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12.ºano
Matemática
A
12
O
2024
Preparação
para
o
Exame
Final
Nacional
PreparaçãoparaoExameFinalNacional
MatemáticaA
Oo
2024
Resumosdos10.°,11.°e12.°anos
Questõescomresoluçõesdetalhadas
ExameFinalNacionalde2023resolvido
Provasoficiaisresolvidas(online)
Testesinterativostipoexamecomresultadosautomáticos
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04/10/2023 10:41
04/10/2023 10:41

Preparação para o Exame Final Nacional – Matemática A – 12.° Ano, Porto Editora
162
7. Derivada de segunda ordem de uma função
Derivada de segunda ordem (ou segunda derivada)
Seja f : D → ℝ uma função diferenciável em I ⊂ D .
Se a função f': I → ℝ for diferenciável, a sua derivada designa-se por derivada de segunda ordem de f
ou segunda derivada de f e representa-se por f ".
Assim, para todo o x ∈ I , f "(x) = (f')'(x) .
Concavidades
Seja f uma função duas vezes diferenciável num intervalo aberto I ⊂ Df .
• Se f "(x) > 0 , ∀x ∈ I , então f tem a concavidade voltada para cima em I .
• Se f "(x) < 0 , ∀x ∈ I , então f tem a concavidade voltada para baixo em I .
f ''(x) > 0
f ''(x) < 0
Seja f uma função duas vezes diferenciável num intervalo I ⊂ Df .
• Se o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em I , então ∀x ∈ I , f″(x) ≥ 0 .
• Se o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I , então ∀x ∈ I , f″(x) ≤ 0 .
Pontos de inflexão
Uma função f : Df → ℝ tem um ponto de inflexão num ponto c ∈ Df se existirem intervalos não
vazios ]a , c[ e ]c , b[ , contidos em Df , tais que o sentido da concavidade é voltado para cima num dos
intervalos e voltada para baixo no outro.
• Se f "(c) existir, então f "(c) = 0 .
Nota: Admite-se que f é contínua em c . P.I. P.I.
Exemplo 11 Concavidades e inflexões
Estude a função definida em ℝ por f(x) = 3x
5
− 10x
4
+ 10x
3
+ 1 quanto ao
sentido da concavidade do gráfico e à existência de pontos de inflexão.
Resolução
f'(x) = 15x
4
− 40x
3
+ 30x
2
f "(x) = 60x
3
− 120x
2
+ 60x = 60x(x
2
− 2x + 1) = 60x(x − 1)
2
f "(x) = 0 ⇔ 60x(x - 1)
2
= 0 ⇔ 60x = 0 ∨ x - 1 = 0 ⇔
⇔ x = 0 ∨ x = 1
x - ∞ 0 1 + ∞
f " - 0 + 0 +
f 4
P.I.
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em ]− ∞ , 0[
e voltada para cima em ]0 , + ∞[ .
O ponto de coordenadas (0 , 1) é um ponto de inflexão.
Verifica 11
Estude quanto ao sentido da
concavidade e à existência de
pontos de inflexão as funções a
seguir definidas.
11.1. f(x) = 2x
3
+ 9x
2
11.2. f(x) = x − 1
____
x − 2
11.3. f(x) = x
2
+ 1
_____
x
2
+ 3
11.4. f(x) = (x + 6) ×√
__
x
Unidade 4 · Funções
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163
Segunda derivada e extremos locais
Seja f : Df → ℝ uma função duas vezes diferenciável num intervalo I = ]a , b[ (a < b) e c ∈ ]a , b[
tal que f'(c) = 0 .
• Se f "(c) > 0 , a função f tem um mínimo local em c .
• Se f "(c) < 0 , a função f tem um máximo local em c .
Nota: Se f '(c) = 0 e f "(c) = 0 é necessário recorrer ao estudo do sinal de f ' para se poder concluir.
Exemplo 12 Extremos relativos e segunda derivada
Determine os extremos relativos da função f definida em [−10 , + ∞[
por f(x) = (x + 1) ×√
_____
x + 10 , recorrendo, se possível, ao sinal da segunda
derivada.
Resolução
f'(x) = (x + 1)′ ×√
_____
x + 10 + (x + 1) × (√
_____
x + 10)
′ =
=√
_____
x + 10 + (x + 1) ×
1
_________
2√
_____
x + 10
=
2(x + 10) + x + 1
______________
2√
_____
x + 10
=
3x + 21
_________
2√
_____
x + 10
f'(x) = 0 ⇔ 3x + 21 = 0 ∧ x ≥ −10 ⇔ x = −7
f "(x) =
(3x + 21)′(2√
_____
x + 10) − (3x + 21)(2√
_____
x + 10)
′
_______________________________________
(2√
_____
x + 10)
2
=
=
3 × (2√
_____
x + 10) − (3x + 21) × 2 ×
1
_________
2√
_____
x + 10
_____________________________________
4(x + 10)
=
=
6(x + 10) − (3x + 21)
__________________
4(x + 10)√
_____
x + 10
=
3x + 39
_______________
4(x + 10)√
_____
x + 10
f "(−7) =
3 × (−7) + 39
___________________
4(−7 + 10)√
_______
−7 + 10
=
18
______
12√
__
3
> 0
Logo, f tem um mínimo relativo para −7 .
