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![8
07. (UNIMONTES PAES/2007 ) Se no número m498n, m
é o algarismo da dezena de milhar e n o algarismo das
unidades e m498n é divisível por 45, então m + n vale:
6
7
8
9
08. (UNIMONTES) Um número de seis algarismos é
formado pela repetição de uma classe, por exemplo:
256256 ou 678678. Qualquer número dessa forma é
sempre divisível por
A) 13, somente.
B) 1010.
C) 11, somente.
D) 1001
09. ( UFU – MG ) São dados os conjuntos :
D = divisores positivos de 24
M = múltiplos positivos de 3
S = D M
N = números de subconjuntos de S.
Portanto, N é igual a:
64
16
32
8
4
10. ( Unimontes / PAES – 2004 ) Dados os conjuntos A =
{ x N / x = 3n, n N } e B = { x N– {0} /
x
18
= n, n
N } , tem-se que AB é igual ao conjunto:
[3, 18 ]
Vazio
{ x N / 3 ≤ x ≤ 18 }
{ 3, 18, 6, 9 }
11. ( Fuvest) O número de divisores positivos de 360 é :
18
22
24
26
30
12. ( PUC – MG ) O número 2a
. 3b
tem oito divisores. Se
a.b = 3, então a + b é igual a:
1
2
3
4
60
13. (UFMG) O número 2a
.3b
.c divide o número 3600.
Suponha que a, b e c sejam números inteiros, positivos,
c seja um número primo maior que 3 e n com 16
divisores. Então, a + b – c será igual a:
a) - 2
b) - 1
c) 0
d)1
e)2
14. (UFMG) A soma de todos os divisores do número
105 é:
a) 15
b) 16
c) 120
d) 121
e) 192
15.( Unimontes – MG ) Entre os números 20 e 35,
quantos são os números que têm apenas quatro
divisores no conjunto dos números inteiros?
a) 4
b) 3
c) 5
d) 6
16. (UFMG) Sabe-se que o número 213
– 1 é primo.
Seja n = 217
– 16. No conjunto dos números naturais, o
número de divisores de n é
a) 5
b) 8
c) 6
d) 10
17. ( UFMG ) Sabe-se que os meses de janeiro, março,
maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias.
O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa
quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi:
quinta-feira
terça-feira
quarta-feira
sexta-feira
18. ( UFMG ) Seja N o menor número inteiro pelo qual
se deve multiplicar 2520 para que o resultado seja um
quadrado de um número natural. Então, a soma dos
algarismos de N é:
9
7
8
10
19. ( FCC ) Sejam os números A = 23
. 32
. 5 e B = 2.
33
. 52
. O MDC e o MMC entre A e B valem
respectivamente :
2. 32
. 5 e 23
. 33
. 52
2. 52
. 5 e 22
. 32
. 5
2. 3. 5 e 23
. 33
. 52
22
. 32
. 5 e 2. 32
. 5
23
. 32
. 52
e 2. 33
. 52](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-8-320.jpg)
![14
08.( CEFET – MG ) Seja x = ( 1001) 2e y = ( 123 ) 8. O
valor de ( x + y ) 16 é :
A) 5C
B) 5E
C) 46
D) 92
E) 125
09. ( UFLA – MG ) Dois números a e b, são
representados em uma base x por 100 e 102,
respectivamente. O produto a.b é representado na base
5 por344. A base x é:
A) 3
B) 2
C) 5
D) 7
E) 9
10.(UNIMONTES) No sistema de numeração em base 5, a
contagem é feita assim: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20,
21, ... O número 69, na base 10, quando descrito em base
5, é um número formado por
A) 3 dígitos consecutivos.
B) 2 dígitos consecutivos.
C) 2 dígitos não consecutivos.
D) 3 dígitos não consecutivos.
11. (UNIMONTES) Um número de 3 dígitos tem, da
esquerda para a direita, os dígitos h, t e u, sendo h >u.
Quando o número com os dígitos em posição reversa é
subtraído do número original, o dígito da unidade da
diferença é 4. Então, os dois dígitos seguintes, da direita
para a esquerda, são
A) 9 e 5.
B) 5 e 4.
C) 5 e 9.
D) 4 e 5.
12. O computador trabalha convertendo pulsos elétricos
em números binários onde cada conjunto binário de oito
dígitos é chamado de BYTE e cada dígito desse número é
chamado de BIT. Cada BYTE pode ser convertido para o
sistema decimal e esse número corresponde a um
caractere padronizado em uma tabela chamada de ASCII.
Veja o exemplo abaixo:
Quando o computador recebe o sinal elétrico acima, ele
reconhece a letra “e” minúscula.
De acordo com parte da tabela ASCII abaixo, o sinal
elétrico indicado corresponde ao símbolo:
A) Y
B) Z
C) [
D)
E) ]
GABARITO
1. B
2. D
3. B
4. B
5. B
6. A
7. C
8. A
9. A
10. A
11. A
12. C](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-14-320.jpg)
![15
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS,
RACIONAIS, IRRACIONAIS E REAIS
EXERCÍCIOS
01. ( PUC – MG) Em uma caixa há m pirulitos. Depois
que a criança A retira
7
2
do total de pirulitos dessa caixa
e a criança B retira 11 pirulitos, ainda restam na caixa,
5
2
de m. O valor de m é :
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
02. ( Fatec – SP ) Se A = (–3)2
– 22
, B = – 32
+ (–2)2
e C
= (–3 –2)2
, então C + A × B é igual a
a) –150
b) –100
c) 50
d) 10
e) 0
03. ( Fuvest – SP ) Qual desses números é igual a 0,064
?
a) ( 1/80 )2
b) ( 1/8 )2
c) ( 2/5 )3
d) ( 1/800 )2
e) ( 8/10 )3
04. ( UNIP ) Simplificando-se a expressão [(23
)2
]3
, obtém-
se:
a) 66
b) 68
c) 28
d) 218
e) 224
05. ( UEL – PR ) Se x e y são números reais, então a
única alternativa correta é:
a) y
xyx
33
b) (2x
. 3y
)2
= 22x
. 32y
c) (2x
– 3x
)y
= 2xy
– 3xy
= –1xy
d) 5x
+ 3x
= 8x
e) 3 . 2x
= 6x
06. ( PUC – MG ) O resultado da expressão {[29
: (2 . 22
)3
]–
3
} / 2 é:
a) 1/5
b) 1/4
c) 1/3
d) 1/2
07. ( CFTCE ) O valor da expressão [(0, 5)2
]8
.
3
2
64
1
como uma só potência de 2 é:
a) 2 16
b) 2 18
c) 2 20
d) 2 22
e) 2 24
08. ( UFJF ) A soma 3.103
+ 3.100
+ 3.10– 1
é igual a:
A) 303,3
B) 27000.
30
1
C) 3001,01
D) 3001,3
E) 3003,3
09. ( Fuvest – SP ) O valor de ( 0,2 )3
+ ( 0,16 )2
é
A) 0,0264
B) 0,0336
C) 0,1056
D) 0,2568
E) 0,6256
10. ( PUC – RJ ) O maior número a seguir é:
a) 3 31
b) 8 10
c)16 8
d) 81 6
e) 243 4
11. ( UFG – GO ) O número 2818 é igual a:
A) 8
B) 4
C) 618
D) 210
E) 0
12. ( Unaerp – SP ) O valor da expressão
d
cba .. 23
,
quando
2
1
a , b = – 2, c = 4 e d = – 8 é :
A) – 8
B) – 4
C) – 2
D) – 1/4](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-15-320.jpg)
![16
E) – 1/8
13. ( Izabela Hendrix – BH ) Se 2k
= x e 2t
= y, então 22k
+ 3t
é :
A) 2x + 3y
B) x.y
C) x + y
D) x2
. y3
E) x3
. y2
14. ( PUC – MG ) O produto 21,2222...
. 20,133333...
é igual a :
A) 51 9
22.
B) 49 11
22.
C) 45 16
22.
D) 30
22.
E) 25 12
22.
15. ( PUC – SP ) O valor da expressão
3 22
231212 é:
A) 2
3
2
B) 3
2
3
C) 2
1
6
D) 2
1
3
E) 6
1
2
16. (USP) Sela
b
a
a fração geratriz da dízima 0,1222...
com a e b primos entre si. Nestas condições, temos:
A) ab
= 990
B) ab = 900
C) a – b = 8
D) a + b = 110
E) b – a = 79
17. (UFMG) Efetuando as operações indicadas na
expressão 04,014,012,001,0
3
1 2
obtemos:
A) 0,220
B) 0,226
C) 0,296
D) 0,560
E) 0,650
18. (UFMG) O valor de 10–2
. [(–3)2
– (–2)3
] 3 001,0
é:
A) –17
B) – 1,7
C) – 0,1
D) 0,1
E) 1,7
19. (FUVEST) O valor da expressão
12
22
é:
A) 2
B)
2
1
C) 2
D)
2
1
E) 12
20. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão
23
2
23
1
obteremos:
A) 22
B) 323
C) 3222
D) 322
E) 232
21.(Bombeiros-MG) Considere os números reais a, b
e c tais que : 0
a
b
e0
b
c
,cba Nessas
condições podemos afirmar que:
22. (Bombeiros-MG) Sejam p e q dois números
primos. Sabe-se que a soma dos divisores naturais de
p2
é 133, e que a soma dos divisores naturais de 2q é
18. O valor de p + q é
A) 10
B) 7
C) 18
D) 16
23. (G1 - ifsp) Um pesquisador tem à disposição
quatro frascos com a mesma substância. No frasco I,
há um quarto de litro dessa substância; no frasco II, há
um quinto de litro dessa substância; no III, há um oitavo
de litro dessa substância; e no frasco IV há um décimo](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-16-320.jpg)
![32
A direção norte-sul é a mesma do eixo y, sendo que o
sentido norte é o sentido de crescimento de y, e a direção
leste-oeste é a mesma do eixo x, sendo que o sentido
leste é o sentido de crescimento de x.
Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de
movimentação para o robô: 4 norte, 2 leste e 3 sul, nos
quais os coeficientes numéricos representam o número de
saltos do robô nas direções correspondentes, e cada salto
corresponde a uma unidade do plano cartesiano.
Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a
posição do robô, no plano cartesiano, será
a) (0; 2).
b) (0; 3).
c) (1; 2).
d) (1; 4).
e) (2;1).
13. (Uel) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8,
9} e a relação R, de A em B, definida por R = {(x,y) ∈ A x B
│ x é divisor de y}. Nestas condições, R é o conjunto
a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9),
(4,8)}
b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)}
c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3)}
d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)}
e) {(2,0), (2,2), (2,4)}
14. (Ufsj) Sendo a função f x ax b, tal que
f f x 9x 8, é CORRETO afirmar que
a) 1 x
f x 2
3
b) f 0 8
c) f x 3x 4
d)
1 x 2
f x
3
15. (Uece) A função real de variável real definida por
x 2
f(x)
x 2
é invertível. Se 1
f
é sua inversa, então, o
valor de 1 1 2
[f(0) f (0) f ( 1)]
é
a) 1.
b) 4.
c) 9.
d) 16.
16. (Esc. Naval) Considere f e g funções reais de
variável real definidas por,
1
f(x)
4x 1
e 2
g(x) 2x .
Qual é o domínio da função composta (fog)(x)?
a) ¡
b)
1 1
x | x , x
2 2 2 2
¡
c)
1
x | x
4
¡
d)
1 1
x | x , x
4 2 2
¡
e)
1 1
x | x , x
4 2 2
¡
17.(UFOP) Seja uma função f: R R tal que:
I) f ( x + y ) = f (x) . f (y)
II) f (1) = 2
III) 42 f
Então o valor de 23 f é dado por:
a) 2
23 b) 29 c) 16
d) 24 e) 32
18.(UFOP) Sejam f:IR IR e g:N N, funções
satisfazendo:
3
x2xf e
)(
)(
)(
)( ng
ng
g
xg
21
10
.
Então, f(3) – g(3) é igual a:
a) 11
b) 16
c) 93
d) 109
e) 125
19.( UE – Londrina ) Seja a função f( x ) = ax3
+ b. Se
f( – 1 ) = 2 e f( 1 ) = 4, então “a” e “b” valem,
respectivamente:
a) – 1 e – 3
b) 3 e – 1
c) – 1 e 3
d) 3 e 1
e) 1 e 3
20.( UFP – RS ) Qual é o domínio de y =
2
4
x
x
?
a)R – { 4 }
b) ,4
c) [ 4, + ∞ )
d) ( 2, 5 )
e) x ≠ 2](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-32-320.jpg)
![34
a) representa uma função cujo domínio é [1, 5].
b) representa uma função cujo conjunto imagem é [3, 5] ∪
{2}.
c) não pode representar uma função.
d) representa uma função crescente.
28.Observando o gráfico da função real f, pode-se afirmar
que, das alternativas, a única falsa é :
A) A função admite 6 raízes reais
B) f( 1 ) = – 3
C) A imagem de fé ( – ∞, 5 ]
D) f(1) + f(7) = 1
E) Para x >7, f(x) é crescente
29. Observando o gráfico da função f, podemos concluir
que :
A) Se f(x) < 0, então x > 1
B) Se x > 1, então f(x) é decrescente
C) Se x < 1 , então f(x) é decrescente
D) Se f(x) < 0, então x < 1
E) Se x > 0, então f(x) > 0
30. (FIP-2009) Seja uma função f(x) = 3 + 2 x – 1
e f –1
(x) a sua inversa. Nessas condições, o valor de fof – 1
2
3
, é:
31.(FIP-2013) A função afim abaixo definida mostra a
concentração de álcool no sangue para um indivíduo
do sexo masculino com 75 quilogramas de massa
corporal, que ingere 1 lata de cerveja (350 ml) por hora,
durante 5 horas:
Onde a é a quantidade de álcool retido e t é o tempo
em horas.
Pela “Nova Lei Seca”, que entrou em vigor no Brasil em
janeiro de 2013, a tolerância à presença de álcool
retido no sangue é zero.
Após ter cessado a ingestão de cerveja, o indivíduo
apresentado na questão está apto a dirigir com
segurança e não infringir a Lei de tolerância zero,
aproximadamente em:
A) 3 horas e 20 minutos.
B) 3 horas e 30 minutos.
C) 3 horas e 45 minutos.
D) 3 horas e 7 minutos.
GABARITO
1. C
2. B
3. A
4. B
5. D
6. A
7. D
8. A
9. C
10. D
11. A](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-34-320.jpg)
![45
22.( Cesgranrio – RJ ) Os valores de x, tais que
1x2x
1x4
2
0, são aqueles que satisfazem :
a) x 4
b) x 4
c)x
4
1
d) x 1
e)x
4
1
23.( UFPA ) O domínio da função y = x .
4x3x
x4
2
2
é o
conjunto :
] -1 ; 4 ]
] - ; - 2 ] ] 4 ; + [
[ - 2 ; 1 [ [ 2 ; 4 [ { 0 }
] - ; - 1 [ ] 4 ; + [ { 0 }
] - ; - 1 [ ] 4 ; + [
24.( PAES ) Considere a função f: ]1, 3[ ]–1, 3 [ , definida por
f(x) = x2
– 2x. O esboço da função inversa de f, f – 1
é
25.(FIP-2010) Num dos jogos da Copa do Mundo, a bola
chutada por um jogador, em determinado lance, descreve
uma trajetória parabólica, conforme a figura abaixo:
Supondo que a trajetória da bola seja descrita pela
equação y = –x² + 6x, em que y é a altura atingida
pela bola (em metros), e x é o tempo decorrido (em
segundos), qual a altura máxima atingida por ela, e
após quanto tempo isso ocorre, respectivamente?
A) 6 metros e 9 segundos
B) 9 metros e 6 segundos
C) 6 metros e 3 segundos
D) 9 metros e 3 segundos
26.(FIP-2013) O dono de um restaurante vende, em
média, 300 refeições por dia a R$5, 00 cada uma, que
tem um preço de custo de R$3, 00. Ele observou que, a
cada R$0, 20 que oferece de desconto no preço da
refeição, há um aumento de 40 refeições em sua
venda.
A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu
lucro seja máximo?
A) R$7,40
B) R$6,50
C) R$5,25
D) R$4,75
27.(FIP-2013) Pensando em aproveitar o seu terreno, o
Sr. Paulo observou que poderia construir um cercado
para cultivar suas plantas. Ele possui um muro, com 6
metros de comprimento, que irá aproveitar como parte
dos lados desse cercado retangular. Para completar o
contorno desse cercado,ele irá usar 34 metros de
cerca.
Veja na figura abaixo.
A maior área que o Sr. Paulo poderá cercar é:](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-45-320.jpg)
![48
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
1. (Imed) Em um experimento no laboratório de pesquisa,
observou-se que o número de bactérias de uma
determinada cultura, sob certas condições, evolui
conforme a função t 1
B(t) 10 3 ,
em que B(t) expressa
a quantidade de bactérias e t representa o tempo em
horas. Para atingir uma cultura de 810 bactérias, após o
início do experimento, o tempo decorrido, em horas,
corresponde a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
2. (Ufrgs) A função f, definida por x
f(x) 4 2,
intercepta o eixo das abscissas em
a) 2.
b) 1.
c)
1
.
2
d) 0.
e)
1
.
2
3. (Enem PPL) Em um experimento, uma cultura de
bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada
hora, devido à ação de um agente bactericida.
Neste experimento, o número de bactérias em função do
tempo pode ser modelado por uma função do tipo
a) afim.
b) seno.
c) cosseno.
d) logarítmica crescente.
e) exponencial.
4. (Acafe) Um dos perigos da alimentação humana são os
microrganismos, que podem causar diversas doenças e
até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a
Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos,
armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a
prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que
certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando
sua população a cada 20 minutos, pode-se concluir que o
tempo que a população de 100 microrganismos passará a
ser composta de 3.200 indivíduos é:
a) 1 h e 35 min.
b) 1 h e 40 min.
c) 1 h e 50 min.
d) 1 h e 55 min.
5. (Unicamp) Em uma xícara que já contém certa
quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir
representa a função exponencial M(t), que fornece a
quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t
minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico,
podemos concluir que
a)
t
4
75M(t) 2 .
b)
t
4
50M(t) 2 .
c)
t
5
50M(t) 2 .
d)
t
5
150M(t) 2 .
6. (Pucmg) O valor de certo equipamento, comprado
por R$60.000,00, é reduzido à metade a cada 15
meses. Assim, a equação V (t) = 60.000. 15
t
2
, onde t
é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais,
representa a variação do valor desse equipamento.
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar
que o valor do equipamento após 45 meses de uso
será igual a:
a) R$ 3.750,00
b) R$ 7.500,00
c) R$10.000,00
d) R$20.000,00
7. (Ita) Se x é um número natural com 2015 dígitos,
então o número de dígitos da parte inteira de 7
x é
igual a
a) 285.
b) 286.
c) 287.
d) 288.
e) 289.
8. (G1 - ifsul) O par ordenado (0, 2) pertence ao
gráfico da função x
y (k 1)e .
Qual é o valor mínimo da função no intervalo [1, 2]?
a)
3
e](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-48-320.jpg)
![61
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS
LINEARES
EXERCÍCIOS I
01. Determine os valores de a, b, x e y, nas matrizes
abaixo sabendo que:
70
13
bayx2
ba2yx
02. Qual a soma de todos os elementos bij da matriz B =
[ bij ]3 x 3 tal que bij = ( i – j )2
?
03. Dadas as matrizes A e B abaixo, determine o valor
de x, y e z para que B = At
.
215
36
420
yA e
z84
13x
560
B
04. Ache x, y, z e w, nas matrizes abaixo de modo que:
58
01
14
32
wz
yx
05. Nas matrizes abaixo, ache m, n, p e q, de modo que:
51
87
q3q
nn
pp
m2m
06 .(UNIFEI MG) Dadas as matrizes
32
21
A ,
41
30
B e
12
01
C , considere as seguintes
afirmativas:
I . X = A + B – C =
81
52
II . Y = B – A – C =
23
10
III . Z = 2A – C =
72
43
Pode-se afirmar que:
A) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
B) todas as afirmativas são verdadeiras.
C) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
D) todas as afirmativas são falsas.
E) apenas II é verdadeira
07. (UFBA) A matriz 2 x 3, com
jisej,ia
jisej,2ia
ij
ij
é:
11-
43-
02
a)
11
40
32
b)
21
40
32
c)
143
1-02
d)
143-
1-02
e)
08. ( ABC – SP ) Seja A = ( ija ) uma matriz quadrada
de ordem 3, tal que
jisej,-i
jise,
jise,0
jiaij
Então o valor da soma de todos os elementos da matriz
A é:
a) 16
b) 14
c) 12
d) 10
e) 8
09. (Unesp – SP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e
três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir
descreve a quantidade de cada produto vendido por
cada loja na primeira semana de dezembro. Cada
elemento aij da matriz indica a quantidade do produto
vendido pela loja , com i e j = 1, 2, 3.
Analisando a matriz, podemos afirmar que
A) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela
loja L2 é 11.
B) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela
loja L3 é 30.
C) a soma das quantidades de produtos do tipo P3
vendidos pelas três lojas é 40.
D) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi
vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52.
E) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e
P2 vendidos pela loja L1 é 45.
10. (FGV – RJ) A organização econômica Merco é
formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de
negócios realizados entre os três parceiros é
representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-61-320.jpg)
![76
inclinação de 30°. Determine, em metros, a altura entre
estes dois andares.
Use os valores: sen 30 0,5, cos 30 0,87 e
tg 30 0,58.
a) 3,48.
b) 4,34.
c) 5,22.
d) 5.
e) 3.
21. (Ufpb) Um especialista, ao estudar a influência da
variação da altura das marés na vida de várias espécies
em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés,
dada em metros, em um espaço de tempo não muito
grande, poderia ser modelada de acordo com a função:
A(t) 1,6 1,4 sen t
6
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido,
em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse
contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12],
está representada pelo gráfico:
a)
b)
c)
d)
e)
22. (Ucs) Para colocar um objeto em movimento e
deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea por x metros, é
necessário aplicar uma força de 20 10 sen x
newtons sobre ele.
Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo 0,3 , está
representada a relação entre a força aplicada e a
distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros?
a)
b)
c)
d)
e)
23. (Pucrj) Se 1 etgθ θ pertence ao primeiro
quadrante, então cosθ é igual a:
a) 0](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-76-320.jpg)
![CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX
107
20. ( PUC – MG ) O ponto O é o centro de uma
circunferência de raio r, conforme a figura. A área da
região sombreada, em função de r, é:
a) (r2
)/4
b) [r
2
( – 2)]/4
c) [r2
( – 2)]/2
d) [r
2
( + 4)]/2
21. ( UFG – 2000 ) Um quadrado de 4 cm de lado é
dividido em dois retângulos. Em um dos retângulos,
coloca-se um círculo tangenciando dois de seus lados
opostos, conforme figura abaixo.
Determine o raio que o círculo deve ter, para que a
soma das áreas do círculo e do retângulo, que não o
contém, seja a menor possível.
22. ( UFJF – 2001 ) Na figura abaixo, temos que os
arcos ADB, BEC e ABC são semicircunferências de
diâmetros AB , BC e AC , respectivamente. Mostre
que a área sombreada é igual à área do triângulo ABC
inscrito na semicircunferência ABC.
23. ( UEL – PR ) Uma lembrança de festa foi
confeccionada em cartolina a partir de um hexágono
regular de lado igual a 3 cm. Com centro em cada
vértice foram construídos semicírculos com raio igual ao
lado do hexágono. A seguir, foi retirada a região do
semicírculo que ficava por baixo do semicírculo
seguinte, resultando a figura abaixo. Use o valor 3,14
para e 1,73 para 3 .
A alternativa que contém o valor mais aproximado da
área total da figura é :
a) 113,04 cm2
b) 108,14 cm
2
c) 103,22 cm
2
d) 84,78 cm2
e) 82,52 cm2
GABARITO
1) C 2) D 3) E 4) C 5) D 6) E 7) C
8) B 9) B 10) B 11) C 12) A 13) B
14) B 15) A 16) A 17) C 18) A
19) A 20) B 21) 4/ 22) 23) C
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
A
B
D
C
E](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-107-320.jpg)
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137
uma secção transversal com área de 16 cm
2
. A
altura da pirâmide, então, é de :
a) 8 cm
b) 10 cm
c) 12 cm
d) 14 cm
e) 16 cm
7) ( PUC – SP ) Um quebra-luz é um cone de geratriz
medindo 17 cm e altura com 15 cm. Uma lâmpada
acesa no vértice do cone projeta no chão um
círculo de 2 metros de diâmetro. A que altura do
chão se encontra a lâmpada?
a) 1,50 metros
b) 1,87 metros
c) 1,90 metros
d) 1,97 metros
e) 2,00 metros
8) ( UFAL ) Na figura abaixo tem-se, apoiado no plano
, um cone circular reto cuja altura mede 8 cm e
cujo raio da base mede 4 cm. O plano é
paralelo a e a distância entre os dois planos é
de 6 cm. O volume do cone que está apoiado no
plano é, em centímetros cúbicos, igual a
a) / 3
b) / 2
c) 2 / 3
d) 3 / 4
e) 4 / 5
9) ( PUC – SP ) Um cone reto cuja geratriz mede 15
cm e o raio da base mede 9 cm, é interceptado por
um plano paralelo à base, distando 4 cm de seu
vértice. O volume do tronco de cone obtido dessa
interseção é, em cm3
:
a) 246
b) 312
c) 324
d) 348
e) 421
10) ( Cesgranrio ) Um tanque cônico, de eixo vertical e
vértice para baixo, tem água até a metade de sua
altura. Se a capacidade do tanque é de 1200 litros,
então a quantidade de água nele existente, em
litros, é de :
a) 600
b) 450
c) 300
d) 200
e) 150
11) ( Vunesp – SP ) Cortando um cone reto com um
plano paralelo à base e distante H/2 da base,
onde H é a altura do cone, obtemos um círculo de
área A. O volume V do cone é igual a:
a) (A.H)/3
b) (2.A.H)/3
c) A.H
d) (4.A.H)/3
e) (5.A.H)/3
12) ( Vunesp – SP ) É dada uma pirâmide de altura H,
H = 9 cm, e volume V, V = 108 cm
3
. Um plano
paralelo à base dessa pirâmide corta-a
determinando um tronco de pirâmide de altura h, h
= 3 cm. Qual o volume do tronco de pirâmide
resultante ?
13) ( PUC – RS ) Uma secção paralela à base feita a 3
cm do vértice de uma pirâmide tem área igual a 1/3
da área da base. A altura da pirâmide é, em
centímetros, igual a:
a) 3 3
b) 5
c) 2 6
d) 2 3
e) 3
14) ( Fuvest – SP ) Qual das expressões seguintes dá o
volume do tronco de cone circular de bases
paralelas em função de H, R, h, r ?
a) /3[ HR2
+ (H – h) r2
]
b) /3[ HR2
– (H + h) r2
]
c) /3[ HR2
– (H – h) r2
]
d) /3[ HR2
+ (H + h) r2
]
e) n.r.a
15) ( UCMG ) A área lateral de um tronco de cone
circular reto de altura 4 cm, raio maior 8 cm e raio
menor 5 cm é, em cm2
, igual a:
a) 45
r H
h
R
17 15
6 cm](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-137-320.jpg)
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141
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza;
a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira,
nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a
mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma
questão de contraste, então o número de variações que
podem ser obtidas para a paisagem é
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
13. (ESAF) A senha para um programa de
computador consiste em uma sequência LLNNN, onde
“L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de
26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras
como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é
essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro
lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa
não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas,
o número total de diferentes senhas possíveis é dado
por:
a) 226
. 310
b) 26
2
. 10
3
c) 226
. 210
d) 26! . 10!
e) C26,2 . C10,3
14. ( FGV ) Uma pessoa vai retirar dinheiro de um caixa
eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha,
esquece o número. Lembra que o número tem 5
algarismos, começa com 6, não tem algarismos
repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O
número máximo de tentativas para acertar a senha é:
a) 1680
b) 1344
c) 720
d) 224
e) 136
15. (ESAF) Para ter acesso a um arquivo, um operador
de computador precisa digitar uma sequência de 5
símbolos distintos, formados de duas letras e três
algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da
sequência em que aparecem. O maior número de
tentativas diferentes que o operador pode fazer para
acessar o arquivo é:
a) 115
b) 120
c) 150
d) 200
e) 249
16. (FIP-MOC) Considere a figura abaixo
A sequência de pontos forma a letra A de nosso
alfabeto. Existem n triângulos distintos com vértices
nos pontos dessa figura. Qual é o valor de n?
A) 286
B) 5
C) 242
D) 728
17. (Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em
dois dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa,
Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna,
Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e
Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com
quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2,
a distribuição é a seguinte: - primeiro dia: Língua
Portuguesa - Literatura Brasileira, Língua Estrangeira
Moderna, Biologia e Matemática; - segundo dia:
História, Geografia, Química e Física. A UEG poderia
distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas,
com quatro por dia, de
a) 1.680 modos diferentes.
b) 256 modos diferentes.
c) 140 modos diferentes.
d) 128 modos diferentes.
e) 70 modos diferentes.
18. (Uel 2006) Na formação de uma Comissão
Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um
certo número de membros, de acordo com o tamanho
de sua representação no Congresso Nacional. Faltam
apenas dois partidos para indicar seus membros. O
partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros,
enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1
membro. Assinale a alternativa que apresenta o número
de possibilidades diferentes para a composição dos
membros desses dois partidos nessa CPI.
a) 55
b) (40 - 3) . (15-1)
c) [40!/(37! . 3!)]. 15
d) 40 . 39 . 38 . 15
e) 40! . 37! . 15!](https://image.slidesharecdn.com/apostila-exerciciosmatematica-180424175820/85/Apostila-exercicios-matematica-141-320.jpg)
Carregado porEder Mendes
Apostila exercicios matematica
1. O documento apresenta um índice de conteúdos de matemática, com tópicos como números naturais, conjuntos, funções, geometria, estatística e probabilidade. 2. Inclui páginas de calendário e horário de estudo em branco. 3. Faz uma revisão de questões sobre teoria dos conjuntos e números naturais.
Apostila exercicios matematica
- 1. 1 ÍNDICE CONTEÚDO Página Análise Combinatória139 Binômio de Newton 192 Cálculo Algébrico 25 Equação da Circunferência 187 Equações do 2° grau Equações Exponenciais 48 ESFERA 132 Equações Modulares 54 Equações Polinomiais 81 Estatística 160 Fatoração de Polinômios 28 Funções 30 Função afim (1° grau) 35 Função definida por mais de uma sentença Função Exponencial 50 Função Logarítmica 50 Função quadrática (2° grau) 41 Geometria Analítica 178 Geometria Espacial ( CILINDRO E CONE ) 126 Geometria Espacial ( Prismas ) 118 Geometria Plana 84 Logaritmos 50 Matemática Comercial 19 Matemática Financeira 56 Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 61 Números Complexos 79 Números Inteiros 15 Números Irracionais 15 Números Naturais 07 Números Racionais 15 Números Reais 15 Poliedros 116 Polinômios 81 Probabilidade 148 Progressões (P. A. e P. G.) 108 PIRÂMIDE 122 Sistemas de Numeração 13 Teoria dos Conjuntos 4 Teoria Elementar dos Números 10 TRONCO DE CONE E PIRÂMIDE 136 Trigonometria 72
- 2.
- 3.
- 4. 4 TEORIA DOS CONJUNTOS 01.(ESAF/AFC)Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se que a operação Ψ é definida por AΨB = (A–B)U(B–A), então a expressão (AΨB)ΨB é dada por: A) { X1, X5, X4} B) { X1, X2} C) { X1, X2, X3, X4} D) {X4, X6, X5} E) {X1, X6} 02. (Esaf - ANEEL) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto YXZ possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y – X é igual a: A) 4 B) 6 C) 8 D) vazio E) 1 03.(UESC) No diagrama de Venn, a região sombreada representa o conjunto: 01) C (B – A) 02) C – (A B C) 03) C – (A B) 04) ABC 05) ABC 04.(CFO/PM 2009)Sejam C, F e O os conjuntos tais que: Os elementos do conjunto O são: A) {3,4,6,8,9,10} B) {1,2,9,10} C) {3,4,6,8,9} D) {9,10} 05. (G1 - ifpe 2016) Em uma cooperativa de agricultores do município de Vitória de Santo Antão, foi realizada uma consulta em relação ao cultivo da cultura da cana-de- açúcar e do algodão. Constatou-se que 125 associados cultivam a cana-de-açúcar, 85 cultivam o algodão e 45 cultivam ambos. Sabendo que todos os cooperativados cultivam pelo menos uma dessas duas culturas, qual é o número de agricultores da cooperativa? a) 210 b) 255 c) 165 d) 125 e) 45 06. (Uece 2015) No colégio municipal, em uma turma com 40 alunos, 14 gostam de Matemática, 16 gostam de Física, 12 gostam de Química, 7 gostam de Matemática e Física, 8 gostam de Física e Química, 5 gostam de Matemática e Química e 4 gostam das três matérias. Nessa turma, o número de alunos que não gostam de nenhuma das três disciplinas é a) 6. b) 9. c) 12. d) 14. 07. (Fgv 2015) Observe o diagrama com 5 organizações intergovernamentais de integração sul- americana: Dos 12 países que compõem esse diagrama, integram exatamente 3 das organizações apenas a) 4. b) 5. c) 6.
- 5. 5 d) 7. e) 8. 08.(Espm 2015) Considere os seguintes subconjuntos de alunos de uma escola: A: alunos com mais de 18 anos B: alunos com mais de 25 anos C: alunos com menos de 20 anos Assinale a alternativa com o diagrama que melhor representa esses conjuntos: a) b) c) d) e) 09. (Uece 2015) Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é a) 236. b) 240. c) 244. d) 246. 10. (Uemg 2015) Em uma enquete sobre a leitura dos livros selecionados para o processo seletivo, numa universidade de determinada cidade, foram entrevistados 1200 candidatos. 563 destes leram “Você Verá”, de Luiz Vilela; 861 leram “O tempo é um rio que corre”, de Lya Luft; 151 leram “Exílio”, também de Lya Luft; 365 leram “Você Verá” e “O tempo é um rio que corre”; 37 leram “Exílio” e “O tempo é um rio que corre”; 61 leram “Você Verá” e “Exílio”; 25 candidatos leram as três obras e 63 não as leram. A quantidade de candidatos que leram apenas “O tempo é um rio que corre” equivale a a) 434. b) 484. c) 454. d) 424. 11. (Pucrj 2015) Uma pesquisa realizada com 245 atletas, sobre as atividades praticadas nos seus treinamentos, constatou que 135 desses atletas praticam natação, 200 praticam corrida e 40 não utilizavam nenhuma das duas modalidades no seu treinamento. Então, o número de atletas que praticam natação e corrida é: a) 70 b) 95 c) 110 d) 125 e) 130 12. (Espcex (Aman) 2014) Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os resultados indicaram que: - 65 pessoas compram cream crackers. - 85 pessoas compram wafers. - 170 pessoas compram biscoitos recheados. - 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. - 50 pessoas compram cream crackers e recheados. - 30 pessoas compram cream crackers e wafers. - 60 pessoas compram wafers e recheados. - 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa. a) 200 b) 250 c) 320 d) 370 e) 530 13. (G1 - cp2 2014) No diagrama abaixo, as figuras A, B e C representam conjuntos de indivíduos com uma determinada característica. Todo indivíduo que possui a característica A está representado dentro do conjunto A e quem não tem a característica está fora do mesmo. Analogamente, estão dentro de B todos os que têm a característica B e estão dentro de C todos os que têm a
- 6. 6 característica C. Nesse caso,a região sombreada indicará todos os indivíduos que: a) não têm nenhuma das três características; b) têm pelo menos uma das três características; c) têm apenas uma das três características; d) têm duas das três características; e) têm as três características. 14.(G1 - cftrj 2012) Uma das grandes paixões dos cariocas é o desfile de escolas de samba. Foram entrevistados alguns foliões com a seguinte pergunta: “Em qual ou quais escolas você irá desfilar em 2012?”, e os entrevistadores chegaram a algumas conclusões, de acordo com a tabela: Escola de samba Número de foliões Mangueira 1500 Portela 1200 Salgueiro 800 Mangueira e Portela 600 Portela e Salgueiro 400 Mangueira e Salgueiro 200 Mangueira, Portela e Salgueiro 150 Nenhuma das três 700 a) Quantos foliões foram entrevistados? b) Quantos, dentre os entrevistados, não pretendem desfilar na Salgueiro? 15. (Pucrj 2008) Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais: - 96 eram brasileiros, - 64 eram homens, - 47 eram fumantes, - 51 eram homens brasileiros, - 25 eram homens fumantes, - 36 eram brasileiros fumantes, - 20 eram homens brasileiros fumantes. Calcule: a) o número de mulheres brasileiras não fumantes; b) o número de homens fumantes não brasileiros; c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes. 16. (Ufmg) Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequentam, pelo menos, uma das três livrarias, A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados: - das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 não frequentam as demais; - das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 não frequentam as demais; - das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 não frequentam as demais; - oito pessoas frequentam as três livrarias. a) Determine o número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias. b) Determine o número de pessoas que frequentam, pelo menos, duas livrarias. c) Determine o número total de pessoas ouvidas nessa pesquisa.
