoestado
sólido
2
3
1
Fig. 1 – Diagrama de estado
As três regiões do diagrama (estados sólido, líquido e gasoso) da Fig. 1 são limitadas
por três curvas:
curva de fusão: entre as regiões dos estados sólido e líquido;
curva de vaporização: entre as regiões dos estados líquido e gasoso;
curva de sublimação: entre as regiões dos estados sólido e gasoso.
1.3. Mudanças de fase
Considere, na Fig. 2, a situação da substância caracterizada pela pressão p e pela
temperatura t. O estado de agregação é sólido. Se alterarmos a temperatura e a pressão isolada
ou simultaneamente, será possível cruzar uma das curvas limítrofes antes referidas, como
inçam as setas. Dizemos então que, em cada uma das passagens, a substância sofreu uma
mudança de estado.

4. P
0 T
gasoso
líquido
sólido
P
T (°C)
Fig. 2 – Diagrama de estado (mudança de estado)
Conforme os estados de agregação entre os quais ocorre a transição, podemos
reconhecer as seguintes mudanças de estado:
fusão
sublimação (inversa)
solidificação
vaporização
condensação
sublimação (direta)
Líquido GasosoSólido
Fig. 3 – Esquema de mudança de estado
Se mantivermos a pressão constante e variarmos a temperatura, ao ser atingida a
temperatura de mudança de estado, durante o processo de transição a temperatura
permanecerá constante, havendo coexistência dos dois estados entre os quais está ocorrendo a
mudança.
De modo idêntico, se mantivermos constante a temperatura e variarmos a pressão, ao
ser alcançada a pressão de mudança de estado, o valor dessa não se modificará durante a
transição, havendo coexistência dos dois estados entre os quais está ocorrendo a mudança.
Consideramos, por exemplo, uma substância no estado líqudio sob pressão p’ e
temperatura T’. Na Fig. 4a, representamos uma vaporização sob pressão constante: Tv é a
temperatura de vaporização na pressão considerada. Na Fig. 4b está representada uma
vaporização sob temperatura constante: pv é a pressão de vaporização na temperatura
considerada.

5. A vaporização considerada nos exemplos, que ocorre sob condições bem definidas, é
denominada vaporização típica, sendo também chamada de ebulição. A vaporização
espontânea, que acontece sob quaisquer condições, passando a substância do estado líquido
para o estado gasoso em virtude da agitação molecular, é denominada evaporação.
Como, durante a mudança de estado, coexistem os dois estados entre os quais há a
mudança, cada ponto de uma curva é representativo de uma condição em que coexistem dois
estados da substância. Assim, um ponto da curva de fusão representa uma condição de
coexistência dos estados sólido e líquido. Cada ponto da curva de vaporização é
representativo da coexistência dos estados líquido e gasoso.
P
0 T (°C)
gasoso
líquido
sólido
P
0 T (°C)
gasoso
líquido
sólido
Fig. 4 – Exemplos de mudança de estado
O ponto comum às três curvas é denominado ponto triplo ou tríplice da substância,
sendo representativo da condição de pressão e temperatura em que coexistem os três estados
de agregação.
Tabela 1: Ponto triplo de algumas substâncias
Água 0.006 atm 0.01 ºC
Dióxido de carbono (CO2) 5.10 atm -56.6 ºC
Nitrogênio (N2) 0.131 atm -209 ºC
1.4. Temperatura e pressão de mudança de fase
Analisando o diagrama de estado da maioria das substâncias Fig. 5, notamos que,
quanto mais alta é a pressão exercida sobre uma substância, tanto mais elevada torna-se a
temperatura de mudança de estado, seja a fusão, a vaporização ou a sublimação.

