Linguagens Formais

1

Disciplina de Linguagens Formais

Prof. Carlos A. P. Campani

2 de maio de 2006

2

Copyright c 2005 Carlos A. P. Campani.
´
E garantida a permissõ para copiar, distribuir e/ou
a
modificar este documento sob os termos da Licen¸a de
c
Documenta¸ao Livre GNU (GNU Free Documentation
c˜
License), Versõ 1.2 ou qualquer versõ posterior
a a
publicada pela Free Software Foundation; sem Se¸oes
c˜
Invariantes, Textos de Capa Frontal, e sem Textos de
Quarta Capa. Uma c´pia da licen¸a ´ inclu´ na se¸ao
o c e ıda c˜
intitulada “GNU Free Documentation License”.
veja: http://www.ic.unicamp.br/~norton/fdl.html.

3

Objetivos
• Formalizar o conceito de linguagem;
• Apresentar uma classiﬁca¸ao de linguagens baseada
c˜
nesta formaliza¸ao;
c˜
• Fornecer ferramentas para implementar compiladores;
• Relacionar a hierarquia de linguagens com o conceito
de computabilidade.

4

S´ mula da Disciplina
u
1. Introdu¸ao ` Teoria de Linguagens Formais;
c˜ a
• Alfabetos, Senten¸as e Linguagens;
c
• Gram´ticas e Reconhecedores;
a
• Tipos de Gram´ticas/Linguagens (Hierarquia de
a
Chomsky);

5

2. Gram´ticas Regulares e Autˆmatos Finitos;
a o
• Defini¸ao de Gram´tica Regular (GR);
c˜ a
• Defini¸ao de Autˆmato Finito;
c˜ o
• Autˆmato Finito Nõ-Determin´
o a ıstico;
• Rela¸ao entre Autˆmato Finito e GR;
c˜ o
• Minimiza¸ao de Autˆmato Finito;
c˜ o
• Express˜es Regulares;
o
• Bombeamento para Linguagens Regulares;
• M´quinas de Moore e Mealy;
a

6

3. Gram´ticas Livres de Contexto e Autˆmatos de
a o
Pilha;
• Defini¸ao de GLC;
c˜
´
• Arvores de Deriva¸ao e Ambigïdade;
c˜ u
• Transforma¸oes em GLC: Elimina¸õ de S´
c˜ ca ımbolos
In´teis; Transforma¸ao em uma GLC ε-Livre;
u c˜
Remo¸ao de Produ¸oes Simples; Fatora¸õ;
c˜ c˜ ca
Elimina¸ao de Recursõ ` Esquerda;
c˜ a a
• Formas Canˆnicas: Forma Normal de Chomsky;
o
Forma Normal de Greibach;
• Autˆmatos de Pilha (PDA);
o
• Rela¸ao entre PDA e GLC;
c˜

7

4. Reconhecedor – Algoritmo CYK;
5. Linguagens Tipo 0 e M´quinas de Turing;
a
6. Linguagens Sens´
ıveis ao Contexto e Autˆmatos de
o
Fita Limitada;
7. Hierarquia de Chomsky (revisitada).

8

Bibliograﬁa
• Introduction to Automata Theory, Languages, and
Computation, Hopcroft e Ullman;
• Linguagens Formais e Autˆmatos, Paulo Blauth
o
Menezes.

9

Links

(Lˆminas)
a
http://www.ufpel.tche.br/~campani/lingformal.pdf
(Lˆminas para impress˜o)
a a
http://www.ufpel.tche.br/~campani/lingformal4.ps.gz

1 ¸˜
INTRODUCAO 10

1 Introdu¸õ
ca
• Uma linguagem ´ um meio de comunica¸õ utilizado
e ca
por elementos de uma determinada comunidade.
Formada por:
– Conjunto de palavras;
– Conjunto de regras gramaticais;
• Uma linguagem ´ formal quando pode ser
e
representada atrav´s de um sistema com sustenta¸õ
e ca
matem´tica. Formada por:
a
– Sintaxe (estrutura) – foco da nossa disciplina;
– Semˆntica (significado) – nõ interessa para n´s.
a a o

1 ¸˜
INTRODUCAO 11

• Alfabeto (ou vocabul´rio) ´ um conjunto finito de
a e
s´
ımbolos. Ex: d´ıgitos, letras, etc.

{a, b, c, . . . , z}

{0, 1}

• Senten¸a (ou palavra, ou string) sobre um alfabeto ´
c e
qualquer seq¨ˆncia finita de s´
ue ımbolos do alfabeto.
Ex: Seja o alfabeto V = {0, 1}, sõ senten¸as v´lidas
a c a
001, 1010, etc.
• O tamanho (ou comprimento) de uma senten¸a ć e
dado pelo n´mero de s´
u ımbolos que a comp˜e. Ex:
o
V = {a, b, c}, senten¸a w = ab, tamanho |w| = 2;
c

1 ¸˜
INTRODUCAO 12

• A senten¸a que n˜o cont´m s´
c a e ımbolos (tamanho zero)
´ chamada de senten¸a vazia, sendo denotada por ε
e c
(|ε| = 0);
• Seja V um alfabeto. Representamos por:
– V ∗ – conjunto de todas as senten¸as compostas de
c
s´
ımbolos de V incluindo a senten¸a vazia;
c
– V + = V ∗ − {ε};
Exemplo: V = {0, 1},
V ∗ = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, . . .},
V + = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, . . .}.

1 ¸˜
INTRODUCAO 13

Linguagem ´ qualquer conjunto de senten¸as sobre um
e c
alfabeto.
ou
Uma linguagem L sobre um alfabeto V ´ tal que L ⊆ V ∗ .
e

1 ¸˜
INTRODUCAO 14

• Tipos de linguagens: finitas, vazias e infinitas;
• Representa¸ao:
c˜
– Listando as palavras (s´ finita);
o
– Descri¸ao alg´brica. Ex: {an bn cn |n ≥ 1}.
c˜ e
Nota¸ao:
c˜
n vezes
aaa · · · a = an ;
– Definindo um algoritmo que determina (sim ou
nõ) se uma senten¸a pertence a uma linguagem
a c
(Reconhecimento). Ex: autˆmato finito;
o
– Definindo um mecanismo que gera todas as
senten¸as da linguagem em alguma ordem
c
(Gera¸õ). Ex: gram´tica.
ca a

1 ¸˜
INTRODUCAO 15

• Uma gram´tica serve para definir qual o subconjunto
a
de senten¸as que faz parte de uma determinada
c
linguagem. Ela ´ um dispositivo formal para
e
especificar uma linguagem potencialmente infinita de
uma forma finita;

1 ¸˜
INTRODUCAO 16

• Nota¸õ Formal de Gram´tica
ca a
Uma gram´tica G ´ definida por uma qu´drupla
a e a

G = (N, T, P, S)

onde:
N conjunto finito de nõ-terminais;
a
T conjunto finito de terminais;
P conjunto finito de regras de produ¸ao;
c˜
S s´
ımbolo inicial da gram´tica.
a
Observa¸oes: N T = ∅, V = N
c˜ T, S ∈ N,
P = {α → β|α ∈ V + ∧ β ∈ V ∗ }.

1 ¸˜
INTRODUCAO 17

Exemplo: gera n´meros inteiros
u

G = (N, T, P, I)

N = {I, D}
T = {0, 1, 2, . . . , 9}
P = {I → D, I → DI, D → 0, D → 1, . . . , D → 9}

ou

P : I → D|DI, D → 0|1|2| · · · |9

Exerc´ıcio: Reescrever tentando evitar n´meros tipo
u
0015.

1 ¸˜
INTRODUCAO 18

• Conven¸oes:
c˜
S´
ımbolos nõ-terminais N = {A, B, C, . . . T };
a
S´
ımbolos terminais T = {a, b, c, . . . t};
S´
ımbolo terminal ou nõ-terminal
a
N T = {U, V, . . . Z};
Seq¨ˆncias de terminais T ∗ = {u, v, . . . z};
ue
Seq¨ˆncias de nõ-terminais e terminais
ue a
(N T )∗ = {α, β, γ, . . .}.

1 ¸˜
INTRODUCAO 19

• Deriva¸˜o (⇒) ´ uma opera¸ao de substitui¸ao
ca e c˜ c˜
efetuada de acordo com as regras de produ¸˜o da
ca
gram´tica.
a
Formalmente: γαδ ⇒ γβδ se α → β ∈ P e γ, δ ∈ V ∗ .
Exemplo: G = ({S, A, B}, {0, 1}, {S → AB, A →
0|AB, B → 1|1B}, S), e

S ⇒ AB ⇒ ABB ⇒ 0BB ⇒ 01B ⇒ 011B .

1 ¸˜
INTRODUCAO 20

• Uma seq¨ˆncia de deriva¸oes com zero ou mais
ue c˜
passos (⇒∗ ):
Formalmente: α1 ⇒∗ αm se
α1 ⇒ α2 , α2 ⇒ α3 , . . . , αm−1 ⇒ αm ,
α1 , α2 , . . . , αm ∈ V ∗ .
• Garantindo pelo menos uma substitui¸ao (⇒+ ):
c˜
Formalmente: α1 ⇒+ αm se α1 ⇒ α2 , α2 ⇒∗ αm ,
α1 , α2 , . . . , αm ∈ V ∗ .

1 ¸˜
INTRODUCAO 21

• Uma senten¸a de uma linguagem ´ uma seq¨ˆncia
c e ue
formada por terminais, obtida a partir do s´
ımbolo
inicial da gram´tica desta linguagem, atrav´s de
a e
deriva¸oes sucessivas.
c˜
Formalmente: S ⇒+ u.
• Uma forma sentencial ´ uma seq¨ˆncia qualquer,
e ue
composta de terminais e n˜o-terminais, obtida a
a
partir do s´
ımbolo inicial da gram´tica atrav´s de
a e
deriva¸oes sucessivas.
c˜
Formalmente: S ⇒∗ α.

1 ¸˜
INTRODUCAO 22

• A linguagem gerada por uma gram´tica
a
G = (N, T, P, S) ´ o conjunto de todas as senten¸as
e c
da linguagem obtidas da gram´tica por deriva¸oes
a c˜
sucessivas.
Formalmente: L(G) = {w|w ∈ T ∗ ∧ S ⇒∗ w}.

1 ¸˜
INTRODUCAO 23

Ex: G = ({S}, {0, 1}, P, S) com
P = {S → 0S1, S → 01}. Assim,
S ⇒ 0S1 ⇒ 00S11 ⇒ 03 S13 ⇒ · · · que ´ igual a 0n 1n
e
para n ≥ 1. Logo, L(G) = {0n 1n |n ≥ 1}.
Nota¸˜o:
ca
n vezes
aaa · · · a = an .

1 ¸˜
INTRODUCAO 24

Exerc´
ıcio: Seja a seguinte gram´tica:
a

G = ({S, A, B}, {0, 1}, P, S)

P = {S → ASBB|BSAA|0, A → 01|01A, B → 10|10B}
Obtenha as deriva¸oes para as seguintes senten¸as:
c˜ c
1. 0101010;
2. 101000101010101.

1 ¸˜
INTRODUCAO 25

• Tipos de Gram´ticas – segundo a hierarquia de
a
Chomsky existem quatro tipos:
Tipo 0 ou Irrestritas P = {α → β|α ∈ V + , β ∈ V ∗ };
Tipo 1 ou Sens´ ıvel ao Contexto Se α → β ∈ P
ent˜o |α| ≤ |β|.
a
Outra forma:
P = {α1 Aα2 → α1 βα2 |α1 , α2 ∈ V ∗ , β ∈ V + , A ∈ N };
Tipo 2 ou Livre de Contexto
P = {α → β|α ∈ N ∧ β = ε};
Tipo 3 ou Regular A → aB ou A → a, ou seja,
P = {A → aX|A ∈ N, a ∈ T, X ∈ N ∪ {ε}}.

1 ¸˜
INTRODUCAO 26

• Gram´ticas lineares:
a
Gram´tica linear ` direita Se todas as produ¸oes
a a c˜
sõ da forma A → wB ou A → w, com w ∈ T ∗ ;
a
Gram´tica linear ` esquerda Se todas as
a a
produ¸oes sõ da forma A → Bw ou A → w;
c˜ a
Gram´tica linear unit´ria ` direita linear `
a a a a
direita com |w| ≤ 1;
Gram´tica linear unit´ria ` esquerda linear `
a a a a
esquerda com |w| ≤ 1.
• Teorema: As quatro defini¸oes de gram´ticas lineares
c˜ a
sõ equivalentes.
a

1 ¸˜
INTRODUCAO 27

• Deﬁni¸˜o alternativa de gram´tica regular:
ca a
Uma gram´tica regular ´ qualquer gram´tica linear.
a e a

1 ¸˜
INTRODUCAO 28

Regulares

Livres de Contexto

´
Sensiveis ao Contexto
Tipo 0

Tipo 3 ⊂ Tipo 2 ⊂ Tipo 1 ⊂ Tipo 0 ⊂ T ∗

1 ¸˜
INTRODUCAO 29

• Ex:
G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S)
P = {S → aB|bA, A → a|aS|bAA, B → b|bS|aBB}
1. Tipo da gram´tica?
a
2. L(G)?

