O uso dos jogos na educação

Introdução
Ainda no colégio, enquanto aluna, uma das questões que muito me incomodava
era a grande dificuldade dos meus colegas com a matemática, e, no entanto, eu achava
tudo tão lógico e óbvio. Ao ingressar na faculdade para fazer o curso de licenciatura
em matemática pensei achar a resposta para os meus questionamentos: Por quê tanta
dificuldade com a matemática? Por quê tanto desinteresse?
Na realização do curso me deparei com várias metodologias de ensino, onde
pude reparar que eu tinha mais facilidade em algumas matérias do que em outras.
Observando cada tipo de aula, pude notar que as aulas mais descontraídas, mais
dinâmicas, eram as matérias que eu tinha mais facilidade, eram as aulas que os
professores interagiam mais com alunos.
No primeiro ano que lecionei, fiquei muito frustrada, pois tentava ser a mais
clara possível e mesmo assim meus alunos apresentavam sérias dificuldades, até mesmo
horror à matemática. Comecei então a questionar: Será que não existe um método mais
eficiente e compreensível para se ensinar matemática? Será que não seria possível
tornar o ato de ensinar matemática uma “brincadeira divertida?”
Será que o ensino de matemática tem que ser sempre uma experiência
“sofrível”?
Ao que parece, nem sempre foi assim. Platão (348 a.C), por exemplo, ensina
matemática às crianças em forma de jogo e recomenda que “ os primeiros anos da
infância devem ser ocupados com jogos educativos, praticados em comum pelos dois
sexos, sob vigilância, em jardins de criança.” ( apud Almeida, 1987). Outro exemplo,
seria o do educador alemão Frobel (1826). Este educador atribuía um grande valor ao
uso de jogos para promover a educação. Acreditava que as crianças aprendem através
do brincar, “admirável instrumento para promover sua educação”.
Estudos mais recentes têm demonstrado que as atividades lúdicas são um meio
da criança se integrar e se relacionar com o ambiente. Ao jogar, a criança desenvolve
suas percepções, a inteligência, as experimentações e a imaginação construindo assim
seu conhecimento sobre o mundo. O jogo não é para ser encarado como um momento
de prazer no final da aula, como um prêmio, mas sim como um suporte metodológico
muito eficaz. Segundo Piaget, o jogo é a construção do conhecimento. De acordo com
a concepção piagetiana, os jogos têm dupla função: consolidar os esquemas já formados
e dar prazer ou equilíbrio emocional ao aprendiz.

Isto posto, pode-se afirmar então que o objetivo deste trabalho é mostrar a
importância dos jogos para o processo ensino-aprendizagem, mostrar que com a
utilização de jogos na sala de aula podemos abordar os conteúdos ou reforçá-los de uma
forma menos cansativa e assim tornar as aulas mais agradáveis. É de se esperar que com
a introdução dos jogos nas aulas de matemática a motivação dos alunos cresça e o
desenvolvimento de habilidades essenciais para a aprendizagem da matemática se
realize.
Os jogos podem ser usados tanto no ensino fundamental, no ensino médio e no
ensino superior. No entanto, cabe ressaltar que abordaremos o uso destes direcionados
para o ensino fundamental de matemática. Alguns exemplos desses jogos serão
apresentados no terceiro capítulo desta monografia.
O texto da monografia foi organizado em três capítulos, como segue.
No primeiro capítulo, dissertamos sobre o uso de jogos na educação, momento
em que alguns teóricos que defendiam o uso dos jogos são citados. Descrevemos
também neste capítulo como o jogo pode influenciar o ensino e as habilidades que uma
pessoa desenvolve ao jogar. São apresentados ainda uma classificação de jogos segundo
Piaget e uma reflexão sobre as vantagens e desvantagens do uso de jogos. Para esta
última reflexão, a contribuição da professora Regina Grando (1995) será de grande
valor.
No segundo capítulo dissertamos, mais especificamente, sobre o jogo no ensino
da matemática. Comentamos que com o jogo sendo usado nas aulas de matemática,
podemos tentar diminuir os bloqueios e as dificuldades e até o desinteresse dos nossos
alunos durante as aulas. Borin, em seu trabalho, classifica os jogos matemáticos em dois
tipos: os jogos de treinamento, cujo objetivo é o reforço e os jogos de estratégias, onde o
desenvolvimento do raciocínio lógico é o fator principal. Podemos abordar um outro
tipo de jogo: os jogos de natureza epistemológica, onde levamos os alunos a construir
conceitos e/ou resultados matemáticos. Portanto, podemos estender a classificação
Borin para três categorias de jogos matemáticos: jogos de treinamento, jogos de
estratégias e jogos de natureza epistemológica.
No capítulo seguinte, conforme já anunciamos, são apresentados então alguns
exemplos de jogos usados no ensino fundamental de matemática. Esta apresentação é
feita mediante a classificação citada anteriormente. Considerando a importância da
informática no mundo de hoje, apresentamos alguns jogos educativos computadorizados
que também podem ser usados nas aulas de matemática. Pode-se ainda encontrar no

anexo I, alguns jogos comerciais que desenvolve raciocínio lógico e muitas habilidades
já mencionadas, como por exemplo, a compreensão. No anexo II, é apresentada uma
relação de materiais concretos de matemática que podem ser usados para elaborar vários
jogos e desenvolver vários conceitos matemáticos.
Assim, espera-se com este trabalho ter dado uma pequena colaboração sobre as
possibilidades metodológicas do jogo no processo ensino-aprendizagem de matemática.
Despertar os educadores para a necessidade de se desenvolver mais pesquisas nessa área
específica.

CAPÍTULO 1: O USO DE JOGOS NA EDUCAÇÃO.
Os jogos constituíram sempre uma forma de atividade natural do ser humano,
tanto no sentido de recrear e de educar ao mesmo tempo. Entre os egípcios, os gregos,
os romanos, os maias e mesmo entre os indígenas, os jogos serviam de meios para a
geração mais adulta transmitir aos mais jovens, seus conhecimentos físicos, sociais e
culturais. Platão (348 a.C), por exemplo, ensina matemática às crianças em forma de
jogo e recomenda que “ os primeiros anos da infância devem ser ocupados com jogos
educativos, praticados em comum pelos dois sexos, sob vigilância, em jardins de
criança.” ( Platão 348 a.C., apud Almeida,1987)
Segundo Aguiar (1997), Frobel (1826) foi um dos primeiros pedagogos a incluir
o jogo no sistema educativo, acredita que a personalidade da criança pode ser
enriquecida e aperfeiçoada pelo brinquedo, e que a principal função do professor, neste
caso, é a de fornecer situações e materiais para o jogo. Para ele, as crianças aprendem
através do brincar, “admirável instrumento para promover sua educação”.
Embora encontremos referências ao uso dos jogos na educação desde a
antiguidade, as contribuições teóricas mais relevantes para o aparecimento de propostas
de ensino que os incorporem pertencem ao século XX, especialmente em sua segunda
metade. A partir daí, pode-se observar a existência de teorias que estudam os jogos de
forma mais sistemática e científica. As contribuições de Claparède, Cratty e
especialmente de Piaget, Vygotsky, Wallon, entre outros marcaram definitivamente uma
nova visão do jogo e suas aplicações para o ensino.
Claparède (1940, apud Aguiar,1997) afirma que a criança é um ser feito para
brincar é o jogo é um artifício que a natureza encontrou para envolver a criança numa
atividade útil ao seu desenvolvimento físico e mental. Sugere aos educadores que usem
o jogo no processo educativo para realizar o ensino mais no nível da criança.
Cratty (1975,apud Aguiar,1997), sugere a utilização de atividades motoras sob a
forma de jogos para o domínio de conceitos (linhas, retas, curvas, círculos, letras
maiúsculas), avaliação e resolução de problemas.

O jogo é muito importante na vida da criança, pois quando a criança joga está ao
mesmo tempo desenvolvendo uma atividade lúdica e executando suas regras. A criança
explora e manuseia tudo aquilo que está a sua volta, e desta forma está construindo a
compreensão da realidade na qual está inserida e esta se amplia à medida que estabelece
processos de abstração.
O jogo deve fornecer à criança um ambiente agradável, motivador, planejado e
enriquecido e assim possibilitar a aprendizagem de várias habilidades. Assim, o jogo e a
instrução escolar representam o mesmo papel no que se diz respeito ao desenvolvimento
das habilidades e conhecimentos. É de extrema importância que a criança esteja inserida
neste ambiente de brincar e ao mesmo tempo buscar conjecturas, reflexões, análise e
criação. Podemos dizer a palavra criação porque ao usar a imaginação em um jogo a
criança está sendo criativa. O jogo, a partir do momento que cobra a imaginação da
criança, passa a ajudá-la a desenvolver a sua capacidade de, não só resolver problemas
mas de também encontrar várias maneiras de resolvê-los.
Devemos estar atentos para o jogo não se tornar uma mera brincadeira: é preciso
que haja uma intervenção pedagógica a fim que esse jogo seja útil na aprendizagem de
conceitos. Um cuidado muito importante que precisamos ter, antes de trabalhar com
jogos em sala de aula, é de testá-los, analisando suas próprias jogadas e refletindo sobre
os possíveis erros; assim, teremos condições de entender as dificuldades que os alunos
irão enfrentar. Além disso, devemos ter um cuidado especial na hora de escolher jogos,
que devem ser interessantes e desafiadores. Para Borin (1995), o conteúdo deve estar de
acordo com o grau de desenvolvimento e, ao mesmo tempo, de resolução possível.
Portanto, o jogo não deve ser fácil demais e nem tão difícil, para que os alunos não se
desestimulem.
É necessário também que essa atividade represente um desafio, que seja capaz
de gerar “conflitos cognitivos”, que segundo Jean Piaget (1973), são fundamentais para
o desenvolvimento intelectual do sujeito. Ele também afirma que o jogo é a construção
do conhecimento, principalmente nos períodos sensório-motor e pré-operatório.
No que se refere ao desenvolvimento cognitivo, Piaget tem sido, certamente, um
dos autores que mais contribuiu com as idéias para tornar o ambiente de ensino bastante

rico em quantidade e variedade de jogos. Os estudos desse pesquisador nos
proporcionam a compreensão de que os jogos não são apenas uma forma de desafogo ou
entretenimento; ele considera as atividades lúdicas um meio da criança se integrar e se
relacionar com o ambiente. Piaget (1973) afirma que a natureza ativa e livre dos jogos
faz com que eles tenham um valor funcional, contribuindo não só para o
desenvolvimento intelectual, mas também para o social e afetivo.Ao jogar, a criança
desenvolve suas percepções, a inteligência, as experimentações e a imaginação
construindo, então, seu conhecimento sobre o mundo.
Os estudos de Piaget tinham como preocupação central discutir questões ligadas
ao conhecimento humano, assim, a marca da sua teoria foi a epistemologia. O principal
enfoque desta teoria baseia-se no conhecimento construído através de interações da
criança com o mundo. Dois conceitos são elementos fundamentais na sua teoria e
também importantes na discussão sobre jogo: a organização e a adaptação.
A organização é a capacidade do indivíduo se manter organizado em um
contexto de interações e mudanças constantes, que se fazem através das trocas com o
meio. A adaptação seria as formas pelas quais os indivíduos fazem as trocas.
A adaptação envolve dois conceitos: a assimilação, que é o processo através do
qual o indivíduo incorpora elementos pertencentes ao meio; e a acomodação, que se
constitui na modificação de esquemas já existentes com a finalidade de adaptação ao
meio.
Na concepção piagetiana, os jogos consistem numa simples assimilação
funcional, num exercício das ações individuais já aprendidas gerando, ainda, um
sentimento de prazer pela ação lúdica em si e pelo domínio sobre as ações. Portanto, os
jogos têm dupla função: consolidar os esquemas já formados e dar prazer ou equilíbrio
emocional ao aprendiz.
Na teoria piagetiana encontra-se uma classificação dos jogos baseada na
evolução das estruturas mentais, caracterizando três formas de atividade lúdica, de
acordo com a etapa do desenvolvimento: os jogos de exercícios, os jogos simbólicos e
os jogos de regras.

• Jogos de exercício:
Segundo a classificação de Piaget, este tipo de jogo é adequado para o período
sensório-motor ( 0 a 2 anos), pois uma das principais características da ação exercida
pelo aprendiz neste período é a satisfação de suas necessidades. O aprendiz passa a
agir por prazer. E é este prazer que traz significado a ação. O aprendiz brinca sozinho,
sem utilização da noção de regras.
Sua finalidade é o próprio prazer do funcionamento, Estes exercícios consistem em
repetição de gestos e movimentos simples como agitar os braços, sacudir objetos, emitir
sons, caminhar, pular, correr, etc. Embora estes jogos comecem na fase maternal e
durem predominantemente até os 2 anos, eles se mantém durante toda a infância e até na
fase adulta. Por exemplo andar de bicicleta, moto ou carro.
Nos jogos de exercícios estão as primeiras manifestações lúdicas do aprendiz.. Há
observação, mas não ação para modificar, portanto a assimilação se torna repetitiva.
Piaget observou tais condutas e notou a repetição das mesmas ações.
O jogo de exercício dá ao aprendiz um sentido de eficácia e poder. Este jogo é bem
característica da fase sensório-motora.
O jogo de exercício não objetiva a aprendizagem em si, mas a formação de
esquemas de ação, de condutas.
• Jogos simbólicos:
Segundo Piaget, os jogos simbólicos são adequados para o período pré-operatório (
2 a 7 anos ) .
No jogo simbólico, o aprendiz já é capaz de encontrar o mesmo prazer que tinha
anteriormente no jogo de exercício, lidando agora com símbolos.
Os aprendizes adquirem a noção da existência de regras e começam a jogar com
outros aprendizes jogos de faz-de-conta.
O aprendiz representa um objeto ausente. Este tipo de jogo pode ser deformante,
pois o aprendiz acaba representando do jeito que ele acha que é. Desta forma ele é
capaz de produzir linguagens, criando convenções e compreendendo o sentido de tais

convenções. Assim, ele busca explicar as coisas, dar respostas às várias questões que já
começam a perturbá-lo.
O aprendiz lida com símbolos, representações. O aprendiz, no jogo simbólico,
elabora sua visão de mundo, como vivencia seus problemas, seus sonhos e suas
preocupações.
Podemos destacar algumas características dos jogos simbólicos, como apresentar
liberdade total de regras; desenvolvimento da imaginação e da fantasia; ausência de
objetivo; ausência de uma lógica da realidade; assimilação da realidade do eu, ou seja, o
aprendiz adapta a realidade aos seus desejos.
A função desse tipo de atividade lúdica, de acordo com Piaget, "consiste em
satisfazer o eu por meio de uma transformação do real em função dos desejos" ou seja
tem como função assimilar a realidade.
O aprendiz tende a reproduzir nesses jogos as relações predominantes no seu meio
ambiente e assimilar dessa maneira a realidade e uma maneira de se auto-expressar.
Esses jogo-de-faz-de-conta possibilita ao aprendiz a realização de sonhos e fantasias,
revela conflitos, medos e angústias, aliviando tensões e frustrações.
• Jogos de regras:
Nos jogos de regras, o aprendiz abandona seu egocentrismo e passa a ser social,
pois as regras impostas pelo grupo devem ser respeitadas sendo que, o não cumprimento
desta implica no fim do jogo social. Este jogo engloba os dois anteriores a medida que é
herdeiro das regularidades presentes na estrutura dos jogos de exercício e simbólico.
Os aprendizes aprendem as regras dos jogos e jogam em grupos. Esta é a fase dos
jogos de regras como futebol, damas, etc.
Os jogos de regras são, segundo Piaget, “ a atividade lúdica do ser socializado.”
Ao jogar jogos de regras, os aprendizes assimilam a necessidade de cumprimento
das leis da sociedade e das leis morais da vida.
As estratégias de ação, a tomada de decisões, a análise de erros, lidar com perdas e
ganhos, replanejar as jogadas em função dos movimentos dos adversários, tudo isso é