6. Por exemplo, como indicado na Fig. 5, quando a pressão atuante é p1, a fusão ocorre
na temperatura T1; sob pressão p2 a fusão ocorre na temperatura T2. Assim, o enxofre se funde
a 107 ºC quando sob pressão de 1 atm; se a pressão for aumentada para 519 atm, a
temperatura de fusão passa a ser 135.2 ºC.
Faz exceção a essa regra a fusão de algumas substâncias, como a água, o ferro, o
antimônio e o bismuto. A temperatura de fusão dessas substâncias decresce quando é
aumentada a pressão.
A vaporização e a sublimação das substâncias citadas obedecem à regra geral.
Portanto, para todas as substâncias, a temperatura de vaporização (ebulição) Teb e a
temperatura de sublimação Tsubl aumentam com o aumento da pressão p.
Quanto à temperatura de fusão, Tf, ela aumenta quando a pressão p aumenta para a
maioria das substâncias. Entretanto, para um pequeno grupo de substâncias (água, ferro,
bismuto, etc.), a temperatura de fusão diminui com o aumento da pressão.
P
0 T
gasoso
líquido
sólido
P1
T1 T2
Fig. 5 – Diagrama de mudança de estado da maioria das substâncias
Na Fig. 6, representamos o diagrama de estado dá água. Note que, sob pressão normal
(1 atm), a fusão do gelo ocorre a 0ºC. Quando submetido à pressão de 8 atm, o gelo sofre
fusão a -0.06 ºC.

7. P (atm)
0 T (°C)
gasoso
líquido
sólido
1
-0.06
8
0
Fig. 6 – Diagrama de estado da água
Essa diferente influência da pressão sobre o ponto de fusão é decorrente de como varia
o volume da substância durante a mudança de estado.
A maior parte das substâncias sofre fusão com aumento de volume. A elevação de
pressão, aproximando as moléculas, dificulta então essa mudança de estado, fazendo com que
ela ocorra numa temperatura mais alta.
As exceções (água, ferro, bismuto, etc.) sofrem fusão com diminuição de volume.
Então, o aumento na pressão, aproximando as moléculas, favorece a mudança de estado, que
ocorre, por conseguinte, numa temperatura mais baixa.
Resumindo a influência da pressão na temperatura de fusão, temos:
Substâncias que se dilatam na fusão (maioria)
P ↑ Tf ↑
Substâncias que se contraem na fusão (exceções)
P ↑ Tf ↓
1.5. Temperatura crítica. Gás e vapor
A vaporização e a condensação não ocorrem acima de certa temperatura característica
de cada substância, denominada temperatura crítica (Tc). Isso significa que, em temperatura
superior à temperatura crítica (T > Tc), a substância está sempre no estado gasoso, qualquer

8. que seja a pressão a que esteja submetida. Faz-se então a distinção entre vapor e gás.
Uma substância no estado gasoso é vapor enquanto sua temperatura for igual ou
inferior à temperatura crítica. O vapor pode ser condensado por aumento de pressão, mantida
constante a temperatura (Fig. 7, seta I).
Uma substância no estado gasoso é gás enquanto sua temperatura for superir à
temperatura crítica (T < Tc). O gás não pode ser condensado por aumento de pressão, mantida
constante a temperatura (Fig. 7, seta II).
P
0 T
gas
líquido
sólido c
Tc
vapor
I
II
Fig. 7 – Transformação do estado de vapor para o líquido
Por exemplo, o dióxido de carbono (CO2) tem temperatura crítica igual a 31ºC. Assim,
o CO2 é vapor em temperatura igual ou inferior a 31ºC. Se a temperatura for maior que 31ºC,
o CO2 é um gás.
Resumindo, para cada substância:
T ≤ Tc – vapor: condensa-se por simples aumento de pressão
T > Tc gás: Não se condensa pro simples aumento de pressão
O ponto da curva de vaporização que corresponde á temperatura crítica é denominado
ponto crítico e representado por C na Fig. 7.
1.1.1 Pressão máxima de vapor
Consideremos um recipiente cilíndrico provido de um êmbolo que pode movimentar-
se livremente. No interior desse cilindro encontram-se, em equilíbrio, o estado líquido e o
estado gasoso (vapor) de uma substância pura (Fig. 8). Seja T a temperatura do sistema.
Essa situação é necessariamente representada, no diagrama de estado da substância,