1 ¸˜
INTRODUCAO 30

• Respostas:
1. Livre de contexto;
2. L(G) ´ o conjunto de todas as palavras em T ∗ que
e
tem o mesmo n´mero de a’s e b’s.
u

1 ¸˜
INTRODUCAO 31

• Linguagens classiﬁcadas segundo as gram´ticas em:
a
1. Recursivamente enumer´veis ou RE
a
(gram´tica Tipo 0) – conjuntos recursivamente
a
enumer´veis est˜o relacionado com a m´quina de
a a a
Turing, fun¸˜es parciais recursivas e
co
computabilidade;
2. Linguagem sens´ ao contexto ou LSC
ıvel
(gram´tica Tipo 1);
a
3. Linguagem livre de contexto ou LLC
(gram´tica Tipo 2);
a
4. Linguagem Regular ou LR
(gram´tica Tipo 3).
a

1 ¸˜
INTRODUCAO 32

• Vamos extender as defini¸oes das gram´ticas Tipo 1
c˜ a
e 2 para permitir produ¸˜es do tipo S → ε. Isto s´ ´
co oe
poss´ se S nõ aparece em lado direito de
ıvel a
nenhuma produ¸õ. Assim, S → ε somente ser´
ca a
utilizada para originar a senten¸a vazia;
c

L(G ) = L(G) {ε}

• Para introduzir S → ε em gram´tica que viola a
a
condi¸õ anterior, devemos transforma-la em uma
ca
equivalente que obede¸a a restri¸ao;
c c˜
• Gram´ticas equivalentes sõ aquelas que geram a
a a
mesma linguagem;

1 ¸˜
INTRODUCAO 33

• Para transformar incluiremos um novo s´ ımbolo
n˜o-terminal (S ) que passar´ a ser o novo s´
a a ımbolo
inicial. Em seguida, incluiremos em P todas as
regras que tenham o s´ ımbolo S no lado esquerdo,
substituindo este por S , e incluindo ainda uma regra
S → ε;
Ex1: G = ({S, A}, {a}, P, S) com
P = {S → aA, A → a|aA}. Obtemos
G = ({S, A}, {a}, P , S) com
P = {S → aA|ε, A → a|aA};

1 ¸˜
INTRODUCAO 34

Ex2: G = ({S, A}, {a}, P, S) com
P = {S → aA, A → a|aS}. Obtemos
G = ({S , S, A}, {a}, P , S ) com
P = {S → aA|ε, S → aA, A → a|aS};

1 ¸˜
INTRODUCAO 35

Exerc´
ıcios:
1. Construa uma gram´tica G tal que:
a
(a) L(G) = {an bm |n ≥ 0 ∧ m ≥ 1};
(b) L(G) = {ai bj ci |i ≥ 0 ∧ j ≥ 1}.
2. Construa uma gram´tica regular G tal que:
a

L(G) = {w|w ∈ {0, 1}+ e n˜o tem 1 s consecutivos}
a

3. Construa uma gram´tica livre de contexto G tal que:
a
L(G) = {w|w ∈
{0, 1, 2}+ e todos os zeros sejam consecutivos}

1 ¸˜
INTRODUCAO 36

4. Seja G deﬁnida por:

S → aS|bB, B → cB|cC, C → cS|c

Pede-se:
(a) determine L(G);
(b) construa G tal que L(G ) = L(G) {ε};
(c) veriﬁque se as senten¸as abaixo pertencem a L(G):
c
• abccc;
• bccabcc;
• abccbbc.

1 ¸˜
INTRODUCAO 37

5. Construa uma GLC G tal que L(G) seja o conjunto
de express˜es aritm´ticas v´lidas. Os terminais s˜o
o e a a
identiﬁcadores (id), parˆnteses (“(” e “)”), e os
e
operadores +, ∗, e − un´rio.
a

2 ´ ˆ
GRAMATICAS REGULARES E AUTOMATO FINITO 38

2 Gram´ticas Regulares e
a
Autˆmato Finito
o
• O autˆmato finito (AF) ´ uma m´quina abstrata que
o e a
reconhece linguagens regulares;
• Modelo matem´tico com entradas e sa´
a ıdas. Se ´
e
fornecido ao AF uma seq¨ˆncia de s´
ue ımbolos como
entrada, ele responder´ se esta seq¨ˆncia pertence `
a ue a
linguagem ou nõ;
a
• O AF pode assumir um n´mero finito de estados;
u
• Um estado resume os estados anteriores pelos quais
passou e os s´
ımbolos que j´ foram lidos na entrada.
a

2 ´ ˆ

• Defini¸õ formal de autˆmato finito
ca o
Um autˆmato finito M sobre um alfabeto Σ ´ um
o e
sistema (K, Σ, δ, q0 , F ) onde:
K – conjunto finito, nõ vazio, de estados;
a
Σ – alfabeto finito de entrada;
δ – fun¸ao de transi¸ao de estados,
c˜ c˜

δ :K ×Σ {ε} → K ;

q0 ∈ K estado inicial;
F ⊂ K conjunto de estados finais.

2 ´ ˆ

Fita de entrada

0 1 0 0 1 0 1
Cabeçote

Controle
Finito

δ(q, a) = p para q, p ∈ K e a ∈ Σ, signiﬁcando que
estando no estado q e lendo o s´ımbolo a na ﬁta de
entrada podemos mudar para o estado p avan¸ando o
c
cabe¸ote uma posi¸ao.
c c˜

2 ´ ˆ

• Diagrama de Transi¸õ
ca
– Outra maneira de representar um autˆmato finito;
o
– Grafo direcionado e rotulado;
– Os v´rtices representam os estados, desenhados
e
como c´
ırculos;
– As arestas representam as transi¸oes entre dois
c˜
estados, sendo o r´tulo o s´
o ımbolo reconhecido na
entrada;
– O estado inicial ´ marcado com uma seta;
e
– Os estados finais sõ indicados por c´
a ırculos
duplos.

2 ´ ˆ

Ex:

a

a b
q0
@ABC
GFED q1
/ GFED
@ABC q2
/ G?=
@ABC
89:;
FED

M = ({q0 , q1 , q2 }, {a, b}, δ, q0 , {q2 }), e δ(q0 , a) = q1 ,
δ(q1 , a) = q1 , δ(q1 , b) = q2 . Logo, T (M ) = {an b|n ≥ 1}.

2 ´ ˆ

• Tabela de Transi¸ao de Estados
c˜
– Uma terceira forma de representar um AF;
– Tabela indicando na vertical os estados, e na
horizontal os s´
ımbolos do alfabeto. No
cruzamento est˜o as transi¸oes poss´
a c˜ ıveis;
– O estado inicial ´ indicado por uma seta, e os
e
estados ﬁnais por asteriscos.

2 ´ ˆ

Ex1:
δ a b
→ q0 q1 -
q1 q1 q2
*q2 - -
Exerc´
ıcio:
1. Descreva formalmente o AF;
2. Desenhe o diagrama de transi¸˜o equivalente.
ca

2 ´ ˆ

Ex2: AF que reconhece senten¸as em {0, 1}∗ as quais n˜o
c a
cont´m dois ou mais 1’s consecutivos.
e

0

1
+ GFED
q0
/ GFED k
@ABC
?=
89:; q1
@ABC
?=
89:;
0

M = (K, Σ, δ, q0 , F ), K = {q0 , q1 }, Σ = {0, 1},
F = {q0 , q1 }, com δ(q0 , 0) = q0 , δ(q0 , 1) = q1 , δ(q1 , 0) = q0 .
Exerc´
ıcio: Apresente a tabela de transi¸ao.
c˜

2 ´ ˆ

Tabela:
δ 0 1
→ ∗q0 q0 q1
*q1 q0 -

2 ´ ˆ

Ex3: Identiﬁcadores de linguagens de programa¸˜o
ca
S → L|LR, R → L|D|LR|DR, L → a|b|c · · · |z, D →
0|1|2| · · · |9

a|b|···|z|0|1|···|9
a|b|···|z

q0
GFED
@ABC q1
/ G?=
@ABC
89:;
FED

Exerc´
ıcios:
1. Inteiros com ou sem sinal;
2. Reais (uma casa ap´s a v´
o ırgula) com sinal opcional.

2 ´ ˆ

a ca ınio K × Σ∗ :
• Extensõ da fun¸õ δ para o dom´
ˆ
1. δ(q, ε) = q;
ˆ ˆ
2. δ(q, ua) = δ(δ(q, u), a) para u ∈ Σ∗ e a ∈ Σ;
ˆ
• δ(q, u) = p significa que M , iniciando no estado q e
tendo a seq¨ˆncia u na fita de entrada, entrar´ no
ue a
estado p, ap´s o cabe¸ote mover-se para a direita |u|
o c
c´lulas;
e
c e ˆ
• Uma senten¸a u ´ aceita por M se δ(q0 , u) = p para
algum p ∈ F , ou seja:
ˆ
T (M ) = {u|δ(q0 , u) = p ∧ p ∈ F };
• Qualquer conjunto de senten¸as aceito por um AF ´
c e
dito ser regular (linguagem regular ).

2 ´ ˆ

Exemplo: M = (K, Σ, δ, q0 , F ), Σ = {0, 1},
K = {q0 , q1 , q2 , q3 }, F = {q0 }.

δ(q0 , 0) = q2
δ(q1 , 0) = q3
δ(q2 , 0) = q0
δ(q3 , 0) = q1
δ(q0 , 1) = q1
δ(q1 , 1) = q0
δ(q2 , 1) = q3
δ(q3 , 1) = q2

2 ´ ˆ

1
+ GFED
q0
@ABC
GFED k
?=
89:; q1
@ABC
T 1
T
0 0 0 0
1
+ GFED
q2
@ABC
GFED k q3
@ABC
1

2 ´ ˆ

δ 0 1
→ ∗q0 q2 q1
q1 q3 q0
q2 q0 q3
q3 q1 q2
Reconhecimento de 110101:
(q0 , 110101) ⇒ (q1 , 10101) ⇒ (q0 , 0101) ⇒ (q2 , 101) ⇒
(q3 , 01) ⇒ (q1 , 1) ⇒ (q0 , ε). Assim, 110101 ∈ T (M ).
(q0 , 1011) ⇒ (q1 , 011) ⇒ (q3 , 11) ⇒ (q2 , 1) ⇒ (q3 , ε).
Assim, 1011 ∈ T (M ).

2 ´ ˆ

T (M ) = {w|w ∈
{0, 1}∗ e w cont´m um n´mero par de 0 s e 1 s}.
e u

2 ´ ˆ

• Autˆmato Finito Nõ-Determin´
o a ıstico (AFND)
Um autˆmato finito nõ-determin´stico ´ um sistema
o a ı e
(K, Σ, δ, q0 , F ) onde:
K conjunto finito, nõ vazio, de estados;
a
Σ alfabeto de entrada;
δ : K × Σ → Partes(K) fun¸ao de transi¸ao (nõ
c˜ c˜ a
determin´
ıstico);

2 ´ ˆ

• Diferen¸a entre AF e o AFND: δ(q, a) ´ um conjunto
c e
de estados (possivelmente vazio) ao inv´s de um
e
unico estado;
´
• Assim, δ(q, a) = {p1 , p2 , . . . , pk } significa que M
estando no estado q e tendo a na posi¸õ do cabe¸ote
ca c
na fita de entrada, move uma c´lula para a direita e
e
escolhe qualquer estado entre p1 , p2 , . . . , pk como
pr´ximo estado.
o

2 ´ ˆ

ınio K × Σ∗ :
• Extendendo δ para o dom´
ˆ
1. δ(q, ε) = {q};
ˆ
2. δ(q, ua) = ˆ δ(p, a) para todo u ∈ Σ∗ e
p∈δ(q,u)
a ∈ Σ;
• Uma senten¸a u ´ aceita por M se existe um estado
c e
ˆ
p ∈ F e p ∈ δ(q0 , u);
ˆ
• T (M ) = {u|p ∈ δ(q0 , u) ∧ p ∈ F }.

2 ´ ˆ

Ex: AFND que aceita o conjunto de todas as senten¸as
c
bin´rias que cont´m dois 0’s ou 1’s consecutivos.
a e

0|1

0
q
GFED
@ABC
3
q4
/ G?=
@ABC
89:;
FED
0|1 0 }}
}}
}
}}}}
q0 e
/ GFED
@ABC
ee
ee 0|1
ee
1 ee

1
q1
GFED
@ABC q2
/ G?=
@ABC
89:;
FED

2 ´ ˆ

M = ({q0 , q1 , q2 , q3 , q4 }, {0, 1}, δ, q0 , {q2 , q4 }) e
δ(q0 , 0) = {q0 , q3 }
δ(q1 , 0) = ∅
δ(q2 , 0) = {q2 }
δ(q3 , 0) = {q4 }
δ(q4 , 0) = {q4 }
δ(q0 , 1) = {q0 , q1 }
δ(q1 , 1) = {q2 }
δ(q2 , 1) = {q2 }
δ(q3 , 1) = ∅
δ(q4 , 1) = {q4 }

2 ´ ˆ

• Teorema: Se L ´ um conjunto aceito por um AFND,
e
entõ existe um autˆmato finito determin´
a o ıstico
(AFD) que aceita L.
(Ou seja, o nõ determinismo nõ acrescenta nada –
a a
a nõ ser praticidade – ao AF).
a

2 ´ ˆ

• Seja M = (K, Σ, δ, q0 , F ) um AFND que aceita L.
Definimos o AFD M = (K , Σ, δ , q0 , F ) tal que:
– Os estados de M sõ constituidos por todos os
a
subconjuntos do conjunto de estados de M :
K = Partes(K) e K = 2K ;
– Nota¸ao: estados de M sõ [q1 q2 q3 · · · qi ], onde
c˜ a
q1 , q2 , q3 , . . . , qi ∈ K;
– Ex: Se K = {q0 , q1 } entõ K = {∅, [q0 ], [q1 ], [q0 q1 ]};
a
– F ´ o conjunto de todos os estados de K contendo
e
um estado de F ;
– q0 = [q0 ];

2 ´ ˆ

– Deﬁnimos δ ([q1 q2 q3 · · · qi ], a) = [p1 p2 p3 · · · pj ] se e
somente se δ({q1 , q2 , . . . , qi }, a) = {p1 , p2 , . . . , pj } =
δ(q1 , a) ∪ δ(q2 , a) ∪ · · · ∪ δ(qi , a).

2 ´ ˆ

• Prova: T (M ) = T (M ). Por indu¸õ sobre o
ca
tamanho da palavra de entrada w. Devemos mostrar
ˆ
que δ ([q0 ], w) = [p1 · · · pi ] se e somente se
ˆ
δ(q0 , w) = {p1 , . . . , pi }.
a ˆ
1. Base: |w| = 0, w = ε. Entõ, δ ([q0 ], ε) = [q0 ] se e
ˆ
somente se δ(q0 , ε) = {q0 }, que ´ verdadeiro por
e
defini¸ao;
c˜
2. Hip´tese: |w| = n, n ≥ 1.
o
ˆ
Supor δ ([q0 ], w) = [p1 · · · pi ] se e somente se
ˆ
δ(q0 , w) = {p1 , . . . , pi };

2 ´ ˆ

3. Passo: |wa| = n + 1, n ≥ 1:
ˆ
δ ([q0 ], wa) = [q1 · · · qj ]

se e somente se
ˆ
δ(q0 , wa) = {q1 , . . . , qj }

que equivale a dizer que
ˆ
δ ([p1 · · · pi ], a) = [q1 · · · qj ]

se e somente se
ˆ
δ({p1 , . . . , pi }, a) = {q1 , . . . , qj }

que ´ verdade por deﬁni¸ao.
e c˜

2 ´ ˆ

Exemplo: Dado o AFND M = ({q0 , q1 }, {0, 1}, δ, q0 , {q1 })
e
δ(q0 , 0) = {q0 , q1 } δ(q0 , 1) = {q1 }
δ(q1 , 0) = ∅ δ(q1 , 1) = {q0 , q1 } .
Construir o AFD M equivalente.