Sinal de f' e de f ", propriedades de f e a forma do gráfico
Sinal de f' e de f " Propriedades de f e do seu gráfico Forma do gráfico
f '(x) > 0
f "(x) > 0
f é crescente
Concavidade voltada para cima
f '(x) > 0
f "(x) < 0
f é crescente
Concavidade voltada para baixo
f '(x) < 0
f "(x) > 0
f é decrescente
Concavidade voltada para cima
f '(x) < 0
f "(x) < 0
f é decrescente
Concavidade voltada para baixo
Verifica 12
Determine os extremos
relativos das seguintes funções
recorrendo, se possível, ao sinal
da segunda derivada.
12.1. f(x) = x
3
− 3x
12.2. f(x) = x + 3 + 4
__
x
12.3. f(x) = x
3
______
(x − 1)
2
12.4. f(x) = x + 1 +
√
___
4x
___
x
Tema 3 · Derivadas e aplicações
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164
8. Derivada e cinemática
Sejam:
• uma reta r onde se fixou uma origem, uma unidade de comprimento L e um sentido;
• um intervalo de tempo I e uma unidade de tempo T ;
• uma função posição p : I → ℝ sendo p(t) a abcissa do ponto P no instante t .
t ⤻ p(t)
• A velocidade média do ponto P no intervalo tempo [t1 , t2] , t1 , t2 ∈ I , é dada, na unidade L/T , por:
t.m.v. (p , t1 , t2)
=
p(t2) − p(t1)
____________
t2 − t1
• A velocidade instantânea do ponto P no instante t e na unidade L/T é igual a p'(t) , caso exista.
• A aceleração média do ponto P no intervalo tempo [t1 , t2] , t1 , t2 ∈ I , é dada, na unidade L/T
2
, por:
t.m.v. (p', t1 , t2)
=
p'(t2) − p'(t1)
_____________
t2 − t1
• A aceleração instantânea do ponto P no instante t e na unidade L/T
2
é igual a p"(t) , caso exista.
Exemplo 13 Velocidade e aceleração
Uma partícula desloca-se numa reta numérica cuja unidade é o metro.
A abcissa da respetiva posição no instante t , em segundos é dada por:
p(t) = 4t
2
− 25t + 6
13.1. Determine a posição da partícula no instante inicial.
13.2. Determine a velocidade média da partícula entre os instantes t = 2 e
t = 5 .
13.3. Determine os instantes em que a partícula passa na origem e sua velo-
cidade nesses instantes.
13.4. Determine a aceleração média da partícula nos primeiros 4 segundos.
13.5. Admita que a partícula esteve em movimento entre os instantes t = 0
e t = 10 .
a) Qual foi a velocidade máxima atingida?
b) Qual a aceleração da partícula nesse instante?
Resolução
13.1. p(0) = 4 × 0 − 25 × 0 + 6 = 6
No instante inicial, a partícula encontra-se 6 m à direita da
origem.
13.2.
p(5) − p(2)
__________
5 − 2
=
−19 − (−28)
____________
3
=
9
__
3
= 3
A velocidade média da partícula entre os instantes t = 2 e t = 5 é
3 m/s .
Verifica 13
Um ponto P desloca-se numa
reta numérica cuja unidade
é o metro de tal forma que a
respetiva abcissa como função
do tempo t , em segundos, é
dada por:
x(t) = 4t
2
+ 40t + 75
13.1. Determine a abcissa do
ponto P nos instantes t = 0 e
t = 1 .
13.2. Determine a velocidade
média do ponto P entre os
instantes t = 3 e t = 6 .
13.3. Determine os instantes em
que o ponto passa na origem e a
sua velocidade nesses instantes.
(continua)
p(5) = 4 × 5
2
− 25 × 5 + 6 = −19
p(2) = 4 × 2
2
− 25 × 2 + 6 = −28
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165
13.3. p(t) = 0 ⇔ 4t
2
− 25t + 6 = 0 ⇔
⇔ t =
1
__
4
∨ t = 6
v(t) = p'(t) = 8t − 25
v(
1
__
4) = −23 m/s e v(6) = 23 m/s
A partícula passa na origem nos instantes t = 0,25 s e t = 6 s com
velocidades −23 m/s e 23 m/s .
13.4.
p'(4) − p'(0)
___________
4 − 0
=
7 − (−25)
_________
4
=
32
___
4
= 8
A aceleração média da partícula nos primeiros 4 segundos é
8 m/s
2
.
13.5. a) A velocidade, dada por v(t) = p'(t) = 8t − 25 , é estritamente
crescente. Logo, a velocidade máxima atingida nos primeiros
10 segundos foi: v(10) = 8 × 10 − 25 = 55 m/s .
b) A aceleração em cada instante t é dada por a(t) = p"(t) = 8 ,
ou seja, a aceleração é constante e igual a 8 m/s
2
.
9. Problemas de otimização
Exemplo 14 Triângulo de área máxima
De todos os triângulos isósceles de perímetro igual a 3 , qual é o de área
máxima?
Resolução
Consideremos um triângulo isósceles em que os lados
iguais têm medida y e o terceiro lado, que tomamos
como base, mede x .