- 7. 7 GABARITO 1. C 2. B 3.01 4. A 5. C 6. D 7. D 8. D 9. B 10. B 11. E 12. B 13. C 14. a) 1500 + 350 + 350 + 250 + 700 = 3150. b) 3150 – 800 = 2350. 15.a) 29 b) 5 c) 127 16. a) 78 pessoas b) 87 pessoas c) 165 pessoas CONJUNTO NUMÉRICOS NÚMEROS NATURAIS EXERCÍCIOS 01. (CESGRANRIO) Se a2 = 996 , b3 = 997 e c4 = 998 , então (abc)12 vale: A) 9912 B) 9921/2 C) 9928 D) 9988 E) 9999 02 . ( PUC – MG ) Na divisão do número natural P pelo número natural m o quociente é 13 e o resto, 5. O menor valor de P é : a) 44 b) 57 c) 83 d) 13 03. (UFMG) Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma do dividendo e do divisor é 125, o resto é: A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 04. ( PUC – MG ) Os números M e N são inteiros positivos. Na divisão de M por N o quociente é 17 e o resto, o maior possível. Se M – N = 407, o resto é: 24 23 21 18 16 05. ( UFMG) Um número é da forma 3a7b. Sabendo- se que este número é divisível por 25 e por 9, os algarismos a e b são, respectivamente: 0 e 8 3 e 7 6 e 5 3 e 5 N.d.a 06. ( ETF – RJ ) Qual o menor número que se deve subtrair de 21.316 para se obter um número que seja divisível por 5 e por 9 ? 31 1 30 42 41
- 8. 8 07. (UNIMONTES PAES/2007) Se no número m498n, m é o algarismo da dezena de milhar e n o algarismo das unidades e m498n é divisível por 45, então m + n vale: 6 7 8 9 08. (UNIMONTES) Um número de seis algarismos é formado pela repetição de uma classe, por exemplo: 256256 ou 678678. Qualquer número dessa forma é sempre divisível por A) 13, somente. B) 1010. C) 11, somente. D) 1001 09. ( UFU – MG ) São dados os conjuntos : D = divisores positivos de 24 M = múltiplos positivos de 3 S = D M N = números de subconjuntos de S. Portanto, N é igual a: 64 16 32 8 4 10. ( Unimontes / PAES – 2004 ) Dados os conjuntos A = { x N / x = 3n, n N } e B = { x N– {0} / x 18 = n, n N } , tem-se que AB é igual ao conjunto: [3, 18 ] Vazio { x N / 3 ≤ x ≤ 18 } { 3, 18, 6, 9 } 11. ( Fuvest) O número de divisores positivos de 360 é : 18 22 24 26 30 12. ( PUC – MG ) O número 2a . 3b tem oito divisores. Se a.b = 3, então a + b é igual a: 1 2 3 4 60 13. (UFMG) O número 2a .3b .c divide o número 3600. Suponha que a, b e c sejam números inteiros, positivos, c seja um número primo maior que 3 e n com 16 divisores. Então, a + b – c será igual a: a) - 2 b) - 1 c) 0 d)1 e)2 14. (UFMG) A soma de todos os divisores do número 105 é: a) 15 b) 16 c) 120 d) 121 e) 192 15.( Unimontes – MG ) Entre os números 20 e 35, quantos são os números que têm apenas quatro divisores no conjunto dos números inteiros? a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 16. (UFMG) Sabe-se que o número 213 – 1 é primo. Seja n = 217 – 16. No conjunto dos números naturais, o número de divisores de n é a) 5 b) 8 c) 6 d) 10 17. ( UFMG ) Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi: quinta-feira terça-feira quarta-feira sexta-feira 18. ( UFMG ) Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2520 para que o resultado seja um quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de N é: 9 7 8 10 19. ( FCC ) Sejam os números A = 23 . 32 . 5 e B = 2. 33 . 52 . O MDC e o MMC entre A e B valem respectivamente : 2. 32 . 5 e 23 . 33 . 52 2. 52 . 5 e 22 . 32 . 5 2. 3. 5 e 23 . 33 . 52 22 . 32 . 5 e 2. 32 . 5 23 . 32 . 52 e 2. 33 . 52
- 9. 9 20. (UFU-MG) Seo máximo divisor comum entre os números 144 e (30)P é 36, em que p é um inteiro positivo, então o expoente p é igual a: A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 21. ( Fuvest ) Sejam a e b o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. Então o produto a.b vale : a) 24 . 34 . 53 b) 25 . 32 . 52 c) 25 . 33 . 53 d) 26 . 33 . 52 e) 26 . 34 . 52 22. (UFU) Os irmãos José e Maria visitam regularmente seu avô Pedro. José visita-o a cada 8 dias e Maria a cada 6 dias, ambos, rigorosamente, sem nunca falharem. Se José e Maria visitaram simultaneamente o avô no primeiro dia do ano de 2004, quantas vezes mais eles fizeram a visita simultânea até o dia 31 de dezembro de 2006? Obs.: Considere cada ano com 365 dias. A) 48 B) 44 C) 46 D) 45 23. ( CFTPR ) Três vendedores encontraram-se num certo dia na cidade de Medianeira - PR e jantaram juntos. O primeiro vendedor visita esta cidade a cada 6 dias, o segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias. Estes três vendedores marcaram de jantar juntos novamente no próximo encontro. Este, deverá acontecer após: a) 480 dias. b) 120 dias. c) 48 dias. d) 80 dias. e) 60 dias. 24. ( UEL – PR ) Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos estiveram em conjunção no céu da Terra? a) 1840 b) 1852 c) 1864 d) 1922 e) 1960 25. ( UERJ ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: a) 150 b) 160 c) 190 d) 200 26. ( FGV – SP ) Seja x o maior número inteiro de 4 algarismos que é divisível por 13 e y o menor número inteiro positivo de 4 algarismos que é divisível por 17. Se a diferença entre x e y é igual a K, a soma dos algarismos de K é: a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 27. (UESB) Um paciente deve tomar três medicamentos distintos, em intervalos de 2:00h, 2:30h e 3:20h respectivamente. Se esse paciente tomou os três medicamentos às 7:00h, então deverá voltar a tomar os três, ao mesmo tempo, às (01) 10:00h (02) 12:50h (03) 15:00h (04) 16:30h (05) 17:00h 28. (CFO/PM 2005) Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto e, andando, contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa na pista em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida? A. ( ) 30 minutos. B. ( ) 45 minutos. C. ( ) 60 minutos. D. ( ) 240 minutos. 29.( UECE) Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram, juntos, às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos, pela primeira vez após as 10 horas ? 10 horas e 31 minutos 11 horas e 02 minutos 13 horas e 30 minutos 17 horas 30. (UPE-PE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma caminhada de duas horas em uma pista circular. Rebeca gasta 18 minutos para completar uma volta, e Neto, 12 minutos para completar a volta. Se eles partem do mesmo ponto P da pista e caminham em sentidos opostos, pode-se afirmar que o número de vezes que o casal se encontra no ponto P é
- 10. 10 a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) 5 31. (CFO/PM 2007) No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes "piscam" com freqüências diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? A. ( ) 12 B. ( ) 10 C. ( ) 20 D. ( ) 15 32. (UFTM) Márcia fabrica trufas de chocolate, que são vendidas em embalagens com 5, 8 ou 12 unidades. Renata, uma de suas vendedoras, possui em seu estoque 793 trufas, que serão todas vendidas em embalagens do mesmo tipo. Porém, ela ainda não decidiu qual das três embalagens irá utilizar. Nessas condições, a menor quantidade de trufas que Márcia deverá acrescentar ao estoque de Renata de modo que, independentemente do tipo de embalagem utilizada, não sobre nenhuma trufa no estoque depois da confecção das embalagens, é igual a a) 7. b) 11. c) 23. d) 39. e) 47. 33. (UFMG) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1500 unidades. Se essas laranjas fossem colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 12 laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 36 unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. Assim sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com 35 unidades cada um? A) 4 B) 6 C) 7 D) 2 34. ( EEAer ) Três rolos de arame farpado têm, respectivamente, 168 m, 264 m e 312 m. Deseja-se cortá-los em partes de mesmo comprimento, de forma que, cada parte, seja a maior possível. Qual o número de partes obtidas e o comprimento, em metros de cada parte? a) 21 e 14 b) 23 e 16 c) 25 e 18 d) 31 e 24 35. ( FEI – SP ) Em uma sala retangular de piso plano nas dimensões 8,80 m por 7,60 m deseja-se colocar ladrilhos quadrados iguais, sem necessidade de recortar nenhuma peça. A medida máxima do lado de cada ladrilho é: a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm 36. ( PUC / MG – 2001 ) Uma praça retangular, de 110 m de comprimento por 66 m de largura é contornada por fileiras de palmeiras igualmente espaçadas. A distância entre uma palmeira e a seguinte é a mesma e a maior possível. Se em cada vértice da praça existe uma palmeira, o número total de palmeiras contornando a praça é : A) 16 B) 18 C) 22 D) 24 37. ( UFMG ) Sejam a, b e c números primos distintos, em que a > b. O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de m = a2 .b.c2 e n = a.b2 são, respectivamente, 21 e 1764. Pode-se afirmar que a + b + c é : a) 9 b) 10 c) 12 d) 42 e) 62 38. (UFU-MG) Se p é um número natural primo e a soma de todos os divisores positivos de p2 é igual a 31, então p é igual a: a) 5 b) 7 c) 13 d) 3 39. (FIP-2009) Numa competição de arremesso de disco, o vencedor conseguiu 61 m. O segundo colocado, 58m. De quanto foi o lançamento do terceiro colocado, sabendo-se que a diferença entre o seu lançamento e o lançamento do segundo colocado foi duas vezes a diferença entre o segundo colocado e o primeiro? A) 56m B) 52m C) 54m D) 50m 40. (FIP-2009) Suponha que uma pessoa esteja percorrendo uma pista em forma do polígono ABCDEFGHI da figura abaixo. Saindo do ponto A, no sentido horário, ao caminhar, ela irá contando quantos lados já percorreu. Em qual dos vértices (A, B, C, ...) ela estará quando disser 555.555.555.555.555? 110 66
- 11. 11 41. (FIP-2010) Observea figura abaixo, que descreve as dimensões oficiais possíveis para um campo de futebol: Segundo o projeto, o comprimento do campo pode variar de 90 a 120 metros, e a largura de 45 a 90 metros. Admitindo que o comprimento seja um múltiplo de 10, e a largura seja um múltiplo de 5, de quantos modos possíveis pode ser construído o campo? A) 80 B) 60 C) 120 D) 40 42. (FIP-2010) Pensando em contribuir com uma alimentação mais saudável para a sua família, um professor da rede Pitágoras está planejando uma horta em um espaço retangular de 1,56m por 84cm, disponível em seu quintal. Ele inicia o preparo da horta dividindo o comprimento e a largura do terreno em partes iguais, todas de mesma medida inteira, quando expressas em centímetros. Dessa maneira, esse professor formou, na superfície do terreno, um quadriculado composto por quadrados congruentes, de modo que as medidas das arestas de cada quadrado tivessem o maior valor possível. Sua intenção é plantar, no centro de cada quadrado obtido, uma única muda. Nessas condições, a quantidade máxima de mudas que pode ser plantada é: A) 91 B) 76 C) 120 D) 144 43. (FIP-2011) Um grupo de estudantes se preparava para as provas do vestibular das FIPMoc. Ao estudar o assunto CONJUNTOS, em Matemática, eles observaram que o número de subconjuntos de um conjunto era dado por 2n . Se P e Q são conjuntos que possuem um único elemento em comum e se o número de subconjuntos de P é igual ao dobro do número de subconjuntos de Q, então o número de elementos do conjunto P união Q é o: A) triplo do número de elementos de P. B) dobro do número de elementos de Q. C) triplo do número de elementos de Q. D) dobro do número de elementos de P. 44 .(FIP-2012) Os números primos são verdadeiras estrelas da matemática - eles só podem ser divididos por eles mesmos (com resultado igual a um) ou por um (com resultado igual a ele mesmo), sem nenhuma outra possibilidade de se conseguir um número inteiro. O mais célebre desses números é o 2, mas o maior deles foi descoberto no ano passado por Martin Nowak, professor da Universidade de Harvard, nos Estados Unidos. O número é dado pela notação 225 964 951 – 1 e tem mais de sete milhões de dígitos, o equivalente ao número total de letras publicadas em mais de 61 edições de Galileu. Considere um número natural N, dado por N = 251 929 902 – 225 964 951 . A quantidade de divisores naturais do número N é: A) 12 982 476 B) 25 964 952 C) 51 929 904 D) 103 859 804 45 .(FIP-2013) Numa prova de aquecimento, o atleta Bruno Lins sai correndo e, após dar 200 passos, o atleta UsainBolt parte em seu encalço. Enquanto Bolt dá 3 passos, Lins dá 11 passos; porém, 2 passos de
- 12. 12 Bolt valem 9de Lins. É correto afirmar que, para alcançar Bruno Lins, UsainBolt deverá dar A) 480 passos B) 240 passos C) 120 passos D) 80 passos 46 (FIP).m agricultor de laranjas do norte de Minas obteve em uma colheita a quantidade de 1500 a 2100 unidades. Ao agrupá-las em embalagens com 50 unidades cada uma, percebeu que sobraram 20 laranjas. Resolveu, em seguida, reorganizá-las em embalagens com 36 unidades cada uma, e também sobraram 20 laranjas. Desejando obter um melhor aproveitamento, decidiu reagrupá-las em embalagens com 23 unidades cada uma. Quantas laranjas sobraram com a última organização? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 47.(FIP) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s Os três ciclistas se reencontrarão no ponto de partida pela primeira vez em: a) 6 minutos b) 5 minutos c) 7 minutos d) 8 minutos e) 9 minutos 48.(FIP) Os noivos Carlos e Maria são médicos plantonistas de um mesmo hospital, onde fizeram o primeiro plantão juntos no primeiro dia do ano de 2013. José realiza seu plantão a cada 8 dias, e Maria a cada 6 dias, ambos, rigorosamente, sem nunca falharem. Dado: Ano = 365 dias Quantas vezes Carlos e Maria compareceram juntos nos plantões, até o dia 31 de dezembro de 2015? a) 46. b) 45. c) 38. d) 35. e) 44. GABARITO 1) D 2) C 3) C 4) B 5) D 6) A 7) A 8) D 9) D 10) D 11) C 12) D 13) B 14) E 15) A 16) D 17) D 18) B 19) A 20) D 21) C 22) D 23) B 24) D 25) D 26) E 27) 5 28) C 29) A 30) C 31) A 32) E 33) D 34) D 35) D 36) A 37) C 38) A 39) B 40) A 41) D 42) A 43)B 44) C 45) B 46) A 47) A 48) A
- 13. 13 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO EXERCÍCIOS 01.(UNIMONTES) O numeral na base três, que representa o número de pontos do quadro abaixo, é a) 123. b) 1203. c) 1023. d) 3203. 02.( PAES / UNIMONTES ) Em 1962, através da Lei 2615 de ( 11000 )2 de maio de 1962, foi criada a Fundação Norte-Mineira de Ensino Superior ( FUNM ) de cuja transformação resultou a Universidade Estadual de Montes Claros ( UNIMONTES ), de acordo com o artigo 82, parágrafo 3º da Constituição Mineira de ( 10101 )2 de setembro de 1989. Ao digitar o texto acima, o digitador se distraiu e colocou o dia das duas datas na base 2. Escrevendo esses dias na base 10, encontramos respectivamente : A) 28 e 21 B) 26 e 20 C) 24 e 30 D) 24 e 21 03.(F.C.Chagas) Num sistema de numeração de base 4, faz-se a contagem do seguinte modo: 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30... O número 42 ( quarenta e dois ) no sistema de base 4 é composto de: A) 4 algarismos iguais. B) 3 algarismos iguais. C) 2 algarismos iguais. D) 3 algarismos distintos. E) 2 algarismos distintos. 04.( Unimontes) A tábua da multiplicação abaixo está incompleta. 05.(F.G.V) Qualquer número pode ser representado na base "2" como a soma de fatores que indicam potências crescentes de 2, da direita para esquerda, aparecendo o símbolo "1" se 2 elevado aquela potência está presente na composição de número e o símbolo "0" se 2 elevado aquela potência não está presente na composição do número. Por exemplo: O número 5 é representado por (101), pois 5 = 1.(22 ) + 0.( 21 ) + 1.( 20 ) O número 9 pode ser representado por (1001), pois 9 = 1.( 23 ) + 0.( 22 ) + 0 .( 21 ) + 1.( 20 ) Utilizando os números a seguir, (10010)2 e (1010)2 representados na base "2", somando-os e apresentando o resultado na base "2" teremos: A) (11000) B) (11100) C) (11011) D) (11101) E) (11111) 06.(Escola Técnica Federal - RJ) Escrevendo o número 324 num sistema de base 3 obtemos: A) 110000 B) 101110 C) 122010 D) 210010 E) 112110 07. ( PUC – MG ) Se A = 10023, B = 2214 e C = 10012, o valor A + B – C, na base 6 é: A) 114 B) 121 C) 141 D) 212 E) 221
- 14. 14 08.( CEFET –MG ) Seja x = ( 1001) 2e y = ( 123 ) 8. O valor de ( x + y ) 16 é : A) 5C B) 5E C) 46 D) 92 E) 125 09. ( UFLA – MG ) Dois números a e b, são representados em uma base x por 100 e 102, respectivamente. O produto a.b é representado na base 5 por344. A base x é: A) 3 B) 2 C) 5 D) 7 E) 9 10.(UNIMONTES) No sistema de numeração em base 5, a contagem é feita assim: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, ... O número 69, na base 10, quando descrito em base 5, é um número formado por A) 3 dígitos consecutivos. B) 2 dígitos consecutivos. C) 2 dígitos não consecutivos. D) 3 dígitos não consecutivos. 11. (UNIMONTES) Um número de 3 dígitos tem, da esquerda para a direita, os dígitos h, t e u, sendo h >u. Quando o número com os dígitos em posição reversa é subtraído do número original, o dígito da unidade da diferença é 4. Então, os dois dígitos seguintes, da direita para a esquerda, são A) 9 e 5. B) 5 e 4. C) 5 e 9. D) 4 e 5. 12. O computador trabalha convertendo pulsos elétricos em números binários onde cada conjunto binário de oito dígitos é chamado de BYTE e cada dígito desse número é chamado de BIT. Cada BYTE pode ser convertido para o sistema decimal e esse número corresponde a um caractere padronizado em uma tabela chamada de ASCII. Veja o exemplo abaixo: Quando o computador recebe o sinal elétrico acima, ele reconhece a letra “e” minúscula. De acordo com parte da tabela ASCII abaixo, o sinal elétrico indicado corresponde ao símbolo: A) Y B) Z C) [ D) E) ] GABARITO 1. B 2. D 3. B 4. B 5. B 6. A 7. C 8. A 9. A 10. A 11. A 12. C
- 15. 15 O CONJUNTO DOSNÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS, IRRACIONAIS E REAIS EXERCÍCIOS 01. ( PUC – MG) Em uma caixa há m pirulitos. Depois que a criança A retira 7 2 do total de pirulitos dessa caixa e a criança B retira 11 pirulitos, ainda restam na caixa, 5 2 de m. O valor de m é : A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 02. ( Fatec – SP ) Se A = (–3)2 – 22 , B = – 32 + (–2)2 e C = (–3 –2)2 , então C + A × B é igual a a) –150 b) –100 c) 50 d) 10 e) 0 03. ( Fuvest – SP ) Qual desses números é igual a 0,064 ? a) ( 1/80 )2 b) ( 1/8 )2 c) ( 2/5 )3 d) ( 1/800 )2 e) ( 8/10 )3 04. ( UNIP ) Simplificando-se a expressão [(23 )2 ]3 , obtém- se: a) 66 b) 68 c) 28 d) 218 e) 224 05. ( UEL – PR ) Se x e y são números reais, então a única alternativa correta é: a) y xyx 33 b) (2x . 3y )2 = 22x . 32y c) (2x – 3x )y = 2xy – 3xy = –1xy d) 5x + 3x = 8x e) 3 . 2x = 6x 06. ( PUC – MG ) O resultado da expressão {[29 : (2 . 22 )3 ]– 3 } / 2 é: a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 07. ( CFTCE ) O valor da expressão [(0, 5)2 ]8 . 3 2 64 1 como uma só potência de 2 é: a) 2 16 b) 2 18 c) 2 20 d) 2 22 e) 2 24 08. ( UFJF ) A soma 3.103 + 3.100 + 3.10– 1 é igual a: A) 303,3 B) 27000. 30 1 C) 3001,01 D) 3001,3 E) 3003,3 09. ( Fuvest – SP ) O valor de ( 0,2 )3 + ( 0,16 )2 é A) 0,0264 B) 0,0336 C) 0,1056 D) 0,2568 E) 0,6256 10. ( PUC – RJ ) O maior número a seguir é: a) 3 31 b) 8 10 c)16 8 d) 81 6 e) 243 4 11. ( UFG – GO ) O número 2818 é igual a: A) 8 B) 4 C) 618 D) 210 E) 0 12. ( Unaerp – SP ) O valor da expressão d cba .. 23 , quando 2 1 a , b = – 2, c = 4 e d = – 8 é : A) – 8 B) – 4 C) – 2 D) – 1/4
- 16. 16 E) – 1/8 13.( Izabela Hendrix – BH ) Se 2k = x e 2t = y, então 22k + 3t é : A) 2x + 3y B) x.y C) x + y D) x2 . y3 E) x3 . y2 14. ( PUC – MG ) O produto 21,2222... . 20,133333... é igual a : A) 51 9 22. B) 49 11 22. C) 45 16 22. D) 30 22. E) 25 12 22. 15. ( PUC – SP ) O valor da expressão 3 22 231212 é: A) 2 3 2 B) 3 2 3 C) 2 1 6 D) 2 1 3 E) 6 1 2 16. (USP) Sela b a a fração geratriz da dízima 0,1222... com a e b primos entre si. Nestas condições, temos: A) ab = 990 B) ab = 900 C) a – b = 8 D) a + b = 110 E) b – a = 79 17. (UFMG) Efetuando as operações indicadas na expressão 04,014,012,001,0 3 1 2 obtemos: A) 0,220 B) 0,226 C) 0,296 D) 0,560 E) 0,650 18. (UFMG) O valor de 10–2 . [(–3)2 – (–2)3 ] 3 001,0 é: A) –17 B) – 1,7 C) – 0,1 D) 0,1 E) 1,7 19. (FUVEST) O valor da expressão 12 22 é: A) 2 B) 2 1 C) 2 D) 2 1 E) 12 20. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão 23 2 23 1 obteremos: A) 22 B) 323 C) 3222 D) 322 E) 232 21.(Bombeiros-MG) Considere os números reais a, b e c tais que : 0 a b e0 b c ,cba Nessas condições podemos afirmar que: 22. (Bombeiros-MG) Sejam p e q dois números primos. Sabe-se que a soma dos divisores naturais de p2 é 133, e que a soma dos divisores naturais de 2q é 18. O valor de p + q é A) 10 B) 7 C) 18 D) 16 23. (G1 - ifsp) Um pesquisador tem à disposição quatro frascos com a mesma substância. No frasco I, há um quarto de litro dessa substância; no frasco II, há um quinto de litro dessa substância; no III, há um oitavo de litro dessa substância; e no frasco IV há um décimo
- 17. 17 de litro dasubstância. Se ele utilizar os dois frascos que mais contêm dessa substância, ele terá utilizado, ao todo: a) dois nonos de litro. b) dois dezoito avos de litro. c) nove vinte avos de litro. d) nove quarenta avos de litro. e) um nono de litro. 24. (Uece) Dados os números racionais 3 , 7 5 , 6 4 9 e 3 , 5 a divisão do menor deles pelo maior é igual a a) 27 . 28 b) 18 . 25 c) 18 . 35 d) 20 . 27 25. (G1 - cp2) Veja a lista de meses e seus respectivos códigos: Janeiro: 7.1.10 Fevereiro: 9.2.6 Março: 5.3.13 Abril: 5.4.1 Maio: 4.5.13 Junho: 5.6.10 Julho: 5.7.10 Qual é o código para o mês de Agosto? a) 8.6.1 b) 6.7.10 c) 5.8.10 d) 6.8.1 26. (Uerj) O segmento XY, indicado na reta numérica abaixo, está dividido em dez segmentos congruentes pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I. Admita que X e Y representem, respectivamente, os números 1 6 e 3 . 2 O ponto D representa o seguinte número: a) 1 5 b) 8 15 c) 17 30 d) 7 10 27. (Enem) Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida será, em milímetros, de a) 2,099. b) 2,96. c) 3,021. d) 3,07. e) 3,10. 28. (Fgv) A raiz quadrada da diferença entre a dízima periódica 0,444... e o decimal de representação finita 10 vezes 0,444...4 64 7 48 é igual a 1 dividido por a) 90.000. b) 120.000. c) 150.000. d) 160.000. e) 220.000. 29. (G1 - cftmg) Um grupo de alunos cria um jogo de cartas, em que cada uma apresenta uma operação com números racionais. O ganhador é aquele que obtiver um número inteiro como resultado da soma de suas cartas. Quatro jovens ao jogar receberam as seguintes cartas: 1ª carta 2ª carta Maria 4 1,333... 5 7 1,2 3 Selton 1 0,222... 5 1 0,3 6 Tadeu 3 1,111... 10 8 1,7 9 Valentina 7 0,666... 2 1 0,1 2 O vencedor do jogo foi a) Maria. b) Selton. c) Tadeu. d) Valentina.
- 18. 18 30. (Fuvest) Onúmero real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações: I. x é irracional. II. 10 x 3 III. 2.000.000 x 10 é um inteiro par. Então, a) nenhuma das três afirmações é verdadeira. b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. c) apenas a afirmação I é verdadeira. d) apenas a afirmação II é verdadeira. e) apenas a afirmação III é verdadeira. 31. (G1 - cp2) Operações realizadas com os números internos da figura resultam no número que aparece no centro. Este número também é obtido com operações realizadas com os números externos. Qual o número que substitui corretamente a interrogação? 32. (G1 - cftrj) Qual é o valor da expressão numérica 1 1 1 1 5 50 500 5000 ? a) 0,2222 b) 0,2323 c) 0,2332 d) 0,3222 GABARITO 1) C 2) E 3) C 4) D 5) B 6) D 7) C 8) E 9) B 10) A 11) E 12) A 13) D 14) C 15) E 16) E 17) A 18) B 19) A 20) B 21) C 22) D 23) C 24) C 25) D 26) D 27) C 28) C 29) C 30) E 31) 36 32) A
- 19. 19 MATEMÁTICA COMERCIAL QUESTÕES 01.(Enem )Nodepósito de uma biblioteca há caixas contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em cada uma delas estão anotadas 10 títulos de livros diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma torre vertical de 1 m de altura. Qual a representação, em potência de 10, correspondente à quantidade de títulos de livros registrados nesse empilhamento? A) 102 B) 104 C) 105 D) 106 E) 107 02.(ENEM) Os calendários usados pelos diferentes povos da terra são muito variados. O calendário islâmico, por exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia com a fase da lua. O calendário maia segue o ciclo de Vênus, com cerca de 584 dias, e cada 5 ciclos de Vênus corresponde a 8 anos de 365 dias da terra. MATSSURA, Oscar. Calendário e o fluxo do tempo. Scientific American Brasil. Disponível em: http://www.uol.com.br Acesso em: 14 out. 2008 (adaptado) Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre de 48 anos? (A) 30 ciclos. (B) 40 ciclos. (C) 73 ciclos. (D) 240 ciclos. (E) 384 ciclos. 03(ENEM) Pneus usados geralmente são descartados de forma inadequada, favorecendo a proliferação de insetos e roedores e provocando sérios problemas de saúde pública. Estima-se que, no Brasil, a cada ano, sejam descartados 20 milhões de pneus usados. Como alternativa para dar uma destinação final a esses pneus, a Petrobras, em sua unidade de São Mateus do Sul, no Paraná, desenvolveu um processo de obtenção de combustível a partir da mistura dos pneus com xisto. Esse procedimento permite, a partir de uma tonelada de pneu, um rendimento de cerca de 530 kg de óleo. Disponível em: http://www.ambientebrasil.com.br. Acesso em 3 out. 2008 (adaptado) Considerando que uma tonelada corresponde, em média, a cerca de 200 pneus, se todos os pneus descartados anualmente fossem utilizados no processo de obtenção de combustível pela mistura com xisto, seriam então produzidas (A) 5,3 mil toneladas de óleo. (B) 53 mil toneladas de óleo. (C) 530 mil toneladas de óleo. (D) 5,3 milhões de toneladas de óleo. (E) 530 milhões de toneladas de óleo. 04.(ENEM) No monte do Cerro Amazones, no deserto do Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E – ELT). O E–ELT terá um espelho primário de 42m de diâmetro, “O maior olho do mundo voltado para o céu”. Ao ler o texto em sala de aula, a professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1cm. Qual a razão entre o diâmetro do olho humano, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? a) 1:20; b) 1:100; c) 1:200; d) 1:1000; e) 1:2000. 05.(PUC-MG) Um caminhão pode carregar 52 sacos de areia ou 416 tijolos. Se forem colocados no caminhão 30 sacos de areia, o número de tijolos que ele ainda pode carregar é: A) 144 B) 156 C) 176 D) 194 06.(Unimontes)Um artesão faz um trabalho em 10 dias. O mesmo trabalho é feito por outro artesão em 15 dias. Se os dois trabalhassem juntos, quantos dias gastariam para fazer o trabalho? A) 6 dias. B) 5 dias. C) 12 dias e 12 horas. D) 9 dias. 07. (UFMG) As dimensões de uma caixa retangular são 3cm, 20mm e 0,07m. O volume dessa caixa, em mililitros, é A) 0,42 B) 4,2 C) 42 D) 420 E) 4200 08. (UFOP) Na planta de uma casa, escala 1:100, a área de uma sala retangular, com dimensões de 5 m por 6 m, é: A) 0,3 cm2 B) 3 cm2 C) 15 cm2 D) 30 cm2 E) 150 cm2 09.(UFMG) Na maqueta de um prédio, feita na escala 1:1000, a piscina com a forma de um cilindro circular reto, tem a capacidade de 0,6 cm3 . O volume, em litros, dessa piscina será: A) 600 B) 6.000 C) 60.000 D) 600.000 E) 6.000.000
- 20. 20 10.(PUC) Um elevadorpode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas crianças podem ainda entrar ? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 11.(ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150. Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? A) 2,9 cm × 3,4 cm. B) 3,9 cm × 4,4 cm. C) 20 cm × 25 cm. D) 21 cm × 26 cm. E) 192 cm × 242 cm. 12.Se dois carteiros, de igual capacidade de produção, entregam uma certa quantidade de cartas em 5 horas, em quanto tempo três carteiros, de mesma capacidade de produção que os anteriores, entregarão a mesma quantidade de cartas? A. 3h 40min B. 3h 33min C. 3h 20min D. 3h 10min E. 3h 13. (UFMG) Se, para encher um tanque, uma torneira A gasta 3 h, e outra, B, gasta 7 horas, ambas abertas ao mesmo tempo levam: A) 1 h 50 min. B) 2 h 06 min C) 2 h 10 min D) 2 h 20 min E) 2 h 30 min 14. (UFMG) Dois operários, juntos, realizam uma tarefa em 5 horas. Sabendo que, trabalhando isoladamente. o primeiro gasta a metade do tempo do segundo. concluímos que o primeiro operário, sozinho, realiza a tarefa em A) 6 h 40 min B) 7 h 10 min C) 7 h 50 min D) 7 h 30 min E) 8 h 10 min 15. (CESGRANRIO) Uma torneira enche um tanque em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanque cheio, abrimos, simultaneamente a torneira e o ralo. Então o tanque, nunca se esvazia. A) esvazia-se em 1 hora. B) esvazia-se em 4 horas. C) esvazia-se em 7 horas. D) esvazia-se em 12 horas. 16. ( UFT – TO ) Em uma fazenda produtora de soja duas colheitadeiras A e B são utilizadas para a colheita da produção. Quando trabalham juntas conseguem fazer toda a colheita em 72 horas. Porém, utilizando apenas a colheitadeira A, em 120 horas. Se o produtor utilizar apenas a colheitadeira B, toda a colheita será feita em: a) 180 horas b) 165 horas c) 157 horas d) 192 horas 17. Uma verba de R$ 2.700.000,00 deve ser dividida entre os municípios A, B e C em partes proporcionais ao número de matrículas no Ensino Fundamental de cada um deles. O número de alunos matriculados de A é o dobro do número de alunos matriculados de B que, por sua vez, tem o triplo do número de matrículas de C. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o município A deverá receber, em milhares de reais, uma quantia igual a: a) 270 b) 810 c) 1270 d) 1620 18. Uma mina d'água localiza-se na divisa de dois sítios. Os dois proprietários, Sr. Edson e Sr. José, resolveram construir, na saída da mina, uma caixa de água coberta e vão dividir as despesas entre si, em partes inversamente proporcionais às distâncias de suas casas em relação à mina. Se as despesas totalizarem R$ 5.600,00 e se as casas do Sr. Edson e do Sr. José distam, respectivamente, 5 km e 3 km da mina, então a parte da despesa que caberá ao Sr.
- 21. 21 Edson é a) R$1.900,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.200,00 d) R$ 3.100,00 e) R$ 3.500,00 19. ( UNICAMP – SP ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto? a) 7h 42 b) 7h 44 c) 7h 46 d) 7h 48 e) 7h 50 20.Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição adotada, atualmente, no Brasil. Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma possível redução, nessa mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%. Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro dessa mistura varia linearmente de acordo com a proporção de álcool utilizada. Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse carro percorrerá um total de A) 11,20 km . B) 11,35 km . C) 11,50 km . D) 11,60 km . 21. (CTSP) O valor de √9% é: A) 30% B) 30 C) 3 D) 3% 22. ( MACK – 2001 ) Numa festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é 12 13 . A porcentagem de rapazes na festa é : a) 44% b) 45% c) 40% d) 48% e) 46% 23. ( Fuvest – SP ) O quadrado de 6%, a raiz quadrada positiva de 49% e 4% de 180 valem, respectivamente : A) 36% ; 7% ; 7,2 B) 0,36% ; 70% ; 7,2 C) 0,36% ; 7% ; 72 D) 36% ; 70% ; 72 E) 3,6% ; 7% ; 7,2 24(FIP).O Sr. Jair, proprietário de uma gráfica na cidade de Montes Claros, possui duas impressoras de modelos diferentes, utilizadas para a impressão de panfletos, mantendo cada qual sua velocidade de produção constante. Ao iniciar um serviço que lhe foi encomendado, percebeu que uma das máquinas não está funcionando. Para a realização desse serviço, as duas máquinas trabalhando juntas conseguem realizá- lo em 2 horas e 40 minutos, e a máquina que quebrou, funcionando sozinha, mantendo sua velocidade constante, realizaria um terço do trabalho encomendado em 1 hora e 20 minutos. Utilizando apenas a máquina que não está quebrada, mantendo sua velocidade de produção constante, o serviço ficará pronto em a) 8 horas. b) 6 horas. c) 7 horas. d) 4 horas. e) 5 horas. 25(FIP).As famílias Kent, Stark e Wayne realizaram uma viagem juntas, cada uma em seu carro. Cada família sabe muito bem o quanto o seu carro consome de gasolina. O quadro a seguir mostra o carro de cada uma das famílias, com os respectivos consumos médios. Nessa viagem, eles sempre pagaram a gasolina com o mesmo cartão de crédito. Ao final, eles perceberam que consumiram 1 200 litros de gasolina e gastaram 3 mil reais com esses abastecimentos. Decidiram dividir a despesa de forma proporcional ao que cada família consumiu. Quanto deverá pagar a família Stark ? a) R$ 1 000,00 b) R$ 750,00 c) R$ 1 050,00 d) R$ 1 250,00 e) R$ 1 800,00 26(FIP). O gerente de uma academia de dança faz uma promoção para aumentar o número de frequentadores,
- 22. 22 tanto do sexomasculino quanto do feminino. Com a promoção, o número de frequentadores do sexo masculino aumentou de 80 para 126 e, apesar disso, o percentual da participação de homens caiu de 40% para 28%. O número de mulheres que frequentam essa academia, após a promoção, teve um aumento de: a) 170% b) 70% c) 200% d) 112% e) 240% 27(FIP). Atualmente, a concentração do álcool na gasolina brasileira, segundo o Conselho Nacional de Petróleo, é de 30%. Um posto de gasolina, após uma fiscalização, foi interditado, pois a gasolina possuía concentração de 40% de álcool. Havia, nesse posto, um estoque de 60.000 litros dessa gasolina adulterada. O órgão exigiu que fosse adicionado gasolina pura nessa mistura, a fim de ficar de acordo com a legislação. O número de litros de gasolina pura que deve ser adicionado é: a) 20 000. b) 16 000. c) 25 000. d) 24 000. e) 18 000. 28(FIP). Hércules é síndico de um edifício que possui 4 andares, com 4 apartamentos por andar, sendo que em cada andar 2 apartamentos possuem 60 m2 , e 2 possuem 80 m2 .. O gasto mensal com a administração do edifício é de R$ 6.720,00. Em uma assembleia, ficou decidido que o valor do condomínio seria proporcional à área do apartamento. Um apartamento de 60 m2 deve pagar uma cota de: a) R$ 360,00. b) R$ 720,00. c) R$ 480,00. d) R$ 420,00. e) R$ 300,00. 29. (Unicamp) A figura abaixo exibe, em porcentagem, a previsão da oferta de energia no Brasil em 2030, segundo o Plano Nacional de Energia. Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever que a parcela oriunda de fontes renováveis, indicada em cinza na figura, equivalerá a a) 178,240 milhões de tep. b) 297,995 milhões de tep. c) 353,138 milhões de tep. d) 259,562 milhões de tep. 30. (Fac. Albert Einstein - Medicin) Suponha que, em certo país, observou-se que o número de exames por imagem, em milhões por ano, havia crescido segundo os termos de uma progressão aritmética de razão 6, chegando a 94 milhões / ano, ao final de 10 anos. Nessas condições, o aumento percentual do número de tais exames, desde o ano da observação até ao final do período considerado, foi de a) 130%. b) 135%. c) 136%. d) 138%. 31. (Unesp) Em um terreno retangular ABCD, de 2 20 m , serão construídos um deque e um lago, ambos de superfícies retangulares de mesma largura, com as medidas indicadas na figura. O projeto de construção ainda prevê o plantio de grama na área restante, que corresponde a 48% do terreno.
- 23. 23 No projeto descrito,a área da superfície do lago, em 2 m , será igual a a) 4,1. b) 4,2. c) 3,9. d) 4,0. e) 3,8. 32. (G1 - cftmg) Em uma empresa, 10 funcionários produzem 150 peças em 30 dias úteis. O número de funcionários que a empresa vai precisar para produzir 200 peças, em 20 dias úteis, é igual a a) 18. b) 20. c) 22. d) 24. 33. (G1 - cp2) Em tempos de escassez de água, toda medida de economia é bem vinda. Num banho de 15 minutos com chuveiro aberto são gastos cerca de 135 litros de água. Daniel resolveu reduzir seu banho para 9 minutos, obtendo assim uma economia de água a cada banho. Se Daniel tomar apenas um banho por dia, em um mês ele terá economizado (considere 1 mês como tendo 30 dias) a) 1620 litros. b) 2510 litros. c) 5700 litros. d) 3250 litros. 34. (G1 - ifpe) Um aluno do curso de Mecânica, do IFPE, recebeu o desenho de uma peça, fez as devidas medições e, a partir de sua escala, fabricou a peça. Se a largura da peça no desenho tinha 1,5 mm e a largura da peça já fabricada tinha 45 cm, qual a escala do desenho? a) 1: 3 b) 1: 30 c) 1: 300 d) 1: 3.000 e) 1: 30.000 35. (G1 - ifsp) Em março de 2015, na Síria, de acordo com informações divulgadas pela Organização das Nações Unidas (ONU), 4 em cada 5 sírios viviam na pobreza e miséria. Sendo assim, a razão entre o número de habitantes que viviam na pobreza e miséria e o número de habitantes que não viviam na pobreza e miséria, naquele país, em março de 2015, podia ser representada pela fração: a) 4 . 5 b) 4 . 1 c) 1 . 4 d) 1 . 5 e) 4 . 9 36. (G1 - cftmg) Numa fábrica de peças de automóvel, 200 funcionários trabalhando 8 horas por dia produzem, juntos, 5.000 peças por dia. Devido à crise, essa fábrica demitiu 80 desses funcionários e a jornada de trabalho dos restantes passou a ser de 6 horas diárias. Nessas condições, o número de peças produzidas por dia passou a ser de a) 1.666. b) 2.250. c) 3.000. d) 3.750. 37. (G1 - cp2) A latinha de alumínio é o material mais reciclado nas grandes cidades. Um quilograma de latinhas é formado, em média, por 75 latinhas. Considerando que o quilograma de latinhas pode ser vendido por R$ 4,50 e sabendo que o salário mínimo
- 24. 24 nacional tem umvalor diário de aproximadamente R$ 27,00, então o número necessário de latinhas vendidas, por dia, para se atingir esse valor é de a) 225. b) 450. c) 500. d) 1250. 38. (G1 - ifsc) Em um determinado local e horário do dia, Márcio observou que sua sombra era de 1 metro e que a sombra projetada por um prédio em construção, no mesmo local e horário em que ele estava, era de 10 metros. Sabendo-se que Márcio tem 1,62 m de altura, é CORRETO afirmar que a altura desse prédio é de, aproximadamente, a) 6,2 metros. b) 8,1 metros. c) 16,2 metros. d) 14 metros. e) 13,8 metros. 39. (Enem) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era a) R$166,00. b) R$156,00. c) R$84,00. d) R$46,00. e) R$24,00. GABARITO 1. C 2. A 3. B 4. E 5. C 6. A 7. C 8. D 9. D 10. B 11. D 12. C 13. D 14. B 15. D 16. A 17. D 18. B 19. D 20. A 21. A 22. D 23. B 24. A 25. A 26. A 27. A 28. A 29. D 30. B 31. D 32. B 33. A 34. C 35. B 36. B 37. B 38. C 39. B
- 25. 25 CÁLCULO ALGÉBRICO EXPRESSÃO ALGÉBRICAE EQUAÇÕES EXERCÍCIOS 01.(Upf 2015) Um grupo de amigos planejou fazer um “pão com linguiça” (PL) para comemorar o aniversário de um deles. Cada participante deveria contribuir com R$ 11,00. No dia marcado, entretanto, 3 desses amigos tiveram um imprevisto e não puderam comparecer. Para cobrir as despesas, cada um dos que compareceram contribuiu com R$ 14,00, e, do valor total arrecadado, sobraram R$ 3,00 (que mais tarde foram divididos entre os que pagaram). Quantas pessoas compareceram à festa? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 02. (Unifor 2014) Uma indústria de cimento contrata uma transportadora de caminhões para fazer a entrega de 60 toneladas de cimento por dia em Fortaleza. Devido a problemas operacionais diversos, em certo dia, cada caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o usual, fazendo com que a transportadora nesse dia contratasse mais 4 caminhões para cumprir o contrato. Baseado nos dados acima se pode afirmar que o número de caminhões usado naquele dia foi: a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 03.(Espm 2012) Se três empadas mais sete coxinhas custaram R$ 22,78 e duas empadas mais oito coxinhas custaram R$ 20,22, o valor de uma empada mais três coxinhas será: a) R$ 8,60 b) R$ 7,80 c) R$ 10,40 d) R$ 5,40 e) R$ 13,00 04. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) As idades de dois irmãos hoje são números inteiros e consecutivos. Daqui a 4 anos, a diferença entre as idades deles será 1 10 da idade do mais velho. A soma das idades desses irmãos, hoje, é um número a) primo. b) que divide 100 c) múltiplo de 3 d) divisor de 5 05. (G1 - utfpr 2015) A soma de dois números é 64, se um é o triplo do outro a diferença entre os dois é: a) 16. b) 25. c) 27. d) 31. e) 32. 06.(G1 - cftce 2005) De um recipiente cheio de água, tira-se 2/3 de seu conteúdo; recolocando-se 30 litros de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é ____ litros: a) 45 b) 75 c) 120 d) 150 e) 180 07. (Uece 2016) Num certo instante, uma caixa-d’água está com um volume de líquido correspondente a um terço de sua capacidade total. Ao retirarmos 80 litros de água, o volume de água restante na caixa corresponde a um quarto de sua capacidade total. Nesse instante, o volume de água, em litros, necessário para encher totalmente a caixa-d’água é a) 720. b) 740. c) 700. d) 760. 08. (Fuvest) Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original. a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço? b) Quanto recebeu cada um deles? 09. (Fuvest 1989) Um açougue vende dois tipos de carne: de 1a a Cz$ 1.200,00 o quilo e de 2a a Cz$ 1.000,00 o quilo. Se um cliente pagou Cz$ 1.050,00 por
- 26. 26 um quilo decarne, então necessariamente ele comprou a) 300 g de carne de 1a b) 400 g de carne de 1a c) 600 g de carne de 1a d) 350 g de carne de 1a e) 250 g de carne de 1a 10. (G1 - ifsul 2015) Um móvel de R$ 360, 00 deveria ser comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em partes iguais. Como 4 deles desistiram, os outros precisaram aumentar a sua participação em R$ 15, 00 cada um. Qual era a quantidade inicial de rapazes? a) 8 b) 12 c) 15 d) 20 11. (Unioeste 2012) Um quintal tem a forma de um retângulo tal que a medida de um de seus lados é o triplo da medida do outro e seu perímetro em metros é igual à sua área em metros quadrados. Neste caso, quanto mede o maior lado do quintal? a) 3 m. b) 4 m. c) 8 m. d) 6 m. e) 18 m. 12. (UFSJ)Deseja-se dividir igualmente 1.200 reais entre algumas pessoas. Se três dessas pessoas desistirem de suas partes, fazem com que cada uma das demais receba, além do que receberia normalmente, um adicional de 90 reais. Nessas circunstâncias, é CORRETO afirmar que a) se apenas duas pessoas desistissem do dinheiro, cada uma das demais receberia 60 reais. b) com a desistência das três pessoas, cada uma das demais recebeu 150 reais. c) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre oito pessoas. d) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre cinco pessoas. 13. (Enem) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão? a) 300 tijolos b) 360 tijolos c) 400 tijolos d) 480 tijolos e) 600 tijolos 14. (Enem) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado). Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m. 15. (G1 - utfpr) Renata apresentou a sua amiga a seguinte charada: “Um número x cujo quadrado aumentado do seu dobro é igual a 15”. Qual é a resposta correta desta charada? a) x = 3 ou x = 5. b) x = –3 ou x = –5. c) x = –3 ou x = 5. d) x = 3 ou x = –5. e) apenas x = 3. 16. (Enem) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65
- 27. 27 enquanto para folhetosdo segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? a) 476 b) 675 c) 923 d) 965 e) 1 538 17. (G1 - utfpr) O(s) valor(es) de m para que a equação 2 x mx 3 0 tenha apenas uma raiz real é(são): a) 0. b) 4. c) 12. d) 2 3. e) inexistente para satisfazer esta condição. 18. (G1 - ifsc) Num mundo cada vez mais matematizado, é importante diagnosticar, equacionar e resolver problemas. Dada a equação 2(x + 5) – 3(5 – x) = 10, é CORRETO afirmar que o valor de x nessa equação é: a) Um múltiplo de nove. b) Um número inteiro negativo. c) Um número par. d) Um número composto. e) Um número natural. 19. (Espm) Se as raízes da equação 2 2x 5x 4 0 são m e n, o valor de 1 1 m n é igual a: a) 5 4 b) 3 2 c) 3 4 d) 7 4 e) 5 2 20. (G1 - utfpr) Fulano vai expor seu trabalho em uma feira e recebeu a informação de que seu estande deve ocupar uma área retangular de 2 12 m e perímetro igual a 14 m. Determine, em metros, a diferença entre as dimensões que o estande deve ter. a) 2. b) 1,5. c) 3. d) 2,5. e) 1. GABARITO 1. C 2. A 3. A 4. A 5. E 6. E 7. A 8. A) 6 B) 1800 9. E 10.B 11.C 12.C 13.D 14.D 15.D 16.C 17.D 18.E 19.A 20.E
- 28. 28 FATORAÇÃO 01.( UC –MG ) A expressão 2345 23 ba3ba6a3 baa equivale a : A) ba3 a B) ba3 a C) ba3 1 D) baa3 1 E) baa3 1 02. ( Mack – SP ) Uma expressão equivalente a 22 3223 xyyx xyyx2yx é: A) x + y B) x – y C) x.y D) y x E) yx yx . 03. ( U. São Francisco ) O valor numérico da expressão yx yxy2x yx yx 22 2 22 para x = 17,25 e y = 10,75, é igual a: A) 23,25 B) 25,75 C) 26,25 D) 28,00 E) 32,25 04. (CTSP) O resultado da operação : 22 66 yxyx yx para x = 5 e y = 3 é igual a: A) 304 B) 268 C) 125 D) 149 05. (CTSP) Sabendo que a 1 b3a 22 , então a expressão ( a + b )³ + ( a – b )³ é igual a : A) 1 B) 2 C) 2a² D) a 06. (CTSP) Simplificando a expressão yz2xz2xy2zyx xy2zyx 222 222 obtemos: A) 2 z2yx2 B) zy xz2y2 C) 2x – z + y D) zyx zyx 07. Se m IN, o valor do quociente 1m 1m3m 25 22 A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) um valor que depende de m 08. ( UFMG ) ( a–1 + b–1 )–2 é igual a A) 2 ba ab B) 222 ba ab C) a2 + b2 D) 2 22 ba ba 09.(UFOP) Simplificando a expressão 22 22 y3xy4x ayax para x ≠ y, obtém-se A) y3x yxa )( B) y3x yx C) y3x yxa )( D) y3x yx )( 10. (UFMG) Sejam x e y números reais não-nulos tais que 2 x y y x 2 2 . Então é correto afirmar que: A) x2 – y = 0 B) x + y2 = 0 C) x2 + y = 0 D) x – y2 = 0
- 29. 29 11. (Espm) Ovalor da expressão 2 2 x y y x 6 : x y x y x y para x = 24 e y = 0,125 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 12. (G1 - utfpr) Simplificando a expressão algébrica 1 5 1 2 2 22 x y 4x y 2xy , 2 temos: a) x. b) y. c) 1. d) 0. e) 2 x . 13. (G1 - epcar (Cpcar)) O valor da expressão em que x e y ¡ e x y e x y, é a) 1 b) 2 c) 1 d) 2 GABARITO 01. E 02. A 03. D 04. A 05. B 06. D 07. C 08. D 09. C 10. B 11. C 12. D 13. A
- 30. 30 FUNÇÕES CONCEITOS BÁSICOS 1. (EnemPPL) O modelo predador-presa foi proposto de forma independente por Alfred J. Lotka, em 1925, e Vito Volterra, em 1926. Esse modelo descreve a interação entre duas espécies, sendo que uma delas dispõe de alimentos para sobreviver (presa) e a outra se alimenta da primeira (predador). Considere que o gráfico representa uma interação predador-presa, relacionando a população do predador com a população da sua presa ao longo dos anos. De acordo com o gráfico, nos primeiros quarenta anos, quantas vezes a população do predador se igualou à da presa? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9 2. (Esc. Naval) Considere f uma função real de variável real tal que: 1. f(x y) f(x)f(y) 2. f(1) 3 3. f( 2) 2 Então f(2 3 2) é igual a a) 108 b) 72 c) 54 d) 36 e) 12 3. (Enem) O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela. Investidor Hora da Compra Hora da Venda 1 10:00 15:00 2 10:00 17:00 3 13:00 15:00 4 15:00 16:00 5 16:00 17:00 Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. (Enem) A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha continua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas.
- 31. 31 O gerente deatendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas. Disponível em: http://bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado). O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na a) segunda e na terça-feira. b) terça e na quarta-feira. c) terça e na quinta-feira. d) quinta-feira, no sábado e no domingo. e) segunda, na quinta e na sexta-feira. 5. (Fuvest) Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f g x g x é igual a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 6. (Pucrj) Sejam f(x) 2x 1 e g(x) 3x 1. Então f(g(3)) g(f(3)) é igual a: a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 7. (Uepb) Dada 2 f(x) x 2x 5, o valor de f(f( 1)) é: a) – 56 b) 85 c) – 29 d) 29 e) – 85 8. (Espcex (Aman)) Sejam as funções reais 2 f x x 4x e g x x 1. O domínio da função f(g(x)) é a) D x | x 3 ou x 1 ¡ b) D x | 3 x 1 ¡ c) D x | x 1 ¡ d) D x | 0 x 4 ¡ e) D x | x 0 ou x 4 ¡ 9. (Ufsj) Considere a função x 3 g x . 2x 1 O domínio de g(x) e a função inversa de g(x) são, respectivamente, a) x ;x 1 2 ¡ e 1 x 3 g x 2x 1 b) x ;x 1 2 e x 3 ¡ e 1 x 3 g x 2x 1 c) x ;x 1 2 ¡ e 1 x 3 g x 2x 1 d) x ;x 1 2 e x 3 ¡ e 1 x 3 g x 2x 1 10. (Espm) Sejam f e g funções reais tais que f 2x 1 2x 4 e g x 1 2x 1 para todo x R. Podemos afirmar que a função fog(x) é igual a: a) 2x – 1 b) x + 2 c) 3x + 1 d) 2x e) x – 3 11. (Uepb) Dada a função bijetora 3x 2 f(x) , D(f) 1 , x 1 ¡ o domínio de 1 f (x) é a) 3¡ b) ¡ c) 1¡ d) 1 ¡ e) 2 3 ¡ 12. (Enem PPL) Alunos de um curso de engenharia desenvolveram um robô “anfíbio” que executa saltos somente nas direções norte, sul, leste e oeste. Um dos alunos representou a posição inicial desse robô, no plano cartesiano, pela letra P, na ilustração.
- 32. 32 A direção norte-sulé a mesma do eixo y, sendo que o sentido norte é o sentido de crescimento de y, e a direção leste-oeste é a mesma do eixo x, sendo que o sentido leste é o sentido de crescimento de x. Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de movimentação para o robô: 4 norte, 2 leste e 3 sul, nos quais os coeficientes numéricos representam o número de saltos do robô nas direções correspondentes, e cada salto corresponde a uma unidade do plano cartesiano. Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a posição do robô, no plano cartesiano, será a) (0; 2). b) (0; 3). c) (1; 2). d) (1; 4). e) (2;1). 13. (Uel) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, definida por R = {(x,y) ∈ A x B │ x é divisor de y}. Nestas condições, R é o conjunto a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3)} d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)} e) {(2,0), (2,2), (2,4)} 14. (Ufsj) Sendo a função f x ax b, tal que f f x 9x 8, é CORRETO afirmar que a) 1 x f x 2 3 b) f 0 8 c) f x 3x 4 d) 1 x 2 f x 3 15. (Uece) A função real de variável real definida por x 2 f(x) x 2 é invertível. Se 1 f é sua inversa, então, o valor de 1 1 2 [f(0) f (0) f ( 1)] é a) 1. b) 4. c) 9. d) 16. 16. (Esc. Naval) Considere f e g funções reais de variável real definidas por, 1 f(x) 4x 1 e 2 g(x) 2x . Qual é o domínio da função composta (fog)(x)? a) ¡ b) 1 1 x | x , x 2 2 2 2 ¡ c) 1 x | x 4 ¡ d) 1 1 x | x , x 4 2 2 ¡ e) 1 1 x | x , x 4 2 2 ¡ 17.(UFOP) Seja uma função f: R R tal que: I) f ( x + y ) = f (x) . f (y) II) f (1) = 2 III) 42 f Então o valor de 23 f é dado por: a) 2 23 b) 29 c) 16 d) 24 e) 32 18.(UFOP) Sejam f:IR IR e g:N N, funções satisfazendo: 3 x2xf e )( )( )( )( ng ng g xg 21 10 . Então, f(3) – g(3) é igual a: a) 11 b) 16 c) 93 d) 109 e) 125 19.( UE – Londrina ) Seja a função f( x ) = ax3 + b. Se f( – 1 ) = 2 e f( 1 ) = 4, então “a” e “b” valem, respectivamente: a) – 1 e – 3 b) 3 e – 1 c) – 1 e 3 d) 3 e 1 e) 1 e 3 20.( UFP – RS ) Qual é o domínio de y = 2 4 x x ? a)R – { 4 } b) ,4 c) [ 4, + ∞ ) d) ( 2, 5 ) e) x ≠ 2
- 33. 33 21.( UFP –RS ) Qual é o domínio de y = 7x2 10x7x2 ? a) R – 2 7 b) , 2 7 c) , 2 7 d) ( 2, 5 ) e) 22.O domínio da função f(x) = 5 42 x x está definido em qual dos intervalos reais abaixo? A) { x R / 2 ≤ x < 5 } B) { x R / 2 < x < 5 } C) { x R / 2 ≤ x ≤ 5 } D) { x R / 2 ≤ x <– 5 } E) { x R / – 2 ≤ x < 5 } 23. Dê o domínio de cada função abaixo a) f(x) = x3 + 7x – 5 b) f(x) = 3 47 35 xx c) f(x) = 1 1 3 x x x 24.( Unimontes / PAES) Os alunos da primeira série do ensino médio, ao concluírem o estudo do sinal de uma função g, obtiveram o seguinte resultado: g(x) = 0 x = – 3 ou x = – 1 ou x = 3 g(x) > 0 – 3 < x < – 1 g(x) < 0 x < – 3 ou x > – 1 e x ≠ 3 Das figuras abaixo, a que representa o esboço do gráfico da função acima é : 25.( PUC – SP ) Se D = { 1, 2, 3, 4, 5 } é o domínio da função f(x) = (x – 2).(x – 4), então seu conjunto imagem tem : 1 elemento 2 elementos 3 elementos 4 elementos 5 elementos 26.(ENEM) Muitas vezes o objetivo de um remédio é aumentar a quantidade de uma ou mais substâncias já existentes no corpo do indivíduo para melhorar as defesas do organismo. Depois de alcançar o objetivo, essa quantidade deve voltar ao normal. Se uma determinada pessoa ingere um medicamento para aumentar a concentração da substância A em seu organismo, a quantidade dessa substância no organismo da pessoa, em relação ao tempo, pode ser melhor representada pelo gráfico 27.(Unimontes) Em relação ao esboço de gráfico apresentado na figura abaixo, podemos afirmar que:
- 34. 34 a) representa umafunção cujo domínio é [1, 5]. b) representa uma função cujo conjunto imagem é [3, 5] ∪ {2}. c) não pode representar uma função. d) representa uma função crescente. 28.Observando o gráfico da função real f, pode-se afirmar que, das alternativas, a única falsa é : A) A função admite 6 raízes reais B) f( 1 ) = – 3 C) A imagem de fé ( – ∞, 5 ] D) f(1) + f(7) = 1 E) Para x >7, f(x) é crescente 29. Observando o gráfico da função f, podemos concluir que : A) Se f(x) < 0, então x > 1 B) Se x > 1, então f(x) é decrescente C) Se x < 1 , então f(x) é decrescente D) Se f(x) < 0, então x < 1 E) Se x > 0, então f(x) > 0 30. (FIP-2009) Seja uma função f(x) = 3 + 2 x – 1 e f –1 (x) a sua inversa. Nessas condições, o valor de fof – 1 2 3 , é: 31.(FIP-2013) A função afim abaixo definida mostra a concentração de álcool no sangue para um indivíduo do sexo masculino com 75 quilogramas de massa corporal, que ingere 1 lata de cerveja (350 ml) por hora, durante 5 horas: Onde a é a quantidade de álcool retido e t é o tempo em horas. Pela “Nova Lei Seca”, que entrou em vigor no Brasil em janeiro de 2013, a tolerância à presença de álcool retido no sangue é zero. Após ter cessado a ingestão de cerveja, o indivíduo apresentado na questão está apto a dirigir com segurança e não infringir a Lei de tolerância zero, aproximadamente em: A) 3 horas e 20 minutos. B) 3 horas e 30 minutos. C) 3 horas e 45 minutos. D) 3 horas e 7 minutos. GABARITO 1. C 2. B 3. A 4. B 5. D 6. A 7. D 8. A 9. C 10. D 11. A
- 35. 35 12. C 13. B 14.D 15. C 16. B 17. E 18. D 19. E 20. E 21. B 22. A 23. _ 24. D 25. C 26. D 27. B 28. C 29. D 30. B 31. D FUNÇÃO AFIM (1° GRAU) EXERCÍCIOS 1. (G1 - cftmg) Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 2 e 3 seguem uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa a) 140. b) 180. c) 220. d) 260. 2. (Espcex (Aman)) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é a) x y 1 2 b) 1 y x 2 c) y 2x 2 d) y 2x 2 e) y 2x 2 3. (G1 - cftmg) O gráfico representa a função real definida por f(x) = a x + b. O valor de a + b é igual a a) 0,5.