2 ´ ˆ

M = (K , {0, 1}, δ , [q0 ], F )

K = {[q0 ], [q1 ], [q0 q1 ], ∅}
F = {[q1 ], [q0 q1 ]}

δ(q0 , 0) = {q0 , q1 } ⇒ δ ([q0 ], 0) = [q0 q1 ]
δ(q0 , 1) = {q1 } ⇒ δ ([q0 ], 1) = [q1 ]
δ(q1 , 0) = ∅ ⇒ δ ([q1 ], 0) = ∅
δ(q1 , 1) = {q0 , q1 } ⇒ δ ([q1 ], 1) = [q0 q1 ]

2 ´ ˆ

δ({q0 , q1 }, 0) = δ(q0 , 0) ∪ δ(q1 , 0) = ⇒ δ ([q0 q1 ], 0) = [q0 q1 ]
= {q0 , q1 } ∪ ∅ = {q0 , q1 }
δ({q0 , q1 }, 1) = δ(q0 , 1) ∪ δ(q1 , 1) = ⇒ δ ([q0 q1 ], 1) = [q0 q1 ]
= {q1 } ∪ {q0 , q1 } = {q0 , q1 }

2 ´ ˆ

Tabela do AFND:
δ 0 1
→ q0 q0 , q 1 q1
∗q1 ∅ q0 , q 1
Tabela do AFD equivalente:

δ 0 1
→ [q0 ] [q0 q1 ] [q1 ]
∗[q1 ] ∅ [q0 q1 ]
∗[q0 q1 ] [q0 q1 ] [q0 q1 ]

2 ´ ˆ

• Rela¸õ entre AF e GR
ca
• Teorema: Se G = (N, T, P, S) ´ uma GR (Tipo 3)
e
entõ existe um AF M = (K, T, δ, S, F ) tal que
a
T (M ) = L(G).
• Seja M um AFND:
– os estados de M sõ as vari´veis de G, mais um
a a
estado adicional A, A ∈ N . Assim, K = N ∪ {A};
– estado inicial de M ´ S;
e
– se P tem produ¸ao S → ε entõ F = {S, A}, caso
c˜ a
contr´rio F = {A};
a

2 ´ ˆ

– transi¸oes de M :
c˜
1. δ(B, a) = A para cada B → a ∈ P ;
2. δ(B, a) = C para cada B → aC ∈ P ;
3. δ(A, a) = ∅ para todo a ∈ T .
• Provar que T (M ) = L(G).

2 ´ ˆ

Exemplo: G = ({S, B}, {0, 1}, P, S), e

P : S → 0B, B → 0B|1S|0

Construir um AF que aceite L(G):

M = ({S, B, A}, {0, 1}, δ, S, {A})

δ(S, 0) = {B} ⇐ S → 0B
δ(S, 1) = ∅
δ(B, 0) = {B, A} ⇐ B → 0B|0
δ(B, 1) = {S} ⇐ B → 1S

2 ´ ˆ

Convertendo para um AFD:

M = (K , {0, 1}, δ , [S], F )

K = {∅, [S], [A], [B], [AS], [AB], [BS], [ABS]}
F = {[A], [AS], [AB], [ABS]}
δ ([S], 0) = [B] δ ([B], 0) = [AB]
δ ([S], 1) = ∅ δ ([B], 1) = [S]
δ ([AB], 0) = δ(A, 0) ∪ δ(B, 0) = ∅ ∪ {A, B} = [AB]
δ ([AB], 1) = δ(A, 1) ∪ δ(B, 1) = ∅ ∪ {S} = [S]
δ (∅, 0) = δ (∅, 1) = ∅

2 ´ ˆ

Eliminando os estados inacess´
ıveis:

K = {[S], [B], [AB]}

F = {[AB]}

2 ´ ˆ

• Teorema: Se M = (K, T, δ, q0 , F ) ´ um AF entõ
e a
existe uma gram´tica do Tipo 3, G = (N, T, P, S), tal
a
que L(G) = T (M ).
• Para obter G:
– N = K;
– S = q0 ;
– Produ¸oes:
c˜
1. B → aC para toda a transi¸õ δ(B, a) = C;
ca
2. B → a para toda a transi¸õ δ(B, a) = C,
ca
quando C ∈ F ;
– Se ε ∈ T (M ) entõ L(G) = T (M );
a

2 ´ ˆ

– Se q0 ∈ F ent˜o ε ∈ T (M ), e L(G) = T (M ) − {ε}.
a
Neste caso, construir uma L(G ) = L(G) ∪ {ε};
• Provar L(G) = T (M ).

2 ´ ˆ

Exemplo: Contruir G = (K , {0, 1}, P , [S]),
K = {[S], [B], [AB]}, a partir de M do exemplo
anterior:
[S] → 0[B] δ ([S], 0) = [B]
[B] → 0[AB] δ ([B], 0) = [AB]
[B] → 0 [AB] ∈ F
[AB] → 0[AB] δ ([AB], 0) = [AB]
[AB] → 0 [AB] ∈ F
[B] → 1[S] δ ([B], 1) = [S]
[AB] → 1[S] δ ([AB], 1) = [S]

2 ´ ˆ

• Minimiza¸õ de AF.
ca
Um AF M ´ mńimo se:
e ı
1. nõ possui estados inacess´
a ıveis;
2. nõ possui estados mortos;
a
3. nõ possui estados equivalentes.
a

2 ´ ˆ

• Constru¸õ do AF m´
ca ınimo:
1. retirar de K os estados inacess´veis, ou seja, todo
ı
estado q ∈ K para o qual nõ exista senten¸a w tal
a c
ˆ
que δ(q0 , w) = q;
2. retirar de K os estados mortos, ou seja, todo estado
que nõ sendo estado final e que nõ conduz a
a a
nenhum estado final durante o reconhecimento;
3. construir todas as poss´
ıveis classes de equivalˆncia
e
de estados;

2 ´ ˆ

4. construir M = (K , Σ, δ , q0 , F ) conforme segue:
– K ´ o conjunto das classes de equivalˆncia
e e
obtidas;
– q0 ´ a classe de equivalˆncia que cont´m q0 ;
e e e
– F ´ o conjunto de todas as classes de
e
equivalˆncia que cont´m pelo menos um estado
e e
de F ;
– δ ´ o conjunto de transi¸oes tais que
e c˜
δ ([p], a) = [q] para toda a transi¸˜o δ(p1 , a) = q1 ,
ca
onde p1 ∈ [p] e q1 ∈ [q].

2 ´ ˆ

• Constru¸˜o das Classes de Equivalˆncia:
ca e
Um conjunto de estados q1 , q2 , . . . , qj est´ em uma
a
mesma classe de equivalˆncia se todas as transi¸˜es
e co
poss´
ıveis a partir de cada estado conduz o autˆmato o
aos estados qi , qi+1 , . . . , qn , estando estes ultimos
´
todos em uma mesma classe de equivalˆncia. e

2 ´ ˆ

• Algoritmo:
1. Criar um estado ∅ para representar as transi¸oes
c˜
indeﬁnidas;
2. Dividir K em duas classes de equivalˆncia iniciais,
e
uma contendo os estados ﬁnais e a outra todos os
demais estados de K;
3. Dividir sucessivamente as classes obtidas, at´ que
e
nenhuma nova classe possa ser obtida.

2 ´ ˆ

Exemplo:

δ a b
→ q0 q1 q5
q1 - q2
∗q2 q3 q2
∗q3 q3 q3
q4 q4 q1
q5 q5 q5

2 ´ ˆ

Aplicando:
1. estados inacess´
ıveis: q4 ;
2. estado morto: q5 ;
δ a b
→ q0 q1 ∅
q1 ∅ q2
∗q2 q3 q2
∗q3 q3 q3
∅ ∅ ∅

2 ´ ˆ

3. classes de equivalˆncia:
e

{q2 , q3 } {q0 , q1 , ∅}
tt
tt
tt
tt
t
{q0 , ∅} {q1 }
t
ttt
ttt
tt
{q0 } {∅}

{q2 , q3 } {q0 } {∅} {q1 }

[0] [1] [2] [3]

2 ´ ˆ

4. autˆmato sem classes de equivalˆncia:
o e
δ a b
∗[0] [0] [0]
→ [1] [3] [2]
[2] [2] [2]
[3] [2] [0]

2 ´ ˆ

5. AF m´
ınimo:
δ a b
∗[0] [0] [0]
→ [1] [3] -
[3] - [0]

2 ´ ˆ

Exerc´
ıcios:
1. Minimize o seguinte AF:
a
+ GFED
q0
GFED k
@ABC q1
@ABC
a
b b

q2 e
GFED
@ABC
?=
89:; q3
GFED
@ABC
?=
89:;
e
e }
}
eea}
b }
a }e b
}}}} eee
~
q4
2 GFED
@ABC
?=
89:; q5
/ GFED
@ABC
b
a

2 ´ ˆ

2. Minimize o seguinte AF:

q0
GFED
@ABC

a

q1 e
GFED
@ABC
} ee
b }}} eea
}} ee
} ee
}}
~ b
b
2
q2 f
GFED o
@ABC q
GFED
@ABC
?=
89:;
3 l
a
b
a }}
}}
}
}}
a
}}
q4
GFED
@ABC
?=
89:;

2 ´ ˆ

• Express˜es Regulares – sõ esquemas para
o a
representar linguagens regulares;
• Sintaxe:
1. Todos os s´
ımbolos do alfabeto sõ ER;
a
2. Se R1 e R2 sõ ER, entõ (R1 |R2 ) ´ uma ER
a a e
(uniõ);
a
3. Se R1 e R2 sõ ER, entõ (R1 R2 ) ´ uma ER
a a e
(concatena¸ao);
c˜
4. Se R1 ´ ER, entõ (R1 )∗ ´ uma ER (repeti¸ao).
e a e c˜
+
Observa¸oes: R1 = R1 (R1 )∗ e R1 = R1 |ε.
c˜ ?

2 ´ ˆ

• Exemplos:
– (a)∗ = a∗ = {ε, a, aa, aaa, . . .};
– a+ = {a, aa, aaa, . . .};
– (a|b)∗ = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, . . .};
– a|b∗ = {ε, a, b, bb, bbb, . . .};
– a(a|b)∗ = {a, aa, ab, aaa, aab, aba, abb, aaaa, . . .};
– (a(a|b))∗ = {ε, aa, ab, aaaa, abaa, aaab, . . .};
– Identiﬁcadores: l(l|d)∗ = {l, ll, ld, lll, . . .};
– Inteiro com sinal: (+|−)d+ ;
– Inteiro com/sem sinal: ((+|−)d+ )|d+ .

2 ´ ˆ

• Bombeamento para Linguagens Regulares (Pumping
Lemma) – serve para provar que uma dada
linguagem ´ regular;
e
• Para provar que sim: AF, GR, ER;
• Para provar que n˜o: bombeamento;
a
• Prova por redu¸˜o ao absurdo;
ca

• Seja M = (K, Σ, δ, q0 , F ) e K = n;
• Considere uma entrada w tal que |w| ≥ n;

2 ´ ˆ

• Assim, o caminho no diagrama de transi¸oes deve
c˜
passar por um conjunto de estados Q ⊂ K mais de
uma vez (la¸o);
c

q0 HIJK
Q qi
GFED /o /o /o / ONML /o /o /o / GFED
@ABC @ABC
?=
89:;

2 ´ ˆ

• Lema: Seja L uma linguagem regular. Ent˜o, existe
a
uma constante n tal que se z ´ uma palavra de L, e
e
|z| ≥ n, nos podemos dizer que z = uvw de tal forma
que |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 e, para todo i ≥ 0, uv i w est´
a
em L.

2 ´ ˆ

• Aplica¸õ do bombeamento (aplicado como um
ca
“jogo” contra um “advers´rio”):
a
1. Selecione uma linguagem L que desejamos provar
que nõ ´ regular;
a e
2. O “advers´rio” escolhe um n, a constante do Lema.
a
Uma vez escolhido o n ele nõ pode muda-lo;
a
3. Selecione uma string z ∈ L. Sua escolha depende
do n escolhido no passo anterior;
4. O “advers´rio” quebra z nas partes u,v, e w, tal
a
que |uv| ≤ n e |v| ≥ 1;
5. Vocˆ encontra a contradi¸ao mostrando que para
e c˜
qualquer u, v, e w escolhido pelo “advers´rio”,
a
existe um i para o qual uv i w nõ est´ em L.
a a

2 ´ ˆ

n2
• Ex: L = {a |n ≥ 1} nõ ´ regular.
a e
2
Solu¸õ: Suponha z = an , z ∈ L e L ´ regular. Seja
ca e
z = uvw, onde 1 ≤ |v| ≤ n e uv i w ∈ L para todo i.
Em particular, seja i = 2. Entõ,
a
n2 |uv 2 w| ≤ n2 + n, j´ que |uv 2 w| = |uvw| + |v|,
a
|uvw| = n2 . Logo, n2 |uv 2 w| ≤ n2 + n (n + 1)2 .
Ou seja, o tamanho de uv 2 w fica entre n2 e (n + 1)2 e
nõ pode ser um quadrado perfeito. Assim, uv 2 w ∈ L
a
e L nõ ´ regular.
a e

2 ´ ˆ

• Exerc´
ıcio: Prove por bombeamento que
L = {an bn |n ≥ 0} n˜o ´ regular.
a e

2 ´ ˆ

Solu¸õ: Suponha z = an bn , z ∈ L e L ´ regular.
ca e
Escolho uv = an , w = bn . Observe que uv i w ∈ L para
i 1, j´ que, neste caso, teriamos am bn para m n.
a
Logo, por redu¸õ ao absurdo, L nõ ´ regular.
ca a e

2 ´ ˆ

• AF com Sa´ (Moore e Mealy) – nõ se restringe a
ıda a
aceita/rejeita, produz uma string de sa´
ıda;
• M´quina de Mealy – sa´ associada `s transi¸˜es;
a ıda a co

M = (K, Σ, δ, q0 , F, ∆)

Onde:
K conjunto finito de estados;
Σ alfabeto finito de entrada;
δ : K × Σ → K × ∆∗ fun¸ao de transi¸ao;
c˜ c˜
F ⊂ K conjunto de estados finais;
∆ alfabeto finito de sa´
ıda;

2 ´ ˆ

• δ(q, a) = (p, w), com p, q ∈ K, a ∈ Σ, e w ∈ ∆∗ ,
significa que o AF, estando no estado q e tendo a na
fita de entrada, muda para o estado p e escreve a
string w na fita de sa´ıda.