fundamental para o desenvolvimento do raciocínio, das estruturas cognitivas dos
jogadores.
Como afirma Ângela Cristina Maluf, “os jogos de regras pressupõem uma
situação problema, uma competição por sua resolução e uma premiação advinda desta
resolução. As regras orientam as ações dos competidores, estabelecem seus limites de
ação, dispõem sobre as penalidades e recompensas. As regras são as leis do jogo.”
Podemos destacar algumas características presentes nos jogos de regras, como
por exemplo, é necessário que haja um objetivo claro a ser alcançado; é preciso que
existam regras dispondo sobre este objetivo e também existam intenções opostas dos
competidores e é necessário que haja a possibilidade de cada competidor levantar
estratégias de ação.
“ Nos jogos de regras, os jogadores estão, não apenas, um do lado do outro,
mas juntos.(...). O conteúdo e a dinâmica do jogo não determinam apenas a relação da
criança com o objeto, mas também suas relações em face a outros participantes do
jogo.(...). Assim o jogo de regras possibilita o desenvolvimento das relações sociais da
criança.”
( Moura, 1995).
Este tipo de jogo continua durante toda a vida do indivíduo (esportes, trabalho,
jogos de xadrez, baralho, RPG, etc.).
Os jogos de regras são classificados em jogos sensório-motor (exemplo futebol), e
intelectuais (exemplo xadrez).
O que caracteriza o jogo de regras é a existência de um conjunto de leis imposto pelo
grupo, sendo que seu descumprimento é normalmente penalizado, e uma forte
competição entre os indivíduos. O jogo de regra pressupõe a existência de parceiros e
um conjunto de obrigações (as regras), o que lhe confere um caráter eminentemente
social.
Este jogo aparece quando a criança abandona a fase egocêntrica possibilitando
desenvolver os relacionamentos afetivo-sociais.
Como, Júlia Borin, afirma em seu trabalho, “Na verdade um determinado jogo é bom se
ele permite várias explorações, no sentido de promover o exercício do pensamento
crítico daqueles que jogam. Caso contrário, ele se caracteriza como um passatempo

que pode ser deixado para os momentos de lazer, quando os aspectos lúdicos e sociais
são mais importantes."
Para Vygotsky, o jogo se aproxima da arte, tendo em vista a necessidade de a
criança criar para si o mundo às avessas para melhor compreendê-lo, atitude que
também define a atividade artística. O jogo é analisado dentro de uma perspectiva
biológica determinada, e é construído socialmente pelo indivíduo e que se modifica em
função do meio cultural e da época em que o indivíduo está, o lúdico influência
enormemente o desenvolvimento da criança. É através do jogo que a criança aprende a
agir, sua curiosidade é estimulada, adquire iniciativa e autoconfiança, proporciona o
desenvolvimento da linguagem, do pensamento e da concentração.
Os estudos de Vygotsky estão relacionados principalmente às funções
psicológicas superiores, como a memória, a linguagem, a atenção, a percepção e a
aprendizagem, sendo esta, um fator elementar no desenvolvimento psicológico do ser
humano.
Vygotsky propõe o conceito de zona de desenvolvimento proximal, fundamental
para esclarecer o processo de desenvolvimento. A zona de desenvolvimento proximal é
o encontro do individual com o social, sendo que o desenvolvimento não é um processo
interno da criança, mas o resultado da sua inserção em atividades socialmente
compartilhada com os outros. Vygotsky defende que o jogo não é uma atividade inata, e
sim o resultado de relações sociais e de condições concretas de vida. A mediação tem
papel fundamental neste processo.
Já vimos que os jogos exigem dos alunos uma participação ativa,
desenvolvimento do raciocínio e faz com que os alunos construam o conhecimento. E
fazendo uma comparação com a pedagogia construtivista, observamos que o
construtivismo propõe que o aluno participe ativamente do próprio aprendizado,
mediante a experimentação, a pesquisa em grupo, o estímulo à dúvida e o
desenvolvimento do raciocínio. Assim como o jogo, o construtivismo rejeita a
apresentação de conhecimentos prontos ao estudante, defende que uma pessoa aprende
melhor quando toma parte de forma direta na construção do conhecimento que adquire.
O construtivismo condena o uso de material didático demasiadamente estranho ao

universo pessoal do aluno. Sendo assim, o aluno deve utilizar materiais didáticos que
sejam próximos de sua realidade, e aí, podemos levar para sala de aula, jogos próximos
a realidade do aluno.
No jogo, os alunos trocam opiniões, interagem entre si, o professor tem uma
presença motivadora e menos impositiva, assim também acontece na pedagogia
construtivista, a valorização do intercâmbio entre os alunos e o trabalho de grupo, o
professor fica na posição de mediador ou facilitador do processo, o aluno é co-piloto de
sua própria aprendizagem.
Com o uso dos jogos é possível desenvolver a capacidade de questionamento
reconstrutivo, informalidade na aquisição de conhecimentos, inovação e ética, sem
jamais ter como objetivo a competitividade, e inovação neste caso trata do
conhecimento crítico e criativo.
Também o construtivismo, procura formar pessoas de espírito inquisitivo,
participativo e cooperativo, com mais desembaraço na elaboração do próprio
conhecimento.
Tanto na pedagogia construtivista como na metodologia do uso de jogos, um dos
objetivos é comum: formar gente com mentalidade aberta, senso crítico, atitude
inquisitiva e espírito de participação na comunidade.
Segundo, Regina Grando (1995), muitos estudiosos têm estudado a utilização de
jogos no processo de ensino-aprendizagem. Assim antes do desenvolvimento de um
trabalho pedagógico com jogos o professor deve refletir sobre suas vantagens e
desvantagens:
Vantagens:
• Fixação de conceitos.
• Introdução e desenvolvimento de conceitos.
• Desenvolvimento de estratégias de resolução de problemas.
• Tomar decisões e analisá-las.

• Interdisciplinalidade.
• Participação ativa do aluno para a construção do conhecimento.
• Trabalho em equipe.
• Motivação.
• Criatividade, senso crítico, participação, competição, observação, prazer em
aprender.
• A competição que acontece no jogo garante dinamismo, movimento,
propiciando interesse e contribuindo para o desenvolvimento social.
• A competição faz com que o aluno elabore estratégias, e com o tempo, aprimore
essas estratégias, a fim de superar deficiências.
• A busca pela competição faz com que o jogador sempre busque desafios
maiores, a fim de sempre se superar, pois a competição no jogo propicia uma
constante auto-avaliação do sujeito sobre suas competências e habilidades.
• O jogo é um impulso natural da criança funcionando assim como um grande
motivador
• A criança através do jogo obtém prazer e realiza um esforço espontâneo e
voluntário para atingir o objetivo do jogo.
• O jogo mobiliza esquemas mentais: estimula o pensamento, a ordenação de
tempo e espaço
• O jogo integra várias dimensões da personalidade: afetiva, social, motora e
cognitiva.
• O jogo favorece a aquisição de condutas cognitivas e desenvolvimento de
habilidades como coordenação, destreza, rapidez, força, concentração, etc.
Desvantagens:
• Se mal utilizado, pode ter um caráter puramente aleatório, não há um porquê
para o jogo.
• O tempo gasto em sala de aula é maior.
• Falsas concepções de que tudo deve ser ensinado através de jogos.
• Perda da ludicidade do jogo pela interferência do professor.
• Professor exige que o aluno jogue, perdendo a voluntariedade.

• Dificuldade de acesso e disponibilidade de material sobre o uso de jogos no
ensino.
Percebemos, então, que o sucesso do trabalho depende da reflexão do professor
quanto à metodologia, quanto à proposta de trabalho com jogos e quanto à coerência
dos jogos com o plano escolar.
Os objetivos e ações propostas pelo jogo devem estar bem claros para ele. Não é tão
simples a inserção de jogos no contexto escolar. Por isso cabe ao professor uma análise
e um estudo para que fique claro o porquê da utilização do jogo para o desenvolvimento
de certos conceitos.
Existem certos elementos que caracterizam os diversos tipos de jogos e que podem
ser resumidas assim:
• Capacidade de absorver o participante de maneira intensa e total (clima
de entusiasmo, sentimento de exaltação e tensão seguidos por um estado
de alegria e distensão).
• Envolvimento emocional .
• Atmosfera de espontaneidade e criatividade.
• Limitação de tempo : o jogo tem um estado inicial, um meio e um fim;
isto é, tem um caráter dinâmico.
• Possibilidade de repetição .
• Limitação do espaço: o espaço reservado seja qual for a forma que
assuma é como um mundo temporário e fantástico.
• Existência de regras: cada jogo se processa de acordo com certas regras
que determinam o que "vale" ou não dentro do mundo imaginário do
jogo. O que auxilia no processo de integração social das crianças.
• Estimulação da imaginação e auto-afirmação e autonomia .

CAPÍTULO 2 – O JOGO NO ENSINO DA MATEMÁTICA.
2.1 – Alguns aspectos preliminares.
Vimos no capítulo anterior, a importância da utilização de jogos no ensino em
geral.
Podemos observar que a maioria dos alunos do ensino fundamental tem grande
dificuldade e conseqüente fracasso quando o professor propõe a resolução de problemas
nas aulas de matemática. Observamos, também, que além do pequeno envolvimento, a
rejeição à tarefa de enfrentar situações-problema é bastante acentuada. No entanto, em
situações informais, quando o professor propõe quebra-cabeças, charadas ou problemas
curiosos, os alunos se sentem motivados e obtêm um ótimo desempenho.
Assim, um dos motivos para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a
possibilidade de diminuir os bloqueios apresentados por muitos de nossos alunos, que
temem a matemática e se sentem incapacitados de aprendê-la.
Muitos professores têm a idéia de que a aprendizagem só se faz através de
conceitos e definições, e fazem desses elementos um ponto de partida para começar a
ensinar. E assim vai articulando os assuntos, Um conteúdo seguindo o outro sem
qualquer preocupação com associações entre eles e outros fatores como: integração,
interação, participação e interdisciplinaridade. Mas Vygotsky afirma:
“[...] Um conceito se forma não pela interação de associações, mas
mediante uma operação intelectual em que todas as funções mentais
elementares participam de uma combinação específica.
[...] Quando se examina o processo de formação em toda a sua
complexidade, este surge como um movimento do pensamento, dentro da
pirâmide de conceitos, constantemente oscilando entre duas direções, do
particular para o geral e do geral para o particular” ( Vygotsky,1987).
Podemos observar que dominar um conceito é muito mais do que fazer cadeias
de associações. O aluno deve construir o seu conhecimento sendo um ser ativo e
participativo no processo da aprendizagem.
Há várias formas de se formar um conceito com um aprendiz. Uma delas é o
jogo. Não qualquer jogo, mas aquele que seja adequado ao objetivo a ser alcançado na
disciplina ou na formação geral.
Os jogos podem motivar o aluno, construindo assim, os conceitos, para poder
jogar. Há memorização, mas das regras, para se obter a vitória. O aluno entende o jogo,

descobre o objetivo, relaciona com o conteúdo ensinado. Quando o aluno é motivado,
ele se sente levado a aprender, construindo a sua aprendizagem.
Devemos estar atentos para o jogo não se tornar um simples divertimento.
Devemos induzir o aluno a chegar ao objetivo desejado, propondo situações com a
finalidade de levá-lo a organizar suas idéias a ponto de generalizar as situações
envolvidas no jogo.
Existe no jogo, contudo, algo mais importante do que a simples diversão e
interação. O jogo revela uma lógica da subjetividade, tão necessária para a estruturação
da personalidade humana, quanto a lógica formal das estruturas cognitivas.
O jogo carrega em si um significado mais abrangente, a pessoa vai se
conhecendo enquanto joga. O jogo é construtivo porque ele pressupõe uma ação do
indivíduo sobre a realidade, reforça a motivação e possibilita a criação de novas ações.
Os jogos aparecem durante todas as fases de desenvolvimento do homem e, em
cada uma delas, com características próprias. Há uma estrita relação entre o
desenvolvimento do aprendiz e o tipo de jogo que lhe interessa e estimula.
Dentro da situação do jogo, onde é impossíveis uma atitude passiva e a
motivação é grande, pode-se notar que, ao mesmo tempo em que esses alunos falam
matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem.
Quando os professores usam jogos na sala de aula, aqueles bloqueios que os
alunos apresentavam em relação à matemática, a ponto de se sentirem incapazes de
aprendê-la, vão aos poucos sendo eliminados. O sentimento de auto-estima vai sendo
desenvolvido pois todos têm oportunidades, em algumas situações, de se destacar em
relação aos outros. Nessas ocasiões, habilidades de raciocínio como organização,
atenção e concentração, tão necessárias ao aprendizado de matemática estão sempre
presentes. O aluno tem oportunidade de expor sua opinião, que deve ser respeitada,
apesar de nem sempre acatada, o que o estimula a argumentar constantemente.
Quando nos referimos à utilização de jogos nas aulas de matemática, esperamos
que tenham utilidade em todos os níveis de ensino. Portanto os objetivos do jogo têm
que ser claros, adequados, e sempre representar um desafio para o nível com o qual
estamos trabalhando.
No jogo observamos a criatividade, o desenvolvimento da linguagem e o
raciocínio dedutivo exigidos na escolha de uma jogada. Todas as habilidades envolvidas

nesse processo compõem o chamado “ raciocínio lógico”, que é uma das metas
prioritárias do ensino da matemática e característica principal de fazer ciência.
Outro motivo para a introdução de jogos na aula de matemática é desmistificar a
matemática enquanto uma disciplina maçante, difícil, que envolve a memorização
acrítico de formas, fórmulas, números e contas. Através de uma abordagem lúdica da
matemática o professor pode resgatar o prazer de conhecer, o espírito desportivo, o
enfrentamento de desafios e, ao mesmo tempo, privilegiar o desenvolvimento de
estratégias, raciocínios, enriquecer os conteúdos matemáticos trabalhando-os em sala de
aula, de forma agradável, dinâmica e participativa.
Para que possa construir um ambiente onde haja reflexão a partir da observação
e da análise cuidadosa, são essenciais a troca de opiniões e a oportunidade de
argumentar com o outro, de modo organizado. Por isso, é importante salientar que o
pré-requisito fundamental da metodologia de jogos é que os alunos saibam trabalhar em
grupo.
Também é bom lembrar que o jogo é uma das muitas alternativas para o ensino
da matemática e, portanto, não se deve tornar obrigatório. Como já dissemos, a
atividade de jogar, se bem orientada, tem papel importante no desenvolvimento de
habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração. Assim, podemos
inserir o jogo no contexto didático da matemática, pois ele e a resolução de problemas
são estratégias de ensino. Ambos trazem vantagens no processo de criação e construção
de conceitos através da discussão matemática entre os alunos e entre o professor e os
alunos.
Ao jogar, o aluno passa a ser um elemento ativo do seu processo de
aprendizagem, deixando de ser um ouvinte passivo das explicações do professor, porque
tem a oportunidade de vivenciar a construção do seu saber. Usando jogos nas aulas de
matemática podemos observar alunos mais críticos, alertas e confiantes, expressando o
que pensa e tirando conclusões sem necessidade de interferência do professor.
Um ponto bastante interessante é que não existe o medo de errar, pois o erro é
encarado como um degrau necessário para se chegar a uma resposta correta.
Devemos também ver o jogo como uma das muitas estratégias de ensino e não
como uma fórmula mágica capaz de resolver ou amenizar todos os problemas existentes
na aprendizagem de matemática. O jogo é uma das ferramentas que podemos dispor de
acordo com a ocasião, como são os livros didáticos, artigos de jornais, os materiais
manipuláveis, etc.

