Aula flexao composta assimétricas

1. 1
Flexão Composta Normal
1. ARMADURAS ASSIMÉTRICAS
1.1 Introdução
O dimensionamento direto à flexão composta normal com grande
excentricidade, considerando os esforços solicitantes não no centro de gravidade da
seção transversal, mas sim no centro de gravidade da armadura tracionada é muito
simples, pois torna o problema semelhante ao da flexão simples. Entretanto, ele
resolve apenas uma parte dos problemas da flexão composta normal. É importante
que se tenha uma formulação geral que resolva todos os casos possíveis.
Jayme Ferreira da Silva Jr. desenvolveu um processo que permite com
antecedência, conhecidos os esforços, as propriedades da seção e dos materiais,
determinar qual a necessidade de armadura da seção.
Vai-se considerar neste capítulo o dimensionamento de seções retangulares
submetidas à flexo-compressão ou à flexo-tração com armaduras assimétricas em
duas bordas.
Trabalhando com os valores reduzidos dos esforços solicitantes (νd, μd), o
semi-plano formado pelos pontos (νd, μd) pode ser dividido em 6 regiões ou zonas de
solicitação.
dbf
Nd
cd
d
⋅⋅⋅
=
85,0
ν (eq. 1)
2
85,0 dbf
Md
cd
d
⋅⋅⋅
=μ (eq. 2)

2. 2
E
D
C
d
d
A
B
h
O
(Fig. 1)
Zona A: as duas armaduras (As1 e As2) são comprimidas (flexo-compressão com
pequena excentricidade);
Zona B: equilíbrio alcançado só com As1, sendo As2 = 0;
Zona C: As2 é tracionada e As1 comprimida (flexo-tração e flexo-compressão com
grande excentricidade);
Zona D: equilíbrio conseguido com As2 tracionada e o concreto comprimido, sendo
As1 = 0;
Zona E: As2 e As1 são tracionadas (flexo-tração com pequena excentricidade);
Zona O:seção super-dimensionada, nenhuma armadura é teoricamente necessária.
A seguir serão desenvolvidas as fórmulas para as várias zonas de solicitação.
A notação que será utilizada é a que segue:
As1 → armadura comprimida pela ação do
momento fletor.
As2 → armadura tracionada pela ação do
momento fletor.
Nd > 0 → compressão
Nd < 0 → tração
(fig. 2)
As2
As1
Nd
Md
b
h

3. 3
1.2 Zona A
Na zona A as duas armaduras estão comprimidas, o que ocorre se ξ > 1 (ou x
> d). Está-se no domínio 4a ou 5. São três as incógnitas: As1 (ω1), As2 (ω2) e x (ξ).
As equações que resolvem o problema são as duas de equilíbrio. Portanto,
são infinitas as soluções. A solução que torna a resposta mais econômica é aquela
em que ξ → ∞, a seção está inteiramente comprimida a 2‰.
d'
e
As2. s2d
As1. s1d
0,85.fcd
d'
e Md
Nd
As1
As2
(fig. 3)
e = d – h/2 (eq. 3)
σs1d = σs2d = σsd (εsd = 2‰) (eq. 4)
κh = h/d (eq. 5)
sdsdcd AsAshbfNd σσ ⋅+⋅+⋅⋅⋅= 2185,0 (eq. 6)
( ) ( )hdAshdAsMd sdsd ⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅= 5,05,0 21 σσ (eq. 7)
Dividindo a (eq. 6) por dbfcd ⋅⋅⋅85,0 e a (eq. 7) por 2
85,0 dbfcd ⋅⋅⋅ , vem:
yd
sd
yd
sd
hd
ff
σ
ω
σ
ωκν ⋅+⋅+= 21 (eq. 8)
( ) ( )h
yd
sd
h
yd
sd
d
ff
κ
σ
ωκ
σ
ωμ 5,015,01 21 −⋅−−⋅=

