Este documento apresenta uma pesquisa sobre o uso do origami como instrumento de ensino-aprendizagem da geometria no ensino fundamental. A pesquisa foi realizada na Escola Municipal Professora Alice Lopes Maia em Filadélfia e teve como objetivo proporcionar uma aprendizagem significativa de geometria por meio das dobraduras. A pesquisa aborda os fundamentos teóricos do origami e da aprendizagem significativa e descreve a metodologia qualitativa utilizada. Os resultados apontam que o trabalho com dobraduras foi posit

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS
VII
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
O ORIGAMI COMO INSTRUMENTO NO ENSINO-APRENDIZAGEM
DE GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL
MAGALY LIMA MACEDO
Senhor do Bonfim
2007.

2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO
CAMPUS VII – SENHOR DO BONFIM
MAGALY LIMA MACEDO
O ORIGAMI COMO INSTRUMENTO NO ENSINO-APRENDIZAGEM
DE GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL
Monografia apresentada como parte
das exigências de conclusão do curso
de Licenciatura Plena em Matemática
pelo Departamento de Educação
Campus VII.
Orientadora: Profª. Alayde Ferreira
dos Santos.
Senhor do Bonfim
2007.

3. MAGALY LIMA MACEDO
O ORIGAMI COMO INSTRUMENTO NO ENSINO-APRENDIZAGEM
DE GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL
Monografia apresentada como parte
das exigências de conclusão do curso
de Licenciatura Plena em Matemática
pelo Departamento de Educação
Campus VII.
Aprovada em:______________ de ________________________ de 2007.
________________________________ ___________________________
Profª (Avaliadora) Prof. (Avaliador)
_________________________________
Profª. Alayde Ferreira dos Santos
Orientadora

4. Aos meus familiares que incon-
dicionalmente contribuíram pa-
ra que este trabalho fosse con-
cluído.

5. AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela existência e a benção de nos guiar nessa trajetória em
busca de mais conhecimento.
A minha mãe Iraci Lima Macedo pelo eterno amor e carinho e aos meus ir-
mãos Magnólia, Magalhon e Joaquim pelo incentivo e apoio para que pudesse con-
tinuar firme.
A Márcio Oliveira meu confidente, pela compreensão nos momentos de au-
sência.
Agradeço a professora Alayde pelo incentivo e paciência para conclusão des-
te trabalho.
A todos os amigos pela força e incentivo a persistir na luta vitoriosa por mais
este degrau. Em especial aos amigos: Adriano, Antônia Cristiana, Carla Catarina,
Edivânia, Elioneide, Isnáia, Normeide e Vânia Marta pelas palavras encorajado-
ras e esforços mútuos.
Aos meus companheiros de jornada profissional da Escola Municipal Alice Lopes
Maia em Filadélfia, pela enorme colaboração.

6. “Atribuo especial importância à
visão que tenho da Geometria,
porque sem ela eu não teria si-
do capaz de formular a Teoria
da Relatividade.”
Albert Einstein.

7. RESUMO
Esta pesquisa monográfica apresenta um estudo voltado para o Origami, ten-
do como objetivo uma aprendizagem significativa através das dobraduras, usadas
como instrumento metodológico no ensino da matemática, incluindo neste o conteú-
do de geometria. Foram aplicadas na Escola Municipal Professora Alice Lopes Maia
em Filadélfia. Na abordagem teórica foram comentados alguns temas de teóricos
para melhor fundamentar esta pesquisa tais como: D’Ambrósio (1997); Aschenbach
(1997), Fonseca, et al (2001) dentre outros. A metodologia relata o desenvolvimento
das atividades, o papel do professor e o desempenho do aluno. Sendo assim, trata-
se de uma pesquisa qualitativa pela forma como foi aplicada, pela flexibilidade e vi-
vência dos alunos, que possibilitou fazer uma análise e interpretação dos dados.
Nos resultados, enfocamos a importância de trabalhar a prática em geometria atra-
vés das dobraduras, como recurso educacional. Buscou-se nesta alternativa possibi-
lidades de adaptar sua aplicabilidade nas outras áreas do conhecimento, gerando
um senso crítico por meio desta abordagem e contribuindo para uma mudança na
postura do docente.
Palavras – chave: Geometria; Dobraduras; Aprendizagem significativa.