Portanto, as condições para aprender não se encontram nos jogos, assim como
não se encontram em nenhum material didático que possamos utilizar. A aprendizagem
decorre das reflexões que o aluno elabora e dos significados que ele estabelece a partir
do que já conhece.
Definida a metodologia para promover o aprendizado em matemática, podemos
listar alguns critérios como: os jogos devem ser para dois ou mais jogadores; o jogo
deve ter regras pré-estabelecidas que não podem ser modificadas no decorrer de uma
jogada; as regras devem ser formuladas de modo que, ao final, só haja um vencedor; o
jogo não deve ser mecânico e sem significado para os alunos; o jogo deve permitir que
cada jogador possa fazer a jogada dentro das regras, a sorte deve ter um papel
secundário ou mesmo em nada interferir.

2.2 – Alguns tipos de jogos para o ensino da matemática.
Com base nos autores, Krulik e Rudnik, Borin faz a classificação dos jogos em
dois tipos: jogos de treinamento e jogos estratégicos.
Podemos ainda falar sobre um outro tipo de jogo: o jogo de natureza
epistemológica.
Abaixo faremos um breve comentário sobre cada um desses tipos de jogos.
• Jogos de treinamento:
Estes jogos são utilizados para auxiliar na fixação de conceitos, fórmulas,
algoritmos, técnicas ligadas a alguns tópicos do conteúdo. São jogos relacionados a
memorização. Estes jogos também podem ser utilizados por aqueles alunos que
necessitam de reforço em algum tópico do conteúdo e também utilizado como uma
revisão de um conteúdo para a turma.
Antes de utilizar este tipo de jogo, devemos ter claro os objetivos que queremos
alcançar, para que não corramos o risco de transformá-los em apenas um instrumento de
valorização do pensamento mecânico.
Neste jogo, algumas idéias podem ser frustradas, como, considerar o jogo como
instrumento que promove a aprendizagem com grande motivação, pois o fator sorte
exerce um papel preponderante e interfere nos resultados finais.
• Jogos de estratégias:
O objetivo principal deste tipo de jogo é propiciar oportunidades para o
desenvolvimento do raciocínio lógico. O fator sorte em nenhum momento deve
interferir nas jogadas. Estes jogos caracterizam-se por possuírem uma estratégia
vencedora a ser descoberta pelos jogadores.
Na busca desta estratégia vencedora fica acentuada a necessidade de formular
hipóteses, argumentar, experimentar, para tornar válida as hipóteses, até a descoberta de
um caminho sempre vitorioso, nesse momento o jogo passa a ser um problema resolvido
que pode ou não gerar outros desafios.

É claro, que no início do jogo, o que ocorre é o raciocínio indutivo, que a partir da
observação do que ocorreu nas jogadas, o aluno passa a descobrir as estratégias
vencedoras.
Neste tipo de jogo, os alunos não jogam por jogar e sim se preocupam, sentem-se
desafiados a encontrar um caminho que os façam vencedores.
O professor deve promover a socialização das descobertas, isto é, expor as
descobertas para a classe e mudar as hipóteses possíveis de serem mudadas, e também
questionar, como por exemplo, se a estratégia descoberta é única.
Este tipo de jogo é o que mais se aproxima do que é pesquisar em matemática, o
aluno resolve, ou tenta resolver por si só, os problemas que podem aparecer a cada
jogada, estes jogos são mais adequados para o desenvolvimento de habilidades de
pensamento do que para o trabalho com algum conteúdo específico.
• Jogos de natureza epistemológica.
O objetivo principal desse jogo é a construção de significados. O aluno não
reforçará o que aprendeu, mas sim aprenderá jogando. O aluno é levado a construir os
conceitos matemáticos, fazendo deduções a cada jogada até chegar a generalização dos
conceitos.
Esse tipo de jogo é fundamental para a construção de conceitos ou conteúdos
matemáticos. O aluno tem a sua própria visão do conteúdo que está sendo aprendido a
cada jogada.

2.3 – Jogos educativos computadorizados.
Um jogo educativo computadorizado é um ambiente de aprendizagem que une
as características dos jogos com as de software.
Os Jogos educativos computadorizados são criados com a finalidade dupla de
entreter e possibilitar a aquisição de conhecimento.
O uso da informática na educação através de softwares educativos é uma das
áreas da informática na educação que ganhou mais terreno ultimamente. Isto deve-se
principalmente a que é possível a criação de ambientes de ensino e aprendizagem
individualizados (ou seja adaptado às características de cada aluno) somado às
vantagens que os jogos trazem consigo: entusiasmo, concentração, motivação, entre
outros. Os jogos mantém uma relação estreita com construção do conhecimento e possui
influência como elemento motivador no processo de ensino e aprendizagem.
Nesse contexto os jogos de computador educativos ou simplesmente jogos
educativos devem tentar explorar o processo completo de ensino-aprendizagem. E eles
são ótimas ferramentas de apoio ao professor na sua tarefa. Basicamente bons jogos
educativos apresentam algumas das seguintes características:
• trabalham com representações virtuais de maneira coerente.
• dispõem de grandes quantidades de informações que podem ser apresentadas de
maneiras diversas (imagens, texto, sons, filmes, etc.), numa forma clara objetiva
e lógica.
• exigem concentração e uma certa coordenação e organização por parte do
usuário.
• permite que o usuário veja o resultado de sua ação de maneira imediata
facilitando a auto-correção (afirma a autoestima da criança)trabalham com a
disposição espacial das informações, que em alguns casos pode ser controlada
pelo usuário.
• permitem um envolvimento homem-máquina gratificante.
• têm uma paciência infinita na repetição de exercícios.

• estimulam a criatividade do usuário, incentivando-o a crescer, tentar, sem se
preocupar com os erros.
Quando se estuda a possibilidade da utilização de um jogo computadorizado
dentro de um processo de ensino e aprendizagem devem ser considerados não apenas o
seu conteúdo senão também a maneira como o jogo o apresenta, relacionada é claro à
faixa etária que constituirá o público alvo. Também é importante considerar os objetivos
indiretos que o jogo pode propiciar, como: memória (visual, auditiva, cinestésica);
orientação temporal e espacial (em duas e três dimensões); coordenação motora
visomanual (ampla e fina); percepção auditiva, percepção visual (tamanho, cor,
detalhes, forma, posição, lateralidade, complementação), raciocínio lógico-matemático,
expressão lingüística (oral e escrita), planejamento e organização.
No contexto da Matemática, a aprendizagem nesta perspectiva depende de ações
que caracterizam o ‘fazer matemática’: experimentar, interpretar, visualizar, induzir,
conjeturar, abstrair, generalizar e enfim demonstrar. É o aluno agindo, diferentemente de
seu papel passivo frente a uma apresentação formal do conhecimento, baseada
essencialmente na transmissão ordenada de ‘fatos’, geralmente na forma de definições e
propriedades. Numa tal apresentação formal e discursiva, os alunos não se engajam em
ações que desafiem suas capacidades cognitivas, sendo-lhes exigido no máximo
memorização e repetição, e conseqüentemente não são autores das construções que dão
sentido ao conhecimento matemático. O processo de pesquisa vivenciado pelo
matemático profissional evidencia a inadequabilidade de tal abordagem. Na pesquisa
matemática, o conhecimento é construído a partir de muita investigação e exploração, e a
formalização é simplesmente o coroamento deste trabalho, que culmina na escrita formal
e organizada dos resultados obtidos! O processo de aprendizagem deveria ser similar a
este, diferindo essencialmente quanto ao grau de conhecimento já adquirido.
Vejamos alguns exemplos de softwares que ajudam no processo ensino-
aprendizagem da matemática:
• Cabri-Geometry: (WINDOWS) software de construção em geometria
desenvolvido pelo Institut d'Informatiqe et de Mathematiques Appliquees
em Grenoble (IMAG). É um software de construção que nos oferece

“régua e compasso eletrônicos”, sendo a interface de menus de construção
em linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objetos geométricos
são feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade
sob o movimento. Seus arquivos podem ser convertidos para linguagem
java, de maneira que se possa disponibiliza-los em rede.
• Sketchpad: (WINDOWS) software de construção em geometria
desenvolvido por N. Jackiw e S.Steketee comercializado por Key
Curriculum Press. É um software de construção que nos oferece “régua e
compasso eletrônicos”, sendo a interface de menus de construção em
linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objetos geométricos são
feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade sob
o movimento. É possível converter seus arquivos em linguagem java, de
maneira que sejam disponibilizados na rede.
• Geometria Descritiva: (DOS) software de construção em geometria
descritiva, que trabalha em um sistema projetivo; em 3D. Produzido por
V.Teodoro e F.Clérigo, da Universidade Nova de Lisboa.
• S-Logo: (WINDOWS) é uma linguagem de programação de fácil
compreensão e que possibilita que o aluno desenvolva o raciocínio,
desenvolvendo seu próprio programa. É muito bom para o ensino de
geometria e pode ser usado em todos os níveis escolares.
• Poly: (WINDOWS) é uma criação Pedagoguery Software, que permite a
investigação de sólidos tridimensionalmente (com possibilidade de
movimento), dimensionalmente (planificação) e de vista topológica. Possui
uma grande coleção de sólidos, platônicos e arquimedianos entre outros.
• Shapari: (WINDOWS) é uma criação da Spelunk Computing para
exploração lúdica de fractais. Tem uma interface interessante, podendo-se

produzir figuras de grande apelo estético e artístico.
• Graphmatica: (WINDOWS) software que permite que se construa gráficos
a partir de funções elementares. Possui ainda a opção de se trabalhar em
coordenadas polares, cartesianas e em escalas logarítmicas. É uma criação
de K.Hertzer.
• Winplot: (WINDOWS) software que permite que se construa gráficos a
partir de funções elementares. Possibilita que se construa gráficos em duas
e três dimensões e ainda que se trabalhe com operações de funções.
• MathGV: (WINDOWS) software que permite que se construa gráficos a
partir de funções elementares. Possibilita que se construa gráficos em duas
e três dimensões e em coordenadas polares.
• Winmat: (WINDOWS) permite que se construa matrizes e opere com elas.
Calcula a inversa, transposta, determinante e encontra inclusive o
polinômio característico da matriz.
• Tangram: (WINDOWS) permite que se construa uma grande variedade de
figuras a partir das sete peças do tangram. As peças podem ser rotadas,
refletidas, giradas, transladadas, etc.
• Torre de Hanoi: (DOS) jogo de origem asiática, que permite que o jogador
desenvolva o raciocínio e crie estratégias para resolver problemas
Apresentamos agora, algumas informações a mais de como alguns softwares podem
ajudar no ensino da matemática.
• Cabri Geometry e Sketchpad - ferramentas para Geometria

São ferramentas, especialmente, para construções em Geometria. Dispõem de
‘régua e compasso eletrônicos’, sendo a interface de menus de construção em linguagem
clássica da Geometria. Os desenhos de objetos geométricos são feitos a partir das
propriedades que os definem. Através de deslocamentos aplicados aos elementos que
compõe o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que
caracterizam a situação. Assim, para um dado conceito ou teorema temos associada uma
coleção de ‘desenhos em movimento’, e as características invariantes que aí aparecem
correspondem as propriedades em questão. O aluno age sobre os objetos matemáticos
num contexto abstrato, mas tem como suporte a representação na tela do computador. A
multiplicidade de desenhos enriquece a concretização mental, não existindo mais as
situações prototípicas responsáveis pelo entendimento inadequado.
Apresentam interface dinâmica e interativa (‘desenhos em movimento’ e que
podem ser automatizados através do recurso de ‘botões’), múltiplas representações
(trabalha com geométrica sintética e um pouco de analítica), capturação de procedimentos
(tem comando que permite ter acesso a história da construção e comandos para criação de
macros. No Cabri Geometry é o próprio desenho que é reconstruído passo a passo; no
Sketchpad além disto, tem-se janela adicional onde a construção é explicitada também
através de linguagem matemática).
• Graphmatica - ferramenta para funções reais e curvas no plano
É ambiente para plotagem de equações, funções e derivada de funções,
desigualdades no plano cartesiano; curvas paramétricas e polares. Trabalha com
coordenadas cartesianas, coordenadas polares e escalas logarítmicas. Tem o recurso de
múltiplas representações: expressão analítica, gráficos, podendo plotar até vinte e cinco
gráficos simultaneamente, e tabelas. Permite a construção de famílias de funções e o
recurso de múltiplas representações viabiliza explorações algébricas e geométricas,
simultaneamente. Calcula derivada de função simbolicamente e numericamente e plota a
reta tangente a curva num dado ponto; também calcula numericamente integral definida,
através de diferentes métodos, desenhando no gráfico as regiões poligonais
correspondentes, com possibilidade de escolha da partição.

• Torre de Hanói
O problema da Torre de Hanói envolve um ambiente formado por uma base, contendo 3
pinos, onde, em um deles, há uma pilha de discos furados no meio e de diâmetros
diferentes ordenados de forma que o disco maior esteja em baixo e o menor esteja em
cima, formando assim uma torre conforme a figura a seguir:
O problema consiste em transferir-se à torre de um pino a outro obedecendo as
seguintes restrições:
a) Só é possível movimentar-se um disco por vez para qualquer pino;
b) Um disco maior nunca poderá ser colocado sobre um menor;
c) A solução deverá ser encontrada com o menor número de passos possível.