9. por um ponto da curva de vaporização (Fig. 9). Realmente, os pontos dessa curva são
representativos de condições de pressão e temperatura em que coexistem os estados líquido e
gasoso.
A pressão F exercida pelo vapor na referida situação de equilíbrio é denominada
pressão máxima de vapor da substância à temperatura T.
(a) (b) (c)
Fig. 8 – Recipiente com liquido e gás saturados
Observe que essa pressão é realmente máxima para o vapor, pois na temperatura T, em
pressões maiores, só pode existir o estado líquido. O vapor pode exercer pressões menores
que a máxima, mas, nessas condições, ele não poderá estar em presença do líquido (vapor
seco).
P
P
Tc T (°C)
T
C
Gás
Vapor
Líquido
0 T
Fig. 9 – Curva de vaporização
O vapor em presença do líquido, exercendo a pressão máxima F, costuma ser
denominado vapor saturado (Fig. 8). Se o volume oferecido ao vapor saturado for diminuído
isotermicamente, ele se converterá parcialmente em líquido (condensação) (Fig. 8b), para

10. continuar a exercer a mesma pressão: como ainda há coexistência dos dois estados, não
podem se alterar as condições de pressão e temperatura (Fig. 9). Se o volume oferecido ao
vapor saturado for aumentado (Fig. 8c), mantendo-se a temperatura, o líquido se converterá
parcialmente em vapor (vaporização), de modo a manter a pressão no valor F.
Em conclusão é possível afirmar que: A pressão máxima de vapor não depende do
volume oferecido ao vapor saturado.
Observando-se o diagrama de estado da substância na Fig. 10, percebe-se que a cada
valor de temperatura corresponde um valor diferente para a pressão máxima de vapor. Quanto
mais elevada a temperatura, tanto mais alto o valor da pressão máxima de vapor.
Logicamente, o mais elevado valor de pressão máxima é o que corresponde à temperatura
crítica Tc, sendo denominada pressão crítica.
Concluí-se que: para cada substância, a pressão máxima de vapor é função exclusiva
da temperatura.
P
Pc
P’’
P’
P
T’T’’Tc T (°C)
T
C
Gás
Vapor
Líquido
0 T
Fig. 10 – Curva de saturação
1.6. Mudanças de estado em um diagrama P-V
É necessário sermos capazes de determinas vários tipos de mudança de estado (não
confundir com mudança de fase) em um diagrama P-V. Abaixo são mostrados quatro
exemplos:

11. P
V
1
2
3
4
1. Mudança de Pressão e
Temperatura a volume
constante é uma
transformação isovolumétrica
2. Mudança de volume e
temperatura a pressão
constante é uma
transformação isobárica;
3. Mudança de pressão e volume
a temperatura constante, é
uma transformação
isotérmica;
4. Mudança na pressão e no
volume em um recipiente
isolado (sem aquecimento ou
resfriamento), é uma
transformação adiabática
1.7. Diagramas de estado de Andrews
Podemos melhor compreender a dependência entre os estados da matéria e as
condições de temperatura e pressão, analisando os diagramas de P = f(T) e P = f(V) para uma
certa substância.
Temp (°C)
Pressão(Bar)
Volume 100 120 400-20 37480
1.0
221
0.0603
0.5
374 °C
120 °C
100 °C
400 °C
Ponto
crítico
Fig. 11 – Diagramas de Andrews (água)
Vamos imaginar um recipiente com água sob pressão igual a 1.0 atm. A 60ºC ela está
no estado líquido com vapor saturado na superfície. A 120ºC ela será gasosa, ou estado de
vapor e a –10ºC, na fase sólida, com vapor saturado na superfície. Mas a 400ºC ela será um
gás pois mesmo sob pressões elevadas se tornará um vapor saturado com fase líquida.
Podemos então redesenha os diagramas de uma maneira mais límpida, como segue:

12. Temp (°C)
Pressão(Bar)
Volume 3740.01
221
0.0603
374 °C
Ponto
crítico
gás
vapor
não saturado
líquido
vapor
saturado
Ponto crítico
líquido
vapor não
saturado
sólido
gás
Fig. 12 – Diagrama de Andrews
Observe bem o ponto T (ponto triplo). Nestas condições a água poderá estar
solidificando ou fundindo simultaneamente acompanhada de ebulição ou liquefação. Sob
temperaturas mais baixas (-20ºC, por exemplo) e sob pressões inferiores a 603 Pa a água não
poderá existir na fase líquida. Qualquer mudança de estado, nestas condições será apenas uma
sublimação. Dessas afirmações podemos deduzir que:
Toda substância tem um único ponto tríplice e um único ponto crítico
Sob temperatura superior á crítica qualquer substância será um gás;
Para ocorrer sublimação, a temperatura devera ser inferior à temperatura tríplice e sob
pressão inferior à pressão tríplice.
A Tabela 2 mostra os pontos tríplices e críticos de algumas substâncias.
Tabela 2: Pontos críticos e tríplices
Pressão no ponto
Tríplice (Pa)
Temperatura no
ponto Tríplice (ºC)
Pressão crítica
(Bar)
Temperatura
critica (ºC)
Água 603 0.01 221 374
CO2 5.18 x 105
-56.6 73.9 31
O2 150 -218 50.3 -119
N2 0.14 x 105
-210 33.9 -147
1.8. Tabelas de saturação
Tabelas de saturação são tabelas que listam algumas propriedades físicas para os
estados de liquido e vapor saturados. Estes valores são denotados pelos sub-índices f e g
(fluido e gás, respectivamente). Estas tabelas podem ser de dois tipos:
as que listam a temperatura na primeira coluna e a respectiva pressão de saturação na

13. segunda coluna; ou
a pressão na primeira coluna e a temperatura de saturação na segunda coluna
Em ambos os casos a terceira e a quarta coluna trazem a o volume específico de
liquido saturado (vf) e o volume de gás saturado (vg).
Pressão
Volume
Ponto crítico
Vapor saturado
Líquido
saturado
Líquido
vgvf
v > vgv < vf v < v < vf g
Isoterma
Fig. 13 – Representação de vg e vf no diagrama de Andrews
O volume específico de uma mistura de líquido e vapor pode ser determinado com o
auxilio destas tabelas de saturação. O volume total da mistura é a soma dos volumes das fases
de liquido e vapor
[ ]3
mvapliq ∀+∀=∀ (1)
o volume específico pode ser obtido dividindo-se esta equação pela massa total da
mistura m
[ ]
[ ]kg
m
mmm
v
vapliq
3
∀
+
∀
=
∀
= (2)
Como a fase líquida é na verdade líquido saturado e a fase de vapor é vapor saturado




=∀
=∀
gvaporvapor
fliqliq
vm
vm
(3)
Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2), obtemos
g
vapor
f
liq
v
m
m
v
m
m
v 





+





= (4)
Vamos também definir o titulo da mistura como sendo a razão entre a massa de vapor
e a massa total do sistema, assim

