Apresenta-se o estudo do papel da geometria em Colisões Ultrarelativísticas bem como sua influência na definição da seção de choque inelástica de espalhamento, e classes de centralidade.

1. Universidade Federal do Rio GrandeFURG
Instituto de Matemática, Estatística e FísicaIMEF
‡GEOMETRIA DE COLISÕES ULTRARELATIVÍSTICAS
Alex Sander da Costa Quadros
Cristiano Brenner Mariotto
‡
Apresentação para o Journal Club, Nov. 2013

2. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Resumo da Apresentação
Contextualização :: Centralidade de colisões Pb+Pb
Metodologia :: Modelo de Glauber (Aspectos geométricos e Probabilísticos
Resultado :: Classes de Centralidade
Discussão :: Resultados e perspectivas de trabalho

3. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Introdução e Objetivo
ALICE Colaboration :: Centrality determination of PbPb collisions @
√
sNN = 2.76TeV with ALICE [hep-ex/1301.4361v1]

4. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Modelo de Glauber
Sejam X(A) e X(B) dois núcleos com densidades ρA, ρB e número de massa A
e B, respectivamente
r = z2 + s2
s =bA +
b
2
ˆx = bB −
b
2
ˆx
• b parâmetro de impacto
• bA distância do centro do núcleo X(A)
a um ponto no plano transverso
• bB distância do centro do núcleo X(B)
a um ponto no plano transverso
• s é a distância da origem de xy a um
ponto em A (s ⊥ z)
• r é a distância do centro do núcleo A
(ou B) até um ponto interior ao
núcleo A (ou B)
• P = P(x, y) ponto no plano
transverso

5. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Denição 1. Aspectos Geométricos
(i) Forma funcional da densidade de nucleons ρA(r)
ρA(r) :=
ρ0
1 + e(r−RA)/d
[unidades fm−3
]
ρ0 é a densidade central de nucleons, r é a distância radial dos nucleons
com respeito ao centro do núcleo, RA é raio nuclear, d é a espessura de
superfície.
(ii) Função Espessura (ou Perl) Nuclear TA(|s|)
TA(|s|) := dzρA(z, s) [unidades fm−2
]
fornece a densidade de nucleons ρA(z, s) projetada no plano transversal a
uma distância s da origem do sistema de coordenadas. A condição de
normalização é d2
bTA(b) = A.
(iii) Função de Sobreposição Nuclear TAB(|s|)
TAB(b) := d2
sTA(bA)TB(bB), [unidades fm−2
]
d2
s = 2πsdsd. A condição de normalização é d2
bTAB(b) = AB.

6. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Denição 2. Aspectos Probabilísticos
A probabilidade de uma colisão NN dado b quando o núcleo A está na posição
(bA, zA) e o núcleo B está na posição (bB, zB) é um evento de Bernoulli
PAB(b) =
σNN
AB
TAB(b),
onde σNN é a seção de choque de espalhamento nucleon-nucleon [unidades
fm2
] e TAB(b) é a função de Sobreposição [unidades fm−2
].
A repetição do Evento de Bernoulli n = AB vezes independentes entre si, e em
condições idênticas para k-sucessos (0 ≤ k ≤ n) com probabilidade de acerto
dada por p = σNN
AB
TAB(b), tem-se uma distribuição binomial da forma
PAB(k, b) =
AB
k
σNN TAB(b)
AB
k
1 −
σNN TAB(b)
AB
AB−k
onde o coeciente binomial é dado por AB
k
= (AB)!
k!(AB−k)!
.

7. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Classes de Centralidade
Denição 3. Seção de choque inelástica de Colisão AB
A seção de choque diferencial para o processo (inclusivo) de formação de
hadrons
d2
σAB(AB −→ X + h) := (1 − e−σNN TAB(b)
)d2
b
onde a soma de todas as probabilidades é
PAB(b) =
AB
k=1
PAB(k, b) = 1 − e−σNN TAB(b)
(i) Modelo de Glauber :: σNN = 72.000mb (1fm2
= 10mb)
[nucl-ex/0302016v3] @ LHC e TAB(b = 0) = 300.316fm−2
PAB(b) 1 −→ σAB = 2π
b
0
b db
(ii) σNN = 72.000mb = 7.2fm2
e TAB(b RA) = 0fm−2
PAB(b) = 0 −→ σAB = 0

8. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Lemma (Hard Scattering CrossSection)
Se a colisão A + B é central tal que σhard
NN TAB(b) é grande, então
d2
σhard
AB (AB −→ X + h) TAB(b)σhard
NN d2
b.
Proof.
Para processos de hard scattering, d2
σAB = (1 − e−σNN TAB(b)
)d2
b pode ser
expandida em série de potências de σhard
NN TAB(b)
˜PAB(b) 1 − 1 − σhard
NN TAB(b) +
(σhard
NN )2
T2
AB(b)
2!
−
(σhard
NN )3
T3
AB(b)
3!
+ . . .
σhard
NN TAB(b) −
(σhard
NN )2
T2
AB(b)
2!
+
(σhard
NN )3
T3
AB(b)
3!
Considerando apenas o termo de 1o
ordem e d2
σhard
AB
˜PAB(b)d2
b
d2
σhard
AB TAB(b)σhard
NN d2
b
Aqui σhard
AB depende diretamente de σhard
NN com TAB(b) sendo a constante de
proporcionalidade para um dado valor xo de b.

9. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Lemma (Minimun Bias Hard Scattering CrossSection)
Se a colisão A + B é central tal que σhard
NN TAB(b) é grande, então a integral de
d2
σhard
AB TAB(b)σhard
NN d2
b sobre todos os parâmetros de impacto b dá o
Minimun Bias Hard Scattering CrossSection
σhard
AB
AB
= ABσhard
NN
Proof.
Integrando d2
σhard
AB sobre todos os parâmetros de impacto b
d2
σhard
AB σhard
NN TAB(b)d2
b
e usando a condição de normalização
d2
bTAB(b) = AB
tem-se
σhard
AB
AB
= ABσhard
NN
onde A, B são os números de massa dos núcleos X(A) e X(B),
respectivamente.

10. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Theorem
A seção de choque σhard
AB C1−C2
para Hard Processes para uma dada classe
de centralidade de limites C1, C2 é
σhard
AB
C1−C2
= ABfABσhard
NN
Proof.
Sabe-se que
σhard
AB
C1−C2
=
b2
b1
d2
bσhard
NN TAB(b)
= 2π
AB
AB
σhard
NN
b2
b1
bdbTAB(b)
= ABσhard
NN
2π
AB
b2
b1
bdbTAB(b)
= ABfABσhard
NN

11. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
No cálculo de σhard
AB C1−C2
para Hard Processes em um Minimun Bias Hard
Scattering CrossSection para uma dada classe de centralidade, onde os limites
C1, C2 de uma dada classes corresponde a
σhard
AB
C1−C2
=
b2
b1
d2
bσhard
NN TAB(b)
A fração de seção de choque total fhard(b1 b b2) := fAB que ocorrem no
intervalo de parâmetro impacto b1 b b2 é
fAB =
2π
AB
b2
b1
bdbTAB(b)
A fração de seção de choque geométrica, fgeo(b1 b b2) := fgeo, com
parâmetro de impacto
fgeo =
2π
σgeo
AB
b2
b1
bdb(1 − e−σNN TAB(b)
) =
σAB
σgeo
AB

12. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Função Sobreposição Nuclear e Número de Hard Processes
Denição 4. Função Sobreposição Nuclear
Para qualquer classe de centralidade C1 − C2 o valor médio da Função
Sobreposição Nuclear é
TAB C1−C2 =
AB
σgeo
AB
fAB
fgeo
Denição 5. Número de Hard Processes
O número de Hard Processes por colisão nuclear para colisão AB para qualquer
classe de centralidade C1 − C2:
Nhard
AB C1−C2 =
AB
σgeo
AB
fAB
fgeo
onde
fAB =
2π
AB
b2
b1
bdbTAB(b), fgeo =
2π
σgeo
AB
b2
b1
bdb(1 − e−σNN TAB(b)
)
Ex.: @ LHC colisões simétricas Pb+Pb (A = 208),
√
sNN = 5.5TeV,
σNN = 77mb e σgeo
AA = 7745mb para [nucl-ex/0302016v3]

13. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
De fato, a Função Sobreposição Nuclear para qualquer classe de centralidade
C1 − C2:
TAB C1−C2 =
b2
b1
d2
bTAB
b2
b1
d2b
=
2π
b2
b1
bdbTAB
σAB
=
AB 2π
AB
b2
b1
bdbTAB
fgeoσgeo
AB
=
AB
σgeo
AB
fAB
fgeo
onde
fAB =
2π
AB
b2
b1
bdbTAB(b), fgeo =
2π
σgeo
AB
b2
b1
bdb(1 − e−σNN TAB(b)
)

14. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Observe que Nhard
AB (b) = σhard
NN TAB(b). Portanto, o número de Hard
Processes por colisão nuclear para colisão AB para qualquer classe de
centralidade C1 − C2:
Nhard
AB C1−C2 = σhard
NN TAB C1−C2
= σhard
NN TAB C1−C2
=
AB
σgeo
AB
fAB
fgeo
onde
fAB =
2π
AB
b2
b1
bdbTAB(b), fgeo =
2π
σgeo
AB
b2
b1
bdb(1 − e−σNN TAB(b)
)

15. Sumário Contextualização Metodologia Resultados Discussão
Resultados e perspectivas de trabalho
1 Neste trabalho ainda em progresso, estudamos Nhard
AB C1−C2 ,
TAB C1−C2 , fAB e fgeo dentro do Modelo de Glauber
2 O próximo passo será usar as funções do item anterior para diferentes
classes de centralidade supondo colisões simétricas Pb+Pb