CAPÍTULO 3 – ALGUNS EXEMPLOS DE JOGOS PARA O ENSINO DA
MATEMÁTICA.
Introdução.
Neste capítulo mostraremos alguns exemplos de jogos. Alguns servirão para
fixar conceitos, os chamados jogos de treinamento, outros levarão o aluno a desenvolver
o raciocínio lógico, elaborando estratégias para alcançar a vitória, são os jogos de
estratégias e também os jogos de natureza epistemológica onde o aluno constrói os
significados.
Em cada jogo destacaremos o objetivo, os pré-requisitos, a descrição, o
procedimento e a avaliação do jogo.
3.1 – Jogos de treinamento.
3.1.1 – Jogo das Equações.
Objetivo: Fixar o conteúdo disciplinar de equação do 1° grau e problemas de 1° grau.
Pré-requisitos: Noções de equação do 1° grau; uso da linguagem matemática para
resolver problemas.
Descrição: O jogo é composto por:
1 tabuleiro
4 pinos nas cores: amarelo, azul, verde e vermelho
1 dado
16 cartas bônus
8 cartas bomba
20 cartas equação
11 cartas problema envolvendo equações.
Procedimento:
Cada jogador escolhe o seu pino e tira-se em sorteio quem deverá começar. O jogo
seguirá no sentido horário.
O primeiro jogador lança o dado e anda quantas casas indicar no dado.
Se cair na casa bomba, tira-se uma carta bomba, se cair na casa E, tira-se uma carta
equação e resolvê-se a equação escrita nela, se cair na casa P, tira-se uma carta
problema e resolvê-se o problema escrito nela e finalmente se cair na casa colorida, tira-
se a carta bônus, este bônus será para o dono da cor da casa.
Cada jogador jogará o dado na sua vez e seguirá os procedimentos acima.
O vencedor será quem chegar primeiro a última casa ou passar da última casa.
Observação:
Cada solução apresentada das cartas equação e problema deverão ser analisados pelos
outros jogadores e se estiver correta, o jogador que resolveu deverá esperar sua
próxima vez para lançar o dado para saber quantas casas deverá andar. Se a solução
estiver incorreta ou o jogador não souber resolver, deverá ficar uma rodada sem jogar

Cartas – equação
E P
7.n + 15 = 71 3.(2.y + 1) = 7 8.a = 28 4.x = 3 – (x + 5)
3.n + 2.n = 3(n+1) 8m + 2 = 6m + 4 5- (x+1 ) = 7 + 2x
5
3y
+ 2 = 7
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
P P
P
PPP
P
P P
P
vencedor
3 (x+5) = x + 5 14 – 5 (2x +3) =3x 7.y – 92 = 13 2 – 5(x+2) = 14-x
2 +
3
x
= 614 – 5 (2x +3) =3x 14 – 5 (2x +3) =3x 14 – 5 (2x +3) =3x

Cartas – problema
Cartas – bônus
Pensei em um número,
multipliquei-o por 8 e,
depois, somei 32. Deu zero!
Em que número pensei?
Um número é somado com 17
e o resultado é multiplicado
por 15. No final, obtém-se 60.
Qual é o número?
Eu tenho x reais. Meu irmão
tem 10 a mais que eu. Juntos,
temos 17 reais. Quanto tenho?
Dei a Mário a mesma quantia
de figuras que ele tinha. Cada
um de nós ficou com
150.Quantas ele tinha antes?
Descubra três números
consecutivos que somados
resultam em 129.
José tem x reais e seu irmão
tem 320 a mais. Se os dois
juntos têm 1610 reais,
quanto José tem ?
Pensei num número. Seu
triplo é igual ao dobro do seu
consecutivo. Que número
pensei?
Estou pensando no número
que, somado a sua metade,
dá 84. Que número é ?
Em um retângulo, a medida
de um lado é o triplo da
medida do outro, e o seu
perímetro é 144. Quanto
medem os lados?
14 – 5 (2x +3) =3x 14 – 5 (2x +3) =3x 14 – 5 (2x +3) =3x 14 – 5 (2x +3) =3x
Você está com sorte!
Avance 2 casas.
Avance 2 casas.
Avance 1 casa.
Avance 1 casa.
Jogue o dado
novamente!
Vá para a casa que é
o dobro do número
que você está!
Vá para a casa que é
o dobro do número
que você está!
Jogue o dado
novamente!
Você está com
pressa! Troque de
lugar com quem está
vencendo!
Você está com
pressa! Troque de
lugar com quem está
vencendo!
Vá para a casa de
bônus da sua cor!
Vá para a casa de
bônus da sua cor!
Pensei em um
número.Multipliquei-o por 4
e depois adicionei 6. O
resultado foi -10. Em que
número pensei?
Adivinhe minha idade. Se eu
dobrá-la, ainda faltarão 3
anos para ficar com a idade
de meu pai, que tem 45 anos.

Cartas – bomba
Avaliação: O jogo é de fácil montagem, e motiva o aluno a resolver problemas e
equações. É mais apropriado e vantajoso do que uma lista de exercícios e o resultado é o
mesmo: fixação do conteúdo.
3.1.2 – Corrida das frações.
Objetivo: Fixar os conteúdos disciplinares: comparação de frações, equivalência de
frações e adição de frações.
Pré-requisitos: Noções iniciais de frações, frações equivalentes.
2 caixas de frações
12 cartas envolvendo problemas sobre frações
2 tabuleiros onde os jogadores deverão montar as respostas.
O jogo deverá ter dois jogadores e um orientador, cuja função é ajudar os jogadores,
quando solicitado, e controlar o tempo.
A duração total do jogo é de 15 minutos.
Procedimento:
Tira-se na sorte quem deverá iniciar o jogo. O primeiro jogador retira uma carta e
executa o que diz a carta. O orientador deverá conferir cada resposta montada. Cada
jogador terá apenas 2 minutos para cada resposta.
O vencedor será quem montar mais respostas corretas em 15 minutos.
Você está sem
sorte! Volte 1
casa.
Você está cansado!
Fique uma rodada
sem jogar.
Precisa descansar!
Fique 2 rodadas
sem jogar.
Que tal recomeçar!
Volte para o início.
Não tenha
pressa! Volte 5
casas.
Seja bondoso!
Passe a sua vez
para o próximo
jogador.
Precisa relaxar!
Fique uma rodada
parado.
Você esqueceu
alguma coisa! Volte
para o lugar que você
estava.
Troque de lugar com
o jogador que está a
sua frente!
Troque de lugar com
o jogador que está a
sua frente!
Está com sorte! Você
não precisará resolver
a próxima equação!
Está com sorte! Você
não precisará resolver
a próxima equação!

Observação: Se o jogador errar, a carta voltará para o final do monte.
Caixa de frações.
Tabuleiro.

Cartas – Problemas
Avaliação: É um jogo que pode ser confeccionado com material emborrachado para ter
mais durabilidade e poderá ser usado durante todo o ensino de frações. O aluno observa
concretamente a equivalência e a soma das frações e reforça a noção da parte em
relação ao todo.
Peça para se adversário
responder: Quantos
5
1
preciso para formar 1
inteiro.
Qual fração é
maior
12
5
ou
4
1
?
Escreva uma fração
equivalente a
3
1
.
Escreva dois pares
de frações
equivalentes.
O que podemos
afirmar sobre as
frações
9
3
e
3
1
?
Qual é a soma de
2
1
e
3
1
?
Dica: transforme
em sextos.
Qual é o resultado
de
12
3
-
6
1
?
Peça ajuda ao
orientador!
Qual fração é maior:
8
3
ou
4
1
?
Compare!
Esta é fácil.
O que podemos afirmar
sobre as frações
5
1
e
10
1
?
Você tem 1 minuto!
Que fração é maior:
12
1
ou
9
1
?
Quanto é
8
2
+
8
3
?
Escreva uma
fração equivalente
a
4
2
.

3.1.3 – Jogo do resto.
Objetivo: Estimular o cálculo mental com a divisão.
Induzir o aluno a concluir que é vantajoso escolher números que tem poucos
divisores entre 1 e 6.
Pré-requisitos: Divisão de números naturais, divisibilidade de um número.
1 trilha.
2 pinos.
1 dado.
Procedimento:
O jogo deve ser jogado por dois jogadores. Cada jogador escolhe o seu pino. Tira-se na
sorte quem irá começar.
Cada jogador, em sua vez escolherá um número entre 6 e 50. Depois, joga o dado. Para
avançar com o pino, o jogador deverá fazer um cálculo mental: dividir o número
escolhido pelo número sorteado no dado e encontrar o resto. O valor do resto, será o
número de casas que o jogador avançará.
Depois, o outro jogador fará o mesmo procedimento, mas não poderá escolher o número
que já foi falado. Os números escolhidos deverão ser anotados para que não haja
repetição.
O vencedor será quem conseguir chegar ao final da trilha.
Avaliação: O jogo chama a atenção dos alunos para a quantidade de divisores de um
número, permitindo uma referência aos números primos.

Trilha para os jogos: Corrida algébrica e jogo do resto.
1
9
3
37
10
48
29
20
26
17
13
50
40
42
32
44
24
7
34
22
4 5
154649
30
36 38
18
2 6
8
11
12
14
16
19212325
27
28
31
33 35 39
41
43
4547
P
A
R
T
I
D
A

3.1.4 – Jogo do Mapa.
Objetivo: Reforçar o conceito de coordenadas cartesianas e localização de pontos no
plano.
Pré-requisitos: Conceito de latitude e longitude, localização de pontos no plano.
1 mapa-múndi.
2 folhas quadriculadas com o eixo cartesiano.
12 cartas com nomes de países ou estados, com os nomes virados para baixo, formando
um monte.
2 folhas para anotações.
Procedimento:
O jogo pode ser jogado por 2 jogadores ou até mesmo por toda a turma.
Tira-se na sorte quem começará o jogo.
Cada jogador, na sua vez, retira uma carta do monte, observa no mapa a localização do
lugar sorteado e escreve na sua folha de anotações: o nome do lugar, a latitude e a
longitude correspondente e em seguida transferi para o eixo cartesiano estas
informações em forma de um ponto, onde a abscissa será o valor da longitude e a
ordenada, o valor da latitude.
O vencedor será quem conseguir fazer mais pontos, sendo que cada registro correto
valerá um ponto e cada localização dos pontos correto valerá dois pontos.
Avaliação: Pode ser considerado um jogo interdisciplinar, pois ao jogar o aluno fixa
conteúdos matemáticos e geográficos. Uma sugestão seria fazer o contrário do que está
proposto no jogo, o professor daria as coordenadas e o aluno localizaria o ponto no
mapa falando o lugar correspondente.
Canadá IrãArgentinaEgito
ArgéliaE.U.AAustráliaBrasil
Rep. da
África do
Sul
IndonésiaChina Uganda

3.2 – Jogos de estratégias.
3.2.1 – Corrida algébrica.
Objetivo: Determinar o valor numérico de expressões algébricas
Formular estratégias, através da escolha dos dados para alcançar a vitória.
Pré-requisitos: Potenciação, conceito de incógnita, valor numérico de uma expressão.
1 trilha
12 cartões contendo expressões algébricas.
2 dados de cores diferentes.
2 pinos.
Procedimento:
O jogo é para ser jogado em dupla.
Os cartões, embaralhados, ficam empilhados com as expressões voltadas para baixo.
Escolha um dado para ser o dado de valores positivos e o outro de valores negativos.
Cada jogador escolhe o seu pino para se movimentar na trilha.
Tira-se na sorte quem irá começar o jogo. O jogo seguirá o sentido horário. O primeiro
jogador retira o cartão da pilha e decide qual o dado lançará, se é o dado dos valores
positivos ou o dado dos valores negativos.O jogador fará a escolha do dado de acordo
com o cartão retirado, pois disto dependerá o avanço na trilha.
Com o número sorteado no dado, o jogador calcula o valor da expressão, trocando o
número sorteado pela incógnita da expressão.
Se este resultado for positivo, ele avançará quantas casas for o resultado.
Se este resultado for negativo, ele retrocederá quantas casas for o resultado.
Exemplo: Se o resultado da expressão for 5, o jogador avançará 5 casas. Mas, se o
resultado for -2, o jogador retrocederá 2 casas.
Vence o jogo quem primeiro chegar na última casa.
Avaliação: É um jogo valioso para desenvolver o cálculo mental e a compreensão
dinâmica das expressões algébricas, isto é, percebê-las como expressões de valor
variável, o que aliás é um passo para o conceito de função.
2.n M2
X - 3 (b + 1). (b – 1)
V2
+ 5 h2
+ h 3.t + 1
A2
- 2
6 - y
3 – c2
u2
- u -2 . r

3.2.2 – Jogo do quadrado.
Objetivo: Formular estratégias para o preenchimento do quadrado mágico.
Dominar o conteúdo das perguntas de Ciências.
Pré-requisitos: Adição de números naturais, linhas horizontais, verticais e diagonais,
definição de quadrado mágico, noções sobre os conteúdos de Ciências mencionados.
18 cartas numeradas com perguntas variadas, como por exemplo,
sobre dentes e sobre doenças, com as perguntas viradas para baixo, formando um
monte.
2 cartelas com um quadrado mágico.
Procedimento:
O jogo deverá ser jogado por 2 jogadores.
Tira-se na sorte quem começará o jogo.
Cada jogador, na sua vez, retira uma carta do monte. Cada jogador não poderá repetir
cartas com o mesmo número. Deverá devolver ao monte e sortear outra.
O jogador deverá responder a pergunta, se a resposta estiver correta, marcará no seu
quadrado mágico o número correspondente a pergunta. Se a resposta estiver incorreta
ou o jogador não souber responder, ficará sem marcar o número da pergunta no
quadrado mágico.
O vencedor será quem conseguir montar o quadrado mágico primeiro.
Observações:
1) Cada jogador poderá trocar os números do quadrado de lugar no máximo 3 vezes.
2) A soma mágica é 15.
Abaixo temos as perguntas numeradas com as respectivas respostas.
1) Quais são os quatro tipos de dentes?
R: incisivos, caninos, pré-molares e molares.
2) Qual a função dos dentes incisivos?
R: Servem para cortar os alimentos.
3) Qual a função dos dentes caninos?
R: Servem para perfurar os alimentos mais duros.
4) Qual a função dos dentes pré-molares e molares?
R: Servem para amassar e triturar os alimentos.
5) Quantos dentes têm na dentição permanente?
R: 32

6) Cite duas doenças do dente.
R: Cárie e gengivite.
7) Como evitar a cárie?
R: Diminuir o consumo de açúcar.
8) Cite três hábitos para ter bons dentes.
R: Usar fio dental, escovar sempre os dentes e ir ao dentista regularmente.
9) Quais são as partes externas de um dente?
R: Coroa, colo e raiz.
1) Qual o agente causador da dengue?
R: vírus.
2) Como prevenir a dengue?
R: Eliminando os prováveis focos de reprodução do mosquito.
3) Quais os sintomas da esquistossomose?
R: Barriga inchada e fraqueza profunda.
4) Qual a forma de prevenir a hepatite A?
R: Cuidar da higiene pessoal, lavar as mãos depois de evacuar e antes de tocar nos
alimentos.
5) O agente causador da febre tifóide é bactéria ou vírus?
R: Bactéria.
6) Quais os sintomas da cólera?
R: Vômito, diarréia intensa e dores abdominais.
7) Onde é principalmente encontrada a bactéria causadora da leptospirose?
R: Urina dos ratos e outros roedores.
8) Qual o agente causador da amebíase?
R: Protozoário Entamoeba histolytica.
9) Qual o agente causador da ascaridíase?
R: Um verme chamado Ascaris lumbricoides.
Avaliação: Trata-se de um jogo interdisciplinar, onde são abordados conteúdos de
Ciências e Matemática. Uma sugestão seria usar o jogo da velha ao invés do quadrado
mágico.

3.3 – Jogos de natureza epistemológica.
3.3.1 – Jogo das perdas e ganhos.
Objetivo: Induzir o aluno a operar com números inteiros, através da movimentação das
fichas.
Pré-requisitos: números simétricos, noções iniciais sobre adição e subtração de
números inteiros.
12 cartões com comandos de perda ou ganho.
30 fichas positivas. (alguns objetos de mesma cor)
30 fichas negativas. (alguns objetos de mesma cor, diferentes das fichas positivas.)
3 folhas para o registro de cálculos.
1 caixa para o depósito das fichas que ficarão na mesa.
Procedimento:
O jogo deve ser jogado por 3 jogadores.
Cada jogador pega 10 fichas positivas e 10 fichas negativas e uma folha para o registro
dos cálculos.
Tira-se na sorte quem irá começar o jogo. Todos os jogadores deverão começar o jogo
com 6 fichas positivas e 6 fichas negativas, o que dá zero ponto, as fichas restantes
serão depositadas na caixa.
Os cartões ficarão empilhados com os comandos virados para baixo.
O primeiro jogador retira um cartão, faz o que o cartão manda e registra o cálculo, se
não souber registrar, o próximo jogador poderá registrar e ganhará 2 fichas positivas da
caixa.
O jogo termina quando os cartões acabarem e o vencedor será quem tiver mais pontos.
Exemplo:
Na primeira rodada, o jogador retirou o cartão: “ Perde 4 positivas.” Daí, ele deposita na
caixa 4 fichas positivas, ficando com 2 fichas positivas e 6 negativas. Deverá registrar
assim: 0 – 4 = -4.
Na segunda rodada, o mesmo jogador retirou o cartão: “Perde 2 negativas”. Daí, ele
deposita na caixa 2 fichas negativas, ficando com 2 fichas positivas e 4 negativas.
Deverá registrar o saldo anterior com o comando do cartão: - 4 – (-2) = -2.
OBS: quando o comando for de ganhos, o jogador deverá pegar da caixa a quantidade
determinada no cartão.
O jogador, sempre que precisar, poderá pegar da caixa zero ponto, ou seja, a mesma
quantidade de fichas positivas e negativas.
Avaliação: É um jogo interessante que leva o aluno ao aprendizado de adição e
subtração de números inteiros de maneira divertida. O aluno poderá, também ao invés
de registrar os cálculos, fazer cartazes usando as representações de fichas colocando na
forma de parcelas de uma conta.