14. vaporliquido
vapor
mm
m
x
+
= (5)
O volume específico da mistura pode ser então determinado por
( ) ( ) [ ]
[ ]kg
m
vvxvxvvxv fgfgf
3
1 −+=+−= (6)
Exemplo 1: Considere um sistema de duas fases (líquido-vapor) de água a 100 ºC e
título de 0.9. Determine o volume específico da mistura
Das tabelas de saturação para água a 100ºC
- vf = 1.0435× 10 -3
m3
/kg
- vg = 1.673 m3
/kg
assim
v = vf + x(vg – vf)
v = 1.0435×10 -3
m3
/kg + 0.9(1.673 m3
/kg – 1.0435×10-3
m3
/kg)
v = 1.506 m3
/kg
Exemplo 2: Determine o título e a temperatura de saturação para uma mistura (de
água) de líquido e vapor.
P = 5 bars
V = 0.5 m3
/kg
Da tabela de saturação para a água com entrada de pressão, determinamos:
Tsat = 151.9 ºC
vf = 0.3749 m3
/kg
vg =1.0926 m3
/kg
sabendo que ( )vvxvv fgf −+=
( )fgf vvxvv −=−
( )
( )fg
f
vv
vv
x
−
−
=
( )
( ) vapordemassade%7.45457.0
103749.00926.1
103749.05.0
x 3
3
==
×−
×−
= −
−

15. Conceitos Básicos sobre gases
Para este estudo não vamos fazer distinção entre gás e vapor, desta forma neste
capítulo, o estado gasoso (gás ou vapor) será sempre referido como gás.
1.9. Pressão dos gases
Suponha uma seringa de injeção que contém somente um gás e que a sua
agulha esteja entupida. As partículas do gás estão em contínuo movimento (agitação
térmica) e além de colidirem entre si, chocam-se contra as paredes do recipiente.
Durante as colisões surgem forças (forças de impacto) atuando sobre toda a superfície
interna da seringa. Ora, tais forças estão associadas a uma pressão de dentro para fora
tanto maior quanto maior for a temperatura do gás.
É possível aumentar a pressão sem aumentar a temperatura. Comprimindo o
gás na seringa, as mesmas partículas estarão colidindo com a mesma intensidade
contra uma superfície interna menor. Isto equivale a dizer que a pressão estará
aumentando com a redução de volume (Fig. 1b).
Como há uma dependência do tipo proporção inversa, podemos linealizar o
diagrama conforme mostrado na Fig. 1c.
P
T
P
V
P
1/V(a) (b) (c)
Fig. 1– Pressão de um gás
1.10. Gás perfeito
É uma substância gasosa idealizada onde suas propriedades termodinâmicas
(pressão, temperatura, etc...) podem ser relacionadas através da seguinte equação
nRTP =∀ (1)
onde p é a pressão, ∀ é o volume, n o número de mols, R a constante universal
dos gases e T a temperatura na escala absoluta.

16. Se um gás estiver sobre pressão não muito alta e temperatura não muito baixa
(estes valores de pressão e temperatura variam de acordo com o gás) ele terá um
comportamento de um gás perfeito e será chamado de gás ideal.
A constante universal dos gases R, é uma constante de proporcionalidade cujo
valor é dado por
kmol
latm
Kmol
J
R
×
×
=
×
= 082.0317.8 (2)
Conceito de mol de um gás ou vapor
A quantidade de uma substância pode ser dada em função do seu número de
mols, que é uma unidade do sistema internacional. Um mol, de qualquer substância, é
a quantidade desta substância que contém tantas entidades elementares (átomos,
moléculas, íons, elétrons, outras partículas, ou grupos destas partículas) quanto 12
gramas de carbono-12, o qual contém 6.023×1023
partículas. A massa molecular (M)
de uma substância é o número de gramas por mol desta substância, assim, a massa
molecular do carbono-12 é 12 g/mol.
A massa molecular de uma substância pode ainda ser expressa em kmol,
kgmol, gmol ou lbmol, as quais são relacionadas entre si de acordo com a tabela
abaixo.
1 mol = amostra contendo 6.02253××1023
entidades elementares
(ex: moléculas)
1 mol = 1 gmol
1 mol = 10-3
kmol
kmol = Kgmol
1 mol =
6.453
1
lbmol
O número de mols de uma substância, n, é obtido dividindo-se a massa pela
massa molecular desta substância, assim
M
m
n = (3)
onde n é o número de mols, m a massa e M a massa molecular.
A quantidade de 6.023×1023
entidades é conhecida como número de Avogadro
e representado pelo símbolo N. Assim, podemos afirmar que 1 mol de uma substância