- 36. 36 b) 1,0. c) 1,5. d)2,0. 4. (Uece) Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia proporcional aos quilômetros percorridos. Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida de 5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da bandeirada é a) R$ 7,50. b) R$ 6,50. c) R$ 5,50. d) R$ 4,50. 5. (Pucpr) Seja a uma função afim f(x), cuja forma é f(x) ax b, com a e b números reais. Se f( 3) 3 e f(3) 1, os valores de a e b, são respectivamente: a) 2 e 9 b) 1 e 4 c) 1 3 e 3 5 d) 2 e 7 e) 2 3 e 1 6. (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n inteiro positivo), uma empresa deve investir R$200000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da produção de n peças é uma função de n dada por a) C(n) = 200 000 + 0,50 b) C(n) = 200 000n c) C(n) = n/2 + 200 000 d) C(n) = 200 000 - 0,50n e) C(n) = (200 000 + n)/2 7. (Enem) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = –20 + 4P QD = 46 – 2P em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33 8. (Enem) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada. Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é a) y 4300x b) y 884 905x c) y 872 005 4300x d) y 876 305 4300x e) y 880 605 4300x 9. (Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00 , enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00 . As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n 350 120n 150 b) 100n 150 120n 350 c) 100(n 350) 120(n 150) d) 100(n 350.000) 120(n 150.000) e) 350(n 100.000) 150(n 120.000) 10. (Enem) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é
- 37. 37 função do númerode bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado. número de bolas (x) nível da água (y) 5 6,35 cm 10 6,70 cm 15 7,05 cm Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado). Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y 30x. b) y 25x 20,2. c) y 1,27x. d) y 0,7x. e) y 0,07x 6. 11. (Enem 2ª aplicação) Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra. Revista Exame. 21 abr. 2010. A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é a) f(x) 3x b) f(x) 24 c) f x 27 d) f(x) 3x 24 e) f(x) 24x 3 12. (Uerj) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. Determine o tempo 0x , em horas, indicado no gráfico. 13. (Enem 2ª aplicação) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007. De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011? a) 4,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 8,0 e) 10,0
- 38. 38 14. (Ucs) Osalário mensal de um vendedor é de R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre o valor total, em reais, das vendas que ele efetuar durante o mês. Em um mês em que suas vendas totalizarem x reais, o salário do vendedor será dado pela expressão a) 750 2,5x. b) 750 0,25x. c) 750,25x. d) 750 0,25x . e) 750 0,025x. 15. (G1 - cftmg) Um experimento da área de Agronomia mostra que a temperatura mínima da superfície do solo t(x), em °C, é determinada em função do resíduo x de planta e biomassa na superfície, em g/m2 , conforme registrado na tabela seguinte. x(g/m2 ) 10 20 30 40 50 60 70 t(x) (°C) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 Analisando os dados acima, é correto concluir que eles satisfazem a função a) y = 0,006x + 7,18. b) y = 0,06x + 7,18. c) y = 10x + 0,06. d) y = 10x + 7,14. 16. (G1 - cftmg) Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de R$5,00 e mais R$2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é função da quantidade total (x) de quilômetros percorridos e calculado por meio da função R(x) ax b, em que a é o preço cobrado por quilômetro e b, a soma de todas as taxas fixas recebidas no dia. Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou R$410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida, foi de a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 17. (Unioeste) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente, a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. 18. (Ueg) Considere o gráfico a seguir de uma função real afim f(x). A função afim f(x) é dada por a) f(x) 4x 1 b) f(x) 0,25x 1 c) f(x) 4x 4 d) f(x) 0,25x 3 19. (Enem PPL) Os sistemas de cobrança dos serviços de táxi nas cidades A e B são distintos. Uma corrida de táxi na cidade A é calculada pelo valor fixo da bandeirada, que é de R$ 3,45, mais R$ 2,05 por quilômetro rodado. Na cidade B, a corrida é calculada pelo valor fixo da bandeirada, que é de R$ 3,60, mais R$ 1,90 por quilômetro rodado. Uma pessoa utilizou o serviço de táxi nas duas cidades para percorrer a mesma distância de 6 km. Qual o valor que mais se aproxima da diferença, em reais, entre as médias do custo por quilômetro rodado ao final das duas corridas? a) 0,75 b) 0,45 c) 0,38 d) 0,33 e) 0,13 20. (Unesp) A tabela indica o gasto de água, em 3 m por minuto, de uma torneira (aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do registro. Abertura da torneira (volta) Gasto de água por minuto 3 (m )
- 39. 39 1 2 0,02 1 0,03 (www.sabesp.com.br. Adaptado.) Sabe-seque o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 3 0,034 m . Portanto, é correto afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu registro de abertura de 1 volta completa e mais a) 1 2 de volta. b) 1 5 de volta. c) 2 5 de volta. d) 3 4 de volta. e) 1 4 de volta. 21. (Pucmg) A função linear R(t) at b expressa o rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é contado em meses, R(1) 1 e R(2) 1. Nessas condições, o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro meses, é: a) R$ 3.500,00 b) R$ 4.500,00 c) R$ 5.000,00 d) R$ 5.500,00 22. (Ufrn) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos, produzir, no Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do produto. Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo contado em anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse produto será superior a 95% a partir de a) 2027. b) 2026. c) 2028. d) 2025. 23. (Ucs) O custo total, por mês, de um serviço de fotocópia, com cópias do tipo A4, consiste de um custo fixo acrescido de um custo variável. O custo variável depende, de forma diretamente proporcional, da quantidade de páginas reproduzidas. Em um mês em que esse serviço fez 50.000 cópias do tipo A4, seu custo total com essas cópias foi de 21.000 reais, enquanto em um mês em que fez 20.000 cópias o custo total foi de 19.200 reais. Qual é o custo, em reais, que esse serviço tem por página do tipo A4 que reproduz, supondo que ele seja o mesmo nos dois meses mencionados? a) 0,06 b) 0,10 c) 0,05 d) 0,08 e) 0,12 24(FIP). Marcela deseja contratar um plano de celular. Ao iniciar a pesquisa, ela recebe duas propostas: Operadora A - Assinatura mensal de R$ 15,00 mais R$ 0,30 por cada minuto, durante o mês. Operadora B - Assinatura mensal de R$ 20,00 mais R$ 0,20 por cada minuto, durante o mês. Acima de quantos minutos de ligações por mês é mais econômico optar pela operadora B? a) 50 b) 80 c) 60 d) 20 e) 40 25.(FIP-2009) Um táxi cobra R$ 20,00 pelo primeiro quarto de quilômetro rodado e R$ 5,00 por cada quarto de quilômetro adicional. Quanto custará, em reais, uma viagem de x quilômetros? A) P(x) = 20 + 5.(4x – 1) B) P(x) = 20 + 4.(x – 1) C) P(x) = 20 + 20.(x – 1) D) P(x) = 20 + 5x 26.(FIP-2012) Os preços cobrados por duas empresas que administram planos de saúde estão dispostos na tabela abaixo: Pode-se afirmar que o plano mais econômico é oferecido pela empresa: A) A, quando o número de consultas não exceder o total de 20 por mês. B) B, quando o número de consultas for superior a 3 por mês. C) B, quando o número de consultas não exceder o total de 10 por mês. D) A, quando o número de consultas for superior a 6 por mês.
- 40. 40 27.(FIP-2012) A GráficaUniversitária das Fipmoc pretende comercializar a Revista Multidisciplinar no mercado norte- mineiro. Os responsáveis pela empresa que irá confeccionar a revista estimam gastos variáveis de R$ 1,50 por revista processada e gastos fixos na ordem de R$ 10.000,00 por mês. Por outro lado, também esperam obter R$ 1,00 por revista comercializada, além de R$ 13.000,00 mensais relativos à receita de publicidade. Permanecendo as demais condições constantes, para se alcançar um lucro de R$ 1.000,00 por mês, será necessário comercializar: A) 8.000 assinaturas. B) 4.000 assinaturas. C) 2.000 assinaturas. D) 6.000 assinaturas. 28.(FIP-2013) Pensando em otimizar seu lucro, a empresa “Nexxus” fabrica um único tipo de produto, e todas as unidades são vendidas. O custo total (C) da produção e a receita (R),considerando a quantidade de produtos vendidos, estão representados abaixo: Com base nos dados apresentados, pode-se inferir corretamente que a expressão que fornece o lucro (L), considerando a quantidade de produtos vendidos (q) pela referida empresa, é: L(q) = 25q – 1000 L(q) = 50q – 1000 L(q) = 50q + 2000 L(q) = – 25q + 2000 29.(FIP-2013) Os estacionamentos em Montes Claros estão cobrando entre R$3,00 e R$5,00 por hora. Um estacionamento no centro da cidade cobra R$5,00 por hora, mas possui uma promoção em que o cliente pode comprar um selo no valor de R$20,00, com o qual passa a pagar apenas R$ 1,00 por hora. A partir de quanto tempo passa a ser vantajoso comprar o selo promocional? A) 3 horas B) 4h 20 min C) 5h D) 5h 40 min GABARITO 1. D 2. C 3. C 4. D 5. E 6. C 7. B 8. C 9. A 10. E 11. D 12. 30 13. E 14. E 15. A 16. C 17. B 18. B 19. E 20. B 21. C 22. A 23. A 24. A 25. A 26. D 27. B 28. A 29. C
- 41. 41 FUNÇAO QUADRÁTICA (2°GRAU) 1. (Ufjf-pism 1) Uma função quadrática 2 f(x) ax bx c assume valor máximo igual a 2, em x 3. Sabendo-se que 0 é raiz da função f, então f(5) é igual a: a) 2 9 b) 0 c) 1 d) 10 9 e) 4 3 2. (G1 - cftmg) O saldo S de uma empresa A é calculado em função do tempo t, em meses, pela equação 2 S(t) 3t 39t 66. Considerando essa função, o saldo da empresa é negativo entre o a) 2º e o 11º mês. b) 4º e o 16º mês. c) 1º e 4º e entre o 5º do 16º mês. d) 2º e 5º e entre o 7º do 14º mês. 3. (G1 - cftrj) Em uma brincadeira, uma bola é arremessada para o alto, e sua altura em relação ao solo, em função do tempo, é dada pela fórmula 21 h(t) (t 2) 5, 2 com h em metros e t em segundos. A seguir temos o gráfico de h em função de t. Dessa forma, determine a altura máxima atingida pela bola, e em que instante (tempo) isso acontece. 4. (Imed) Em um determinado mês, o lucro de uma indústria de cosméticos é expresso por 2 L(x) x 10x 11, em que x representa a quantidade de cosméticos vendidos e L(x), o valor do lucro em reais. Nessas condições, o lucro máximo, em reais, atingido por essa indústria corresponde a: a) 24. b) 36. c) 48. d) 56. e) 64. 5. (G1 - ifba) Jorge planta tomates em uma área de sua fazenda, e resolveu diminuir a quantidade Q (em mil litros) de agrotóxicos em suas plantações, usando a lei 2 Q(t) 7 t 5t, onde t representa o tempo, em meses, contado a partir de t 0. Deste modo, é correto afirmar que a quantidade mínima de agrotóxicos usada foi atingida em: a) 15 dias. b) 1 mês e 15 dias. c) 2 meses e 10 dias. d) 2 meses e 15 dias. e) 3 meses e 12 dias. 6. (Pucmg) O transporte aéreo de pessoas entre as cidades de Belo Horizonte e Campinas é feito por uma única companhia em um único voo diário. O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagem p relaciona-se com o número x de passageiros por dia pela equação p(x) 285 0,95x. Nessas condições, o número de passageiros que torna a receita máxima possível por viagem é: a) 150 b) 160 c) 170 d) 180 7. (Enem) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão 2 T(h) h 22h 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Intervalos de temperatura ( C) Classificação T 0 Muito baixa 0 T 17 Baixa 17 T 30 Média 30 T 43 Alta T 43 Muito alta Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como
- 42. 42 a) muito baixa. b)baixa. c) média. d) alta. e) muito alta. 8. (Uepa) Leia o texto para responder à questão. A utilização de computadores como ferramentas auxiliares na produção de conhecimento escolar tem sido uma realidade em muitas escolas brasileiras. O GeoGebra é um software educacional utilizado no ensino de Matemática (geometria dinâmica). Na ilustração acima se tem a representação dos gráficos de duas funções reais a valores reais, definidas por 2 g(x) x x 2 e f(x) x 5. Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html? aula-53900 Nestas condições, a soma das ordenadas dos pontos de interseção dos gráficos que representam as duas funções polinomiais acima ilustradas é: a) 2 b) 5 c) 7 d) 11 e) 12 9. (Ibmecrj) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de R$ 6,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches. Considerando o custo de R$ 4,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é: a) R$ 5,00 b) R$ 5,25 c) R$ 5,50 d) R$ 5,75 e) R$ 6,00 10. (Enem PPL) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = −x2 + 12x − 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a a) 4. b) 6. c) 9. d) 10. e) 14. 11. (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei
- 43. 43 23 f(x) x 6xC, 2 onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6. 12. (Unisc) O gráfico da parábola cuja função é 2 f x 40x 10x 50 mostra a velocidade, em quilômetros horários, de um automóvel num intervalo ( x) de 0 até 5 segundos. Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. I. A maior velocidade que o automóvel atingiu supera a velocidade inicial em 40 km h. II. A maior velocidade ocorreu quando o cronômetro indicava x 2,5 segundos. III. O automóvel estava parado quando o cronômetro indicava x 5 segundos. a) Todas as afirmativas estão corretas. b) Somente as afirmativas II e III estão corretas. c) Somente as afirmativas I e III estão corretas. d) Somente as afirmativas I e II estão corretas. e) Apenas uma das afirmativas está correta. 13. (Uern) Seja uma função do 2º grau y = ax2 + bx + c, cujo gráfico está representado a seguir. A soma dos coeficientes dessa função é a) – 2. b) – 3. c) – 4. d) – 6. 14. (G1 - ifsc) A receita obtida pela venda de um determinado produto é representada pela função R(x) = – x2 + 100x, onde x é a quantidade desse produto. O gráfico da referida função é apresentado abaixo. É CORRETO afirmar que as quantidades a serem comercializadas para atingir a receita máxima e o valor máximo da receita são, respectivamente, a) 50 e 2.000. b) 25 e 2.000. c) 100 e 2.100. d) 100 e 2.500. e) 50 e 2.500. 15. (Ulbra) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os gestores contrataram um matemático para modelar o custo de produção de um dos seus produtos. O modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C = 15000 – 250n + n2 , onde C representa o custo, em reais, para se produzirem n unidades do determinado produto. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? a) – 625. b) 125. c) 1245. d) 625. e) 315. 16. (Uftm) Certa fonte multimídia promove um balé de água, luzes, cores, música e imagens. Sabe-se que bombas hidráulicas fazem milhares de litros de água circularem por minuto em alta pressão por canos de aço, dando vida a um show de formas, entre as quais parábolas, conforme ilustra a figura.
- 44. 44 A trajetória deuma dessas parábolas pode ser descrita pela função 2 h t 12t – t , com t 0, onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura, em metros, do jato no instante t. Nessas condições: a) determine, após o lançamento, a altura máxima que o jato alcança. b) construa o gráfico da função, explicando o que acontece no instante t 12 s. 17. (Ucs) Uma dose de um medicamento foi administrada a um paciente por via intravenosa. Enquanto a dose estava sendo administrada, a quantidade do medicamento na corrente sanguínea crescia. Imediatamente após cessar essa administração, a quantidade do medicamento começou a decrescer. Um modelo matemático simplificado para avaliar a quantidade q, em mg, do medicamento, na corrente sanguínea, t horas após iniciada a administração, é 2 q t t 7t 60. Considerando esse modelo, a quantidade, em mg, do medicamento que havia na corrente sanguínea, ao ser iniciada a administração da dose e o tempo que durou a administração dessa dose, em horas, foram, respectivamente, a) 5 e 12. b) 0 e 12. c) 0 e 3,5. d) 60 e 12. e) 60 e 3,5. 18. (Uerj) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais: Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é 2 x 2x y . 75 5 Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: a) 38 b) 40 c) 45 d) 50 19. (Uel) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor a) mínimo, igual a -16, para x = 6 b) mínimo, igual a 16, para x = -12 c) máximo, igual a 56, para x = 6 d) máximo, igual a 72, para x = 12 e) máximo, igual a 240, para x = 20 20.( PAES ) Maria e Joana são revendedoras de um certo produto de beleza. Em um determinado mês, a renda mensal ( em reais ) de Maria foi dada pela função R(x) = 17x – 30 e a de Joana foi R(x) = x2 + 5x – 3, onde R é a renda mensal e x é o número de unidades que cada uma vendeu. Maria terá um rendimento mensal maior que o de Joana se vender: a) mais que nove unidades b) entre 3 e 9 unidades c) exatamente 10 unidades d) 9 unidades 21.( Unimontes / PAES ) Um menino está à distância de 6m de um muro de 3m de altura e chuta uma bola que vai bater exatamente sobre o muro. Se a função da trajetória da bola em relação ao sistema de coordenadas indicado pela figura é y = ax2 + ( 1 – 4a ) x, então a altura máxima atingida pela bola é igual a: 4m 4,5m 3m 3,5m x y
- 45. 45 22.( Cesgranrio –RJ ) Os valores de x, tais que 1x2x 1x4 2 0, são aqueles que satisfazem : a) x 4 b) x 4 c)x 4 1 d) x 1 e)x 4 1 23.( UFPA ) O domínio da função y = x . 4x3x x4 2 2 é o conjunto : ] -1 ; 4 ] ] - ; - 2 ] ] 4 ; + [ [ - 2 ; 1 [ [ 2 ; 4 [ { 0 } ] - ; - 1 [ ] 4 ; + [ { 0 } ] - ; - 1 [ ] 4 ; + [ 24.( PAES ) Considere a função f: ]1, 3[ ]–1, 3 [ , definida por f(x) = x2 – 2x. O esboço da função inversa de f, f – 1 é 25.(FIP-2010) Num dos jogos da Copa do Mundo, a bola chutada por um jogador, em determinado lance, descreve uma trajetória parabólica, conforme a figura abaixo: Supondo que a trajetória da bola seja descrita pela equação y = –x² + 6x, em que y é a altura atingida pela bola (em metros), e x é o tempo decorrido (em segundos), qual a altura máxima atingida por ela, e após quanto tempo isso ocorre, respectivamente? A) 6 metros e 9 segundos B) 9 metros e 6 segundos C) 6 metros e 3 segundos D) 9 metros e 3 segundos 26.(FIP-2013) O dono de um restaurante vende, em média, 300 refeições por dia a R$5, 00 cada uma, que tem um preço de custo de R$3, 00. Ele observou que, a cada R$0, 20 que oferece de desconto no preço da refeição, há um aumento de 40 refeições em sua venda. A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máximo? A) R$7,40 B) R$6,50 C) R$5,25 D) R$4,75 27.(FIP-2013) Pensando em aproveitar o seu terreno, o Sr. Paulo observou que poderia construir um cercado para cultivar suas plantas. Ele possui um muro, com 6 metros de comprimento, que irá aproveitar como parte dos lados desse cercado retangular. Para completar o contorno desse cercado,ele irá usar 34 metros de cerca. Veja na figura abaixo. A maior área que o Sr. Paulo poderá cercar é:
- 46. 46 34 m2 13 m2 91m2 45,5 m2 28. ( Fuvest – SP ) Sejam x’ e x’’ as raízes da função f(x) = 10x2 + 33x – 7.O número inteiro mais próximo do número N = 5.( x’. x’’ ) + 2.( x’ + x’’ ) é: 9 – 9 10 – 10 – 13 29. ( UFMG ) Observe a figura. Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é a) y = (x2 / 5) – 2x b) y = x2 – 10x c) y = x2 + 10x d) y = (x2 / 5) – 10x e) y = (x2 / 5) + 10x 30. ( Cesgranrio ) O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$ 9,00 em média 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita seja máxima? a) R$ 9,00 b) R$ 8,00 c) R$ 7,00 d) R$ 6,00 e) R$ 5,00 31. Uma criança arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana de equação 2x 7 8 x 7 1 y 2 , na qual os valores de x e y são dados em metros. Essa criança acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro da cesta, que está a 3 metros de altura. A distância do centro da cesta ao eixo y é: a) 6 metros b) 7 metros c) 8 metros d) 9 metros e) 10 metros 32. ( PUC – SP ) O lucro de uma empresa é definido pela função L(q) = – q2 +10q – 16, onde q representa a quantidade de produtos vendidos pela empresa num determinado mês. Podemos concluir que esta empresa terá lucro positivo, se o número q de produtos vendidos estiver compreendido em: (A) 2 ≤ q ≤ 8. (B) 2 < q < 8. (C) q < 2 ou q > 8 . (D) q ≤ 2 ou q ≥ 8. (E) q < 10 ou q > 16. 33. ( FIPMoc – 2015 ) No Mercado Municipal de Montes Claros, é comum, no período de safra, encontrar diversos produtores vendendo pequi, fruto típico da região. Ao longo de um desses períodos, constatou-se que a quantidade diária de dúzia de pequi vendida (x) variava de acordo com o preço de venda da dúzia (p), e a relação quantitativa entre essas variáveis era dada pela lei: 2 9 x 20 1 )x(P Para que esse produtor tenha uma receita máxima, deve-se vender a dúzia de pequi por: A) R$2,25. B) R$1,25. C) R$3,25. D) R$4,25. E) R$5,25. 34.(FIP) Um cinema de um shopping, com 200 lugares por sala, para evitar cancelamentos de sessões quando não atingir o número mínimo de ingressos vendidos, decide alterar a forma de cobrança do ingresso. A empresa cobrará de cada cliente a quantia de R$ 8,00 mais R$ 0,20 por lugar vago da sala, não exigindo um número mínimo de ingressos vendidos para que ocorra a exibição do filme. A rentabilidade máxima que o cinema conseguirá em uma sala por sessão é: a) R$ 2 880,00 b) R$ 2 400,00 c) R$ 1 600,00 d) R$ 3 200,00 e) R$ 3 000,00 35.(FIP) O dono de um sítio quer cercar, com tela de arame, uma região retangular dentro de uma grande área de pastagem. Ele também quer subdividir essa região em três áreas retangulares equivalentes, puxando duas telas de arame paralelas a uma de suas fronteiras, dispondo de 80 metros de tela de arame. Qual a área máxima, em metros quadrados, da região cercada? x y 5 – 5 v x y
- 47. 47 a) 200 b) 250 c)180 d) 100 e) 140 GABARITO 1. D 2. A 3. 2 segundos e 5 metros 4. B 5. D 6. A 7. D 8. E 9. D 10. B 11. E 12. C 13. C 14. E 15. B 16. a) Reescrevendo a lei da função h sob a forma canônica, obtemos 2 2 h(t) 12t t 36 (t 6) . Portanto, a altura máxima que o jato alcança é 36 m, no instante t 6 s. b) Quando t 12 s, h é igual a zero, ou seja, o jato retorna ao solo. 17. E 18. B 19. C 20. B 21. A 22. C 23. E 24. A 25. D 26. D 27. sem resposta ( 100 m2 ) 28. D 29. A 30. D 31. B 32. B 33. A 34. A 35. A
- 48. 48 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 1. (Imed)Em um experimento no laboratório de pesquisa, observou-se que o número de bactérias de uma determinada cultura, sob certas condições, evolui conforme a função t 1 B(t) 10 3 , em que B(t) expressa a quantidade de bactérias e t representa o tempo em horas. Para atingir uma cultura de 810 bactérias, após o início do experimento, o tempo decorrido, em horas, corresponde a: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 2. (Ufrgs) A função f, definida por x f(x) 4 2, intercepta o eixo das abscissas em a) 2. b) 1. c) 1 . 2 d) 0. e) 1 . 2 3. (Enem PPL) Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida. Neste experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo a) afim. b) seno. c) cosseno. d) logarítmica crescente. e) exponencial. 4. (Acafe) Um dos perigos da alimentação humana são os microrganismos, que podem causar diversas doenças e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando sua população a cada 20 minutos, pode-se concluir que o tempo que a população de 100 microrganismos passará a ser composta de 3.200 indivíduos é: a) 1 h e 35 min. b) 1 h e 40 min. c) 1 h e 50 min. d) 1 h e 55 min. 5. (Unicamp) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que a) t 4 75M(t) 2 . b) t 4 50M(t) 2 . c) t 5 50M(t) 2 . d) t 5 150M(t) 2 . 6. (Pucmg) O valor de certo equipamento, comprado por R$60.000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação V (t) = 60.000. 15 t 2 , onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3.750,00 b) R$ 7.500,00 c) R$10.000,00 d) R$20.000,00 7. (Ita) Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de 7 x é igual a a) 285. b) 286. c) 287. d) 288. e) 289. 8. (G1 - ifsul) O par ordenado (0, 2) pertence ao gráfico da função x y (k 1)e . Qual é o valor mínimo da função no intervalo [1, 2]? a) 3 e
- 49. 49 b) 2 3 e c) 2 2 e d) 1 e 9. (Ufpr) Umapizza a 185°C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65°C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em minutos, pela expressão 0,8 t T 160 2 25. Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? a) 0,25 minutos. b) 0,68 minutos. c) 2,5 minutos. d) 6,63 minutos. e) 10,0 minutos. 10.(FIP) Em janeiro de 2016, dez pessoas fundaram um clube. Um dos regulamentos do regimento prevê que cada sócio pode apresentar, no máximo, 2 novos sócios, ao final de cada ano. A partir do mês de janeiro de qual ano o clube terá chance de alcançar 810 sócios? a) 2020 b) 2018 c) 2019 d) 2017 e) 2021 11.( UFPA ) O conjunto solução da desigualdade 4 1 2 1 22 x é : { x R / – 2 < x < 2 } { x R / x < – 2 ou x > 2 } { x R / x < 0 ou x > 2 } { x R / 0 < x < 2 } { x R / x < – 2 ou x > 0 } 12.( FGV – SP ) Encontre a solução da inequação 2 1 2 1 152 xx 13.( PUC – RS ) Encontre o domínio da função definida por f(x) = xx 22 1 14.(ENEM) Suponha que o modelo exponencial y = 363.e0,03x , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050 Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre A) 490 e 510 milhões. B) 550 e 620 milhões. C) 780 e 800 milhões. D) 810 e 860 milhões. E) 870 e 910 milhões. 15.(SEE-SP) Dez pessoas fundaram, no início do ano, um clube. Um dos regulamentos de seu regimento interno prevê que cada sócio pode apresentar, no máximo, 2 novos sócios ao final de cada ano. A expressão que permite calcular o número máximo de sócios após decorrerem x anos é A) 3. 10X + 10 B) 2. 10X C) 10 + 2X D) 10. 2X E) 10. 3X 16. ( FIPMOC ) Um jantar causou mal-estar nos clientes de um restaurante. Após análise, foi comprovada a presença da bactéria Salmonella na maionese. Essa bactéria multiplica-se, segundo a função B(t) = 200 . 2at , em que B(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese, t horas após o início do jantar, e a é uma constante real. Se, após 3 horas do início do jantar, o número de bactérias era 800, podemos concluir que o número de bactérias será maior ou igual que 3.200 bactérias depois de (A) 5 horas. (B) 6 horas. (C) 7 horas. (D) 8 horas. (E) 9 horas. GABARITO 1. E 2. C 3. E 4. B 5. A 6. B
- 50. 50 7. D 8. C 9.C 10. A 11. B 12. S = { x R / – 5 ≤ x ≤ 0 } 13. Df = { x R / x 2 1 } 14. E 15. E 16. B LOGARITIMOS 01.(UFV) Os números reais log2(x −1), log2(2x) e log2(6x) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O valor de x é: a) 3 b) 9 c) 2 d) 4 02. (UFOP) Se 𝒏 ∈ 𝒁+ ∗ eS é o conjunto solução da inequação 0232 nlognlog , então, é correto afirmar que: a)S contém 4 múltiplos de 20. b)S contém 90 elementos. c)S contém 46 números ímpares. d)S contém 46 números pares. 03. (UFOP) Considere que as funções logarítmicas envolvidas na equação a seguir são reais e de variável real. Se a é raiz dessa equação, então calcule 04. ( FGV – SP ) Na equação y = 2 )x( log 4 3 , y será igual a 8 quando x for igual a : a) 13 b) –3 c) –1 d) 5 e) 23 05.(UNIMONTES-2009) As soluções da equação 4x+1 + 44-x - 80 = 0 são a e b, sendo a < b. O valor de a b ab 44 log)(log é a) 2. b) 4. c) 3. d) 1. 06.(Unimontes-2007) Resolvendo a equação 3x = 7 em uma calculadora que tem a tecla log x, obtêm-se os seguintes números: A) log3, log 7 e log 7 − log3. B) log3, log 7 e log73 . C) log3, log 7 e log7 : log3. D) 3 7 e 3 7 log 07.(PASES) A intensidade M de um terremoto, na Escala Richter, pode ser calculada pela fórmula 3M =
- 51. 51 2.log10 (kE), ondek é uma constante positiva e E , em quilowatt/hora, é a energia liberada no terremoto. Se um terremoto de intensidade 8 libera uma energia E1 e outro terremoto de intensidade 6 libera uma energia E2 , então a razão E1/E2 é a seguinte potência: a) 105 b) 103 c) 102 d) 106 e) 104 08.(PASES) A intensidade I de uma onda sonora, medida em Watt por metro quadrado, possui uma faixa de valores muito grande. Por essa razão é conveniente o uso de logaritmos em seu cálculo. O nível sonoro N , medido em decibéis ( dB ), é definido por N(I) = 10. 0 10 I I log , onde I0 é uma intensidade de referência padrão. O nível sonoro de uma sala de aula típica é N1(I1) = 50 dB , enquanto que o nível sonoro mais intenso que um ser humano pode suportar antes de sentir dor é N2(I2) = 120 dB. A razão entre as intensidades sonoras I2 e I1 é: a) 104 b) 105 c) 106 d) 107 e) 108 09.(PASES) Gastão resolveu fazer uma aplicação junto ao banco onde possui conta. O gerente o informou de que estão disponíveis as seguintes opções de investimento a juros compostos: I. taxa de rendimento de 20% ao ano, para aplicação mínima de R$ 500,00; II. taxa de rendimento de 30% ao ano, para aplicação maior ou igual a R$ 4.500,00. Sabendo que Gastão vai iniciar seu investimento com R$3.125,00, o tempo MÍNIMO, em anos, necessário para que seu capital alcance o valor de R$ 58.500,00 é: (Considere: log1,3 = 0,1.) a) 15 b) 11 c) 13 d) 09 10.(UNIMONTES) Acrescentando-se 16 unidades a um número, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades. Esse número é a) 5 b) 8 c) 2 d) 4 11. (FAAP) Resolver o sistema 3323 yx yyx logloglog 12.( UFU – 2007 ) Se x e y são números reais positivos, tais que logx3 = 4 e logy5 = 6, então, (xy)12 é igual a a) 625. b) 640. c) 648. d) 675. 13.(UNIMONTES-2010) Sendo a e b números reais, uma solução da equação log a + log b = log(a + b) existe se, e somente se, A) 1b b a B) b1 b a 2 C) 1b b a D) 1b 1 a 14.(UNIMONTES) A raiz da equação exponencial 8x − 5x = 0 é log85 5/8 0 8/5 15. (Paes )A igualdade log2 = 0,30 significa que A) 0,3010 = 2 B) 20,30 = 1 C) 300210 1 , D) 100,30 = 2 16. ( FEI – SP ) Se a.b = 1, então logb a é igual a: a) 2 b) – 1/2 c) 1/2 d) 1/a2 17.( UNIMONTES ) Os possíveis valores de x para os quais log 9 x + log x 9 = 5/2, são: a) divisores de 243 b) múltiplos de 27 c) primos entre si d) múltiplos de 9 18.( Fuvest – SP ) O número real x que satisfaz a equação log2 (12 – 2x ) = 2x é: a) log2 5 b) log2 3 c) 2 d) log2 5 e) log2 3
- 52. 52 19.(PUC-SP) A energianuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser descrito pela função exponencial 250 0 t ePP . , na qual P é a potência instantânea, em watts, de radioisótopos de um veículo espacial; P0 é a potência inicial do veículo;t é o intervalo de tempo, em dias, a partir de t0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (Dado: In2=0,693) a) 336 b) 338 c) 340 d) 342 e) 346 20.(FIP-2009) Sem uma fonte de energia, a capacidade de funcionamento celular cessaria, provocando a morte. Essa energia é satisfeita pelo consumo de alimentos que contém calorias. Um hambúrguer de dois andares, por exemplo, contém 512 cal. Qual das afirmativas abaixo expressa esse valor? 21.(FIP-2012) Alpargatas anuncia fábrica em Montes Claros Maior empresa de calçados da América Latina, a Alpargatas S.A. anunciou a construção de uma nova fábrica, em Montes Claros, no norte de Minas. A empresa pretende investir R$ 177 milhões nos próximos quatro anos na unidade mineira, e espera gerar cerca de 2,3 mil empregos diretos e mais de 3 mil indiretos. O principal item das novas linhas de produção serão as sandálias Havaianas, tradicional marca da companhia controlada pelo grupo Camargo Corrêa. A nova planta, que começa a ser construída em agosto deste ano e deve entrar em operação no segundo semestre de 2012, vai fabricar cerca de 100 milhões de pares de calçados por ano, o que representa um aumento de 35% na produção atual. A empresa fabricou e vendeu no ano passado 244 milhões de unidades de calçados, vestuário e acessórios. "Optamos por gerar empregos no Brasil. Temos condições competitivas de fabricar nosso produto localmente", diz Márcio Utsch, presidente da Alpargatas S.A. Fonte: ADENORMG | Agência de Desenvolvimento da Região Norte de Minas Gerais. Suponha que um estudo estatístico tenha permitido a conclusão de que, após t anos (t ³ 0), a empresa terá sua produção dada pela expressão P(t) = 100. (1,35)t , em milhões de pares de calçados. Segundo esse estudo, a fábrica atingirá uma produção de 246 milhões de unidades de calçados em: (Dados: log 2,46 = 0,39 e log 1,35 = 0,13) A) 2015 B) 2013 C) 2017 D) 2020 22.(FIP-2012) O pH de uma solução varia de 0 a 14, conforme a tabela: O aparelho mostrado na figura a seguir é o phmetro. Para medir o pH de uma solução, ele utiliza a relação pH=log H 1 , onde H+ é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Um estudante ao realizar uma pesquisa, encontrou a concentração de hidrogênio de uma solução igual a H+ = 12.10– 4 . Considerando: log2= 0,3 e log3=0,48, conclui-se que se trata de uma solução: A) ácida, uma vez que seu pH é maior que 0 e menor que 3. B) básica, uma vez que seu pH é maior que 11 e menor que 13. C) básica, uma vez que seu pH é maior que 7 e menor que 9. D) ácida, uma vez que seu pH é maior que 4 e menor que 6. 23.(FIP-2012) Terremoto com mortos na Itália aumenta a apreensão por ser 2 pontos superior ao ocorrido em Montes Claros O terremoto de 6 graus ocorrido no Norte da Itália, na manhã de domingo, que provocou sete mortes e deixou 50 feridos, causou mais apreensão nos moradores de Montes Claros por ser apenas dois pontos superior ao ocorrido no município mineiro. Contudo, o professor George Sands de França, do Observatório Sismológico da UnB, não vê motivo para alarme. “A população não deve se preocupar, pois trata-se de uma medição de ordem de grandeza. Se um tremor alcança 4 graus na escala Richter e outro passa de 5 graus, esse ponto de diferença significa uma intensidade 32 vezes maior”, explica França. O Observatório Sismológico confirmou que o tremor de sábado de manhã foi o de maior intensidade ocorrido em Montes Claros até hoje: 4,2 graus.
- 53. 53 O professor GeorgeSands França, se referiu, a relação )MM(5,1 2 1 21 10 E E ,onde é possível perceber quantas vezes um terremoto é mais intenso que outro, sendo que nesta relação: E1 = energia liberada pelo terremoto 1 E2 = energia liberada pelo terremoto 2 M2 = grau do terremoto 1 na escala Richter M2 = grau do terremoto 2 na escala Richter Considerando que 100, 7 = 5 , quantas vezes a intensidade do terremoto da Itália, foi maior do que o de Montes Claros? A) 500 B) 150 C) 800 D) 1.000 24.(FIP-2013) Devido a uma grande campanha de esclarecimento, realizada neste ano pelo Instituto Nacional do Câncer - INCA, sobre a prevenção das infecções causadas pelo HPV, é projetada uma importante redução do número de mulheres que desenvolverão câncer no colo do útero. Considerando MO como o número atual de mulheres com essa doença, daqui a t anos esse número será: Desse modo, sabendo-se que log2 = 0,3, pode-se considerar que o número de mulheres com a doença será igual a 16 1 do atual daqui a: A)12 anos. B)9 anos. C)6 anos. D)3 anos. 25.(FIP-2013) O tremor de terra ocorrido na cidade de Montes Claros, no dia 18 de abril de 2013 teve amplitude de 1000 micrômetros. O sismógrafo mede a amplitude e a frequência dessas vibrações. A magnitude (Ms) do terremoto pode ser calculada pela equação logarítmica: Onde A é a amplitude, dada em micrômetros e f é a frequência, dada em Hertz (Hz). O referido tremor teve uma frequência de: GABARITO 1. A 2. D 3. 1 4. E 5. D 6. C 7. B 8. D 9. C 10. C 11. (9,3) 12. D 13. C 14. C 15. D 16. B 17. A 18. E 19. E 20. D 21. A 22. A 23. A 24. C 25. C
- 54. 54 EQUAÇÕES MODULARES 01. (UESB)O gráfico que melhor representa a função 𝑓( 𝑥) = 2 − | 𝑥 − 1| . 02.(UFMG) Considere a função f(x) = x.| 1 – x | . Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função está CORRETO. 03. Resolva, no universo R, as equações abaixo: a) | x – 3 | = 4 b) | 3x – 8 | = 2x – 1 c) | x | . | x – 5 | = 6 04. A Resolva, no universo R, as inequações abaixo: a) | 3x – 1| ≤ 8 b) | x2 – 5x | > 6 05.Esboce o gráfico de cada função abaixo: a) f(x) = | 3x – 6 | b) f(x) = | x2 – 6x + 8 | 06. ( Unitau – SP ) Se x é uma solução de |2x - 1| < 5 – x, então: a) 5 < x < 7. b) 2 < x < 7. c) – 5 < x < 7. d) – 4 < x < 7.
- 55. 55 e) – 4< x < 2. 07.( Cesgranrio ) O conjunto Imagem da função f(x) = |x2 – 4x + 8| + 1 é o intervalo: a) [ 5, + [ b) [ 4, + [ c) [ 3, + [ d) [ 1, + [ e) [ 0, + [ 08. ( UFLA – MG ) O gráfico da expressão |x| + |y| = 4 é dado por: 09. ( UFRN ) Um posto de gasolina encontra-se localizado no km 100 de uma estrada retilínea. Um automóvel parte do km 0, no sentido indicado na figura abaixo, dirigindo-se a uma cidade a 250km do ponto de partida. Num dado instante, x denota a distância (em quilômetros) do automóvel ao km 0. Nesse instante, a distância (em quilômetros) do veículo ao posto de gasolina é: a) |100 + x | b) x – 100 c) 100 – x d) |x – 100| 10. ( UFES ) O gráfico abaixo representa a função a) f(x) = | | x | - 1| b) f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 2 c) f(x) = | | x | + 2| - 3 d) f(x) = |x - 1| e) f(x) = | | x | + 1| - 2 GABARITO 1. 05 2. B 3. – 4. – 5. - 6. E 7. A 8. A 9. D 10. A
- 56. 56 MATEMÁTICA FINANCEIRA 01.(UNIMONTES) Joãoaplicou R$520,00 a juros simples de 3% ao mês. Seu irmão aplicou R$450,00 a uma outra taxa. Ao final do 6.° mês, ambos atingiram o mesmo montante. A taxa mensal de juros (simples) aplicada ao dinheiro do irmão de João foi de, aproximadamente, A) 6% ao mês. B) 5% ao mês. C) 4% ao mês. D) 3,5% ao mês. 02.(UNIMONTES) Uma televisão, cujo preço de venda era R$2500,00, sofreu dois descontos sucessivos, um de 20% e outro de 15%. O novo preço da televisão ficou reduzido a A) 32% do preço inicial. B) 68% do preço inicial. C) 35% do preço inicial. D) 65% do preço inicial. 03.(UNIMONTES) Um comerciante vendeu duas mercadorias a R$12,00 cada uma. Uma delas proporcionou 20% de lucro em relação ao custo e, a outra, 20% de prejuízo em relação ao custo. Na venda de ambas, ele A) perdeu 1 real. B) não ganhou nem perdeu. C) ganhou 1 real. D) perdeu 50 centavos. 04.(ENEM) Paulo emprestou R$ 5.000,00 a um amigo, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser devolvido para Paulo no final de x meses. Nessas condições, a representação gráfica correta para M(x) é 05.(UFOP) Em 2007, o salário mínimo sofreu 8,6% de reajuste sobre seu valor de 2006. Em 2008, foi reajustado em 9,2% e, em janeiro de 2009, sofreu mais um reajuste, de 12%, sempre sobre seu valor no ano anterior. Assim, em relação ao valor de 2006, o salário mínimo de 2009 reflete um reajuste acumulado de: A) 29,8%. B) aproximadamente 32,8%. C) mais do que a metade. D) menos do que a quinta parte. 06.(CESGRANRIO) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês após a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente, A) 5,6%. B) 5,0%. C) 4,6%. D) 3,8%. E) 0,5%. 07.(UFMG) Por um empréstimo de R$ 80000,00, à taxa de i% ao mês, paga-se, de uma única vez, após 2 meses, o montante de R$ 115200,00. Por terem sido aplicados juros compostos, a taxa mensal foi de: A) 15% B) 20% C) 22% D) 24% E) 26% 08.(UESB) Para fazer uma viagem ao exterior, uma pessoa foi a uma instituição financeira comprar dólares. Nesse dia, um dólar estava sendo cotado a 0,85 euros e um real estava sendo cotado a 0,25 euros. Com base nesses dados, pode-se afirmar que, para comprar 500 dólares, essa pessoa gastou, em reais, 01) 1700,00 02) 1640,00 03) 1520,00 04) 1450,00 05) 1360,00 09.(UFMG) O preço de venda de determinado produto tem a seguinte composição: 60% referentes ao custo, 10% referentes ao lucro e 30% referentes a impostos. Em decorrência da crise econômica, houve um aumento de 10% no custo desse produto, porém, ao mesmo tempo, ocorreu uma redução de 20% no valor dos impostos. Para aumentar as vendas do produto, o fabricante decidiu, então, reduzir seu lucro à metade. É CORRETO afirmar, portanto, que, depois de todas essas alterações, o preço do produto sofreu redução de A) 5%. B) 10%. C) 11%. D) 19%. 10.(Unimontes) Uma loja de brinquedos resolveu fazer a seguinte promoção “Presenteie com bonecas”: a
- 57. 57 pessoa paga opreço de 3 bonecas e leva 5. Quanto uma pessoa economizará comprando 5 bonecas nessa promoção? A) 60%. B) 40%. C) 33,3%. D) 66,66%. 11.(Unimontes) Uma mercadoria, que custa R$50,00 à vista, é adquirida a prazo, com uma entrada de R$30,00 mais uma parcela de R$25,00 com 30 dias de prazo. A taxa de juros mensal, cobrada nessa operação, é de A) 20%. B) 15%. C) 25%. D) 10%. 12.(Unimontes) Um comerciante aplicou um capital a 24% ao ano e o triplo desse capital a 26% ao ano. Depois de um ano, ele recebeu R$1530,00. Qual o capital total aplicado? A) R$9000,00 B) R$4500,00 C) R$5000,00 D)R$6000,00 13. (UFMG) Um capital de R$ 30 000,00 foi dividido em duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa de 12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou- se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi de A) R$ 8 000,00. B) R$ 4 000,00. C) R$ 6 000,00. D) R$ 10 000,00. 14. O preço de uma geladeira era igual a 60% do preço de uma TV.No último mês, esses produtos tiveram aumentos de 30% e 20% respectivamente. A razão entre os novos preços da geladeira e da TV passou a ser de: A) 62% B) 63% C) 64% D) 65% E) 66% 15. (Uesc) Um automóvel foi comprado e revendido, sucessivamente, por três pessoas. Cada uma das duas primeiras pessoas obteve, por ocasião da revenda, um lucro de 10%, e a terceira teve um prejuízo de 10% sobre o respectivo preço de compra. Se a terceira pessoa vendeu o automóvel por 13068,00, então a primeira o adquiriu por a) R$12000,00 b) R$12124,00 c) R$12260,00 d) R$12389,00 e) R$12500,00 16. ( Viçosa – MG ) Dois descontos sucessivos, um de 10% e outro de 20%, correspondem a um desconto único de: 30% 29% 28% 27% 26% 17. ( PUC – SP ) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de 50% em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de 50% em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram, também, 50% em média. O preço pago pelo consumidor tem um acréscimo médio, em relação ao preço dos horticultores, de: a) 150% b) 187% c) 237,5% d) 285,5% e) 350% 18. ( UFRS ) Um capital, aplicado a juros simples, triplicará em 5 anos se a taxa anual for de : a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 100% 19. ( Vassouras ) Um artigo custa, à vista R$ 200,00 , mas também é vendido a prazo com uma entrada de R$ 120,00 e outra parcela de R$ 100,00 um mês depois. Quem opta pela compra a prazo paga juros mensais na taxa de : 25% 20% 15% 10% 5% 20. ( UFMG ) Uma compra de R$ 100 000,00 deverá ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma à vista e a outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 20% sobre o saldo devedor, então o valor de cada parcela, desprezando-se os centavos, será de : R$ 54 545,00 R$ 56 438,00 R$ 55 000,00 R$ 58 176,00 R$ 60 000,00 21. (FIP-2010) Durante a Copa do Mundo de 2006, na Alemanha, o slogan no ônibus que transportava a seleção brasileira era: "Veículo monitorado por 180 milhões de corações brasileiros". Essa frase dizia respeito à população total brasileira daquele ano. Segundo as estimativas do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE, no ano de 2025 a população brasileira deverá atingir 228 milhões de habitantes. Considerando os dados apresentados, qual é o aumento, aproximado, estimado pelo IBGE da população brasileira de 2006 até 2025?
- 58. 58 A) 32,4% B) 26,7% C)18,6% D) 41,2% 22. (FIP-2011) Pequenos consumos podem parecer bobagem, mas, quando somados, tornam-se grandes gastos. Para ajudarmos nosso planeta e também economizarmos nosso salário, devemos desligar os aparelhos e não os deixar no modo de espera, conhecido por stand by. Diante disso, considere a situação: · Um determinado DVD consome 20W, em stand by; · Admita que esse DVD permaneça, em média, 23 horas por dia em stand by; · 1 kwh de energia equivale ao consumo de um aparelho de 1.000 w de potência durante uma hora de uso; · O preço de 1kwh é R$ 0,40. Considerando 1 ano de 365 dias, qual será, aproximadamente, a média anual, de consumo desse aparelho em stand by? A) R$ 19,00 B) R$ 95,00 C) R$ 67,00 D) R$ 65,00 23. (FIP-2011) Na compra a prazo de uma TV, o total pago por uma pessoa foi de R$ 672,00. A entrada teve valor correspondente a um sexto do total, e o restante foi pago em quatro parcelas, cujos valores formam uma progressão aritmética crescente de razão R$ 40,00. Qual foi o valor da última prestação? A) R$ 205,00 B) R$ 210,00 C) R$215,00 D) R$ 200,00 24. (FIP-2012) O preço do tomate teve alta de mais de 100% para o consumidor em 2008, informação que foi divulgada no início do mês de março, pelo IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – e pela FGV – Fundação Getúlio Vargas. Mas, para os produtores, comerciantes e consumidores da Ceanorte – Central de abastecimento de Montes Claros –, o tomate iniciou esta semana com o preço médio quase 45% mais barato em relação à passada. A caixa com 22 quilos do fruto foi comercializada, na segunda-feira, a R$25,00. Fonte: O NORTE DE MINAS. 29 Mar 2011 O Sr. Horta Liço, pequeno produtor de Nova Esperança, distrito de Montes Claros, entrega caixas de 22kg de tomate, na Ceanorte, ao preço estipulado de R$ 25,00 a caixa. Porém, na feira de fim de semana, para facilitar seu trabalho, ele distribui os tomates em sacolas de 2 kg. Quantas sacolas, nas condições especificadas, ele precisará vender para arrecadar R$ 300,00? A) 132 B) 335 C) 123 D) 220 25. (FIP-2012) A campanha de matrícula de uma escola para o ano de 2012 apresenta, em seu site, a seguinte regra de desconto: No mês de novembro, comparativamente a outubro, houve, em relação aos preços: A) redução de 10% B) aumento de 10% C) aumento de 12,5% D) redução de 12,5% 26. (FIP-2012) Sem fazer tanto alarde o Hyundai HR, vem conseguindo conquistar um grande público no Brasil, o modelo figura entre os 10 utilitários mais vendidos. A receita é simples, um preço atrativo, (em média é achado por R$ 55.900 mil), uma mecânica robusta com motor turbodiesel, somada a uma ótima capacidade de carga, faz do HR uma boa opção para quem busca transportar cargas nas grandes cidades no dia-a-dia. HR HYUNDAI MODELO : 2011 VALOR R$ 58.000,00 PLANOS DE 80 MESES :R$ 867,66 CAPACIDADE DE CARGA: 1.800 kg O Sr. Juvenal gostou da propaganda do Hyundai HR e adquiriu um. Algum tempo depois, precisou fazer um transporte de material de construção (cimento e tijolo) para uma obra de sua propriedade. Ele verificou que seria possível transportar 36 sacos de cimento ou 720 tijolos em seu caminhão. De acordo com as informações, a ÚNICA alternativa INCORRETA é: A) Se já foi colocado 15 sacos de cimento sobre o caminhão, então é possível colocar mais 500 tijolos. B) 17 sacos de cimento totalizam 850 kg C) 460 tijolos totalizam 1.150 kg D) 12 sacos de cimento e 480 tijolos completam a carga máxima do caminhão 27.(FIP-2012) Medida provisória que altera regras da poupança é publicada Foi publicada nesta sexta-feira (4) no "Diário Oficial da União" a medida provisória editada pelo governo federal que altera as regras da poupança. Segundo a nova resolução, quando a taxa básica de juros for de 8,5% ao ano ou menor, o rendimento da caderneta será fixado em 70% da taxa Selic. A mudança só vale para os depósitos que forem feitos a partir desta sexta.