Atriângulo = A =
xh
___
2
, 0 < x < 1,5
2y + x = 3 ⇔ y =
3 − x
_____
2
h
2
+ (
x
__
2)
2
= (
3 − x
_____
2 )
2
⇔ h
2
=
9 − 6x + x
2
− x
2
______________
4
⇔
h > 0
h =
√
_____
9 − 6x
________
2
A =
xh
___
2
⇔ A(x) =
x
__
2
×
√
_____
9 − 6x
________
2
⇔ A(x) =
x√
_____
9 − 6x
_________
4
A'(x) =
1
__
4
[x'√
_____
9 − 6x + x(√
_____
9 − 6x)
′
] =
1
__
4 (
√
_____
9 − 6x + x
−6
_________
2√
_____
9 − 6x)
=
=
9 − 6x − 3x
__________
4√
_____
9 − 6x
=
9 − 9x
_________
4√
_____
9 − 6x
A'(x) = 0 ⇔ 9 − 9x = 0 ∧ 0 < x < 1,5 ⇔ x = 1
A área do triângulo é máxima para x = 1 e y =
3 − 1
_____
2
= 1 .
Logo, o triângulo de área máxima é equilátero de lado 1 .
Verifica 13 (continuação)
13.4. Determine a aceleração
média do ponto entre os
13.5. Admita que o ponto
esteve em movimento entre os
a) Qual foi a velocidade mínima
atingida?
b) Qual a aceleração do ponto
no instante em que a
velocidade foi máxima?
Cálculo auxiliares
4t
2
− 25t + 6 = 0 ⇔
⇔ t =
25 ±√
_______
25
2
− 96
___________
8
⇔
⇔ t = 1
__
4
∨ t = 1
__
6
v(
1
__
4) = 8 × 1
__
4
− 25 = −23
v(6) = 8 × 6 − 25 = 23
p'(4) = 8 × 4 − 25 = 7
p'(0) = 8 × 0 − 25 = −25
Verifica 14
14.1. De todos os retângulos de
perímetro igual a 8 quais são as
dimensões do que tem área
máxima?
14.2. Um fio de arame com
10 cm de comprimento foi
cortado em duas partes.
Com uma das partes formou-se
um quadrado e com a outra
formou-se um círculo.
Como se deve cortar o fio de
forma que a soma das áreas
do quadrado e do círculo seja
máxima?
y
x
y
h
x
2
–
y =
3 − x
____
2
Função a maximizar
x 0 1 1,5
A' + 0 -
A ↗ 1 ↘
Máx.
Tema 3 · Derivadas e aplicações
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166
Exemplo 15 Distância mínima
Considere o retângulo [ABCD] em que ‾
AB = 10 m e ‾
BC = 20 m .
C
B
D
A
Y
d
X
Uma partícula X parte de A com direção a B a uma velocidade de 1 metro
por segundo e uma partícula Y parte, no mesmo instante, de B com a dire-
ção a C e desloca-se a 2 metros em cada segundo.
15.1. Seja d a distância entre X e Y . Mostre que:
d(t) =√
____________
5t
2
− 20t + 100
15.2. Qual é a distância mínima entre as partículas X e Y ?
Apresente o resultado com duas casas decimais.
Resolução
15.1. Seja t (0 < t ≤ 10) o tempo decorrido, em segundos, desde o ins-
tante inicial.
‾
AX = t metros
‾
BX = (10 − t) metros
‾
BY = 2t
‾
XY
2
= ‾
BX
2
+ ‾
BY
2
= (10 − t)
2
+ (2t)
2
= 100 − 20t + t
2
+ 4t
2
Logo, ‾
XY =√
____________
100 − 20t + 5t
2
.
Seja d = ‾
XY . Então:
d(t) =√
_____________
5t
2
- 20t + 100
15.2. d'(t) =
(5t
2
- 20t + 100)'
_________________
2√
______________
5t
2
- 20t + 100
=
=
10t - 20
___________________
2√
______________
5t
2
- 20t + 100
=
=
5t − 10
________________
√
______________
5t
2
- 20t + 100
d'(t) = 0 ⇔ 5t − 10 = 0 ∧ 0 < t ≤ 10 ⇔ t = 2
x 0 2 10
d' - 0 +
d ↘ 1 ↗
Mín.
A distância entre X e Y é mínima para t = 2 .
d(2) =√
_________________
5 × 2
2
- 20 × 2 + 100 =√
______
80 = 4√
__
5
A distância mínima entre X e Y é 4√
__
5 m ≈ 8,94 m .
Verifica 15
Considere o retângulo [ABCD]
em que ‾
AB = 20 m e ‾
BC = 30 m .
C
B
D
A
Y
X
Uma partícula X parte de
A com direção a B , a uma
velocidade de 2 metros por
segundo e uma partícula Y
parte, no mesmo instante, de B
com a direção a C e desloca-se a
3 metros em cada segundo.
Ao fim de quanto tempo a área
do triângulo [XBY] é máxima?
Verifica 16
Considere a função f definida
em ℝ por f(x) = 3 − 4x
2
.
Na figura está representada, num
referencial cartesiano xOy ,
parte do gráfico da função f
bem como o triângulo [OAP] .
y
O x
A
P
3
Sabe-se que:
• o ponto P se desloca, no
primeiro quadrante, ao longo
do gráfico de f ;
• o ponto A pertence ao eixo Ox
e tem abcissa igual à do
ponto P .
Seja A(x) a área do
triângulo [OAP] em função da
abcissa, x , do ponto P .