8. LISTA DE FIGURAS
Figura 01 – Linha reta .......................................................................................... 35
Figura 02 – Reta perpendicular ............................................................................ 36
Figura 03 – Reta paralela ..................................................................................... 36
Figura 04 – Retângulo .......................................................................................... 37
Figura 05 – Quadrado ........................................................................................... 37
Figura 06 – Octógono ............................................................................................ 38
Figura 07 – Triângulo eqüilátero ............................................................................ 38
Figura 08 – Hexágono regular ................................................................................39
Figura 09 – Origami comum .................................................................................. 39
Figura 10 – Origami tradicional.............................................................................. 40

9. SUMÁRIO
INTRODUÇÃO......................................................................................................... 10
CAPÍTULO I – PROBLEMATIZAÇÃO
1.1 – Reflexão sobre o problema do ensino em Geometria e a construção
de uma aprendizagem significativa ..................................................................13
CAPÍTULO II - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 – Geometria – Aspectos Históricos e Diretrizes...................................................18
2.2 - A origem do Origame e sua utilização Pedagógica .........................................28
2.3 - Aprendizagem Significativa e as dobraduras como recurso
metodológico.....................................................................................................31
CAPÍTULO III - METODOLOGIA
3.1 - Pesquisa qualitativa como método na Escola Professora Alice Lopes
Maia...................................................................................................................42
3.2 - Sujeitos da Pesquisa ........................................................................................44
3.3 - Local da Pesquisa ............................................................................................45
CAPÍTULO IV - ANÁLISE E DISCUSSÃO DE DADOS
4.1 - A Escola e sua Prática Pedagógica .................................................................46
4.2 - Docentes e o ensino com dobraduras ..............................................................48
4.3 - A receptividade dos discentes frente às dobraduras ...................................... 51
CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................56
REFERÊNCIAS .............................. ..........................................................................58
APÊNDICES

10. INTRODUÇÃO
Comumente ouvimos dizer que a Matemática faz parte do nosso cotidiano e
constatamos que os seres humanos diariamente convivem com sua presença em
diversos campos de suas atividades. Vivemos enfim, em sociedades “matematiza-
das”, ou seja, portadoras de inúmeras aplicações práticas dos conhecimentos ma-
temáticos.
Segundo Ubiratan D’Ambrósio 1997, (apud VITTI, 1996), “o ensino da Mate-
mática tem sido traumatizante. Disciplina básica nos currículos de todos os graus em
todo o mundo, por várias razões a Matemática é considerada difícil por muitos, de-
sinteressante por outros, até inacessível para muitos”. No entanto é unânime a opi-
nião de que Matemática é fundamental e qualquer proposta para melhorar seu ensi-
no é sempre bem vinda.
No âmbito escolar, tal como se dá na compreensão da língua escrita e oral, o
aluno precisa praticar matemática. Saber sobre os seus usos, para que servem, co-
mo organizar, onde pode ser encontrada e principalmente de que maneiras aplicar.
Apesar de todo esse conhecimento sobre a importância da matemática, ainda é alto
o índice de reprovação e exclusão por conta do baixo nível de aprendizagem, cau-
sando uma situação “traumatizante” para a maioria dos alunos.
Surge daí a intenção desta pesquisa, numa proposta metodológica que pro-
porcione prazer no ensino de Matemática em atividades de Geometria através das
dobraduras. Antes, buscamos mostrar o papel que a Geometria desempenha no en-
sino fundamental, porque se ensina geometria e qual o conhecimento dos professo-
res em relação a este conteúdo.
É comum observarmos enquanto professor, que a geometria tem tido pouco
destaque nas aulas de matemática. Faz-se necessário então, um trabalho que mo-
difique esta realidade, novas tentativas para melhoria do ensino de geometria. Prio-

