O documento descreve a hierarquia de Chomsky, que classifica as linguagens formais em quatro tipos principais com base na potência expressiva de suas gramáticas geradoras e reconhecedores associados. O documento explica cada tipo de linguagem formal na hierarquia, começando pelas linguagens regulares no nível 3 e terminando com as linguagens recursivamente enumeráveis no nível 0.

1. Fernando Simeone
A Hierarquia
de Chomsky

2. Sumário
• Introdução
• Linguagens Regulares (3)
• Linguagens Livre de Contexto (2)
• Linguagens Recursivamente Enumeráveis (0)
• Linguagens Sensíveis ao Contexto (1)
• A Hierarquia de Chomsky

3. Introdução

4. Introdução

5. Introdução
• Linguagens

6. Introdução
• Linguagens
• Gramáticas

7. Introdução
• Linguagens
• Gramáticas
• Reconhecedores

8. Hierarquia de Chomsky
Linguagens Regulares (3)
Linguagens Livre de Contexto (2)
Linguagens Sensíveis ao Contexto (1)
Linguagens Recursivamente Enumeráveis (0)

9. Linguagens
Regulares3
T I P O

10. Hierarquia de Chomsky
Linguagens Regulares (3)
Linguagens Livre de Contexto (2)
Linguagens Sensíveis ao Contexto (1)
Linguagens Recursivamente Enumeráveis (0)

11. Linguagens Regulares
!
• Linguagens: Linguagens Regulares
• Gramáticas: Gramáticas Regulares
• Reconhecedores: Autômatos Finitos

12. !
L = { a(ba)* }
aba, ababa, abababa
!
L = { (a + b)*(aa + bb) }
aa, bb, aaa, abaa
Linguagens Regulares

13. G = (V, T, P, S)
!
Regras de Produção:
A ⟶ wB
A ⟶ Bw
A ⟶ w
A ⟶ λ
Sendo que w ϵ T*, e A, B ϵ V.
Gramáticas Regulares

14. Gramáticas Regulares

15. Gramáticas Regulares
L = { a(ba)* }
(aba, ababa, abababa)

16. Gramáticas Regulares
G = ({S, A}, {a, b}, P, S)
S ⟶ aA
A ⟶ baA | λ
L = { a(ba)* }
(aba, ababa, abababa)

17. Gramáticas Regulares
G = ({S, A}, {a, b}, P, S)
S ⟶ aA
A ⟶ baA | λ
L = { a(ba)* }
(aba, ababa, abababa)
L = { (a + b)*(aa + bb) }
(aa, bb, aaa, abaa)

18. Gramáticas Regulares
G = ({S, A}, {a, b}, P, S)
S ⟶ aA
A ⟶ baA | λ
L = { a(ba)* }
(aba, ababa, abababa)
G = ({S, A}, {a, b}, P, S)
S ⟶ Aaa | Abbe
A ⟶ Aa | Ab | λ
L = { (a + b)*(aa + bb) }
(aa, bb, aaa, abaa)

19. Autômatos Finitos
• L = a(ba)*

20. Autômatos Finitos
• L = a(ba)*
S A qf
B
a λ
ab

21. Autômatos Finitos
• L = a(ba)*
S A qf
B
a λ
ab
a b a b a
a b b a a
Exemplos:

22. Autômatos Finitos
• L = a(ba)*
S A qf
B
a λ
ab
a b a b a ✓ Aceita
a b b a a
Exemplos:

23. x Não aceita
Autômatos Finitos
• L = a(ba)*
S A qf
B
a λ
ab
a b a b a ✓ Aceita
a b b a a
Exemplos:

24. Linguagens
Livres de Contexto2
T I P O

25. Hierarquia de Chomsky
Linguagens Regulares (3)
Linguagens Livre de Contexto (2)
Linguagens Sensíveis ao Contexto (1)
Linguagens Recursivamente Enumeráveis (0)

26. !
• Linguagens: Linguagens Livres de Contexto
• Gramáticas: Gramáticas Livres de Contexto
• Reconhecedores: Autômatos Com Pilha
Linguagens Livres de Contexto