- 59. 59 Suponha que umpequeno investidor, tenha feito uma aplicação de R$ 1.000,00 após essa mudança. Caso os juros caiam para 8,5% e se mantenham nesse patamar, qual será, de acordo com as informações acima, o rendimento anual desse investidor? A) R$58,00 B) R$61,70 C) R$61,50 D) R$63,70 28.(FIP-2013) O IPVA (Imposto sobre a Propriedade de Veículos Automotores) é um imposto estadual, cobrado anualmente, cuja alíquota varia em cada Estado, de acordo com o valor do veículo. Em Minas Gerais, desde 2004, calcula-se o IPVA aplicando-se sobre a base de cálculo (preço de mercado) a alíquota de 4% para automóveis, veículos de uso misto e utilitários. Esse valor pode ser dividido em 3 parcelas mensais e iguais ou ser pago a vista com desconto de 3,6%. De acordo com as taxas apresentadas, é correto afirmar que: A)O valor do IPVA de um veículo de uso misto, cujo preço de mercado é R$25.000,00 é R$1.200,00. B)O valor do IPVA de um veículo de uso misto, cujo preço de mercado é R$25.000,00 é R$980,00, se for pago a vista. C)O valor de mercado de um veículo de uso misto cujo IPVA sem desconto foi de R$800,00 é R$15.000,00. D)O valor de mercado de um veículo de uso misto cujo IPVA, pago a vista, foi de R$771,20 é R$20.000,00. 29. (FIP-2013) O Número de Ouro é um número irracional que surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão. Esse número é representado pela letra grega Φ (Phi maiúscula) (lê-se “fi”) e é o número 1,618033989, sendo considerado por muitos como uma oferta de Deus ao mundo. Esse número não é mais do que um valor numérico e é reconhecido como o símbolo da harmonia. Algumas curiosidades sobre o número de ouro: 1) Se você pegar uma concha em formato de espiral e calcular a razão de cada diâmetro de uma espiral para a seguinte, chegará sempre a um valor aproximado de 1,618. 2) Se você pegar sua altura e dividir pela distância entre seu umbigo e o chão, encontrará um valor de aproximadamente 1,618. 3) Se você dividir o número de fêmeas pelo número de machos em uma colmeia de abelhas, sempre chegará ao mesmo número aproximado: 1,618.
- 60. 60 Calcule, aproximadamente, opercentual de fêmeas em uma colmeia. A) 38,2% B) 65,7% C) 61,8% D) 54,5% 30. (FIP-2013) A Lei 12.433/2011, que entrou em vigor no dia 29 de junho de 2011, alterou sensivelmente o panorama da remição de penas no Brasil. Ao modificar a redação dos artigos 126, 127 e 128 da Lei de Execução Penal, passou a permitir que, além do trabalho, o estudo seja causa de diminuição de pena. Essa lei determina que a contagem do tempo será feita à razão de 1 (um) dia de pena por 3 (três) de trabalho ou estudo, o que significa que, a cada três dias trabalhados ou estudados, o condenado terá direito a redução de 1 dia em sua pena. Fonte: http://jus.com.br/revista/texto/21100/a-nova- remicao-de-penas acesso em 20/11/2012 Um réu que foi condenado a 12 anos de prisão fez a prova do ENEM e foi aprovado; e fará o curso em 4 anos. Se ele completar o curso nesse período, quanto tempo deverá permanecer na prisão? A) 10 anos e 3 meses B) 10 anos e 8 meses C) 10 anos e 4 meses D) 11 anos e 3 meses 31. (FIP-2013) A Rede Globo apresentou a novela Avenida Brasil, que foi um frenesi na vida dos brasileiros. Uma das situações da novela apresentou o sequestro de Tufão, cujo resgate foi de R$ 20 milhões. Na novela, foi mostrado que esse resgate foi colocado em duas sacolas de lixo. Considerando que os R$ 20 milhões tenham sido pagos em notas de R$100,00 e que cada nota pesa 1 grama, e, ainda, que, em média, sacos de lixo de fabricação no Rio de Janeiro suportam 40 quilos, então a cena da novela: A) não está correta, pois seriam necessários no mínimo 3 sacos de lixo; B) não está correta, pois bastaria 1 saco de lixo; C) está correta, pois seriam necessários exatos 2 sacos de lixo. D) não está correta, pois seriam necessários no mínimo 4 sacos de lixo; GABARITO 1. A 2. B 3. A 4. A 5. B 6. A 7. B 8. 01 9. A 10. B 11. C 12. D 13. C 14. D 15. A 16. C 17. C 18. B 19. A 20. A 21. B 22. C 23. D 24. A 25. C 26. A 27. C 28. D 29. C 30. B 31. A
- 61. 61 MATRIZES, DETERMINANTES ESISTEMAS LINEARES EXERCÍCIOS I 01. Determine os valores de a, b, x e y, nas matrizes abaixo sabendo que: 70 13 bayx2 ba2yx 02. Qual a soma de todos os elementos bij da matriz B = [ bij ]3 x 3 tal que bij = ( i – j )2 ? 03. Dadas as matrizes A e B abaixo, determine o valor de x, y e z para que B = At . 215 36 420 yA e z84 13x 560 B 04. Ache x, y, z e w, nas matrizes abaixo de modo que: 58 01 14 32 wz yx 05. Nas matrizes abaixo, ache m, n, p e q, de modo que: 51 87 q3q nn pp m2m 06 .(UNIFEI MG) Dadas as matrizes 32 21 A , 41 30 B e 12 01 C , considere as seguintes afirmativas: I . X = A + B – C = 81 52 II . Y = B – A – C = 23 10 III . Z = 2A – C = 72 43 Pode-se afirmar que: A) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. B) todas as afirmativas são verdadeiras. C) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. D) todas as afirmativas são falsas. E) apenas II é verdadeira 07. (UFBA) A matriz 2 x 3, com jisej,ia jisej,2ia ij ij é: 11- 43- 02 a) 11 40 32 b) 21 40 32 c) 143 1-02 d) 143- 1-02 e) 08. ( ABC – SP ) Seja A = ( ija ) uma matriz quadrada de ordem 3, tal que jisej,-i jise, jise,0 jiaij Então o valor da soma de todos os elementos da matriz A é: a) 16 b) 14 c) 12 d) 10 e) 8 09. (Unesp – SP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto vendido pela loja , com i e j = 1, 2, 3. Analisando a matriz, podemos afirmar que A) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11. B) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30. C) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40. D) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52. E) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45. 10. (FGV – RJ) A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3
- 62. 62 colunas, na qualo elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares. Então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco foram, respectivamente: a) 1 e 1 b) 2 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 1 e) 3 e 2 11. ( Fatec – SP ) Sejam X = 2 2 a2a4 a22a e Y = 712 67 , onde a R . Se X = Y, então: a =3 a = -3 a = 1/3 a = - 1/3 12. ( ICÉS – MG ) Para que a matriz 052 503 x30 seja anti-simétrica, o valor de x deve ser : a) 0 b) 2 c) 3 d) 5 e) 10 13. (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTI- SIMÉTRICA se A = – At . Nessas condições, se a matriz A = 031 302 zyx é uma matriz anti-simétrica, então x + y + z é igual a: a) 3 b) 1 c) 0 d) –1 e) – 3 14. (UEL) Sejam as matrizes 43xA e pxqB . Se a matriz A.B é 3 x 5, então é verdade que a) p = 5 e q = 5 b) p = 4 e q = 5 c) p = 3 e q = 5 d) p = 3 e q = 4 e) p = 3 e q = 3 15. (UEL) Sobre as sentenças: I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1. II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 5x2. III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz quadrada 2x2. é verdade que a) somente I é falsa. b) somente II é falsa. c) somente III é falsa. d) somente I e III são falsas. e) I, II e III são falsas. 16. ( VUNESP – SP ) Considere as matrizes A = 11 12 e I = 10 01 . A Matriz B, tal que A.B = I é dada por : a) 21 11 b) 11 12 c) 12 11 d) 21 11 e) 21 11 17. ( FATEC – SP ) Se A = 33 22 e B = 10 01 são duas matrizes quadradas de ordem 2, então A2 – 5A + 3B é igual a : a) 9B b) 03 01 c) 30 03 d) 324 63 e) 1618 00 18. ( UFV – MG ) Considere as matrizes: A = ( aij ), 3 x 4, definida por aij = i – j B = ( bij ), 4 x 3, definida por bij = 2i – j C = ( cij ), C = A x B O elemento C32 é : – 7 – 4 – 2 0 2 19. ( PUC – MG ) Se A = 30 21 , B = 50 y2 e A.B = B.A, o valor de y é : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 20. (UEL) Considere as matrizes M = ab a 0 e M2 = 80 08 . Conclui-se que o número real “a” pode ser:
- 63. 63 a) 2 3 b)2 2 c) 2 d) – 2 e) – 3 21. ( FEI – SP ) Dadas as matrizes: 21 01 A , 40 72 B e 00 00 0 , determine a matriz X de ordem 2 tal que : 2X – AB = 0 . 22. ( ICÉS – MG ) Sendo K = wz yx e L = 28 911 , para que se tenha K x L = 122 911 é necessário que os valores de x, y, z e w sejam, nessa ordem, iguais a: 0, 0, 4, 6 1, 0, 2, 3 1, 1, 4, – 6 1, 2, 0, 3 1, 1, 1/4, – 6 23. ( CEFET - MG ) Se a matriz inversa de A = x3 32 é 23 35 o valor de x é : 5 6 7 9 10 24. (UNIMONTES) Considere as seguintes matrizes Podemos afirmar que: A) A. B = B . A = I. B) não existe a matriz inversa da matriz A. C) A e B são inversas, pois A.B = I. D) B.I = I.B = B. 25. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então: a) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3 b) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3 c) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B d) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3 e) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B. 26. (Unimontes) Sejam x e y números reais positivos. Considere as matrizes Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que os valores de x e y, de modo que se tenha A.B = B.A, são, respectivamente, 27. (UNIMONTES) Uma fábrica produz 3 tipos diferentes de artigos . Numa semana são vendidos 100 unidades do artigo A , 150 unidades do artigo B e 200 unidades do artigo C . Os preços de venda , por unidade de cada artigo , são respectivamente . R$20,00 , R$30,00 , R$10,00 . A quantidade total de artigos , na ordem A, B e C , vendidos em uma semana, podem ser representada pela matriz 200150100X . A matriz 10 30 20 Y representa o preço de venda por unidade de artigo , tomado na ordem dada . Com base nos dados apresentados , é correto afirmar que o produto Y.X representa . a)Uma matriz de ordem 1 , que fornece o total apurado diariamente pela venda dos artigos A, B e C . b) Uma matriz de ordem 1 , que fornece o total apurado semanalmente pela venda dos artigos A, B e C . c) Uma matriz de ordem 3 . d) Uma matriz de 3 linhas e 1 coluna . 28. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região: A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura: a) CALCULE a matriz C = AB.
- 64. 64 b) EXPLIQUE osignificado de C23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C. 29. ( UFV – MG ) Sejam as matrizes 21 64 A e 2 2 1 yx M . Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x. y é: A) 0 B) – 3 C) 4 D) – 2 E) 3 30. (FIP) Considere a matriz de segunda ordem 21 32 A e seja A–1 sua inversa. Se a matriz B, também de segunda ordem é dada por 75 32 B então a expressão B.A.A 3215 é igual a: 02.(FIP-2012) O Brasileirão 2011 contou com 20 clubes que disputaram entre si, ponto a ponto, qual o melhor time brasileiro da atualidade. A forma de pontuação manteve igual a do ano passado, em que cada vitória valia 3 pontos e os empates, apenas 1 ponto, conforme tabela 1. E para se tornar campeão, todos os times disputaram, entre si, em jogos de turno e returno; ao final, o time com mais pontos sagrou-se o campeão brasileiro. Na 33ª rodada do Campeonato Brasileiro 2011, o resultado dos 4 últimos times era o que se lê na tabela2: Sabendo que cada tabela pode ser transformada em uma matriz, temos a seguinte situação: Tabela 1, que corresponde à seguinte matriz Tabela 2, que corresponde à seguinte matriz Nessa rodada do campeonato, qual matriz abaixo corresponde ao resultado dos pontos para cada equipe? GABARITO 1) x = 1, y = 2, a = 2 e b = – 5 2) 12 3) y = 8 x = 2 4) x = –3; y = 3; z = 12; w = –6 5) m = 5; n = 2; q = –1; p = 2 6) B 7) D 8) A 9) E 10) C 11) B 12) B 13) D 14) B
- 65. 65 15) B 16)E 17) C 18) C 19) C 20) B 21) 2 1 1 2 7 1 X 22) B 23) A 24) B 25) B 26) B 27) B 28) a) b) A massa de fertilizante Z usada na área Q. 29) E 30) C 31) B DETERMINANTES 01. ( Faap – SP ) Resolva a equação 14 x24 x3x 02. ( FGV – SP ) Se dc ba = 0, então o valor do determinante 20c 1d0 0ba é : 0 bc 2bc 3bc b2 c2 03. ( UFES ) A solução real da equação 3x0 331 02x = 0 é : x = 1 e x = 2 x = 2 e x = 3 x = -1 e x = 2 x = 1 e x = 3 04. ( UFRS ) A solução da equação 103 x21 211 = 0 é: –3 –1 0 1 3 05. ( PUC-RS) A equação 12 x0x 1x14 312 , tem como conjunto verdade: {-6, 2} {-2, 6} {2, 6} {-6, 6} {-2, 2} 06. ( FGV – SP ) A solução da equação 0 x10 0x1 10x ( “x” real ) é:
- 66. 66 não tem soluçãoreal x = 3 x = 1 x = 1 x = -1 07.( UFBA ) Se 1200 5110 478 X e 5110 1200 478 Y , então : X = Y 0 X = Y = 0 X = 2Y 2X = Y X + Y = 0 08. ( Unicap – PE ) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo. 09. ( UNIFORM ) Sejam as matrizes 220 101 A e 10 21 12 B . O determinante da matriz A.B é: a) 64 b) 8 c) 0 d) – 8 e) – 64 10. ( UESP ) Se o determinante da matriz 14p 44p 22p é igual a –18, então o determinante da matriz 12p 42p 21p é igual a: a) – 9 b) – 6 c) 3 d) 6 e) 9 11. (MACK) Se A3 = 64 12 , o triplo do determinante da matriz A é igual a a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 12. (UFRGS) Se A é uma matriz 2x2 e det A = 5, então o valor de det 2A é: a) 5 b) 10 c) 20 d) 25 e) 40 13. ( FATEC – SP ) Se x é um número real positivo tal que A = 0x 11 , B = 11 1x e det (A.B) = 2, então x x é igual a: A) – 4 B) 1/4 C) 1 D) 2 E) 4 14. (Ufes) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) = 3 e se k é um número real tal que det(kA) = 192, então o valor de k é: a) 4 b) 8 c) 32 d) 64 e) 96 15. ( UESP ) Se o determinante da matriz 221 kkk 012 é igual a 10, então o determinante da matriz 221 1k3k4k 012 é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 16. ( PUC – SP ) O cofator do elemento a23 da matriz 210 121 312 A é: a) 2 b) 1 c) – 1 d) – 2 e) 3
- 67. 67 17. (ESAF) Considereas matrizes onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a a) 0. b) a. c) a + b + c. d) a + b. e) a + c. 18. (Unimontes) Indicaremos por det(X) o determinante de uma matriz X. Seja A uma matriz 2×2. Nessas condições, é CORRETO afirmar: A) det(2A) é igual a 2.det(A). B) se det(A) = 1, então A é a matriz identidade. C) se multiplicarmos a segunda linha de A por 2, o determinante da nova matriz será igual a 2.det(A). D) se det(A) = 0, então A é a matriz nula. 19. (UNIMONTES) As afirmações abaixo são falsas, EXCETO a) Se det A = det B, então A = B. b) det(A⋅ A) = det A. c) Se det A ≠ 0 , então a matriz A possui matriz inversa. d) Se a matriz B possui inversa, então det B = 1. 20. ( FMJ – SP ) O valor do determinante 4100 1300 0020 0001 é : – 26 – 24 – 13 24 26 21. ( ABC – SP ) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3, tal que ( aij ) jiseji jiseji jise0 , , , . Então o valor do determinante da matriz A é: a) 0 b) 12 c) 24 d) 48 e) 60 22.(CEFET) Para que a matriz A = 3k1 31k 101 não seja inversível, os valores de k são: a) k = – 4 e k = 1 b) k = – 3 e k = 2 c) k = – 5 e k = -2 d) k = 3 e k = 2 GABARITO 1) S = {-1, 7 } 2) D C) A 4) A 5) B 6) E 7) E 8) x = 13 9) D 10) E 11) B 12) C 13) B 14) A 15) C 16) D 17) A 18) C 19) C 20) A 21) D 22) A
- 68. 68 SISTEMAS LINEARES 01.(UFRN) Asolução do sistema 1323 524 6 zyx zyx zyx é: a) (-2, 7, 1) b) (4, -3, 5) c) (0, 1, 5) d) (2, 3, 1) e) (1, 2, 3) 02.( PAES ) Um par de tênis, duas bermudas e três camisetas custam, juntos, R$100,00. Dois pares de tênis, cinco bermudas e oito camisetas custam, juntos, R$235,00. Um par de tênis, duas bermudas e duas camisetas custam, juntos, R$95,00. Quanto custam, juntos, um par de tênis, uma bermuda e uma camiseta? A) R$50,00 B) R$70,00 C) R$60,00 D) R$65,00 03.( PAES ) Em uma loja de brinquedos, uma bola, duas petecas e três quebra-cabeças custam R$10,00. Duas bolas, cinco petecas e oito quebra-cabeças custam R$23,50. Na compra de uma bola, uma peteca e um quebra-cabeça, pagarei A) R$7,00. B) R$6,00. C) R$7,50. D) R$8,50. 04. (FUVEST-SP) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidú à farmácia de seu avó. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: • Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; • Carlos e Andréia pesam 126 kg; e • Andréia e Bidú pesam 66 kg. Podemos afirmar que: A) Cada um deles pesa menos que 60 kg. B) Dois deles pesam mais que 60 kg. C) Andréia é mais pesada dos três. D) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidú juntos. 05. (UEL – PR ) Se os sistemas abaixo são equivalentes, encontre o valor de a2 + b2 5y2x 1yx 1aybx 5byax 06. (Unimontes) Se um número de dois dígitos é 9 vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por A) 2. B) 3. C) 4. D) 1. 07.(Unimontes) O conjunto solução do sistema de equações lineares 08. (FGV-SP) É dado o sistema { 𝟐 𝒙 = 𝟖 𝒚+𝟏 𝟗 𝒚 = 𝟑 𝒙−𝟗 , pode-se dizer que x + y é igual a: a) 18 b) -21 c) 27 d) 3 e) -9 09. (BNB-ACEP) Uma agência bancária vende dois tipos de ações. O primeiro tipo é vendido a R$1,20 por cada ação e o segundo a R$1,00. Se um investidor pagou R$1.050,00 por mil ações, então necessariamente ele comprou: 300 ações do primeiro tipo 300 ações do segundo tipo 250 ações do primeiro tipo 250 ações do segundo tipo 200 ações do primeiro tipo 10. (Bnb/2007) Dentre os serviços que um BANCO presta à comunidade, há três pelos quais cobra as taxas X, Y e Z em reais. Ao final do expediente de um dia de trabalho, os caixas A, B e C anotaram os valores recebidos referentes às taxas supracitadas: Logo, a soma das taxas X + Y + Z é, em real, igual a: a) 35,40 b) 46,20 c) 44,70 d) 33,80 e) 36,70 11. (CTSP) Um mesmo conjunto de farda é vendido em duas lojas A e B, sendo R$ 40,00 mais caro na loja B. Se a loja B oferecer 10% de desconto no preço do produto, este ainda assim será 5 % mais caro do que custa na loja A. O preço do conjunto na loja A é: A) R$ 300,00 B) R$ 280,00 C) R$ 260,00 D) R$ 240,00 12. (CTSP) Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular,em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas.Quantos alunos há em cada fila? A) 20
- 69. 69 B) 15 C) 18 D)22 13. (Esaf-MPU).Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em número de anos completados, é igual A) à idade de Júlia mais 7 anos. B) ao triplo da idade de Júlia. C) à idade de Júlia mais 5 anos. D)ao dobro da idade de Júlia. E) à idade de Júlia mais 11 anos. 14. ( UFVJM ) Considere o sistema indeterminado 2byx4 ayx2 . Nele o valor de a + b vale: a) 1/2 b) 3/2 c) 2 d) 3 15. (UEL) O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é: 1y7x2 9kyx6 a) impossível, para todo k real diferente de - 21; b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de - 63; c) possível e determinado, para todo k real diferente de - 21; d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de - 3; e) possível e determinado, para todo k real diferente de - 1 e - 63. 16. (UFV – MG) O sistema linear 63 13 2 kyxk yx possui infinitas soluções. Logo pode-se afirmar que: a) k = 3 b) k = ± 3 c) k = – 3 d) k = 0 e) não existe K real 17. (FMU – SP) O valor de a para que o sistema 543 182 ayx yx seja possível e indeterminado é: a) -6 b) 6 c) 2 d) -2 e) 3/2 18. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear 2kZy 3Z2yx3 1Zyx é compatível e determinado? 19. (CEFET) A respeito do sistema 2z2yx3 1zyx2 3zy2x ,podemos afirmar que ele é: A) possível e determinado B) possível e indeterminado C) impossível D) homogêneo E) impossível e homogêneo 20. (FGV – SP) O sistema 014 042 032 zx zyx zyx é: a) determinado. b) Impossível c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1). d) Indeterminado. e) N.D.A. 21. (UFSC) Para qual valor de m o sistema 023 02 02 yx zmyx zymx admite infinitas soluções? a) m = 0 b) 0m c) m = 2 d) m = 10 e) m = 1 22. (FCC – BA) O sistema 0 02 kyx yxk nas incógnitas x e y: é impossível se 1k admite apenas a solução trivial se k = 1 é possível e indeterminado se k = -1 é impossível para todo k real admite apenas a solução trivial para todo k real. 23. (Cesgranrio) O sistema byx zayx zyax 1 0 tem uma infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos parâmetros a e b, podemos concluir que: a = 1 e b arbitrário. a = 1 e 0b a = 1 e b = 1 a = 0 e b = 1 a = 0 e b = 0 24. (Fuvest – SP) O sistema linear: 3 1 02 zyx zyx zyx admite solução se for igual a: 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
- 70. 70 25. O sistemalinear abaixo 17936 14624 732 zyx zyx zyx Pode ser representado geometricamente como: Três planos paralelos e distintos Três planos coincidentes Dois planos paralelos distintos e outro secante aos dois Três planos secantes dois a dois Dois planos coincidentes e outro paralelo aos dois 26. O sistema linear abaixo 1743 12422 92 zyx zxy zyx Pode ser representado geometricamente como: Dois planos coincidentes e outro paralelo aos dois Dois planos paralelos distintos e outro secante aos dois Três planos paralelos e distintos Três planos coincidentes Três planos secantes dois a dois 27. ( PAES – 2006 ) 7 4 z 7 2 y 7 2 x 7 2 3 2 z 3 1 y 3 1 x 3 1 5 2 z 5 1 y 5 1 x 5 1 Quanto ao número de soluções do sistema de equações lineares apresentado acima, é CORRETO afirmar que A) esse sistema tem infinitas soluções. B) esse sistema não tem solução. C) esse sistema tem uma única solução. D) esse sistema tem apenas duas soluções. 28.( PAES – 2011 ) Para o sistema linear 946 932 xy yx , a solução geométrica é: B) C) D) 29.( PAES ) O conjunto-solução do sistema de equações lineares 00 000 000 zyx zyx zyx pode ser interpretado, geometricamente, como sendo: Um ponto Um plano Uma reta Uma reta e um plano paralelos 30. O sistema linear abaixo 364 2423 2232 zyx zyx zyx Pode ser representado geometricamente como: Três planos paralelos e distintos Três planos coincidentes Dois planos paralelos distintos e outro secante aos dois Três planos secantes dois a dois Três planos que se interceptam em um único ponto 31.( PAES ) Ao escalonar o sistema linear chegou-se a . Então, È CORRETO afirmar que os três planos dados pelas equações do sistema inicial A) têm apenas uma reta em comum. B) têm apenas um ponto em comum. C) são paralelos. D) têm interseção vazia, porque dois deles são paralelos. 32.( PAES ) O sistema linear 0 4222 1 zy zyx zyx pode ser representado, geometricamente, por 33. (UFJF) Um nutricionista está preparando uma refeição com 2 alimentos A e B. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de carboidrato e 2 unidades de gordura. Cada grama do alimento B contém 4 unidades de proteína, 4 unidades de carboidrato e 3 unidades de gordura. Essa refeição deverá fornecer exatamente 400 unidades de proteína e 500 unidades de carboidrato. A quantidade de gordura que essa refeição irá fornecer é: A) 300 unidades. B) 350 unidades. C) 400 unidades. D) 450 unidades. E) 500 unidades. 34. (UFJF) Uma lanchonete vende cada copo de suco de laranja por R$ 1,50, obtendo um lucro de 50% sobre o custo do suco. Devido a uma queda na safra, o preço da laranja subiu, o que acarretou um aumento de 20% A) B) C) D)
- 71. 71 no custo dosuco. O dono da lanchonete, para não diminuir as vendas de suco de laranja, decidiu manter o preço de cada copo de suco em R$ 1,50 e reduzir o tamanho do copo de modo a conservar a margem de lucro de 50% sobre o custo do suco. Originalmente, a capacidade do copo era 300 ml. O novo copo deve ter capacidade de: A) 150 ml. B) 200 ml. C) 250 ml. D) 275 ml. E) 280 ml. 35. (FIP-2012) Durante os três primeiros dias de exibição do filme “Os Vingadores”, em determinada cidade, foram vendidos 8000 bilhetes, e a arrecadação foi de R$ 76.800,00. O preço do bilhete para adulto era de R$ 12,00 e, para criança, era de R$ 8,00. A razão entre o número de crianças e o de adultos que assistiram ao filme nesse período foi de: A) 1/2 B) 3/4 C) 3/2 D) 1/4 GABARITO 1. E 2. B 3. NULA ( 6,50 ) 4. D 5. 10 6. A 7. A 8. C 9. C 10. A 11. D 12. C 13. D 14. D 15. C 16. C 17. A 18. {k IR/ k ≠ 1/4} 19. C 20. A 21. C 22. C 23. D 24. E 25. E 26. B 27. B 28. C 29. C 30. D 31. A 32. D 33. B 34. C 35. A
- 72. 72 TRIGONOMETRIA 1. (Enem) Astorres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 100m2 . b) entre 100m2 e 300m2 . c) entre 300m2 e 500m2 . d) entre 500m2 e 700m2 . e) maior que 700m2 . 2. (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho", conseguiu realizar a manobra denominada "900", na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900" refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas. 3. (Ufjf) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: a) 160 3 m 3 b) 80 3 m 3 c) 16 3 m 3 d) 8 3 m 3 e) 3 m 3 4. (Ufsm) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo µA mede 45° e o ângulo µCmede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do
- 73. 73 meio urbano édada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é a) 8 6 3 b) 4 6 c) 8 2 3 d) 8( 2 3) e) 2 6 3 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 5. (Pucrs) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo. Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é a) 100 3 3 b) 100 3 2 c) 100 3 d) 50 3 3 e) 200 6. (Uftm) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km. Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a) 8 17. b) 12 19. c) 12 23. d) 20 15. e) 20 13. 7. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura: a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0. d) 25,0 2 . e) 35,0. 8. (Unicamp) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.
- 74. 74 Podemos concluir queo avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km. 9. (Enem) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura. Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (considere 3 3 = 0,58) a) 50%. b) 43%. c) 37%. d) 33%. e) 19%. 10. (G1 - ifpe) Um estudante do Curso de Edificações do IFPE tem que medir a largura de um rio. Para isso ele toma os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em seguida ele caminha de A até o ponto B, distante 100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A, determinando o ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele determinou a largura do rio e achou, em metros: Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75 a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80 11. (G1 - utfpr) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, de: (Considere: 1 3 3 sen 30° , cos 30° e tg 30° 2 2 3 ) a) 0,8 3. b) 2,4. c) 1,2 3. d) 0,6 3. e) 0,6. 12. (Unifor) Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30 , como mostra a figura abaixo. Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de distância do solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros é: a) 80,2 b) 81,6 c) 82,0 d) 82,5 e) 83,2
- 75. 75 13. (Uemg) Emuma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°, conforme mostra a figura: Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm, a altura do monumento, em metros, é aproximadamente a) 6,86. b) 6,10. c) 5,24. d) 3,34. 14. (Ufsm) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. Suponha que a função N x 180 54cos x 1 6 π represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde, com x 1 correspondendo ao mês de janeiro, x 2, ao mês de fevereiro e assim por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a a) 693. b) 720. c) 747. d) 774. e) 936. 15. (Espcex (Aman)) Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de 3 π rad para o ângulo ˆACB. Qual foi a largura do rio que ele encontrou? a) 9 3 metros b) 3 3 metros c) 9 3 metros 2 d) 3 metros e) 4,5 metros 16. (G1 - ifce) O valor de cos (2 280°) é a) 1 . 2 b) 1 . 2 c) 2 . 2 d) 3 . 2 e) 3 . 2 17. (G1 - cftmg) O valor de y = cos 150° + sen 300° - tg 225° - cos 90° é 18. (Espcex (Aman)) O valor numérico da expressão 2sec1320 53 2 cos tg2220 2 3 π é: a) 1 b) 0 c) 1 2 d) 1 e) 3 2 19. (G1 - ifsp) A base de um triângulo isósceles mede 3 3cm e o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é a) 3. b) 2. c) 3. d) 1 3. e) 2 3. 20. (G1 - utfpr) Uma escada rolante de 6 m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem
- 76. 76 inclinação de 30°.Determine, em metros, a altura entre estes dois andares. Use os valores: sen 30 0,5, cos 30 0,87 e tg 30 0,58. a) 3,48. b) 4,34. c) 5,22. d) 5. e) 3. 21. (Ufpb) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função: A(t) 1,6 1,4 sen t 6 Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada pelo gráfico: a) b) c) d) e) 22. (Ucs) Para colocar um objeto em movimento e deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea por x metros, é necessário aplicar uma força de 20 10 sen x newtons sobre ele. Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo 0,3 , está representada a relação entre a força aplicada e a distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros? a) b) c) d) e) 23. (Pucrj) Se 1 etgθ θ pertence ao primeiro quadrante, então cosθ é igual a: a) 0
- 77. 77 b) 1 2 c) 2 2 d) 3 2 e) 1 24. (G1- cftmg) Uma raposa avista um cacho de uvas em uma parreira sob um ângulo de 30 formado com a horizontal. Então, preguiçosamente ela se levanta, anda 3 m em direção à base da parreira e olha para as uvas sob um ângulo de 60 , como mostra a figura abaixo. Nessas condições, a altura h do cacho de uvas, em metros, é a) 1,0 b) 1,5 c) 1,7 d) 3,4 25. (Fgv) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a a) 4 2 b) 4 3 c) 6 d) 4 5 e) 2(2 2) 26.(FIP) O Sr. Afonso deseja fazer uma reforma em sua residência, incluindo trocar o telhado, cuja estrutura tem a forma de um prisma triangular reto, conforme a figura. Ele decide pelo modelo de telha americana, sendo necessárias 20 telhas por metro quadrado. A quantidade aproximada de telhas necessárias será: a) 4080 b) 5712 c) 4896 d) 3670 e) 2856 27.(FIP-2013) Num dia chuvoso, uma descarga elétrica queimou uma das lâmpadas da casa de Bernardo. Após a chuva, ele resolveu trocar a lâmpada queimada. Para isso, encostou uma escada na parede, de modo que o topo da escada ficou a uma altura de 4 metros, conforme mostra a figura a seguir: Após subir alguns degraus, Bernardo tomou um susto, pois a base da escada escorregou por 1 metro, e só parou ao tocar um muro paralelo à parede, formando, assim, um ângulo de 45º com o piso
- 78. 78 horizontal. A novasituação pode ser observada na figura a seguir: A distância entre a parede da casa e o muro é de: 28.(FIP/2014) Uma empresa produz telhas senoidais, como a da figura abaixo. Para a criação do molde da telha a ser fabricada, é necessário fornecer a função cujo gráfico será a curva geratriz da telha. A telha padrão produzida pelo fabricante possui por curva geratriz o gráfico da função y = sen (x). Um cliente solicitou a produção de telhas que fossem duas vezes mais sanfonadas e que tivessem o triplo da altura da telha-padrão, como na figura abaixo. Marque a opção que representa a curva geratriz dessa nova telha. A) 𝑌 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 2 ) B) 𝑌 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) C) 𝑌 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 3 ) D) 𝑌 = 1 3 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 2 ) E) 𝑌 = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 29.(FIP/2014) Num hemocentro, o número de doações de sangue varia periodicamente. No ano de 2013, esse número, de janeiro a dezembro, foi calculado mediante a função 𝐷( 𝑡) = 3 − 𝐶𝑂𝑆 ( 𝑡 − 1) 𝑛 6 , em que D(t) é dado em milhares e t em meses, com 0 ≤ t ≤ 11. O número de doações de sangue nos meses de agosto e outubro foi de: A) 4 B) 7,5 C) 3,5 D) 3,86 E) 7 GABARITO 01. E 02. D 03. B 04. B 05. C 06. B 07. B 08. A 09. E 10. D 11. B 12. B 13. D 14. B 15. A 16. A 17. C 18. D 19. A 20. E 21. A 22. A 23. C
- 79. 79 24. B 25. B 26.A 27. A 28. B 29. B NÚMEROS COMPLEXOS 1. (Unicamp) O módulo do número complexo 2014 1987 z i i é igual a a) 2. b) 0. c) 3. d) 1. 2. (G1 - ifal) O valor da potência 10 (1 i) é: a) 11i. b) 5i. c) 32i. d) 50i. e) 1 5i. 3. (Upf) O número complexo z, tal que 5z z 12 16i, é igual a: a) 2 2i b) 2 3i c) 3 i d) 2 4i e) 1 2i 4. (Uern) Considere a igualdade 2z i z 1. É correto afirmar que o número complexo z, da forma z a bi, é a) i 1 . 3 b) i 2 . 2 c) 1 3i. d) 3 2i. 5. (Unicamp) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que 2 i 1. Então 0 1 2 3 2013 i i i i i L vale a) 0. b) 1. c) i. d) 1 i. 6. (Mackenzie) Se y = 2x, sendo x= 1 i 1 i e i = 1 , o valor de (x + y)2 é a) 9i b) – 9 + i c) –9 d) 9 e) 9 – i
- 80. 80 7. (Espcex (Aman))Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo Z que satisfaz à condição Z 2Z 2 Zi é a) z 0 1i b) z 0 0i c) z 1 0i d) z 1 i e) z 1– i 8. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais que x yi 3 4i, onde i é a unidade imaginária. O valor de xy é igual a a) 2. b) 1. c) 1. d) 2. 9. (Fgv) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 – (1 – i)20 é igual a a) –1024. b) –1024i. c) 0 d) 1024. e) 1024i. 10. (Espcex (Aman)) Seja o número complexo x yi z , 3 4i com x e y reais e 2 i 1. Se 2 2 x y 20, então o módulo de z é igual a: a) 0 b) 5 c) 2 5 5 d) 4 e) 10 11. (Fgv) Sendo a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da expressão 6 6 (i 1) (1 i) é: a) 0 b) 16 c) 16 d) 16i e) 16i 12. (Uel) A forma algébrica do número complexo z = (1 + 3i)/(2 - i) é a) 1/2 - 3i b) 5/3 + (7i/3) c) -1/5 + (7i/5) d) -1/5 + 7i e) 3/5 + (4i/5) 13. (Unicamp) Considere o número complexo 1 ai z , a i onde a é um número real e i é a unidade imaginária, isto é, 2 i 1. O valor de 2016 z é igual a a) 2016 a . b) 1. c) 1 2016i. d) i. 14. (Uepb) O produto dos números complexos (3 – i) (x + 2yi) é um número real quando o ponto P(x,y) está sobre a reta de equação: a) 6x y 0 b) 6x y 0 c) x 6y 0 d) 6y x 0 e) 3y x 0 15. (Unitau) A expressão i13 +i15 é igual a: a) 0 b) i. c) - i. d) - 2i. e) 3i. 16.(FIP-2011) Numa aula de Matemática, o tema era Números Complexos. Inicialmente, o professor definiu a unidade imaginária como sendo uma das soluções da equação x2 +1 = 0 . Após a explicação, o professor sugeriu a seguinte questão: Qual o valor da soma dos “n” primeiros elementos da sequência ( i2006 + i2007 + i2008 + i2009 + ... ) ? Na tentativa de acertar a questão proposta, quatro alunos fizeram as seguintes afirmações: · ANA: A soma será –1 se n Î { 2 , 6 , 10 , ...}; · BETO: A soma será (–1 – i ) se n Î { 4 , 8 , 12 , ...}; · CAIO: A soma será –i se n Î { 3 , 7 , 11 , ...}; · DANIEL: A soma será 0 se n Î { 1, 5, 9, ...}; Considerando-se as respostas apresentadas, qual aluno acertou a questão? A) Beto. B) Ana. C) Daniel. D) Caio. GABARITO 01. A 02. C 03. D 04. A
- 81. 81 05. D 06. C 07.D 08. D 09. C 10. C 11. E 12. C 13. B 14. D 15. A 16. D POLINÔMIOS 1. (Espm) O resto da divisão do polinômio 5 2 x 3x 1 pelo polinômio 2 x 1 é: a) x – 1 b) x + 2 c) 2x – 1 d) x + 1 e) x – 2 2. (Ueg) A divisão do polinômio 3 2 x 2x – 5x – 6 por x 1 x – 2 é igual a: a) x – 3 b) x + 3 c) x – 6 d) x + 6 3. (Ufrgs) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) = 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das outras raízes é a) -1. b) -0,5. c) 0. d) 0,5. e) 1. 4. (Unesp) Sabe-se que, na equação 3 2 x 4x x 6 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é a) S = {– 3, – 2, – 1} b) S = {– 3, – 2, + 1} c) S = {+ 1, + 2, + 3} d) S = {– 1, + 2, + 3} e) S = {– 2, + 1, + 3} 5. (Unesp) O polinômio 3 P(x) a x 2 x b é divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são a) 1 e 4. b) 1 e 12. c) –1 e 12. d) 2 e 16. e) 1 e –12. 6. (Espm) O trinômio 2 x ax b é divisível por x 2 e por x 1. O valor de a b é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
- 82. 82 7. (Ime) Seja o determinante da matriz 2 3 1 2 3 x x x . x x 1 O número de possíveis valores de x reais que anulam é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 8. (G1 - utfpr) Quais são os polinômios que representam o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio 3 2 p x x 5x 6 pelo polinômio 2 d x x – 3 ? a) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x + 21. b) q(x) = x + 5 e r(x) = – (3x + 21). c) q(x) = x – 5 e r(x) = – 3x + 21. d) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x – 21. e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21. 9. (Espcex (Aman)) O polinômio 5 3 2 f(x) x x x 1, quando dividido por 3 q(x) x 3x 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( 1) é a) 10. b) 4. c) 0. d) 4. e) 10. 10. (Espcex (Aman)) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que 3 2 A x B x 3x 2x x 1. Sabendo-se que 1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A 3 B 1 é igual a: a) 98 b) 100 c) 102 d) 103 e) 105 11. (Uftm) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 – 2x3 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é igual a a) –2. b) –1. c) 1. d) 2. e) 3. 12. (Uel) O polinômio 3 2 p x x x 3ax 4a é divisível pelo polinômio 2 q x x x 4 . Qual o valor de a? a) a = −2 b) a = −1 c) a = 0 d) a = 1 e) a = 2 13. (Insper) A equação 3 2 x 3x 7x 5 0 possui uma raiz real r e duas raízes complexas e não reais 1z e 2z . O módulo do número complexo 1z é igual a a) 2. b) 5. c) 2 2. d) 10. e) 13. 14. (Unesp) A equação polinomial x3 – 3x2 + 4x – 2 = 0 admite 1 como raiz. Suas duas outras raízes são a) 1 3 i e 1 3 i . b) 1 i e 1 i . c) 2 i e 2 i . d) 1 i e 1 i . e) 1 3 i e 1 3 i . 15. (Pucrj) Sabendo que 1 é raiz do polinômio 3 2 p(x) 2x ax 2x, podemos afirmar que p(x) é igual a: a) 2 2x x 2 b) 2x x 1 x 1 c) 2 2x x 2 d) x x 1 x 1 e) 2 x 2x 2x 1 16. (Ita) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b ¡ , então a2 – b3 é igual a a) – 64. b) – 36. c) – 28. d) 18. e) 27. 17. (Unesp) Dado que as raízes da equação 3 2 x 3x x k 0 , onde k é uma constante real, formam uma progressão aritmética, o valor de k é: a) – 5. b) – 3. c) 0. d) 3. e) 5.