11. rizamos este trabalho de geometria com dobraduras, pela experiência que tivemos
com alunos da Escola Municipal Professora Alice Lopes Maia, localizada em Filadél-
fia, como proposta de compartilhar e enriquecer o cotidiano de outros profissionais
que atuam nesta área.
Assim, através desta pesquisa monográfica, almejamos motivar a ação peda-
gógica do educador, em conseqüência, atingir positivamente a ação do educando,
contribuindo para a formação e transformação do ensino-aprendizagem.
A estrutura deste trabalho está distribuída em quatro capítulos que segue:
No primeiro capítulo apresentamos uma explanação sobre a escolha do tema
– Origami em Geometria; toda problematização, os questionamentos, conceitos nor-
teadores, objetivos e sua importância para uma aprendizagem significativa.
No segundo capítulo fazemos uma abordagem dos aspectos históricos do
ensino de Geometria e as diretrizes que norteiam a disciplina. Como as dobraduras
influenciam nas formas geométricas, sua utilização pedagógica e os recursos pluri-
sensoriais para uma aprendizagem que possibilite uma nova visão na relação ensi-
no-aprendizagem. Fundamentado nossa pesquisa reunimos autores como
D’Ambrósio (1996); Aschenbach (1997); Vitti (1996); Ludke (1986) e outros, que a-
través de suas pesquisas neste campo nos foram de grande valia e enriqueceram as
colocações expostas aqui.
O terceiro capítulo explana a metodologia utilizada para melhor compreender
este tema. Trata-se de uma metodologia qualitativa, para tanto, dados foram colhi-
dos para melhor estruturar nosso trabalho, realizados com alunos e professores do
ensino fundamental do Colégio Municipal Professora Alice Lopes Maia.
No quarto capítulo os dados foram analisados e interpretados para responder
as questões levantadas. Buscamos vivenciar o trabalho com as dobraduras e con-
frontar com as pesquisas dos especialistas. Na prática tomamos a ação de aplicar o
método com dobraduras através de uma oficina que favorecesse o material concre-

12. to. Utilizamos também questionários direcionados para alunos e professores, bem
como entrevista com professores que ministram esta disciplina.
Por último as considerações finais, onde retomamos a questão da importância
que é trabalhar Geometria através das dobraduras, como meio lúdico eficaz para o
ensino-aprendizagem, conforme nossos objetivos.
A intenção não é oferecer uma “receita pronta”, mas, sobretudo, o de desper-
tar a atenção dos professores para a necessidade de numa ação pedagógica reflexi-
va, tendo como referências pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem da matemá-
tica, tornar o ensino de geometria prático e acessível, para que os alunos possam
atuar não apenas como executores de tarefas, mas adquirir habilidade e compreen-
são no que está atuando e vivenciando.

13. CAPÍTULO I
PROBLEMATIZAÇÃO
1.1 - REFLEXÃO SOBRE O PROBLEMA DO ENSINO EM GEOMETRIA E A
CONSTRUÇÃO DE UMA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA.
Muitos pesquisadores universitários no Brasil tem apresentado trabalhos so-
bre as questões envolvendo o ensino da Geometria que tem contribuído para ame-
nizar o entrave que este ensino apresenta. A título de exemplo, professores da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, desenvolveram em 2004 um Projeto
de Pesquisa financiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São
Paulo (FAPESP), que teve como objetivo investigar questões relacionadas à apren-
dizagem da geometria no ensino fundamental e reconhecer as representações dos
professores dessas séries no que se refere ao papel da geometria no processo de
formação do aluno.
Os resultados sempre mostram que, apesar de a geometria ser um ramo im-
portante da Matemática, por servir principalmente de instrumento para outras áreas
do conhecimento, professores do ensino fundamental demonstram problemas rela-
cionados tanto ao seu ensino quanto à sua aprendizagem.
Muitos professores quando questionados a respeito do ensino de geometria,
solicitam cursos de extensão que priorizem reflexões de suas práticas pedagógicas.
Diagnósticos dessa situação sempre foram discutidos em meios acadêmicos e até
mesmo em instâncias governamentais.
Para Almouloud et al, 2004, o problema vai desde o sistema educacional bra-
sileiro que permite que cada escola defina seus conteúdos, até a formação dos pro-
fessores que ainda é precária, pois os cursos de formação inicial não contribuem
para uma reflexão mais profunda a respeito do ensino e aprendizagem em geome-
tria. E cita:

14. “A maioria dos professores do ensino fundamental e do ensino médio não
está preparada para trabalhar segundo as recomendações e orientações
didáticas e pedagógicas dos PCN”. (2004, p. 99).
A Secretaria de Ensino Fundamental do Ministério da Educação (MEC), por
meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998), aponta a necessidade de
uma revisão dos modelos de formação de professores para a efetiva implantação de
novas alternativas que complementam tais diagnósticos e provocam discussões a
respeito do que, como e quando ensinar determinado conteúdo.
De acordo com Pavanello (2002), há muito tempo a comunidade da Educação
Matemática vem insistindo que a aprendizagem da matemática “não deve e não po-
de” ficar limitada ao manejo de fórmulas, ao saber fazer contas ou ao assimilar a
resposta correta de uma questão, e acrescenta:
“.. Mais do que tudo o ensino da Matemática deve conduzir à interpretação
de enunciados, à criação de significados, à construção de instrumentos
para a resolução de problemas. Sua meta deve ser o desenvolvimento do
raciocínio lógico, da capacidade de abstrair, generalizar, projetar, transce-
der o que é imediatamente sensível.” ( São Paulo, p.16)
Portanto os alunos necessitam vivenciar todo o universo que os cercam, as
formas e as imagens que os rodeiam permanentemente. Devem ter a oportunidade
de integrar-se ao “mundo” dos objetos, a fim de capacitar-se para fazer associações,
transferências. Adquirindo mecanismos interpretativos e formadores de conceitos e
imagens mentais.
Segundo Barbosa (2003, p. 28), o estudo da Geometria, além de ter como
objetivo primordial a “formação integral do educando”, deverá também, induzir o alu-
no ao entendimento de aspectos espaciais desenvolver no mesmo a capacidade de
ler e interpretar “argumentos matemáticos” através de conceitos, proporcionar ao
aluno meios de estabelecer o conhecimento necessário para auxiliá-lo no estudo de
ramos da Matemática e de outras disciplinas, visando uma interdisciplinaridade di-
nâmica e efetiva, desenvolver habilidades que favoreça a construção do seu pensa-
mento lógico, preparando-o para estudos mais avançados em outros níveis de esco-
laridade.

15. É comum às vezes professores realizarem atividades com alunos, que são
encaradas como simples diversão, tais como jogos de montar, de encaixe, que apa-
rentemente são indicados mais para Artes do que para Matemática. Porém, tais ati-
vidades segundo estudiosos, não só são importantes para o desenvolvimento da
intuição espacial e de habilidade para visualizar, interpretar e construir, como tem
relação com a formação do pensamento geométrico dedutivo. Na grande maioria
das escolas de ensino fundamental, contudo, não é habitual serem realizadas ativi-
dades nas aulas de matemática que favoreçam a visualização e a percepção do es-
paço a nossa volta.
Nesta pesquisa há uma pretensão de desenvolver uma ação pedagógica nas
séries iniciais do ensino fundamental onde a concretização predomine sobre a sim-
bolização. Onde a mera repetição seja substituída por ações de observar, descrever,
comparar, tocar, construir. Esta fase final se caracteriza por atividades ligadas à a-
ção: o aluno manipula e constrói objetos das mais variadas formas para então anali-
sar suas características físicas e geométricas.
Sabemos que a educação quando se apóia na realidade do aluno tende a
evoluir de forma mais rápida, porque aquilo que o aluno estuda tem um significado
autêntico.
Neste contexto e por experiência em sala de aula, trabalhando a disciplina
desenho geométrico há cinco anos, observamos as dificuldades que os alunos têm
em assimilar os conhecimentos simbólicos transmitidos. Tomamos por ação desen-
volver um trabalho por meio de oficinas de dobraduras na Escola Municipal Profes-
sora Alice Lopes Maia, situada à Avenida Antonio Carlos Magalhães nº 667, no cen-
tro da cidade de Filadélfia.
Essa oficina oportunizou a clientela da 6ª série do Ensino Fundamental a vi-
venciar, experimentar, manipular e transformar o papel em figuras e formas, agu-
çando a criatividade, o interesse e a participação, despertando o aluno para perce-
ber o “mundo mágico da Geometria”.