16.1. Mostre que
A(x) =
3
_
2
x − 2x
3
, com
0 < x <
√
_
3
_
2
.
16.2. Determine a abcissa do
ponto P para o qual a área do
triângulo [OAP] é máxima.
Função a maximizar
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167
Questões propostas
Questões resolvidas
177
Seja f uma função derivável em ℝ
tal que:
• f(0) = 1 • f '(x) = 2 f(x) , ∀x ∈ ℝ
Qual é a equação da reta tangente ao
gráfico de f no ponto de abcissa 0 ?
(A) y = 2x + 1 (B) y = 2x - 2
(C) y = - 2x + 1 (D)y = 2x + 2
187
Na figura está uma representação
gráfica de uma função g e de uma
reta t , tangente ao gráfico de g
nos pontos de abcissas a e a + 1 .
Sabe-se que g(a) = 1 e g(a + 1) = 3 .
O
y
x
a a + 1
1
3
t
g
O valor de g'(a) é:
(A) 1
__
2
(B) a (C)
a
__
2
(D)2
197
Seja f uma função de domínio ℝ .
Sabe-se que a sua derivada, f ' , é tal
que f '(x) = 4 - x2
, ∀ x ∈ ℝ .
Relativamente à função f , qual das
afirmações seguintes é verdadeira?
(A) f é decrescente em ]-∞ , 0] .
(B) f é decrescente em [-2 , 2] .
(C) f tem um mínimo para x = -2 .
(D)f tem um mínimo para x = 2 .
207
Seja f uma função derivável em ℝ .
Sabe-se que a reta de equação
y = − 2x − 3 é tangente ao gráfico
da função f no ponto de abcissa 1 .
Qual das seguintes afirmações é
necessariamente verdadeira?
(A) lim
x→ + ∞
f(x)
___
x
= −2
(B) lim
x →1
f(x) = −5
(C) f(2) < f(0)
(D)f(0) > −3
16 Na figura está parte da representação gráfica de uma
função f .
y
O x
1
2
Indique o valor de f '(0-
) , derivada lateral esquerda de f
no ponto 0 .
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) + ∞
Resolução
f'(0-
) = lim
x → 0-
f(x) − f(0)
_________
x − 0
=
=
1 − 2
_____
0−
=
−1
___
0−
= + ∞
Resposta: (D)
17 Sabe-se que a reta de equação y = x − 2 é tangente ao
gráfico de uma função f , derivável em ℝ , no ponto de
abcissa nula.
Qual é o valor de lim
x → 0
f(x) + 2
______
x
?
(A) − 2 (B) 0 (C) 1 (D) 2
Resolução
O ponto da reta de equação y = x − 2 com abcissa nula tem
ordenada y = 0 − 2 = − 2 .
Logo, o ponto de tangência tem coordenadas (0 , − 2) pelo
que f(0) = −2 .
lim
x → 0
f(x) + 2
_______
x
= lim
x →0
f(x) − (−2)
__________
x
=
= lim
x →0
f(x)−f(0)
________
x−0
= f'(0)
f'(0) é o declive da reta de equação y = x − 2 .
Portanto, lim
x →0
f(x) + 2
_______
x
= 1 .
Resposta: (C)
Questões tipo exame
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168
Questões propostas
217
Na figura seguinte está representado
o gráfico de g" , segunda derivada
de uma certa função g .
O x
y g’’
Qual dos gráficos seguintes pode
ser o da função g ?
(A)
O x
y
(B)
O x
y
(C)
O x
y
(D)
O x
y
227
Considere uma função f , de
domínio ℝ , tal que a derivada de f
é dada por f ' (x) = (x - 5)
4
.
Qual das afirmações seguintes é
verdadeira?
(A) A função f tem um extremo
relativo para x = 5 .
(B) A função f tem um extremo
relativo para x = -5 .
(C) O gráfico da função f tem um
ponto de inflexão para x = 5 .
(D)O gráfico da função f tem um
ponto de inflexão para x = -5 .
18 Seja g uma função de domínio ℝ com primeira e
segunda derivadas em todo o domínio.
Sabe-se que o gráfico de g tem um ponto de inflexão de
abcissa 1 .
Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da primeira
derivada da função g ?
(A) (B)
O 1
y
x O 1
y
x
(C) (D)
O 1
y
x O 1
y
x
Resolução
Apenas o gráfico apresentado em (C) pode ser o da primeira
derivada de g , isto é, pode ser o gráfico de g'.
A justificação apresenta-
-se na tabela ao lado onde
se relaciona monotonia de
g' com o sinal de g" e o
sentido da concavidade do
gráfico de g .
Resposta: (C)
19 Seja f uma função de domínio ℝ com primeira e segunda
derivadas finitas em todo o domínio.
Na figura encontra-se parte
do gráfico de f ", segunda
derivada de f .
Sabe-se ainda que
f '(0) = f(4) = 0 .
Qual pode ser o valor de f(1) ?
(A) - 2 (B) - 1 (C) 0 (D) 1
Resolução
Da análise do gráfico de f " verifica-se que f "(x) < 0 em todos
os pontos do intervalo [0 , 4] . Logo, podemos concluir que a
função derivada de f , f', é estritamente decrescente em
[0 , 4] .
x 1
g' ↗ ↘
g" + -
g P. I.
y
x
f ''
4
O
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169
Questões propostas
237
Na figura está uma representação
gráfica de g", segunda derivada de
uma certa função g .
y
x
O
Qual das seguintes poderá ser parte
darepresentaçãográficadafunção g?