- 83. 83 18. (Cefet MG)Perdeu-se parte da informação que constava em uma solução de um problema, pois o papel foi rasgado e faz-se necessário encontrar três dos números perdidos que chamaremos de A, B e C na equação abaixo. 2 2 3 2 Ax 2 B Cx 9x C 2x 1x x 3 2x x 5x 3 O valor de A + B + C é a) –3. b) –2. c) 4. d) 5. e) 7. 19. (Uepb) Para que o resto da divisão de 4 3 2x 3x mx 2 por 3 x 1 seja independente de x, devemos ter: a) m 2 b) m 2 c) m 4 d) m 0 e) m 3 20. (Insper) A figura, feita fora de escala, representa a planta de uma sala de aula, que conta com uma área para armários dos alunos (parte hachurada). A sala está sendo projetada de modo que o teto fique a uma distância de x metros do chão e, para que haja uma ventilação adequada, o volume total da sala mais o hall de entrada, descontando-se o espaço dos armários (que vão até o teto), deve ser de 280 m3 . O menor valor de x que atende a todas essas condições é a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9. GABARITO 01. E 02. B 03. B 04. B 05. E 06. D 07. C 08. E 09. A 10. C 11. D 12. E 13. B 14. B 15. B 16. C 17. D 18. D 19. B 20. A
- 84. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 84 GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIO 1 01. ( FCM Santos – SP ) Às 9h 10min, o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é: a) 150º b) 147º 30’ c) 145º d) 160º e) n.d.a 02. ( PUC – MG ) Uma circunferência é dividida em sete arcos de medidas iguais. Dente as alternativas, o valor que mais se aproxima da medida de cada um desses arcos é: a) 51º 43’ b) 52º c) 51º 25’ 42” d) 51º 25’ 10” e) 53º 03. ( Mackenzie – SP ) A figura abaixo mostra dois ângulos adjacentes suplementares. Podemos afirmar que: a) As bissetrizes dos ângulos AÔB e BÔC são perpendiculares. b) A medida do ângulo AÔB é a metade da medida do ângulo BÔC. c) O ângulo BÔC mede o triplo de AÔB. d) O ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos AÔB e BÔC tem medida menor que 90º. e) N.d.a. 04. ( Cescem – SP ) A medida de um ângulo está para a medida do seu complemento assim como 1 está para 5. Esse ângulo mede: a) 75º b) 20º c) 10º d) 15º e) 25º 05. (UFAM) Se um ângulo mede 85°45'54", o valor do seu complemento é: A) 01°02'16" B) 07°09'46" C) 04º14'06" D) 05°14'26" E) 06º14'06" 06. (UFPA) O quíntuplo do suplemento do complemento de um ângulo é igual ao triplo do replemento do seu suplemento. O ângulo é: A) 45º B) 47º C) 50º D) 54º 07. (UFBA) O suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo é igual ao triplo do complemento desse ângulo. Determine o ângulo. a) 65º b) 70º c) 75º d) 80º e) 85º 08. ( Fuvest – SP ) Quantos graus mede, aproximadamente, um arco de 0,105 rad ? a) 4º b) 5º c) 6º d) 7º e) 8º 09. ( UnB – DF ) Quanto mede, em radianos, um arco de 2º 15’ ? a) rad 80 b) rad 70 c) rad 100 d) rad 25 e) n.d.a 10. ( UFES ) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo mede: a) rad 8 7 b) rad 16 5 c) rad 4 7 d) rad 16 7 C O A B
- 85. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 85 11. ( U.F.Uberlândia ) Dois ângulos consecutivos são complementares. Então, o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos é : a) 20º b) 30º c) 35º d) 40º e) 45º 12. ( UFMG ) Na figura, OC é a bissetriz do ângulo AÔB, BÔD = 50º e AÔD = 22º . A medida do ângulo DÔC é : a) 36º b) 28º c) 22º d) 16º e) 14º 13. ( Cesgranrio ) As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal t . Se o ângulo Bˆ é o triplo de Aˆ , então Bˆ – Aˆ é : a) 90º b) 85º c) 80º d) 75º 14. ( UniUb – 2000 ) Considere a figura abaixo em que as retas p e q são paralelas e as retas r e s são perpendiculares. Sendo = 36º, qual é a medida, em graus, do ângulo ? 15. ( Fuvest – SP ) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida em graus do ângulo 3 é: a) 50º b) 55º c) 60º d) 80º e) 100º 16. ( FEI – SP ) Na figura, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo indicado com x é: a) 70 b) 50 c) 60 d) 85 e) 65 17. ( PUCCAMP – SP ) Na figura, r e s são retas paralelas. O ângulo x mede : a) 60º b) 65º c) 70º d) 75º e) 80º 18. ( F. C. C – SP ) Na figura seguinte tem-se r // s ; t e u são transversais ; o valor de + é ? a) 140º b) 130º c) 120º d) 100º e) 90º 19. ( PUC ) Na figura, r // s, então x vale ? 20. ( UFMG –2001 ) Observe esta figura: Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta e as retas CB e ED são paralelas. Assim sendo, o ângulo ABC mede : a) 39º b) 44º c) 47º d) 48º O B A C D r p s q 1 3 2 r s x 2x + 20º 70º s r x 150º 130º 70º20º r s t u r s 10º x D F A E C 57º B 28º 105º A B
- 86. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 86 21. ( UFSC ) Na figura a seguir sabe-se que r// s// t. A diferença x – y é: a) 20º b) 22º c) 24º d) 26º e) 28º 22. ( PUC – PR ) Na figura, as retas r e s são paralelas. O valor de x é: a) 38º 30’ b) 39º 30’ c) 40º 30’ d) 39º e) 40º 23. ( MACK – SP ) Na figura, DE é paralelo a BC. O valor de é : a) 90 b) 80 c) 70 d) 60 e) 50 24. (FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é: a) 100° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150° 25. (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é: a) 40° b) 58° c) 80° d) 116° e) 150° 26. (UFG) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é: a) 100° b) 120° c) 110° d) 140° e) 130° 27. (UEMG) As retas r e s da figura abaixo são paralelas. O valor de 3b + a é: A) 220º B) 225º C) 230º D) 235º 28. (FIP-2013) Sobre um relógio de forma circular, graduado de 1 a 12, sendo os dígitos igualmente espaçados entre si, pode-se afirmar corretamente que: A) O menor ângulo formado por seus ponteiros das horas e minutos quando estiver marcando 3h 25min mede 47º30’. B) O maior ângulo formado por seus ponteiros das horas e minutos quando estiver marcando 14h 20min mede 210º. C) O maior ângulo formado por seus ponteiros das horas e minutos quando estiver marcando 3h 25min mede 254º45’. D) O menor ângulo formado por seus ponteiros das horas e minutos quando estiver marcando 14h 20min mede 52º. GABARITO 1) C 2) C 3) A 4) D 5) C 6) A 7) D 8) C 9) A 10) D 11) E 12) E 13) A 14) 126º 15) E 16) B 17) E 18) B 19) 100º 20) D 21) C 22) B 23) C 24) C 25) D 26) A 27) D 28) A 3x 79º x r s 60º 130º D E B C A
- 87. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 87 EXERCÍCIO 2 01. ( UFMG ) Num triângulo, dois lados medem 3 e 7. Se a medida do terceiro lado pertence ao conjunto x = { 2, 3, 4, 5, 10 }, então o terceiro lado mende : a) 10 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 02. ( UNEB ) Os lados AB, BC , CD e DA de um quadrilátero convexo ABCD medem respectivamente 2, 4, 2 e 6. Se a medida de uma das diagonais desse quadrilátero é um número inteiro, essa diagonal mede : a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 03. ( Fuvest – SP ) No quadrado ABCD de 12 de lado, temos AE = 13 e CF = 3. O ângulo AÊF é agudo, reto ou obtuso ? Justifique. 04. ( Cesgranrio ) Na figura, ABCD é um quadrado, ADE e ABF são triângulo equiláteros. Se os pontos C, A e M são colineares, então o ângulo FÂM mede : a) 75º b) 80º c) 82º 30’ d) 85º e) 87º 30’ 05. ( STA CASA – SP ) O triângulo ABC, representado na figura abaixo, é isósceles. A medida do ângulo x indicado é : a) 90 b) 100 c) 105 d) 110 e) 120 06. ( UFPA ) Na figura abaixo, os comprimentos dos lados AB e BC do triângulo ABC são congruentes. Qual a medida, em graus, de ? A) 18º B) 20º C) 25º D) 22º E) 17º 07. ( Conc. Público – GDF ) Na figura abaixo, o triângulo ABC representa a vista frontal da sustentação de um telhado. Por questão de economia, os segmentos CH, HD, DG, GE, EF, e FB têm comprimentos iguais. Sabendo que os triângulos CGD e BGE são isósceles de bases DG e EG, respectivamente, podemos afirmar que a medida x do ângulo DÂE é igual a : a) 108º b) 115º c) 120º d) 130º e) 135º 08. (UFF) O triângulo MNP é tal que M = 80º e P = 60º. A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do ângulo externo P é: a) 20° b) 30° c) 40º d) 50º e) 60º 09. (Unesp) Considere o triângulo ABC da figura adiante. Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a bissetriz externa do ângulo C um ângulo de 50°, determine a medida do ângulo interno A. B F CED A E M BC D A F 20º x A B C
- 88. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 88 10. ( MACK – SP ) Na figura, AB = AC e AD = AE. A medida do ângulo CDE é: a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º 11. ( UFMG ) Observe a figura. Nessa figura, AB = BD = DE e BD é bissetriz de CBˆE . A medida de AÊB, em graus, é : a) 96º b) 100º c) 104º d) 108º e) 110º 12. ( UFMG ) Observe a figura. BD é bissetriz de CBA ˆ , BCE ˆ = 2(EÂB) e a medida do ângulo BCE ˆ é 80º. A medida do ângulo BDC ˆ é : a) 40º b) 50º c) 55º d) 60º e) 65º 13. ( UFLA ) Na figura abaixo, o ponto O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC. Se os ângulos CBA ˆ e BÂC medem respectivamente 60º e 70º, pode-se afirmar que o valor de COB ˆ é: A) 105º B) 110º C) 115º D) 120º E) 125º 14. Na figura abaixo temos que o triângulo ABC é isósceles de base BC. Se AD = DE = EF = FC = CB, a medida do ângulo BÂC é : a) 15º b) 20º c) 25º d) 30º e) 36º 15. Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero e ABMN é um quadrado. Qual a medida do ângulo ? GABARITO 1) B 2) C 3) AGUDO 4) A 5) B 6) B 7) A 8) C 9) 100º 10) B 11) D 12) D 13) C 14) B 15) 15º A E CB D A B D C E A D F C B E A O B C A B C MN
- 89. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 89 EXERCÍCIO 3 01. (UFRGS–RS) O número de diagonais de um polígono é o dobro de seu número n de lados. O valor de n é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 02. (Ufscar) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem a) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados. d) 12 lados. e) 20 lados. 03. ( PUC – PR ) O polígono convexo em que o número de lados é igual ao número de diagonais é : a) Pentágono b) Heptágono c) Eneágono d) Dodecágono 04. ( ACAFE – SC ) Num polígono regular convexo, o ângulo interno vale 3/2 do ângulo externo. O polígono é: a) pentágono b) hexágono c) heptágono d) eneágono 05. (F. Ruy Barbosa–BA) Sendo o número de diagonais de um octógono o quíntuplo do número de lados de um polígono, conclui-se que esse polígono é um: a) triângulo b) quadrilátero c) pentágono d) hexágono e) heptágono 06. (Mackenzie - SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 07. (Puc – Rio) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo mede: a) 90° b) 65° c) 45° d) 105° e) 80° 08. (UNICAMP-SP) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440º tem exatamente:? a)15 diagonais b)20 diagonais c)25 diagonais d)35 diagonais 09. (Unesp-2001) O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por N(x) = (x2 – 3x)/2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é a) 10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6. 10. (Fuvest-2000) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é: a) 32° b) 34° c) 36° d) 38° e) 40° 11. (Faap) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25: a) 60° b) 45° c) 36° d) 83° e) 51° 12. (Ita ) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 63 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77
- 90. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 90 13. ( UNIFESP ) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura a seguir Nessas condições, o ângulo vale: A) 108º B) 72º C) 54º D) 36º E) 18º 14. (FUVEST) Na figura abaixo os ângulos a, b, c e d medem, respectivamente, x/2, 2x, 3x/2 e x. O ângulo e é reto. Qual a medida do ângulo f ? 15. (MACK – SP ) Calcule a soma das medidas dos ângulos dos vértices ( a + b + c + d + e ) na figura abaixo. 16. ( ITA – SP ) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a este polígono é dado por: a) 2n( n – 2 ) b) 2n( n – 1 ) c) 2n( n – 3 ) d) 2 5nn GABARITO 1) C 2) C 3) A 4) A 5) B 6) D 7) B 8) D 9) E 10) C 11) E 12) B 13) D 14) 18º 15) 180º 16) A EXERCÍCIO 4 01. (Saresp-SP) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III. Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar ao lado que faz frente com a rua das Rosas? a) 24 m b) 20 m c) 35 m d) 32 m 02 .(FIP-2012) A figura a seguir mostra a planta de três lotes, disponíveis para venda. Todos eles têm frente tanto para a rua “Bela Vista” quanto para a rua “Recanto”. As divisas laterais são perpendiculares à rua “Bela Vista”. Sabendo que a frente total para a rua “Recanto” tem 180m, assinale a alternativa que indica as medidas CORRETAS da frente dos lotes A, B e C respectivamente: b c a e d
- 91. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 91 A) 100 m, 55 m e 25m. B) 70 m, 60 m e 50 m. C) 80 m, 70 m e 50 m. D) 80 m, 60 m e 40 m. 03. Na figura abaixo, as retas r, s, t e u, são paralelas. Qual o valor de x + y + z ? 04. ( UFSM ) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede: a) 33 b) 38 c) 43 d) 48 e) 53 05. ( UnB ) Determine o valor de x, na figura abaixo, onde r, s e t são retas paralelas. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 06. (FEI-SP) Na figura, BC // DE. Então, o valor de x é: a) 4 b) 6 c) 14 d) 9 e) 2 07. (Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra. 08. (Unesp) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do prédio, em metros, é a) 25. b) 29. c) 30. d) 45. e) 75. 09. (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 10. ( Itaúna ) Na figura abaixo, MNPQ é um quadrado e ABC, um triângulo de altura H = 5 cm e AB = 7,5 cm. Então a área do quadrado MNPQ é, em cm 2 : a) 1,5 b) 3 c) 6 d) 9 A Q P M N B C
- 92. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 92 11. ( FUVEST ) Dados: CBM ˆ = BÂC, AB = 3, BC = 2 e AC = 4, então MC = ? a) 3,5 b) 2 c) 1,5 d) 1 e) 0,5 12. ( MAPOFEI ) Um triângulo equilátero ABC tem 60m de perímetro. Prolonga-se a base BC e sobre o prolongamento toma-se CS = 12m. Une-se o ponto S ao ponto médio M do lado AB. Calcular a área do quadrilátero BCNM. 13. (FGV – SP ) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA . O comprimento do segmento PC é a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) 11. 14. (Fuvest – SP ) Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a figura. Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do AF é igual a: A) 2 53 B) 8 57 C) 4 53 D) 5 53 E) 3 5 15. (Fuvest – SP ) No retângulo ABCD da figura tem- se CD = l e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede: 16. (Puccamp) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo o ângulo ADE congruente ao ângulo ACB Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, encontre o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros. 17. (CESGRANRIO) O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12m e AC = 6m, o lado a do losango mede : a) 5m b) 3m c) 2m d) 4m e) 8m 18. (ITA – SP) Considere uma circunferência inscrita num triângulo isósceles com base de 6 cm e altura de 4 cm. Seja t uma reta tangente a esta circunferência e paralela à base do triângulo. Determine a medida do segmento de t compreendido entre os lados do triângulo. M A B C D E C G BFA A D F B E C
- 93. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 93 19. (UFPA) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura abaixo. Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da esfera até a parede, em cm, é: A) 23 B) 24 C) 25 D) 27 E) 32 20.(CESGRANRIO) Na figura dada, as circunferências de centro P e S são ambas tangentes à reta l no mesmo ponto Q e a reta que passa por P e R tangencia a circunferência menor no ponto T. Sendo os raios das circunferências respectivamente 8m e 3m, a medida do segmento QR é: a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 2 m e) n.r.a 21. ( MACK – SP ) O triângulo ABC da figura foi dividido em duas partes de mesma área pelo segmento DE, que é paralelo a BC. A razão DE BC vale : a) 2 b) 2 3 c) 2 5 d) 2 e) 2 23 22. (ENEM-2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? A) 1 m B) 2 m C) 2,4 m D) 3 m E) 2 m 23. (ENEM-2009) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito.. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-seque a medida do queixo até o alto da cabeçada turista é iguala 2/3 da medida do queixo da esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a A razão entre b e a será dada por A) b/a = d’/c T S Q R l P A ED B C
- 94. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 94 B) b/a = 2d/3c C) b/a =3d’/2c D) b/a = 2d’/3c E) b/a = 2d’/c GABARITO 1) D 2) D 3) 97/5 4) B 5) E 6) B 7) 4,08 8) A 9) 20,5 m 10) D 11) C 12) 11 3800 13) C 14) D 15) E 16) 44,4 17) D 18) 1,5 19) A 20) B 21) D EXERCÍCIO 5 01. (CEFET – RJ) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo, as retas r e s são paralelas, D e E são pontos de s, F e G são pontos de r, F é um ponto de AD, CBA ˆ = 30° e EDC ˆ = 120°. Quanto mede, em graus, o ângulo GFDˆ ? A) 120º B) 130º C) 140º d) 150º 02. (IFSP/2014) Considerando que as medidas de dois ângulos opostos de um losango são dadas, em graus, por 3x + 60° e 135° – 2x, a medida do menor ângulo desse losango é a) 75° b) 70° c) 65° d) 60° e) 55° 03. (INSPER 2012) Considere um Iosango ABCD em que M, N, P e Q são os pontos médios dos lados, respectivamente. Um dos ângulos internos desse Iosango mede α, sendo 0°< α < 90°. Nessas condições, o quadrilátero convexo MNPQ a) é um quadrado. b) é um retângulo que não é Iosango. c) é um Iosango que não é retângulo. d) é um paralelogramo que não é retângulo nem Iosango. e) não possui lados paralelos. 04. (IFSC/2011) O perímetro de um Iosango é 40 cm e uma diagonal mede 16 cm. A outra diagonal mede: a) 10 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 8 cm. e) 5 cm. 05. (UDESC) No paralelogramo ABCD, conforme mostra a figura, o segmento CE é a bissetriz do ângulo DCB.
- 95. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 95 Sabendo que AE = 2 e AD = 5, então o valor do perímetro do paralelogramo ABCD é: a) 26 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24 06. (PUCCAMP) Na figura a seguir tem-se representado o Iosango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. A medida do lado desse Iosango, em centímetros, é a) 6 3 b) 6 c) 4 3 d) 4 e) 2 3 07. (UECE 2014) O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas de frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, então a medida da área do palco, em m2 , é a) 80. b) 90. c) 108. d) 1182. 08. (FUVEST – SP) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. 0 perímetro desse trapézio é: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 09. (CONC. DA PM) Se um quadrilátero plano convexo tem todos os lados iguais, então esse quadrilátero é o: A) Quadrado B) Losango C) Retângulo D) Trapézio E) Paralelogramo 10. (ITA 2014) Considere o trapézio ABCD de bases e. Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC e BD, respectivamente. Então, se AB tem comprimento x e CD tem comprimento y<x, o comprimento de MN é igual a a) x - y b) 1/2.(x - y) c) 1/3.(x - y) d) 1/3.(x + y) e) 1/4.(x + y) 11. ( CESGRANRIO ) Seja ABC um triângulo retângulo, onde D é o ponto médio da hipotenusa BC. Se AD = AB, então o ângulo ABC mede: a) 67º 30’ b) 60º c) 55º d) 52º 30’ e) 45º 12. ( ITA – SP ) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale: a) 22 cm b) 13 cm c) 11 cm d) 8,5 cm e) 5,5 cm 13. ( UFMG ) Num triângulo equilátero ABC, de 8 cm de lado, traça-se MN // BC, de modo que ele se decomponha num trapézio e num novo triângulo. O valor de MN para o qual o perímetro do trapézio é igual ao do triângulo AMN é: a) 2 cm b) 3 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm 14. (ENEM-2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos
- 96. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 96 médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde A) À mesma área do triângulo AMC B) À mesma área do triângulo BNC C) À metade da área formada pelo triângulo ABC D) Ao dobro da área do triângulo MNC E) Ao triplo da área do triângulo MNC 15. ( ITA – SP ) Dadas as afirmações: I – Quaisquer dos ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. II – Quaisquer dos ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. III – Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si, então esse paralelogramo é o losango. Podemos garantir que: a) Todas são verdadeiras; b) Apenas I e II são verdadeiras; c) Apenas II e III são verdadeiras; d) Apenas II é verdadeira; e) Apenas III é verdadeira. 16. Na figura, ABCD é um paralelogramo. AE é bissetriz de DÂB e EB = EC. A medida do ângulo BCD ˆ é : a) 50º b) 52º c) 56º d) 60º e) 65º 17. No trapézio isósceles da figura, DB é bissetriz de CDˆA e é perpendicular a BC. O ângulo CDˆB mede : a) 30º b) 35º c) 40º d) 45º e) 50º GABARITO 1) D 2) A 3) B 4) C 5) E 6) D 7) C 8) D 9) B 10) B 11) B 12) C 13) E 14) E 15) C 16) B 17) A EXERCÍCIO 6 01. (FATEC-SP) Se os catetos de um triângulo retângulo T, medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é: a) 12/5 m b) 5/13 m c) 12/13 m d) 25/13 m e) 60/13 m 02. (Cesgranrio-RJ) Num triângulo retângulo em A, a altura relativa à hipotenusa mede 12, e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O menor lado do triângulo mede: a) 12,5 b) 13 c) 15 d) 16 e) 16,5 03. ( FATEC – SP ) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é : a) 0,8 b) 1,4 c) 2,6 d) 3,2 e) 3,8 04. ( PUC – SP ) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo ? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 78º D E C A B A B D C F E D C BA 3 4
- 97. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 97 05. ( UFPA ) Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema abaixo. Observe que o ponto mais alto dessa polia está 1,5 m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na direção indicada abaixo, a distância x que o bloco deslizará será de: A) 1,0 m B) 1,3 m C) 1,6 m D) 1,9 m E) 2,1 m. 06. ( Enem – 2006 ) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a A) 1,8 m. B) 1,9 m. C) 2,0 m. D) 2,1 m. E) 2,2 m. 07. (OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada? A) 4 m B) 8 m C) 9 m D) 13 m E) 15 m 08. ( UnB ) De um círculo, conhece-se apenas a parte que é representada na figura abaixo. Então, a medida de seu raio é : a) 3m b) 4m c) 5m d) 6m e) 7m 09. ( FATEC ) O valor do raio da circunferência de centro O da figura é : a) 7,5 b) 14,4 c) 12,5 d) 9,5 10. ( UFRJ ) Duas circunferências são tangentes exteriores. A distância entre seus centros é de 13 cm e a diferença entre seus raios é de 5 cm. A medida do raio menor, do raio maior e do segmento AB da reta tangente comum às circunferências, nessa ordem, é : a) 3; 8; 11 b) 4; 9; 12 c) 3; 8; 12 d) 4; 9; 11 e) 5; 10; 13 11. ( MACK – SP ) A circunferência de raio a é tangente às duas semicircunferências menores e à semicircunferência maior. Se NPMN = R, então a é igual a: a) 2 2R b) 2 3R c) 4 R d) 3 R e) 2 R 12. ( ENEM - 2012 ) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? A) R ≥ L / 2 B) R ≥ 2L / π C) R ≥ L / D) R ≥ L / 2 E) R ≥ L / (2 2 ) 3m 1m 3m A B 5 O 1010 M N P a
- 98. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 98 13. ( PUC – Campinas ) Um quadrado tem dois vértices numa circunferência e um lado tangente a ela no ponto T, como mostra a figura. Se a área do quadrado é 64 cm 2 , o raio da circunferência é: a) 4 2 b) 3 2 c) 5 2 d) 5 14. Uma corda foi amarrada do ponto A ao ponto B contornando um bloco retangular maciço cujas dimensões são: 3m, 2m e 6m como indicado na figura abaixo. A medida dessa corda é: A) 9 metros B) 10 metros C) 11 metros D) 12 metros E) 13 metros 15. ( ENEM – 2010 ) Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior. Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a A) 12 cm B) 12 2 cm C) 24 2 cm D) 6(1 + 2 )cm E) 12(1 + 2 )cm 16. ( ENEM – 2010 ) Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central. Considere que os cabos ficaram perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração. Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24 m e 6 2 m e o lado da base da plataforma mede 19 2 m, então a medida, em metros, de cada cabo será igual a A) 288 B) 313 C) 328 D) 400 E) 505 17. (ENEM-2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura. Considere que BDAC 5 7 e que L é a medida de um dos lados da base da bandeja. Qual deve ser o menor valor da razão para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez? 18. A logomarca de uma empresa é composta de círculos tangentes, como indicados na figura abaixo. Essa empresa resolveu fazer chaveiros com o mesmo formato dessa logomarca, para presentear seus clientes. Se o raio do circulo menor deve medir 1cm, qual medida, aproximada, do raio dos outros dois círculos? ( considere 2 = 1,4 ) A) 2,5 cm e 6 cm B) 2,1 cm e 5,6 cm C) 2,8 cm e 6,2 cm D) 2,2 cm e 5,8 cm 3 m 2 m 6 m A B
- 99. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 99 19. ( Fuvest – SP ) Num plano são dadas duas circunferências de raios R e r cujos centros distam de um comprimento a, a > R + r. Uma reta tangencia as circunferências nos pontos P e Q e encontra o segmento que une seus centros. Determinar a distância PQ em função de a, R e r . 20. ( UFMG ) Os círculos C1, C2 e C3 são tangentes à reta r e entre si dois a dois. Se os raios de c1 e c2 valem 6 2 cm, o raio de c3, em cm é: a) 2 2 b) 4 27 c) 2 23 d) 3 24 e) 2 GABARITO 1) E 2) C 3) B 4) B 5) C 6) D 7) B 8) C 9) C 10) B 11) D 12) A 13) D 14) B 15) D 16) D 17) D 18) A 19) 22 )( rRa 20) C EXERCÍCIO 7 01. ( PUC - SP ) Na figura, AB é diâmetro da circunferência. O menor dos arcos AC mede: a) 100º b) 120º c) 140º d) 150º e) 160º 02. ( U. C. SALVADOR ) Sabendo que O1 e O2 são os centros das circunferências, calcule o valor de “x”. a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º 03. ( MACK - SP ) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então AMB é igual a: a) 50º b) 45º c) 60º d) 22º 30’ e) 30º 04. (UNIMONTES) Sendo O o centro do círculo, calcule o valor de x que aparece nos ângulos assinalados na figura abaixo. a) 12º b) 9º c) 18º d) 6º e) n.d.a 05. ( UFMG – 99 ) Observe a figura: Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos ABD e AÊD medem, respectivamente, 20º e 85º. Assim sendo, o ângulo DBˆC mede: a) 40º b) 25º c) 35º d) 30º c1 c2 r A B D E C C A B40º 6x + 48º 5x V B A O AB E D C M x O1 O2 80º
- 100. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 100 06. ( UFGO ) Se a corda AB da figura é um lado de um triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro em O, a medida do ângulo , em radianos é: a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 d) /3 e) /6 07. ( FEI – SP ) Na figura, ABCD é um quadrilátero inscrito num círculo; x e y são as medidas, em graus, de DCA ˆ e CDA ˆ , respectivamente. O valor de y – x é : a) 55º b) 35º c) 50º d) 42º 30’ e) 45º 08. ( UECE – 2000 ) Na figura, a reta MN é tangente à circunferência em P, a secante MQ passa pelo centro O da circunferência e a medida do ângulo QMP é 40º. A medida do ângulo QPN ˆ é igual a : a) 65º b) 60º c) 55º d) 50º 09. (UFMG) – Na figura A, B e D são pontos da circunferência de centro O e diâmetro AC, M é ponto médio da corda AB e o ângulo MDAˆ mede 35º. A medida x do ângulo BÂC em graus, é : a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 37,5 10. ( PUC – SP ) Na figura abaixo, AP é tangente e AB é secante à circunferência. Se o arco b = 100º e  = 50º, a medida do arco a, em graus, é igual a: a) 50 b) 60 c) 65 d) 75 e) 80 11. ( UFES ) Na figura, a medida de em graus é : a) 50º b) 52º c) 54º d) 56º e) 58º 12. ( UC - Salvador ) Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles de base BC e BD é a bissetriz do ângulo de vértice B. A medida do ângulo assinalado é: a) 55º b) 50º c) 45º d) 40º e) 35º 13. ( UFMG ) Observe a figura abaixo. Suponha que as medidas dos ângulos QSˆP , RSˆQ e RPˆS , assinalados na figura, sejam 45º, 18º e 38º, respectivamente. A medida do ângulo SQˆP , em graus, é: a) 38º b) 63º c) 79º d) 87º 14. ( CESGRANRIO ) As semi-retas PM e PN são tangentes ao círculo da figura e o comprimento do arco NGM é 4 vezes o do arco NFM . O ângulo NPˆM vale: a) 76º b) 80º c) 90º d) 108º e) 120º 40º 45º B A D C a bB P A M G P N F 32º 35º A D CB M P N O Q O A B S Q R P 38º 45º 18º B O M CA D
- 101. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 101 15. ( CESGRANRIO ) Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo . Se o arco BMA mede 130º, o ângulo mede : a) 25º b) 30º c) 40º d) 45º e) 50º 16. ( PUC – SP ) O pentágono ABCDE abaixo está inscrito em um círculo de centro O. O ângulo central CÔD mede 60º. Então x + y é igual a: a) 180º b) 185º c) 190º d) 210º e) 250º 17. ( UFMG ) De um ponto M, exterior a um círculo de centro O, traçam-se as tangentes MA e MB. Se a corda AB é um lado do pentágono regular inscrito nesse círculo, a medida do ângulo BMA ˆ é: a) 144º b) 120º c) 108º d) 96º e) 72º 18. ( MACK ) Na figura, temos um trapézio inscrito. Se o menor dos arcos AB = 60º, então o menor dos arcos MN mede: a) 90º b) 110º c) 120º d) 140º e) 150º 19. ( VUNESP ) Os pontos A, B, C, D, E, e F pertencem à circunferência. O valor de é ? 20. ( Cesgranrio ) Se, na figura, AB = 20º, BC = 124º, CD = 36º e DE = 90º, então o ângulo x mede: a) 34º b) 35º 30’ c) 37º d) 38º 30’ e) 40º 21. ( Fuvest - SP ) Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BÂC mede: a) 15º b) 30º c) 36º d) 45º e) 60º 22. ( MACK ) Na figura abaixo, tem-se m(BÂD) = 108º e m( CDˆA ) = 112º. A medida de CBˆE é: a) 68º b) 72º c) 108º d) 112º e) n.d.a 13) ( CESGRANRIO ) Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. A soma em radianos, dos ângulos e mostrados na figura é: a) /4 b) /2 c) d) 3/2 e) 2 GABARITO 1) A 2) C 3) E 4) A 5) B 6) A 7) A 8) A 9) A 10) E 11) E 12)D 13) C 14) D 15) A 16) D 17) C 18) C 19) 50º 20) C 21) B 22) D 23) C A B M N 75º A B C D E x E B A C D A M B O A C B F E D 120º 110º A B E O C D x y M O A B
- 102. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 102 EXERCÍCIOS 8 1) ( CESCEM ) Seja P o ponto de tangência da circunferência inscrita no triângulo ABC, com o lado AB. Se AB = 7, BC = 6 e AC = 8, quanto vale AP ? 2) Na figura, determine a medida do segmento BD sabendo que a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC, e que os lados AB, BC e AC medem respectivamente 6cm, 8cm e 10cm. 3) ( UFMG ) Na figura, o círculo está inscrito no triângulo ABC cujos lados medem AB = 9 cm, BC = 8 cm e AC = 5 cm e M é o ponto de tangência. A medida de MB é : a) 5 cm b) 5,5 cm c) 6 cm d) 6,5 cm 4) Na figura, PA = 10 cm. Calcule o perímetro do triângulo PRS sabendo-se que RS é tangente à . 5) Na figura, o círculo está inscrito no triângulo ABC, retângulo em A. Se BM = 6 m e MC = 4 m, o raio do círculo é : a) 1,8 b) 2,0 c) 2,2 d) 2,4 e) 2,5 6) Calcule o valor do raio r do círculo inscrito no trapézio retângulo abaixo. 7) ( F.C.M.S.C ) Na figura abaixo, o valor de d é : a) ab b) ab2 c) ab2 d) baa2 e) a2ab2 8) ( MACK – SP ) A hipotenusa de um triângulo retângulo é 8 e o raio do círculo inscrito é 2. O perímetro do triângulo é igual a: a) 28 b) 26 c) 24 d) 22 e) 20 9) ( EPUSP ) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma circunferência medem 9m e 6m. Cada um dos outros dois lados do trapézio mede: a) 4,5 m b) 6 m c) 7,5 m d) 8 m e) n.d.a 10) ( UFMS ) Na figura abaixo, tem-se uma circunferência inscrita num triângulo ABC, retângulo em A e isósceles. Se a hipotenusa do triângulo mede 8 2 cm, o raio da circunferência, em cm, é : a) 824 b) 284 c) 248 d) 236 A B D C AR S B P A 10 13 15B C D C A M B A C M B A B C a b d
- 103. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 103 11) A figura abaixo representa uma praça triangular. Nela deseja-se fazer um heliporto circular com a maior área possível. O raio desse círculo será? A) 3 metros B) 3,5 metros C) 4 metros D) 4,5 metros E) 5 metros 12) (ENEM – 2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça é igual a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 GABARITO 1) 4,5 2) 2 3) C 4) 20 5) B 6) 6 7) C 8) E 9) C 10) C 11) C 12) B EXERCÍCIO 10 7) ( UFRJ – 99 ) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2cm. Calcule a distância do vértice B ao vértice E . 8) ( PUC/RIO – 2001 ) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado a ? a) 2 b) 3 c) 2 d) 3a e) 2 a3. 9) ( UFPA ) Uma pista de atletismo está representada na figura abaixo, sendo que os arcos são semicircunferências. Nesse contexto, assinale a única alternativa correta. A) O contorno interno da pista é maior que 290 m. B) A área da região englobada pela pista é maior que 4500 m2 C) A área da pista é maior que 3200 m 2 D) O contorno externo da pista é menor que 350 m 10) (PUC – SP) A figura mostra um hexágono regular de lado a a diagonal AB mede ? a) 2a b) a 2 c) 2 3a d) a 3 24 m 10 m A B B C E A D
- 104. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 104 11. (FIP-2013) A quadratura do círculo Quando uma pessoa está fazendo um cálculo errado, absurdo, é comum dizer que ela quer “quadrar o círculo”. Essa expressão significa, simplesmente, que, dado um círculo, deve-se construir um quadrado que tenha exatamente a mesma área do círculo, usando somente uma régua não graduada e um compasso. É muito fácil construir um quadrado de área aproximadamente igual à de um círculo dado. Sobre a situação apresentada, três estudantes formularam as seguintes hipóteses: I – Abel: Para que um quadrado tenha área igual à de um círculo de raio 1, seu lado deve medir . II – Bianca: Se um círculo possui área igual a 4, a diagonal do quadrado de mesma área mede 22 . III – Camila: Um quadrado de lado igual a 5 possui mesma área de um círculo de raio igual a 5 . É correto o que é afirmado em: A)somente III. B) I e III somente C) I e II somente D) I, II e III. 12. (ENEM-2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura: Utilize 1,7 como aproximação para . O valor de R, em centímetros, é igual a A) 64,0. B) 65,5. C) 74,0. D) 81,0. E) 91,0. GABARITO 7) 26 8) A 9) D 10) D 11) D 12) C EXERCÍCIO 11 01. (UFRGS) Os babilônios utilizavam a fórmula A = (a + c).(b + d)/4 para determinar aproximadamente a área de um quadrilátero com lados consecutivos de medidas a, b, c, d. Para o quadrilátero da figura a seguir, a diferença entre o valor aproximado da área obtido utilizando-se a fórmula dos babilônios e o valor exato da área é a) 11/4. b) 3. c) 13/4. d) 4. e) 21/4. 02. ( UFMG ) Considere um trapézio isósceles ABCD, em que CDBCAB = 4 cm. Se AD = 8 cm, pode-se afirmar que a área do trapézio, em cm2 , é : a) 4 3 b) 6 3 c) 8 3 d) 12 3 e) 24 3 03. ( U. E. Londrina ) O Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa. É formado por cinco triângulos retângulos isósceles ( T1, T2, T3, T4 e T5 ), um paralelogramo ( P ) e um quadrado ( Q ) que, juntos, formam um quadrado, conforme a figura a seguir. Em relação às áreas das figuras, é correto afirmar : a) Se a área de Q é 1, então a área do quadrado maior é 4. b) A área de T1 é o dobro da área de T3. c) A área de T4 é igual à área de T5. d) A área de T5 é um quarto da área do quadrado maior. e) A área de P é igual à área de Q. 04. ( Conc. Publ./ MG – 2002 ) Para facilitar o cálculo da área de um terreno, representado pela figura poligonal fechada abaixo, foi superposto a ela um reticulado onde cada um de seus menores quadrados tem área igual a 10 m2 . A D B C
- 105. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 105 Utilizando-se esse recurso, a área desse terreno foi estimada em : a) 390 m2 b) 470 m 2 c) 510 m2 d) 630 m2 05. ( PUC – Poços / 2001 ) Na figura, o quadrilátero ABCD é um quadrado de lado medindo 4 m. O ponto E se desloca sobre o lado AB , em direção ao ponto A, a partir de B, de modo a formar o retângulo AEFG, em que EF = EB = x. A medida da área desse retângulo, expressa em função de x, é : a) 4 – x2 b) 2x – x2 c) 3x – x 2 d) 4x – x 2 e) n.d.a 06. (Escola Técnica Federal - RJ) O perímetro de um hexágono regular inscrito em um círculo de 25 cm2 de área é igual a a) 150 cm b) 75 cm c) 25 cm d) 15 cm e) 30 cm 07. ( Mack – 97 ) No hexágono regular da figura, a distância do vértice E à diagonal AC é 3. Então a área do polígono assinalado é: a) 6 b) 4 3 c) 5 3 d) 6 3 e) 8 3 08. ( CESCEM ) A figura abaixo representa um hexágono regular, inscrito num círculo de centro O e raio medindo 6 2 . A área da região assinalada na figura é : a) 72 – 32 3 b) 72 – 108 3 c) 96 – 32 3 d) 36 – 192 3 e) 36 – 32 3 09. ( Vunesp – SP ) Uma empresa tem o seguinte logotipo : Se a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado é 3 cm, a área, em cm 2 , de toda a região pintada de preto é : A) 9 – 4 9 B) 18 – 4 9 C) 18 – 2 9 D) 36 – 4 9 E) 36 – 2 9 10. ( U. E. Londrina ) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede a . Um dos arcos está contido em uma circunferência de centro C e raio a , e o outro é uma semi- circunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro a . A área da região hachurada é : a) Um quarto da área do círculo de raio a. b) Um oitavo da área do círculo de raio a. c) O dobro da área do círculo de raio 2 a . d) Igual a área do círculo de raio 2 a . e) A metade da área do quadrado. 11. ( MACK – 2001 ) Na figura, ABCD é um quadrado e o arco AP tem centro em D. Se a área assinalada mede 8 4 , o perímetro do quadrado é igual a: A) 2 B) 4 2 C) 4 D) 2 E) 8 A B C D EF O A D B C P A B D C A B D C E FG
- 106. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 106 12. ( MACK – SP ) É dado um hexágono regular de lado 2. A área da figura que se obtém eliminando do hexágono a sua interseção com os 6 círculos de raios unitários e centros, respectivamente, nos vértices do hexágono é : a) 6 3 – 2 b) 3 6 – c) 6 – 3 d) 6. ( 3 – ) e) n. d. a 13. ( Mackenzie – SP ) Na figura a seguir, os círculos internos são iguais e a região assinalada tem área 8( – 2). Então a área do círculo externo é: a) 20 . b) 16 . c) 8 . d) 4 . e) 2 . 14. ( Cesgranrio ) O polígono a seguir, em forma de estrela, tem todos os lados iguais a 1 cm e todos os ângulos iguais a 60° ou 240°. Sua área é: a) 3 cm 2 b) 3 3 cm2 c) 6 cm2 d) 6 3 cm 2 e) 9 cm 2 15. ( UFRJ ) O Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto em sete peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. A figura B é obtida a partir da figura A por meio de translações e rotações de seis dessas peças. A razão da área da figura A para a área da figura B é: a) 8/7 b) 8/6 c) 7/6 d) 1 e) 8/9 16. ( CFTCE ) Calcule a área hachurada da figura, sabendo-se que "O" é o centro das circunferências e OA = 4 cm e AB = 5 cm. a) 65 / 2 cm2 b) 63 / 2 cm 2 c) 61 / 2 cm2 d) 59 / 2 cm 2 e) 57 / 2 cm2 17. ( UFRS ) Na figura abaixo, C é o centro do círculo, A é um ponto do círculo e ABCD é um retângulo com lados medindo 3 e 4. Entre as alternativas, a que apresenta a melhor aproximação para a área da região sombreada é a) 6,5 b) 7,0 c) 7,5 d) 8,0 e) 8,5 18. ( CFTMG ) O quadrilátero ABCD da figura abaixo tem 16 cm2 de área. M e N são pontos médios dos lados CD e BC respectivamente. A área do triângulo AMN, em cm2 , é a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 19. ( CFTMG ) Na figura seguinte, o quadrado ABCD tem área igual a 100 cm 2 . Sabe-se que AE = AF e que as medidas de AE e EB estão na razão de 1 para 4. A área do quadrilátero CEFD, em cm2 , é a) 58 b) 63 c) 64 d) 70
- 107. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 107 20. ( PUC – MG ) O ponto O é o centro de uma circunferência de raio r, conforme a figura. A área da região sombreada, em função de r, é: a) (r2 )/4 b) [r 2 ( – 2)]/4 c) [r2 ( – 2)]/2 d) [r 2 ( + 4)]/2 21. ( UFG – 2000 ) Um quadrado de 4 cm de lado é dividido em dois retângulos. Em um dos retângulos, coloca-se um círculo tangenciando dois de seus lados opostos, conforme figura abaixo. Determine o raio que o círculo deve ter, para que a soma das áreas do círculo e do retângulo, que não o contém, seja a menor possível. 22. ( UFJF – 2001 ) Na figura abaixo, temos que os arcos ADB, BEC e ABC são semicircunferências de diâmetros AB , BC e AC , respectivamente. Mostre que a área sombreada é igual à área do triângulo ABC inscrito na semicircunferência ABC. 23. ( UEL – PR ) Uma lembrança de festa foi confeccionada em cartolina a partir de um hexágono regular de lado igual a 3 cm. Com centro em cada vértice foram construídos semicírculos com raio igual ao lado do hexágono. A seguir, foi retirada a região do semicírculo que ficava por baixo do semicírculo seguinte, resultando a figura abaixo. Use o valor 3,14 para e 1,73 para 3 . A alternativa que contém o valor mais aproximado da área total da figura é : a) 113,04 cm2 b) 108,14 cm 2 c) 103,22 cm 2 d) 84,78 cm2 e) 82,52 cm2 GABARITO 1) C 2) D 3) E 4) C 5) D 6) E 7) C 8) B 9) B 10) B 11) C 12) A 13) B 14) B 15) A 16) A 17) C 18) A 19) A 20) B 21) 4/ 22) 23) C PROGRESSÃO ARITMÉTICA A B D C E
- 108. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 108 01. (UECE/2011) Se os números x1, x2 e x3 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, com x2 = 1, então o valor de 9log (x1+ x2 + x3) é: A) 0. B) 1/2. C) 1. D) 3/2. E) 5/2. 02. (IBMEC SP/2011) Um número triangular é um inteiro da forma 2 )1n(n , sendo n um inteiro positivo. Considere a tabela: A soma dos algarismos de X é A) 10. B) 11. C) 12. D) 13. E) 14. 03. (PUC MG) A soma de três números naturais em progressão aritmética é trinta; a diferença entre o maior e o menor destes números é doze. O menor termo dessa progressão é igual a: A) 2. B) 3. C) 4. D) 5. E) 6. 04. (PUC PR) O 4.º e o 9.º termos de uma progressão aritmética crescente são as raízes de x2 - 8x - 9 = 0. O 1.º termo desta progressão é: A) -1. B) -5. C) -3. D) -9. E) -7. 05. (UNESP SP) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3.000 e 1.100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de A) Março. B) Maio. C) Julho. D) Setembro. E) Novembro. 06. Acompanhando o desenvolvimento de uma população de vírus, certo biólogo montou a seguinte tabela, que apresenta o número de vírus ao final de cada um dos 5 primeiros minutos: Supondo-se que o ritmo de crescimento dessa população tenha continuado a obedecer a essa mesma lei, o número de vírus, ao final de 50 minutos, era: A) 87. B) 90. C) 197. D) 200. E) 210. 07. (PUC SP) Sobre as casas de um grande tabuleiro de xadrez devem ser colocados grãos de arroz, em quantidades que obedeçam a uma lei de formação sequencial, conforme é mostrado na figura seguinte. A quantidade de grãos de arroz que devem ser colocados na casa em que se encontra o ponto de interrogação é um número compreendido entre A) 170 e 175. B) 175 e 180. C) 180 e 185. D) 185 e 190. E) 190 e 195. 08. (PUC PR) Qual a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 1 e 100? A) 735. B) 742. C) 728.
- 109. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 109 D) 749. E) 746. 09. (FGV /2005) A tabela indica a sequência de teclas digitadas em uma calculadora (da esquerda para a direita) e o resultado apresentado no visor após a sequência: Sabendo que X e Y representam dois algarismos de 0 a 9, e que após digitarmos X + Y seguido de 20 vezes a digitação da tecla = obtivemos o número 87, é correto afirmar que X + Y é igual a: A) 12. B) 11. C) 10. D) 9. E) 8. 10. (IBMEC SP) Considere a sequência de matrizes abaixo: O maior número que constará da 27ª matriz é: A) 222. B) 220. C) 216. D) 214. E) 208. 11. (UFV MG) Os números inteiros x + 1, 2x e 5, nesta ordem, formam uma progressão aritmética. O valor de x 2 é: A) 9. B) 4. C) 1. D) 0. E) -2. 12. (MACK SP) Na sequência (a1, a2, a3, ....), de décimo termo 92, tem-se que a2 – a1 = 2, a3 – a2 = 4, a4 – a3 = 6 e assim sucessivamente. O valor de a1 é A) 2. B) 0. C) 8. D) 1. E) 3. 13. (UNIFESP SP) A soma dos termos que são números primos da sequência cujo termo geral é dado por an = 3n + 2, para n natural, variando de 1 a 5, é: A) 10. B) 16. C) 28. D) 33. E) 36. 14. (UNIMONTES MG) Se ( 3 – x, x, x9 ) é uma progressão aritmética, seu 6.º termo é A) 5. B) −5. C) 0. D) 3. E) 6. 15. (MACK SP) No primeiro semestre deste ano, a produção de uma fábrica de aparelhos celulares aumentou, mês a mês, de uma quantidade fixa. Em janeiro, foram produzidas 18.000 unidades e em junho, 78.000. Se a fábrica exporta 30% de sua produção mensal, o total de aparelhos celulares exportados nos meses de março e abril foi: A) 32.400. B) 30.600. C) 24.500. D) 26.200. E) 28.800. 16. (Unifra RS/2012) O décimo sexto elemento da sequência abaixo tem uma quantidade de cubos igual a A) 73. B) 74. C) 75. D) 76. E) 77. 17. (UEPB) Programado para soar de 20 em 20 minutos, um relógio soou às 10 h e 30 min. A partir desse horário quantos toques serão dados até às 15 h e 30 min? A) 51. B) 31. C) 25. D) 15. E) 11.
- 110. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 110 18. (UFAM) Durante 13 dias, um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele percorre 30 km; no segundo, 45 km; no terceiro, 60 km; e assim sucessivamente, até o último dia, quando percorre x km. Então o valor de x/10 é: A) 35. B) 30. C) 45. D) 60. E) 21. 19. (Anhembi Morumbi SP/2013) Uma pessoa está tomando diariamente 500 mg de um medicamento e, por ordem médica, diminuirá gradativamente a dosagem, até parar de usá-lo. Isso será feito da seguinte maneira: do 1.º ao 7.º dia, tomará 480 mg por dia, do 8.º ao 14.º dia reduzirá para 460 mg diárias, do 15.º ao 21.º dia tomará diariamente 440 mg, e assim sucessivamente até parar de ingerir o medicamento. Contando a partir do primeiro dia em que essa pessoa passou a tomar 480 mg, o número de dias que ela ainda tomará o medicamento será A) 178. B) 182. C) 172. D) 168. E) 164. 20. (OSEC-SP) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 metros da primeira roseira e cada roseira dista 2 metros da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde ele terá andado: a) 1200 m b) 1180 m c) 1130 m d) 1110 m e) 1000 m 21. (UNIFESP) Se os primeiros quatro termos de uma progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o quociente d/b é igual a A) 1/4 B) 1/3. C) 2. D) 7/3. E) 5. 22. (UFPel RS/2005) Durante anos, paleontólogos vêm buscando indícios que possam ajudar a desvendar o mistério da verdadeira origem do homem. A partir de várias investigações, foi possível conhecer algumas espécies de hominídeos, estimar altura e capacidade craniana. A ilustração abaixo mostra uma sequência da evolução da espécie, com relação à altura. Sabendo que as alturas estão em progressão aritmética, que a sua soma é 4,59 m e que a razão entre elas é 0,26 m, analise as afirmativas abaixo. I. A altura do Homo habilis é 1,27 m. II. O Homo sapiens é 0,52 m mais alto do que o Homo habilis. III. A altura do Homo erectus é a média aritmética das alturas do Homo sapiens e do Homo habilis. IV. A altura do Homo sapiens é 1,53 m. Estão corretas apenas as afirmativas A) I, II e III. B) II, III e IV. C) I e II. D) I e III. E) III e IV. 23. (UNIFOR CE) Em uma progressão aritmética em que a2 = 3 e a3 = 2, é verdade que A) a5 = – 1. B) a10 = – 6. C) a15 = – 15. D) a50 = – 45. E) a100 = –99. 24. (UNIFOR CE) Um casal tem três filhos cujas idades estão em progressão aritmética. Se a soma dessas idades é 36 anos e o filho mais velho tem 16 anos, quantos anos tem o filho mais novo? A) 6. B) 8. C) 10. D) 12. E) 14. 25. (UNIFOR CE) Considere o seguinte problema: “As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 2. Determinar essas medidas”. É verdade que esse problema A) não tem solução. B) admite infinitas soluções. C) admite duas soluções sendo que em uma delas o menor cateto mede 5 cm.
- 111. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 111 D) admite uma única solução, em que o maior cateto mede 6 cm. E) admite uma única solução, em que a hipotenusa mede 10 cm. 26. (UNIFOR CE) Em um triângulo, as medidas dos ângulos internos estão em progressão aritmética. Se a menor dessas medidas é 10º, a maior delas é A) 90º. B) 100º. C) 110º. D) 120º. E) 130º. 27. (UNIFOR CE) Hoje, as idades de três irmãos, em anos, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 3. Se daqui a 5 anos, a soma de sua idades for igual a 57 anos, atualmente, a idade do mais A) velho é 18 anos. B) jovem é 13 anos. C) velho é 16 anos. D) jovem é 11 anos. E) velho é 14 anos. 28. (UFCG PB) Num período de 10 meses consecutivos, uma fábrica deseja produzir 60.000 pares de calçados, de modo que a produção a cada mês (a partir do segundo) seja 900 pares a mais, em relação ao mês anterior. Nessas condições, a produção ao final do primeiro mês deve ser de A) 1.980 pares. B) 1.950 pares. C) 1.910 pares. D) 1.890 pares. E) 1.850 pares. 29. (UNIUBE MG) Um estacionamento cobra R$ 15,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora os preços caem em progressão aritmética, sendo que o valor da segunda hora é R$ 10,00 e o valor da décima segunda é R$ 4,00. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, o seu proprietário gastará A) R$ 54,10. B) R$ 53,10. C) R$ 51,40. D) R$ 48,50. E) R$ 45,80. 30. (EFOA MG) Para angariar recursos para formatura, uma turma de 3º ano do ensino médio de um colégio organizou uma rifa, cujos bilhetes foram numerados de 3 em 3, de 100 a 997. Sabendo-se que os bilhetes foram vendidos a R$ 8,00 cada um e que foram vendidos 92% do total de bilhetes, o valor arrecadado com a rifa, em reais, foi: A) 2.304. B) 2.128. C) 2.248. D) 2.136. E) 2.208. 31. (PUC RS) As medidas das alturas de três irmãos estão em Progressão Aritmética. Se o maior mede 1,68 m e o de medida média tem 1,60 m, então o menor mede, aproximadamente, A) 1,42m. B) 1,50m. C) 1,52m. D) 1,54m. E) 1,58m. 32. (MACK SP) As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se b é a medida do maior cateto, a área do triângulo é 33. (UNESP SP) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, foi: A) 15. B) 16. C) 17. D) 18. E) 26. 34. (PUC MG) Um restaurante, que só abre aos sábados, foi inaugurado no dia 02 de julho de 2005, quando recebeu 60 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a frequentar esse restaurante aumentou à razão de 12 pessoas por semana, até atingir a capacidade máxima de 180 pessoas, a qual
- 112. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 112 tem se mantido. Sem contar o da inauguração, o número de sábados transcorridos, até que a capacidade máxima fosse atingida pela primeira vez, foi: A) 10. B) 12. C) 14. D) 16. E) 18. 35. (UFU MG) Sabendo-se que o quinto e o oitavo termos de uma progressão aritmética crescente são as raízes da equação x2 – 14x + 40 = 0, seu terceiro termo é: A) –2. B) 0. C) 2. D) 14. E) –35. 36. (PUC RS) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui A) R$ 200,00. B) R$ 180,00. C) R$ 150,00. D) R$ 120,00. E) R$ 100,00. 37. (UEPB) Com o intuito de atrair mais clientes, um estacionamento de veículos adotou a seguinte regra de pagamento para as primeiras 10 horas: 1ª hora: valor a pagar R$ 3,00 2ª hora: valor a pagar R$ 2,50 A partir daí, cada hora terá um desconto de R$ 0,20. Quanto pagará um cliente se estacionar o seu carro por 8 horas? A) R$ 10,00. B) R$ 15,00. C) R$ 14,50. D) R$ 16,30. E) R$ 19,20. GABARITO 1) B 2) B 3) C 4) E 5)D 6)C 7) A 8) A 9)B 10)D 11)B 12) A 13) D 14) A 15) E 16) D 17) D 18) E 19) D 20) B 21) D 22) A 23) D 24) B 25) E 26) C 27) D 28) B 29) C 30) E 31) C
- 113. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 113 PROGRESSÃO GEOMÉTICA 01. (PUC) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P.G. é chamada: A) decrescente B) crescente C) constante D) alternante E) singular 02. (Vunesp – SP) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo: Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha. 03. (PUC-RIO) A sequência 10x , 10x+1 , 10x+2 ,... representa: A) uma progressão aritmética de razão 10. B) uma progressão aritmética de razão 1. C) uma progressão geométrica de razão 10. D) uma progressão geométrica de razão 1. E) nem progressão aritmética nem progressão geométrica. 04. (UE – PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro? 05. (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é: A) -1700 B) -850 C) 850 D) 1700 F) 750 06. (UDESC) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é: A) 2 B) 10 C) 5 D) 4 E) 6 07. ( UNESP ) No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 08. (PUC - RIO) Na sequência 1, 3, 7,..., cada termo é duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a 15. Então o décimo termo é: A) 1000 B) 1002 C) 1015 D) 1023 E) 1024 09. (UDESC) Os termos (a, b, c) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente, cuja soma é igual a 21. Então os termos cb,ac, b2 ca formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão igual a: A) -2 B) 2 C) 16 D) 4 E) -4 10. (FUVEST) Numa progressão geométrica de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
- 114. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 114 11. (MACKENZIE) A sequência de números reais e positivos dada por ,...)2x2,11x,2x( 2 é uma progressão geométrica cujo sétimo termo vale: A) 96 B) 192 C) 484 D) 252 E) 384 12. (Viçosa - MG) A superfície de certa folha vegetal aumenta 50% de semana em semana. Ao final de 5 semanas de controle, foi medida sua superfície e obteve-se 30 cm². A superfície atingirá exatamente 60 cm²: a) somente após a 10ª semana b) entre a 9ª e a 10ª semana c) entre a 7ª e a 8ª semana d) entre a 6ª e a 7ª semana e) precisamente na 10ª semana 13. As idades de três irmãos são números inteiros que estão em PG. Se o produto dessas idades é 64 e a soma das idades dos dois mais velhos é 20, quantos anos têm cada um dos irmãos? 14. (UFES) Uma pesquisa acompanhou o crescimento de uma colônia de bactérias. Na 1º observação constatou-se um total de 1500 bactérias. Observações periódicas revelaram que a população da colônia sempre duplicava em relação à observação imediatamente anterior. Em que observação a colônia alcançou a marca de 375 x 255 bactérias? a) 50ª b) 54ª c) 58ª d) 62ª e) 66ª 15. (UFBA) Um jogador faz uma série de apostas e, na primeira vez, perde R$1,00; na segunda, duplica a aposta e perde R$2,00; na terceira, duplica a aposta anterior e perde R$4,00; e assim, sucessivamente, até ter perdido um total de R$255,00. Calcule quantas vezes o jogador apostou. 16. (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão a razão é A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 17. (PUC) De acordo com a disposição dos números abaixo, A soma dos elementos da décima linha vale: A) 2066 B) 5130 C) 10330 D) 20570 E) 20660 18. (PUC – MG ) Depois de percorrer um comprimento de arco de 12 m, uma criança deixa de empurrar o balanço em que está brincando. Se o atrito diminui a velocidade do balanço de modo que o comprimento de arco percorrido seja sempre igual a 80% do anterior, a distância total percorrida pela criança, em metros, até que o balanço pare completamente, é dada pela expressão: D = 12 + 0,80 × 12 + 0,80 × (0,80 × 12) + ... . Observando-se que o segundo membro dessa igualdade é a soma dos termos de uma progressão geométrica, pode-se estimar que o valor de D, em metros, é igual a: a) 24 b) 36 c) 48 d) 60 19. (UERJ) A figura 1 mostra um molusco 'Triton tritonis' sobre uma estrela do mar. Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqüência de semicírculos. O esquema na figura 2 indica quatro desses semicírculos.