Exemplo:
+
-3 + 2 = -1
ficha negativa
ficha positiva
3.3.2 – Domilógico
Objetivo: Desenvolver os conceitos relativos aos conectivos lógicos ∧ e ∨ .
Desenvolver os conceitos de = e ≠ .
Pré-requisitos: Reconhecer cores, formas, tamanhos e espessuras.
Descrição: Uma caixa de blocos lógicos. ( ver Anexo II-1 )
Procedimento:
Pede-se às crianças para se organizarem em grupos de seis, tirando aleatoriamente das
caixas um número igual de peças. Coloca-se na mesa uma primeira peça e a primeira
criança deverá juntar-lhe uma peça que tenha um dos atributos da anterior (mesma cor,
forma, tamanho ou espessura). O jogo continuará, colocando cada criança seguinte uma
peça com um dos atributos da peça que foi anteriormente colocada.
Avaliação: É um ótimo jogo para desenvolver conceitos lógicos e trabalhar com
conceitos de igualdade e diferença. Uma sugestão é fazer o jogo usando atributos com
duas ou três diferenças ou igualdades. Pode-se também desenvolver atividades com
conjuntos usando união e intersecção.
3.3.3 – Jogo dos cartões.
Perde 4 negativas. Perde 5 negativas.Perde 3 negativas. Perde 4 positivas.
Ganha 4 negativas.Perde 2 positivas.Perde 3 positivas.
Ganha 2 negativas.
Ganha 3 negativas.
Ganha 5 positivas.Ganha 3 positivas.Ganha 4 positivas.

Objetivo: Compreender o mecanismo do “vai um” nas adições.
Estimular o cálculo mental.
Pré-requisitos: Noções sobre os conceitos de unidade, dezena, centena e milhar; adição
de números naturais.
Descrição: Material dourado ( ver Anexo II-4 )
Procedimento: O professor coloca no centro do grupo alguns cartões virados para baixo.
Nestes cartões estão escritos números entre 50 e 70.
1º sorteio: Um aluno do grupo sorteia um cartão. Os demais devem pegar as peças
correspondentes ao número sorteado.
Em seguida, um representante do grupo vai à lousa e registra em uma tabela os números
correspondentes às quantidades de peças.
2º sorteio: Um outro aluno sorteia um segundo cartão. Os demais devem pegar as peças
correspondentes a esse segundo número sorteado.
Em seguida, o representante do grupo vai à tabela registrar a nova quantidade.
Nesse ponto, juntam-se as duas quantidades de peças, fazem-se as trocas e novamente
completa-se a tabela.
Ela pode ficar assim:
Isto encerra uma rodada e vence o grupo que tiver conseguido maior total. Depois são
feitos mais algumas rodadas e o vencedor do dia é o grupo que mais rodadas venceu.
Avaliação: É um jogo onde o aluno consegue concretizar as operações com os números
naturais fazendo as trocas necessárias. Depois que os alunos estiverem realizando as
trocas e os registros com desenvoltura, o professor pode apresentar a técnica do "vai
um" a partir de uma adição como, por exemplo, 15 + 16.

Observe que somar 15 com 16 corresponde a juntar estes conjuntos de peças.
Fazendo as trocas necessárias,
Compare, agora, a operação:
com o material
com os números
Ao aplicar o "vai um", o professor pode concretizar cada passagem do cálculo usando o
material ou desenhos do material, como os que mostramos.

3.3.4 – Atividades para aprender alguns produtos notáveis.
Objetivos: Levar o aluno a concluir as fórmulas do quadrado da soma de dois termos e
quadrado da diferença de dois termos através de justaposição e sobreposição de figuras.
Objetivo da atividade 1: Concluir que (a + b)2
= a2
+ 2.a.b + b2
Objetivo da atividade 2: Concluir que (a - b)2
= a2
- 2.a.b + b2
Pré-requisitos: Conhecimento de figuras planas; área do quadrado e área do retângulo;
conceitos de justaposição e sobreposição de figuras.
Descrição: Composto de quatro peças, formadas de dois quadrados e dois retângulos de
cartolina ou papel cartão, sendo um quadrado amarelo, um azul, um retângulo verde e
outro vermelho.
→←
a
→←
b
→←
a
→←
b
Procedimento:
Atividade 1:
a) Sobre a mesa são dados quatro figuras planas, sendo um quadrado amarelo, um
azul e dois retângulos, um verde e outro vermelho. Separe o quadrado amarelo e
chame a medida do seu lado de a. Qual é a área deste quadrado?
b) Separe o quadrado azul e chame a medida do seu lado de b. Qual é a área deste
quadrado?
c) Agora, separe cada um dos retângulos e sobreponha aos quadrados. O que você
observou em relação a medida dos lados destes retângulos? Anote.
d) Você deve ter observado que a medida dos lados dos retângulos são a e b.
Sendo assim, qual a área de cada retângulo?
e) Você seria capaz, por justaposição de formar um quadrado maior com estas
quatro peças?
f) O que você pode observar sobre a medida do lado deste novo quadrado que foi
formado? Anote.

g) Calcule a área deste novo quadrado usando a área das quatro peças que você
obteve nos itens a), b) e d).
h) Agora, calcule a área deste novo quadrado usando o lado obtido no item f).
i) O que você pode concluir dos itens g) e h) ?
Atividade 2.
a) Sobre a mesa são dados quatro figuras planas, sendo um quadrado amarelo, um
azul e dois retângulos, um verde e outro vermelho. Separe as peças de forma
quadrada. Baseando-se nos itens a) e b) da atividade anterior temos que a
medida do lado do quadrado amarelo é igual a a e a medida do lado do
quadrado azul é igual a b, e suas áreas são respectivamente a . a = a2
e b . b =
b2
. Sendo assim, justaponha os dois quadrados ( azul e amarelo ) de modo a
obter uma figura cuja a medida de um dos lados é igual a a + b.
b) Baseando-se também nos itens c) e d) da atividade anterior temos que os
retângulos tem a medida dos lados igual a a e b, e suas áreas igual a a .
b = ab. Sendo assim, justaponha os dois retângulos de forma a termos uma
figura de medida de um dos lados igual a a + b.
c) Sobreponha as duas figuras formadas nos itens a) e b) desta atividade tendo o
lado de medida a + b em comum.
d) Você deve ter observado que falta uma peça para que as duas figuras dos itens
a) e b) sejam iguais. Sendo assim, encontre a medida dos lados dessa peça que
está faltando. Esta peça é um quadrado ou um retângulo?
e) Você deve ter observado que a medida do lado da peça que está faltando é
igual a a – b. Sendo assim, qual é a área desta peça?
f) Com as áreas das quatro peças obtidas na atividade anterior e escritas nos itens
a) e b) desta atividade, você seria capaz de dizer qual é a expressão para a área
da peça que falta? Anote.
g) O que você conclui a partir dos itens e) e f) ?
Avaliação: Trata-se de atividades onde o aluno constrói as fórmulas com o auxílio de
figuras, acontece uma interação entre álgebra e geometria.

3.3.5 – Quebra-cabeça pitagórico.
Objetivo: Elaborar uma “demonstração” construtiva do teorema de Pitágoras.
Pré-requisitos: Conhecimento de formas planas; classificação de um triângulo em
relação aos lados; conceitos de catetos e hipotenusa; conceito de justaposição de figuras
e áreas de figuras planas.
Descrição: Confecção do quebra-cabeça: Para se confeccionar este quebra-cabeça são
necessárias três folhas de papel-cartão de cores diferentes, uma folha de papel
quadriculado e cola.
Construção do quebra-cabeça: Sobre uma das folhas desenha-se um triângulo
retângulo escaleno. Considerando a medida do cateto menor desse triângulo retângulo,
desenha-se, sobre uma das outras folhas de papel-cartão, dois quadrados que devem ser
divididos como indicado no quadrado menor da figura 1.
A seguir, considerando a medida do cateto maior do triângulo retângulo, traçam-se, na
terceira folha de papel-cartão, dois quadrados, os quais devem ser divididos conforme
indicado no quadrado maior da figura 1.
Recortam-se todas as figuras desenhadas que devem ser coladas, pelo lado não colorido,
sobre papel quadriculado. Têm-se, assim, formadas as peças do quebra-cabeça.
Procedimento:
a) Com duas peças de mesma cor e de diferentes formatos, uma trapezoidal e outra
triangular, monte uma figura que tenha a forma de um quadrado.
b) Com três peças de uma outra cor, sendo duas triangulares de tamanhos
diferentes e uma quadrilátera, monte uma figura que tenha a forma de um
quadrado.
c) Com as peças restantes, com exceção da figura triangular cuja cor é diferente das
demais, monte uma outra figura com a forma de um quadrado.
d) Justaponha as três figuras quadradas construídas com as peças aos três lados da
figura triangular cuja cor é diferente das demais.
e) Observe bem a figura formada com todas as peças. Tente encontrar alguma
relação levando em conta o comprimento dos lados do triângulo retângulo e os
lados dos quadrados das figuras justapostas.
f) Através da contagem dos quadradinhos que recobrem cada peça, calcule a área
de cada figura justaposta aos lados do triângulo. O que você observa?
g) Chamando de a a medida da hipotenusa do triângulo retângulo, de b a medida
do cateto menor e de c a do outro cateto, tem-se que:
• a área da figura quadrada cujo lado tem por medida o comprimento do menor
cateto é b2
;
• a área da figura quadrada cujo lado tem por medida o comprimento do maior
cateto é c2
;

• a área da figura quadrada cujo lado tem por medida o comprimento da
hipotenusa é a2
;
de onde tem-se que a2
= b2
+ c2
.
Figura 1:
Avaliação: É uma atividade rica em conceitos geométricos. Através da atividade, o
aluno compreende o significado do teorema e não mais memoriza a fórmula pronta e
sim compreende o sentido de cada variável do teorema.

Conclusão:
É comum uma certa rejeição dos alunos ao estudo da matemática. Geralmente os
alunos associam o ensino da matemática à memorização de fórmulas, o que faz com que
esta disciplina se torne cansativa e maçante. Esta situação levou alguns educadores a
realizar um trocadilho com o próprio nome da disciplina sugerindo a matemática como
uma MÁ-TEMÁTICA. Por outro lado, sabemos que Matemática significa “o que se
pode aprender” (mathema quer dizer aprendizagem).
Ainda no que se relaciona ao parágrafo anterior, Machado (1994), ressalta o
significado da palavra Mateologia: “estudo inútil de assuntos superiores ao alcance de
entendimentos humanos” (Aurélio). Sua origem é a palavra grega mátaios que quer
dizer fútil. Segundo Machado (1994), “em conseqüência de uma visão distorcida, ao
estudar Matemática muitos tem impressão de estudar Mateologia. Tal visão inverte a
relação fundamental existente entre os objetos matemáticos e a realidade concreta: ao
invés de concebê-los como criações, elaborações, abstrações que visam à ação sobre
essa realidade, trata-os como se pré-existissem, em um universo à parte, de onde
concederiam aplicações ao mundo empírico. Para a superação dos problemas com
ensino da matemática é necessária uma reaproximação entre seu significado e aquele
que tinha originalmente, que está intimamente relacionado ao desenvolvimento dos
primeiros rudimentos da razão, à fundamentação do raciocínio em todas as ciências”.
Nesse sentido, acreditamos que, com a introdução dos jogos nas aulas de
matemática, podemos facilitar o processo de aprendizagem dos alunos. Através de uma
abordagem lúdica da matemática, o professor pode resgatar o prazer de conhecer, o
espírito desportivo, o enfrentamento de desafios e, ao mesmo tempo, privilegiar o
desenvolvimento de estratégias, raciocínios, enriquecer os conteúdos matemáticos
trabalhando-os em sala de aula, de forma agradável, dinâmica, participativa e com
significado.
O jogo proporciona, sem dúvida, um ambiente favorável à imaginação, à
criação, à descoberta própria, enfim à construção do conhecimento, o que possibilita ao
aluno um prazer em aprender pela investigação, pela participação coletiva, pelo “fazer
matemática”.
De fato, pode-se concluir, a partir de uma análise crítica dos jogos apresentados
no capítulo 1 desta monografia, que as “vantagens” do uso de jogos apontadas por Borin
(1995) são “legítimas”.

- Pode-se observar, por exemplo, nos jogos de natureza epistemológica que são
apresentados no capítulo 3 que esses jogos exigem do aluno uma participação ativa
para a construção do conhecimento.
- No jogo corrida das frações, por exemplo, este jogo favorece a aquisição de
condutas cognitivas e desenvolvimento de habilidades como coordenação, destreza,
rapidez, concentração, etc. Este jogo, em particular, mobiliza esquemas mentais,
estimula o pensamento, a ordenação de tempo e espaço, estimula a imaginação, auto-
afirmação e autonomia.
- No jogo corrida algébrica, por exemplo, a competição inerente ao jogo
garante-lhes o dinamismo, o movimento, propiciando um interesse e envolvimento
natural do aluno e contribuindo para os seus desenvolvimentos sociais e intelectuais.
Segundo Regina Grando (1995), a competição faz com que o aluno elabore estratégias,
e com tempo, aprimore essas estratégias. A criatividade, senso crítico, participação,
competição, observação, e o prazer em aprender estão presentes neste jogo.
- No jogo dos cartões, por exemplo, podemos constatar que a linguagem
matemática, de difícil acesso e compreensão do aluno, pode ser simplificadas através da
ação no jogo. Este jogo funciona, sem dúvida, como um grande elemento motivador
para a aprendizagem de adição de números inteiros.
- O jogo das equações, por exemplo, pode ser usado para fixação de conceitos,
tais como, resolução de equações de 1° grau, além disso o aluno desenvolve com prazer
um esforço espontâneo para atingir o objetivo do jogo.
- No quebra-cabeça pitagórico, o professor tem a oportunidade de introduzir e
desenvolver alguns conceitos, como por exemplo, o teorema de Pitágoras e áreas de
figuras planas.
- No jogo do mapa, por exemplo, o aluno vê a integração da matemática com
outras disciplinas, possibilitando assim a interdisciplinaridade.
- Nas atividades para aprender alguns produtos notáveis, por exemplo, é um jogo
que integra algumas dimensões da personalidade do aluno, como por exemplo, motora
e cognitiva.
- Em quase todos os jogos o trabalho pode ser feito em equipe - um exemplo
seria o Domilógico.
- O jogo do resto permite que os alunos elaborem estratégias para resolver
alguns problemas. Nele o aluno poderá tomar algumas decisões e analisá-las.