4. 4
( ) ( )h
yd
sd
d
f
κ
σ
ωωμ ⋅−⋅⋅−= 5,0121 (eq. 9)
Resolvendo-se o sistema chega-se a:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅−
+⋅
⋅
= h
h
d
d
sd
ydf
κ
κ
μ
ν
σ
ω
5,012
1 (eq. 10)
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅−
−⋅
⋅
= h
h
d
d
sd
ydf
κ
κ
μ
ν
σ
ω
5,012
2 (eq. 11)
Para o aço CA-50A:
966,0
1000
15,1
500
2210000
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=
⋅
=
yd
sd
yd
sd
f
Es
f
εσ
(eq. 12)
No caso particular da compressão simples, onde Md = 0 (μd = 0)
( )hd
sd
ydf
κν
σ
ωω −⋅
⋅
==
2
21 (eq. 13)
Na expressão anterior nota-se que se νd < Kh a taxa de armadura fica
negativa. Isso quer dizer que só a seção de concreto resiste ao esforço de
compressão, sem necessidade das armaduras.
1.2.1 Limite com a Zona B
Como na zona B As2 = 0, basta fazer ω2 = 0 na expressão que permite
determiná-la, chegando-se a:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅−
−⋅
⋅
= h
h
d
d
sd
ydf
κ
κ
μ
ν
σ 5,012
0
( ) ( )hhdd BA
κκνμ ⋅−⋅−=−
5,01 (eq. 14)

5. 5
h
B
A
tração compressão
d
d
(fig. 4)
1.3 Zona B
Na zona B, sendo As2 = 0, o problema fica com 2 equações e 2 incógnitas (ξ e
ω1), tendo solução única.
x
y
s1d
h/2
h/2
As1
Nd
Mde
d'
0,85.fcd
As1. s1d
(fig. 5)
dscd AsxbfNd 1180,085,0 σ⋅+⋅⋅⋅= (eq. 15)
( ) ( )hdAsyhxbfMd dscd ⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= 5,05,05,080,085,0 11 σ (eq. 16)
Dividindo a (eq. 15) por dbfcd ⋅⋅⋅85,0 e a (eq. 16) por 2
85,0 dbfcd ⋅⋅⋅ , fica-se
com:
yd
ds
d
f
1
18,0
σ
ωξν ⋅+⋅= (eq. 17)

6. 6
( ) ( )h
yd
ds
hd
f
κ
σ
ωξκξμ ⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅= 5,014,05,08,0 1
1 (eq. 18)
Da (eq. 17):
ξν
σ
ω ⋅−=⋅ 8,01
1 d
yd
ds
f
Levando na (eq. 18) e desenvolvendo chega-se a:
( ) ( )
32,0
5,0
15625,1125,1
2 dhdd
hh
μκνν
κκξ
−⋅⋅−
+−⋅+−⋅= (eq. 19)
Se ( ) ( )hhdd κκνμ ⋅−⋅−= 5,01 (limite com a zona A), resulta ξ = 1,25 κh. Isso
quer dizer que nesse caso y = 0,80; x = h e a seção estará inteiramente comprimida,
valendo a formulação desenvolvida. Se resultasse ξ > 1,25 κh, não se poderia adotar
y = 0,80.x, pois desse modo estar-se-ia computando uma área inexistente de
concreto comprimido.
Uma vez obtido o valor de ξ, a primeira equação de equilíbrio fornece a taxa
de armadura:
yd
ds
d
f
1
1
8,0
σ
ξν
ω
⋅−
= (eq. 20)
Para determinar σs1d é preciso determinar εs1d em função de ξ e do domínio.
No domínio 4 (ξ ≤ hκ ).
x
dxds '
5,3
1 −
=
ε
Sendo dhd −='
( ) ‰5,31 ⋅
+−
=
x
dhx
dsε
( )
‰5,3
1
1 ⋅
+−
=
ξ
κξ
ε h
ds (eq. 21)
(fig. 6)
d' 3,5‰
s1d
x

7. 7
No domínio 5 (ξ > hκ ).
h
cd
cd
cdcd
cdcd
hx
x
xxh
h
x
κξ
ξ
ε
ε
εε
εε
37
14
37
14
2
7
3
7
3
2
−
=
−
=
−⋅=⋅
−
=
(fig. 7)
( )
cdds
cdds
x
dx
xdx
εε
εε
⋅
−
=→=
−
'
'
1
1
Sendo dhd −=' , vem:
( )
cdds
x
dhx
εε ⋅
+−
=1
( )
cd
h
ds ε
ξ
κξ
ε ⋅
+−
=
1
1
( )
h
h
ds
κξ
κξ
ε
⋅−⋅
+−⋅
=
37
114
1 (eq. 22)
1.3.1 Limite com a Zona O
Na zona O, por definição, As1 = As2 = 0.
Sendo ω2 = 0, a (eq. 17) de equilíbrio fornece:
8,0
8,0 d
d
ν
ξξν =→⋅=
Levando na (eq. 18) de equilíbrio:
cd
3h/7
x
h
s1d
2‰
d'