27. Linguagens Livres de Contexto
!
L = { anbn | n ≥ 0 }
ab, aabb, aaabbb
!
L = Expressões aritméticas (+, *, [, ])
x + x, x + x * x, x * [x + x]

28. Gramáticas Livres de Contexto
G = (V, T, P, S)
!
Regras de Produção:
A ⟶ 𝛂
Sendo que 𝛂 ϵ (T ∪ V)*.

29. Gramáticas Livres de Contexto
G = (V, T, P, S)
!
Regras de Produção:
A ⟶ 𝛂
Sendo que 𝛂 ϵ (T ∪ V)*.
Exemplos:
A ⟶ aAb
B ⟶ aaA

30. Gramáticas Livres de Contexto

31. Gramáticas Livres de Contexto
L = { anbn | n ≥ 0 }
(ab, aabb, aaabbb)

32. Gramáticas Livres de Contexto
L = { anbn | n ≥ 0 }
(ab, aabb, aaabbb)
G = ({S}, {a, b}, P, S)
S ⟶ aSb
S ⟶ λ

33. Gramáticas Livres de Contexto
L = { anbn | n ≥ 0 }
(ab, aabb, aaabbb)
G = ({S}, {a, b}, P, S)
S ⟶ aSb
S ⟶ λ
L = Expressões aritméticas
( x + x, x + x * x, x * [x + x] )

34. Gramáticas Livres de Contexto
G = ({E}, {+, *, [, ], x}, P, E)
E ⟶ E + E | E * E | [E] | x
L = { anbn | n ≥ 0 }
(ab, aabb, aaabbb)
G = ({S}, {a, b}, P, S)
S ⟶ aSb
S ⟶ λ
L = Expressões aritméticas
( x + x, x + x * x, x * [x + x] )

35. Autômatos com Pilha
• L = { anbn | n ≥ 0 }

36. Autômatos com Pilha
• L = { anbn | n ≥ 0 }
S qf
B
(a, λ, B)
(b, B, λ)
(b, B, λ)
(λ, λ, λ) (λ, λ, λ)

37. Autômatos com Pilha
• L = { anbn | n ≥ 0 }
a a b b
a b b a
Exemplos:
S qf
B
(a, λ, B)
(b, B, λ)
(b, B, λ)
(λ, λ, λ) (λ, λ, λ)

38. Autômatos com Pilha
• L = { anbn | n ≥ 0 }
a a b b ✓ Aceita
a b b a
Exemplos:
S qf
B
(a, λ, B)
(b, B, λ)
(b, B, λ)
(λ, λ, λ) (λ, λ, λ)

39. Autômatos com Pilha
• L = { anbn | n ≥ 0 }
x Não aceita
a a b b ✓ Aceita
a b b a
Exemplos:
S qf
B
(a, λ, B)
(b, B, λ)
(b, B, λ)
(λ, λ, λ) (λ, λ, λ)

40. Linguagens
Recursivamente
Enumeráveis
0
T I P O

41. Linguagens Recursivamente Enumeráveis (0)
Hierarquia de Chomsky
Linguagens Sensíveis ao Contexto (1)
Linguagens Livre de Contexto (2)
Linguagens Regulares (3)

42. Linguagens Recursivamente
Enumeráveis!
• Linguagens: Ling. Recursivamente Enumeráveis
• Gramáticas: Gramáticas Irrestritas
• Reconhecedores: Máquinas de Turing

43. !
L = { anbncn | n ≥ 0 }
abc, aaabbbccc, aabbcc
!
L = { u[u] | u ϵ {a, b}* }
aa[aa], aab[aab], baba[baba]
Linguagens Recursivamente
Enumeráveis

44. Gramáticas Irrestritas

45. Gramáticas Irrestritas
G = (V, T, P, S)
!
Regras de Produção:
u ⟶ w
Sendo que u ϵ (T ∪ V)+ e w ϵ (T ∪ V)*.

46. Gramáticas Irrestritas
G = (V, T, P, S)
!
Regras de Produção:
u ⟶ w
Sendo que u ϵ (T ∪ V)+ e w ϵ (T ∪ V)*.
Exemplos:
A ⟶ aAb
B ⟶ λ
bAc ⟶ aA