Convém ressaltar que o uso de jogos no processo ensino-aprendizagem
implicaria também algumas desvantagens como, por exemplo, o tempo gasto com a
atividade, a dificuldade de acesso e a disponibilidade de material, e até a perda da
ludicidade causada pela interferência excessiva do professor. Mas, todas essas
“desvantagens” necessitariam ser refletidas e assumidas por educadores que se propõem
a desenvolver um trabalho pedagógico baseado em jogos.
Assim, espera-se com este trabalho ter dado uma pequena colaboração sobre as
possibilidades metodológicas do jogo no processo ensino-aprendizagem de matemática,
tomando por base o conteúdo de matemática do ensino fundamental. Despertar os
educadores, sobretudo, para a necessidade de se desenvolver mais pesquisas nessa área
específica.
Cabe ressaltar, no entanto, que na dinâmica de aula com jogos, o professor deve
ser o piloto e o aluno o co-piloto deste processo. É importante que o professor tenha o
controle do processo didático, sob pena do jogo deixar de ser um elemento importante
do processo ensino-aprendizagem, para tornar-se apenas um passatempo. Concordamos
com Borin quando esta afirma em seu trabalho 1
que “[...] na verdade um determinado
jogo é bom se ele permite várias explorações, no sentido de promover o exercício do
pensamento crítico daqueles que jogam. Caso contrário, ele se caracteriza como um
passatempo que pode ser deixado para os momentos de lazer, quando os aspectos
lúdicos e sociais são mais importantes”.
Ainda assim, insistimos que, quando bem usado, o jogo torna-se uma ferramenta
eficaz para o processo ensino-aprendizagem de Matemática.
1
[ Borin (1995) ]

Anexo I : JOGOS VENDIDOS EM LOJAS COMERCIAIS QUE AJUDAM NO
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO.
O objetivo desse anexo é mostrar que muitos jogos que as crianças jogam ajudam a
desenvolver o raciocínio lógico-matemático.
Listamos alguns desses jogos com as suas respectivas regras.
I-1 - Damas
N° de participantes: 2
Material: tabuleiro de 8 x 8 casas (de cores alternadas), 12 pedras brancas e 12 pretas
Regras:
Cada jogador coloca suas pedras nas casas pretas das três primeiras fileiras do tabuleiro.
O jogo inicia-se sempre com as brancas.
Figura 1
As pedras movem-se uma casa para a frente, no sentido diagonal; não podem ocupar
casas que contenham alguma pedra, sua ou adversária. Se, ao avançar, depara-se com
uma pedra adversária e a casa seguinte na diagonal estiver livre, deve-se, então, saltar
por sobre essa pedra, tomando-a.
Figura 2
Se houver outras pedras adversárias em casas diagonais vizinhas, com casas livres
atrás, deve-se continuar tomando essas pedras. Não é permitido saltar sobre suas
próprias pedras.

Quando uma pedra chega à última fileira do tabuleiro, converte-se em Dama. Coloca-
se sobre ela uma outra pedra tomada, para diferenciá-la das demais. A Dama pode
mover-se livremente ao longo das casas diagonais livres, para frente e para trás,
tomando as pedras adversárias que encontrar pelo caminho (desde que haja casa livre
atrás de cada uma delas).
Quando um jogador pode tomar uma pedra e não o faz, seu adversário pode penalizá-lo
soprando a pedra que não executou a tomada, isto é, tirando-a do jogo.
Ganha o jogo aquele que primeiro tomar todas as pedras do adversário ou bloquear suas
pedras, impedindo seus movimentos.
I-2 - Dominó
Os dominós parecem ter sido uma invenção chinesa. Há referências de dominós na
Europa a partir do século XVIII, mas devem ter aparecido no continente antes disso.
Apresentaremos aqui uma de suas variantes.
Joga-se com 28 peças: 21 delas correspondem a cada combinação de números que pode
ser conseguida com dois dados; 6 têm um dos lados em branco e 1 tem os dois lados em
branco. Em geral é jogado por 2, 3 ou 4 jogadores ou ainda por 2 duplas.
Para dar início ao jogo, as peças são colocadas na mesa com a face para baixo e
embaralhadas. Os jogadores vão pegando peças da mesa, alternadamente, até
completarem 7 (se forem 3 ou 4 jogadores, 5 peças é suficiente). Na sua vez, o jogador
deve colocar uma peça na mesa. A primeira pode ser qualquer uma.
A próxima peça colocada deve corresponder à primeira. Por exemplo, se a primeira era
4-2, a segunda deve ter um 4 ou um 2 em um dos lados. Digamos que seja 4-5. A nova
peça é colocada com o lado correspondente encostado na peça da mesa. Dessa forma os
dominós ficam em seqüência na mesa, e o jogador deve acrescentar uma peça em uma
das duas extremidades.
No exemplo, o próximo a jogar poderá colocar uma peça com 2 ou uma peça com 5.
Caso alguém não tenha peça para colocar, compra novas peças da mesa, até que possa
jogar. Se não houver mais peças para serem compradas, o jogador pode passar a vez.
O objetivo do jogo é livrar-se de suas peças antes dos demais. O vencedor marca um
total de pontos igual à soma dos pontos que os seus adversários ainda têm na mão. Caso
o jogue termine por que ninguém tem uma peça adequada para colocar, o vencedor é
aquele que tiver menos pontos na mão. Seu placar será a diferença entre seus pontos e a
soma dos pontos dos adversários. O valor de cada peça é dado pela soma de seus
pontos. Desse modo uma peça 4-5 vale 9 e uma peça 0-6 vale 6.
I-3 – Xadrez
N° de participantes: 2
Material: 1 tabuleiro de 8 x 8 casas (de cores alternadas), 2 grupos de 8 peças (1 rei, 1
dama, 2 bispos, 2 cavalos, 2 torres) e 8 peões

Regras:
Coloca-se o tabuleiro de forma que o angulo direito inferior tenha uma casa branca.
Todas as peças podem mover-se para frente ou para trás mas os peões podem
mover-se apenas para frente.
Estes são os movimentos de cada componente:
- rei: move-se apenas uma casa em qualquer direção, incluindo as diagonais;
- dama: é a peça de ataque mais poderosa; pode mover-se em linha reta, em
qualquer direção, inclusive nas diagonais, ao longo das casas que estiverem livres –
reunindo, assim, os movimentos do bispo e da torre;
- bispos: movem-se ao longo das casas livres mas apenas nas diagonais; note que
cada jogador possui um bispo para as casas brancas e outro para as casas pretas;
- cavalos: movem-se em saltos, indo reto 2 casas num sentido qualquer, mais outra
casa para um dos lados, formando um L com seu trajeto; é a única peça que pode saltar
sobre outras;
- torres: movem-se ao longo das casas livres, na horizontal e na vertical.
- peões: tecnicamente, não são considerados peças, sendo chamados de qualidade
(no entanto, para facilitar, chamaremos de peças todos os componentes do jogo);
movem-se apenas para frente; ao fazer o primeiro movimento, cada peão pode avançar
1 ou 2 casas; daí em diante anda apenas 1 casa por vez.
Em cada casa pode haver apenas uma peça. Se um jogador deseja se apoderar de
uma casa ocupada pelo adversário, poderá tomar a peça que ali estiver, tirando-a do
tabuleiro e colocando sua peça no lugar. Não é obrigatório tomar-se peças. As peças
tomadas saem do jogo. Os peões tomam as peças que estiverem nas casas diagonais
logo à sua frente. O rei é a única peça que pode tomar mas não pode ser tomado. A
compreensão dessa regra é fundamental: quando um rei está sendo ameaçado, é
necessário que seja defendido. Se não houver defesa, o jogo termina. Vale dizer: nunca
pode-se tomar o rei adversário de surpresa, como fazemos com as outras peças.
Os peões podem também tomar outros peões de acordo com uma regra especial.
Se, ao sair, um peão avançar 2 casas e, numa coluna vizinha à sua, houver um peão
adversário avançado, este pode comer o primeiro peão en passant, ou seja, na primeira
casa do movimento.
Há uma outra regra especial que diz respeito aos peões. Se um deles chega à última
casa de sua coluna, é coroado ou promovido, podendo transformando-se numa peça
qualquer a escolha do jogador. (Se não houver peças extras, pode-se representar de
forma simbólica. Ex.: uma torre de cabeça para baixo = uma dama).
Outro movimento especial é o roque. Se o rei e uma das torres ainda não houverem
sido movimentados e não houver peças entre eles, pode-se efetuar o roque. O rei, então,
anda 2 casas em direção à torre, enquanto essa salta por sobre o rei e posiciona-se na
casa imediatamente posterior a ele. No entanto, o roque não poderá ocorrer se:
- rei ou torre tenham se movido previamente;
- o rei estiver em cheque;
- o rei, ao executar o movimento, tiver que passar por uma casa em que fique em
cheque (pois o rei nunca pode mover-se para uma casa ameaçada por peça adversária).
Se um jogador ataca o rei adversário com alguma peça, deve anunciar: cheque,
advertindo da ameaça. O adversário poderá evitar o ataque se:
- proteger o rei, colocando uma peça sua entre a peça adversária e seu rei;
- puder tomar a peça adversária que ataca;
- puder fugir com o rei para alguma casa livre vizinha.
Se nenhuma dessas manobras pode ser realizada, o rei encontra-se em cheque
mate e perde a partida.

A partida pode terminar empatada:
- de comum acordo entre os jogadores se ambos, devido à posição de suas peças ou
por não possuírem mais peças suficientes, assim o resolverem;
- quando a luta fica reduzida a um final de rei contra rei, rei e bispo contra rei, rei e
cavalo contra rei, pois é impossível mate com esse material (salvo por engano bisonho
do adversário);
- quando um jogador, tendo apenas o rei para movimentar, não o possa fazê-lo sem
deixar o rei em xeque; chamamos essa situação de tablas por ahogado;
- quando um dos jogadores aplica seguidos e repetidos cheques no adversário; é o
chamado cheque perpétuo;
- quando uma mesma posição se produzir três vezes seguidas durante a partida,
mediante reclamo de um dos jogadores.
I-4 - War
REGRAS DO JOGO
WAR é um jogo criado para ser jogado por 3 e no máximo 6 jogadores. Dificilmente
um jogador conseguirá ganhar o jogo baseado somente na sorte: é necessário uma boa
dose de estratégia para se sair vencedor.
Vence o jogo aquele que atingir o objetivo que lhe couber. Este objetivo só é
conhecido pelo próprio jogador, que em princípio deve usar esta vantagem : a clara
demonstração do seu objetivo dificultará atingi-lo.
Recomenda-se que se tente jogar à medida em que se vai lendo as regras, de modo a
facilitar a compreensão dos mecanismos de WAR.
COMPONENTES DO JOGO
O jogo compõe-se de:
- Um tabuleiro com um mapa contendo 6 continentes, cada um deles dividido em um
determinado número de territórios.
- 6 conjuntos de peças de cores diferentes, que representaram os exércitos dos
jogadores. O valor de cada peça é :
1 ficha pequena = 1 exército
1 ficha grande = 10 exércitos
- 6 caixas plásticas que devem ser destacadas e usadas individualmente.
- 14 cartas especiais : cartas de objetivos
- 44 cartas de jogo, sendo :
42 representando cada um território combinado com uma figura geométrica
(quadrado, triângulo e círculo);
2 coringas (contendo as 3 figuras geométricas).
- 6 dados, sendo :
3 vermelhos usados para os ataques
3 amarelos usados para as defesas

EXÉRCITOS
Cada jogador escolhe o exército da cor que lhe agrade dentro das 6 possíveis
(branco, preto, vermelho, azul, amarelo e verde). Esta escolha pode ser feita por sorteio
ou de comum acordo.
OBJETIVOS
Em seguida à distribuição dos exércitos é feito o sorteio dos objetivos, recebendo
cada jogador 1 objetivo dentre os 14 existentes, tomando conhecimento do seu teor e
evitando revelá-lo aos seus adversários.
É recomendado aos jogadores que estão se iniciando no jogo, que antes do sorteio
seja feita uma leitura de todos os objetivos possíveis.
Obs : no caso do número de jogadores ser inferior a 6, os objetivos relacionados com os
exércitos não participantes devem ser excluídos do sorteio.
DISTRIBUIÇÃO DE TERRITÓRIOS
Cada jogador toma um dado e o lança. Aquele que obtiver o ponto mais alto será o
distribuidor, cabendo-lhe a tarefa de distribuir as cartas-território, começando por si
próprio e seguindo pelo jogador da esquerda (sentido horário).
O distribuidor pegará o conjunto de cartas territórios, retirará os 2 coringas e
distribuirá as cartas até que se esgote todo o baralho (42 cartas).
Nesse momento cada jogador deverá colocar 1 exército da sua cor em cada um dos
territórios recebidos durante o sorteio. Ao final desta operação todos os territórios
estarão ocupados por um exército de algum dos participantes.
Finalmente recolhem-se as cartas-território, recolocam-se os coringas, embaralham-
se as cartas e o jogo está em condições de ser iniciado.
O JOGO
Inicia o jogo o jogador seguinte ao que recebeu a última carta-território.
Cada jogador passa na sua vez, tanto na primeira como em todas as outras rodadas,
pelas seguintes etapas, nesta ordem:
a) receber novos exércitos e os colocar de acordo com a sua estratégia;
b) se desejar, atacar os seus adversários;
c) desloca seus exércitos se houver conveniência e
d) receber uma carta se fizer jus a isto.
Obs. importante : cada fase do jogo está explicada detalhadamente nos itens a seguir.
Quando houver dúvida sobre algumas destas fases, volte e leia novamente a seção
correspondente, onde está a explicação.
RECEBIMENTO DE EXÉRCITOS
O jogador, no início de sua jogada, recebe exércitos da seguinte forma : soma-se o
número total de seus territórios e divide-se por 2, só se considerando a parte inteira do
resultado.
Exemplo: se o jogador possuir 8 territórios, então ele receberá 4 exércitos. Se possuir
11 territórios, receberá 5 exércitos.

