Esta prova contém duas partes: (1) Dez questões sobre autômatos e gramáticas formais com respostas curtas. (2) Três exercícios sobre máquinas de Turing, incluindo a descrição formal de uma MT, sua operação em uma entrada, e a prova de que uma linguagem decidível é também reconhecível.

1. Autˆomatos e Computabilidade: Prova 2
Parte 1 (5 pontos)
Para cada quest˜ao, indique a resposta correta. N˜ao precisa justificar sua escolha. Cada quest˜ao vale 0,5
ponto.
1. Seja a gram´atica G definida por
S → AX | Y C
A → aA | ε
C → cC | ε
X → bXc | ε
Y → aY b | ε
Qual das seguintes cadeias pode ser derivada de S em zero ou mais passos?
(a) aaba
(b) aabbbc
(c) aaAbXc
Resposta: (c). A linguagem gerada pela gram´atica ´e {aibjck| i = j ou j = k}. As
respostas (a) e (b) violam esse formato, enquanto que S ⇒ AX ⇒ aAX ⇒ aaAX ⇒
aaAbXc.
2. Na gram´atica do item (1), o conjunto de cadeias que podem ser derivadas de C ´e
(a) c∗
(b) Cadeias com uma quantidade par de cs.
(c) ∅ porque C n˜ao ´e a vari´avel inicial.
Resposta: (a).
3. Qual das seguintes afirma¸c˜oes sobre a gram´atica do item (1) ´e verdadeira?
(a) G ´e amb´ıgua porque abc tem duas deriva¸c˜oes diferentes a partir de S.
(b) G ´e amb´ıgua porque abc tem duas ´arvores sint´aticas diferentes apartir de S.
(c) G n˜ao ´e amb´ıgua porque pode ser convertida `a forma normal de Chomsky.
Resposta: (b). Uma gram´atica ´e amb´ıgua se alguma cadeia tem duas ´arvores sint´aticas
diferentes
S
A
a A
ε
X
b X
ε
c
S
Y
a Y
ε
b
C
c C
ε
Duas deriva¸c˜oes diferentes para a mesma cadeia n˜ao necessariamente indicam ambig¨ui-
dade.

2. 4. Considere o autˆomato com pilha P definido por
q0 q1
ε,ε → ε
a,# → εb,ε → #
Suponha que o autˆomato est´a no estado q1, que o conte´udo da pilha ´e ##### e que a por¸c˜ao n˜ao
lida da cadeia de entrada ´e abba. Depois de executar um passo, o autˆomato
(a) termina sua opera¸c˜ao.
(b) continua no estado q1 e o conte´udo da pilha ´e ######.
(c) continua no estado q1 e o conte´udo da pilha ´e ####.
Resposta: (c). O autˆomato desempilha um # e continua em q1.
5. A linguagem reconhecida pelo autˆomato do item (4) ´e
(a) {bnan| n ≥ 0}
(b) {bman| m ≥ n ≥ 0}
(c) {bman| n ≥ m ≥ 0}
Resposta: (b). Em q0, o autˆomato empilha um # para cada b na cadeia de entrada. Em
q1, desempilha um # para cada a. Como q1 ´e um estado de aceita¸c˜ao, o autˆomato aceita
sempre que puder desempilhar um #, i.e., sempre que a quantidade de as seja menor ou
igual que a quantidade de bs.
6. Seja a linguagem L = {ambnambn| m,n ≥ 0}, e considere a seguinte demonstra¸c˜ao de que L
sim satisfaz o lema do bombeamento para linguagens livre-do-contexto: Seja p o comprimento de
bombeamento. Escolha s = apbapb ∈ L. Divida s na forma s = uvxyz, com u = ap−1, v = a,
x = b, y = a, z = ap−1b. Claramente, uvixyiz ∈ L para todo i ≥ 0.
(a) A demonstra¸c˜ao est´a incorreta porque n˜ao foram consideradas todas as poss´ıveis divis˜oes de
s.
(b) A demostra¸c˜ao est´a incorreta porque n˜ao foram consideradas todas as poss´ıveis cadeias s ∈ L.
(c) A demonstra¸c˜ao est´a correta.
Resposta: (b).
7. Seja a linguagem L = {anbncn| ≥ 0}, e considere a seguinte demonstra¸c˜ao de que L n˜ao satisfaz
o lema do bombeamento para linguagens livre-do-contexto: Seja p ≥ 1 o comprimento de bombe-
amento. Escolha s = apbpcp ∈ L, e divida s na forma s = uvxyz, com u = ε, v = a, x = ε, y = ε,
z = ap−1bpcp. Claramente, uv0xy0z /∈ L.
(a) A demonstra¸c˜ao est´a incorreta porque n˜ao foram consideradas todas as poss´ıveis divis˜oes de
s.
(b) A demostra¸c˜ao est´a incorreta porque n˜ao foram consideradas todas as poss´ıveis cadeias s ∈ L.