8. 8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
−⋅⋅=
8,0
4,0
5,0 d
hdd
ν
κνμ
2
5,0
2
0
d
dhd
ν
νκμ −⋅⋅= (eq. 23)
Equação de uma parábola do 2º grau com raízes νd = 0 e νd = Kh.
d
d
A
B
h
O
(fig. 8)
1.4 Zona C
Na zona C As1 está comprimida e As2, tracionada. São três incógnitas:
As1(ω1), As2(ω2) e x (ξ). As equações de equilíbrio sendo duas, o problema
apresenta infinitas soluções. A melhor solução é a que minimiza a soma (As1 + As2).
Lauro Modesto dos Santos em sua obra: Cálculo de Concreto Armado, Vol. 1,
apresenta os resultados de investigação de qual valor de ξ torna a solução mais
econômica. Para o aço CA-50A a solução mais econômica corresponde a ξ = ξlim.
s2d
s1d
yxlim
As2
As1
Nd
Mde
d'
0,85.fcd
As1. s1d
As2.fyd
h/2
(fig. 9)
Equações de equilíbrio:
yddscd fAsAsxbfNd ⋅−⋅+⋅⋅⋅= 21180,085,0 σ (eq. 24)

9. 9
( ) ( ) ( )hdfAshdAsyhxbfMd yddscd ⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= 5,05,05,05,080,085,0 211 σ
(eq. 25)
Dividindo a (eq. 24) por dbfcd ⋅⋅⋅85,0 e a (eq. 25) por 2
85,0 dbfcd ⋅⋅⋅ e
fazendo ξ = ξlim, fica:
2
1
1lim8,0 ω
σ
ωξν −⋅+⋅=
yd
ds
d
f
(eq. 26)
( ) ( ) ( )hh
yd
ds
hd
f
κωκ
σ
ωξκξμ ⋅−⋅+⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅= 5,015,014,05,08,0 2
1
1limlim
(eq. 27)
Da (eq.26) tem-se:
2lim
1
1 8,0 ωξν
σ
ω +⋅−=⋅ d
yd
ds
f
(eq. 28)
Substituindo na (eq. 27) e desenvolvendo chega-se a:
( ) ( )
( )h
hdhd
κ
κνξκξμ
ω
−
⋅−⋅−⋅−−⋅⋅−
=
2
5,014,018,0 limlim
2 (eq. 29)
Obtido o valor de ω2, facilmente se chega ao valor ω1, através de:
yd
ds
d
f
1
2lim
1
8,0
σ
ωξν
ω
+⋅−
= (eq. 30)
A relação σs1d/fyd vai depender do valor de ξs1d e do tipo de aço.
Em função de hκ :
( )
‰5,3
1
lim
lim
1 ⋅
+−
=
ξ
κξ
ε h
ds (eq. 21)
1.4.1 Limite com a Zona B
Na zona B tem-se As2 = 0 (ω2 = 0).

10. 10
Fazendo ω2 = 0 na expressão que permite o seu cálculo fica:
( ) ( )limlim 4,018,05,01 ξκξκνμ ⋅−−⋅⋅+⋅−⋅=− hhdd BC
(eq. 31)
1.4.2 Limite com a Zona D
Na zona D tem-se As1 = 0.
Fazendo ω1 = 0 na expressão que permite seu cálculo fica:
08,0 2lim =+⋅− ωξν d
Substituindo o valor de ω2 dado pela expressão que permite o seu cálculo e
desenvolvendo, tem-se:
( ) ( )limlim 4,018,015,0 ξξκνμ ⋅−⋅⋅+−⋅⋅=− hdd DC
Como já foi visto:
( )limlim 4,018,0lim
ξξμ ⋅−⋅=d
Assim, a reta de separação das zonas C e D fica:
( ) lim
15,0 dhdd DC
μκνμ +−⋅⋅=−
(eq. 32)
1.4.3 Limite com a Zona O
Sendo na zona O ω1 = ω2 = 0, a (eq.26) de equilíbrio fica:
lim8,0 ξν ⋅=d (eq. 33)
Levando esse valor na (eq. 27) de equilíbrio:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=
2
5,0 d
hddO
ν
κνμ
2
5,0
2
d
dhdO
ν
νκμ −⋅⋅= (eq. 23)
Nota-se que é a mesma equação obtida através da formulação da zona B.
1.4.4 Caso particular de flexão simples com armadura dupla