- 115. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 115 Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...) formem uma progressão tal que (AB)/(BC) = (BC)/(CD) = (CD)/(DE) = (DE)/(EF) = ... Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE + ... será equivalente a: a) 2 + 3 b) 2 + 5 c) 3 + 3 d) 3 + 5 e) 5 + 3 20. ( Ufsm ) No piso do hall de entrada de um shopping, foi desenhado um quadrado Q1 de 10 m de lado, no qual está inscrito um segundo quadrado Q2 obtido da união dos pontos médios dos lados do quadrado anterior e, assim, sucessivamente, Q3, Q4, ..., formando uma sequência infinita de quadrados, segundo a figura. Dessa forma, a soma das áreas dos quadrados é de a) 25 m2 b) 25 2 m2 c) 200 m 2 d) 50 2 m2 e) 100 (2 + 2 ) m2 21. ( ITA – SP ) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 cm. A partir dele, constrói-se uma sequência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em cm 2 que está mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluído o triângulo inicial é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 22. ( FGV – SP ) Na equação 1 + 2 x1 1 + 22 x1 1 + ... = 2 o primeiro membro é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A soma das raízes da equação é : a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 23. ( UFU – MG ) Seja S(x) = x – x 3 + x 5 – x 7 + ... + (– 1)n x2n – 1 + ... uma série geométrica. Se S(x) = 6/13, então, o valor de x é: a) 3/2 b) 1/2 c) 1/3 d) 2/3 e) 5/3 24. (UNIFESP) No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas 1, 1/3, 1/9, 1/27, e assim por diante, conforme mostra a figura. O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito indefinidamente, é: a) 3 b) 5/2 c) 7/3 d) 2 e) 3/2 25. (UFR – RJ) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água ?
- 116. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 116 26. ( UNI – BH ) A construção de modelos de pontos para números pentagonais satisfaz a uma sequência lógica de etapa para a outra, conforme se pode observar no desenho abaixo: considerando-se o exposto, pode-se afirmar que o número de pontos a mais que se terá da quinta para a sexta etapa é ? 27. ( FEI – SP ) Um trabalho escolar de 150 páginas deverá ser impresso em uma impressora que apresenta os seguintes problemas: nas páginas 6, 12, 18, ... (múltiplos de 6) o cartucho de tinta amarela falha e nas páginas 8, 16, 24, ... (múltiplos de 8) falha o cartucho de tinta azul. Supondo-se que em todas as páginas do trabalho sejam necessárias as cores amarela e azul, quantas páginas serão impressas sem essas falhas? a) 105 b) 107 c) 113 *** d) 116 e) 120 GABARITO 1) A 2) 2048 3) C 4) 8500,00 5)B 6)A 7) E 8) D 9)D 10)3 11)B 12)D 13) 1, 4, 16 14) B 15) 8 16) C 17) C 18)D 19) D 20)C 21)A 22)A 23)D 24)E 25)60 26)19 27)C GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS 01. (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e vértices do poliedro é, respectivamente A) 34, 10 B) 19, 10 C) 12, 10 D) 19, 12 02. (UNIRIO) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices deste cristal é A) 35 B) 34 C) 33 D) 32 03. (PUCCAMP) Sobre as sentenças: I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas: A) II é verdadeira B) III é verdadeira C) I e II são verdadeiras D) II e III são verdadeiras 04. (PUCPR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual é o número total de faces desse poliedro? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 05. (UPE) Até 1985, as únicas formas conhecidas de organização de cadeias carbônicas puras e estáveis eram o diamante e o grafite. Nesse mesmo ano, três pesquisadores revelaram ao mundo a terceira forma estável de carbono além do diamante e do grafite. Os fulerenos, substância cuja molécula possui átomos de carbono nos vértices de um poliedro denominado de icosaedro truncado. Esse poliedro possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Pode-se afirmar que o número de vértices do icosaedro truncado é igual a A) 80 B) 60 C) 70 D) 90 06. (PUC-MG) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o 1ª ETAPA 2ª ETAPA 3ª ETAPA
- 117. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 117 número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 07. Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro? A) 54 B) 60 C) 64 D) 68 08. (UPF) É correto o que se afirma em: A) o tetraedro possui quatro faces quadrangulares. B) o tetraedro possui 12 arestas iguais. C) um poliedro regular que tem 6 faces quadrangulares tem 8 vértices. D) o hexaedro tem 6 faces triangulares. 09. (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a a) 11 b) 32 c) 10 d) 20 e) 22 10. (PUC-PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440°, então o numero de arestas desse poliedro é: a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4 11. (PUC – MG ) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 12. (UF – AM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 13. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a: A) 16 B) 18 C) 24 D) 30 E) 44 14. (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas. 15. (Puccamp) Sobre as sentenças: I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. é correto afirmar que APENAS a) I é verdadeira. b) II é verdadeira. c) III é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. e) II e III são verdadeiras. 16. (Ita – SP) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é: a) 10 b) 17 c) 20 d) 22 e) 23
- 118. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 118 GABARITO 1) B 2) D 3) D 4) D 5) B 6) A 7) B 8) C 9) E 10) A 11) 6 12) 12 13) A 14) E 15) E 16) C PRISMAS 01. ( ENEM – 2010 ) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de: A) 12 cm3 B) 64 cm3 C) 96 cm3 D) 1216 cm 3 E) 1728 cm3 02. (Mackenzie) O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números em progressão geométrica. A área total desse cubo é: A) 20 B) 48 C) 24 D) 18 E) 12 03. (Unesp) Sendo ABCDA'B'C'D' um cubo, calcular o seno do ângulo α. 04. (Mackenzie) Se, no cubo da figura, a distância entre as retas t e u é 23 cm, a área total desse cubo é: a) 150 cm2 b) 300 cm 2 c) 216 cm2 d) 180 cm 2 e) 280 cm2 05. (ENEM – 2009) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo com 1m de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte.
- 119. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 119 Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte? A) 10 viagens. B) 11 viagens. C) 12viagens. D) 24 viagens. E) 27 viagens. 06. (Enem) Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é: A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17 07. ( CEFET – PR ) A diferença entre as áreas totais de dois cubos é 270 cm 2 . Se a aresta do menor dos cubos mede 7 3 cm, então a diferença entre as diagonais é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08. (MACK) Aumentando em 1m a aresta de um cubo, a sua área lateral aumenta de 164 m2 . O volume do cubo original é: a) 6000m3 b) 7000m3 c) 8000m3 d) 12000m3 e) 16400m 3 09. ( UFES ) Uma formiga para na superfície de um cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve seguir para ir de um vértice a um vértice oposto tem comprimento: a) a 2 b) a 3 c) 3.a d) ( 1 + 2 ) a e) a 5 10. ( UFMG ) Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade. Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. Com base nessas informações, é correto afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários a) 40 min . b) 240 min . c) 400 min . d) 480 min . 11. ( Ufes – 2001 ) Um aquário em forma de paralelepípedo reto, de altura 50cm e base retangular horizontal com lados medindo 80cm e 60cm, contém água até um certo nível. Após a imersão total de uma pedra decorativa nesse aquário, o nível da água subiu 0,5cm sem que a água entornasse. O volume da pedra imersa é : a) 1.200 cm 3 b) 1.500 cm 3 c) 2.000 cm 3 d) 2.400 cm 3 12. ( Unirio ) Na fabricação da peça acima, feita de um único material que custa R$ 5,00 o cm 3 , deve-se gastar a quantia de: a) R$ 400,00 b) R$ 380,00 c) R$ 360,00 d) R$ 340,00 13. ( Unimontes – PAES ) Uma peça de madeira, com forma de paralelepípedo de base quadrada, foi seccionada determinando um cubo e um prisma quadrangular regular ( figura abaixo ). Sabendo-se que esse prisma forma com o plano da base um ângulo de 30º e que a área lateral do cubo é 48 cm 2 , é possível afirmar que o volume do prisma determinado é: a) 12 cm3 b) 4 cm3 c) 6 3 cm 3
- 120. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 120 d) 48 3 cm 3 14. (Enem) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir um reservatório fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a quantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído. Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado, a profundidade (›) do reservatório deverá medir A) 4m B) 5m C) 6m D) 7m E) 8m 15. ( UFMG ) Um tanque retangular, cuja base é um retângulo de 30 m por 20 m, está com água até o nível de 7,5 m. Se esse nível se eleva de 3 5 m quando um cubo sólido é completamente mergulhado no tanque, então a aresta do cubo mede: a) 7 m b) 8 m c) 9 m d) 10 m 16. ( FAFEOD – 2002 ) Observe a figura a seguir, que representa uma escada de concreto, compacta, formada de três blocos retangulares, possuindo três degraus, cada um medindo 25cm de altura, 30cm de piso e 1m de largura. Admitindo-se que o custo de cada metro cúbico de concreto seja R$ 200,00 , é correto concluir que na construção dessa escada, o gasto, em reais, relativo à compra de concreto será igual a : a) 80 b) 125 c) 90 d) 100 17. (PUCCAMP) De uma folha quadrada de papelão, com 60 cm de lado, devem ser cortados os quatro cantos, para montar a base inferior e as faces laterais de uma caixa de base quadrada, como mostram as figuras abaixo. Essa caixa será fechada com uma tampa de acrílico e, no seu interior, serão colocadas bolas com 3 cm de raio, acomodadas em uma única camada ou em várias camadas, dependendo da medida x da altura da caixa. Se todas as camadas devem ter o mesmo número de bolas, a maior quantidade de bolas que podem ser acomodadas é a) 72 b) 64 c) 48 d) 24 e) 16 18. (Ita – SP) As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm2 , então o volume deste paralelepípedo, em cm¤, é igual: A) 1.200 B) 936 C) 1.155 D) 728 E) 834 19. (FGV – SP) A soma das medidas das 12 arestas de um paralelepípedo reto-retângulo é igual a 140 cm. Se a distância máxima entre dois vértices do paralelepípedo é 21 cm, sua área total, em cm 2 , é a) 776. b) 784. c) 798. e) 812. 25 cm 30 cm 1m 20m7,5m 30m
- 121. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 121 20. (Uem) Uma indústria fabrica reservatórios sem tampa, em forma de paralelepípedos retângulos, de base quadrada, altura interna h = 5 m e capacidade para 180.000 litros. Os reservatórios são impermeabilizados interna e externamente, com exceção das bordas. Sabe-se que a espessura do material utilizado na confecção dos reservatórios é 10 cm e que, com uma lata de impermeabilizante, impermeabiliza-se exatamente 15 m£ de superfície. Quantas dessas latas de impermeabilizante, no mínimo, são necessárias para impermeabilizar um reservatório? 21. ( Fatec – SP ) Temos na figura abaixo a planificação de um sólido cujo volume é : a) 6 3 b) 12 3 c) 24 d) 18 3 22. ( UFBA ) Um prisma hexagonal regular tem para a altura a diagonal de um cubo de aresta “a”. Se o volume do cubo é igual ao do prisma, a aresta da base do prisma mede : a) a 3 b) 2 c) 3 3a d) 3 2a 23. (UFPEL) As embalagens abaixo, com a forma de prismas hexagonais regulares, têm a mesma capacidade de armazenamento. Sendo h1 = 4 3 cm, a1 = 2 3 cm e h2 = 3 3 cm, com relação à aresta a2 e à quantidade de material empregado na confecção das embalagens, abertas nas bases superiores, podemos afirmar que a) a2 = 4 3 cm e a embalagem 2 é menos econômica, pela quantidade de material empregado na sua confecção. b) a2 = 4 cm e a embalagem 2 é mais econômica, pela quantidade de material empregado na sua confecção. c) a2 = 4 cm e a embalagem 1 é mais econômica, pela quantidade de material empregado na sua confecção. d) a2 = 4 3 cm e é gasta a mesma quantidade de material, na confecção de cada embalagem. e) a2 = 4 cm e é gasta a mesma quantidade de material, na confecção de cada embalagem. 24. (Ufsc 2013) Uma conhecida marca de chocolate utiliza como embalagem um prisma regular de base triangular cuja aresta da base mede 3,5cm. Se sua altura tem o dobro do perímetro da base, então calcule sua área lateral. 25. (Ufjf 2012) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões 20 cm por 10 cm, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de catetos de medida 1cm. Calcule o volume da embalagem. 26. (Ufrj) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a 3 3 3 3 8
- 122. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 122 superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r. Justifique. 27. (Ufrs) A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume deste sólido é a) 20 3 b) 75 ** c) 50 3 d) 100 e) 100 3 GABARITO 1) D 2) E 3) 3 /6 4) C 5) C 6) C 7) C 8) C 9) E 10) C 11) D 12) B 13) D 14) D 15) D 16) C 17) A 18) C 19) B 20) 22 latas 21) D 22) D 23) B 24) 220,5 cm 2 25) 1980 cm 3 26) r = 6,25 27) B PIRÂMIDES 01. (Unirio) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m 3 , então, o volume do cubo, em m 3 , é igual a: a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 02. (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: a) H/6 b) H/3 c) 2H d) 3H e) 6H 03. (Ufrs) Na figura, O é o centro do cubo. Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é a) 1/2. b) 1/3. c) 1/4. d) 1/6. e) 1/8. 04. (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será: a) O triplo da do prisma. b) O dobro da do prisma. c) O triplo da metade da do prisma. d) O dobro da terça parte da do prisma. e) n.d.a 05. ( UNIV ) As faces laterais de uma pirâmide hexagonal regular são triângulos isósceles com área de 12cm² cada.A área lateral do sólido vale: a) 36 cm² b) 48 cm² c) 54 cm² d) 72 cm² e) 108 cm² 06. (ENEM/2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de
- 123. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 123 pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? A) 156 cm 3 . B) 189 cm 3 . C) 192 cm3 . D) 216 cm 3 . E) 540 cm 3 . 07. (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da base medindo 5 cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: a) 20 % b) 16 % c) 15 % d) 12 % e) 10 % 08. ( Fuvest – SP ) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular de base quadrada. O lado da base mede 8 metros e a altura da pirâmide 3 metros. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m 2 . Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas ( quebras e emendas ), qual o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado ? a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130 09. ( UNESP – SP ) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide reta de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 6 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3 ) necessário para a construção da pirâmide será a) 48 b) 36 c) 28 d) 12 e) 4 10. (Pucsp) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são: 1° - Sua base é um quadrado com 100 m de lado. 2° - Sua altura é de 100 m. Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m 3 , os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de: a) 40 anos. b) 50 anos. c) 60 anos. d) 90 anos. e) 150 anos. 11. (Unirio) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a: a) 2 7 b) 3 7 c) 4 7 d) 5 7 12. (Uerj) Leia os quadrinhos:
- 124. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 124 Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho- de-mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3 , igual a: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 13. (Ufrs) Considere uma pirâmide regular de base quadrada, construída a partir do padrão plano abaixo. Se a altura da pirâmide é o dobro do lado "a" da base, o valor de h no padrão é a) h = 2/17a b) h = 5a c) h = 2/22a d) h = 6a e) h = 5a/2 14. (UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179m. A área da base dessa pirâmide, em m2 , é: a) 13272 b) 26544 c) 39816 d) 53088 e) 79 432 15. (Uff) O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura. A aresta VA é perpendicular ao plano da base e tem a mesma medida do segmento AD. O seguimento AB mede 6cm. Determine o volume da pirâmide VACD. 16. (Ufrs) A figura abaixo representa a planificação de uma pirâmide de base quadrada com AB = 6 cm, sendo ADV triângulo equilátero. O volume da pirâmide é a) 12 3 . b) 27 3 . c) 36 3 . d) 72 3 . e) 108 3 . 17. (Ita) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 2cm. Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 45°. Então, a razão entre a área da base e a área lateral é igual a: a) 2 b) 1/3 c) 6 d) 2 /2 e) 3 /3 18. (Ufc) Um tetraedro regular tem arestas medindo 6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a: a) 1/2 cm b) 1 cm c) 3/2 cm d) 2 cm e) 5/2 cm 19. (Ufrj) O sólido representado na figura é formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular cuja base coincide com a face superior do cubo. O vértice O do cubo é a origem do sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxyz. Os vértices P, R e O' pertencem respectivamente aos semi-eixos positivos Ox, Oy e Oz. O vértice S tem coordenadas (2, 2, 8).
- 125. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 125 Considere o plano z = k que divide o sólido em duas partes de volumes iguais. Determine o valor de k. 20. (Unesp) As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que o tetraedro MBQR tenha volume igual a 1/3 do volume do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter BM igual a: a) 3/4 BA b) 2/3 BA c) 3/5 BA d) 1/3 BA e) 1/6 BA GABARITO 1) D 2) E 3)D 4) C 5) D 6) B 7) E 8) A 9) D 10) B 11) B 12) D 13) A 14) D 15) 72 3 cm3 16)C 17)D 18)D 19) 8/3 20) A CILINDROS E CONES 01. (UFGO) Para encher de água um reservatório que tem a forma de um cilindro circular reto são necessárias 5 horas. Se o raio da base é 3m e a altura 10m, o reservatório recebe água à razão de: a) 18π m3 por hora. b) 30π m3 por hora. c) 6π m3 por hora. d) 20π m3 por hora. e) Nenhuma. 02. (U.C.DOM BOSCO-DF) Um cilindro reto, cuja base é um círculo de raio R = 3m, tem 108π m3 de volume. Então, a área total desse cilindro é:
- 126. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 126 a) 126π m2 . b) 81π m2 . c) 72π m2 . d) 90π m 2 . e) 108π m2 . 03. (UFPA) O reservatório “tubinho de tinta” de uma caneta esferográfica tem 4mm de diâmetro e 10cm de comprimento. Se você gasta 5π mm 3 de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica durará: a) 20 dias b) 40 dias c) 50 dias d) 80 dias e) 100 dias 04. (PUCC-SP) Numa indústria, deseja-se utilizar tambores cilíndricos para a armazenagem de um certo tipo de óleo. As dimensões dos tambores serão 30cm para o raio da base e 80cm para a altura. O material utilizado na tampa e na lateral custa R$100,00 o metro quadrado. Devido à necessidade de um material mais resistente no fundo, o preço do material para a base inferior é de R$200,00 o metro quadrado. Qual o custo de material para a confecção de um desses tambores sem contar as perdas de material? a) R$235,50. b) R$24250. c) R$247,20. d) R$249,20. e) R$250,00. 05. (UE-CE) Um cone circular reto de altura 3 2 cm tem volume igual a 18 2 π cm 3 . O raio da base desse cone, em centímetros, mede: a) 2. b) 2 2 . c) 3. d) 3 2 . 06. (Ufg) Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras a seguir. Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois recipientes em forma de paralelepípedo, como representado na figura acima, a quantidade preparada, em litros, foi de (Use = 3,14) a) 1,01 b) 1,19 c) 1,58 d) 1,64 e) 1,95 07. (UEPG-PR) A área lateral de um cone de revolução é 600π cm 2 e sua geratriz te 25cm. O raio de sua base é: a) 20 cm. b) 25 cm. c) 24 cm. d) 27 cm. e) nenhuma. 08. (UFPA) Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro da base é 8m. Então, a área total, em metros quadrados, vale: a) 52π b) 36π c) 20π d) 16π e) 12π 09. (FUVEST-SP) O diâmetro da base de um cone é igual a geratriz. A razão da área total para a área lateral do cone é: a) 3/2 . b) 1/2 . c) 2/3 . d) 3/4 . e) 2 /3 . 10. (Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m 3 de água e 42 m 3 de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.
- 127. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 127 11. (UFG) Um produtor de suco armazena seu produto em caixas, em forma de paralelepípedo, com altura de 20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja trocar a caixa por uma embalagem em forma de cilindro, de mesma altura e mesma capacidade. Para que isso ocorra, qual deve ser o raio da base dessa embalagem cilíndrica? 12. (UFRGS) A superfície lateral de um cone de altura h, quando planificada, gera um semicírculo de raio 10. O valor de h é: a) 3 b) 3 c) 5 d) 5 3 e) 10 13. (Ita) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360 cm3 , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 3 cm2 , então, a área lateral da pirâmide mede, em cm 2 , a) 18 427 b) 27 427 c) 36 427 d) 108 3 e) 45 427 14. (UFRGS) Um cone circular reto é tal que cada seção obtida pela interseção de um plano que passa por seu vértice e pelo centro da sua base é um triângulo retângulo de catetos iguais. Se cortarmos esse cone ao longo de uma geratriz, abrindo e planificando sua superfície lateral, será obtido um setor circular cujo ângulo central tem medida x. Então: a) º180x b) º200xº180 c) º220xº200 d) º240xº220 e) º240x 15. (Unesp) Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a capacidade desse tonel, em litros é: a) 200. b) 300. c) 400. d) 500. e) 800. 16. (ACAFE) Uma dona de casa está preparando a festa de aniversário de seu filho. Com semicírculos de raio 12cm vai confeccionar copos de papel em forma de cone. Para 30 destes copos, a quantidade de papel necessário será de aproximadamente:(adote π = 3) a) 7.530cm2 . b) 8.500 cm2 c) 6.000 cm2 d) 6.480 cm2 e) 9.500 cm 2 17. (Ufrrj) Um copo cilíndrico tem 18 cm de altura, raio da base 2 cm e metade de seu volume ocupado por uma bebida. Colocando-se no copo uma pedra de gelo com a forma de um cubo de 2 cm de aresta e ficando o gelo completamente submerso, de quanto subirá o nível da bebida? Considere π = 3,14. 18. (FUVEST) Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é: a) 144° b) 192° c) 240° d) 288° e) 336° 19. (ACAFE) Um fazendeiro solicitou a um engenheiro o projeto de um depósito para estocar a ração de seus animais. A figura abaixo mostra o esboço do depósito criado pelo engenheiro. 12 m h = ?
- 128. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 128 A capacidade total desse depósito é de: a) 96 π m3 b) 24 π m3 c) 64 π m 3 d) 48 π m 3 e) 72 π m3 20. (Ufrrj) Uma empresa fabricante de óleo de soja mandou confeccionar miniaturas de seu produto, semelhantes às latas originais (cilíndricas com raio e altura variando na mesma proporção). Enquanto a altura das primeiras é de 24cm, a das miniaturas é de 6cm. O número de miniaturas que seriam necessárias para encher uma lata original é a) 4. b) 8. c) 16. d) 32. e) 64. 21. (EN) Um copo cilíndrico tem 6 cm de altura e tem uma circunferência da base medindo 16 cm. Um inseto está do lado de fora do copo, a 1 cm do topo, enquanto, do lado de dentro, a 5 cm do topo, está uma gota de mel. A gota e o inseto encontram-se em geratrizes do cilindro que são simétricas em relação ao eixo do cilindro. A menor distância que o inseto deve andar para a para atingir a gota de mel é: a) 10 cm b) 14 cm c) cm565 d) cm189 e) cm54 22. (Unesp) Um recipiente, na forma de um cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, está até à metade com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um cone circular reto, contém uma substância química que forma um cone de altura 27 cm e raio r (figura 2). a) Sabendo que R = (3/2)r, determine o volume da água no cilindro e o volume da substância química no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3.) b) A substância química do cone é despejada no cilindro, formando uma mistura homogênea (figura 3). Determine a concentração (porcentagem) da substância química na mistura e a altura h atingida pela mistura no cilindro. 23. (Uerj) Em um supermercado, podemos encontrar manteiga em dois tipos de embalagens de forma cilíndrica: - a menor tem raio da base medindo 4 cm, altura igual a 5 cm, contém 200 g e custa R$ 1,75; - a maior tem diâmetro da base medindo 10 cm, altura igual a 8 cm e custa R$ 4,00. Supondo que a densidade da manteiga seja constante, determine: a) a quantidade de manteiga, em gramas, contida na embalagem maior; b) a embalagem que apresenta o menor preço por unidade de medida. 24. (Uerj) Um lago circular com diâmetro de 40 m e profundidade uniforme de 3 m tem 80% de sua capacidade ocupada por água poluída que apresenta uma concentração de sais de mercúrio de 0,5 kg por litro. Uma indústria despeja no lago, a uma taxa de 10 L por segundo, água poluída com a mesma substância, porém com concentração de 1,5 kg por litro. a) Considerando π = 3, calcule o número de horas necessário para que o lago fique totalmente cheio. b) Supondo uma mistura homogênea, determine a concentração de sais de mercúrio no lago, no instante em que ele está cheio.
- 129. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 129 25. (Ufg) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 ml. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância aproximada entre duas dessas marcas consecutivas? 26. (Ufpe) O sólido ilustrado na figura abaixo foi obtido perfurando-se um cubo de aresta 4 com uma broca circular de raio 1, cujo o eixo passou pelos pontos médios de duas faces adjacentes do cubo. Indique o inteiro mais próximo do volume do cubo perfurado. (Dados: use as aproximações π = 3,14 e 2 = 1,41). 27. (Pucsp) O retângulo ABCD seguinte, representado num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é tal que A = (2; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (2; 0). Girando-se esse retângulo em torno do eixo das ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo volume é a) 24π b) 32π c) 36π d) 48π e) 96π 28. (Fuvest) Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado a seguir. Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A e B, respectivamente, tem-se: a) VA = 2 VB b) VB = 2 VA c) VA = VB d) VA = 4 VB e) VB = 4 VA 29. (Uff) Em certo posto de gasolina, há um tanque com a forma de um cilindro circular reto, com 5 m de altura e diâmetro da base 2 m, mantido na horizontal, sob o solo. Devido à corrosão, surgiu, em sua parede, um furo situado 13 cm acima do plano horizontal que o apoia, conforme ilustrado na figura: O combustível vazou até que seu nível atingiu a altura do furo, em relação ao plano em que o tanque está apoiado. Indicando-se por V o volume desse tanque e por v o volume do combustível restante, considerando- se 3 /2 = 0,87 e π = 3,14, pode-se afirmar que: a) 0,20 < v/V < 0,30 b) 0,10 < v/V < 0,20 c) 0,05 < v/V < 0,10 d) 0,01 < v/V < 0,05 e) v/V < 0,01 30. (Ufpr) A obtenção de lâminas de madeira para a fabricação de compensados consiste em se colocar uma tora em um torno e cortá-la, ao mesmo tempo em que é girada, com uma faca disposta paralelamente ao eixo da tora. O miolo da tora não é utilizável para a produção de lâminas.
- 130. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 130 Uma tora em forma de cilindro circular reto de 40 cm de diâmetro e 2 m de comprimento será utilizada para obter lâminas de 0,1 cm de espessura e 2 m de largura. Considere que: a parte utilizada da tora seja transformada em lâmina, sem perda de madeira; o miolo não utilizado da tora seja um cilindro circular reto com 10 cm de diâmetro; a lâmina obtida, quando estendida sobre uma superfície plana, seja um paralelepípedo retângulo de 0,1 cm de altura. Nessas condições, é correto afirmar: (01) O volume da tora é 0,08 π m 3 . (02) O volume da lâmina obtida é 0,075 π m 3 . (04) Quando se tiver utilizado 0,02 m3 da tora, o comprimento da lâmina obtida será 10 m. (08) De uma lâmina de 5 m de comprimento poderão ser recortadas 16 chapas retangulares de base 30 cm, altura 2 m e espessura 0,1 cm. (16) Durante o processo de obtenção da lâmina, a cada giro completo da tora corresponde um comprimento de lâmina, em centímetros, e a sequência desses comprimentos é uma progressão aritmética de razão - 0,1π Soma ( ) 31. (Ufg) Um recipiente sem tampa possui a forma de um cilindro circular reto e está parcialmente preenchido com água. O raio da base desse cilindro mede 5 cm, a altura mede 20 cm e a água ocupa 4/5 do volume do cilindro. A figura a seguir mostra esse recipiente inclinado até a posição em que o nível da água está na altura do ponto mais baixo da borda, de modo que uma inclinação adicional fará a água derramar. Nessa posição, o ângulo que uma geratriz do cilindro faz com a vertical é denotado por , e a altura do nível da água em relação ao plano horizontal é denotada por h. Considerando o exposto, julgue os itens a seguir: ( ) O volume da região não ocupada pela água no cilindro é 300 cm¤. ( ) O ângulo mede 45°. ( ) A altura h mede 15 cm. ( ) A medida do segmento de geratriz AB, da base do cilindro até o nível da água, é 12 cm. 32. (Ufal) Na figura abaixo têm-se duas vistas de um tanque para peixes, construído em uma praça pública. Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com altura de 1,2m e raios da base medindo 3m e 4m. Se, no momento, a água no interior do tanque está alcançando 3/4 de sua altura, quantos litros de água há no tanque? (Use: π = 22/7) a) 1.980 b) 3.300 c) 6.600 d) 19.800 e) 66.000 33. (Fgv) Deseja-se construir uma piscina de formato quadrado sendo 100m 2 a área do quadrado e 1,5m a profundidade. Se as paredes laterais e o fundo forem revestidos com azulejos de dimensões 15cm×15cm: a) Qual o número (aproximado) de azulejos necessários? b) Se a piscina fosse circular sendo 100m 2 a área do círculo e 1,5m a profundidade, qual seria o número (aproximado) de azulejos necessários para revesti-la? Adote o resultado: = 1,8. 34. (Ita) Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5cm do eixo e separa na base um arco de 120°. Sendo de 30 3 cm2 a área da secção plana retangular, então o volume da parte menor do cilindro seccionado mede, em cm¤, a) 30π - 10 3 . b) 30π - 20 3 . c) 20π - 10 3 . d) 50π - 25 3 . e) 100π - 75 3 . (Mackenzie) Na figura, a rotação completa do triângulo CBD em torno de åæ gera um sólido de volume:
- 131. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 131 a) 72π b) 108π c) 60π d) 144π e) 54 π GABARITO 1) A 2) D 3) D 4) A 5) D 6) D 7) C 8) B 9) C 10) 7m 11) 50 12) D 13) A 14) E 15) C 16) D 17) 0,63 18) D 19) B 20) E 21) A 22) a) volume da água no cilindro: 108r 2 cm 3 ; volume da substância química na mistura: 27r 2 cm 3 b) 20% ; h = 20 cm 23) a) 500g b) a embalagem maior apresenta o menor preço por unidade de medida 24) a) 2 horas b) 0,7 kg / L 25) 1,27 cm 26) 55 27) E 28) A 29) D 30) 15 31) F F F V 32) D 33) a) 7112 azulejos. b) 6845 azulejos. 34) E ESFERA 01. (Ufsm) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16π cm3 , o raio da esfera é dado por a) 3 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 4 + 2 cm 02. (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará: a) 21%.
- 132. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 132 b) 11%. c) 31%. d) 24%. e) 30 %. 03. (Uel) Na figura a seguir são dados uma esfera de centro O, uma reta que contém O e intercepta superfície esférica nos pontos A e B e um ponto C na superfície esférica. Em relação às medidas dos segmentos determinados na figura é sempre verdade que a) OC < OA b) OB > OA c) AC = OC d) OB = OC/2 e) AB = 2.OC 04. (Ufmt) A região sombreada na figura a seguir sofre uma rotação completa em torno do eixo y. Os pontos O = (0, 0); A = (1, 1); B = (0, 2); C = (1, 3); D = (0, 3) e E = (0, 1). OAB é uma semicircunferência com centro em E, conforme mostra a figura a seguir. Sendo V a medida do volume do sólido de revolução gerado, calcule o valor de (36/5π).V. 05. (Ufrj) Ping Oin recolheu 4,5m 3 de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em comemoração à chegada do verão no Pólo Sul. O boneco será composto por uma cabeça e um corpo ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3. Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas. 06. (Fgv) Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma exposição. Se, para o revestimento total do piso, utilizou-se 78,5 m2 de lona, quantos metros quadrados de lona se utilizaria na cobertura completa do galpão? (Considerar π = 3,14). a) 31,4 b) 80 c) 157 d) 208,2 e) 261,66 07. (Mackenzie) A altura de um cone reto é igual ao raio da esfera a ele circunscrita. Então o volume da esfera é: a) o dobro do volume do cone. b) o triplo do volume do cone. c) o quádruplo do volume do cone. d) 4/3 do volume do cone. e) 8/3 do volume do cone. 08. (Uerj) Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente, no interior de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Neste recipiente despeja-se a menor quantidade possível de água para que as esferas fiquem totalmente submersas, como mostra a figura.
- 133. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 133 Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente. A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, corresponde, aproximadamente, a: a) 10,6 b) 12,4 c) 14,5 d) 25,0 09. (Unesp) Em um tanque cilíndrico com raio de base R e altura H contendo água é mergulhada uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba 1/6 R, conforme mostra a figura. a) Calcule o raio r da esfera em termos de R. b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3/4 da altura do cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas à citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro sem transbordar. 10. (Ufrn) No final de um curso de Geometria, o professor fez um experimento para saber a razão entre os diâmetros de duas bolinhas de gude de tamanhos diferentes. Primeiro, colocou a bola menor num recipiente cilíndrico graduado e observou que o nível da água se elevou 1,5 mm e, logo em seguida, colocando a bola maior, observou que o nível da água subiu 12,0 mm. O professor concluiu que a razão entre o diâmetro da bola maior e o diâmetro da bola menor é igual a a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 11. (Ufrj) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura a seguir. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos. Justifique. 12. (Uerj) Na figura anterior, há um círculo de raio R e uma reta (e) que contém o seu centro - ambos do mesmo plano. Fez-se uma rotação de uma volta desse círculo ao redor da reta (e). O menor arco AB nele assinalado descreveu a superfície de uma calota esférica, cuja área pode ser calculada através da fórmula 2πRm, sendo m a projeção ortogonal do arco AB sobre a reta (e). a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo original, em função de R e m. b) Demonstre que a área da calota esférica gerada pelo arco AB é equivalente à área plana limitada por uma circunferência de círculo cujo raio tem a mesma medida da corda AB. 13. (Ufv) Considere as afirmações abaixo: I - A esfera de volume igual a 12π cm3 está inscrita em um cilindro equilátero cujo volume é 24π cm3 . II - A esfera de raio 4 3 cm circunscreve um cubo de volume igual a 64cm3 .
- 134. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 134 III - Dobrando o raio da base de um cilindro circular reto, o seu volume será quadruplicado. Assinalando V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas, obtém-se a seguinte sequência CORRETA: a) V F V b) F V F c) V V F d) F F V e) V V V 14. (Uerj) Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro igual a 6 cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica, com tampa. As bolas tangenciam a superfície interna da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a figura a seguir. Calcule: a) a área total, em cm 2 , da superfície da embalagem; b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas bolas. 15. (Uff) Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h - um cilindro, uma semi-esfera e um prisma - cujos volumes são V1, V2‚ e V3, respectivamente. A relação entre V1•, V2 e V3 é: a) V3 < V2 < V1• b) V2 < V3 < V1• c) V1 < V2 < V3 d) V3 < V1 < V2 e) V2 < V1 < V3 16. (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso. Nas figuras a seguir, os triângulos ABC e A'B'C' são equiláteros com lados medindo 3 cm, e DE e D'E' são arcos de circunferência com centro em O e raios iguais a 3 cm e 2 cm, respectivamente. Seja S1 o sólido obtido pela rotação de 360° do triângulo ABC em torno de I1•, S2 pela rotação de 360° de A'B'C' em torno de I2‚ e S3 pela rotação de 360° da região hachurada em torno de I3. Podemos afirmar que: ( ) S1 é obtido de um cone circular reto retirando-se dois outros cones circulares retos. ( ) O volume de S1 é igual ao volume do cone com raio igual a 3/2cm e altura igual 3 3 /2cm. ( ) S2 é obtido de um cilindro circular reto retirando-se dois cones circulares retos. ( ) A área da superfície de S2 é igual à área de um cone circular reto de raio 3 3 /2cm e altura 3cm. ( ) S3 é obtido de um hemisfério retirando-se outro hemisfério. 17. (Fuvest – SP) Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2 cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V. 18. (Uerj) Admita uma esfera com raio igual a 2 m, cujo centro O dista 4 m de um determinado ponto P. Tomando-se P como vértice, construímos um cone tangente a essa esfera, como mostra a figura.
- 135. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 135 Calcule, em relação ao cone: a) seu volume; b) sua área lateral. 19. (Uff) Considere duas superfícies S = ABCD e S' = E'B'C' obtidas, respectivamente, pelas interseções de um cilindro circular reto e de uma semi-esfera com semiplanos que formam um ângulo diedro de 60°, conforme as figuras a seguir. Tem-se: O - centro da base do cilindro OE - altura do cilindro OB - raio da base do cilindro O'E' - raio da semi-esfera OE = OB = O'E' Sendo área(S) a área da superfície S e área(S') a área da superfície S', calcule o valor de área(S)/área(S'). 20. (Ufrs) No desenho abaixo, em cada um dos vértices do cubo está centrada uma esfera cuja medida do diâmetro é igual à medida da aresta do cubo. A razão entre o volume da porção do cubo ocupado pelas esferas e o volume do cubo é a) π/6. b) π/5. c) π/4. d) π/3. e) π/2. 21. (Ufrs) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera. Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era a) 27/8 cm b) 19/6 cm c) 18/5 cm d) 10/3 cm e) 7/2 cm GABARITO 1) C 2) A 3) E 4) 22,6 5) Raio da esfera menor = 1/2 Raio da esfera maior = 1 6) C 7) C 8) C 9) a) r = R/2 b) 6 esferas. 10) A 11) π.y2 (3x - 2y)/12 12) a) Rm2AB 13) D 14) a) 126π cm 2 b) 2/3 15) E 16) V F V F V 17) 3 cm 3 4
- 136. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 136 18) a) 3π m3 b) 6π m2 19) 1 20) A 21) D TRONCO DE CONE E TRONCO DE PIRÂMIDE 1) ( FCMMG ) Observe a figura : Essa taça, cujo interior tem a forma de um cone, contém suco até a metade da altura do cone interno. Se o volume do cone interno é igual a V, então o volume do suco nele contido é: a) 16 V b) 8 V c) 4 V d) 2 V 2) ( UFMG ) Um reservatório de água tem forma de um cone circular reto, de eixo vertical e vértice para baixo. Quando o nível de água atinge a metade da altura do tanque, o volume ocupado é igual a . A capacidade do tanque é: a) 2 b) 3 8 c) 4 d) 6 e) 8 3) ( UnB – DF ) Um cálice tem a forma de um cone de revolução, de altura igual a 100mm e volume V1. Esse cálice contém um líquido que ocupa um volume V2 , atingindo a altura de 25mm, conforme mostra a figura. O valor do quociente 2 1 V V é: a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 4) ( FCC – SP ) Uma pirâmide de altura 6 e área da base 27 é interceptada por um plano, cuja distância ao vértice é 2 e que é paralelo ao plano da base. Qual o volume do tronco de pirâmide assim determinado ? a) 52 b) 48 c) 44 d) 40 e) 24 5) ( PUC – SP ) O recipiente abaixo, em forma de um cone circular reto, tem raio com 12 cm e altura com 16 cm. O líquido ocupa 8 1 do volume do recipiente. A altura x do líquido é: a) 1 cm b) 2 cm c) 4 cm d) 6 cm e) 8 cm 6) ( UEPI – PI ) Uma pirâmide de base quadrangular tem esta base com área de 64 cm 2 . Efetuando-se nesta pirâmide um corte a 6 cm da base, obtém-se 100mm x
- 137. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 137 uma secção transversal com área de 16 cm 2 . A altura da pirâmide, então, é de : a) 8 cm b) 10 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm 7) ( PUC – SP ) Um quebra-luz é um cone de geratriz medindo 17 cm e altura com 15 cm. Uma lâmpada acesa no vértice do cone projeta no chão um círculo de 2 metros de diâmetro. A que altura do chão se encontra a lâmpada? a) 1,50 metros b) 1,87 metros c) 1,90 metros d) 1,97 metros e) 2,00 metros 8) ( UFAL ) Na figura abaixo tem-se, apoiado no plano , um cone circular reto cuja altura mede 8 cm e cujo raio da base mede 4 cm. O plano é paralelo a e a distância entre os dois planos é de 6 cm. O volume do cone que está apoiado no plano é, em centímetros cúbicos, igual a a) / 3 b) / 2 c) 2 / 3 d) 3 / 4 e) 4 / 5 9) ( PUC – SP ) Um cone reto cuja geratriz mede 15 cm e o raio da base mede 9 cm, é interceptado por um plano paralelo à base, distando 4 cm de seu vértice. O volume do tronco de cone obtido dessa interseção é, em cm3 : a) 246 b) 312 c) 324 d) 348 e) 421 10) ( Cesgranrio ) Um tanque cônico, de eixo vertical e vértice para baixo, tem água até a metade de sua altura. Se a capacidade do tanque é de 1200 litros, então a quantidade de água nele existente, em litros, é de : a) 600 b) 450 c) 300 d) 200 e) 150 11) ( Vunesp – SP ) Cortando um cone reto com um plano paralelo à base e distante H/2 da base, onde H é a altura do cone, obtemos um círculo de área A. O volume V do cone é igual a: a) (A.H)/3 b) (2.A.H)/3 c) A.H d) (4.A.H)/3 e) (5.A.H)/3 12) ( Vunesp – SP ) É dada uma pirâmide de altura H, H = 9 cm, e volume V, V = 108 cm 3 . Um plano paralelo à base dessa pirâmide corta-a determinando um tronco de pirâmide de altura h, h = 3 cm. Qual o volume do tronco de pirâmide resultante ? 13) ( PUC – RS ) Uma secção paralela à base feita a 3 cm do vértice de uma pirâmide tem área igual a 1/3 da área da base. A altura da pirâmide é, em centímetros, igual a: a) 3 3 b) 5 c) 2 6 d) 2 3 e) 3 14) ( Fuvest – SP ) Qual das expressões seguintes dá o volume do tronco de cone circular de bases paralelas em função de H, R, h, r ? a) /3[ HR2 + (H – h) r2 ] b) /3[ HR2 – (H + h) r2 ] c) /3[ HR2 – (H – h) r2 ] d) /3[ HR2 + (H + h) r2 ] e) n.r.a 15) ( UCMG ) A área lateral de um tronco de cone circular reto de altura 4 cm, raio maior 8 cm e raio menor 5 cm é, em cm2 , igual a: a) 45 r H h R 17 15 6 cm
- 138. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 138 b) 55 c) 65 d) 75 e) 85 16) ( PUC – RJ ) Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone circular invertido, de eixo vertical, e está cheio até a boca ( nível do solo ) com 27000 litros de água e 37000 litros de petróleo ( o qual é menos denso que a água ). Sabendo que a altura total do tanque é 8 m e que os dois líquidos não são miscíveis, a altura da camada de petróleo é : a) 6 metros a) 2 metros b) 3 metros c) 1 metro d) 4 metros 17) ( Unicamp – 95 ) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem altura igual a 20 cm. Utilizando-se a base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a 5 cm. O volume do cubo nessas condições é: a) 1000 b) 1728 c) 2197 d) 3375 18) ( Fuvest – SP ) Um copo tem a forma de um cone com 8 cm de altura e 3 cm de raio da base. Queremos enchê-lo com quantidades de água e suco iguais. Para que isso seja possível a altura h atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser: a) 8/3 b) 6 c) 4 d) 4 3 e) 4 3 4 19) ( Cesgranrio – RJ ) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo? a) 5 minutos b) 10 minutos c) 15 minutos d) 20 minutos e) 30 minutos 20) ( Cesgranrio – RJ ) Um recipiente cônico, com altura igual a 2, contém água até a metade de sua altura ( Fig. I ). Invente-se a posição do recipiente, como mostra a figura II. A distância do nível da água ao vértice, na situação da figura II é : a) 2 3 b) 2 3 c) 3 d) 3 7 e) 3 6 21) ( Fuvest – SP ) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios 6 cm e 3 cm. Sabendo que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule: a) a altura do tronco de cone b) o volume do tronco de cone 22. Um cone oco, fechado e com 12 cm de altura, contém água até a metade dessa altura (figura 1). Se solo Figura I Figura II
- 139. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 139 esse cone for colocado de forma invertida (figura 2), o valor da altura da parte sem água é : A) 3 7.6 B) 3 6.7 C) 3 4.6 D) 3 6.4 GABARITO 1) B 2) E 3) E 4) A 5) E 6) C 7) B 8) C 9) B 10) E 11) D 12) 76 cm3 13) A 14) C 15) C 16) B 17) A 18) E 19) A 20) D 21) a) k = 4 cm b) 84 cm 3 22) A ANÁLISE COMBINATÓRIA 01. ( PAES – 2009 ) Numa festa de aniversário com 25 crianças, podemos afirmar: A) pelo menos 3 crianças nasceram num mesmo mês. B) pelo menos 4 crianças nasceram num mesmo mês. C) pelo menos 5 crianças nasceram num mesmo mês. D) no máximo, 3 crianças nasceram num mesmo mês. 02. (Esaf-MPU) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é A) 6. B) 4. C) 2. D) 8. E) 10. 03. (UFSJ) O código Morse, inventado por Samuel Morse em 1834, usa dois símbolos, ponto e traço, para representar letras e sinais de pontuação da linguagem escrita, combinando, para tal efeito, de um a quarto desses símbolos. Considerando-se essa informação, é CORRETO afirmar que o número total de letras e sinais de pontuação possíveis representados dessa forma pelo código Morse é igual a: A) 30 B) 24 C) 28 D) 36 04. (FUVEST) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso: 1 - A família Sousa quer ocupar um mesmo banco; 2 - Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a a) 1152 b) 1828 c) 2412 d) 3456 e) 3654 05. (UFPE) Na figura a seguir temos um esboço de parte do centro da cidade do Recife com suas pontes. As setas indicam o sentido do fluxo de tráfego de veículos. De quantas maneiras, utilizando apenas o esboço, poderá uma pessoa ir de carro do ponto A ao ponto B (marco zero) e retornar ao ponto de partida passando exatamente por três pontes distintas? A) 8 B) 13 C) 17 D) 18 E) 20 06. (UFMG) Observe o diagrama. 12 FIGURA 1 FIGURA 2 h = ?
- 140. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 140 X R Y Z S O número de ligações distintas entre X e Z é : a) 39 b) 35 c) 45 d) 41 07. ( UNIRIO ) Nos anos de 1987 e 1988, discutiu-se na Assembleia Nacional Constituinte a criação de um novo estado na Região Sudeste. Resultante da divisão do Estado de Minas Gerais, este receberia o nome de Estado do Triângulo e o novo mapa da região Sudeste seria como na figura a seguir: Suponha que um cartógrafo pretenda colorir o novo mapa da região Sudeste, de acordo com as seguintes regras: (i) Cada Estado será colorido com uma cor. (ii) Estados com fronteira comum não podem ter a mesma cor. De quantos modos distintos este mapa pode ser colorido, usando, no máximo, 5 cores ? 08. ( UFRN ) Em virtude de uma crise financeira, uma fábrica dispõe de apenas quatro vigilantes para ocuparem sete postos de vigilância. Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um vigilante e que o posto da entrada principal não pode ficar desguarnecido, indique a opção correspondente ao número de maneiras distintas de que o chefe de segurança pode dispor para distribuir os vigilantes. Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas, os vigilantes ocupam os mesmos postos e cada posto é ocupado pelo mesmo vigilante; caso contrário, são ditas distintas. a) 35 b) 80 c) 480 d) 840 09. (UNIMONTES) O número de inteiros positivos, pares, que se escrevem com três algarismos distintos é: a) 320 b) 360 c) 328 d) 405 10. (ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: A) 681.384 B) 382.426 C) 43.262 D) 7.488 E) 2.120 11. (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por zero. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo- se que, em todas as farmácias, os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias é igual a: a) 540 b) 720 c) 684 d) 648 e) 842 12. ( ENEM – 2004 ) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura
- 141. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 141 O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 13. (ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma sequência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por: a) 226 . 310 b) 26 2 . 10 3 c) 226 . 210 d) 26! . 10! e) C26,2 . C10,3 14. ( FGV ) Uma pessoa vai retirar dinheiro de um caixa eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece o número. Lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é: a) 1680 b) 1344 c) 720 d) 224 e) 136 15. (ESAF) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma sequência de 5 símbolos distintos, formados de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da sequência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é: a) 115 b) 120 c) 150 d) 200 e) 249 16. (FIP-MOC) Considere a figura abaixo A sequência de pontos forma a letra A de nosso alfabeto. Existem n triângulos distintos com vértices nos pontos dessa figura. Qual é o valor de n? A) 286 B) 5 C) 242 D) 728 17. (Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em dois dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa, Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, a distribuição é a seguinte: - primeiro dia: Língua Portuguesa - Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia e Matemática; - segundo dia: História, Geografia, Química e Física. A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, com quatro por dia, de a) 1.680 modos diferentes. b) 256 modos diferentes. c) 140 modos diferentes. d) 128 modos diferentes. e) 70 modos diferentes. 18. (Uel 2006) Na formação de uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um certo número de membros, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. Faltam apenas dois partidos para indicar seus membros. O partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1 membro. Assinale a alternativa que apresenta o número de possibilidades diferentes para a composição dos membros desses dois partidos nessa CPI. a) 55 b) (40 - 3) . (15-1) c) [40!/(37! . 3!)]. 15 d) 40 . 39 . 38 . 15 e) 40! . 37! . 15!