2 ´ ˆ

Exemplo: Seja Σ = {x} e ∆ = {a, b}. M ´ uma
e
m´quina de Mealy que reconhece uma palavra
a
w,|w| ≥ 1, tal que w = x+ e produz uma seq¨ˆncia
ue
v = (ab)+ , em que |v| = 2|w|.
Solu¸˜o:
ca

q0
@ABC
GFED q1
/ G?=
@ABC
89:;
FED
l
(x,ab)
(x,ab)

Observa¸ao: arestas s˜o rotuladas com um par (x, y),
c˜ a
onde x ´ o s´
e ımbolo lido e y ´ a string produzida na
e
sa´
ıda.

2 ´ ˆ

• M´quina de Moore – sa´ associada aos estados;
a ıda

M = (K, Σ, δ, q0 , F, ∆, δS )

Onde:
δ : K × Σ → K fun¸ao de transi¸ao;
c˜ c˜
F ⊂ K conjunto de estados ﬁnais;
∆ alfabeto ﬁnito de sa´
ıda;
δS : K → ∆∗ fun¸ao (total) de sa´
c˜ ıda;

2 ´ ˆ

Exemplo: o mesmo anterior
(xxx · · · x ⇒ ababab · · · ab).
Solu¸˜o:
ca
x

@ABC
GFED
q0 ,a / GFED
@ABC
?=
89:;
q1 ,b / ONML
HIJK
@ABC
GFED
q2 ,ab
x x

Observa¸ao: os v´rtices s˜o rotulados com um par
c˜ e a
(x, y), onde x ´ o nome do estado e y ´ a sa´
e e ıda
produzida pelo estado.

2 ´ ˆ

• Equivalˆncia das M´quinas de Moore e Mealy
e a
– Excetuando-se a string vazia, os dois modelos de
m´quina s˜o equivalentes;
a a
– A m´quina de Moore sempre gera pelo menos a
a
palavra associada ao estado inicial, n˜o podendo
a
assim gerar a senten¸a vazia;
c
– Prova de equivalˆncia por simula¸ao m´tua (exceto
e c˜ u
a senten¸a vazia);
c

2 ´ ˆ

– Teorema: A m´quina de Mealy simula a m´quina
a a
de Moore.
Prova: Suponha MO = (K, Σ, δMO , q0 , F, ∆, δS ) uma
m´quina de Moore. Seja:
a

ME = (K ∪ {qe }, Σ, δME , qe , F, ∆)

uma m´quina de Mealy, onde δME ´ deﬁnido como
a e
segue:
1. δME (qe , a) = (δMO (q0 , a), δS (q0 )δS (δMO (q0 , a)));
2. δME (q, a) = (δMO (q, a), δS (δMO (q, a))).

2 ´ ˆ

a1
ONML
HIJK
q0 ,u0 / ONML
HIJK
q1 ,u1
V
a0

qe e
GFED
@ABC
ee
ee(a1 ,u0 u1 )
(a0 ,u0 u0 ) ee
ee
q0
GFED
@ABC q1
/ GFED
@ABC
T (a1 ,u1 )
(a0 ,u0 )

2 ´ ˆ

– Observe que o estado qe introduzido ´ referenciado
e
apenas na primeira transi¸ao executada. Seu
c˜
objetivo ´ garantir a gera¸ao da sa´ referente ao
e c˜ ıda
estado inicial q0 de MO;
– Provar por indu¸ao.
c˜

2 ´ ˆ

– Teorema: A m´quina de Moore simula a m´quina
a a
de Mealy;

2 ´ ˆ

Exerc´
ıcios:
1. Construa um AF M que aceite:
(a) todas as senten¸as em {0, 1}+ que apresentem
c
cada “1” seguido imediatamente de dois zeros;
(b) todas as senten¸as em {a, b}∗ de modo que todo
c
“a” apare¸a entre dois “b”;
c
(c) todas as senten¸as de {a, b}+ de modo que o
c
ultimo s´
´ ımbolo seja “b” e o n´mero de s´
u ımbolos
“a” seja par.
2. Construa a gram´tica regular equivalente a cada um
a
dos autˆmatos do exerc´ anterior.
o ıcio

2 ´ ˆ

3. Deﬁna a express˜o regular que representa valores
a
“redondos” em reais (Ex: R$1,00 ou R$200,00 ou
R$1.000.000,00 ou R$3.000,00).

2 ´ ˆ

4. Seja a seguinte gram´tica regular:
a

S → 0S|1S|0A|0C|1B
A → 0A|0
B → 1B|1
C → 0A|0

Pede-se:
(a) o AFND M tal que T (M ) = L(G);
(b) o AFD M tal que T (M ) = T (M );
(c) M tal que T (M ) = T (M ) e M seja m´
ınimo.

2 ´ ˆ


S → aB|aD
B → bB|bC
C → cC|cD
D → d
E → aB|a

Pede-se:
(a) o AF M tal que T (M ) = L(G);
(b) Determine T (M );
(c) Minimize M .

2 ´ ˆ

6. Seja T (M ) = {abn cm d|0 ≤ n ≤ 2 ∧ m ≥ 1}. Pede-se:
(a) construa M ;
(b) construa G tal que L(G) = T (M ).
7. Construa o AF e a gram´tica regular equivalentes a
a
cada uma das ER a seguir:
(a) a(b|ca)d∗ (a|b)+ ;
(b) (a(b|ca)∗ (b|c)a∗ )+ .

2 ´ ˆ

8. Projete uma m´quina de Moore que recebendo um
a
valor em reais (ex: R$10.000,00) converta para
d´lares (suponha rela¸ao 1-1 entre dolar e real – logo,
o c˜
US$10,000.00).
9. O mesmo que o exerc´ anterior, usando m´quina
ıcio a
de Mealy.

3 ´ ˆ
GRAMATICA LIVRE DE CONTEXTO E AUTOMATO DE PILHA 112

3 Gram´tica Livre de Contexto e
a
Autˆmato de Pilha
o
• As GLC tem grande importˆncia pois atrav´s delas
a e
podemos deﬁnir a maioria das estruturas de
linguagens de programa¸ao;
c˜
• As linguagens livres de contexto representam um
conjunto mais amplo de linguagens que o das
linguagens regulares;
• O autˆmato de pilha (PDA) ´ um autˆmato mais
o e o
“poderoso” que o AF;
• AF PDA (PDA simula AF e AF n˜o simula PDA);
a

3 ´ ˆ

• Exten¸õ da defini¸õ de GLC para permitir
ca ca
produ¸˜es na forma A → ε (chamadas ε-produ¸˜es);
co co
• Nova defini¸õ: P = {A → β|A ∈ N ∧ β ∈ (N ∪ T )∗ };
ca
• Uma GLC ´ ε-livre quando nõ possui ε-produ¸oes
e a c˜
ou quando possui apenas S → ε, onde S ´ o s´
e ımbolo
inicial da gram´tica, e S nõ aparece do lado direito
a a
de nenhuma regra de produ¸ao;
c˜

3 ´ ˆ

´
• Arvores de Deriva¸õ para GLC’s – sõ
ca a
representa¸oes gr´ficas para as deriva¸oes da GLC
c˜ a c˜
(formam uma estrutura hier´rquica);
a

3 ´ ˆ

• Seja G = (N, T, P, S) uma GLC. Uma ´rvore ´ uma
a e
a
´rvore de deriva¸õ para G se:
ca
1. todo nodo tem um r´tulo que ´ um s´
o e ımbolo de V ;
2. o r´tulo da raiz ´ S;
o e
3. se um nodo A tem um ou mais descendentes, entõ
a
A ´ um elemento de N ;
e
4. se A1 , A2 , . . . , An sõ descendentes diretos de A, da
a
esquerda para a direita, entõ a
A → A1 A2 · · · An ∈ P ;
5. se D ´ a unica sub-´rvore da raiz e tem r´tulo ε,
e ´ a o
entõ S → ε ∈ P .
a

3 ´ ˆ

• Exemplo: G = ({S, A}, {a, b}, P, S),
P = {S → a|aAS, A → SbA|SS|ba}. Deriva¸˜o:
ca
S ⇒ aAS ⇒ aSbAS ⇒ aabAS ⇒ aabbaS ⇒ aabbaa.
´
Arvore de deriva¸˜o:
ca

Sd

d dd
dd
d
a Ac Sb
cc b bb
cc bb
cc bb

S b Ab a
bb
bb
bb
b
a b a

3 ´ ˆ

• Profundidade da ´rvore de deriva¸õ ´ o
a ca e
comprimento do maior caminho entre a raiz e um
nodo terminal. No exemplo anterior ´ 3;
e
• Limite de uma ´rvore de deriva¸õ ´ a seq¨ˆncia
a ca e ue
formada pela concatena¸õ, da esquerda para a
ca
direita, das folhas da ´rvore de deriva¸õ;
a ca

3 ´ ˆ

• Deriva¸ao mais ` esquerda e mais ` direita – a ´rvore
c˜ a a a
de deriva¸õ ignora varia¸oes na ordem em que os
ca c˜
s´
ımbolos sõ substituidos na deriva¸õ. Assim,
a ca

G = ({E}, {+, ∗, (, ), −, id}, P, E)

P = {E → E + E|E ∗ E|(E)| − E|id}
tomando a senten¸a −(id + id) podemos deriva-la das
c
duas seguintes formas:
1. E ⇒ −E ⇒ −(E) ⇒ −(E + E) ⇒ −(id + E) ⇒
−(id + id);
2. E ⇒ −E ⇒ −(E) ⇒ −(E + E) ⇒ −(E + id) ⇒
−(id + id);