16. Resgatando a geometria como parte do nosso cotidiano trouxemo-la em for-
ma de brincadeira com papel, que recebe o nome de dobradura ou a técnica conhe-
cida pelos japoneses como Origami. A princípio pode dar a impressão de um sim-
ples passa tempo nos momentos de descontração e lazer, mas, na realidade, serve
como recurso didático no desenvolvimento da criatividade e habilidade manual:
“... os conceitos geométricos nela implícitos, reforçam a idéia de que a do-
bradura pode auxiliar grandemente o trabalho de outras áreas do currículo
da Escola de 1º Grau, em particular a Matemática, que oferece um campo
riquíssimo a ser explorado no exercício do aprender e pensar”. (Aschen-
back,1997, p. 102).
Através dessa técnica de confecção de dobraduras os alunos podem compre-
ender melhor os conceitos geométricos, relacionar noções geométricas tais como:
ponto, reta, plano e ângulos com o origami, sendo criada condições para que os
mesmos usem a imaginação, combinem, criem novas composições, manuseiem e
com isso estabeleçam uma correspondência entre as formas geométricas vistas e
presentes em nossa vida com o que é dito em sala de aula.
Para Thomas (1997, p.20), o origame a arte de dobrar papel, “além de servir
como instrumento de desenvolvimento e aprimoramento da coordenação motora,
que seduz e motiva pessoas de todas as idades e interesses, possibilita trabalhar
conceitos geométricos com um material concreto de fácil execução”.
Diante de diversos aspectos apresentados acima, torna-se importante refletir
sobre a prática de dobraduras em geometria. Como o professor poderá tornar mais
atraente seu ensino em geometria por fazer uso do origami.
É motivo pois de estudo para que se possa responder os objetivos da pesqui-
sa:
• Analisar as representações que os alunos fazem das noções geométricas;
• Identificar através do trabalho com dobraduras o avanço na aprendizagem;

17. Intencionamos ainda, a partir deste trabalho, analisar como as dobraduras
usadas como instrumento motivador no ensino da geometria influenciará na
metodologia do professor, no sentido de provocar mudanças no seu fazer
pedagógico, interagindo com o aluno, participando vivamente do seu crescimento
enquanto agente capaz de construir seu conhecimento.
É de grande relevância nesta pesquisa uma proposta de reformulação da
prática do professor com a insistente intenção de despertar no aluno o prazer de
aprender matemática, em especial no ensino de geometria, valendo-se de uma
dinâmica através das dobraduras, interagindo o origami, a linguagem gráfica e a
educação numa articulação que buscam um propósito comum.
A exposição neste trabalho é sintética, não pretendendo apenas recheá-lo de
teorias e análises já reportados nas pesquisas especializadas, mas, um trabalho que
seja acessível a todos os profissionais que estão engajados neste mesmo ideal, ou
seja, sensibilizar nossos alunos e vê-los sentir disposição para participar, criticar,
questionar, oferecer sugestões dentre outras, tornando-os plenos na sua formação
global.
Esperamos também estar contribuindo para a Ciência, ainda que com simples
reflexões, somando às já estabelecidas e às muitas que virão, na certeza de que
toda prática requer uma profunda reflexão sistemática que levará a uma grande
ação.