- 142. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 142 19. (Ufmg 2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? a) 70 b) 35 c) 45 d) 55 20. (Ufv 2004) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrientes para obter um composto químico. O número de compostos que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é: a) 32 b) 28 c) 34 d) 26 e) 30 21. ( FIP – 2014 ) Numa fábrica, dentre os diretores há um casal. Oito deles serão selecionados para participar de um treinamento na área de gestão de projetos que será realizado no exterior. O casal, no entanto, só participará do treinamento se ambos forem convocados. O número de escolhas distintas que incluem o casal é igual ao número de escolhas que o excluem. O número de diretores existentes nessa fábrica é: A) 6 B) 8 C) 16 D) 17 E) 18 22. ( IFAP ) Considerando-se que uma sala de aula tenha trinta alunos, incluindo Roberto e Tatiana, e que a comissão para organizar a festa de formatura deva ser composta por cinco desses alunos, incluindo Roberto e Tatiana, a quantidade de maneiras distintas de se formar essa comissão será igual a A) 3.272. B) 3.274. C) 3.276. D) 3.278. E) 3.280. 23. (FIP – 2015) Do corpo clínico de um hospital, participam 12 cardiologistas e 8 endocrinologistas. Para atender às demandas, será criado um comitê de ética composto por 4 médicos do corpo clínico. O número de comitês de ética distintos que podem ser formados que contenham pelo menos um cardiologista é: A) 4845. B) 4325. C) 4565. D) 4635. E) 4775. 24. ( UFSM ) A reforma agrária ainda é um ponto crucial para se estabelecer uma melhor distribuição de renda no Brasil. Uma comunidade de sem-terra, após se alojar numa fazenda comprovadamente improdutiva, recebe informação de que o INCRA irá receber uma comissão para negociações. Em assembléia democrática, os sem- terra decidem que tal comissão será composta por um presidente geral, um porta-voz que repassará as notícias à comunidade e aos representantes e um agente que cuidará da parte burocrática das negociações. Além desses com cargos específicos, participarão dessa comissão mais 6 conselheiros que auxiliarão indistintamente em todas as fases da negociação. Se, dentre toda a comunidade, apenas 15 pessoas forem consideradas aptas aos cargos, o número de comissões distintas que poderão ser formadas com essas 15 pessoas é obtido pelo produto a) 13. 11. 7. 52. 32. 24 b) 13. 11. 7. 5. 3. 2 c) 13. 11. 72. 52. 33. 26 d) 13. 72. 52. 33. 26 e) 13. 11. 72. 5. 32. 23 25. (UFMG) Um teste é composto por 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se obter, pelo menos, 80% de acertos, o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas é a) 455 b) 576 c) 560 d) 620 26. ( Fuvest ) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, 3, ..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4(quadra), 5(quina) ou todos os 6(sena) números sorteados. Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os 38760 jogos
- 143. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 143 possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que TODOS os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena. a) Quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu? b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu? 27. (UFPA) No cartão da mega-sena existe a opção de aposta em que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita usando apenas seis números, a quantidade de cartões que o apostador deve apostar é (A) 8 (B) 25 (C) 28 (D) 19 (E) 17 28. (Ufc 2003) O número de maneiras segundo as quais podemos dispor 3 homens e 3 mulheres em três bancos fixos, de tal forma que em cada banco fique um casal, sem levar em conta a posição do casal no banco, é: a) 9 b) 18 c) 24 d) 32 e) 36 29. (Cesgranrio 2002) Um brinquedo comum em parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu responsável. De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os cinco bancos? a) 14 400 b) 3 840 c) 1 680 d) 240 e) 120 30. (Diamantina 2003) Considere a seguinte situação: Cinco meninos e cinco meninas terão aula de computação em um mesmo laboratório de informática, onde existem apenas cinco computadores. Em frente de cada computador, há um banco de dois lugares. O professor exige que, em cada banco, haja um menino e uma menina. Considerando os dados acima, é CORRETO afirmar que a quantidade total de modos diferentes de atender à exigência do professor é igual a a) 480.600 b) 350.400 c) 460.800 d) 340.500 31. ( Puc – mg ) Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas de aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O valor de x é: a) 180 b) 360 c) 440 d) 720 32. (UFSJ) O código Morse, inventado por Samuel Morse em 1834, usa dois símbolos, ponto e traço, para representar letras e sinais de pontuação da linguagem escrita, combinando, para tal efeito, de um a quarto desses símbolos. Considerando-se essa informação, é CORRETO afirmar que o número total de letras e sinais de pontuação possíveis representados dessa forma pelo código Morse é igual a A) 30 B) 24 C) 28 D) 36 33. ( MACK – SP ) Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das três primeiras colocações, são em número de: a) 426 b) 444 c) 468 d) 480 e) 504 34. ( UERJ ) Ana dispunha de papéis com cores diferentes. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses
- 144. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 144 papéis e embalou 30 caixinhas de modo a não usar a mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 embalagens. A menor quantidade de cores diferentes que ela necessitou utilizar para a confecção de todas as embalagens foi igual a: a) 30 b) 18 c) 6 d) 3 35. ( UNESP ) Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas condições, o número de maneiras possíveis e diferentes de se completarem as chaves é: a) 21. b) 30. c) 60. d) 90. e) 120. 36. (Fuvest 2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) 108 37. (UFMG) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o programador musical conta com 10 músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock e 3 de Pop. Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos programas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as 10 músicas. Assim sendo, é CORRETO afirmar que o número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas agrupadas por estilo é dado por a) 4! . 3! . 3! . 3! b) 10! / 7! c) 4! . 3! . 3! d) 10! / (7! . 3! ) 38. ( Ufrs ) No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas, e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A e B que passam por C é a) 12 b) 13 c) 15 d) 24 e) 30 39. ( Uff ) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês? a) 34.560 maneiras b) 30.240 maneiras c) 28.720 maneiras d) 26.430 maneiras e) 24.210 maneiras 40. (ENEM - 2011) O setor de Recursos Humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá- la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e em nenhum deles apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é a) 24 b) 31 c) 32 d) 88 e) 89 41. (FIP-2010) Os professores de Educação Física de uma escola, animados com o sucesso da Copa do Mundo, organizaram um torneio de futebol. Segundo o regulamento do torneio, todas as equipes deveriam enfrentar-se apenas uma vez, e a equipe com maior número de vitórias seria a campeã. Se durante toda a competição foram realizados 190 jogos, quantas equipes participaram do torneio? A) 40 B) 10 C) 20 D) 30 42. (FIP-2011) A dengue é considerada, na atualidade, um dos principais problemas de saúde pública de todo o mundo. Ela é uma doença infecciosa febril aguda, causada por um vírus da família Flaviridaee é transmitida através do mosquito Aedes aegypti, também infectado pelo vírus. Pensando nesse grave problema, um professor das FIP- Moc deseja realizar um trabalho sobre o combate à
- 145. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 145 dengue. A turma que fará a pesquisa é constituída por 20 alunos, sendo 15 homens e 5 mulheres. Antes de iniciar as atividades, o professor solicitou a formação de duplas, de modo que as mulheres não ficassem juntas. O número de maneiras diferentes de formar as duplas na sala, atendendo à regra do professor, é igual a A) 180. B) 190. C) 200. D) 240. 43. (FIP-2012) Os anéis olímpicos são o emblema dos Jogos Olímpicos. Eles são compostos de cinco anéis entrelaçados, nas cores azul, amarelo, preto, verde e vermelho. Um artista plástico deseja construir um conjunto de anéis olímpicos e pintá-los, seguindo as seguintes regras: • O anel central, e somente ele, deverá ser pintado de preto; • Os demais anéis poderão ser pintados com as quatro cores restantes, podendo-se repetir a mesma cor, desde que dois anéis que se entrelacem não sejam pintados da mesma cor. Assim, pode-se afirmar que o artista plástico poderá pintar os anéis olímpicos de k maneiras distintas, sendo k igual a: A) 288 B) 72 C) 144 D) 256 44. (FIP-2013) 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro de 2002 foi um momento que entrou para a história. Durante um minuto, houve uma formação numérica que somente ocorre duas vezes por milênio: 20h0220/02/2002 Esta é uma simetria que na matemática recebe o nome de capicua (números inteiros que lidos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda não se alteram). A próxima vez que ocorrerá outra capicua será às 21horas e 12 minutos de 21 de dezembro de 2112: 21h12 21/12/2112 Depois,nunca mais haverá outra capicua, pois em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, uma vez que não existe a hora 30. Quantas capicuas é possível formar com cinco algarismos? A) 720 B) 900 C) 1200 D) 360 45. (Cesgranrio) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa apresentar-se em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é a) 24 b) 13 c) 12 d) 10 e) 11 46. ( FGV – SP ) De um grupo de seis senadores e cinco deputados, pretende-se formar uma CPI com dois senadores e três deputados. O número de formas diferentes de se formar essa comissão é a) 60 b) 120 c) 150 d) 360 e) 380 47. (FESP) Numa classe existem 10 alunas, das quais uma se chama Maria, e 6 alunos, sendo João o nome de um deles. Formaram-se comissões constituídas por 4 alunas e 3 alunos. Quantas são as comissões das quais participaram, simultaneamente, João e Maria? a) 840 b) 1.800 c) 4.200 d) 2.100 e) 10.080 48. (UNIFESP) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é a) VAPOR b) RAPOV c) ROVAP d) RAOPV 49. (Fgv 2008) O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é a) 9.400. b) 9.600. c) 9.800. d) 10.200. e) 10.800.
- 146. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 146 GABARITO 1) A 2) B 3) A 4) D 5) C 6) D 7) 642 8) C 9) C 10) A 11) D 12) B 13) B 14) B 15) B 16) C 17) E 18) C 19) D 20) C 21) C 22) C 23) E 24) E 25) B 26) a)84 b)1365 27) C 28) E 29) B 30) C 31) D (60) 32) A 33) B 34) C 35) D 36) C 37) A 38) E 39) A 40) E 41) QUESTÕES DO ENEM 01. (ENEM-2009) O xadrez é jogado por duas pessoas. Um jogador joga com as peças brancas, o outro, com as peças pretas. Neste jogo, vamos utilizar somente a Torre, uma das peças do xadrez. Ela pode mover-se para qualquer caso ao longo da coluna ou linha que ocupa, para frente ou ara trás, conforme indicado na figura a seguir. O jogo consiste em chegar a um determinado ponto sem passar por cima dos pontos pretos já indicados. Respeitando-se o movimento da peça Torre e as regras de movimentação no jogo, qual é o menor número de movimentos possíveis e necessários para que a Torre chegue à casa C1? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 7 02. (ENEM-2009) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cifre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente. Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda- feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$95,05 após depositar a moeda de (A) 1 centavo no 679º dia, que caiu numa segunda feira. (B) 5 centavos no 186º dia, que caiu numa quinta feira. (C) 10 centavos no 188º dia, que caiu numa quinta feira. (D) 25 centavos no 524º dia, que caiu num sábado. (E) 50 centavos no 535º dia, que caiu numa quinta feira. 03. (ENEM-2010) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. a figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.
- 147. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 147 Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de A) 60 min. B) 90 min. C) 120 min. D) 180 min. E) 360 min. 04. (ENEM-2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de A) uma combinação e um arranjo, respectivamente. B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. C) um arranjo e uma permutação, respectivamente. D) duas combinações. E) dois arranjos. 05. (ENEM-2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é 06. (ENEM-2013) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras. Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36 07. (ENEM – 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de sempre alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam visto e sem que nenhum filme seja repetido. A) 20 x 8! + (3!)2 B) 8! x 5! x 3! C) 8 2 !3!5!8 xx D) 2 2 !3!5!8 xx
- 148. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 148 E) 8 2 !16 08. (ENEM – 2009 ) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009. Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente: A) 1 2 1 vezes menor B) 2 2 1 vezes menor C) 4 vezes menor D) 9 vezes menor E) 14 vezes menor 09. (ENEM – 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá- la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é: A) 24. B) 31. C) 32. D) 88. E) 89. 10. (ENEM – 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno e sorteado e da a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele e declarado vencedor e a brincadeira e encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertara a resposta porque há: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 11. (ENEM-2012) O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primarias (azul, amarelo e vermelho), Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundarias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras. Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado) De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? a) 14 b) 18 c) 20 d) 21 e) 23 GABARITO 01. C 02. D 03. B 04. A 05. A 06. B 07. B 08. C
- 149. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 149 09. E 10. A 11. C PROBABILIDADE 01. (ENEM – 2012) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas. B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. 02. (CEF) A tabela abaixo apresenta dados sobre a folha de pagamente de um banco. Um desses empregados foi sorteado para receber um prêmio. A probabilidade de esse empregado ter seu salário na faixa de R$ 300,00 a R$ 500,00 é de: A) 7/10 B) 3/5 C) 1/2 D) 2/5 E) 1/3 03. (ENEM – 2012) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados ”Contos de Halloween“. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas relações em: ”Divertido“, ”Assustador“ ou ”Chato“. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.
- 150. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 150 O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem ”Contos de Halloween“. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto ”Contos de Halloween“ é ”Chato“ é mais aproximada por A) 0,09. B) 0,12. C) 0,14. D) 0,15. E) 0,18. 04. ( ENEM – 2015 ) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é A) 23,7% B) 30,0% C) 44,1% D) 65,7% E) 90,0% 05. (UFJF) Um soldado de esquadrão anti-bombas tenta desativar um certo artefato explosivo que possui 5 fios expostos. Para desativá-lo, o soldado precisa cortar 2 fios específicos, um de cada vez, em uma determinada ordem. Se o soldado escolher aleatoriamente 2 fios para cortar, numa determinada ordem, a probabilidade do artefato não explodir ao cortá-lo é igual a: a) 25 2 b) 20 1 c) 5 2 d) 10 1 06. (ENEM – 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? A) 1/2 B) 5/8 C) 1/4 D) 5/6 E) 5/14 07. (MPU) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas- em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria, retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseira que ganhou de João é igual a: A) 1/3 B) 1/5 C) 9/20 D) 4/5 E) 3/5 08 .(UFU) De uma urna que contém bolas numeradas de 1 a 100 será retirada uma bola. Sabendo-se que qualquer uma das bolas tem a mesma chance de ser retirada, qual é a probabilidade de se retirar uma bola, cujo número é um quadrado perfeito ou um cubo perfeito? A) 0,14 B) 0,1 C) 0,12 D) 0,16 09. (UNIMONTES) Na tabela abaixo, estão dispostos números de votos válidos para a categoria prefeito, obtidos pelos partidos A, B e C, nas cidades M, N e P, no processo eleitoral de setembro/2000. Selecionando-se o acaso uma pessoa que votou nessa categoria, qual a possibilidade de ela ser eleitora do partido A ou C? A) 187 134 B) 187 120 C) 187 53 D) 187 67
- 151. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 151 10. (TCE – RN) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é de 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é de 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: A) 2/25 B) 8/25 C) 2/5 D) 3/25 E) 4/5 11. ( UNESP ) Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 3 ou 6 é: a) 7/18 b) 1/18 c) 7/36 d) 7/12 e) 4/9 12. (Auditor – CE) Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2, ..., 300. Se o número sorteado for um múltiplo de 3, então a probabilidade de que seja o número 30 é de: A) 1/99 B) 2/101 C) 1/100 D) 1/50 13. ( UFES ) Um dado é lançado duas vezes e todos os resultados possíveis para cada lançamento são equiprováveis. Sabendo que pelo menos um dos resultados destes dois lançamentos foi um número par, a probabilidade de que ambos os resultados sejam pares é: a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/9 e) 1/3 14. ( PUCC ) Considere um lançamento de dois dados iguais. A probabilidade de a soma das faces obtidas ser um valor x tal que 6 x 8 é: a) 4/9 b) 1/2 c) 1/6 d) 5/6 e) 6/13 15. ( Unesp ) Numa gaiola estão nove camundongos rotulados 1, 2, 3, . . ., 9. Selecionando-se conjuntamente dois camundongos ao acaso, a probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é : a) 0,3777... b) 0,47 c) 0,17 d) 0,2777... e) 0,1333... 16. ( UFMG ) Dois jovens partiram do acampamento em que estavam em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada nesse esquema: Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de eles chegarem a Cachoeira Pequena é: a) 1/2 b)2/3 c) 3/4 d) 5/6 17. Pedro e João se encontram diante de uma urna com duas bolas azuis e uma bola verde. Eles, confiando na sorte, apostam em quem consegue tirar a bola verde primeiro, sendo que, os apostadores irão repor as bolas tiradas até a bola verde sair. Se Pedro começar o jogo, qual a probabilidade dele vencer ? a) 1/3 b) 2/3 c) 2/5 d) 3/5 e) 4/5 18. (IFAC – 2012 ) Paulo e Ana resolvem fazer um jogo usando uma moeda honesta. Paulo inicia o jogo lançando a moeda e, se obtiver cara ele ganha, caso contrario, Ana joga a moeda e se der cara ela vence. Portanto, o jogo será vencido pelo primeiro que obtiver cara num arremesso. Qual a probabilidade de Paulo vencer? A) 50% B) 55% C) 57,75% D) 60% E) 66,67% 19. ( Unirio ) Em uma fábrica de parafusos, a probabilidade de um parafuso ser perfeito é de 96%. Se Cachoeira Grande Cachoeira Pequena Acampamento
- 152. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 152 retirarmos da produção, aleatoriamente, três parafusos, a probabilidade de todos eles serem defeituosos é igual a: a) 5 –2 b) 5 –3 c) 5 –4 d) 5–5 e) 5 –6 20. ( FGV ) Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 brancas. Três bolas são sucessivamente sorteadas, sem reposição. A probabilidade de observarmos 3 bolas brancas é: a) 1/15 b) 1/20 c) 1/25 d) 1/30 e) 1/35 21. ( FEI – SP ) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é: a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 d) 1/9 e) 1/4 22. ( PUC – RJ ) As cartas de um baralho são amontoadas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo também ? O baralho é formado por 52 cartas de 4 naipes diferentes, sendo 13 cartas de cada naipe. a) 1/17 b) 1/25 c) 1/27 d) 1/36 e) 1/45 23. ( UNAERP ) Em um campeonato de tiro ao alvo, dois finalistas atiram num alvo com probabilidade de 60% e 70%, respectivamente, de acertar. Nessas condições, a probabilidade de ambos errarem o alvo é: a) 30 % b) 42 % c) 50 % d) 12 % e) 25 % 24. ( Mack – SP ) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 0,25. Então a probabilidade do casal ter dois filhos de sexos diferentes é: a) 1/16 b) 3/8 c) 9/16 d) 3/16 e) 3/4 25. A probabilidade de que um atirador acerte o alvo em cada tiro é 5 2 . Em três tiros, qual é a probabilidade de que esse atirador : a) Acerte os dois primeiros tiros e erre o terceiro tiro ? b) Acerte apenas dois tiros ? 26. ( Cesgranrio ) Três moedas não viciadas são lançadas simultaneamente. A probabilidade de se obter duas caras e uma coroa é: a) 1/8 b) 1/4 c) 5/16 d) 3/8 e) 1/2 27. ( UEL – PR ) Um juiz de futebol tem três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é amarelo de um lado e vermelho do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra ao jogador. A probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador ser amarela é: a) 1/2 b) 2/5 c) 1/5 d) 2/3 e) 1/6 28. ( FMTM ) Uma urna contém 2 bolas azuis e 4 vermelhas, dela é retirada uma bola escolhida ao acaso. Essa bola é colocada em uma 2ª urna que já continha 1 bola azul e 3 vermelhas. Depois, retira-se uma bola dessa 2ª urna. A probabilidade de essa bola ser azul é: a) 4/15 b) 11/15 c) 7/12 d) 5/12 e) 17/30
- 153. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 153 29. (AFC) Em uma sala de aula, estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é de: a) 0,10 d) 0,20 b) 0,12 c) 0,15 e) 0,24 30. ( Unimontes ) Considere a seguinte distribuição da dieta diária de um grupo de 360 pessoas. Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que essa pessoa come verduras e legumes, qual é a probabilidade de que ela seja homem? a) 360 47 b) 99 47 c) 360 99 d) 99 52 31. ( FEI – SP ) Numa urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20, todas indistinguíveis ao tato. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3 ? a) 11/20 b) 13/20 c) 3/5 d) 4/5 e) 7/10 32. ( UMC ) A tabela a seguir fornece, por sexo e área escolhida, o número de inscritos em um Vestibular para ingresso no curso superior: Escolhido, ao acaso, um dos inscritos e representando por p1 a probabilidade de o escolhido ser do sexo masculino e ter optado por Exatas e p2, a probabilidade de o escolhido ser do sexo feminino sabendo que optou por Biomédicas, pode-se concluir que: a) p1 = 0,6 e p2= 0,375 b) p1 = 0, 6 e p2= 0,15 c) p1 = 0,15 e p2= 0,15 d) p1 = 0,15 e p2= 0,375 e) p1= 0,375 e p2= 0,15 33. ( Vunesp – SP ) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se 2 cartas, uma após a outra. Determine a probabilidade de a segunda ser um ás, sabendo que a primeira foi um ás. 34. ( Mauá – SP ) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que ela tem um número ímpar. Determine a probabilidade de esse número ser menor que 5. 35. (ANEEL) Todos os alunos de uma escola estão matriculados no curso de Matemática e no curso de História. Do total dos alunos da escola, 6% têm sérias dificuldades em Matemática e 4% têm sérias dificuldades em História. Ainda com referência ao total dos alunos da escola, 1% tem sérias dificuldades em Matemática e em História. Você conhece, ao acaso, um dos alunos desta escola, que lhe diz estar tendo sérias dificuldades em História. Então, a probabilidade de que este aluno esteja tendo sérias dificuldades também em Matemática é, em termos percentuais, igual a: a) 50% b) 25% c) 1% d) 33% e) 20% 36. ( UFSCar – SP ) Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares. Então a probabilidade de que a soma deles seja 8 é : a) 2/36 b) 1/6 c) 2/9 d) 1/4 e) 2/18
- 154. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 154 37. ( Fatec – SP ) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade dele ser um número ímpar é a) 1 b) 1/2 c) 2/5 d) 1/4 38. (VUNESP) Dois jogadores, A e B, vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganhado? a) 36 10 b) 32 5 c) 36 5 d) 35 5 e) Não se pode calcular sem saber os números sorteados. 39. ( PUC – RJ ) Uma doença congênita afeta 1 em cada 700 homens. Numa população de um milhão de homens, a probabilidade de que um homem, tomado ao acaso, não seja afetado é: a) superior a 0,99 b) igual a 0,99 c) menor que 0,98 d) igual a 700 1 e) 2 1 ou 50% 40. ( Fuvest – SP ) A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões . 41. ( PUCCAMP – SP ) Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 pertencem a um clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos 3 clubes. Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes, a probabilidade de ela : a) pertencer aos três clubes é 3/5. b) pertencer somente ao clube C é zero. c) Pertencer a pelo menos a dois clubes é de 60%. d) Não pertencer ao clube B é 40%. 42. ( Unesp ) Num grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 estão afetadas por uma parasitose intestinal A e 11 por outra parasitose intestinal B, não se verificando nenhum caso de incidência conjunta de A e B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas, aleatoriamente, uma após a outra. Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa esteja afetada por A e a segunda por B. 43. ( FEI – SP ) Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam "sim" a ambas; 300 responderam "sim" à primeira; 250 responderam "sim" à segunda e 200 responderam "não" a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido "não" à primeira pergunta? a) 1/7 b) 1/2 c) 3/8 d) 11/21 e) 4/25 44. ( PAES ) No concurso do “Banco Moc”, compareceram 360 candidatos, sendo que 120 foram reprovados na prova escrita; 90, na entrevista, e 48, na prova escrita e na entrevista. Qual a probabilidade de um dos participantes, escolhido ao acaso, ter sido reprovado na prova escrita e aprovado na entrevista ? A) 1/5 B) 4/9 C) 4/11 D) 4/5 45. ( UEL – PR ) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam e terminam pela letra N. A probabilidade de escolher-se ao acaso um desses anagramas e ele ter as vogais juntas é:
- 155. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 155 a) 1/5 b) 1/4 c) 2/5 d) 1/2 e) 3/5 46. ( Mack – SP ) Num grupo de 12 professores, somente 5 são de matemática. Escolhidos ao acaso 3 professores do grupo, a probabilidade de no máximo um deles ser de matemática é: a) 3/11. b) 5/11. c) 7/11. d) 8/11. e) 9/11. 47. ( Fuvest – SP ) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saíam com a freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1? a) 1/3. b) 2/3. c) 1/9. d) 2/9. e) 1/12. 48. ( PUC – SP ) Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 5. Sorteia-se uma bola, verifica-se o seu número e ela é reposta na urna. Num segundo sorteio, procede-se da mesma forma que no primeiro sorteio. A probabilidade de que o número da segunda bola seja estritamente maior que o da primeira é a) 4/5 b) 2/5 c) 1/5 d) 1/25 e) 15/25 49. ( Fatec – SP ) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade dele ser um número ímpar é a) 1 b) 1/2 c) 2/5 d) 1/4 50. ( UFMG ) Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é correto afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é: a) 27/64 b) 27/256 c) 9/64 d) 9/256 51. (Enem) Em um determinado semáforo, as luzes completam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 1 minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos são para a luz verde, 5 segundos para a amarela e 70 segundos para a vermelha. Ao se aproximar do semáforo, um veículo tem uma determinada probabilidade de encontrá-lo na luz verde, amarela ou vermelha. Se essa aproximação for de forma aleatória, pode-se admitir que a probabilidade de encontrá-lo com uma dessas cores é diretamente proporcional ao tempo em que cada uma delas fica acesa. Suponha que um motorista passa por um semáforo duas vezes ao dia, de maneira aleatória e independente uma da outra. Qual é a probabilidade de o motorista encontrar esse semáforo com a luz verde acesa nas duas vezes em que passar? A) 1/25 B) 1/16 C) 1/9 D) 1/3 E) 1/2 52. (FIP-2013) Sobre o lançamento de um dado com 20 lados, com as faces numeradas de 1 a 20, os alunos de um colégio fizeram as seguintes afirmativas: Aluno X: A probabilidade de sair um número par no lançamento desse dado é menor que a probabilidade de sair um número maior ou igual a 10. Aluno Y: A probabilidade de sair um número quadrado perfeito no lançamento desse dado é de 10%. Aluno Z: A probabilidade de sair um número primo no lançamento desse dado excede a probabilidade de sair um número ímpar maior que 11 em 20%. Fizeram afirmativas corretas: A) Somente os alunos X e Y. B) Somente os alunos X e Z. C) Os alunos X, Y e Z. D) Somente os alunos Y e Z. 53. (ENEM – 2012) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
- 156. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 156 Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? A) Azul. B) Amarela. C) Branca. D) Verde. E) Vermelha 54. (ENEM – 2013) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico: A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? A) 1/20 B) 3/242 C) 5/22 D) 6/25 E) 7/15 55. A probabilidade de um casal ter um filho homem com certa doença congênita é de 10% e se for mulher, a probabilidade aumenta para 20%. Se esse casal tiver quatro filhos, sendo dois homens e duas mulheres, qual a probabilidade de que todos sejam saudáveis? A) 16,44% B) 19,44% C) 23,57% D) 44,32% 56. Um cubo maciço, confeccionado em plástico branco, foi totalmente coberto por uma tinta cinza e após secar, teve todas as suas arestas cortadas em três partes idênticas, dando origem a cubos com arestas menores (figura). Se uma pessoa desmontar esse cubo e escolher um cubo menor ao acaso, qual a probabilidade de esse cubo ter exatamente quatro faces brancas? A) 8/27 B) 4/9 C) 2/9 D) 16/27 GABARITO 1) D 2) E 3) D 4) D 5) B 6) A 7) A 8) C 9) A 10) B 11) C 12) E 13) E 14) A 15) D 16) C 17) D 18) E 19) E 20) D 21) C 22) A 23) D 24) B 25) a)12/125 b)36/125 26) D 27) E 28) A 29) D 30) B 31) B 32) D 33) 3/11 34) 1/3 35) B 36) C 37) C 38) B 39) A 40) 3% 41) B 42) 1/36 43) D 44) A 45) A 46) C 47) D 48) B 49) C 50) A 51) B 52) B 53) E 54)A 55) B 56) B QUESTÕES DO ENEM 01. (ENEM-2009) Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente. Disponível em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6 jan. 2009.
- 157. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 157 De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investigação mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte é A) 2/17 B) 5/17 C) 2/5 D) 3/5 E) 12/17 02. (ENEM-2009) Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0, 1, 2 e 5. O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirá-las, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta dos algarismos do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se R$1,00 de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele ganharia R$2,00 de desconto. Qual é a probabilidade de um consumidor não ganhar qualquer desconto? A) 1/24 B) 3/24 C) 1/3 D) 1/4 E) 1/2 03. (ENEM-2009) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, que exatamente 2 filhos homens e decide que, se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria procurar uma clínica para fazer um tratamento específico para garantir que teria os dois filhos homens. Após os cálculos, o casal conclui que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens é A) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento. B) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento. C) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento. D) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. E) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. 04. (ENEM-2010) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras. Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é A) E1 E3 B) E1 E4 C) E2 E4 D) E2 E5. E) E2 E6. 05. (ENEM-2010) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é A) 1/3 B) 1/5 C) 2/5 D) 5/7 E) 5/14 06. (ENEM-2013) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
- 158. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 158 07. (ENEM-2013) Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso. Em setembro, a máquina I produziu 54/100 do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa máquina, 25/1000 eram defeituosos. Por sua vez, 38/1000 dos parafusos produzidos no mesmo mês pela máquina II eram defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso. O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como A) excelente. B) bom. C) regular. D) ruim. E) péssimo. 08. (ENEM-2013) Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; Douglas:4 cartelas com 9 números escolhidos; Eduardo:2 cartelas com 10 números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são A) Caio e Eduardo. B) Arthur e Eduardo. C) Bruno e Caio. D) Arthur e Bruno. E) Douglas e Eduardo. 09. (ENEM/2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. Fonte: “Perspectivas da População Mundial”, ONU, 2009 Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado). Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de A) 2 1 . B) 20 7 . C) 25 8 . D) 5 1 . E) 25 3 . 10. (ENEM/2009) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja
- 159. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 159 acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? A) 2 (0,2%)4 . B) 4 (0,2%) 2 . C) 6 (0,2%)2 (99,8%)2 . D) 4 (0,2%). E) 6 (0,2%) (99,8%). 11. (ENEM/2009) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009. Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente, A) menorvezes 2 1 1 . B) menorvezes 2 1 2 . C) 4 vezes menor. D) 9 vezes menor. E) 14 vezes menor. 12. (ENEM – 2009) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. b) 4 doses. c) 6 doses. d) 8 doses. e) 10 doses. 13. (ENEM – 2012) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é: a) Antônio, já que sua soma e a maior de todas as escolhidas. b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. GABARITO 1. E 2. D 3. E 4. D 5. D 6. A 7. B 8. A 9. C 10. C 11. C 12. B 13. D ESTATÍSTICA 01. (UFSCar – SP ) Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o sexo, é dado pelo gráfico seguinte: Número de Alunos 2 Legenda Meninos Meninas Idade ( Anos ) 1 4 3 14 15 16 17 18
- 160. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 160 Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que : a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o número de meninos nesse mesmo intervalo de idades. b) O número total de alunos é 19 Há exatamente 10 alunos com mais de 16 anos. c) O número de meninos é igual ao número de meninas d) O número de meninos com idade maior que 15 anos é maior que o número de meninas nesse mesmo intervalo de idades. 02. (UNIMONTES) No ano de 2005, foram disponibilizados pelo Banco Moc mais de 6 milhões de reais em financiamentos de curto e longo prazos, conforme os valores indicados na figura a seguir. Com base nas informações acima, é CORRETO afirmar que o crescimento dos financiamentos em 2005, com relação ao ano de 2004, foi A) igual a 34%. B) superior a 33%. C) inferior a 33%. D) igual a 32%. 03. (COTEC) No gráfico abaixo, observamos o número de alunos em cada turma de 5ª série da Escola Banzé. Analisando esse gráfico, percebemos que o total de alunos de todas as 5 as séries e a turma menos numerosa são, respectivamente: A) total de alunos: 150; 5ª série C. B) total de alunos: 140; 5ª série C. C) total de alunos: 150; 5ª série A. D) total de alunos: 160; 5ª série D. 04. ( UFRS ) As questões de Matemática do Concurso Vestibular da UFRGS de 2004 foram classificadas em categorias quanto ao índice de facilidade, como mostra o gráfico de barras a seguir. Se esta classificação fosse apresentada em um gráfico de setores circulares, a cada categoria corresponderia um setor circular. O ângulo do maior desses setores mediria a) 80°. b) 120°. c) 157°. d) 168°. e) 172°. 05. (UNIMONTES – PAES) O gráfico de setor, abaixo, foi construído após uma pesquisa feita junto a 450 alunos do ensino médio do Colégio Alfa que responderam à seguinte pergunta: Qual a disciplina de que você mais gosta? O ângulo do setor que indica o número de alunos que gostam da disciplina Física mede a) 86º 24’. b) 86º 40’. c) 86º 4’. d) 88º 4’. 06. ( ENEM -2012 ) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram A) março e abril. B) março e agosto. C) agosto e setembro. D) junho e setembro. E) junho e agosto.
- 161. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 161 07. (Ufpe 2005) Em cinco pesquisas sobre as intenções de voto para as próximas eleições, os candidatos J e C obtiveram os resultados percentuais ilustrados no gráfico a seguir. Analise as afirmações a seguir, de acordo com os dados acima. ( ) As intenções de voto no candidato J sempre foram superiores às do candidato C. ( ) As intenções de voto no candidato C sempre decresceram, a partir da segunda pesquisa. ( ) O crescimento percentual das intenções de voto no candidato J, entre a primeira e a quinta pesquisa, foi igual ao decrescimento percentual do candidato C no mesmo período. ( ) A média de intenções de voto no candidato J, nas cinco pesquisas, foi superior a 38%. ( ) Da segunda à quinta pesquisa, as intenções de voto no candidato J cresceram linearmente. 08. (Ufmg 2006) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa realizada com 1 000 famílias com filhos em idade escolar: Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas: I) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas famílias. II) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais de 500 dessas famílias. Então, é CORRETO afirmar que a) nenhuma das afirmativas é verdadeira. b) apenas a afirmativa I é verdadeira. c) apenas a afirmativa II é verdadeira. d) ambas as afirmativas são verdadeiras. 09. (Ufg 2008) O gráfico a seguir mostra a prevalência de obesidade da população dos EUA, na faixa etária de 20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 12 a 19 anos, para meninas e meninos. De acordo com os dados apresentados neste gráfico, A) de 1960 a 2002, em média, 30% dos homens estavam obesos. B) a porcentagem de meninas obesas, no período 1999- 2002, era o dobro da porcentagem de meninas obesas no período 1988-1994. C) no período 1999-2002, mais de 20% dos meninos estavam obesos. D) no período 1999-2002, mais de 50% da população pesquisada estava obesa. E) a porcentagem de mulheres obesas no período1988- 1994 era superior à porcentagem de mulheres obesas no período 1976-1980 10. ( ENEM ) As empresas querem a metade das pessoas trabalhando o dobro para produzir o triplo. (Revista "Você S/A", 2004) Preocupado em otimizar seus ganhos, um empresário encomendou um estudo sobre a produtividade de seus funcionários nos últimos quatro anos, entendida por ele, de forma simplificada, como a relação direta entre seu lucro anual (L) e o número de operários envolvidos na produção (n). Do estudo, resultou o gráfico a seguir. Ao procurar, no gráfico, uma relação entre seu lucro, produtividade e número de operários, o empresário concluiu que a maior produtividade ocorreu em 2002, e o maior lucro a) em 2000, indicando que, quanto maior o número de operários trabalhando, maior é o seu lucro. b) em 2001, indicando que a redução do número de operários não significa necessariamente o aumento dos lucros.
- 162. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 162 c) também em 2002, indicando que lucro e produtividade mantêm uma relação direta que independe do número de operários. d) em 2003, devido à significativa redução de despesas com salários e encargos trabalhistas de seus operários. e) tanto em 2001, como em 2003, o que indica não haver relação significativa entre lucro, produtividade e número de operários. 11. (Bnb) Um servidor federal recebeu o seu salário referente ao mês de janeiro de 2007 e planejou seus gastos de acordo com a planilha a seguir: Sendo R$ 1.800,00 o salário líquido recebido por esse servidor, a quantia gasta por ele no carnaval foi: a) R$ 441,00 b) R$ 270,00 c) R$ 288,00 d) R$ 108,00 e) R$ 252,00 12. (UNIMONTES – PAES) A primeira etapa da prova da 3ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas foi aplicada na Escola Delta. A freqüência registrada dos alunos foi a seguinte: O número de alunos do Nível 1 que compareceram à realização da prova foi de a) 375. b) 450. c) 350. d) 1250. 13. (BNDES) A tabela a seguir mostra o número de gols marcados pela equipe X nas partidas do último torneio que disputou. Qual foi o número médio de gols, por partida, marcados por essa equipe? A) 1 B) 1,25 C) 1,5 D) 1,75 E) 2 14. (UNIMONTES – PAES) Os funcionários da empresa ZETA são classificados em quatro níveis, e os salários são de acordo com os mesmos. Abaixo temos descrita a tabela dos salários. O salário médio mensal dos funcionários dessa empresa é, aproximadamente, a) 585. b) 595. c) 580. d) 590. 15. (Enem) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10.ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003- 2007. Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor A) inferior a 300 milhões de dólares. B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares.
- 163. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 163 D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. E) superior a 600 milhões de dólares. 16. (Bnb) A tabela a seguir indica a distribuição de freqüência das estaturas das crianças de um acampamento infantil. A altura média das crianças desse acampamento é a) 145 cm b) 143 cm c) 147 cm d) 153 cm e) 138 cm 17. ( ENEM – 2012 ) A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda. Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são A) Balas W e Pizzaria Y. B) Chocolates X e Tecelagem Z. C) Pizzaria Y e Alfinetes V. D) Pizzaria Y e Chocolates X. E) Tecelagem Z e Alfinetes V. 18. (UNIMONTES-2010) Em um conjunto de 10 números, se cada um deles for aumentado de 20 unidades, a média aritmética dos dez números originais A) é aumentada de 200 unidades. B) permanece a mesma. C) é aumentada de 2 unidades. D) é aumentada de 20 unidades. 19. ( FGV – SP ) A tabela abaixo representa a distribuição de frequências dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. O salário médio desses empregados, nesse mês, foi de A) R$ 2637,00 B) R$ 2520,00 C) R$ 2500,00 D) R$ 2420,00 E) R$ 2400,00 20. ( PUC – SP ) O histograma abaixo apresenta a distribuição de freqüência das faixas salariais numa pequena empresa. Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é, aproximadamente: a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 562,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00 21. ( Fuvest – SP ) A distribuição das idades dos alunos de uma sala de aula é dada pelo seguinte gráfico: Qual das alternativas representa melhor a média das idades dos alunos ? a) 16 anos e 10 meses b) 17 anos e 1 mês c) 17 anos e 5 meses d) 18 anos e 6 meses e) 19 anos e 2 meses 0 500 1000 1500 2000 2500 Nº de funcionários salários 14 4 2 Idade ( anos ) Nº de alunos 5 10 23 16 20 17 18 19 20 2
- 164. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 164 22. ( FGV – SP ) Numa pesquisa em determinada cidade foram obtidos os seguintes dados, relativos ao número de crianças por família : O número médio de crianças nas famílias com 5 ou mais filhos é 5,8. O número médio de crianças por família nesta cidade é, então, igual a : a) 2,00 b) 2,30 c) 2,43 d) 2,55 e) 3,00 23. ( PUCCAMP ) A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicleta para ir ao trabalho. O salário médio desses trabalhadores é A) R$ 425,00 B) R$ 480,00 C) R$ 521,00 D) R$ 565,00 24. ( Unimontes – 2006 ) Em uma escola de ensino médio, para ser aprovado, é necessário ter média 5. Os alunos fazem 4 provas durante o ano. A primeira tem peso 1; a segunda e a terceira, peso 2; a quarta, peso 3. Na tabela abaixo, temos as notas obtidas por quatro colegas As médias finais de Bento, Jorge, Maria e Pedro foram, respectivamente : a) 5,25 ; 6,125 ; 6,875 ; 5,75 b) 5,25 ; 5,125 ; 6,875 ; 5,75 c) 5,25 ; 5,125 ; 6,125 ; 5,75 d) 5,25 ; 5,125 ; 6,875 ; 6,75 25. (ENEM) Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequências. A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são, respectivamente A) 3, 2 e 1 B) 3, 3 e 1 C) 3, 4 e 2 D) 5, 4 e 2 E) 6, 2 e 4 26. (ENEM) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a a) R$ 73,10. b) R$ 81,50. c) R$ 82,00. d) R$ 83,00 e) R$ 85,30 27. (ENEM/2009) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. Nº de crianças Porcentagem de por família famílias na cidade 0 5 1 25 2 30 3 20 4 10 5 ou mais 10 ALUNOS PROVAS 1ª 2ª 3ª 4ª BENTO 4 5 5 6 JORGE 8 7 5 3 MARIA 5 6 7 8 PEDRO 7 6 6 5
- 165. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 165 E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9. 28. (COTEC) A distribuição dada pela tabela abaixo apresenta os pares de calçados numa loja, em determinado dia, de acordo com o numero usado de certa marca. Número usado Frequência 36 2 37 2 38 3 39 3 40 2 41 4 42 1 43 2 A mediana para essa distribuição é igual a A) 40 B) 41 C) 38 D) 39 29. (FGV-SP) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultados 1,72 m e 1,70 m , respectivamente. A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é igual a: A)1,71 B)1,72 C)1,73 D)1,74 30. (FGV-SP) Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista de nove números inteiros. O maior valor possível para a mediana dos nove números da lista é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 31. (UFU-MG) As 10 medidas colhidas por um cientista num determinado experimento, todas na mesma unidade, foram os seguintes: 1,2; 1,2; 1,4; 1,5; 1,5; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,2 Ao trabalhar na análise estatística dos dados, o cientista esqueceu-se, por descuido, de considerar uma dessas medidas. Dessa forma, comparando os resultados obtidos pelo cientista em sua análise estatística com os resultados corretos para amostra, podemos afirmar que: a) a moda e a média foram afetadas. b) a moda não foi afetada, mas a média foi. c) a moda foi afetada, mas a média não foi. d) a moda e a média não foram afetadas. 32. (ENEM) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? A) 13º B) 12º C) 11º D) 10º E) 9º 33. (ENEM) Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese). Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de A) 24500.
- 166. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 166 B) 25000. C) 220500. D) 223000. E) 227500. 34. (UNIMONTES – PAES) A tabela abaixo indica a quantidade de salários mínimos (SM) mensais pagos a 200 empregados da Empresa Delta. O gráfico que indica a porcentagem de funcionários de cada faixa salarial em relação ao total dos funcionários é 35. ( UERJ ) O gráfico a seguir representa, em reais, as vendas anuais de uma empresa no período de 1996 a 2001. Determine : a) A média anual das vendas dessa empresa b) O desvio médio da arrecadação dessa empresa c) A variância da arrecadação dessa empresa 36. (UfPR 2008) Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas: Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas. 2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente. 3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média. Assinale a alternativa correta. A) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. B) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. C) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. D) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 37. (Fgv 2003) Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero. Podemos concluir que: a) a média também vale zero. b) a mediana também vale zero. c) a moda também vale zero. d) o desvio padrão também vale zero. e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero. 38. ( ENEM – 2012 ) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as
- 167. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 167 informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m2 ). A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare) 2 é A) 20,25. B) 4,50. C) 0,71. D) 0,50. E) 0,25. 39. ( FGV – SP ) Dois atiradores, A e B, numa série de 20 tiros num alvo com a forma indicada na figura seguinte obtiveram os resultados que estão anotados no quadro ao lado da figura. Observando o quadro acima pode-se afirmar que : a) Em relação ao atirador A, a “Moda” em sua seqüência de tiros foi de 50 pontos. b) Em relação ao atirador B, a “Moda” em sua seqüência de tiros foi de 30 pontos. c) O atirador A teve, em média, a melhor pontuação; d) O atirador B teve, em média, a melhor pontuação; e) Os dois atiradores tiveram a mesma pontuação média; 40. ( Unimontes / PAES – 2002 ) Em um relatório acerca do resultado final do balanço de uma empresa que havia obtido prejuízo, o contador apresentou cálculo, mostrando que o lucro tinha média “ – 1000 ” ( em reais ) e desvio padrão “ – 150 ” ( em reais ). O diretor da empresa devolveu o mesmo, alegando incorreções. Com respeito à situação descrita, podemos afirmar que : a) tanto a média quanto o desvio padrão estavam errados; b) o contador está certo; c) o diretor de empresa tinha razão e havia erro na média; d) o diretor de empresa tinha razão e havia erro no desvio padrão; 41. ( Unimontes – 2006 ) Os números abaixo correspondem às alturas ( em cm ) dos jogadores da seleção de futebol de um certo país. 169 159 166 168 169 166 164 159 161 166 162 A moda desse conjunto de dados é A) 165 B) 159 C) 166 D) 169 42. ( PAES / UNIMONTES – 2003 ) Considere a seguinte definição: Desvio médio é a média aritmética das diferenças, em módulo, entre os valores de uma seqüência de dados e a média aritmética dessa seqüência. Dois grupos de cinco alunos, grupo A e grupo B, foram submetidos a um teste com 100 questões, obtendo as notas conforme os histogramas abaixo. O desvio médio das notas de cada grupo é, respectivamente : a) 50 e 30 b) 24 e 10 c) 5 e 10 d) 24 e 12 43. Em um supermercado, a reposição de pacotes de arroz por dia, permitiu a construção da seguinte tabela de dados : Pode-se afirmar que o desvio médio existente nas quantidades de pacotes de arroz das marcas A, B, C e D é : a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 44. (Unicamp – SP ) A média aritmética de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo no grupo ? 30 20 50 10 0 6 5 4 14 6 3 5 3 3 ATIRADORES PONTOS 50 30 20 10 0 A B 10 30 50 70 90 Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Aluno 5 Nº de questões acertadas GRUPO A 30 40 60 70 Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Aluno 5 Nº de questões acertadas GRUPO B 50 Marca do Arroz A B C D Nº de Pacotes 80 20 60 40
- 168. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 168 45. ( Fuvest – SP ) Sabe-se que a média aritmética de cinco números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é de : a) 16 b) 20 c) 50 d) 70 e) 100 46. (FIP-2012) ENEM: uma evolução do número de participantes Em 1998, apenas 157.200 inscritos participaram da primeira edição. Em 2001, com a concessão de isenção da taxa de inscrição aos alunos da rede pública de todo país pelo MEC, Ministério da Educação, o número de inscritos saltou para um valor expressivo de 1.600.000 participantes. O ano de 2004 foi marcado pela criação do Programa Universidade para Todos (ProUni), com concessões de bolsas em IES privadas agregadas às notas obtidas no Exame. No ano seguinte ao lançamento do ProUni, o Enem alcançou a histórica marca de 3 milhões de inscritos. No ano de 2008, o Exame teve mais de 4 milhões de inscritos. A evolução do número de inscritos é apresentada no gráfico abaixo. Com base nas informações e no gráfico, observa-se que a ÚNICA alternativa INCORRETA é: A) O número de participantes dobrou no período de 2004 para 2005. B) O ano de 2008 teve mais de 4 milhões de inscritos, um valor entre 25 e 30 vezes mais do que a primeira edição. C) Nos anos de 2001 e 2005, aconteceram aumentos expressivos no número de participantes. D) Todos os segmentos de reta apresentados no gráfico têm inclinação positiva, indicando, portanto, um crescimento constante a cada nova edição do Enem. 47. (FIP-2012) Muito mais motos, ainda muito mais mortos. Analise o quadro abaixo sobre a Evolução da frota de veículos, das vítimas e das taxas de vítimas (por 100 mil veículos) em acidentes de trânsito. De acordo com os dados acima, é correto inferir que: A) A frota de motocicletas cresceu 369% nessa década, enquanto as mortes de motociclistas cresceram 417%. B) A frota de automóveis aumentou 24%, e as vítimas de acidentes com automóvel, 57%. C) Nessa década, o número de vítimas de automóvel oscilou de um mínimo de 32,5 até um máximo de 41,5, com média decenal de 38 mortes por grupo de cada 100 mil automóveis registrados. Isto é, a mortalidade envolvendo motocicletas por veículo foi quase 2,5 vezes maior que a dos automóveis. D) Em 1998, havia 2,8 milhões de motos, representando 11,5% da frota total do país. Em 2008, o número salta
- 169. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 169 para 13,1 milhões, representando 32% do total nacional de veículos. GABARITO 01. C 02. B 03. A 04. D 05. A 06. E 07. F F F V F 08. C 09. E 10. B 11. E 12. B 13. B 14. C 15. D 16. B 17. D 18. D 19. E 20. E 21. C 22. C 23. D 24. B 25. B 26. D 27. D 28. D 29. D 30. D 31. B 32. B 33. A 34. A 35. a) 3 milhões b) 1.333.333,33 c) 2,67 36. C 37. D 38. E 39. E 40. D 41. C 42. D 43. E 44. 40 homens e 80 mulheres 45. D 46. D 47. C QUESTÕES DO ENEM 01. (ENEM-2009) Para o cálculo da inflação, utiliza-se, entre outros, o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), que toma como base os gastos das famílias residentes nas áreas urbanas, com rendimentos mensais compreendidos entre um e quarenta salários mínimos. O gráfico a seguir mostra as variações do IPCA de quatro capitais brasileiras no mês de maio de 2008. Com base no gráfico, qual item foi determinante para a inflação de maio de 2008? A) Alimentação e bebidas. B) Artigos de residência. C) Habitação. D) Vestuário. E) Transportes. 02.(ENEM-2009) A importância do desenvolvimento da atividade turística no Brasil relaciona-se especialmente com os possíveis efeitos na redução da pobreza e das desigualdades por meio da geração de novos postos de trabalho e da contribuição para o desenvolvimento sustentável regional. No gráfico são mostrados três cenários – pessimista, previsível, otimista – a respeito da geração de empregos pelo desenvolvimento de atividades turísticas. De acordo com o gráfico, em 2009, o número de empregos gerados pelo turismo será superior a A) 602.900 no cenário previsível. B) 660.000 no cenário otimista. C) 316.000 e inferior a 416.000 no cenário previsível. D) 235.700 e inferior a 353.800 no cenário pessimista. E) 516.000 e inferior a 616.000 no cenário otimista.