(A) (B)
y
x
O
y
x
O
(C) (D)
y
x
O
y
x
O
247
De uma função h , de domínio ℝ ,
com primeira e segunda derivadas
finitas em todo o domínio, sabe-se
que h(x) × h"(x) ⩽ 0 para todo o
número real x .
Em qual das figuras seguintes pode
estar representada parte do gráfico
da função h ?
(A) (B)
y
x
O
y
x
O
(C) (D)
y
x
O
y
x
O
Se f'(0) = 0 e f' é estritamente decrescente em [0 , 4] ,
então f'(x) < 0 no intervalo [0 , 4] pelo que a função f tam-
bém é estritamente decrescente em [0 , 4] .
x 0 4
f " −
f' 0
↘
−
f ↘ 0
Se f é estritamente decrescente em [0 , 4] e f(4) = 0 , então
terá de ser f(1) > 0 .
Entre os valores apresentados apenas 1 > 0 .
Resposta: (D)
20 Seja f uma função derivável em ℝ .
A respeito de f ' , derivada de f , sabe-se que f '(2) = 2 e
f ' é estritamente decrescente.
Qual das seguintes afirmações é necessariamente
verdadeira?
(A) A função f tem um único zero.
(B) A função f tem no máximo dois zeros.
(C) A função f não tem zeros.
(D) f(2) > 0
Resolução
Se f' é estritamente decrescente e f'(2) = 0 então f'(x) > 0
para x < 2 e f'(x) < 0 para x > 2 :
Na tabela resume-se o
sinal da derivada e a
consequente variação da
função f .
Como f é estritamente
crescente em ]−∞ , 2]
e estritamente decrescente em [2 , + ∞[ , tem, no máximo,
um zero em cada um dos intervalos.
Portanto, a função f tem, no máximo, dois zeros.
Resposta: (B)
21 De uma função f , derivável em ℝ , sabe-se que
f(2) = f '(2) = 3 .
(f ◦ f)' (2) é igual a:
(A) 3 × f '(3) (B) 3 × f(3) (C) 2 f(3) (D) 2 f '(3)
Resolução
(f ◦ f)'(x) = [f(f(x))]'= f'(x) × f'(f (x))
(f ◦ f)'(2) = f'(2) × f'(f (2)) = 3 × f'(3)
Resposta: (A)
y
f
O x
1 4
x −∞ 2 + ∞
f' + 0 −
f ↗ ↘
Unidade 4 · Funções Tema 3 · Derivadas e aplicações
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170
Questões propostas
257
Considere todos os
retângulos [ABCD] que se podem
inscrever numa circunferência de
diâmetro ‾
AC = 4√
__
2.
B
C
D
A
Qual desses retângulos tem:
25.1. área máxima?
25.2. perímetro máximo?
267
Considere um trapézio [ABCD]
inscrito numa semicircunferência
de raio 2 .
A B
C
D
Qual o perímetro máximo do
trapézio sabendo que a base
maior, [AB] , coincide com o
diâmetro?
277
Um projétil foi lançado
verticalmente a partir de um balão
e a sua altura a , em metros, em
função do tempo t , em segundos
decorrido após o lançamento é
dado por:
a(t) = −4,9t
2
+ 294t + 607,6
Determine:
27.1. a altura máxima atingida pelo
projétil;
27.2. a aceleração média do projétil
nos três segundos antes de atingir a
altura máxima;
27.3. a velocidade e a aceleração
do projétil no instante em que
atingiu o solo.
22 Pretende-se construir uma caixa
com a forma de um prisma
quadrangular regular partindo de
uma estrutura tubular metálica
com 288 cm de comprimento,
isto é, a soma dos comprimentos
de todas as arestas do prisma é
igual a 288 cm .
22.1. Quais devem ser a dimensões do prisma para que o
seu volume seja máximo?
22.2. Entre que valores deve variar o lado da base para que
o volume seja superior a V(20) , ou seja, ao volume que se
obtém se a aresta da base medir 20 cm ?
Resolução
22.1. 8x + 4y = 288 ⇔ 2x + y = 72 ⇔
⇔ y = 72 − 2x
Volume:
V = x
2
y
V(x) = x
2
(72 − 2x) ⇔
V(x) = 72x
2
− 2x
3
, 0 < x < 36
V'(x) = 144x − 6x
2
= 6x(24 − x)
V'(x) = 0 ⇔ 6x(24 − x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 24
x 0 24 36
V' + 0 -
V ↗ 13 824 ↘
Máx.
y = 72 − 2 × 24 = 24
O volume é máximo para o lado da base igual a 24 cm e a
altura igual a 24 cm , ou seja, se a caixa for cúbica com 24 cm
de aresta.