18. CAPÍTULO II
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 – GEOMETRIA – ASPECTOS HISTÓRICOS E DIRETRIZES
É um conceito amplamente comprovado que a Geometria é uma das ciências
que caminha lado a lado com os indivíduos. Sendo assim, faz-se necessária uma
retomada de suas principais estratégias ao longo da história da humanidade para
melhor compreendê-la. As primeiras manifestações gráficas foram registradas pelo
homem neolítico, possivelmente 40 mil anos a.C., através da arte rupestre e peças
arqueológicas, utilizando-se de alguns conceitos básicos de geometria, já demons-
travam nesta época uma certa preocupação com propriedades geométricas tais co-
mo simetria e congruência entre outras (GOMES, 1996).
Segundo Karlson (1961- apud SANTANA, 2000), a história registra entretanto,
duas teorias sobre a origem da geometria. A primeira deve-se ao historiador Heródo-
to (484-424 a.C.), que acreditava ser o Egito a origem da geometria. Com as fortes
chuvas anuais, o Rio Nilo transbordava e inundava as terras deixando um limo alta-
mente fértil. Como as terras pertenciam ao Estado e haviam sido distribuídas pro-
porcionalmente a cada família ou clã, era necessário, assim, novamente demarcar e
distribuir as terras para o cultivo e, para tal, recalcular áreas, através de medidas
lineares e angulares, traçados de retas paralelas, perpendiculares, etc.
A segunda teoria para explicar a origem da Geometria, é atribuída a Aristóte-
les (384-322 a.C.). De acordo com Boyer (1996), Aristóteles acreditava que existia
no Egito uma classe sacerdotal que estudava geometria em seus rituais por puro
lazer.
Estas teorias divergem quanto à origem da geometria, mas, entram em con-
senso quanto a etimologia da palavra – geo (Terra) e metron (medida): medida de
terra. Os geômetras egípcios eram conhecidos como “estiradores de corda” ou

19. “agrimessores”, portanto, a expressão medida de terra, poderia ser justificada por
qualquer das teorias, uma vez que as cordas eram, naquela época, usadas como
instrumento para as medições.
Entende-se que o homem com sua necessidade de comparar e medir distân-
cias à sua volta, deu origem às primeiras noções de geometrias, antecedendo as-
sim, aos estudos de Heródoto e Aristóteles.
Entre os geômetras, receberam especial destaque por suas valiosas contribu-
ições Tales de Mileto (640-546 a.C.), Pitágoras (585-500 a.C.), Platão (427-347
a.C.), e principalmente Euclides. Este último foi responsável pela sistematização dos
conhecimentos geométricos até então existentes em uma belíssima obra, composta
de treze livros; contendo 465 proposições, denominada de Os Elementos. Para a
composição de Os Elementos, Euclides “utilizou de maneira rigorosa e continuada a
lógica estruturada e desenvolvida por Aristóteles, adequando os conhecimentos ma-
temáticos de então às exigências da perfeição nas idéias e na forma, que impregna-
vam a filosofia idealista platônica predominante”. (Lima Filho, 1998, p. 604-apud
SANTANA, 2000).
Em Os Elementos, Euclides trata da geometria plana elementar nos seus pri-
meiros livros, da teoria dos números nos três seguintes, dos incomensuráveis no
livro dez e principalmente da geometria no espaço nos três últimos livros. Mesmo
escrevendo sobre outros conteúdos, os livros de Euclides que tratavam sobre geo-
metria certamente foram os que tiveram maior importância, influenciando os estudos
na área por aproximadamente dois milênios. Mais de mil edições foram impressas
desde a descoberta da primeira delas em 1482. (BOYER, 1996). As mais conheci-
das são a de Proclus (410-485), e as traduções para o árabe no século IX
(D’Ambrósio, 1996).
Durante séculos os postulados enunciados por Euclides em suas obras foram
aceitos mas também questionados especialmente o quinto. As discussões acerca da
geometria euclidiana aumentaram, principalmente no final do século XVIII e início do
século XIX, em torno deste postulado. O Postulado das Paralelas, como ficou co-
nhecido, era considerado extenso e de difícil compreensão, por isso, chamava a