17. corresponde a 6.023×1023
partículas desta substância.
É bom lembrar que a massa de um mol de substância tem um valor que pode
ser encontrado a partir da fórmula química e da massa atômica (em gramas) fornecida
pela tabela periódica.
Ex:
H2 ⇒ 2 × (1×10-3
) kg
O2 ⇒ 2 × (16×10-3
) kg
CO2 ⇒ 1 × (12×10-3
) + 2 × (16×10-3
) kg
Observações:
na Eq. (1) a temperatura precisa ser sempre em uma escala absoluta; Kelvin
(K) ou Rankine (R). A relação entre graus Fahrenheit e Rankine é:
T (R) = T(ºF) + 469.67
se tivermos uma mistura de substâncias gasosas que não reagem entre si o
número de mols é dado pela soma dos números de mols de cada componente da
mistura:
...321 +++= nnnn (4)
se houver reação química entre os componentes devemos somar apenas os
números de mols resultantes da reação, o que pode ser facilmente observado na
equação da reação química a seguir:
2222
2
1
OOHOH +=+ (5)
Exemplo 1: Calcule o número de mols contido em 128g de O2 (oxigênio).
Da tabela periódica determinamos que a massa molecular do O2 é 32 g/mol
(2×16 g/mol), assim
mols
molg
g
n 4
32
128
==
Exemplo 2: Qual a massa de uma molécula de O2?
Sabendo-se que MO2 = 32 g/mol, e que 1 mol é igual a 6.023×1023
moléculas, podemos concluir que

18. 1 molécula tem 23
10023.6
1
×
mols = n,
da expressão
M
m
n = podemos determinar a massa de uma molécula de O2 da
seguinte forma
g10312.5
mol
g
32mol
10023.6
1
nMm 23
Mn
23
−
×=×
×
==
32144 344 21
1.11. Equação de Clapeyron
Vimos que a pressão de um gás é diretamente proporcional à temperatura
absoluta (Fig. 1a) e inversamente proporcional ao volume (Fig. 1c).
Podemos portanto, traçar um gráfico envolvendo as três grandezas, que são as
variáveis de estado (p, ∀ e T) – pois a pressão é proporcional diretamente à razão
T/V.
Se traçarmos diagramas P-∀para quantidades variáveis de um gás, teremos
uma família de curvas conforme as obtidas na Fig. 2a.
P
T/V
n1
n2
n3
(a)
P
T/V
E 0
E 1
(b)
Fig. 2– Diagrama P-(T/∀)
A equação de cada uma das retas pode ser escrita como sendo
axy = ou ∀
=
T
.constP (6)
O coeficiente angular da reta é obtido experimentalmente, lembrando que 1
mol de qualquer substância gasosa apresenta nas condições normais de temperatura e
pressão:
pressão ⇒ 1 atm = 105
Pa

19. Temperatura absoluta ⇒ 0 ºC = 273.15 K
Volume de 1 mol = 22.4 l = 22.4 × 10-3
m3
Portanto, para 1 mol teremos a constante, aqui representada por R e
denominada de constante dos Gases Perfeitos, que como visto na Eq. (2) é
aproximadamente
molK
mPa
⋅
⋅ 3
13.8 . A equação de Clapeyron, na forma generalizada para
n mols, é dada então pela equação (1).
Observando o diagrama da Fig. 2b para um certo número de mols de uma
substância gasosa pura, vamos nos fixar nos dois pontos assinalados E0 e E1. E0
corresponde a um estado que chamaremos de inicial e que corresponde as variáveis de
estado P0, ∀0 e T0. Quando a massa gasosa assume o estado E1 dizemos que ocorreu
uma “transformação” e as variáveis de estado serão P1, ∀1 e T1. Reescrevendo a Eq.
(1) da seguinte maneira
nR
T
P
=
∀
(7)
podemos escrever para o estado 0
nR
T
P
=
∀
0
00
(8)
da mesma forma para o estado 2
nR
T
P
=
∀
1
11
(9)
Como R é uma constante e n não varia, pois estamos considerando uma
substância que não sofre reação química durante a transformação, ou seja o número de
mols permanece constante podemos escrever
constante
1
11
0
00
==
∀
=
∀
nR
T
P
T
P
(10)
Exemplo 3: Um pneu de automóvel contém ar sob pressão absoluta igual a 3
atm e temperatura igual a 27 ºC. Com o movimento do veículo, sua temperatura passa
para 57 ºC e o volume aumenta em 5%. Qual sua nova pressão?
P0 = 3 atm

