O documento discute o esforço computacional envolvido em calcular determinantes e resolver sistemas lineares de diferentes ordens através de métodos tradicionais e com auxílio de computadores. Também apresenta o método de Gauss-Jordan para calcular a inversa de uma matriz e determinantes, reduzindo significativamente o esforço computacional.

1. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
SISTEMAS LINEARES
( AULA 3 )

2. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
ESFORÇO COMPUTACIONAL
O ESFORÇO COMPUTACIONAL ENVOLVIDO NO MÉTODO TRADICIONAL
(TEOREMA DE LAPLACE) DE CÁLCULO DE DETERMINANTES É MUITO
GRANDE
EXEMPLIFICANDO
O CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM 4 EXIGE
QUE CALCULEMOS O DETERMINANTE DE 4 MATRIZES DE ORDEM 3.
O CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM 5 EXIGE
QUE CALCULEMOS O DETERMINANTE DE 5 MATRIZES DE ORDEM 4 E
PORTANTO 20 MATRIZES DE ORDEM 3.
O CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM 6 EXIGE
QUE CALCULEMOS O DETERMIANTE DE 6 MATRIZES DE ORDEM 5 E
PORTANTO 120 MATRIZES DE ORDEM 3.
O CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM 7 EXIGE
QUE CALCULEMOS O DETERMINANTE DE 7 MATRIZES DE ORDEM 6 E
PORTANTO 720 MATRIZES DE ORDEM 3.
E ASSIM SUCESSIVAMENTE . . .

3. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
SENDO Mn E An RESPECTIVAMENTE O NÚMERO DE MULTIPLICAÇÕES
E ADIÇÕES NECESSÁRIAS PARA O CÁLCULO DO DETERMINANTE DE
UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n PELO MÉTODO DE LAPLACE,
TEMOS :
1 n n-1
A = 0 e A = n - 1 + n . A
1 n n-1
M = 0 e M = n + n . M
E O NÚMERO TOTAL DE OPERAÇÕES É DADO POR :
n n n
Δ = M + A
PARA CALCULAR MANUALMENTE O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
SUPONDO QUE O TEMPO MÉDIO PARA CADA OPERAÇÃO SEJA DE
5 SEGUNDOS TEMOS:
6
: Δ = 1.955 Tn = 6 3→ horas;
: Δ = 109.599 → T 152 horas(n 6= 8 dias); ;8
: Δ = 9.234.099 → Tn = 534 dia10 s;10

4. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
VAMOS AGORA CALCULAR O ESFORÇO COMPUTACIONAL ENVOLVIDO
NO CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE
ORDEM n COM O AUXÍLIO DE UM COMPUTADOR
18
n
Δ 6,191n = .: 1020 ;
► 1984: UTILIZANDO UM COMPUTADOR IBM370 (MODELO 158) O
TEMPO PARA REALIZAR UMA ADIÇÃO ERA DE 0,9 . 10 – 6
SEGUNDOS E O TEMPO PARA UMA MULTIPLICAÇÃO ERA DE
1,9 . 10 – 6
SEGUNDOS. CONSIDERANDO UM TEMPO MÉDIO DE
1,4 . 10 – 6
SEGUNDOS:
;T 275.000 anos
► 2007: A INTEL VENCE A BARREIRA DOS 2 TeraFlops (2 TRILHÕES DE
OPERAÇÕES DE PONTO FLUTUANTE POR SEGUNDO)
;T 36 dias
► 2008: O ROADRUNNER ENCABEÇA A LISTA TOP500. TRATA-SE DE
UM CLUSTER COM 122400 PROCESSADORES TRABALHANDO
COM 3200 MHz (12,8 GigaFlops)
1;T hora( 66 minutos)

5. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
O NÚMERO DE OPERAÇÕES ENVOLVIDAS NA RESOLUÇÃO DE UM
SISTEMA LINEAR QUADRADO DE ORDEM n, PELA REGRA DE CRAMER
(QUE UTILIZA MATRIZES) É DADO POR:
( )n n
S = n +1 . Δ + n
ASSIM, PARA UM SISTEMA DE ORDEM 20, TEMOS:
20
n
S = 1,3 .→ 1n 0 0= 2
EM 1984 UM IBM370 (MODELO 158) DEMORARIA 15 MILHÕES DE ANOS
PARA CALCULAR ESTE SISTEMA.
JÁ O NÚMERO DE OPERAÇÕES ENVOLVIDAS NA RESOLUÇÃO DE UM
SISTEMA LINEAR QUADRADO DE ORDEM n, PELA MÉTODO DE GAUSS
É DADO POR: 3 2
n
4 n + 9 n - 7 n
G =
6
ASSIM, PARA UM SISTEMA DE ORDEM 20, TEMOS:
n
Gn = =→ 520 .910
EM 1984 UM IBM370 (MODELO 158) DEMORARIA 0,02 SEGUNDOS PARA
CALCULAR ESTE SISTEMA.

6. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
INVERSÃO DE MATRIZES POR GAUSS-JORDAN
O PROCESSO APRESENTADO ANTERIORMENTE PARA INVERTER UMA
MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n, NÃO É VIÁVEL SOB O PONTO DE
VISTA COMPUTACIONAL, TENDO EM CONTA QUE SERIA NECESSÁRIO
RESOLVER n SISTEMAS LINEARES CADA UM DELES COM n EQUAÇÕES
A n INCÓGNITAS.
ASSIM SENDO, VAMOS APRESENTAR UM OUTRO MÉTODO QUE REDUZ
SENSIVELMENTE O ESFORÇO COMPUTACIONAL ENVOLVIDO.
O MÉTODO
CONSIDEREMOS A MATRIZ:
( ) ( )i j n
A = a ∈ M R
SE A MATRIZ A É INVERSÍVEL ENTÃO EXISTE UMA MATRIZ:
( ) ( )i j n
X = x ∈ M R
TAL QUE:
n
A . X = I = X . A
A MATRIZ X SE DENOMINA MATRIZ INVERSA DE A E É REPRESENTADA
POR A - 1

7. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a . . . a
a a . . . a
. . . . . .
a a . . . a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
x x . . . x
x x . . . x
. . . . . .
x x . . . x
. =
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
. . . . . .
0 0 . . . 1
A X I n
NOTEMOS AGORA QUE AO MULTIPLICAR A MATRIZ A PELA j-ÉSIMA
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a . . . a
a a . . . a
. . . . . .
a a . . . a
( )1≤ j ≤ n COLUNA DA MATRIZ X OBTEMOS A j-ÉSIMA COLUNA DA
MATRIZ I n , OU SEJA:
.
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
i j
2 j
n j
x
x
.
.
x
=
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
0
.
1
.
0








11 1j 1n nj
j j1 1j jn nj
n1 ij nn nj
a x + . .. + a x = 0
..... .... .........
S = a x + ... + a x = 0
..... .... .........
a x + . .. + a x = 0

8. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
ASSIM PARA DETERMINAR OS ELEMENTOS DA j-ÉSIMA COLUNA DA
MATRIZ A DEVEMOS RESOLVER O SISTEMA SJ , OU SEJA DEVEMOS
RESOLVER UM SISTEMA COM n EQUAÇÕES A n INCÓGNITAS.
ORA, COMO:
1≤ j ≤ n
( ) ( )M Mc j n c j
A I → I X
COLUNA j DE I n
OPERAÇÕES
ELEMENTARES
COLUNA j DE X
GAUSS-JORDAN :
CONCLUÍMOS QUE PARA OBTER TODOS OS ELEMENTOS DA MATRIZ X
DEVEMOS RESOLVER n SISTEMAS CADA UM DELES COM n EQUAÇÕES
A n INCÓGNITAS.
PORÉM, COMO TODOS ESTES SISTEMAS POSSUEM A MESMA MATRIZ
DE COEFICIENTES (MATRIZ A), PODEMOS UTILIZAR O ARTIFÍCIO:
GAUSS-JORDAN : ( ) ( )n
M Mn
A I → I X
MATRIZ I n
OPERAÇÕES
ELEMENTARES
MATRIZ A - 1

9. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
EXEMPLO
DETERMINE SE POSSÍVEL A INVERSA DA MATRIZ:
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
1 4 3
A = 2 5 4
1 -3 -2
SOLUÇÃO
INICIALMENTE CONSTRUÍMOS A MATRIZ: ( )M 3
A I
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
1 4 3 1 0 0
2 5 4 0 1 0
1 - 3 - 2 0 0 1
A IDÉIA AGORA É APLICAR SOBRE ESTA MATRIZ UMA SEQÜÊNCIA DE
OPERAÇÕES ELEMENTARES COM O OBJETIVO DE TRANSFORMAR A
MATRIZ A EM UMA MATRIZ IDENTIDADE DE ORDEM 3:
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
1 4 3 1 0 0
2 5 4 0 1 0
1 - 3 - 2 0 0 1
OPERAÇÕES
→
ELEMENTARES
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
1 0 0 2 -1 1
0 1 0 8 - 5 2
0 0 1 - 11 7 - 3
A I 3 I 3 A - 1
RECOMENDAÇÃO
CONVÉM AGORA VERIFICAR QUE DE FATO A . A – 1
= I 3 A FIM DE
EVITAR ERROS DE CÁLCULO

10. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
CÁLCULO DE DETERMINANTES POR GAUSS
O PROCESSO SE BASEIA EM DOIS TEOREMAS:
TEOREMA I
O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA:
► TROCA DE SINAL QUANDO SE APLICA SOBRE A MATRIZ UMA
OPERAÇÃO DO TIPO E i j
► RESULTA MULTIPLICADO POR α QUANDO SE APLICA SOBRE A
MATRIZ UMA OPERAÇÃO DO TIPO E i ( α)
► NÃO SE ALTERA QUANDO SE APLICA SOBRE A MATRIZ UMA
OPERAÇÃO DO TIPO E i j (α)
TEOREMA II
O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ TRIANGULAR É IGUAL AO
PRODUTO DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL

11. SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)
EXEMPLO
CALCULE O DETERMINE DA MATRIZ:
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
2 4 - 1 2
1 2 - 1 2
A =
3 - 1 1 1
1 1 1 1
ROTEIRO DA SOLUÇÃO
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
2 4 - 1 2
1 2 - 1 2
3 - 1 1 1
1 1 1 1
1
2
3
4
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
0
0 0
0 0 0
K *
K
K
*
K
* *
*
*
→
OPERAÇÕES
ELEMENTARES
ASSIM O DETERMINANTE DA MATRIZ A É DADO POR: 1 2 3 4
K . K . K . K
CUIDADO:
► TROCAR O SINAL DO PRODUTO K1 . K 2 . K 3 . K 4 TODA VEZ QUE FOR
UTILIZADA UMA OPERAÇÃO DO TIPO E i j
NÃO SE ESQUEÇA DE:
► DIVIDIR O PRODUTO K1 . K 2 . K 3 . K 4 POR α TODA VEZ QUE FOR
UTILIZADA UMA OPERAÇÃO DO TIPO E i ( α)
RESPOSTA: - 18