20. atenção de matemáticos para sua demonstração que durante vários séculos, fracas-
saram ao tentar demonstrá-lo.
Girolano Sacchieri (1667-1733), jesuíta italiano, foi o primeiro a se aproximar
da solução do problema. Sacchieri utilizou-se do método de demonstração por ab-
surdo, admitindo-se para tanto, verdadeiros os quatro primeiros postulados euclidia-
nos e falso o último. Girolano estava tão convicto de que a geometria euclidiana era
a única verdadeira, que se deixou influenciar, distorcendo os resultados finais de seu
raciocínio, fracassando na tentativa de provar sua teoria; porém, os resultados obti-
dos serviram como teoremas fundamentais para uma nova geometria, que mais tar-
de seria chamada de não-euclidiana (DIAS, 1995-apud SANTANA, 2000).
Apenas no século XIX, provavelmente sem conhecimento das deduções de
Girolano, três matemáticos conseguiram demonstrar que o quinto postulado era in-
dependente dos demais. O primeiro deles foi Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Gauss concluiu que o V Postulado não poderia ser provado e que novas geometrias
poderiam existir além, da geometria de Euclides, mas não publicou seus estudos,
temendo o abalo que isto provocaria nas certezas euclidianas. Quando F.A. Tauri-
nus (1794-1874), se aproximando da solução do problema das paralelas, escreveu
sobre o assunto no prefácio de seu livro e cita Gauss como conhecedor disto, este
rompe relações com Taurinus. Desesperado Taurinus queima seus manuscritos.
Assim, as tentativas para provar o V Postulado continuaram, mesmo representando
o desvendamento de “verdades ocultas” para os pesquisadores que se arriscassem
no assunto.
Um pouco mais distante do centro dessa história, e portanto, longe dos me-
dos que cercavam a descoberta de novas verdades, estava o russo Nicolai Ivonovi-
ch Lobachewsky (1793-1856), filho de um modesto funcionário do governo que mor-
reu deixando-o aos sete anos. Apesar de pobre, freqüentou a Universidade de Ka-
zan e foi aluno de J.M.Bartels (1769-1836), com quem Gauss também estudou, e
chegou a tornar-se professor e depois reitor dessa Universidade. Lobachewsky criou
um novo ramo da geometria, mostrando que a geometria de Euclides não era tão
exata como se previa e apresenta, em 1826, em um artigo onde inclui comentários
sobre a prova do Postulado das Paralelas. Em 1829, totalmente convencido de que

21. não era possível provar o V Postulado com base nos outros quatro, publicou o artigo
“sobre os Princípios da Geometria”, marcando o início da geometria não euclidiana,
denominada por ele de “geometria imaginária”. Lobachewsky escreveu três exposi-
ções completas sobre a nova geometria; em 1835-1838, Novos Fundamentos da
Geometria, em russo; em 1840, Investigações Geométricas sobre a teoria das Para-
lelas, em alemão; e em 1855, Pangeometria em francês e russo. Por recomenda-
ções de Gauss, Lobachewsky foi eleito em 1842 para a Sociedade Científica de Got-
tingen. Gauss, mesmo não registrando oficialmente apoio às descobertas de Loba-
chewsky, sempre o elogiou em cartas aos amigos.
O terceiro a descobrir uma geometria não-euclidiana foi o húngaro Jamos
Bolyai (1802-1860), sem conhecimento dos estudos desenvolvidos por Gauss e Lo-
bachewsky. Jamos era filho de Fonkar Bolyai, professor de matemática, que dedicou
a maior parte de sua vida na tentativa de provar o Postulado das Paralelas. Por volta
de 1829, Bolyai chegou a mesma conclusão de Lobachewsky; ou seja, era impossí-
vel provar o V Postulado. Seus estudos o levaram a uma nova geometria, denomi-
nada de “Ciência Absoluta do Espaço”. Estas descobertas foram publicadas como
apêndice de um Tratado de Fonkar Bolyai.
Outro importante contribuinte foi Gaspard Monge. Monge foi o encarregado de
administrar e lecionar na Écoie Polytechnique. Escreveu, após relutância, textos ma-
temáticos (Cours de mathématique), e ensinou estereotomia (hoje Geometria Descri-
tiva), para currículos universitários. Nos estudos de Gaspard Monge além de som-
bra, perspectiva e topografia, dava atenção a propriedades de superfícies, incluindo
retas normais e planos tangentes, e a teoria das máquinas. Monge contribuiu ainda,
para a geometria com o curso sobre “aplicação da análise à geometria” (hoje geo-
metria analítica).
Os trabalhos se desenvolveram com um graduado da École Polytechnique:
Jean-Vitor Poncelet (1788-1867). Poncelet, que foi aluno de Monge, estudou as re-
lações entre pontos e retas sobre cônicas. Foi preso, em 1812, por ser integrante do
corpo de engenheiros do exército na campanha fatal de Napoleão na Rússia. Na
prisão, Poncelet compôs um Tratado de Geometria analítica, Applications d’analyse
et de geometrie, uma obra sintética. Poncelet tornou-se defensor dos métodos sinté-