22.2. V(20) = 72 × 20
2
− 2 × 20
3
= 12 800
V(x) > 12 800 ⇔
⇔ −2x
3
+ 72x
2
− 12 800 > 0 ⇔
⇔ (x − 20)(−2x
2
+ 32x + 640) > 0
⇔
x > 0
20 < x < 8√
__
6 + 8
O lado da base deve variar entre
20 cm e (8√
__
6 + 8) cm .
x
x
y
y > 0 ⇔ 72 − 2x > 0 ⇔
⇔ 2x < 72 ⇔ x < 36
-2 72 0 -12 800
20 -40 640 12 800
-2 32 640 0
−2x
2
+ 32x + 640 = 0 ⇔
⇔ x =
−32 ±√
__________
1024 + 5120
__________________
−4
⇔
⇔ x =
−32 ± 32√
__
6
___________ ⇔
x > 0
⇔ x = 8√
__
6 + 8
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171
Itens de seleção
2855
Na figura seguinte está a representação gráfica
de uma função h e das retas a , b , c e d ,
tangentes ao gráfico de h nos pontos A , B , C
e D , respetivamente.
y
x
O
c d
D
C
B
b
A
a
Sabe-se que a função h admite primeira e
segunda derivadas em todos os pontos.
Em qual dos pontos se poderá ter f '(x) < 0 e
f "(x) = 0 ?
(A) A (B) B (C) C (D) D
2955
Na figura está representada parte do gráfico de
uma função polinomial g bem como parte da
reta t , tangente ao gráfico de g no ponto de
coordenadas (2 , 2) .
A reta t interseta o eixo Oy no ponto de
ordenada 1 .
y
x
2
2
1
O
t
g
Qual das expressões seguintes pode definir g' ,
função derivada de g ?
(A) x
__
2
+ 1 (B) x
__
2
− 1
__
2
(C) − x
__
2
+ 3
__
2
(D) 1
__
2
− x
__
2
3055
De uma função f , derivável em ℝ , sabe-se que
a reta de equação y = 2x + 1 é tangente ao seu
gráfico no ponto de abcissa 1 .
Qual é o valor de lim
x →1
[f(x)]
2
−3 f(x)
___________
x
2
− x
?
(A) 1 (B) 4 (C) 6 (D) 9
3155
De uma função f , de domínio ℝ , sabe-se que
f(0) = 0 e lim
x →0
f(x)
___
x
= 1 .
verdadeira?
(A) A função f é contínua em ℝ .
(B) O gráfico da função f tem uma assíntota
paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.
(C) lim
x →0
f(x) = 0 (D) f '(0) = 0
3255
Na figura seguinte estão representados, num
referencial o.n. xOy :
•
parte dos gráficos de duas funções, f e g , de
domínio ℝ ;
•
uma reta r , tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa a e tangente ao gráfico de g no
ponto de abcissa b .
y
x
f
O
a b
r
g
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) f '(a) < g'(b) (B) f '(a) − g'(b) = 0
(C) f '(a) × g'(b) <0 (D) f '(a) + g'(b) = 0
3355
Seja f uma função cujo gráfico tem um ponto de
inflexão de abcissa nula.
Em qual das seguintes figuras poderá estar parte
do gráfico da derivada de f ?
(A) (B)
y
x
O
y
x
O
(C) (D)
y
x
O
y
x
O
Questões para praticar
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172
3455
Na figura está uma representação gráfica de g' ,
derivada de uma função g .
y
x
O
Em qual das figuras seguintes pode estar uma
representação gráfica da função h' , derivada da
função h definida por h(x) = 1 − g(x) ?
(A) (B)
y
x
O
y
x
O
(C) (D)
y
x
O
y
x
O
3555
Sejam f e g duas funções deriváveis de
domínio [0 , 3] .
Na figura seguinte estão representadas
graficamente as funções f ' e g' , derivadas das
funções f e g , respetivamente.
y
x
1 3
2
O
f '
g'
Sabe-se que f(0) = g(0) e f(2) = g(2) .
O conjunto-solução da condição f(x) > g(x) é:
(A) ]2 , 3[
(B) ]2 , 3]
(C) ]1 , 3[
(D) ]1 , 3]
3655
Seja h uma função tal que h'' é uma função
quadrática de contradomínio ]−∞ , 1] .
verdadeira?
(A) A função h tem quatro zeros.
(B) O gráfico da função h tem a concavidade
voltada para baixo.
(C) O gráfico da função h tem dois pontos de
inflexão.
(D) A função h' , derivada de h , é estritamente
decrescente.
3755
Prove que, para qualquer função quadrática g ,
existe um só ponto do gráfico onde a reta
tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes
ímpares.
3855
Seja f uma função de domínio ℝ , com derivada
finita em todos os pontos do domínio, e crescente.
Sejam a e b dois quaisquer números reais.
Considere as retas r e s , tangentes ao gráfico de
f nos pontos de abcissas a e b , respetivamente.
Prove que as retas r e s não podem ser
perpendiculares.
3955
Seja f uma função ímpar derivável em ℝ .
Prove que:
39.1. f(0) = 0
39.2. a derivada da função f é uma função par.
4055
Considere as funções f e g definidas em ℝ0
+
e
em ℝ respetivamente por:
f(x) = x +√
__
x −
5
__
4
g(x) = −x
2
+ 6x − 5
Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa 1
__
4
.
40.1. Determine a equação reduzida de r .
40.2. Mostre que a reta r também é tangente
ao gráfico da função g .
4155
De uma função f , diferenciável em ℝ , sabe-se
que f(0) = 0 e que ∀x ∈ ℝ , 0 ≤ f '(x) ≤ 1 .
Aplicando o Teorema de Lagrange à função f
em [0 , x] , com x > 0 , mostre que
∀x ∈ ℝ
+
, f(x) ≤ x .