3. (c) A demonstra¸c˜ao est´a correta.
Resposta: (a).
8. Quantas m´aquinas de Turing ´e poss´ıvel construir com alfabeto de entrada Σ = {0,1}, alfabeto de
fita Γ = {0,1, }, e os estados q0, qaceita e qrejeita?
(a) 3.
(b) 183.
(c) Infinitas.
Resposta: (b). No diagrama de estados de cada m´aquina de Turing h´a 3 setas de
transi¸c˜ao saindo de q0 (uma para cada s´ımbolo em Γ). Para cada transi¸c˜ao, h´a 3 estados
alvo poss´ıveis, 3 s´ımbolos que podem ser escritos na fita, e 2 sentidos poss´ıveis para mover
a cabe¸ca leitora.
9. Suponha que M1 e M2 s˜ao m´aquinas de Turing que reconhecem as linguagens L1 e L2, respectiva-
mente, e L1 ⊆ L2. Ent˜ao
(a) Para cada cadeia de entrada na qual M1 n˜ao para, M2 tampouco para.
(b) Para cada cadeia de entrada na qual M1 para, M2 tamb´em para.
(c) Para cada cadeia de entrada que M1 aceita, M2 para.
Resposta: (c). M2 aceita todas as cadeias de L1.
10. Se L ´e uma linguagem Turing-decid´ıvel, ent˜ao
(a) L e ¯L devem ser Turing-reconhec´ıvel.
(b) L deve ser Turing-reconhec´ıvel, mas ¯L pode n˜ao sˆe-lo.
(c) L ou ¯L ´e Turing-reconhec´ıvel, mas n˜ao ambas.
Resposta: (a). L ´e Turing-reconhec´ıvel, pois ´e decid´ıvel. ¯L tamb´em deve ser decid´ıvel,
pois podemos construir uma m´aquina de Turing que aceite as cadeias que n˜ao est˜ao em
L e rejeite as que sim est˜ao. Se ¯L ´e decid´ıvel tamb´em ´e reconhec´ıvel.
Parte 2 (5 pontos)
1. (2 pontos) Considere a seguinte m´aquina de Turing M sobre o alfabeto de entrada {0, 1}. Todas
as transi¸c˜oes n˜ao mostradas no diagrama conduzem ao estado de rejei¸c˜ao.
q0
q1
q2
qaceita
1 → 0,D
0 → 1,E
0 → 1,D
→ ,D

4. (a) Escreva a defini¸c˜ao formal de M como uma 7-upla.
Resposta: M = (Q, Σ, Γ, δ, qo, qaceita, qrejeita), onde Q = {q0, q1, q2, qaceita, qrejeita},
Σ = {0, 1} , Γ = {0, 1, } e δ ´e a fun¸c˜ao definida por
δ(q0, 1) = (q1, 0, D)
δ(q1, 0) = (q2, 1, E)
δ(q1, ) = (qaceita, , D)
δ(q2, 0) = (q0, 1, D)
δ(q, a) = (qrejeita, , D) para qualquer outro caso
(b) Descreva a opera¸c˜ao de M sobre a entrada 1000, como uma sequˆencia de configura¸c˜oes. Para
cada configura¸c˜ao, indique o conte´udo da fita, a posi¸c˜ao da cabe¸ca leitora, e o estado de M.
Por exemplo, a configura¸c˜ao inicial ´e
q0
↓
1 0 0 0 . . .
Tamb´em pode utilizar a nota¸c˜ao do livro-texto: q01000
Resposta:
q01000 11q010
0q1000 110q10
q20100 11q201
1q0100 111q01
10q100 1110q1
1q2010 1110 qaceita
(c) Existe alguma cadeia para qual a M n˜ao para?
Resposta: N˜ao, M aceita ou rejeita todas as cadeias de entrada.
(d) Qual a linguagem reconhecida por M?
Resposta: 10*.
2. (1 ponto) Toda linguagem decid´ıvel por uma m´aquina de Turing com k > 1 fitas pode ser decidida
tamb´em por uma m´aquina de Turing com k − 1 fitas? Justifique brevemente sua resposta.
Resposta: Sim. Toda linguagem decidida por uma m´aquina de Turing com k > 1 fitas
tamb´em ´e decidida por uma m´aquina de Turing com uma ´unica fita. Uma m´aquina de
Turing com uma fita pode ser considerada como uma m´aquina de k − 1 fitas, que apenas
utiliza a primeira e ignora as restantes.
3. (2 pontos) Suponha que A e B s˜ao linguagens Turing-reconhec´ıveis e que A∪B e A∩B s˜ao ambas
decid´ıveis. Prove que A ´e decid´ıvel.

5. Resposta: Sejam MA e MB as m´aquinas de Turing que reconhecem as linguagens A e
B, respectivamente, e MA∪B e MA∩B as que decidem A ∪ B e A ∩ B, respectivamente.
Construimos uma m´aquina de Turing M que decide A da seguinte forma:
Para uma cadeia de entrada w, M roda MA∪B.
Se MA∪B rejeita, w /∈ A, portanto, M rejeita (e para).
Se MA∪B aceita, M roda MA∩B.
Se MA∩B aceita, ent˜ao w ∈ A e M aceita (e para).
Se MA∩B rejeita, ent˜ao w ∈ A ou w ∈ B (mas n˜ao pertence a ambos).
Agora, M roda MA e MB em paralelo, alternando entre ambas um passo por vez.
Uma das duas m´aquinas, MA ou MB, deve aceitar w.
Se MA aceita, M aceita (e para).
Se MB aceita, M rejeita (e para).