O jogador deverá colocar neste momento todos os exércitos recebidos, em um ou
mais de seus territórios, conforme seja a sua estratégia. Em seguida pode-se ou não
atacar algum adversário, tentando conquistar mais territórios.
Se no início da sua vez de jogar o jogador possuir por inteiro um continente, então
ele receberá, além dos exércitos a que fizer jus, outros exércitos de acordo com os
valores da Tabela II, impressa no tabuleiro. Os exércitos recebidos pela posse de um
continente deverão ser distribuídos obrigatoriamente nos territórios do próprio
continente.
Exemplo: supondo-se que o jogador possua 19 territórios, sendo 15 espalhados por
vários continentes e a América do Sul inteira (4 territórios) ele receberá no início de sua
jogada :
número de territórios possuídos : 15 + 4 = 19
número de exércitos a receber : 9 + 2 = 11
sendo que os 2 correspondentes à América do Sul devem ser colocados neste continente.
Obs. 1 : o número mínimo de exércitos a receber é sempre 3, mesmo no caso do jogador
possuir menos de 6 territórios.
Obs. 2 : no início da jogada, o participante deve receber exércitos a partir do número
de territórios possuídos, e conforme for o caso receber mais exércitos se possuir um
continente por inteiro, ou se puder trocar as cartas (explicações na seção conquista de
cartas).
ATAQUES
É necessário que haja pelo menos 1 exército em cada território ocupado. Assim,
para atacar a partir de um território, são necessários ao menos 2 exércitos neste mesmo
território.
O exército de ocupação não tem o direito de atacar.
REGRAS:
1) O ataque, a partir de um território qualquer possuído, só pode ser dirigido a um
território adversário que tenha fronteiras em comum (território contíguo) ou ligado
através de um pontilhado (como a Terra é redonda, pode-se atacar Vladivostok a partir
do Alaska e vice-versa).
2) O número de exércitos que poderá participar de um ataque será igual ao número de
exércitos situados no território atacante menos um, que é o exército de ocupação.
3) O número máximo de exércitos participantes em cada ataque é de 3, mesmo que o
número de exércitos possuídos no território seja superior a 4.
4) Um jogador pode atacar tantas vezes quantas quiser para conquistar um território
adversário, até ficar só um exército no seu território ou, ainda, até quando achar
conveniente não atacar.
5) Na sua vez de jogar, cada participante pode realizar ataques partindo de um ou vários
territórios, de acordo com a sua estratégia. Se ele quiser atacar de mais de um território,
ele deve indicar antes de qual território vai partir o ataque e contra qual território será
feito. Uma vez finalizado o 1o. ataque, poderá iniciar outro ataque a partir do mesmo ou

outro território que lhe pertença.
6) O número de exércitos que a defesa pode usar, em cada batalha, é de no máximo 3 e
no mínimo 1 (podendo utilizar inclusive o exército de ocupação).
7) O jogador atacante jogará com tantos dados quantos forem os seus exércitos
participantes da batalha, o mesmo ocorrendo com o jogador da defesa. Assim, se o
atacante usar 3 exércitos contra um da defesa, ele jogará 3 dados contra um do defensor.
8) Após uma batalha, a decisão de quem ganha e quem perde exércitos é feita da
seguinte forma : compara-se o maior ponto do dado atacante (vermelho) com o maior
ponto do dado defensor (amarelo) e o maior deles ganha, sendo que o empate é sempre
da defesa. Em seguida compara-se o 2o. maior ponto atacante com o 2o. maior do
defensor, e a decisão de vitória é como no caso anterior. Por fim, comparam os menores
valores, baseando-se na mesma regra.
Exemplos
a) No caso do atacante possuir 4 exércitos no seu território e o defensor 3, ambos
poderiam jogar com 3 dados. Supondo-se que o atacante tivesse tirado 5, 4 e 1 e o
defensor 6, 3 e 1 a comparação seria feita da seguinte forma :
Ataque Defesa Vencedor
Maior 5 6 Defesa
2o. 4 3 Ataque
Menor 1 1 Defesa
Como se vê, o atacante teria vencido uma jogada e perdido duas, ou então em outras
palavras, teria perdido 2 exércitos e o defensor 1 exército.
Assim, o território do atacante, que tinha 4 exércitos, passou a ficar com 2 e do defensor
que tinha 3, ficou com 2. Se houvesse interesse, o atacante poderia atacar com 1
exército contra 2 da defesa.
b) Atacante : 3 exércitos - Defesa : 1 exército. O atacante pode jogar 2 dados contra 1 da
defesa. Supondo-se que os pontos tenham sido : ataque 3 e 2; defesa 6, compararia-se o
maior ponto do ataque (3), com o maior ponto da defesa (no caso só um único valor 6).
A vitória caberia à defesa, retirando o ataque uma de suas peças (notar que o atacante
só deve retirar uma peça).
c) Atacante com 10 exércitos e defensor tem 4 exércitos. Nesta caso, como já foi visto,
cada um poderá usar, em cada batalha, um máximo de 3 exércitos. Supondo-se que os
valores dos dados tenham sido :
Ataque: 6, 3 e 2 - Defesa: 5, 4 e 2.
O resultado seria: uma vitória do ataque contra duas da defesa. Portanto restaria ao
atacante 8 exércitos e ao defensor 3. Se o atacante quiser ele pode continuar atacando,
jogando novamente 3 dados contra 3 da defesa.
Supondo-se que os resultados sejam :
Ataque: 5, 3 e 2 - Defesa: 4, 2 e 1

O atacante teria 3 vitórias, devendo a defesa retirar os seus 3 últimos exércitos do
território.
CONQUISTA DE TERRITÓRIOS
Se após a batalha o atacante destruir todos os exércitos do território do defensor, terá
então conquistado o território e deverá, após a conquista, deslocar seus exércitos
atacantes para o território conquistado. Este deslocamento obedece à seguinte regra : o
número de exércitos a ser deslocado neste instante é igual, no máximo, ao número de
exércitos que participou do último ataque. No exemplo b ele poderia deslocar 1 ou no
máximo 2 exércitos, enquanto que no exemplo c ele poderia deslocar, 1, 2 ou no
máximo 3 exércitos.
Se após conquistar um território, o atacante quiser, ele poderá deslocar seus exércitos
para o território conquistado, respeitando a regra anterior, e a partir do território
conquistado realizar novo ataque.
DESLOCAMENTOS
Ao finalizar seus ataques o jogador poderá, de acordo com a sua estratégia, efetuar
deslocamentos de exércitos entre os seus territórios contíguos.
Estes deslocamentos deverão obedecer as seguintes regras:
1) em cada território deve permanecer sempre pelo menos um exército (de ocupação)
que nunca pode ser deslocado;
2) um exército pode ser deslocado uma única vez, isto é, não se pode deslocar um
exército para um território contíguo e deste para outro, também contíguo, numa mesma
jogada.
Por exemplo, supondo-se que o jogador possua o Brasil, a Venezuela e o México, ele
poderá deslocar seus exércitos do Brasil para a Venezuela, mas não poderá deslocar, na
mesma jogada, estes mesmos exércitos da Venezuela para o México.
CONQUISTA DE CARTAS
Se durante a sua jogada, o jogador conseguir conquistar um ou mais territórios, terá
direito a receber uma carta ao final da jogada, após ter realizado os deslocamentos. É
importante notar que, por jogada, só se recebe uma única carta-território. O conteúdo
desta carta deve ser mantido em segredo até o momento apropriado de sua troca.
As cartas-territórios quando devidamente combinadas dão direito, no início da jogada, a
receber um certo número de exércitos de acordo com a Tabela I que está impressa no
tabuleiro.
Exemplo: O primeiro jogador que trocar recebe 4 exércitos; o segundo jogador a trocar
recebe 6, o terceiro 8, etc. As trocas de cartas por exércitos não se referem às trocas do
jogador mais sim às trocas do jogo.
Para se trocar cartas por exércitos, é necessário que o jogador possua no mínimo 3
cartas que obedeçam à seguinte regra de combinação : possuir 3 figuras geométricas
distintas ou então 3 figuras geométricas iguais. No entanto o jogador não é obrigado a
fazer a troca quando tiver feito uma das combinações descritas : isto vai depender do
seu interesse no momento. No caso porém do jogador possuir 5 cartas, ele será
obrigado, na sua vez de jogar, a trocar cartas por exércitos.
Finalmente, se ao trocar as cartas o jogador possuir o território indicado na carta, então

receberá mais 2 exércitos obrigatoriamente colocados naquele território.
Notas:
1) Sendo uma das cartas o coringa, ele sempre possibilitará ao jogador a escolha de
qualquer uma das 3 formas para poder realizar uma troca de cartas.
2) É importante a conquista de uma carta a cada jogada, pois as cartas dão direito ao
recebimento de mais exércitos.
3) As cartas trocadas são colocadas à parte do jogo. Quando todas as cartas tiverem sido
distribuídas, devem ser recolhidas, embaralhadas e recolocadas em jogo, constituindo-se
um novo "monte".
ELIMINAÇÃO DE UM CONCORRENTE
Se durante o transcurso do jogo, um participante destruir por completo um outro,
não sendo este o seu objetivo (caso em que teria ganho o jogo), ele recebe as cartas do
jogador que foi destruído e pode usá-las para troca, combinando ou não com as suas ao
final da sua jogada. Se não o fizer, poderá guardar as caras e usá-las em outra
oportunidade, desde que não guarde mais de 5 cartas.
Por exemplo, supondo-se que o jogador A, que tem 1 carta, destrua o B que possuia 3,
ele poderá por ocasião do fim da sua jogada combinar 4 cartas e conforme o resultado,
trocá-las. No caso de não conseguir trocar como ele conquistou um território, receberá
no final de sua jogada mais uma carta, e no início da sua próxima jogada poderá trocar
as cartas.
FINAL DO JOGO
O jogo termina quando um jogador lograr atinge o seu objetivo. Neste momento ele
deverá mostrar a sua carta-objetivo, comprovando sua vitória.
RESUMO DAS FASES DO JOGO
Em cada vez de jogar, o participante pode :
1o. RECEBER NOVOS EXÉRCITOS em função dos territórios possuídos
2o. COLOCAR ESTES EXÉRCITOS, de acordo com a sua estratégia
3o. EFETUAR OS SEUS ATAQUES
4o. DESLOCAR SEUS EXÉRCITOS, se desejar
5o. RECEBER UMA CARTA-TERRITÓRIO, se conseguir conquistar ao menos um
território
I-5 - Banco Imobiliário.
Para 2 a 6 jogadores.

O jogo contém:
24 casas plásticas
10 hóteis plásticos
24 títulos de propriedade
30 cartas SORTE-REVÉS
6 peões. 2 dados. 280 notas.
1 tabuleiro.
Como jogar:
1. O primeiro jogador lança os 2 dados, conta o total de pontos sorteados e avança com
o seu peão no sentido da seta , pelo mesmo número de espaços.
OBS: toda vez que você tira uma dupla nos dados, jogue os dados de novo, logo em
seguida.
Se você tirar uma dupla novamente, jogue os dados mais uma vez. Mais cuidado! Se
você tirar a dupla pela terceira vez, vai direto para a prisão! Aí , coloque o seu peão no
espaço amarelo PRISÃO.
2. Como sair da prisão.
Enquanto você estiver na prisão não poderá andar com o seu peão! Mais tem um jeito de
sair da prisão: é só tirar uma dupla nos dados! Aí, ande o número de espaços dos dois
dados e continue jogando normalmente. Se a dupla não sair até a quarta rodada em que
você jogar os dados, enquanto estiver na prisão, você tem que pagar 50 ao banqueiro,
para ficar livre. Depois ande o número de pontos que você tirou nos dados.
Se você tiver a carta SAÍDA LIVRE DA PRISÃO pode sair imediatamente!
3. Agora preste atenção no que você vai fazer conforme o espaço em que for parando
com o seu peão:
* TERRENOS OU COMPANHIAS:Você pode comprar o terreno ou a companhia pelo
preço indicado no tabuleiro. O banqueiro lhe dará o título de propriedade
correspondente.
* SORTE-REVÉS: Tire uma carta e execute a ordem imediatamente. Depois devolva
a carta para debaixo do baralho. A única carta que não será devolvida é a carta SAÍDA
LIVRE DA PRISÃO até que você precise dela.
* LUCROS OU DIVIDENDOS: Você ganha uma quantia marcada no tabuleiro.
* IMPOSTO DE RENDA: Pague ao banqueiro a quantia marcada no tabuleiro.
* PONTO DE PARTIDA: Toda vez que você parar ou passar no ponto de partida ganha
200.
4.Agora você vai saber o que pode fazer com os terrenos e companhias que for
comprando.
TERRENOS OU COMPANHIAS COM DONO
Toda vez que você parar num terreno ou companhia que já tenha dono,terá que pagar a
ele a quantia marcada no título de propriedade.
Se for terreno, , pague a quantia indicada em aluguel.
Se for companhia, pague a quantia indicada em taxa.
CONSTRUÇÕES
Quando você tiver pelo menos dois terrenos da mesma cor, poderá começar a construir
até 4 casas em cada terreno.
Se você quiser construir um hotel, terá primeiro que construir 4 casa no mesmo terreno,
e depois vendê-la ao banqueiro pela metade do preço. Para construir o hotel, você tem
que pagar ao banqueiro a quantia indicada no título de propriedade.
TROCAS E VENDAS

Sempre que interessar, você pode trocar ou vender seus terrenos sem construção ou
companhias para outro jogador. E vocês dois decidem o preço. Caso você queira trocar
ou vender um terreno, com construção, terá antes que vender as casas deste terreno para
o banco. Mas, não se esqueça: o banco só lhe pagará a metade do preço.
HIPOTECAS
Quando você precisar de dinheiro, pode hipotecar seus terrenos ou companhias no
banco.
O banqueiro ficará com seu título e pagará o valor correspondente a hipoteca.
Para receber de volta o seu terreno ou companhia, você terá que pagar ao banqueiro o
valor da hipoteca mais 10%.
QUANDO O DINHEIRO ACABA
1. Venda suas casas e hotéis ao banco pela metade do preço. Se, depois disso, você
ainda precisar de dinheiro, passe para o próximo negócio e assim por diante, até
conseguir todo o dinheiro.
2. Hipoteque ou venda os terrenos sem construção ou companhias.
FIM DO JOGO
O jogo termina quando o segundo jogador for a falência, ou seja, se não tiver dinheiro
para pagar sua dívida.
QUEM GANHA O JOGO
Todos os jogadores contam seus valores: dinheiro, terrenos e companhias, casa e hotéis.
Se você ainda tiver algum terreno ou companhia hipotecados, acerte com o banqueiro.
O jogador mais rico será o grande vencedor!
EMPATE
Quando mais de um jogador ficar em primeiro lugar com o mesmo total de valores, cada
um deles deve tirar um cartão da SORTE para decidir quem será o vencedor.

Anexo II : ALGUNS JOGOS EDUCATIVOS USADOS NO ENSINO DA
MATEMÁTICA.
II-1 - BLOCOS LÓGICOS.
Com os blocos lógicos é possível, por exemplo, ensinar operações básicas para a
aprendizagem da Matemática, como a classificação e a correspondência. Essa ajuda
certamente vai facilitar a vida de seus alunos nos futuros encontros com números,
operações, equações e outros conceitos da disciplina.
Um jogo de blocos lógicos contém 48 peças divididas em três cores (amarelo, azul e
vermelho), quatro formas (círculo, quadrado, triângulo e retângulo), dois tamanhos
(grande e pequeno) e duas espessuras (fino e grosso). As peças podem ser de madeira ou
cartolina, sem medidas padronizadas. Antes de começar, combine com as crianças uma
convenção para indicar separadamente cada atributo das peças (veja abaixo). Esses
códigos farão as crianças pensar nos atributos dos blocos, sem a necessidade de tê-los à
mão. Um exercício que vai estimular o raciocínio abstrato.
II-2 - ESCALA CUISENAIRE.
CUBOS E BARRAS DE CORES
Este material pedagógico foi concebido por Georges Cuisenaire, professor do ensino
primário Belga, que perante as dificuldades das crianças em aprender matemática e a
sua facilidade na aprendizagem da música, resolveu criar qualquer coisa de manipulação
prática que para a matemática correspondesse aos instrumentos para a música.
Durante muitos anos, não só este material como outros trabalhos pedagógicos deste
professor, não receberam qualquer interesse por parte dos seus colegas e compatriotas,
sendo quase desconhecidos fora da localidade de Thim, até que, em 1953, um professor
espanhol, Caleb Cattegno, promove a sua divulgação a nível internacional.
Os Cubos e Barras de Cores aparecem, porém, em Portugal, apenas em 1961, trazidos e
divulgados por António Nabais, depois de os ter experimentado no colégio que então
dirigia.