Questões para praticar
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CPEN-MA12_20174127_TEXTO_U4_T3_CImg.indd 172 16/08/2018 09:18

Soluções
356
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9.9. f é estritamente crescente em ]−∞ , −
9
__
2] e
em [−
3
__
2
, +∞[ e estritamente decrescente em
[−
9
__
2
, −3[ e em ]−3 , −
3
__
2] . A função f tem um
máximo relativo igual a −26 para x = −
9
__
2
e um
mínimo relativo igual a −2 para x = −
3
__
2
.
9.10. f é estritamente crescente em ]−∞ , −2[ , em
]−2 , − 1
__
3] e em [− 2
___
21
, +∞[ e estritamente
decrescente em [− 1
__
3
, − 2
__
9[ e em ]− 2
__
9
, − 2
___
21] .
A função f tem um máximo relativo igual a −16 para
x = − 1
__
3
e um mínimo relativo igual a −
49
___
4
para
x = − 2
___
21
.
10.1. Em [−√
__
3 , √
__
3] , o mínimo absoluto de f é −2 e o
máximo absoluto é 2 .
10.2. Em [−1 , 2] , o mínimo absoluto de f é 0 e o máximo
absoluto é 4
__
5
.
10.3. Em [0 , 1] o mínimo absoluto de f é 0 e o máximo
absoluto é 2 .
Pág. 162
11.1. O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo
em ]−∞ , −
3
__
2[ e voltada para cima em ]−
3
__
2
, +∞[
O ponto de coordenadas (−
3
__
2
, 27
___
2 ) é um ponto de
inflexão.
em ]−∞ , 2[ e voltada para cima em ]2 , +∞[ .
Não tem pontos de inflexão.
em ]−∞ , −1[ e em ]1 , +∞[ e voltada para cima
em ]−1 , 1[ .
Os pontos de coordenadas (−1 , 1
__
2) e (1 , 1
__
2) são
pontos de inflexão.
em ]0 , 2[ e voltada para cima em ]2 , +∞[ .
O ponto de coordenadas (2 , 8√
__
2) é um ponto de
inflexão.
Pág. 163
12.1. f admite um máximo relativo para x = −1 e um mínimo
relativo para x = 1 .
12.2. f admite um máximo relativo para x = −2 e um
mínimo relativo para x = 2 .
12.3. f admite um mínimo relativo para x = 3 .
12.4. f admite um mínimo relativo para x = 1 .
Pág. 164
13.1. No instante t = 0 a abcissa do ponto P é 75 e no
instante t = 1 é 119 .
13.2. 76 m/s
13.3. O ponto passou na origem nos instantes t = −2,5 s e
t = −7,5 s com velocidades 20 m/s e −20 m/s .
Pág. 165
13.4. 8 m/s
2
13.5. a) A velocidade mínima foi 40 m/s .
b) A aceleração é constante. Em qualquer instante é
igual a 8 m/s
2
.
Pág. 157
5.1. a) y = 3x − 1 b) y =
3
__
2
x + 2
c) y = 1
__
2
x + 1
__
4
d) y = −2x − 3
5.2. a) Há duas soluções: y = 3x + 1 e y = x + 1
b) y = 1
__
4
x + 1
5.3. a) y = 3x − 2 b) y = 3x + 2 e y = 3x − 2
5.4. a = 1
__
8
Pág. 158
6.1.
3
√
__
4
__
2
6.2. − 1
___
36
7.1. f '(x) =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
− 1
__
x
2
se x < 1
− 1 se x = 1
−x se x > 1
; Df' = ℝ
7.2. f é contínua no ponto x = 1 porque toda a função com
derivada finita num ponto é contínua nesse ponto e
f '(1) = −1 .
Pág. 159
8.1. a) c =
5
__
2
b) c =√
__
5 c) c = −
19
___
27
8.2. c = 1 e y = 2x + 1
Pág. 160
9.1. f é estritamente crescente em ]−∞ , −1] e em
[
1
__
3
, +∞[ e estritamente decrescente em [−1 , 1
__
3] .
A função f tem um máximo relativo igual a 0 para
x = −1 e um mínimo relativo igual a −
32
___
27
para x = 1
__
3
.
9.2. f é estritamente crescente em ]−∞ , 0] e estritamente
decrescente em [0 , +∞[ .
A função f tem um máximo relativo (e absoluto) igual a 1
para x = 0 .
9.3. f é estritamente decrescente em ]−∞ , 1] e
estritamente crescente em [1 , +∞[ . A função f tem
um mínimo relativo (e absoluto) igual a −3 para x = 1 .
9.4. f é estritamente decrescente em ]−∞ , 0] e
estritamente crescente em [0 , +∞[ . A função f tem
um mínimo relativo (e absoluto) igual a 0 para x = 0 .
9.5. f é estritamente crescente em ℝ .
Pág. 161
9.6. f é estritamente decrescente em ]−∞ , - 4] e em
[0 , +∞[ e estritamente crescente em [−4 , 0] .
A função f tem um mínimo relativo igual a − 1
__
6
para
x = - 4 e um máximo relativo igual a 1
__
2
para x = 0 .
[0 , +∞[ e estritamente decrescente em [−4 , - 2[ e
em ]−2 , 0] . A função f tem um máximo relativo igual
a −30 para x = −4 e um mínimo relativo igual
a 2 para x = 0 .