3 ´ ˆ

Ambas correspondem a mesma ´rvore de deriva¸˜o:
a ca

Ed
~ dd
~~~ dd
~~ dd
~
− Ec
cc
cc
cc
c
( Ec )
cc
cc
cc
c
E + E

id id

3 ´ ˆ

• Deriva¸ao mais ` esquerda: s´
c˜ a ımbolo substituido ´
e
sempre o n˜o-terminal mais ` esquerda na forma
a a
sentencial;
• Deriva¸ao mais ` direita: s´
c˜ a ımbolo substituido ´
e
sempre o n˜o-terminal mais ` direita na forma
a a
sentencial;
• Nas duas deriva¸oes mostradas a pouco, a primeira ´
c˜ e
mais ` esquerda e a segunda mais ` direita;
a a

3 ´ ˆ

• Exemplo: id + id ∗ id
Deriva¸ao mais ` esquerda: E ⇒ E + E ⇒ id + E ⇒
c˜ a
id + E ∗ E ⇒ id + id ∗ E ⇒ id + id ∗ id
Deriva¸ao mais ` direita: E ⇒ E + E ⇒
c˜ a
E + E ∗ E ⇒ E + E ∗ id ⇒ E + id ∗ id ⇒ id + id ∗ id
Observa¸ao: se w ∈ L(G) e G ´ uma GLC, ent˜o w
c˜ e a
tem pelo menos uma ´rvore de deriva¸ao e,
a c˜
correspondendo a esta ´rvore existe uma s´ deriva¸˜o
a o ca
mais ` esquerda e uma s´ deriva¸ao mais ` direita.
a o c˜ a

3 ´ ˆ

• Uma GLC ´ amb´gua se para a mesma senten¸a
e ı c
existe mais de uma ´rvore de deriva¸˜o;
a ca
Exemplo: id + id ∗ id

Ea E
Ñ aa Ñ aaa
ÑÑ aa ÑÑ
Ñ aa
ÑÑ aa ÑÑ aa
ÑÑ Ñ
E + Ea Ea ∗ E
Ñ aa Ñ aa
ÑÑ aa ÑÑ aa
ÑÑ aa ÑÑ aa
ÑÑ ÑÑ
id E ∗ E E + E id

id id id id

3 ´ ˆ

• Uma linguagem inerentemente amb´gua ´ aquele em
ı e
que todas as GLC que a geram s˜o amb´
a ıguas.
Exemplo: L = {an bn cm dm |n ≥ 1 ∧ m ≥
1} {an bm cm dn |n ≥ 1 ∧ m ≥ 1}

3 ´ ˆ

Representada pela seguinte gram´tica:
a

G = ({S, X, Y, Z, W }, {a, b, c, d}, P, S)

S → XY |Z
X → ab|aXb
Y → cd|cXd
Z → aW d|aZd
W → bc|bW c

3 ´ ˆ

Exemplo de deriva¸ao: abcd
c˜

SV S
Ö VV
ÖÖÖ VV
ÖÖ VV
Ö
X YU ZV
ÖÖ UU ÖÖ VV
ÖÖ UU ÖÖ VV
UU VV
ÖÖÖ ÖÖÖ
a b c d a WV d
ÖÖ VV
Ö VV
ÖÖ VV
ÖÖ
b c

3 ´ ˆ

• Transforma¸oes de GLC – tem o objetivo de
c˜
simplifica¸õ e prepara¸õ para aplica¸˜es
ca ca co
posteriores. Observa¸õ: a gram´tica transformada
ca a
deve ser equivalente ` original.
a

3 ´ ˆ

• Elimina¸õ de s´
ca ımbolos in´teis
u
Um s´ımbolo ´ in´til se ele nõ aparece na deriva¸ao
e u a c˜
de nenhuma senten¸a.
c
est´ril nõ gera nenhuma seq¨ˆncia de terminais
e a ue
pertencente a uma senten¸a;
c
inalcan¸´vel nõ aparece em nenhuma forma
ca a
sentencial da gram´tica.
a

3 ´ ˆ

• Determina¸õ do conjunto de s´
ca ımbolos f´rteis:
e
1. Construir o conjunto N0 = ∅ e fazer i = 1;
2. Repetir
(a) Ni = {A|A → α ∈ P ∧ α ∈ (Ni−1 ∪ T )∗ };
(b) i = i + 1;
at´ que Ni = Ni−1 ;
e
3. Ni ´ o conjunto de s´
e ımbolos f´rteis.
e
• Observa¸ao: se o s´
c˜ ımbolo inicial nõ fizer parte dos
a
s´
ımbolos f´rteis, entõ a linguagem gerada pela
e a
gram´tica ´ vazia.
a e

3 ´ ˆ

• Exemplo: G = ({S, A, B, C, D}, {a, b, c, d}, P, S),
P = {S → aA, A → a|bB, B → b|dD, C → cC|c, D →
dD}. Solu¸˜o:
ca
1. N0 = ∅;
2. N1 = {A, B, C};
3. N2 = {S, A, B, C};
4. N3 = {S, A, B, C} = N2 .
Conjunto dos s´
ımbolos f´rteis: {S, A, B, C}.
e
Gram´tica simpliﬁcada:
a
G = ({S, A, B, C}, {a, b, c}, P , S),
P = {S → aA, A → a|bB, B → b, C → cC|c}.

3 ´ ˆ

• Determina¸˜o do conjunto de s´
ca ımbolos alcan¸aveis:
c´
1. Construir o conjunto V0 = {S} (S=s´
ımbolo inicial)
e fazer i = 1;
2. Repetir
(a) Vi = {X|∃A → αXβ ∈ P ∧ A ∈ Vi−1 ∧ α, β ∈
(N ∪ T )∗ ∧ X ∈ V } Vi−1 ;
(b) i = i + 1;
at´ que Vi = Vi−1 ;
e
3. Vi ´ o conjunto de s´
e ımbolos alcan¸´veis.
ca

3 ´ ˆ

• Exemplo: G do exemplo anterior.
G = ({S, A, B, C}, {a, b, c}, P , S),
P = {S → aA, A → a|bB, B → b, C → cC|c}.
Solu¸˜o:
ca
1. V0 = {S};
2. V1 = {a, A} V0 = {S, a, A};
3. V2 = {a, b, B} V1 = {S, a, A, b, B};
4. V3 = {b} V2 = {S, a, A, b, B} = V2 .
Conjunto de s´
ımbolos alcan¸aveis: {S, A, B, a, b}.
c´
Gram´tica simpliﬁcada:
a
G = ({S, A, B}, {a, b}, P , S),
P = {S → aA, A → a|bB, B → b}.

3 ´ ˆ

• Transforma¸ao de GLC qualquer em GLC ε-livre:
c˜
1. Reunir em um conjunto os n˜o-terminais que
a
derivam direta ou indiretamente a senten¸a vazia:
c
Ne = {A|A ∈ N ∧ A ⇒+ ε};
2. Construir o conjunto de regras P como segue:
(a) incluir em P todas as regras de P , com excess˜o a
daquelas da forma A → ε;
(b) para cada ocorrˆncia de um s´
e ımbolo Ne do lado
direito de alguma regra de P , incluir em P mais
uma regra, substituindo este s´ ımbolo por ε. Isto
´, para cada regra de P tipo A → αBβ, B ∈ Ne
e
e α, β ∈ V ∗ , incluir em P a regra A → αβ;

3 ´ ˆ

3. Se S ∈ Ne , adicionar a P as regras S → S e
S → ε, incluindo este novo n˜o-terminal S em
a
N = N ∪ {S }. Caso contr´rio, trocar os nomes de
a
S por S e de N por N ;
4. A nova gram´tica ser´ deﬁnida por:
a a
G = (N , T, P , S ).

3 ´ ˆ

• Exemplos:
1. P : S → aB, B → bB|ε. Solu¸˜o: Ne = {B} e
ca
P : S → aB|a, B → bB|b;
2. P : S → bDCe, D → dD|ε, C → cC|ε. Solu¸ao:
c˜
Ne = {D, C} e
P : S → bDCe|bCe|bDe|be, D → dD|d, C → cC|c;
3. P : S → aS|ε. Solu¸˜o: Ne = {S} e
ca
P : S → S|ε, S → aS|a.

3 ´ ˆ

• Remo¸õ de Produ¸˜es Simples – produ¸˜es simples
ca co co
sõ produ¸˜es na forma A → B, onde A, B ∈ N :
a co
1. Transformar a GLC em GLC ε-livre, se necess´rio;
a
2. Para todo nõ-terminal de N , construir um
a
conjunto com os nõ-terminais que ele pode derivar
a
em zero ou mais passos. Isto ´, ∀A ∈ N , construir
e
NA = {B|A ⇒∗ B};
3. Se B → α ∈ P e nõ ´ produ¸õ simples, adicione a
a e ca
P as produ¸oes A → α para todo A tal que
c˜
B ∈ NA ;
4. a GLC equivalente sem produ¸oes simples ´
c˜ e
G = (N, T, P , S).

3 ´ ˆ

• Exemplos:
1. P : S → bS|A, A → aA|a. Solu¸˜o: NS = {S, A},
ca
NA = {A}, e P : S → bS|aA|a, A → aA|a;
2. P : S → aSb|A, A → aA|B, B → bBc|bc. Solu¸˜o:
ca
NS = {S, A, B}, NA = {A, B}, NB = {B}, e
P : S → aSb|aA|bBc|bc, A → aA|bBc|bc,
B → bBc|bc.

3 ´ ˆ

• Fatora¸ao de GLC
c˜
Uma GLC est´ fatorada se ela ´ determin´
a e ıstica, isto
´, nõ possui produ¸˜es cujo lado direito inicie com o
e a co
mesmo conjunto de s´ımbolos ou com s´ ımbolos que
gerem seq¨ˆncias que iniciem com o mesmo conjunto
ue
de s´
ımbolos. Por exemplo, uma gram´tica fatorada
a
nõ poderia apresentar as seguintes regras:
a

A → aB|aC ,

pois ambas inicial com o terminal a.
Outro exemplo de gram´tica nõ-fatorada ´:
a a e

S → A|B A → ac B → ab .

3 ´ ˆ

• Para fatorar:
1. as produ¸˜es que apresentam nõ-determinismo
co a
direto, da forma A → αβ|αγ serõ substituidas por
a

A → αA
A → β|γ

sendo A um novo nõ-terminal;
a
2. o nõ-determinismo indireto ´ retirado fazendo, nas
a e
regras de produ¸ao, as deriva¸˜es necess´rias para
c˜ co a
torna-lo um nõ-determinismo direto, resolvido com
a
o passo anterior.

3 ´ ˆ

• Fatora¸ao ´ importante pois na implementa¸õ de
c˜ e ca
um compilador, o mesmo deve seguir uma gram´tica
a
que nõ apresente nõ-determinismo pois, caso
a a
contr´rio, no processo de reconhecimento haveria
a
“retornos” (backtracking) que acabam reduzindo a
eficiˆncia do algoritmo de reconhecimento.
e

3 ´ ˆ

• Teorema: Toda LLC sem ε pode ser deﬁnida por
uma gram´tica que n˜o cont´m s´
a a e ımbolos in´teis,
u
ε-produ¸˜es, nem produ¸˜es simples.
co co
• Prova: Conseq¨ˆncia dos algoritmos apresentados.
ue

3 ´ ˆ

• Elimina¸õ da Recursõ ` Esquerda
ca a a
Um nõ-terminal A ´ recursivo se A ⇒+ αAβ,
a e
α, β ∈ V ∗ . Se α = ε, entõ A ´ recursivo ` esquerda.
a e a
Se β = ε, ´ recursivo ` direita. A recursividade pode
e a
ser direta ou indireta.
Uma gram´tica ´ recursiva ` esquerda se possui pelo
a e a
menos um nõ-terminal recursivo ` esquerda. Se
a a
possui pelo menos um nõ-terminal recursivo `
a a
direita, ela ´ chamada recursiva ` direita.
e a

3 ´ ˆ

• A importˆncia da recursividade ` esquerda ´ que
a a e
alguns tipos de compiladores podem executar o
processo de reconhecimento como chamadas de
rotinas (procedimentos ou fun¸˜es). Assim, uma
co
gram´tica recursiva ` esquerda, tal como por
a a
exemplo A → Aa|a, acaba gerando um la¸o infinito
c
A ⇒ Aa ⇒ Aaa ⇒ Aaaa ⇒ · · · e o processo de
reconhecimento nõ finaliza nunca.
a

3 ´ ˆ

• Algoritmo:
1. recurs˜es diretas: substituir cada regra
o
A → Aα1 |Aα2 | · · · |Aαn |β1 |β2 | · · · |βm , onde nenhum
βi come¸a por A, por:
c

A → β1 A |β2 A | · · · |βm A
A → α1 A |α2 A | · · · |αn A |ε

3 ´ ˆ

2. recurs˜es indiretas:
o
(a) ordene os nõ-terminais de G em uma ordem
a
qualquer (A1 , A2 , . . . , An );
(b)
para i de 1 at´ n fa¸ae c
para j de 1 at´ (i − 1) fa¸a
e c
troque Ai → Aj γ por Ai → δ1 γ|δ2 γ| · · · |δk γ, onde
δ1 , δ2 , . . . , δk sõ os lados direitos das
a
Aj -produ¸˜es (ou seja, Aj → δ1 | · · · |δk );
co
fim para
elimine as recurs˜es diretas das Ai -produ¸oes;
o c˜
fim para.

3 ´ ˆ

• Exemplo: P : S → Aa, A → Sb|cA|a. Solu¸õ:
ca
(A1 = S, A2 = A), n = 2, e
1. i = 1 (nõ faz j pois o la¸o ´ de 1 at´ 0);
a c e e
Eliminando as recurs˜es diretas das S-produ¸˜es:
o co
nõ faz nada (pois nõ tem);
a a
2. i = 2 e j = 1:
Trocar produ¸oes tipo A → Sγ:
c˜
P : S → Aa, A → Aab|cA|a;
Eliminar as recurs˜es diretas das A-produ¸oes:
o c˜
P : S → Aa, A → cAA |aA , A → abA |ε.

3 ´ ˆ

• Exerc´ıcio: Elimine a recurs˜o ` esquerda da GLC
a a
P : S → Aa|b, A → Bb|a, B → Sb|b.

3 ´ ˆ

• Forma Normal de Chomsky (FNC)
A FNC ´ uma forma canˆnica. Uma GLC est´ na
e o a
FNC se ela ´ ε-livre e apresenta todas as produ¸oes
e c˜
da forma
A → BC ou A → a ,
onde A, B, C ∈ N e a ∈ T .

3 ´ ˆ

• Teorema: Toda LLC ε-livre pode ser gerada por uma
GLC na FNC.

3 ´ ˆ

Para converter uma GLC G = (N, T, P, S) ε-livre
para a FNC:
1. obter G = (N , T, P , S) a partir de G, removendo
de G as produ¸oes simples, de modo que
c˜
L(G ) = L(G);
2. nas regras de G em que o lado direito apresenta
mais de um termo, substituir cada terminal a ∈ T
por um novo n˜o-terminal Aa , incluindo para cada
a
destes novos n˜o-terminais uma nova regra Aa → a,
a
resultando em G = (N , T, P , S);

3 ´ ˆ

3. substituir cada regra do tipo

A → B1 B2 · · · Bm , m≥3

onde A, B1 , . . . Bm sõ nõ-terminais, pelo conjunto
a a
de regras:

A → B 1 B1
B1 → B 2 B2
.
.
.