20. T0 = (27 + 273.15) K T1 = (57 + 273.15) K
∀0 = ∀ ∀1 = 1.05∀
sabendo-se que
1
11
0
00
T
P
T
P ∀
=
∀
podemos escrever
( )
K15.330
m05.1P
K15.300
matm3 3
1
3
∀××
=
∀×
assim temos P1 = 3.143 atm
1.12. Diagrama de Clapeyron
É muito útil estudar as evoluções gasosas em um diagrama do tipo P-∀. A Fig.
3a nos mostra algumas transformações isotérmicas de uma mesma quantidade de gás.
É relativamente fácil observar que cada uma das isotermas representam evoluções sob
temperaturas diferentes em que T1 < T2 < T3.
A Fig. 3b mostra
a ⇒ transformação isobárica (pressão constante)
b ⇒ transformação isotérmica (temperatura constante)
c ⇒ transformação isovolumétrica (volume constante)
d ⇒ transformação adiabática (sem troca de calor)
T T T1
P
V
2 3
(a)
T T T1 T4
P
a
b
d
c
V V V
P
P3
2
1
P
2 3 V
1
2 3
(b)
Fig. 3– Diagrama de Clapeyron
Quando a transformação não apresenta nenhuma das características já citadas,
ela é denominada de transformação geral.

21. 1.13. Transformação politrópica
Suponha uma seringa de injeção na qual podemos efetuar uma compressão
súbita que impeça, dada a rapidez do evento, as trocas de calor. Como é realizado um
trabalho de compressão, a energia interna da massa de gás aumenta. Tal fato provoca
então um aumento na temperatura do gás. No caso de uma expansão sem troca de
calor ocorrerá então uma diminuição na temperatura. Tal transformação é chamada de
adiabática (sem troca de calor) Esta transformação é regida pela seguinte equação de
estado.
αα
1100 ∀=∀ PP (11)
onde α é o coeficiente politrópico da transformação.
Exemplo 4: O pistão de um compressor de ar em volume máximo igual a 0.3
litros e em funcionamento cíclico é reduzido para 0.03 litros. O ar é admitido no
processo sob pressão de 1 atm e com uma temperatura igual a 27 ºC. Como o processo
de compressão é muito rápido, podemos admitir que não há troca de calor entre o
pistão e o meio, considerando assim a transformação adiabática. O coeficiente
politrópico vale 1.4. Determine então a pressão do ar comprimido e sua temperatura
em ºC.
∀0 = 0.3×10-3
m3
∀1 = 0.03×10-3
m3
P0 = 1 atm
T0 = 300.15 K
α = 1.4
sabendo-se que αα
1100 ∀=∀ PP , podemos determinar P1
( ) 11925
10030
10301
3
3
1
00
1 .
.
.P
P =
×
××
=
∀
∀
= −
−
α
α
atm
sabemos também que
1
11
0
00
T
P
T
P ∀
=
∀
, assim
K.
.
..
T
P
P
T 947753
1030
10030
1
11925
3
3
0
00
11
1 =
×
×
=
∀
∀
= −
−