47. Gramáticas Irrestritas

48. Gramáticas Irrestritas
L = { anbncn | n ≥ 0 }
(abc, aaabbbccc)

49. Gramáticas Irrestritas
L = { anbncn | n ≥ 0 }
(abc, aaabbbccc)
G = ({S, A, C}, {a, b, c}, P, S)
S ⟶ aAbc | λ Cb ⟶ bC
A ⟶ aAbC | λ Cc ⟶ cc

50. Gramáticas Irrestritas
L = { u[u] | u ϵ {a, b}* }
( aa[aa], baba[baba] )

51. Gramáticas Irrestritas
• G = ({S, T, A, B}, {a, b [, ]}, P, S)
S ⟶ aT[a] | bT[b] Ba ⟶ aB
T[ ⟶ aT[A | bT[B | [ Bb ⟶ bB
Aa ⟶ aA A] ⟶ a]
Ab ⟶ bA B] ⟶ b]
L = { u[u] | u ϵ {a, b}* }
( aa[aa], baba[baba] )

52. Máquina de Turing
• L ={ anbncn | n ≥ 0 }

53. Máquina de Turing
• L ={ anbncn | n ≥ 0 }
qf
q0
(B, B, ➞)
q1 q3 q4
q5
q2
(a, X, ➞) (b, Y, ➞)
(a, a, ➞)
(Y, Y, ➞)
(b, b, ➞)
(Z, Z, ➞)
(c, Z,←)
(a, a, ←)
(b, b, ←)
(Y, Y, ←)
(Z, Z, ←)
(X, X, ➞)
(Z, Z, ➞)
(Y, Y, ➞)
(Y, Y, ➞)
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
B B B … B

54. Máquina de Turing
• L ={ anbncn | n ≥ 0 } a a b b c c
a b b a c c
Exemplos:
qf
q0
(B, B, ➞)
q1 q3 q4
q5
q2
(a, X, ➞) (b, Y, ➞)
(a, a, ➞)
(Y, Y, ➞)
(b, b, ➞)
(Z, Z, ➞)
(c, Z,←)
(a, a, ←)
(b, b, ←)
(Y, Y, ←)
(Z, Z, ←)
(X, X, ➞)
(Z, Z, ➞)
(Y, Y, ➞)
(Y, Y, ➞)
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
B B B … B

55. Máquina de Turing
• L ={ anbncn | n ≥ 0 } a a b b c c
a b b a c c
Exemplos:
✓ Aceita
qf
q0
(B, B, ➞)
q1 q3 q4
q5
q2
(a, X, ➞) (b, Y, ➞)
(a, a, ➞)
(Y, Y, ➞)
(b, b, ➞)
(Z, Z, ➞)
(c, Z,←)
(a, a, ←)
(b, b, ←)
(Y, Y, ←)
(Z, Z, ←)
(X, X, ➞)
(Z, Z, ➞)
(Y, Y, ➞)
(Y, Y, ➞)
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
B B B … B

56. Máquina de Turing
• L ={ anbncn | n ≥ 0 } a a b b c c
a b b a c c
Exemplos:
x Não aceita
✓ Aceita
qf
q0
(B, B, ➞)
q1 q3 q4
q5
q2
(a, X, ➞) (b, Y, ➞)
(a, a, ➞)
(Y, Y, ➞)
(b, b, ➞)
(Z, Z, ➞)
(c, Z,←)
(a, a, ←)
(b, b, ←)
(Y, Y, ←)
(Z, Z, ←)
(X, X, ➞)
(Z, Z, ➞)
(Y, Y, ➞)
(Y, Y, ➞)
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
B B B … B

57. Linguagens
Sensíveis ao Contexto1
T I P O

58. Linguagens Recursivamente Enumeráveis (0)
Linguagens Sensíveis ao Contexto (1)
Hierarquia de Chomsky
Linguagens Livre de Contexto (2)
Linguagens Regulares (3)