11. 11
No caso da flexão simples, Nd = 0 (νd = 0) e as armaduras ω1 e ω2 são
determinadas pelas expressões:
( )
( )h
hd
κ
ξκξμ
ω
−
⋅−−⋅⋅−
=
2
4,018,0 limlim
2
( )
( ) lim2 8,0
2
lim
ξ
κ
μμ
ω ⋅+
−
−
=
h
dd
(eq. 34)
( )
( )
yd
ds
h
dd
f
1
1
2
lim
σκ
μμ
ω
⋅−
−
= (eq. 35)
1.5 Zona D
Na zona D, sendo As1 = 0 e As2 tracionada, o problema fica com 2 equações
e 2 incógnitas (ξ e ω2), tendo solução única.
cd
d
h/2
As2.fyd
0,85.fcd
d'
e
Md
Nd
As2
xlim
y
s2d
(fig. 10)
Equações de equilíbrio
dscd AsxbfNd 228,085,0 σ⋅−⋅⋅⋅= (eq. 36)
( ) ( )hdAsxhxbfMd dscd ⋅−⋅⋅++⋅⋅⋅⋅= 5,04,05,08,085,0 22 σ (eq. 37)
Dividindo a (eq. 37) por dbfcd ⋅⋅⋅85,0 e a (eq. 38) por 2
85,0 dbfcd ⋅⋅⋅ , fica:
yd
ds
d
f
2
28,0
σ
ωξν ⋅−⋅= (eq. 38)
( ) ( )h
yd
ds
hd
f
κ
σ
ωξκξμ ⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅= 5,014,05,08,0 2
2 (eq. 39)
Da (eq. 36) tem-se:

12. 12
d
yd
ds
f
νξ
σ
ω −⋅=⋅ 8,02
2 (eq. 40)
Substituindo na (eq. 36) e desenvolvendo chega-se a:
( )
32,0
5,01
5625,125,1 dhd μκν
ξ
+⋅−⋅
−−= (eq. 41)
Obtido o valor de ξ, a armadura ω2 é facilmente obtida através da (eq. 38) de
equilíbrio.
( )
yd
ds
d
f
2
2
8,0
σ
νξ
ω
−⋅
= (eq. 42)
A relação σs2d/fyd vai depender do valor de εs2d. Se ξ ≥ ξlim está-se no domínio
4 onde vale a relação.
( ) ‰5,3
1
2 ⋅
−
=
ξ
ξ
ε ds
Obtido o valor de εs2d e conhecido o tipo de aço determina-se o valor de
σs2d/fyd.
1.5.1 Caso particular de flexão simples com armadura simples
No caso da flexão simples νd = 0. Além disso, como está-se no caso de
armadura simples, onde ξ ≤ ξlim, tem-se que σs2d = fyd.
Fazendo νd = 0 na expressão de ξ, tem-se:
32,0
5625,125,1 dμ
ξ −−= (eq. 43)
A taxa de armadura ω2 fica:
ξω ⋅= 8,02
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−⋅=
32,0
5625,125,18,02
dμ
ω
dμω ⋅−−= 2112 (eq. 44)
1.5.2 Limite com a Zona O
Na zona O sendo ω1 = ω2 = 0, a (eq. 38) de equilíbrio fica:
ξν ⋅= 8,0d (eq. 45)
Levando esse valor na (eq. 39) de equilíbrio:

13. 13
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=
2
5,0 d
hddo
ν
κνμ
2
5,0
2
d
dhdo
ν
νκμ −⋅⋅= (eq. 23)
1.6 Zona E
Na zona E As1 e As2 são tracionadas. São três as incógnitas: As1 (ω1), As2
(ω2) e x (ξ) e apenas duas equações de equilíbrio. São infinitas as soluções. A
solução mais econômica é aquela em que σs1d = σs2d = fyd (as duas armaduras
escoando). Como na zona E o concreto não trabalha, pode-se determinar ω1 e
ω2 diretamente das equações de equilíbrio, sem determinar o valor de ξ.
10‰
As2. s2d
As1. s1ds1dAs1
s2d
x
As2
Nd
Md
e
d'
h/2
d
(fig. 11)
Na zona E está-se no domínio 1.
Basta impor x de tal ordem que εs1d ≥ εyd.
Com isso, garante-se σs1d = σs2d = fyd.
Equações de equilíbrio:
( ) ydfAsAsNd ⋅+−= 21 (eq. 46)
( ) ( )hdfAshdfAsMd ydyd ⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅= 5,05,0 12 (eq. 47)
Dividindo a (eq. 46) por dbfcd ⋅⋅⋅85,0 e a (eq. 47) por 2
85,0 dbfcd ⋅⋅⋅ , fica:
21 ωων −−=d (eq. 48)
( ) ( )hhd κωκωμ ⋅−⋅−⋅−⋅= 5,015,01 12 (eq. 49)
Resolvendo o sistema, vem:

14. 14
( )
( )h
hdd
κ
κνμ
ω
−
⋅−⋅−−
=
2
5,01
1 (eq. 50)
( )
( )h
hdd
κ
κνμ
ω
−
⋅−⋅−
=
2
5,01
2 (eq. 51)
Deve-se observar que, por convenção, quando a força normal é de tração, νd
resulta negativo.
No caso particular da tração simples, onde μd = 0, resulta:
( )
( )h
hd
κ
κν
ωω
−
⋅−⋅−
==
2
5,01
21
2
21
dν
ωω
−
== (eq. 52)
1.6.1 Limite com a Zona D
Como na zona D tem-se ω1 = 0, basta fazer ω1 = 0 na equação que permite
seu cálculo, chegando-se a :
( )hdd ED
κνμ ⋅−⋅−=−
5,01 (eq. 53)
1.7 Limite entre a 6 Zonas
Para determinar as armaduras, uma vez dados os valores de νd, μd e Kh, o
primeiro passo consiste em determinar em que zona se encontra a solicitação.
Reunindo os resultados encontrados, tem-se:

15. 15
0,8. lim
d D-E
d C-D
d B-C
d A-B
E
D
C
d
d
A
B
h
O
(fig. 12)
( ) ( )hhdd BA
κκνμ ⋅−⋅−=−
5,01 (eq. 14)
( ) ( )hdhdd CB
κξμκνμ −⋅⋅−+⋅−⋅=−
28,05,01 limlim
(eq. 31)
( ) lim
15,0 dhdd DC
μκνμ +−⋅⋅=−
(eq. 32)
( )hdd ED
κνμ ⋅−⋅−=−
5,01 (eq. 53)
2
5,0
2
d
dhdo
ν
νκμ −⋅⋅= (eq. 23)
1.8 Exemplos
Para uma seção de concreto com b = 20cm, h = 60cm, d’ = 3cm, fck = 20 MPa e
aço CA-50A, dimensionar as armaduras para os seguintes pares de esforços:
• Nk = 1400 kN, Mk = 90 kN.m
• Nk = 790 kN, Mk = 140 kN.m
• Nk = 790 kN, Mk = 200 kN.m
• Nk = 300 kN, Mk = 112 kN.m
• Nk = -490 kN, Mk = 395 kN.m
• Nk = -490 kN, Mk = 279 kN.m

16. 16
• Nk = -490 kN, Mk = 100 kN.m
G.1) Nk = 1400 kN e Mk = 90 kN.m
160,0
5720
4,1
2
85,0
90004,1
416,1
5720
4,1
2
85,0
14004,1
2
=
⋅⋅⋅
⋅
=
=
⋅⋅⋅
⋅
=
d
d
μ
ν
Pesquisa da zona de solicitação
053,1
57
60
==hκ
Como hd κν > só pode ser zona A, B ou C.
Teste no limite entre as zonas A e B:
( ) ( )hhdd BA
κκνμ ⋅−⋅−=−
5,01
( ) ( ) 172,0053,15,01053,1416,1 =⋅−⋅−=−BAdμ
Como →<= −BAdd μμ 160,0 zona A
Fórmulas:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅−
−⋅
⋅
= h
h
d
d
sd
ydf
κ
κ
μ
ν
σ
ω
5,012
2
966,0=
yd
sd
f
σ
( )
0132,0053,1
053,15,01
160,0
416,1
966,02
1
2 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅−
−⋅
⋅
=ω
( )
3629,0053,1
053,15,01
160,0
416,1
966,02
1
1 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅−
+⋅
⋅
=ω
2
1 55,11 cmAs =
2
2 42,0 cmAs =
G.2) Nk = 790 kN e Mk = 140 kN.m