- 170. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 170 03. (ENEM-2009) Nos últimos anos, o aumento da população, aliado ao crescente consumo de água, tem gerado inúmeras preocupações, incluindo o uso desta na produção de alimentos. O gráfico mostra a quantidade de litros de água necessária para a produção de 1 kg de alguns alimentos. Com base no gráfico, para a produção de 100 kg de milho, 100 kg de trigo, 100 kg de arroz,100 kg de carne de porco e 600 kg de carne de boi,a quantidade média necessária de água, por quilograma de alimento produzido, é aproximadamente igual a A) 415 litros por quilograma. B) 11.200 litros por quilograma. C) 27.000 litros por quilograma. D) 2.240.000 litros por quilograma. E) 2.700.000 litros por quilograma. 04. (ENEM-2009) No quadro seguinte, são informados os turnos em que foram eleitos os prefeitos das capitais de todos os estados brasileiros em 2004. Na região Norte, a frequência relativa de eleição dos prefeitos no 2º turno foi, aproximadamente, A) 42,86% B) 44,44% C) 50,00% D) 57,14% E) 57,69% 05. (ENEM-2009) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de gincana na qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A mediadas cinco equipes foi de 2 pontos. As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir, entretanto, esqueceram de representar as notas da equipe D e da equipe E. Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e E, pode-se concluir que os valores da moda e da mediana são, respectivamente, A) 1,5 e 2,0. B) 2,0 e 1,5. C) 2,0 e 2,0. D) 2,0 e 3,0. E) 3,0 e 2,0. 06. (ENEM-2009) Considere que as médias finais dos alunos de um curso foram representadas no gráfico a seguir.
- 171. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 171 Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos aprovados? A) 18% B) 21% C) 36% D) 50% E) 72% 07. (ENEM-2009) Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas,e anotar o número obtido em cada jogada, construí-se a seguinte tabela de distribuição de freqüências. A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são respectivamente: A) 3, 2 e 1 B) 3, 3 e 1 C) 3, 4 e 2 D) 5, 4 e 2 E) 6, 2 e 4 08. (ENEM-2010) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme o gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados. Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre A.100 km² e 900 km². B. 1 000 km² e 2 700 km². C. 2 800 km² e 3 200 km². D. 3 300 km² e 4 000 km². E. 4 100 km² e 5 800 km². 09. (ENEM-2010)Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? A) 5 513 B) 6 556 C) 7 450 D) 8 344 E) 9 536 10. (ENEM-2010) O gráfico a seguir representa o gasto militar dos Estados Unidos, no período de 1988 a 2006.
- 172. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 172 Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de A. U$ 4.174.000,00. B. U$ 41.740.000,00. C. U$ 417.400.000,00. D. U$ 41.740.000.000,00. E. U$ 417.400.000.000,00. 11. (ENEM-2010) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir. Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? A)13º B) 12º C) 11º D) 10º E) 9º 12. (ENEM-2010) Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (DIEESE). Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de A) 24 500. B) 25 000. C) 220 500. D) 223 000. E) 227 500. 13. (ENEM-2010) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será A. menor que 1 150. B. 218 unidades maior que em 2004. C. maior que 1 150 e menor que 1 200. D. 177 unidades maior que em 2010. E. maior que 1 200. 14. (ENEM-2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.
- 173. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 173 A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? A) 6 gols B) 6,5 gols C) 7 gols D) 7,3 gols E) 8,5 gols 15. (ENEM-2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. Dados dos candidatos no concurso O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é A. Marco, pois a média e a mediana são iguais. B. Marco, pois obteve menor desvio padrão. C. Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. D. Paulo, pois obteve maior mediana. E. Paulo, pois obteve maior desvio padrão. 15. (ENEM-2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então A. X = Y < Z. B. Z < X = Y. C. Y < Z < X. D. Z < X < Y. E. Z < Y < X. 16. (ENEM-2010) Para conseguir chegar a um número recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas brasileiras começam a se planejar para esse período com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no período de 2005 a 2009. De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou maior produção acumulada foi A. 2004-2005. B. 2005-2006. C. 2006-2007. D. 2007-2008. E. 2008-2009. 17. (ENEM-2013) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.
- 174. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 174 Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no pólo das indústrias? A) 75,28 B) 64,09 C) 56,95 D) 45,76 E) 30,07 18. (ENEM-2013) Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual. O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa. O empresário decidiu comprar a empresa A) F. B) G. C) H. D) M. E) P. 19. (ENEM-2013) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios: O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de A) 8,35. B) 12,50. C) 14,40. D) 15,35. E) 18,05. 20. (ENEM-2013) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária. O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é A) 300,00. B) 345,00. C) 350,00. D) 375,00. E)400,00. 21. (ENEM-2013)As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.
- 175. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 175 A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de A) 497,25. B) 500,85. C) 502,87. D) 558,75. E)563,25. 22. (ENEM-2013) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é A) 0,25 ponto maior. B) 1,00 ponto maior. C) 1,00 ponto menor. D) 1,25 ponto maior. E) 2,00 pontos menor. 23. (ENEM-2013)Uma falsa relação O cruzamento da quantidade de horas estudadas como desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média. Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de estudo é A) Finlândia. B) Holanda. C) Israel. D) México. E) Rússia. 24. (ENEM-2013) O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite(em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo(alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas: Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a A) Malhada. B) Mamona. C) Maravilha. D) Mateira. E) Mimosa.
- 176. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 176 25. (ENEM-2009)Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001. O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos. Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em 16 jul. 2009 (adaptado). Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a A) 355 milhões. B) 400 milhões. C) 426 milhões. D) 441 milhões. E) 477 milhões. 26.(ENEM-2009) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir. Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course – 1992 (adaptado). De acordo com as informações do gráfico, A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. C) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade. 27.(ENEM-2009) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003- 2007. 1.2142802007 7445392006 1.4583542005 4853572004 8253672003 BrasilnoFrançaFrançanaBrasilAno dólares)demilhões(em BilateraistosInvestimen Disponível em: www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009. Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor A) inferior a 300 milhões de dólares. B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. E) superior a 600 milhões de dólares. 28.(ENEM/2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.
- 177. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 177 4,002,0 3,731,9 3,481,8 3,251,7 3,031,6 2,831,5 2,641,4 2,461,3 2,301,2 2,141,1 ppm)-milhãoporpartes(em carbonodedióxidodeEmissão toneladas)(em Produção Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009. Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é A) inferior a 0,18. B) superior a 0,18 e inferior a 0,50. C) superior a 0,50 e inferior a 1,50. D) superior a 1,50 e inferior a 2,80. E)superior a 2,80. 29.(ENEM/2009) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9. 30.(ENEM/2009) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. 200884,60R$Abril 200884,00R$Março 200885,30R$Fevereiro 200882,00R$Janeiro 200781,60R$Dezembro 200773,10R$Novembro 200783,00R$Outubro AnoCotaçãoMês De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a A) R$ 73,10. B) R$ 81,50. C) R$ 82,00. D) R$ 83,00. E) R$ 85,30. GABARITO 01. A 02. E 03. B 04. A 05. C 06. E 07. B 08. C 09. D 10. E 11. B 12. A 13. C 14. B 15. B 16. E 17. C 18. B 19. D 20. C 21. D 22. B 23. C 24. D 25. A 26. E 27. D 28. D 29. D 30. D
- 178. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 178 GEOMETRIA ANALÍTICA Exercício 1 1) ( Cesgranrio ) A distância entre os pontos M(4, – 5) e N(–1, 7) do plano xoy vale: a) 14 b) 13 c) 12 d) 9 e) 8 2) ( UFF – RJ ) Os valores que r deve assumir para que o ponto P(r, 2) diste 5 unidades do ponto K(0, –2) são: a) r = 2 e r = – 2 b) r = 3 e r = – 3 c) r = 1 e r = – 1 d) r = 4 e r = – 4 e) r = 5 e r = – 5 3) ( UFPR ) Suponha que duas partículas P e Q se movem no plano cartesiano, de modo que em cada instante t a partícula P está no ponto (2t, 3 – t) e a partícula Q está no ponto (4t, 3t – 2). Com base nessas informações, avalie as seguintes afirmativas: I. As partículas colidem uma com a outra no instante t = 5/4 II. Ambas as partículas passam pelo ponto (4, 1) III. No instante t = 1, a distância entre as partículas é 5 Determine a alternativa correta A) somente as afirmativas II e III são verdadeiras B) somente a afirmativa II é verdadeira C) somente a afirmativa III é verdadeira D) somente a afirmativa I e II são verdadeiras E) as três afirmativas são verdadeiras 4) ( U.C. Salvador ) Os vértices de um triângulo são dados pelos pontos no plano cartesiano: A(–3, 4), B(3, 12) e C(18, 4). O menor lado desse triângulo mede: a) 7 b) 9 c) 10 d) 13 5) ( Fuvest – SP ) O ponto do eixo das abscissas, eqüidistante aos pontos P(–2, 2) e Q(2, 6) é: a) (2, 0) b) (5, 0) c) (3, 0) d) (0, 2) e) (4, 0) 6) Um grande vale é cortado por duas estradas retilíneas E1 e E2, que se cruzam perpendicularmente, dividindo-o em quatro quadrantes. Duas árvores que estão num mesmo quadrante têm a seguinte localização: a primeira dista 300 metros da estrada E1 e 100 metros da estrada E2, enquanto a segunda se encontra a 600 metros de E1 e a 500 metros de E2. A distância entre as duas árvores é: A) 200 metros B) 300 metros C) 400 metros D) 500 metros E) 600 metros 7) ( UFES ) As coordenadas do ponto médio de um segmento AB são (–1, 2). Sabendo-se que as coordenadas do ponto A são (2, 5), então as coordenadas de B são: a) (4, 1) b) (4, – 1) c) (– 4, 1) d) (– 1, – 4) e) n.d.a 8) (UFMG) Considere A(2, 1) e B(4, 0) dois pontos no plano coordenado. As coordenadas do ponto C, simétrico do ponto A em relação ao ponto B, são: a) (6, –1) b) (3, 1) c) (2, –1) d) (3, 1/2) e) (1, 0) 9) (Cesgranrio – RJ) Os pontos M, N, P e Q do R2 são vértices de um paralelogramo situado no primeiro quadrante. Se M(3, 5), N(1, 2) e P(5, 1) então o vértice Q é: a) (7, 4) b) (6, 5) c) (9, 8) d) (8, 6) e) (6, 3) 10) ( Unimontes – PAES ) Considere o triângulo com vértices nos pontos A(–1, 1), B(3, 2) e C(0, 5). Se M e N são os pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente, então a medida do segmento MN é igual a: a) 2 15 b) 2 17
- 179. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 179 c) 2 3 d) 2 5 11) ( PUC – SP ) O triângulo de vértices A(4, 3), B(6, –2) e C(–11, –3) é: a) eqüilátero b) isósceles c) acutângulo d) obtusângulo e) retângulo 12) ( UFMT ) Os vértices de um triângulo são os pontos A( 1, 4 ) , B( 4, 9 ) e C( 10, 15 ) . O comprimento da mediana AM relativa ao lado BC é : a) 17 b) 13 c) 10 d) 9 e) 8 13) ( MACK – SP ) No triângulo ABC, A(1, 1) é um dos vértices, N(5, 4) é o ponto médio de BC e M(4, 2) é o ponto médio de AB. Calcule as coordenadas dos vértices B e C e o baricentro do triângulo. 14) ( Mack – SP ) Sabendo que os pontos A(6, 0), B(0,6) e C(0, 0) são vértices do triângulo ABC, que M é ponto médio do lado BC e que G é o baricentro do triângulo, a área do triângulo GMB vale: a) 6 b) 3 c) 3/2 d) 18 e) 12 15) ( FMU – SP ) Dados os pontos A(–1, 1), B(1, –1), C(2, 1) e D(1, 2), a área do quadrilátero ABCD é igual a: a) 12 b) 10 c) 8 d) 9/2 e) 4 16) ( Unimontes – 2006 ) A área do pentágono, cujos vértices são A( 0, 0 ), B( 3, 0 ), C( 5, 2 ), D( 5, 5 ) e E( 0, 3 ), é igual a : a) 18 b) 36 c) 17 d) 35 17) ( Mack – SP ) A área de um triângulo é 2 25 e seus vértices são ( 0, 1 ), ( 2, 4 ) e ( – 7, k ). Um possível valor de k é : a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5 18) ( MACK – SP ) Dados os pontos A(2, 3), B(3, 4), C(4, 6), D(2, 4), E(3, 8) e F(k, 1), se os triângulos ABC e DEF têm mesma área, então um dos valores de k é : a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 19) ( PAES 2005 / Unimontes ) O gráfico abaixo nos fornece o valor a ser pago pelo consumo de água, em certa residência. Conforme o gráfico, para o consumo de 28 m3 , o valor a ser pago é de a) R$ 36,80 b) R$ 28,80 c) R$ 12,80 d) R$ 44,80 20) (Fatec – SP) Os pontos A(1, 4), B e C(5, –2) estão numa mesma reta. Determine o ponto B, sabendo que o mesmo é do eixo x. 8 Consumo em m 3 Preço em R$ 10 20 16 24 30
- 180. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 180 21) ( FGV – SP ) Uma reta passa pelos pontos ( 3, 5 ) e ( 4, 8 ). Portanto, o valor da ordenada de um ponto dessa reta cuja abscissa vale 10 é: a) 17 b) –19 c) 19 d) – 26 e) 26 22) ( Unimontes – 2004 ) Considere, no plano cartesiano, os pontos A(1, 4), B(6, 2) e P(x, y) como indicado na figura abaixo. Determine as coordenadas do ponto P, onde deve ocorrer a reflexão de um raio de luz que vai do ponto A ao ponto B. 23) ( PAES 2003 / Unimontes ) No jogo de bilhar, é comum um jogador usar a tabela para atingir uma bola. Nessas ocasiões, seu parceiro pode auxiliá-lo, indicando o simétrico da bola que será atingida em relação à tabela. Para isso, o parceiro mede a distância dessa bola até a tabela e a repete da tabela para fora da mesa, conforme figura abaixo. O jogador mira, então, o ponto indicado pelo parceiro e, por tabela, acerta a bola que deseja. Agora, suponha que, colocando sobre a mesa um sistema cartesiano, conforme a figura acima, e que nesse sistema as coordenadas da bola lançada sejam (10,40) e as da bola que se pretende atingir sejam (100,20), as coordenadas do ponto onde a bola lançada deve bater na tabela para depois acertar a bola que se quer atingir são A) (60,0). B) (70,0). C) (90,0). D) (80,0). 24) ( Unimontes – PAES / 2008 ) Um raio luminoso parte do ponto A(3, 10) e reflete-se no ponto B(7, 0), conforme a figura abaixo. A equação da reta suporte do raio refletido é A) 2x – 5y – 35 = 0. B) 5x – 2y + 35 = 0. C) 5x – 2y – 35 = 0. D) 5x + 2y + 35 = 0. 25) ( Cesgranrio ) Uma barra de ferro com temperatura inicial de –10°C foi aquecida até 30°C. O gráfico anterior representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0°C. a) 1 min b) 1 min 5 seg c) 1 min e 10 seg d) 1 min e 15 seg e) 1 min e 20 seg 26) (Unimontes – PAES 2009 ) Na figura abaixo, MNOP é um quadrado de lado 4 e OQRS é um quadrado de lado 3. A abscissa do ponto T onde a reta MR intercepta o eixo das abscissas é: a) – 24/7 b) – 12 c) – 24 d) – 32/7 EXERCÍCIOS EXTRAS 1) ( FEEQ – CE ) A distância entre os pontos A(cos a, sen a) e B(sen a, – cos a) é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 2) ( ITA – SP ) Três pontos de coordenadas, respectivamente (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por a) ( – b, – b ) b) ( 2b, – b ) c) ( 4b, – 2b ) d) ( 3b, – 2b ) e) ( 2b, – 2b ) A 3 10 B x y –10 30 5 Tempo (Min.) Temperatura (ºC ) P QR S N M O x y
- 181. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 181 3) ( UFMG ) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = 2x + 2, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é: a) 8 5 b) 5 8 c) 8 5 d) 5 8 4) ( Mack – SP ) A figura mostra os gráficos de y = x2 e y = – x2 + P. A distância do ponto A até o ponto B é: a) 2 5 b) 4 5 c) 6 d) 3 6 e) 5 2 GABARITO 1) B 2) B 3) A 4) C 5) E 6) D 7) E 8) A 9) A 10) B 11) E 12) C 13) B(7, 3); C(3, 5); G( 3 11 , 3) 14) B 15) D 16) A 17) A 18) B 19) A 20) B(11/3, 0) 21) E 22) P( 3 13 , 0) 23) B 24)C 25) D 26) C Extras 1) B 2) C 3) B 4) A EXERCÍCIO 2 1) ( MACK – SP ) A equação da reta que passa pelos pontos A( 3, 1 ) e B( – 2, 0 ) é: a) – 5y + x – 2 = 0 b) 5y – x – 2 = 0 c) – x – 5y + 2 = 0 d) – 5y – x – 2 = 0 2) (UCS – RS) A figura contém a representação gráfica da reta: a) 2x – 3y + 6 = 0 b) 2x + 3y – 6 = 0 c) 3x – 2y + 6 = 0 d) 2x – 3y – 2 = 0 3) ( MACK – SP ) A equação da reta r é dada por: a) y – 2x – 2 = 0 b) y – x – 2 = 0 c) y + 2x + 2 = 0 d) y – 2x – 2 = 0 e) y – 2x + 2 = 0 4) ( PUC – SP ) Na figura a seguir tem-se representada, em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rota de uma aeronave, de uma cidade M a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades A e B. Se os quatro pontos pertencem à reta de equação 4x – 3y + 1200 = 0, a distância entre as cidades A e B, em quilômetros, é de aproximadamente: A) 50 B) 500 C) 800 D) 5000 E) 8000 5) (UFES) O valor de K para que a equação Kx – y – 3K + 6 = 0 represente a reta que passa pelo ponto P(5, 0) é: a) 3 b) – 9 c) 9 d) –3 e) – 6 x y A B 0 2 y x 4 2 3 r x y – 1 – 2
- 182. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 182 x 1 –2 3 y r s 1 6) (PUC – SP) A equação geral da reta pelo ponto P( –3, 2 ) e coeficiente angular m é: a) mx + y + 3m = 0 b) mx – y + 2 + 3m = 0 c) x + my + 2 = 0 d) x – my + 3m = 0 7) ( UFRN ) O comandante de um barco resolveu acompanhar a procissão fluvial do Círio – 2002, fazendo o percurso em linha reta. Para tanto, fez uso do sistema de eixos cartesianos para melhor orientação. O barco seguiu a direção que forma 45º com o sentido positivo do eixo x, passando pelo ponto de coordenadas (3, 5). Este trajeto ficou bem definido através da equação: A) y = 2x – 1 B) y = – 3x + 14 C) y = x + 2 D) y = – x + 8 E) y = 3x – 4 8) ( UnB ) O Coeficiente angular da reta 2 55 53 x y é: a) 3/5 b) 1 c) 3 d) 5 e) 10/3 9) ( UnB ) A reta que passa pelos pontos ( 1, 3 ) e ( 5, –1 ) intercepta o eixo y no ponto: a) (0, 1) b) (0, 2) c) (0, 3) d) (0, 4) e) (0, 5) 10) ( UFRN ) Em termologia existem várias escalas termométricas, isto é, escalas nas quais se pode indicar a temperatura de um corpo ou ambiente. Às vezes é necessário converter as unidades indicadas nessas várias escalas. Sendo C os valores das temperaturas dadas em graus Celsius e F os valores das temperaturas dadas em graus Fahrenheit. Sabendo que o ponto de fusão da água é 0ºC ou 32ºF sendo representado pelo ponto A(0, 32) e o ponto de ebulição é 100ºC ou 212ºF sendo representado pelo ponto B(100, 212), encontre a equação de conversão de unidades Fahrenheit e Celsius de temperatura, ou seja, a equação da reta que passa pelos pontos A e B. A) 9C – 5F + 160 = 0 B) 5C – 9F + 160 = 0 C) 9C – 9F – 160 = 0 D) 5C – 9F – 160 = 0 E) 5C + 9F – 160 = 0 11) ( Unimontes – PAES ) Duas formigas, F1e F2, deslocam-se, no plano cartesiano, sobre as curvas de equações y = 3x – 2 e y = x2 – 2x + 4, respectivamente. Sabendo-se que essas formigas se encontram em dois pontos dessas curvas, é correto afirmar que esses pontos são a) ( 2, 4 ) e ( 3, 4 ) b) ( 4, 2 ) e ( 3, 7 ) c) ( 2, 4 ) e ( 3, 7 ) d) ( 4, 2 ) e ( 7, 3 ) 12) (UFRGS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de ordenada: a) 3/2 b) 5/3 c) 7/4 d) 9/5 e) 11/6 13) ( UFBA ) Na figura, a distância de P ao eixo das ordenadas é: a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4 e) 5 14) ( FMJ – SP ) Na figura, as retas r e s interceptam-se no ponto A, sendo os pontos B e C as interseções da reta t com os semi-eixos OY e OX, respectivamente. Encontre o valor da área do triângulo ABC. a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 15) ( Esam – RN ) A equação da reta que tem coeficientes angular e linear, respectivamente, iguais a 3 2 e – 1 é : a) x + 3y – 5 = 0 b) 2x – 3y – 3 = 0 x 6 y 61– 1 P r x y t s A 1 1 – 2 – 2 C B
- 183. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 183 c) 2x – 3y + 3 = 0 d) y = – x + 3 2 e) y = 3 2 x 16) ( ESPM ) Até o ano de 2000, a inflação num certo país manteve-se em 4% ao ano, aproximadamente. A partir daí sofreu aumentos sucessivos de 2% ao ano, até 2002, declinando novamente em 2003, conforme mostra o gráfico abaixo. Segundo previsões otimistas de que esse declínio se manterá constante pelos próximos anos, pode-se esperar que a inflação volte ao patamar de 4% no ano de: A) 2008 B) 2009 C) 2011 D) 2012 E) 2010 17) ( UCB ) São dadas as retas r: 2x – 4y – 5 = 0, s: – x + 2y – 3 = 0 e t:4x + 2y – 1 = 0, é correto afirmar que : a) r // s e s // t b) r // s e s t c) s // t e r s d) r s e s t e) r // t e r s 18) ( PAES 2006 / Unimontes ) Ao traçar o mapa do bairro da escola Delta, os alunos da 3ª série do ensino médio nomearam as ruas com equações, conforme suas posições. Qual a posição das ruas representadas pelas equações r1 e r2, sendo r1: 3x + 2y – 1 = 0 e r2: 2x + 3y + 4 = 0 ? a) Concorrentes b) Paralelas c) Reversas d) coincidentes 19) ( UFRGS ) Dada a reta ( r ) = 2x – y + 1 = 0, a equação da reta paralela a r pelo ponto P(1, 1) será: a) 2x – y = 0 b) 2x – y + 2 = 0 c) 2x + y + 1 = 0 d) 2x + y – 1 = 0 e) 2x – y – 1 = 0 20) ( FEI – SP ) A equação da reta que passa pelo ponto ( 1, 2 ) e é perpendicular a reta 3x – 2y + 2 = 0 é: a) 2x – 3y + 5 = 0 b) 2x – 3y – 5 = 0 c) 2x – 3y – 4 = 0 d) 2x – 3y + 4 = 0 e) 2x + 3y – 8 = 0 21) ( Fuvest – SP ) No Plano cartesiano, são dados os pontos A( –1, 2 ), B( 1, 3 ) e C( 2, –1). Determine a equação da reta que passa por C e é perpendicular a AB. a) 2x + y – 3 = 0 b) 2x – y – 3 = 0 c) 2x – y – 7 = 0 d) x + 2y – 3 = 0 e) x – 2y – 3 = 0 22) ( MACK – SP ) A reta r, determinada por A(2, –5) e B(3, k), tem coeficiente angular 2k. A equação da reta s paralela a r e que passa pela origem é: a) 10x + y = 0 b) x – 10y = 0 c)10x – y – 25 = 0 d) y = 10x e) y = x 23) ( UFES ) A equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas x + y – 1 = 0 e 2x – y = 0 e é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares é: a) 3x – 3y – 3 = 0 b) 3x – 3y + 1 = 0 c) 3x – 3y – 1 = 0 d) 3x + 3y + 1 = 0 e) 3x – 3y + 3 = 0 24) ( PUC – RS ) Os pontos (2, 3) e (6, 7) são os extremos da diagonal de um quadrado. A reta suporte da outra diagonal é: a) x – y + 9 = 0 b) x + y + 9 = 0 c) x – y – 9 = 0 d) x + y – 9 = 0 e) x – y + 1 = 0 25) ( Fuvest – SP ) Em relação a um sistema cartesiano ortogonal, são dados os pontos A(3, 0) e B(1, 2). A mediatriz do segmento AB é o conjunto dos pontos P(x, y) cujas coordenadas satisfazem a equação: a) x + y = 3
- 184. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 184 b) x + y = 0 c) x – y = 2 d) x + y = 2 e) x – y = 1 26) ( Unesp – 2001 ) Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P = (2, –1), determine : a) O coeficiente angular de r ; b) A equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. 27) ( FEI – SP ) No gráfico abaixo, sabe-se que t r e t // s. Determine a equação da reta s e a equação da reta t. 28) ( UFMG – 99 ) Observe a figura. Nessa figura, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são (6, 10) e os lados AB e AD estão contidos, respectivamente, nas retas de equações 14 2 x y e y = 4x – 2 . Nesse caso, as coordenadas do ponto B são: a) (10, 19) b) (7, 2 35 ) c)(9, 2 37 ) d) (8, 18 DESAFIO 1) ( Unimontes – PAES / 2007 ) Na figura abaixo, temos esboço do gráfico da função logarítmica y =logax e da reta r. Se a inclinação da reta r é 10 7 , a medida do segmento AB é 21 8 e B está entre A e C, então o valor de “a” é: a) 2 b) 2 c) 9 25 d) 4 GABARITO 1) B 2) A 3) C 4) B 5) D 6) B 7) C 8) E 9) D 10) A 11) C 12) D 13) C 14) B 15) B 16) E 17) B 18) A 19) E 20) E 21) A 22) D 23) B 24) D 25) E 26) a) m = – 2; b) x – 2y – 4 = 0 27) (s) 3x – 2y = 18 e (t) 3x – 2y = 0 28) D Desafios 1) D r x y t s 6 4 A B D C x y C B A y =logax r x y 3 5 2 1 1
- 185. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 185 EXERCÍCIO 3 1) ( Unimontes – 2005 ) Entre as regiões assinaladas nos gráficos abaixo, marque a que melhor representa a solução do sistema de inequações 37y4x3 3x 4y 2) ( PUC – SP ) O semi-plano hachurado é o conjunto dos pontos ( x, y ) tais que : a) x ≥ 2y – 2 b) x ≥ – 2y – 2 c) y ≤ x + 2 d) x ≤ 2y + 2 e) y ≥ 2 x + 1 3) A região sombreada no gráfico abaixo pode ser representada pelo conjunto de inequações : a) y 0 ; x 0 ; x 4 ; 3x + 2y 18 b) y 0 ; x 0 ; x 4 ; 3x + 2y 18 c) y 0 ; 2x 3x ; 3x + 2y 18 d) y 0 ; x 0 ; x 4 ; 3x + 2y 18 e) y 0 ; x 0 ; x 4 ; 3x + 5y 18 4) ( FCMSC – SP ) Considere os pontos A, B, C e D que definem as retas r e s, conforme a figura. Assinale a alternativa cujo conjunto de desigualdades descreve a região indicada : a) x ≥ 0 ; x – 2y + 3 ≥ 0 ; 2x + 3y ≥ 12 b) x ≥ 0 ; x – 2y + 3 ≤ 0 ; 2x + 3y ≤ 12 c) x ≥ 0 ; x + 2y – 3 ≤ 0 ; 2x – 3y ≤ 12 d) x ≥ 0 ; x – 2y + 3 ≤ 0 ; 2x – 3y ≥ 12 e) x ≤ 0 ; x – 2y + 3 ≥ 0 ; 2x + 3y ≤ 12 GABARITO 1) C 2) A 3) D 4) B 4 (4, 3) 6 y x0 1 – 2 y x 3 2 1 – 1 y x A C 5 4 B 6 D s r x y 3 7 4 7 y x3 7 4 7 y x3 7 4 7 y x3 7 4 7 a) b) c) d)
- 186. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 186 EXERCÍCIO 4 1) ( UFPA ) Qual é a distância da origem do sistema de coordenadas à reta y = – x + 2 ? a) 1 b) 2 c) 3 a) 2 b) 3 2) ( Cesgranrio ) O ponto A(–1, –2) é um vértice de um triângulo eqüilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determine a medida h da altura desse triângulo. 3) ( Fuvest – SP ) Seja r a reta que passa pelo ponto P( 3, 2 ) e é perpendicular à reta s, de equação y = – x+ 1. Qual é a distância entre o ponto A( 3, 0 ) e a reta r ? 4) ( Mack – SP ) A equação da reta paralela a y = x , com distância 2 do ponto P( 1, 2 ) e que passa pelo 2º quadrante é : a) x – y + 3 = 0 b) x – y – 1 = 0 c) x – y – 2 = 0 d) x – y + 1 = 0 e) x – y + 2 = 0 5) ( Ufac ) A distância entre as retas paralelas r e s representadas no gráfico é : 6) ( Mack – SP ) A equação da bissetriz de um dos ângulos formados pelas retas r: x – y + 2 = 0 e s: x + y – 2 = 0 é : a) x = y b) x = – y c) x = 2 d) y = 2 e) y = 0 7) ( PUC – SP ) As equações das retas que contêm os lados de um triângulo ABC são AB :x + y – 5 = 0, BC :x + 7y – 7 = 0 e CA : 7x + y + 14 = 0. A equação da bissetriz do ângulo interno em B é : a) 3x + 6y – 4 = 0 b) 3x + 6y – 10 = 0 c) 3x + 6y – 16 = 0 d) 3x + 6y – 18 = 0 e) 3x + 6y – 20 = 0 8) ( UFPR ) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y – 14 = 0 é: a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 18 9) ( Fuvest – SP ) Calcule a distância entre a retar1, de equação 3y = 4x – 2, e a reta r2, de equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1 // r2. 10) A área de um quadrado de lado AB na reta r: x + y + 1 = 0 e lado CD na reta s: x + y + 3 = 0 é : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 GABARITO 1) B 2) h = 2 5 3) 2 4) A 5) 5,6 6) D 7) C 8) A 9) 2 u.c 10) 2 u.A EXERCÍCIO 5 r s y x 8 7 – 6
- 187. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 187 1) Faça a representação geométrica das circunferências cujas equações são: a) ( x – 1 )2 + ( y + 4 )2 = 1 b) ( x + 1 )2 + ( y – 3 )2 = 9 c) x 2 + ( y – 2 ) 2 = 4 2) ( Unifor – CE ) O centro e o raio de uma circunferência de equação (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 4 são, respectivamente: a) ( 4, 9 ) e 2 b) (–2, –3 ) e 2 c) ( 2, 3 ) e 4 d) (–2, –3 ) e 4 e) ( 2, 3 ) e 2 3) ( UFBA ) Sendo M(–5, 0) e N(1, 0), a equação da circunferência abaixo é: a) (x + 2) 2 + y 2 = 9 b) (x – 2) 2 + y 2 = 9 c) x + (y – 2) 2 = 9 d) (x – 2)2 + y2 = 4 e) x 2 + y 2 = 4 4) ( PUC – SP ) O ponto da circunferência (x – 2) 2 + (y + 4) 2 = 4 que tem ordenada máxima é: a) (2, – 4) b) (2, – 2) c) (2, – 6) d) (– 4, 2) e) (– 4, 4) 5) ( Cesgranrio – RJ ) Uma equação da circunferência de centro (– 3, 4) e que tangencia o eixo x é: a) ( x – 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = 16 b) ( x – 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = 9 c) ( x + 3 )2 + ( y + 4 )2 = 16 d) ( x + 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = 9 e) ( x + 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = 16 6) ( PUC – RS ) O ponto P(–3, b) pertence à circunferência de centro C(0, 3) e raio r = 5. Quais os valores de b ? a) –14 e 20 b) –20 e 14 c) 8 e 2 d) –7 e 1 e) 7 e –1 7) ( UFMG ) Determine a equação da circunferência na qual os pontos A(2, 3 ) e B(0, 3 ) são diametralmente opostos. 8) ( Mack – SP ) Determine o centro e o raio da circunferência x2 + y2 – 6x – 16 = 0 . 9) ( Fuvest – SP ) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x 2 + y 2 – 10y = 0. Se A é o ponto (3, 1), então B é o ponto: a) (– 3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (– 3, 1) e) (1, 3) 10) ( UFPA ) O raio da circunferência x 2 + y 2 – 2x = 3 é: a) 2 d) 3 b) 3 e) 4 c) 2 11) ( FEI – SP ) Qual é o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 = 2( x – y ) + 1 ? 12) ( OSEC – SP ) Qual é a equação da circunferência que passa pela origem e tem o ponto C( – 1, – 5 ) como centro ? a) x2 + y2 + 2x + 10y + 2 = 0 b) x2 + y2 – 2x – 10y = 0 c) x2 + y2 – 26 = 0 M C y x N
- 188. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 188 d) x2 + y2 + 2x + 10y = 0 e) n.d.a 13) ( FGV – SP ) Dado o ponto P(5, 4) e a circunferência de equação x 2 + y 2 – 2x – 2y – 1 = 0. A equação da circunferência concêntrica com a circunferência dada que passa por P é: a) x2 + y2 – 2x – 2y – 20 = 0 b) x 2 + y 2 – 2x – 2y – 21 = 0 c) x 2 + y 2 – 2x – 2y – 22 = 0 d) x 2 + y 2 – 2x – 2y – 23 = 0 e) x2 + y2 – 2x – 2y – 24 = 0 14) ( UECE ) A distância do ponto P(–3, 8) à circunferência x 2 + y 2 – 10x – 4y + 13 = 0 está compreendida entre: a) 7 e 9 b) 5 e 7 c) 3 e 5 d) 1 e 3 15) ( UFPA ) Qual das equações abaixo é equação de uma circunferência ? a) x 2 + y 2 + 1 = 0 b) x 2 + y 2 + 2x + 2y + 4 = 0 c) x2 + y2 + 2xy + 2x + 4y = 64 d) x 2 + y 2 + 2x – 4y = – 4 e) x 2 +2xy + y 2 = 3 2 16) ( UFPA ) O maior valor inteiro de P para que a equação x 2 + y 2 – 6x + 4y + P = 0 represente uma circunferência é : a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 15 17) ( UFU – MG ) A condição para que x 2 + y 2 – 6x + 4y + 17 – m2 = 0 represente uma circunferência é: a) m – 2 ou m 2 b) m < – 2 ou m > 2 c) – 2 < m < 2 d) – 2 ≤ m ≤ 2 e) A equação não pode representar uma circunferência 18) Represente no plano cartesiano a solução da inequação x2 + y2 – 6x + 5 < 0. 19) ( Unimontes – 2005 ) Sejam os conjuntos A ={(x, y) IR × IR | x2 + y2 ≥ 1} e B ={(x, y) IR × IR | (x −1)2 + y2 < 1}. A região hachurada, no plano cartesiano, que melhor representa A∩B é : 20) ( Unimontes – 2004 ) O esboço que melhor representa a região do plano complexo dada por 1 ≤ |z −i | < 2, onde z = x + y i, com x e y em R, é 21) ( PUC – Campinas ) Sejam o ponto P(–3, 0), a reta r de equação y = x + 6 e a circunferência C de equação x2 + y2 – 4y = 0. É verdade que: a) P pertence ao interior de C b) P pertence a r c) r e C não têm pontos em comuns d) r e C interceptam-se em um único ponto e) r e C interceptam-se em dois pontos 22) ( UGF – RJ ) Qual deve ser o valor de K de modo que o ponto P( 1, 0 ) pertença ao interior da circunferência cuja equação é x2 + y2 – 2x – 2y – k = 0 ? c) d) a) b) i i i i 2–1 –1 1 x y 10 a) 2–1 –1 1 x y 10 b) 10 2–1 –1 1 x y c) 10 2–1 –1 1 x y d)
- 189. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 189 a) K = – 2 b) K > – 1 c) K < 1 d) K > 3 e) K = 5 23) ( F. Eng. Lorena ) O ponto P( 2 , 1 ), em relação à circunferência 4x2 + 4y2 = 9, é: a) Externo b) Pertencente c) Interno d) Centro e) N.d.a 24) ( FEI – SP ) A reta x + y = 2 , em relação à circunferência x 2 + y 2 = 1, é: a) Secante sem possuir o centro b) Secante passando pelo centro c) Tangente d) Exterior e) nda 25) ( Uece – CE ) A equação da reta tangente à circunferência x2 + y2 – 6x + 10y + 29 = 0 no ponto ( 2, – 3 ) é: a) x – 3y – 11 = 0 b) 2x + y – 1 = 0 c) x – 2y – 8 = 0 d) x + y + 1 = 0 e) nra. 26) ( Mackenzie – SP ) A curva x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 tem um único ponto comum com a reta x + y = k, k R. A soma dos possíveis valores de k é: a) 4 b) – 2 c) – 4 d) 2 e) 0 27) ( UFPA ) As circunferências x2 + y2 – 4x + 3 = 0 e x 2 + y 2 – 8x + 12 = 0, são: a) exteriores b) tangentes exteriores c) tangentes interiores d) concêntricas e) secantes 28) ( Cesgranrio – RJ ) As circunferências x 2 + y 2 + 8x + 6y = 0 e x2 + y2 – 16x – 12y = 0, são: a) exteriores b) secantes c) tangentes internamente d) tangentes externamente e) concêntricas 29) Na figura abaixo, a reta r intercepta os eixos coordenados nos pontos ( 2, 0 ) e ( 0, 4 ). Encontre a equação da circunferência indicada sabendo que ela possui centro na origem e que é tangente à reta r no ponto P. EXERCÍCIOS EXTRAS 1) ( FGV – SP ) A equação da circunferência que passa pelos pontos (3, 3) e (–1, 3) e cujo centro está no eixo das abscissas é: a) x2 + y2 = 1 b) x2 + y2 + 4x = 46 c) (x – 1)2 + y2 = 25 d) x 2 + y 2 – 2y = 10 e) x 2 + y 2 – 2x = 12 2) ( UFBA ) A intersecção da reta y + x – 1 = 0 com a circunferência x2 + y2 + 2x+ 2y – 3 = 0, determina uma corda cujo comprimento é: a) 3 2 b) 2 3 c) 2 2 d) 2 3) ( UFJF – MG ) A corda determinada pelo eixo das abscissas sobre a circunferência de equação x2 + y2 – 5x – 7y + 6 = 0 tem como medida: a) 1 u.c b) 3 u.c c) 5 u.c d) 9 u.c e) 18 u.c 4) ( Unifor – CE ) Uma circunferência é tangente aos eixos coordenados e à reta de equação x = 3. Se o centro de pertence ao quarto quadrante, a equação de é : a) 4 x 2 + 4 y 2 – 12x – 12y – 9 = 0 b) 4 x2 + 4 y2 + 12x – 12y – 9 = 0 c) 4 x 2 + 4 y 2 – 12x + 12y – 9 = 0 d) 4 x 2 + 4 y 2 + 12x – 12y + 9 = 0 e) 4 x2 + 4 y2 – 12x + 12y + 9 = 0 P 2 y x 4 r
- 190. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 190 5) (ITA – SP) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a circunferência de equação 2x2 + 2y2 – 11x + 6y – 8 = 0. Qual é a equação da circunferência tangente ao eixo das abscissas e com o mesmo centro da circunferência dada ? 6) ( Fuvest – SP ) Qual a equação da circunferência tangente ao eixo dos x na origem e que passa pelo ponto (3, 4) ? 7) ( Cesgranrio – RJ ) Faça o gráfico, no plano complexo, do conjunto dos pontos z = x + yi, tais que | z | ≤ 1 e y 0 . 8) ( Mack – SP ) Encontre as equações das retas que passam pelo ponto P(2, 3) e que são tangentes à circunferência de centro C( 0, 0 ) e raio 2. GABARITO Equação da Circunferência 1) a) b) c) 2) E 3) A 4) B 5) E 6) E 7) ( x – 1 ) 2 + y 2 = 4 8) C( 3, 0 ) e R = 5 9) A 10) C 11) C( 1, – 1 ) e R = 3 12) D 13) D 14) B 15) D 16) D 17) B 18) 19) B 20) A 21) C 22) B 23) A 24) C 25) C 26) A 27) E 28) D 29) 5x2 + 5y2 – 16 = 0 Exercícios Extras 1) E 2) D 3) A 4) E 5) 4 9 2 3 4 11 22 yx 6) 4x 2 + 4y 2 – 25y = 0 7) 8) 5x – 12y + 26 = 0 e x – 2 = 0 QUESTÕES DO ENEM 01. (ENEM-2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas – 4 1 x y – 1 3 x y 2 x y 1 x y 5 1 1 –1
- 191. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 191 e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto A) (–5, 0). B) (–3, 1). C) (–2, 1). D) (0, 4). E) (2, 6). 02. (ENEM-2013)Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: I — é a circunferência de equação x 2 + y 2 = 9; II — é a parábola de equação y = − x2 − 1, com x variando de −1 a 1; III — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2); IV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2,1), (2, 2) e (1, 2); V — é o ponto (0, 0). A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
- 192. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 192 03. (ENEM-2013) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano: A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas A) (65 ; 35). B) (53 ; 30). C) (45 ; 35). D) (50 ; 20). E) (50 ; 30). GABARITO 01. B 02. E 03. E BINÔMIO DE NEWTON 01. Encontre o(s) valor(es) de x em cada equação abaixo. a) 3x2 11 1x 11 b) x 9 4 8 3 8 c) 2046 1x x ... 3 x 2 x 1 x 02. Se p n representa um número binomial, encontre o valor das operações abaixo. a) 8 8 7 8 6 8 4 8 3 8 2 8 1 8 0 8 = b) 7 7 6 7 3 7 2 7 1 7 0 7 ... = c) 4 6 3 6 3 6 2 6 = d) 2 30 2 29 2 28 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 ... = e) 8 1p p 9 f) 20 4n 4 n 03. ( UFRN ) A expressão 3 7 + 4 7 – 35 é igual a: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45
- 193. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 193 e) 50 04. ( UFPR ) O valor de n de modo que 0 n + 1 n + 2 n + . . . + n n = 1024é : a) 5 b) 8 c) 10 d) 11 e) 12 05. ( PUC – RS ) A soma dos valores que m pode assumir na igualdade 1m 17 = 6m2 17 é : a) 1 b) 8 c) 13 d) 15 e) 17 06. ( FGV – SP ) O símbolo p n , { n, p } N e p n representa um número binomial. Os valores de p de modo que 3 8 + 4 8 = p 9 são: a) P = 4 b) P = 4 ou p = 6 c) P = 4 ou p = 5 d) P = 3 ou p = 5 e) P = 5 07. ( PUC – RJ ) A soma alternada 10 10 3 10 2 10 1 10 0 10 ... de coeficientes binomiais vale: a) 2 10 b) 20. c) 10. d) 10!. e) 0. 08. ( UFSM ) As soluções da equação x 8 5 7 4 6 3 6 são: a) x = 2 e x = 6 b) x = 3 e x = 5 c) x = 1 e x = 7 d) x = 0 e x = 8 e) x = 4 e x = 4 09. ( UFPR ) Os números reais x e y são tais que: x – y = 1 e x5 + 1 5 x4 y + 2 5 x3 y2 + 3 5 x2 y3 + 4 5 xy4 + y5 = 243. O quociente y x vale : a) 1 b) 1/2 c) 3 d) 2 e) 1/3 10. ( PUC – SP ) Se 10 1p 1m e 55 pm m , então o valor de p 1m é igual a: a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 11. (PUC) Um colecionador possui determinado número de selos raros e diferentes entre si. Agrupando-os 4 a 4, obteve o mesmo número de grupos que se os juntasse 6 a 6. Quantos, pois são os selos raros que o colecionador possuía? A) 10. B) 16. C) 36. D) 20. E) 45. 12. ( UEL – PR ) Para qualquer valor natural de n, o número de termos do desenvolvimento do binômio ( x + a )n é: A) n + 1. B) n. C) n – 1. D) par. E) ímpar.
- 194. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 194 13. (CEFET) O 4º termo do desenvolvimento de ( x +2) 6 é: A) 80x3 B) 80x 4 C) 40x5 D) 320x3 E) 160x3 14.( FEI – SP ) A soma de todos os coeficientes do desenvolvimento de (14x – 13y) 237 é: a) 0 b) 1 c) – 1 d) 331.237 e) 1.973.747 15. (UFV) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é: A) 5. B) 6. C)10. D) 3. E) 4. 16. Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b) m é igual a 256, calcule (m/2). 17. ( UFPI ) Se a e b são números reais tais que (a + b) 10 = 1024 e se o 6º termo do desenvolvimento binomial é igual a 252, então: a) a = 1/2 e b = 3/2 b) a = 3 e b = -1 c) a = 2/3 e b = 4/3 d) a = 1/3 e b = 5/3 e) a = 1 e b = 1 18. ( UEL – PR ) Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + a)5 , com a IR, é 80x2 , então o valor de a é a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 19. O coeficiente do termo em x –3 no desenvolvimento de 6 x 1 x é: A) 1. B) 6. C) 10. D) 15 E) inexistente. 20. ( EMF – PR ) Se o desenvolvimento de ( 2x + y )6 é ( 2x + y )6 = 64x6 + 192x5 y + ax4 y2 + ...+ bxy5 + y6 , então a razão a/b vale: a) 5 b) 20 c) 2 d) 1 e) 10 21. (MACK) No desenvolvimento de ( 2x – y ) 5 . ( 2x + y ) 5 , a soma dos coeficientes numéricos vale: a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) 243 22. (FGV-SP) Sabendo-se que a soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( x + a ) p é igual a 512, p vale: a) 8 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 23. (UFCE) O coeficiente de x15 no desenvolvimento de ( x 2 + x -3 ) 15 é: a) 455 b) 500 c) 555 d) 643 e) 545 24. (UNESP) O termo independente de x no desenvolvimento de 6 2 x 1 x é igual a: a) 30 b) 15 c) 4
- 195. CURSO DE MATEMÁTICAHAMILTON E ALEX 195 d) 0 e) 1 25. (FGV) O sexto termo do desenvolvimento de 10 x 1 x2 é: a) 8064 b) 13440x2 c) 3360x-2 d) 13440x -2 e) 8064x2 26. ( UFES ) Qual é o termo central de ( x – 3 ) 6 ? a) – 540x3 b) – 3240x3 c) 3240x3 d) 540x3 e) 540x 4 27. (MACK) No desenvolvimento de ( x + 3 ) 6 , o número de termos com coeficiente par é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 28. (PUC-SP) O desenvolvimento de ( y – 2 )7 possui : a) 7 termos b) 560 por coeficiente de y3 c) coeficiente negativo se o expoente de y for ímpar d) coeficiente de y6 igual ao coeficiente de y e) 6 termos 29. ( MACK ) O 4º termo do desenvolvimento de ( a + b ) 6 é 540. Se ( a + b ) 5 = 2 10 então | a - b | vale: a) -3 b) 3 c) 4 d) 2 e) 7 30.(UNIMONTES-PAES) No desenvolvimento do binômio 15 x 1 x , o termo independente de x A) não existe. B) é 1. C) é 5. D) é 1/5 GABARITO 1) a) x = 2 ou x = 5 b) x = 4 ou x = 5 c) x = 11 2) a) 200 b) 0 c) 70 d) 4495 e) 510 f) 20349 3) B 4) C 5) C 6) C 7) E 8) B 9) D 10) B 11) A 12) A 13) E 14) B 15) E 16) 24 17) E 18) E 19) D 20) B 21) E 22) C 23) A 24) B 25) A 26) A 27) A 28) B 29) D 30) A
- 196. 196 PROVA DO ENEM- 2015
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- 208. 208 PROVA DO ENEMAPLICADA NAS UNIDADES PRISIONAIS E SOCIOEDUCATIVAS ( 2015 )
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- 221. 221 GABARITO - ENEM2015 GABARITO - ENEM 2015 (UNIDADES PRISIONAIS)