Bm−2 → Bm−1 Bm

onde B1 , B2 , . . . , Bm−2 sõ novos nõ-terminais;
a a

3 ´ ˆ

4. a gram´tica na FNC ´ G = (N , T, P , S).
a e

3 ´ ˆ

2.

P : S → Aa A|a|ABA
A → Aa A|a
B → Ab B|b
Aa → a
Ab → b

3 ´ ˆ

3.

P : S → Aa A|a|AB
B → BA
A → Aa A|a
B → Ab B|b
Aa → a
Ab → b

3 ´ ˆ

• Forma Normal de Greibach (FNG)
A FNG ´ tamb´m uma forma canˆnica. Uma GLC
e e o
est´ na FNG se ela ´ ε-livre e apresenta todas as
a e
produ¸˜es na forma:
co

A → aα ,

onde A ∈ N , a ∈ T , e α ∈ N ∗ .

3 ´ ˆ

• Teorema: Toda LLC ε-livre pode ser gerada por uma
GLC na FNG.

3 ´ ˆ

• Algoritmo:
1. achar G = (N , T, P , S) tal que L(G ) = L(G) e G
est´ na FNC;
a
2. ordenar os nõ-terminais de G em uma ordem
a
qualquer N = (A1 , A2 , . . . , Am );
3. modificar as regras de P de modo que, se
Ai → Aj γ ∈ P , entõ j i;
a
4. a gram´tica obtida no passo anterior, G ,
a
apresentar´ todas as regras de Am com o lado
a
direito iniciando por terminal. Por substitui¸˜es
co
sucessivas dos primeiros termos das regras Ai
anteriores, coloca-se estas tamb´m na mesma
e
forma;

3 ´ ˆ

5. se no item 3 tiverem sido inclu´ıdos novos
n˜o-terminais Bi (para retirar recurs˜es `
a o a
esquerda), fazer tamb´m para as regras
e
correspondentes a estes, as devidas substitui¸oes
c˜
dos primeiros termos (que ser˜o sempre terminais
a
ou Ai );
6. A G est´ na FNG.
a

3 ´ ˆ

• Exemplo: Obtenha a FNG.

P : S → AS|a
A → SA|b

Solu¸˜o:
ca
1. G j´ est´ na FNC;
a a
2. Renomear os n˜o-terminais: S = A1 e A = A2 ;
a

P : A1 → A2 A1 |a
A2 → A1 A2 |b

3 ´ ˆ

3. se Ai → Aj γ ∈ P , ent˜o j i. A unica regra a
a ´
modiﬁcar ´:
e
A2 → A1 A2 .
Substituindo A1 nesta regra:

A2 → A2 A1 A2 |aA2 |b .

3 ´ ˆ

Retirando o ε por substitui¸oes:
c˜

P : A1 → A2 A1 |a
A2 → aA2 B2 |bB2 |aA2 |b
B2 → A1 A2 B2 |A1 A2

3 ´ ˆ

4. Fazendo as substitui¸oes ﬁnais para tornar todos os
c˜
lados direitos na forma A → aα, A ∈ N , a ∈ T e
α ∈ N ∗:

P : A1 → aA2 B2 A1 |bB2 A1 |aA2 A1 |bA1 |a
A2 → aA2 B2 |bB2 |aA2 |b
B2 → aA2 B2 A1 A2 B2 |bB2 A1 A2 B2 |
aA2 A1 A2 B2 |bA1 A2 B2 |aA2 B2 |
aA2 B2 A1 A2 |bB2 A1 A2 |aA2 A1 A2 |
bA1 A2 |aA2

3 ´ ˆ

• Gram´tica de Operadores – ´ uma GLC que nõ
a e a
possui produ¸oes A → αBCβ, onde A, B, C ∈ N , e
c˜
α, β ∈ V ∗ . Ou seja, uma GLC em que nõ aparecem
a
dois nõ-terminais juntos em um lado direito. Ex:
a
P : E → E + E|E − E|E ∗ E|id. Importˆncia:
a
express˜es aritm´ticas de linguagens de programa¸õ.
o e ca

3 ´ ˆ

• Autˆmato de Pilha
o
– M´quina abstrata que reconhece as LLC;
a
– Chamado tamb´m de “Push-down Automata”
e
(PDA);
– Consiste de:
∗ controle finito;
∗ fita de entrada;
∗ pilha.
– Caracter´
ıstica: ser nõ-determin´
a ıstico.

3 ´ ˆ

Fita de entrada

0 1 0 0 1 0 1
Cabeçote

Z
Controle
Finito Y
X
Pilha

3 ´ ˆ

• Movimentos do PDA:
1. Um s´ımbolo ´ lido e o cabe¸ote avan¸a para o
e c c
pr´ximo s´
o ımbolo;
2. “ε-move” – movimento vazio, no qual o cabe¸ote
c
nõ se move, nõ importando qual ´ o s´
a a e ımbolo
que est´ sendo apontado na fita de entrada.
a

3 ´ ˆ

• Linguagem Aceita por um PDA
Dois tipos de reconhecimento:
1. pilha vazia;
2. estado final.
Observa¸oes:
c˜
– No reconhecimento por pilha vazia o conjunto de
estados finais ´ irrelevante;
e
– Os dois tipos sõ equivalentes (resultam na mesma
a
classe de linguagens);
– Classe reconhecida: LLC.

3 ´ ˆ

• Defini¸õ Formal de PDA
ca

M = (K, Σ, Γ, δ, q0 , z0 , F )

Onde:
Γ alfabeto finito da pilha;
δ : K × (Σ ∪ {ε}) × Γ → Partes(K × Γ∗ ) fun¸õ de
ca
transi¸ao (mapeamentos);
c˜
z0 ∈ Γ s´
ımbolo inicial da pilha;
F ⊆ K conjunto finito de estados finais.

3 ´ ˆ

• Tipos de mapeamentos:
1. δ(q, a, z) = {(p1 , γ1 ), (p2 , γ2 ), . . . , (pm , γm )}, onde
q, p1 , . . . , pm ∈ K, a ∈ Σ, z ∈ Γ, e γ1 , . . . , γm ∈ Γ∗ .
Signiﬁcado:
– M est´ no estado p, com a na entrada e z no
a
topo da pilha;
– M pode mudar para o estado pi , 1 ≤ i ≤ m,
substituindo z por γi no topo da pilha;
– M avan¸a o cabe¸ote para o pr´ximo s´
c c o ımbolo.

3 ´ ˆ

2. δ(q, ε, z) = {(p1 , γ1 ), (p2 , γ2 ), . . . , (pm , γm )}.
Significado:
– M est´ no estado p, com z no topo da pilha;
a
– nõ interessa o que est´ na fita de entrada;
a a
– M passa ao estado pi , 1 ≤ i ≤ m, trocando z por
γi no topo da pilha;
– o cabe¸ote nõ se move (movimento vazio);
c a

3 ´ ˆ

• Dependendo de |γ| temos as seguintes poss´
ıveis a¸˜es
co
do PDA em rela¸˜o ` pilha:
ca a
1. |γ| ≥ 2 – troca o s´
ımbolo no topo da pilha e
empilha outros (a pilha cresce);
2. |γ| = 1 – troca o s´
ımbolo no topo (pilha permanece
com o mesmo tamanho);
3. |γ| = 0 (γ = ε) – desempilha o s´
ımbolo do topo (a
pilha decresce de tamanho).

3 ´ ˆ

• Conven¸ao: costuma-se representar a pilha na
c˜
horizontal, com o topo da pilha sendo aquele s´
ımbolo
que est´ mais ` esquerda.
a a

3 ´ ˆ

• Um autˆmato de pilha ´ determin´
o e ıstico se:
1. para qualquer q ∈ K, z ∈ Γ e a ∈ Σ ∪ {ε}, δ(q, a, z)
nunca cont´m mais de um elemento;
e
2. para cada q ∈ K e z ∈ Γ, sempre que δ(q, ε, z) = ∅
ent˜o δ(q, a, z) = ∅ para todo a ∈ Σ.
a
Observa¸ao: o segundo item impede que ocorra a
c˜
escolha entre um movimento envolvendo um s´ımbolo
na entrada e um “ε-move”.

3 ´ ˆ

• Exemplo: PDA que aceita, por pilha vazia,
L = {wcwR |w ∈ {0, 1}∗ } ,
onde wR ´ a seq¨encia reversa de w.
e u

M = ({q1 , q2 }, {0, 1, c}, {z0 , z, u}, δ, q1 , z0 , ∅)
δ(q1 , 0, z0 ) = {(q1 , zz0 )} δ(q1 , 0, z) = {(q1 , zz)}
δ(q1 , 0, u) = {(q1 , zu)} δ(q1 , c, z0 ) = {(q2 , z0 )}
δ(q1 , c, z) = {(q2 , z)} δ(q1 , c, u) = {(q2 , u)}
δ(q2 , 0, z) = {(q2 , ε)} δ(q2 , ε, z0 ) = {(q2 , ε)}
δ(q1 , 1, z0 ) = {(q1 , uz0 )} δ(q1 , 1, z) = {(q1 , uz)}
δ(q1 , 1, u) = {(q1 , uu)} δ(q2 , 1, u) = {(q2 , ε)}

3 ´ ˆ

• Chama-se configura¸õ de um PDA a um par (q, γ)
ca
onde q ∈ K e γ ∈ Γ∗ , significando que o PDA est´ no
a
estado q, com γ armazenado na pilha;
• passagem de uma configura¸õ para outra:
ca

a : (q, zγ) M (p, βγ) ,

onde: a ∈ Σ ∪ {ε}, γ, β ∈ Γ∗ , z ∈ Γ, e
(p, β) ∈ δ(q, a, z);

3 ´ ˆ

• Extendendo para seq¨ˆncias:
ue
∗
a1 a2 · · · an : (q1 , γ1 ) M (qn+1 , γn+1 ) ,

onde: a1 , a2 , . . . , an ∈ Σ {ε}, q1 , q2 , . . . , qn+1 ∈ K,
γ1 , γ2 , . . . , γn+1 ∈ Γ∗ , e ai : (qi , γi ) M (qi+1 , γi+1 ),
para todo 1 ≤ i ≤ n;
∗
• conven¸ao: ε : (q, γ)
c˜ M (q, γ).

3 ´ ˆ

• A descri¸õ instantˆnea de um PDA ´ formada pelo
ca a e
seu estado atual, o conte´do da pilha e o restante da
u
seq¨ˆncia de entrada a ser lida. Representa a
ue
situa¸õ do reconhecimento em um determinado
ca
instante;
• Conven¸ao:
c˜
(q, bc, xyzz0 ) ,
significando que o autˆmato est´ no estado q, com bc
o a
restando na entrada (cabe¸ote esta sobre o s´
c ımbolo
b), e a pilha cont´m xyzz0 , com x no topo.
e

3 ´ ˆ

• Exemplo: reconhecimento da senten¸a 01c10:
c

(q1 , 01c10, z0 ) (q1 , 1c10, zz0 )
(q1 , c10, uzz0 )
(q2 , 10, uzz0 )
(q2 , 0, zz0 )
(q2 , ε, z0 )
(q2 , ε, ε) (pilha vazia)

Produ¸˜es usadas: δ(q1 , 0, z0 ) = (q1 , zz0 ),
co
δ(q1 , 1, z) = (q1 , uz), δ(q1 , c, u) = (q2 , u),
δ(q2 , 1, u) = (q2 , ε), δ(q2 , 0, z) = (q2 , ε),
δ(q2 , ε, z0 ) = (q2 , ε).

3 ´ ˆ

• Linguagem aceita por um PDA
– T (M ) – linguagem aceita por estado ﬁnal:
∗
T (M ) = {w|w : (q0 , z0 ) M (q, γ), γ ∈ Γ∗ , q ∈ F } ;

– N (M ) – linguagem aceita por pilha vazia:
∗
N (M ) = {w|w : (q0 , z0 ) M (q, ε), q ∈ K} .

3 ´ ˆ

• Exemplo: M , n˜o-determin´
a ıstico, aceitando por pilha
vazia
N (M ) = {wwR |w ∈ {0, 1}∗ } .

3 ´ ˆ

Solu¸˜o: M = ({q1 , q2 }, {0, 1}, {z0 , z, u}, δ, q1 , z0 , ∅)
ca
δ(q1 , 0, z0 ) = {(q1 , zz0 )}
δ(q1 , 1, z0 ) = {(q1 , uz0 )}
δ(q1 , 0, z) = {(q1 , zz), (q2 , ε)}
δ(q1 , 0, u) = {(q1 , zu)}
δ(q1 , 1, z) = {(q1 , uz)}
δ(q1 , 1, u) = {(q1 , uu), (q2 , ε)}
δ(q2 , 0, z) = {(q2 , ε)}
δ(q2 , 1, u) = {(q2 , ε)}
δ(q1 , ε, z0 ) = {(q2 , ε)}
δ(q2 , ε, z0 ) = {(q2 , ε)}

3 ´ ˆ

• Reconhecimento de 001100:

0 : (q1 , z0 ) (q1 , zz0 )
0 : (q1 , zz0 ) (q1 , zzz0 )
1 : (q1 , zzz0 ) (q1 , uzzz0 )
1 : (q1 , uzzz0 ) (q2 , zzz0 )
0 : (q2 , zzz0 ) (q2 , zz0 )
0 : (q2 , zz0 ) (q2 , z0 )
ε : (q2 , z0 ) (q2 , ε)

3 ´ ˆ

• Esta linguagem nõ poderia ser reconhecida por um
a
PDA determin´ ıstico. Por que?
• Diferente do que ocorre com os autˆmatos finitos, em
o
que AFD ≡ AFND, nos autˆmatos de pilha,
o
PDA determin´ ıstico ≡ PDA nõ − determin´
a ıstico;
• Isto particiona as LLC em LLC determin´ ısticas e
nõ-determin´
a ısticas (LLC determin´
ısticas ⊂ LLC
nõ-determin´
a ısticas).

3 ´ ˆ

• Representa¸ao Gr´fica de PDA
c˜ a

(a,x)→xx (b,x)→ε
(a,z0 )→xz0

(b,x)→ε

q0
GFED j
@ABC
89:;
?= q1
/ GFED
@ABC q2
/ GFED
@ABC

(ε,z0 )→ε

Conven¸ao: (a, w) → z, significando que a ∈ Σ est´
c˜ a
na entrada, w ∈ Γ est´ no topo da pilha e z ∈ Γ∗ ser´
a a
empilhado (se z = ε entõ desempilha).
a

δ(q0 , a, z0 ) = {(q1 , xz0 )} δ(q1 , a, x) = {(q1 , xx)}

δ(q1 , b, x) = {(q2 , ε)} δ(q2 , b, x) = {(q2 , ε)}
δ(q2 , ε, z0 ) = {(q0 , ε)}

3 ´ ˆ

Linguagem reconhecida:

L(M ) = {an bn |n ≥ 0}

3 ´ ˆ

• Rela¸˜o entre PDA e LLC: GLC ⇒ PDA e
ca
PDA ⇒ GLC;
• Teorema: Se L ´ uma LLC, ent˜o existe um PDA M
e a
tal que L = N (M );
• Algoritmo para construir M :
1. Colocar G = (N, T, P, S) na FNG. Assumimos que
ε ∈ L(G);
2. M = ({q1 }, T, N, δ, q1 , S, ∅). Para cada regra
A → aγ ∈ P corresponde:

δ(q1 , a, A) ⊃ (q1 , γ) ;

• Provar L(G) = N (M ).

3 ´ ˆ

• Exemplo: PDA para reconhecer a linguagem gerada
pela seguinte gram´tica:
a

G = ({S, A}, {a, b}, {S → aAA, A → bS|aS|a}, S)

Solu¸˜o:
ca

M = ({q1 }, {a, b}, {S, A}, δ, q1 , S, ∅)

δ(q1 , a, S) = {(q1 , AA)}
δ(q1 , b, A) = {(q1 , S)}
δ(q1 , a, A) = {(q1 , S), (q1 , ε)}

3 ´ ˆ

• Teorema: Se L ´ uma linguagem reconhecida por
e
algum PDA ent˜o L ´ LLC;
a e

3 ´ ˆ

• Algoritmo para construir G: Seja
M = (K, Σ, Γ, δ, q0 , z0 , ∅). Entõ, G = (N, Σ, P, S),
a
onde:
N conjunto de objetos na forma [q, A, p], q, p ∈ K e