17. 17
248,0
5720
4,1
2
85,0
140004,1
799,0
5720
4,1
2
85,0
7904,1
2
=
⋅⋅⋅
⋅
=
=
⋅⋅⋅
⋅
=
d
d
μ
ν
5027,08,0
6284,0
lim
lim
=⋅
=
ξ
ξ
Como →<<⋅ hd κνξlim8,0 Zona O, B ou C.
Teste no limite da zona O:
2
5,0
2
d
dhdo
ν
νκμ −⋅⋅=
101,0
2
799,0
799,0053,15,0
2
=−⋅⋅=doμ
Como →> Odd μμ zonas B ou C.
Teste no limite entre as zonas B e C:
( ) ( )053,126284,08,0376,0053,15,01799,0 −⋅⋅−+⋅−⋅=−CBdμ
278,0=−CBdμ
Como →< −CBdd μμ zona B.
( ) ( )
32,0
248,0053,1799,05,0799,0
053,115625,11053,125,1
2 −⋅⋅−
+−⋅+−⋅=ξ
→= 708,0ξ domínio 4.
Deformação na armadura 1:
( )
‰5,3
1
1 ⋅
+−
=
ξ
κξ
ε h
ds
( ) ‰07,2‰24,3‰5,3
708,0
1053,1708,0
1 =>=⋅
+−
= ydds εε
0,11
=
yd
ds
f
σ
Taxa de armadura:
2
1
1
1
41,7
2326,0708,08,0799,0
8,0
cmAs
d
=
=⋅−=
⋅−=
ω
ξνω

18. 18
G.3) Nk = 790 kN e Mk = 200 kN.m
355,0
5720
4,1
2
85,0
100004,1
799,0
5720
4,1
2
85,0
7904,1
2
=
⋅⋅⋅
⋅
=
=
⋅⋅⋅
⋅
=
d
d
μ
ν
Pesquisa da zona de solicitação.
Sendo νd igual ao problema anterior, aproveitam-se os resultados.
Sendo →> −CBdd μμ zona C.
Determinação das armaduras:
( ) ( )
( )h
hdhd
κ
κνξκξμ
ω
−
⋅−⋅−⋅−−⋅⋅−
=
2
5,014,018,0 limlim
2
( ) ( )
( )053,12
053,15,01799,06284,04,01053,16284,08,0355,0
2
−
⋅−⋅−⋅−−⋅⋅−
=ω
0807,02 =ω
Para determinar ω1 é preciso conhecer a relação ydds f1σ que depende de εs1d.
( )
‰5,3
1
lim
lim
1 ⋅
+−
=
ξ
κξ
ε h
ds
( ) ‰07,2‰207,3‰5,3
6284,0
1053,16284,0
1 =>=⋅
+−
= ydds εε
Logo, 0,11 =ydds fσ
yd
ds
d
f
1
2lim
1
8,0
σ
ωξν
ω
+⋅−
=
0,1
0807,06284,08,0799,0
1
+⋅−
=ω
377,01 =ω
2
1 00,12 cmAs =

19. 19
2
2 57,2 cmAs =
G.4) Nk = 300 kN e Mk = 112 kN.m
199,0
5720
4,1
2
85,0
112004,1
303,0
5720
4,1
2
85,0
3004,1
2
=
⋅⋅⋅
⋅
=
=
⋅⋅⋅
⋅
=
d
d
μ
ν
Pesquisa da zona de solicitação.
Sendo →=⋅< 5027,08,0 limξν d Zona O, D ou C.
Limite com a zona O:
2
5,0
2
d
dhdo
ν
νκμ −⋅⋅=
114,0
2
303,0
303,0053,15,0
2
=−⋅⋅=doμ
Como →> Odd μμ zonas D ou C.
Limite entre as zonas C e D:
( ) lim
15,0 dhdd DC
μκνμ +−⋅⋅=−
( ) 376,01053,15,0303,0 +−⋅⋅=−DCdμ
232,0=−DCdμ
Como →< −DCdd μμ zona D.
Posição da linha neutra.
( )
32,0
5,01
5625,125,1 dhd μκν
ξ
+⋅−⋅
−−=
( )
32,0
199,0053,15,01303,0
5625,125,1
+⋅−⋅
−−=ξ
5485,0=ξ
Sendo ydds f=→< 2lim σξξ