59. Linguagens Sensíveis
ao Contexto!
• Linguagens: Linguagens Sensíveis ao Contexto
• Gramáticas: Gramáticas Sensíveis ao Contexto
• Reconhecedores: M. de Turing com fita limitada

60. !
L = { anbncn | n > 0 }
abc, aaabbbccc, aabbcc
!
L = { ww | w ϵ {a, b}* }
aa, aabb, abaaba
Linguagens Sensíveis
ao Contexto

61. Gramáticas Sensíveis ao Contexto
G = (V, T, P, S)
!
Regras de Produção:
u ⟶ w
Sendo que u ϵ (T ∪ V)+ e w ϵ (T ∪ V)*, e |u| ≤ |w|.

62. Gramáticas Sensíveis ao Contexto
G = (V, T, P, S)
!
Regras de Produção:
u ⟶ w
Sendo que u ϵ (T ∪ V)+ e w ϵ (T ∪ V)*, e |u| ≤ |w|.
Exemplos:
A ⟶ aAb
Cc ⟶ aAc
Aa ⟶ bB
B ⟶ λ

63. Gramáticas Sensíveis ao Contexto

64. Gramáticas Sensíveis ao Contexto
L = { anbncn | n > 0 }
(abc, aabbcc, aaabbbccc)

65. Gramáticas Sensíveis ao Contexto
G = ({S, A, C}, {a, b, c}, P, S)
S ⟶ aAbc | abc
A ⟶ aAbC | λ
Cb ⟶ bC
Cc ⟶ cc
L = { anbncn | n > 0 }
(abc, aabbcc, aaabbbccc)

66. A Hierarquia
de Chomsky

67. Hierarquia de Chomsky
Linguagens Regulares (3)
Linguagens Livre de Contexto (2)
Linguagens Sensíveis ao Contexto (1)
Linguagens Recursivamente Enumeráveis (0)

68. Hierarquia de Chomsky
Linguagem Gramática Reconhecedor
[0] Linguagens
Recursivamente Enumeráveis
Gramáticas Irrestritas Máquina de Turing
[1] Linguagens Sensíveis ao
Contexto
Gramáticas Sensíveis
ao Contexto
Máquina de Turing
com Fita Limitada
[2] Linguagens Livres de
Contexto
Gramáticas Livres de
Contexto
Autômato com Pilha
[3] Linguagens Regulares Gramáticas Regulares Autômato Finito

69. 0
Hierarquia de Chomsky
Gramáticas
A ⟶ aAb#
B ⟶ aaA
Cc ⟶ aAc#
Aa ⟶ bB
aCc ⟶ aA
A ⟶ abB#
A ⟶ Bab#
A ⟶ λ

70. 0
1
Hierarquia de Chomsky
Gramáticas
A ⟶ aAb#
B ⟶ aaA
Cc ⟶ aAc#
Aa ⟶ bB
aCc ⟶ aA
A ⟶ abB#
A ⟶ Bab#
A ⟶ λ

71. 0
1
2
Hierarquia de Chomsky
Gramáticas
A ⟶ aAb#
B ⟶ aaA
Cc ⟶ aAc#
Aa ⟶ bB
aCc ⟶ aA
A ⟶ abB#
A ⟶ Bab#
A ⟶ λ

72. 0
1
2
Hierarquia de Chomsky
Gramáticas
A ⟶ aAb#
B ⟶ aaA
Cc ⟶ aAc#
Aa ⟶ bB
aCc ⟶ aA
3A ⟶ abB#
A ⟶ Bab#
A ⟶ λ

73. Referências
• MENEZES, P. B. Linguagens formais e
autômatos. 4 ed. Sagra-Dcluzzato, 1998.
• SUDKAMP, T. A. Languages and Machines: An
Introduction to the Theory of Computer Science
(3rd Edition). Boston, MA, USA: Addison-
Wesley Longman Publishing Co., Inc., 2005.
ISBN 0321322215.

74. Obrigado
Dúvidas ??