A ∈ Γ, unido com {S};
P obtido da seguinte forma:
1. S → [q0 , z0 , q] para cada q ∈ K;
2. [q, A, p] → a[q1 , B1 , q2 ][q2 , B2 , q3 ] · · · [qm , Bm , qm+1 ]
para cada q, q1 , q2 , . . . , qm+1 ∈ K, onde p = qm+1 ,
a ∈ Σ ∪ {ε}, A, B1 , B2 , . . . , Bm ∈ Γ, tal que
δ(q, a, A) ⊃ (q1 , B1 B2 · · · Bm ). Se m = 0 entõ a
q1 = p, δ(q, a, A) ⊃ (p, ε) e a produ¸õ ´ ca e
[q, A, p] → a.

3 ´ ˆ

• Exemplo: Seja
M = ({q0 , q1 }, {0, 1}, {X, z0 }, δ, q0 , z0 , ∅) e

δ(q0 , 0, z0 ) = {(q0 , xz0 )}
δ(q0 , 0, x) = {(q0 , xx)}
δ(q0 , 1, x) = {(q1 , ε)}
δ(q1 , 1, x) = {(q1 , ε)}
δ(q1 , ε, x) = {(q1 , ε)}
δ(q1 , ε, z0 ) = {(q1 , ε)}

Construir G = (N, T, P, S).

3 ´ ˆ

Solu¸ao:
c˜

N = {S, [q0 , x, q0 ], [q0 , x, q1 ], [q1 , x, q0 ], [q1 , x, q1 ], [q0 , z0 , q0 ], [q0 , z0 , q1 ],

[q1 , z0 , q0 ], [q1 , z0 , q1 ]}
T = {0, 1}
Produ¸oes:
c˜
S → [q0 , z0 , q0 ]|[q0 , z0 , q1 ] (pela regra 1)
Pela regra 2:

[q0 , z0 , q0 ] → 0[q0 , x, q0 ][q0 , z0 , q0 ]|0[q0 , x, q1 ][q1 , z0 , q0 ]

Ou seja,

q p a q1 B1 B2= qm+1 =p
A
z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z }| { z}|{ z}|{
[ q0 , z0 , q0 ] → 0 [ q0 , x , q0 ][q0 , z0 , q0 ] para p = q0

q a
A q1 B1 B2 =Bm
z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z}|{
δ( q0 , 0 , z0 ) = {( q0 , x z0 )} (m = 2)

3 ´ ˆ

Observe que repetimos o lado direito da regra para B2 = q0 e B2 = q1 :
p=q0 B2 =q0 B2 =q0 B2 =q1 B2 =q1
z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z}|{
[q0 , z0 , q0 ] → 0[q0 , x, q0 ][ q0 , z0 , q0 ]|0[q0 , x, q1 ][ q1 , z0 , q0 ]

Repetindo, agora para p = q1 (j´ que a regra exige ∀p ∈ K):
a
p=q1 qm+1 =p qm+1 =p
z}|{ z}|{ z}|{
[q0 , z0 , q1 ] → 0[q0 , x, q0 ][q0 , z0 , q1 ]|0[q0 , x, q1 ][q1 , z0 , q1 ]

3 ´ ˆ

Exempliﬁcando para casos em que m = 0:
q a A p m=0
δ( q0 , 1 , x ) = {( q1 , ε )}
q A p a

[ q0 , x , q1 ] → 1 (p = q1 = q1 )

Outro caso (a = ε):
q a A p m=0
δ( q1 , ε , x ) = {( q1 , ε )}
q A p a
[ q1 , x , q1 ] → ε

3 ´ ˆ

Solu¸˜o completa:
ca
S → [q0 , z0 , q0 ]|[q0 , z0 , q1 ]
[q0 , z0 , q0 ] → 0[q0 , x, q0 ][q0 , z0 , q0 ]
|0[q0 , x, q1 ][q1 , z0 , q0 ]
[q0 , z0 , q1 ] → 0[q0 , x, q0 ][q0 , z0 , q1 ]
|0[q0 , x, q1 ][q1 , z0 , q1 ]
[q0 , x, q0 ] → 0[q0 , x, q0 ][q0 , x, q0 ]
|0[q0 , x, q1 ][q1 , x, q0 ]
[q0 , x, q1 ] → 0[q0 , x, q0 ][q0 , x, q1 ]
|0[q0 , x, q1 ][q1 , x, q1 ]
|1
[q1 , z0 , q1 ] → ε
[q1 , x, q1 ] → 1|ε

3 ´ ˆ

Observe que nõ existem produ¸oes para os
a c˜
nõ-terminais [q1 , x, q0 ] e [q1 , z0 , q0 ]. Assim, simplificando:
a

S → [q0 , z0 , q1 ]
[q0 , z0 , q1 ] → 0[q0 , x, q1 ][q1 , z0 , q1 ]
[q0 , x, q1 ] → 0[q0 , x, q1 ][q1 , x, q1 ]|1
[q1 , z0 , q1 ] → ε
[q1 , x, q1 ] → 1|ε

3 ´ ˆ

• Provar N (M ) = L(G).

3 ´ ˆ

Exerc´
ıcios:
1. Sejam G e G abaixo, representadas por seu conjunto
de produ¸oes:
c˜

P : S → A2D|D2A|2
A → A1|B1|1
B → B1|B0
C → 0B|0
D → 0D|0

3 ´ ˆ

P : S → A|B|AB
A → aB|bS|b
B → AB|Ba|cB
C → AS|AB|b

Pede-se:
(a) mostre a deriva¸˜o mais ` esquerda de 00211 para
ca a
G e a deriva¸˜o mais ` direita de bb para G ;
ca a
(b) monte as ´rvores de deriva¸ao destas duas
a c˜
deriva¸˜es;
co
(c) retire todos os s´
ımbolos in´teis das duas
u
gram´ticas.
a

3 ´ ˆ

2. Seja G = ({S}, {a, b}, {S → SaS|b}, S).
(a) G ´ amb´ ua? (justiﬁque);
e ıg¨
(b) caso seja amb´ ua, existe alguma gram´tica
ıg¨ a
equivalente que n˜o seja amb´ ua?
a ıg¨

3 ´ ˆ

3. Seja G = ({A, B, C, D}, {a, b, c}, P, A), e

P : A → ab|aBc|ε
B → CBa|Aa
C → Db|c
D → Bab|Da|ε

Pede-se:
(a) transformar em uma gram´tica equivalente ε-livre;
a
(b) elimine todas as recurs˜es ` esquerda da gram´tica
o a a
obtida no item anterior, se houver;
(c) fatore a gram´tica obtida no item anterior, se
a
necess´rio.
a

3 ´ ˆ

4. Seja G = ({S, A, B, C}, {a, b, c}, P, S), onde

P : S → Aa
A → BC
B → Sb|ε
C → cC|ε

Pede-se:
(a) transforme G em ε-livre;
(b) elimine as produ¸oes simples;
c˜
(c) elimine as recurs˜es ` esquerda.
o a

3 ´ ˆ

6. Elimine as recurs˜es ` esquerda:
o a

P : E → E + T |E − T |T
T → T ∗ F |T /F |F
F → F ∗ ∗P |P
P → (E)|id

P : S → BaS|Da|ε
A → Sa|ε
B → SAa
D → Db|b

3 ´ ˆ

8. Obtenha a FNC e a FNG:

P : S → aSb|cC
C → Dd|d
D → cC

9. Obtenha a FNG:

P : S → AA|0
A → SS|1

3 ´ ˆ

10. Obtenha a FNC de
G = ({S, T, L}, {a, b, +, −, ∗, /, [, ]}, P, S), onde:

P : S → T + S|T − S|T
T → L ∗ T |L/T |L
L → [S]|a|b

3 ´ ˆ

11. Construa autˆmatos de pilha que reconhe¸am as
o c
seguintes linguagens:
(a) L = {w|w ∈
{a, b}∗ tal que o n´mero de a seja o dobro do de b};
u
(b) L = {w|w ∈
{0, 1}∗ tal que o n´mero de 0 seja igual ao de 1}.
u

3 ´ ˆ

12. Uma estrutura de lista pode ser definida como:
(a) λ ´ uma lista vazia;
e
(b) a (´tomo) ´ uma lista;
a e
(c) se l1 , l2 , . . . , lk sõ listas, para k ≥ 1, entõ
a a
(l1 , l2 , . . . , lk ) ´ uma lista.
e
Pede-se:
(a) Defina uma GLC que gere estruturas de listas;
(b) Desenhe uma ´rvore de deriva¸õ para a senten¸a
a ca c
((a, a), λ, (a));
(c) Construa um PDA que reconhe¸a listas;
c
(d) Escreva os movimentos que o PDA realiza para
reconhecer a senten¸a acima.
c

3 ´ ˆ

13. Dada a gram´tica G = ({S, A, B}, {a, b, c}, P, S),
a
onde:

P : S → aAA|Bc
A → aS|BS|a
B → b|bB

Pede-se:
(a) veriﬁque se a senten¸a abaaaa pertence ` L(G)
c a
atrav´s de deriva¸˜es mais ` esquerda;
e co a
(b) construa um PDA correspondente a G;
(c) mostre o reconhecimento da mesma senten¸ac
abaaaa pelo PDA, atrav´s de descri¸ao instantˆnea.
e c˜ a

3 ´ ˆ

14. Seja o PDA M = ({q0 , q1 }, {a, b}, {z0 , x}, δ, q0 , z0 , ∅),
onde:

δ(q0 , b, z0 ) = {(q0 , xz0 )}
δ(q0 , b, x) = {(q0 , xx)}
δ(q0 , a, x) = {(q1 , x)}
δ(q0 , ε, z0 ) = {(q0 , ε)}
δ(q1 , b, x) = {(q1 , ε)}
δ(q1 , a, z0 ) = {(q0 , z0 )}

3 ´ ˆ

Pede-se:
(a) construa uma GLC que gera a linguagem N (M );
(b) mostre a seq¨ˆncia de descri¸˜es instantˆneas do
ue co a
PDA ao reconhecer alguma senten¸a w de N (M )
c
com |w| ≥ 4.

3 ´ ˆ


P : S → 0AS|1BS|ε
A → 0AA|1
B → 1BB|0

Pede-se:
(a) construa o PDA equivalente a G;
(b) mostre, atrav´s de descri¸˜es instantˆneas, o
e co a
reconhecimento (ou n˜o) das seguintes senten¸as:
a c
i. 001011;
ii. 111001.

4 ALGORITMO CYK 215

4 Algoritmo CYK
• Algoritmo reconhecedor de LLC proposto por Cocke,
Younger e Kasami (1965);
• Constru´ sobre uma GLC na FNC;
ıdo
• Gera bottom-up todas as ´rvores de deriva¸ao da
a c˜
entrada w em tempo O(|w|3 );

4 ALGORITMO CYK 216

• Algoritmo:
1. Suponha G = (N, T, P, S), e w = a1 a2 a3 · · · an uma
entrada a ser veriﬁcada. V (r, s), onde s ´ o n´mero
e u
de linha e r o n´mero de coluna, representa as
u
c´lulas de uma matriz triangular ilustrada a seguir:
e

4 ALGORITMO CYK 217

X
X X
X X X
↑ X X X X
.
. .
. .
. .
.
s . . . .
s=1 X X X ··· X
a1 a2 a3 ··· an
r→

4 ALGORITMO CYK 218

2. Vari´veis que geram diretamente terminais
a
(A → a):
para r de 1 at´ n fa¸a V (r, 1) = {A|A → ar ∈ P }
e c
ﬁm para

4 ALGORITMO CYK 219

3. Produ¸ao que gera duas vari´veis (A → BC):
c˜ a
para s de 2 at´ n
e
fa¸a
c
para r de 1 at´ n − s + 1
e
fa¸a
c
V (r, s) = ∅
para k de 1 at´ s − 1
e
fa¸a
c
V (r, s) = V (r, s) {A|A → BC ∈ P, B ∈ V (r, k) ∧
C ∈ V (r + k, s − k)}
fim para
fim para
fim para

4 ALGORITMO CYK 220

4. Condi¸ao de aceita¸ao: se o s´
c˜ c˜ ımbolo inicial da
gram´tica estiver no v´rtice V (1, n).
a e

4 ALGORITMO CYK 221

Observa¸˜es: O limite da itera¸ao para r ´
co c˜ e
(n − s + 1) pois a tabela ´ triangular; Os v´rtices
e e
V (r, k) e V (r + k, s − k) sõ as ra´ da sub-´rvore
a ızes a
de deriva¸ao de V (r, s); Se uma c´lula for vazia
c˜ e
significa que ela nõ gera nenhuma sub-´rvore.
a a

4 ALGORITMO CYK 222

• Exemplo: G = ({S, A}, {a, b}, P, S), onde
P = {S → AA|AS|b, A → SA|AS|a}, e a entrada ´
e
w = abaab.
A tabela resolvida ´ ilustrada a seguir:
e
S, A
S, A S, A
S, A S S, A
S, A A S S, A
A S A A S
a b a a b

4 ALGORITMO CYK 223

Solu¸˜o:
ca
1. s = 2, r = 1, k = 1: A → BC, B ∈ V (1, 1) e
C ∈ V (2, 1). V (1, 2) = ∅ {S, A} = {S, A};
2. s = 2, r = 2, k = 1: B ∈ V (2, 1) e C ∈ V (3, 1).
V (2, 2) = ∅ {A} = {A};
3. s = 2, r = 3, k = 1: B ∈ V (3, 1) e C ∈ V (4, 1).
V (3, 2) = ∅ {S} = {S};
4. s = 2, r = 4, k = 1: B ∈ V (4, 1) e C ∈ V (5, 1).
V (4, 2) = ∅ {S, A} = {S, A};
5. s = 3, r = 1, k = 1: B ∈ V (1, 1) e C ∈ V (2, 2).
V (1, 3) = ∅ {S} = {S};

4 ALGORITMO CYK 224

6. s = 3, r = 1, k = 2: B ∈ V (1, 2) e C ∈ V (3, 1).
V (1, 3) = {S} {S, A} = {S, A};
7. s = 3, r = 2, k = 1: B ∈ V (2, 1) e C ∈ V (3, 2).
V (2, 3) = ∅ ∅ = ∅;
8. s = 3, r = 2, k = 2: B ∈ V (2, 2) e C ∈ V (4, 1).
V (2, 3) = ∅ {S} = {S};
9. s = 3, r = 3, k = 1: B ∈ V (3, 1) e C ∈ V (4, 2).
V (3, 3) = ∅ {S, A} = {S, A};
10. s = 3, r = 3, k = 2: n˜o precisa.
a
11. s = 4, r = 1, k = 1: B ∈ V (1, 1) e C ∈ V (2, 3).
V (1, 4) = ∅ {S, A} = {S, A};

4 ALGORITMO CYK 225

12. s = 4, r = 1, k = 2, 3: nõ precisa;
a
13. s = 4, r = 2, k = 1: B ∈ V (1, 1) e C ∈ V (2, 3).
V (2, 4) = ∅ {S, A} = {S, A};
14. s = 4, r = 2, k = 2, 3: nõ precisa;
a
15. s = 5, r = 1, k = 1: B ∈ V (1, 1) e C ∈ V (2, 4).
V (1, 5) = ∅ {S, A} = {S, A};
16. s = 5, r = 1, k = 2, 3, 4: nõ precisa.
a

4 ALGORITMO CYK 226

• Exerc´ıcio: Reconhe¸a usando o algoritmo CYK.
c
P : S → AB|BC, A → BA|a, B → CC|b, C → AB|a
e entrada w = baaba.

5 ´
LINGUAGENS TIPO 0 E MAQUINAS DE TURING 227

5 Linguagens Tipo 0 e M´quinas
a
de Turing
• As m´quinas de Turing (TM) foram propostas como
a
um modelo matem´tico para representar
a
procedimentos algor´ıtmicos;
• Sõ um formalismo para definir computabilidade –
a
conceito relacionado com os problemas que podem
ser resolvidos de forma mecˆnica (algor´
a ıtmica);
• Tese de Church: “a m´quina de Turing computa
a
exatamente o conjunto das fun¸˜es que sõ
co a
‘comput´veis’ em um sentido intuitivo e informal”;
a

5 ´

• M´quinas de Turing s˜o simultaneamente:
a a