20. 20
Armadura tracionada:
dνξω −⋅= 8,02
1358,0303,05485,08,02 =−⋅=ω
2
2 32,4 cmAs =
G.5) Nk = -490 kN e Mk = 395 kN.m
( )
701,0
5720
4,1
2
85,0
395004,1
496,0
5720
4,1
2
85,0
4904,1
2
=
⋅⋅⋅
⋅
=
−=
⋅⋅⋅
−⋅
=
d
d
μ
ν
Pesquisa da zona de solicitação.
Por se tratar de flexo-tração, as zonas possíveis são C, D e E.
Limite entre as zonas C e D.
( ) lim
15,0 dhdd DC
μκνμ +−⋅⋅=−
( ) ( ) 376,01053,15,0496,0 +−⋅⋅−=−DCdμ
611,0=−DCdμ
Sendo →> −DCdd μμ zona C.
Determinação das armaduras:
( ) ( )
( )h
hdhd
κ
κνξκξμ
ω
−
⋅−⋅−⋅−−⋅⋅−
=
2
5,014,018,0 limlim
2
( ) ( ) ( )
( )053,12
053,15,01496,06284,04,01053,16284,08,0701,0
2
−
⋅−⋅−−⋅−−⋅⋅−
=ω
0934,12 =ω
Para determinar ω1 necessita-se da relação ydds f2σ .
( ) ‰07,2‰207,3‰5,3
6284,0
1053,16284,0
1 =>=⋅
+−
= ydds εε
Logo, 0,11 =ydds fσ
yd
ds
d
f
1
2lim
1
8,0
σ
ωξν
ω
+⋅−
=

21. 21
0,1
0934,16284,08,0496,0
1
+⋅−−
=ω
0947,01 =ω
2
1 02,3 cmAs =
2
2 81,34 cmAs =
G.6) Nk = -490 kN e Mk = 279 kN.m
( )
495,0
5720
4,1
2
85,0
279004,1
496,0
5720
4,1
2
85,0
4904,1
2
=
⋅⋅⋅
⋅
=
−=
⋅⋅⋅
−⋅
=
d
d
μ
ν
Como 611,0=< −DCdd μμ (exemplo anterior), as zonas possíveis são D e E.
Limite entre as zonas D e E.
( )hdd ED
κνμ ⋅−⋅−=−
5,01
( ) ( ) 235,0053,15,01496,0 =⋅−⋅−−=−EDdμ
Sendo →> −EDdd μμ zona D.
Determinação de ξ.
( )
32,0
5,01
5625,125,1 dhd μκν
ξ
+⋅−⋅
−−=
( ) ( )
32,0
496,0053,15,01496,0
5625,125,1
+⋅−⋅−
−−=ξ
ydds f=→<= 2lim386,0 σξξ
Armadura tracionada:
dνξω −⋅= 8,02
( ) 8048,0496,0386,08,02 =−−⋅=ω
2
2 62,25 cmAs =
G.7) Nk = -490 kN e Mk = 100 kN.m

22. 22
( )
1774,0
5720
4,1
2
85,0
100004,1
496,0
5720
4,1
2
85,0
4904,1
2
=
⋅⋅⋅
⋅
=
−=
⋅⋅⋅
−⋅
=
d
d
μ
ν
Pesquisa da zona de solicitação
De acordo com exemplo anterior:
→< −EDdd μμ zona E.
Determinação das armaduras:
( )
( )h
hdd
κ
κνμ
ω
−
⋅−⋅−
=
2
5,01
2
( ) ( )
( )053,12
053,15,01496,01774,0
2
−
⋅−⋅−−
=ω
435,02 =ω
( )
( )h
hdd
κ
κνμ
ω
−
⋅−⋅−−
=
2
5,01
1
( ) ( )
( )053,12
053,15,01496,01774,0
1
−
⋅−⋅−−−
=ω
0607,01 =ω
2
1 93,1 cmAs =
2
2 85,13 cmAs =