[1 , +∞[ e estritamente decrescente em [−2 , −1
__
2[ e
em ]− 1
__
2
, 1] . A função f tem um máximo relativo
igual a −14 para x = −2 e um mínimo relativo igual a 10
para x = 1 .
CPEN-MA12_20183404_TEXTO_SOLUCOES_1P.indd 356 28/06/2019 16:52

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357
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5. Trigonometria
Pág. 177
1.1. a) A ≈ 71,6° ; B ≈ 52,3° ; C ≈ 56,1°
b) A ≈ 21,8° ; B ≈ 38,2° ; C = 120°
c) A ≈ 32,2° ; B = 60° ; C ≈ 87,8°
d) A ≈ 41,4° ; B = 41,4° ; C ≈ 97,2°
e) a ≈ 5,7 ; B ≈ 80,5° ; C ≈ 29,5°
f) a = 6,5 ; B ≈ 32,2° ; C ≈ 27,8°
g) b ≈ 24,5 ; A ≈ 28,0° ; C ≈ 22,0°
h) c = 35 ; A ≈ 81,8° ; B ≈ 38,2°
i) a = 5 ; B ≈ 53,1° ; C ≈ 36,9°
1.2. a) x ≈ 35,6
b) x ≈ 8,1
c) x = 7,5
d) α = 120°
Pág. 178
2.1. a) C = 62° ; a ≈ 21,0 ; b ≈ 26,6
b) C = 48° ; a ≈ 20,2 ; b ≈ 50,6
c) B = 85° ; a ≈ 13,0 ; c ≈ 8,6
d) A = 35° ; a ≈ 40,7 ; c ≈ 61,5
e) A = 45° ; a ≈ 2,4 ; c ≈ 3,3
2.2. a) x ≈ 21,5
b) α ≈ 36,6°
3.1. 8,2 cm
2
3.2. 4,8 km
Pág. 180
4.1. a)
11π
____
12
rad b)
4π
___
15
rad
c)
17π
____
4
rad d)
21π
____
20
rad
4.2. a) 132° b) 315°
c) 300° d) 490°
Pág. 181
5.1. −
√
__
3
__
3
5.2. −
38
___
15
Pág. 185
6.1. x = −
π
__
6
+ 2kπ ∨ x =
7π
___
6
+ 2kπ , k ∈ ℤ
6.2. S =
⎧
⎨
⎩
0 ,
π
__
2
, π , 2π
⎫
⎬
⎭
6.3. x =
π
__
2
+ 2kπ , k ∈ ℤ
6.4. x = k
π
__
2
, k ∈ ℤ
6.5. x =
π
__
2
+ 2kπ ∨ x = −
π
__
6
+
2kπ
____
3
, k ∈ ℤ
6.6. S =
⎧
⎨
⎩
−
3π
___
4
, −
π
__
4
,
π
__
4
,
3π
___
4
⎫
⎬
⎭
6.7. x = 2kπ ∨ x = −
2π
___
3
+ 2kπ , k ∈ ℤ
6.8. S =
⎧
⎨
⎩
−
π
__
4
, 0
⎫
⎬
⎭
6.9. x =
π
__
3
+ 2kπ ∨ x = −
π
__
3
+ 2kπ , k ∈ ℤ
14.1. O retângulo de área máxima é um quadrado de lado 2 .
14.2. Devem ser cortados dois pedaços com
10π
____
π + 4
cm e
40
____
π + 4
cm , respetivamente.
Pág. 166
15. A área do triângulo [XBY] é máxima ao fim de
5 segundos.
16.2. x = 1
_
2
Pág. 167
17. (A) 18. (D)
19. (C) 20. (B)
Pág. 168
21. (A) 22. (C)
Pág. 169
23. (D) 24. (B)
Pág. 170
25.1. O retângulo de área máxima é o quadrado de lado 4 .
25.2. O retângulo de perímetro máximo é o quadrado de
lado 4 .
26. O perímetro máximo é 10 .
27.1. 5017,6 metros
27.2. −9,8 m/s
2
27.3. a'(62) = −313,6 m/s ; a"(62) = −9,8 m/s
2
Pág. 171
28. (A) 29. (C) 30. (C)
31. (C) 32. (B) 33. (A)
Pág. 172
34. (D) 35. (B) 36. (C)
40.1. y = 2x − 1
40.2. A reta r : y = 2x − 1 também é tangente ao gráfico de g
no ponto de coordenadas (2 , 3) .
Pág. 173
1. (B) 2. (A) 3. (C)
4. (D) 5. (A)
6. y = −
10
___
9
x +
32
___
9
7. (208,33 ; 36 875,65) . Para x ≈ 208,33 , a velocidade de
crescimento de R é máxima.
Pág. 174
8. (C) 9. (A) 10. (B)
11.1. (14,67 ; 12 765,26)
11.2. 1085,33 m/s
11.3. A velocidade é máxima para t = 14,67 s . É abcissa do
ponto de inflexão.
12. Não. Por exemplo, (2 , 0) é um ponto de inflexão do
gráfico de f(x) = |x
2
− 4| e f '(2) não existe.
13.1. x ≈ 4,63 cm
13.2. x = 13 −√
__
26 cm
14. r ≈ 3,9 cm
CPEN-MA12_20183404_TEXTO_SOLUCOES_1P.indd 357 28/06/2019 16:52

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