– mecanismos para reconhecer linguagens Tipo 0 ou
linguagens recursivamente enumer´veis ou
a
conjuntos recursivamente enumer´veis;
a
– mecanismos para computar fun¸˜es parciais
co
recursivas;

5 ´

• Os conjuntos recursivamente enumer´veis s˜o os
a a
conjuntos mais amplos que podem ser reconhecidos
(ou gerados) algoritmicamente;

5 ´

• As fun¸oes computadas por TM sõ chamadas de
c˜ a
fun¸˜es parciais recursivas:
co
parciais a m´quina pode entrar em um
a
“la¸o infinito”, significando que a fun¸õ nõ est´
c ca a a
definida para um determinado valor de entrada;
recursivas por raz˜es hist´ricas, sõ assim chamadas
o o a
pois as fun¸oes computadas podem ser definidas
c˜
por um formalismo recursivo;

5 ´

• Modelo de M´quina de Turing
a
Fita de Trabalho/Entrada
a 1 a 2 a 3 ... ai ... an B B ...

cabeçote

Controle
Finito

5 ´

• TM ´ formada por:
e
Fita de Trabalho/Entrada onde ´ inicialmente
e
posta a senten¸a a ser reconhecida; formada por
c
c´lulas que podem armazenar um s´
e ımbolo; limitada
` esquerda e inﬁnita ` direita;
a a
Cabe¸ote permite ler/escrever s´
c ımbolos da/na ﬁta;
Controle Finito controla o cabe¸ote; representa o
c
“programa” sendo computado pela m´quina;
a

5 ´

• Movimentos de TM:
1. trocar de estado;
2. gravar um s´ımbolo na c´lula da ﬁta sobre a qual
e
est´ o cabe¸ote;
a c
3. redu¸ao do tamanho da string armazenada (basta
c˜
escrever um “branco” sobre o s´ımbolo do extremo
direito da string armazenada);
4. amplia¸ao do tamanho da string armazenada (basta
c˜
escrever um n˜o-branco na posi¸ao imediatamente `
a c˜ a
direita da string);
5. mover o cabe¸ote uma c´lula para a esquerda ou
c e
para a direita;

5 ´

Observa¸ao: nõ podemos escrever um “branco” a
c˜ a
nõ ser na ultima posi¸ao ` direita da string
a ´ c˜ a
armazenada (nõ podemos dividir a string
a
armazenada em duas ou introduzir brancos ` a
esquerda). S´ podemos estar em uma c´lula com
o e
“branco” se esta for a imediatamente seguinte ao
ultimo s´
´ ımbolo ` direita da string;
a

5 ´

• Uma m´quina de Turing ´ definida por:
a e

M = (K, Σ, Γ, δ, q0 , F )

Onde:
Σ ⊂ Γ conjunto finito de s´
ımbolos de entrada;
Γ conjunto finito de s´
ımbolos da fita (incluindo
“branco”);

5 ´

δ : K × Γ → K × Γ × {L, R, −} fun¸ao (parcial) de
c˜
movimento, onde L ´ o movimento do cabe¸ote
e c
para a esquerda, R ´ o movimento do cabe¸ote
e c
para a direita, e − significa que o cabe¸ote
c
permanece onde est´. Observe-se que s´ ´ poss´
a oe ıvel
escrever “branco” na fita no extremo direito da
string armazenada. O movimento do cabe¸ote ´
c e
executado ap´s a escrita do s´
o ımbolo na fita;

5 ´

• A configura¸õ de uma m´quina de Turing ´
ca a e
representada por
(q, α, i)
Onde:
q ∈ K estado atual da m´quina;
a
α ∈ (Γ − {B})∗ string armazenada na fita;
i posi¸ao do cabe¸ote.
c˜ c

5 ´

a 1 a 2 a 3 ... ai ... an B B ...

i

q

5 ´

• A descri¸õ instantˆnea de TM ´ definida como:
ca a e

α1 qα2

onde:
q ∈ K estado corrente da m´quina;
a
α1 , α2 ∈ Γ∗ seq¨ˆncias de s´
ue ımbolos representando os
lados direito e esquerdo do cabe¸ote.
c
Observa¸ao: assume-se que o cabe¸ote est´
c˜ c a
apontando para o s´
ımbolo mais ` esquerda de α2 . Se
a
α2 = ε entõ o cabe¸ote est´ apontando para B. Se
a c a
α1 = ε entõ o cabe¸ote est´ na primeira posi¸ao da
a c a c˜
string armazenada (i = 1).

5 ´

• Movimentos de TM:
– Se 1 ≤ i ≤ n, x ∈ (Γ − {B}) e δ(q, ai ) = (p, x, R)
entõ (q, a1 a2 · · · ai · · · an , i)
a
(p, a1 a2 · · · ai−1 xai+1 · · · an , i + 1);
– Se 2 ≤ i ≤ n, x ∈ (Γ − {B}) e δ(q, ai ) = (p, x, L)
entõ (q, a1 a2 · · · ai · · · an , i)
a
(p, a1 a2 · · · ai−1 xai+1 · · · an , i − 1);
– Se 1 ≤ i ≤ n, x ∈ (Γ − {B}) e
δ(q, ai ) = (p, x, −) entõ a
(q, a1 a2 · · · ai · · · an , i) (p, a1 a2 · · · ai−1 xai+1 · · · an , i);

5 ´

– Se x ∈ (Γ − {B}) e δ(q, B) = (p, x, −) entõ a
(q, a1 a2 · · · an , n + 1) (p, a1 a2 · · · an x, n + 1);
– Se x ∈ (Γ − {B}) e δ(q, B) = (p, x, L) entõ a
(q, a1 a2 · · · an , n + 1) (p, a1 a2 · · · an x, n);
– Se x ∈ (Γ − {B}) e δ(q, B) = (p, x, R) entõ a
(q, a1 a2 · · · an , n + 1) (p, a1 a2 · · · an x, n + 2);
– Se δ(q, an ) = (p, B, −) entõ a
(q, a1 a2 · · · an , n) (p, a1 a2 · · · an−1 , n);
– Se δ(q, an ) = (p, B, L) entõ a
(q, a1 a2 · · · an , n) (p, a1 a2 · · · an−1 , n − 1);

5 ´

– Se δ(q, B) = (p, B, −) ent˜o a
(q, a1 · · · an , n + 1) (p, a1 · · · an , n + 1);
– Se δ(q, B) = (p, B, L) ent˜o a
(q, a1 · · · an , n + 1) (p, a1 · · · an , n).

5 ´

• Linguagem aceita por TM
Seja M = (K, Σ, Γ, δ, q0 , F ), ent˜o:
a
L(M) = {w|w ∈ Σ∗ ∧ ∃q ∈ F, α ∈ Γ∗ , i ≥ 0(q0 , w, 1)
(q, α, i)}.

5 ´

• Parada de TM – se uma TM aceita uma linguagem L
entõ ela p´ra para todas as palavras de L;
a a
Existem duas possibilidades de nõ reconhecer uma
a
palavra:
1. o processo de reconhecimento trancar antes de ser
encontrado um estado final;
2. a palavra nõ ´ reconhecida pois a m´quina nõ
a e a a
p´ra (fun¸õ parcial).
a ca

5 ´

• Rela¸õ entre TM e Gram´tica Tipo 0
ca a
• Teorema: Se L ´ gerada por uma gram´tica Tipo 0
e a
entõ L pode ser reconhecida por uma m´quina de
a a
Turing;
• Teorema: Se L ´ reconhecida por uma m´quina de
e a
Turing entõ L ´ gerada por uma gram´tica Tipo 0.
a e a

5 ´

• Exemplo: L = {0n 1n |n ≥ 1}. Solu¸˜o:
ca

M = (K, Σ, Γ, δ, q0 , F )

K = {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 , q5 }
Σ = {0, 1}
Γ = {0, 1, x, y, B}
F = {q5 }

5 ´

δ(q0 , 0) = (q1 , x, R) δ(q1 , 0) = (q1 , 0, R)

δ(q1 , 1) = (q2 , y, L) δ(q2 , y) = (q2 , y, L)
δ(q2 , x) = (q3 , x, R) δ(q2 , 0) = (q4 , 0, L)
δ(q4 , 0) = (q4 , 0, L) δ(q4 , x) = (q0 , x, R)
δ(q3 , y) = (q3 , y, R) δ(q3 , B) = (q5 , B, −)
δ(q1 , y) = (q1 , y, R)

5 ´


(q0 , 0011, 1) (q1 , x011, 2)
(q1 , x011, 3)
(q2 , x0y1, 2)
(q4 , x0y1, 1)
(q0 , x0y1, 2)
(q1 , xxy1, 3)
(q1 , xxy1, 4)
(q2 , xxyy, 3)
(q2 , xxyy, 2)
(q3 , xxyy, 3)

5 ´

(q3 , xxyy, 4)
(q3 , xxyy, 5)
(q5 , xxyy, 5)

5 ´

• Fun¸ao computada por TM – podemos considerar a
c˜
m´quina de Turing tamb´m como um mecanismo
a e
para computar fun¸oes parciais recursivas (fun¸oes
c˜ c˜
sobre strings);
• Se considerarmos a tripla (q0 , δ, F ) como sendo um
programa p, entõ podemos considerar a fun¸õ Mp
a ca
como sendo a fun¸õ computada pelo programa p na
ca
m´quina M.
a

5 ´

• Existem diversas varia¸˜es da defini¸õ de m´quina
co ca a
de Turing:
1. TM nõ-determin´
a ıstica;
2. fita infinita em ambas as dire¸oes;
c˜
3. TM com mais de um cabe¸ote;
c
4. TM com mais de uma fita;
5. combina¸oes destas possibilidades;
c˜
• Todas sõ equivalentes ` defini¸ao original (TM
a a c˜
original simula todas as suas varia¸˜es);
co
• Isto ´ uma evidˆncia da corre¸ao da tese de Church.
e e c˜

5 ´

Exerc´
ıcios:
1. Deﬁna uma TM para reconhecer
L = {w|w ∈ {0, 1}∗ ∧ w = wR } (pal´
ındromes);
2. Deﬁna uma TM para reconhecer L = {an bn cn |n ≥ 0}
e mostre o reconhecimento de aabbcc.

6 ˆ
LSC E AUTOMATOS DE FITA LIMITADA 253

6 LSC e Autˆmatos de Fita
o
Limitada
• Um autˆmato de ﬁta limitada – Linear Bounded
o
Automata (LBA) – ´ uma m´quina de Turing
e a
n˜o-determin´stica em que o cabe¸ote nunca
a ı c
abandona aquelas c´lulas sobre as quais a senten¸a
e c
de entrada foi gravada;
• O LBA ´ o reconhecedor das linguagens sens´
e ıveis ao
contexto (LSC);

6 ˆ

• Defini¸õ formal de LBA
ca

M = (K, Σ, Γ, δ, q0 , F )

Onde:
Σ ⊂ Γ conjunto finito de s´
ımbolos de entrada;
Γ conjunto finito de s´
ımbolos da fita;
δ : K × Γ → Partes(K × Γ × {L, R, −}) ;
F ⊂ K conjunto finito de estados finais.

6 ˆ

Observa¸ao: o conjunto Γ possui dois s´
c˜ ımbolos
especiais £ e $ que s˜o os limites ` esquerda e `
a a a
direita da senten¸a de entrada.
c

6 ˆ

• Linguagem aceita por um LBA:
L = {w|w ∈ Σ∗ ∧ ∃q ∈ F, α ∈ Γ∗ , i ≥ 0(q0 , £w$, 1)
(q, α, i)}.
Teorema: Se L ´ uma LSC ent˜o L ´ aceita por
e a e
algum LBA.
Teorema: Se L ´ reconhecida por um LBA ent˜o
e a
L − {ε} ´ uma LSC.
e

7 HIERARQUIA DE CHOMSKY (REVISITADA E AMPLIADA) 257

7 Hierarquia de Chomsky
(revisitada e ampliada)
Relembrando:

Regulares

Livres de Contexto

´
Sensiveis ao Contexto
Tipo 0

Tipo 3 ⊂ Tipo 2 ⊂ Tipo 1 ⊂ Tipo 0 ⊂ T ∗


• Nos extremos da hierarquia (AF e TM – linguagens
regulares e Tipo 0) existe equivalˆncia entre
e
determinismo e nõ-determinismo (mesma classe de
a
linguagens reconhecidas);
• Para o autˆmato de fita limitada nõ se sabe se
o a
determinismo e nõ-determinismo aceitam a mesma
a
classe de linguagens ou classes diferentes (questõ em
a
aberto; nõ existe prova matem´tica);
a a


• Para o PDA sabemos que nõ existe equivalˆncia
a e
entre determinismo e nõ-determinismo;
a
• Linguagens livres de contexto determin´
ısticas
(LLCD) e linguagens livres de contexto
nõ-determin´
a ısticas (LLCND);
• As LLCD sõ a classe de linguagens que pode ser
a
reconhecida por um compilador de forma eficiente
(em tempo polinomial);
• Sõ a classe mais importante pois representam a
a
sintaxe da maioria das linguagens de programa¸õ;
ca
• As LLCD sõ geradas pelas gram´ticas LR;
a a


Teorema: Se L ´ uma LLC e o complemento de L
e
(T ∗ − L) nõ ´, entõ L nõ ´ LLCD.
a e a a e


Regulares
LLC Determinísticas

LLC Não−determinísticas
Sensíveis ao Contexto
Tipo 0

Tipo 3 ⊂ LLCD ⊂ LLCND ⊂ Tipo 1 ⊂ Tipo 0 ⊂ T ∗


´
• E possivel caracterizar toda a hierarquia de Chomsky
ampliada apresentada at´ aqui usando-se apenas o
e
autˆmato de pilha;
o
• Definimos PDA(n) como sendo um autˆmato de
o
pilha que possui n pilhas. Entõ:
a
1. PDA(0) ´ equivalente ao AF;
e
2. PDA(1) = PDA caracterizando as LLCD e
LLCND dependendo da existˆncia ou nõ de
e a
nõ-determinismo;
a
3. PDA(n) ≡ TM, para n ≥ 2 (por que?). Logo,
PDA(n) ≡ PDA(2), para todo n 2 – adicionar
mais pilhas nõ muda nada (por que?).
a


FIM

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