Trata-se de um material colorido e atrativo, fácil de manipular pelas crianças e através
do qual elas vão, gradual e sistematicamente, construindo mentalmente as suas noções
matemáticas.
Baseando-se num sistema de relações entre cores e comprimentos de cubos e barras,
aparece construído em diferentes tamanhos, em madeira, em plástico e mesmo com a
forma de encaixe (tipo Leggo).
Consoante o fabricante, assim aparecem caixas com maior ou menor número de cubos e
barras, mas o conceito base das correspondências tamanho-cor é o seguinte:
- Cubo branco (unidade);
- Barra encarnada = 2 cubos brancos;
- Barra verde = 3 cubos brancos;
- Barra rosa = 4 cubos brancos;
- Barra amarela = 5 cubos brancos;
- Barra verde-escura = 6 cubos brancos;
- Barra preta = 7 cubos brancos;
- Barra castanha = 8 cubos brancos;
- Barra azul = 9 cubos brancos;
- Barra laranja = 10 cubos brancos.
Figura 3 - Cubos e Barras de Cores
Há algum vocabulário que é próprio à atuação com os Cubos e Barras de Cores:

- Escada: a sucessão de cubos e barras, fazendo uma escada;
- Tapete: conjunto de todas as associações possíveis
relativamente a uma peça;
- Comboio: apenas uma fila desse Tapete;
- Carruagem: cada uma das peças que constitui o combóio.
Os Cubos e Barras de Cores foram concebidos para serem apenas utilizados no âmbito
da metodologia de manipulação de objetos, no entanto, para uma maior eficácia,
poderemos fazê-los anteceder por atividades de Movimento e efetuar, como evolução
seqüencial, problemas para resolução apenas com o Pensamento.
II-3 - ÁBACOS E CALCULADOR MULTIBÁSICO
Uma das mais antigas formas de efetuar cálculos matemáticos recorrendo à
manipulação de objetos, parece ter sido o ábaco.
Segundo Moon (1971) e Pullan (1969), cerca de 2.000 anos a.C. os chineses, não
possuindo ainda a geometria (que viria a ser o forte dos gregos) possuíam já a aritmética
e a álgebra bem desenvolvidas, parecendo incluir mesmo algo muito próximo do
teorema binomial, embora não tivessem demonstrado qualquer interesse pela teoria
geral das equações. Entre os dispositivos inventados para efetuar cálculos, os chineses
teriam a vara de contagem e o ábaco, cujo mais antigo que foi encontrado data desta
época, sendo construído em barro.
É possível que desde tempos ainda mais remotos o homem tivesse recorrido à execução
de sulcos em pedras ou troncos para efetuar contagens, nomeadamente a passagem dos
dias, tendo daqui derivado a vara de contagem, constando de um pau tendo enfiadas
argolas que se fazem deslizar para o extremo oposto, conforme a contagem.
Os ábacos não são mais do que a associação paralela destes enfiamentos, sendo os mais
antigos compostos por uma série de sulcos paralelos na areia, dentro dos quais eram
colocadas pedras. Mais tarde passou a ser usada uma placa ou quadro (em grego "abax",
donde deriva o atual nome) que podia ser transportado e sobre o qual se poderiam
dispor as pedras ao longo de linhas paralelas.
Em tempos posteriores, o ábaco é composto por pequenas bolas ou aduelas possuindo
um furo no meio, que lhes permite deslizar ao longo de eixos, de madeira ou arame,
dispostos paralelamente numa moldura de madeira.
O valor correspondente a cada uma destas marcas é determinado não pela sua forma,
mas pela sua posição. Uma marca na primeira linha poderá ter o valor de 1, duas o valor
de 2 e assim sucessivamente, até se atingir o valor de 10. Nessa altura, recolocam-se
todas as marcas no início da linha e na linha seguinte afasta-se 1 marca, possuindo esta
o valor de 10. Cada marca da terceira linha terá o valor de 100, as da quarta linha o

valor de 1.000 e assim sucessivamente. 123, por exemplo, corresponderá a 3 marcas da
primeira linha, 2 marcas da segunda linha e 1 marca da terceira linha.
Figura 1 - Ábaco
Embora os ábacos trabalhem geralmente nesta base 10 (1 marca vale 10 da linha
anterior), podem também trabalhar em qualquer outra base. Por exemplo, na base 2,
cada marca de uma linha vale 2 da linha anterior. Ainda há poucos anos, os Balantas da
Guiné usavam a base 5 nas suas operações com ábacos, constituídos por pequenas
pedras arredondadas distribuídas em grupos de 5 por pequenas covas na areia ou em
placas de madeira.
Leonardo de Pisa, também conhecido por Leonardo Fibonacci (1170 - 1240), o primeiro
grande matemático da Europa Cristã, a quem se deve a reativação das matemáticas
antigas e outras perspectivas suas, tão importantes como a "sequência Fibonacci", para
além da introdução dos símbolos Hindo-Arábicos e do uso de 10 símbolos, dedicou uma
obra exclusivamente ao uso do ábaco ("Liber Abbaci", 1202).
A "máquina de cálculo digital" de Pascal (1642) e a máquina de somar de Leibniz
(1694) basearam-se nos princípios de funcionamento dos ábacos, tendo evoluído para o
calculador mecânico de Thomas (1820), para os eletrônicos e para o computador dos
nossos dias.
O Calculador Multibásico
Parece ter sido o português António Nabais quem concebeu o Calculador Multibásico,
como uma forma mais completa de ábaco, especialmente destinado ao uso das crianças
dos primeiros anos de escolaridade.

O Calculador Multibásico é constituído por um conjunto de três placas, com cinco
orifícios cada, e um conjunto de cinqüenta peças em seis cores diferentes:
10 AMARELAS - 13 VERDES - 13 ENCARNADAS - 10 AZUIS - 2 COR-DE-
ROSA - 2 COR DE LILÁS
Estas peças encaixam umas nas outras, bem como nos orifícios das placas, formando
"torres", funcionando como um ábaco mas com funções mais alargadas.
Figura 2 - Calculador Multibásico.
O Calculador Multibásico tem essencialmente por objetivo a concretização de vários
capítulos da aritmética, em especial as classes e ordens de numeração em diferentes
bases e o cálculo elementar, podendo combinar as quatro operações.
Dentro de perspectiva pedagógica que refere que a ação leva à compreensão, a
utilização dos Calculadores Multibásicos deverá ser precedida por jogos efetuando
operações aritméticas de movimentação corporal e seguida por operações usando
exclusivamente o pensamento.
II-4 - MATERIAL DOURADO
O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a
aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar
as operações fundamentais (ou seja, os algoritmos).
No ensino tradicional, as crianças acabam "dominando" os algoritmos a partir de treinos
cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem. Com o Material Dourado a
situação é outra: as relações numéricas abstratas passam a ter uma imagem concreta,

facilitando a compreensão. Obtém-se, então, além da compreensão dos algoritmos, um
notável desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável.
O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela médica e
educadora italiana Maria Montessori.
O material Dourado ou Montessori é constituído por cubinhos, barras, placas e
cubão, que representam:
Observe que o cubo é formado por 10 placas, que a placa é formada por 10
barras e a barra é formada por 10 cubinhos. Este material baseia-se em regras do
nosso sistema de numeração.
Veja como representamos, com ele, o número 265:
Este material pedagógico, confeccionado em madeira, costuma ser
comercializado com o nome de material dourado. Você pode construir um
material semelhante, usando cartolina. Os cubinhos são substituídos por

quadradinhos de lado igual a 2 cm, por exemplo. As barrinhas são substituídas
por retângulos de 2 cm por 20 cm a as placas são substituídas por quadrados de
lado igual a 20 cm.
Embora seja possível representar o milhar, vamos evitá-lo trabalhando com números
menores.
Damos a seguir sugestões para o uso do Material Dourado Montessori.
As atividades propostas foram testadas e mostraram-se eficazes desde a primeira até a
quinta série. Muitas delas foram concebidas pelos grupos de alunos, recomendando-se
que os grupos não tenham mais do que 6 alunos.
O professor, com o conhecimento que tem de seus alunos, saberá em que série cada
atividade poderá ser aplicada com melhor rendimento. Várias das atividades podem ser
aplicadas em mais de uma série, bastando, para isso, pequenas modificações.
Utilizando o material, o professor notará em seus alunos um significativo avanço de
aprendizagem. Em pouco tempo, estará enriquecendo nossas sugestões e criando novas
atividades adequadas a seus alunos, explorando assim as inúmeras possibilidades deste
notável recurso didático.
II-5 - TANGRAN
Quebra-cabeça de origem chinesa praticado há muitos séculos em todo o Oriente.
Segundo a lenda, o jogo surgiu quando um monge chinês deixou cair uma porcelana
quadrada, que partiu-se em sete pedaços – daí seu nome, que significa “tábua das sete
sabedorias” ou “tábua das sete sutilezas”
II-6 - PENTAMINÓS.
Pentaminós é um fantástico quebra-cabeças que se presta a infindáveis desafios. Ele faz
parte de uma família de jogos, os Poliminós, da qual também fazem parte o dominó
(que talvez devesse chamar-se diminó) e o tetris, aquele famoso videogame. O texto a
seguir foi extraído do livro Divertimentos Matemáticos, de Martin Gardner e é uma
ótima introdução ao universo dos Poliminós. Apesar de ter sido escrito nos anos 50,
continua atual e nos ajuda a melhor admirar a beleza geométrica que as combinações de
suas peças possibilitam.

O termo poliminó foi apresentado por Solomon W. Golomb, matemático chefe do
Laboratório de Jato Propulsão do Instituto de Tecnologia da Califórnia. Em seu artigo
Tabuleiros de xadrez e poliminós (publicado no American Mathematical Monthly de
1954, quando Golomb era um estudante de 22 anos em Harvard) ele definiu poliminó
como um conjunto de quadrados em ligação simples. Entende-se por isso um conjunto
de quadrados unidos pelas arestas. Um jogador de xadrez poderia dizer, escreveu
Golomb, que eles são unidos no sentido da torre, porque esta vai de um quadrado para
outro em número finito de movimentos. A figura 1 mostra um monominó e todas as
variedades de poliminós com dois, três e quatro quadrados ligados.
1 4
2
3
Figura 1
Há um único tipo de dominó, dois triminós e cinco tetraminós. Já com os
pentaminós o número pula a doze.

Figura 2
Voltando aos pentaminós da figura 2, logo surge a pergunta: será que essas doze formas
e mais um tetraminó quadrado formam um tabuleiro de xadrez de oito por oito? A
primeira solução a ser publicada apareceu no The Canterbury Puzzles de Henry
Dudeney, em 1907. Nessa solução o quadrado ocupa uma posição lateral. Há cerca de
vinte anos atrás, os leitores de uma publicação britânica, bastante modesta, chamada
The Fairy Chess Review (xadrez fairy é xadrez jogado com regras, tabuleiros e peças
incomuns) começaram a estudar o problema de Dudeney e outros, também de
poliminós.
Também é possível ajustar esses doze pentaminós em retângulos de 6 x 10, 5 x
12, 4 x 15 e 3 x 20 (ver fig. 8). O 3 x 20 , sem dúvida o mais difícil, foi deixado em
branco como convite ao interessado. Só há duas soluções possíveis, sem contar as
inversões e rotações.
Figura 8
Note-se, ainda, que a solução em retângulo 5 x 12 na fig. 8 é, por sua vez, uma
combinação de dois outros retângulos, ou melhor, um quadrado de 5 x 5 e um retângulo

5 x 7. Vários leitores descobriram os dois retângulos da fig. 9, que podem ser
combinados para formar um retângulo de 5 x 12 ou de 6 x 10.
Figura 9
Raphael M. Robinson, professor de Matemática da Universidade da Califórnia,
sugeriu há pouco tempo o que ele chama de problema da triplicação. Escolhe-se um
pentaminó e depois procura-se construir, com nove dos restantes, um modelo em maior
escala do tipo escolhido. Este terá o triplo do tamanho do primeiro. Joseph B. Tucker,
(...), teve a mesma idéia após a leitura da discussão sobre poliminós apresentada por
seus alunos. Ele tem nos enviado muitas soluções excelentes, duas das quais são vistas
na fig. 75. Há soluções de triplicação com todas as doze peças.
Figura 10
Problemas mais ou menos parecidos têm sido propostos pelos leitores. Harry
Brueggemann, de San Marino, Califórnia, sugeriu o que ele chamou de problema do
duplo duplo. O primeiro passo é formar uma figura qualquer utilizando dois
pentaminós. A seguir, duplicá-la com outras duas peças. Finalmente, as oito peças
restantes serão usadas para formar um modelo semelhante, mas com o dobro do
tamanho. A fig. 11 mostra uma solução típica.

Figura 11
Paul J. Slate, de West Orange, New Jersey, propôs usar as doze peças para
formar um retângulo de 5 x 13 com um buraco em forma de uma dessas peças. Uma
dessas soluções é vista na fig. 12.
Figura 12

II-7 - MANCALA
Os registros mais antigos desse jogo remontam ao Egito dos faraós: tabuleiros da
mancala foram encontradas em tumbas com seis mil anos de idade. Atualmente, elas são
muito populares em toda a África e em diversos pontos da Ásia. Cada lugar tem seu
modo próprio de jogar a mancala. São conhecidas cerca de 200 variações desse jogo.
Também conhecido como Jogo da Semeadura, o tabuleiro de mancala
representa um campo com covas (que chamaremos de casas) onde serão plantadas as
sementes, que são as peças do jogo. Pode-se usar como peças: pedras, botões, contas
ou, mesmo, sementes.
O número de casas difere de uma variante para outra; além disso, podem existir
covas especiais que funcionam como armazéns. Também variam: o número de
jogadores, a quantidade de sementes e as regras de plantio e colheita das sementes são
diferentes em cada variante - algumas são francamente capitalistas, buscando o mero
acúmulo de material; outras são mais solidárias, obrigando o jogador a doar sementes
para o adversário que ficar sem nenhuma.
A figura mostra o modelo de tabuleiro mais difundido. Ele é colocado de través
entre os adversários; o campo de cada um consiste nas seis casas à sua frente, mais o
armazém (a casa maior) à sua direita.
Kalah (Variante do Mancala)
Variante bastante praticada na Argélia e em todo norte da África.

Inicialmente, distribui-se 3 sementes em cada casa; os armazéns ficam vazios.
Uma jogada consiste em pegar todas as sementes de qualquer casa de seu próprio
território, exceto do armazém, e semeá-las em sentido anti-horário (ou seja, em direção
ao seu armazém), colocando uma semente em cada uma das casas seguintes, incluindo o
seu armazém e as casas do adversário. Nunca se semeia, porém, o armazém do
adversário.
Sempre que a última semente cai em seu armazém, você tem direito a fazer novo
lance.
Figuras 2 (acima) e 2a (abaixo)
Sempre que a última semente cai numa casa vazia de seu próprio território, capture
todas as sementes que estiverem na casa adversária frontal. Elas serão colocadas em seu
armazém, junto com a semente que fez a captura.

Figuras 3 (acima) e 3a (abaixo)
A jogada termina quando a última semente cai:
• Em qualquer casa já ocupada, exceto o seu armazém;
• Numa casa vazia do adversário;
• Quando houver captura.
A vez passa, então, para o oponente.
A partida termina quando:

• todas as peças de um jogador forem capturadas ou
• um dos jogadores não tiver mais sementes em suas casas pequenas. Nesse caso,
as sementes que ainda estiverem nas casas do adversário ficam para ele.
• Vence o jogo quem tiver o maior número de sementes em seu armazém.

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