22. ticos após retornar de Paris, e com isto, formulou o que chamou “princípio de conti-
nuidade” ou “princípio de permanência das relações matemáticas”.
Para chegar a generalidade, Poncelet introduziu na geometria sintética, pon-
tos imaginários, além de pontos ideiais. “Entre suas descobertas notáveis está a de
que todos os círculos de um plano têm dois pontos em comum”, pontos ideais
(BOYER, 1996, p.370).
Em 1854, G.F. Bernhard Riemann (1826-1866), filho de modesto pastor de
aldeia, proferiu uma magnífica conferência na Universidade de Gottingen, com o títu-
lo: “Sobre as hipóteses que estão nos fundamentos da geometria”. Nesta tese, Rie-
mann apresentava uma visão completa da geometria, não se restringindo a tratar de
pontos, retas ou espaços ordinários, mas de coleções de n-uplas que são combina-
das de acordo com certas regras (BOYER, 1996). Foi denominada de Geometria
Riemann-Gauss, ou ainda, Geometria Esférica ou Elíptica. (DIAS,1995, KARLSON,
1961-apud SANTANA, 2000). Esta Geometria não-euclidiana de Riemann (curvatura
positiva), aprofunda a essência do conceito de espaço, e inclui as duas concepções
das geometrias já existentes: a Geometria de Lobachewsky (curvatura negativa) e a
Geometria de Euclides (curvatura nula).
Com a publicação de um pequeno e famoso volume chamado Grundlagem
der Geometrie (Fundamentos da Geometria), em 1898-1899, David Hilbert (1862-
1943), exerceu forte influência sobre a matemática do século vinte, dando à geome-
tria, o caráter formal que já tinha a álgebra e a análise. “Hilbert percebeu que nem
todos os termos em matemática podem ser definidos e por isso começou seu trata-
mento da geometria com três objetos não definidos – ponto, reta e plano – e suas
relações não definidas – estar sobre, estar em, estar entre, ser congruente, ser pa-
ralelo e ser contínuo” (BOYER, 1996, p. 424). Hilbert formulou no período compre-
endido entre 1900 e a Primeira Guerra Mundial, os cinco axiomas e os cinco postu-
lados de Euclides para sua geometria, numa coleção de vinte e um postulados, co-
nhecidos como axiomas de Hilbert.
Assim observamos que entre seus aspectos importantes, a matemática con-
temporânea apresenta o ressurgimento da geometria, mesmo que seja em novas

23. versões, auxiliando na resolução de grandes problemas, entretanto o estudo da ge-
ometria passou a ser concebido como parte integrante do domínio da álgebra.
No século XX, assistimos à formalização de uma geometria de espaço de di-
mensão infinita associada à análise, denominada de Topologia. Destaca-se neste
contexto, uma obra que pretendia ser semelhante à obra de Euclides, sistematizan-
do toda a matemática conhecida. Recebeu a denominação de Os elementos de Ni-
colas Bourbaki. Bourbaki foi o pseudônimo utilizado por um grupo de jovens mate-
máticos franceses, que se reuniram num seminário para discutir e propor avanços
da Matemática em todas as áreas. Criaram uma obra, que embora incompleta, apre-
sentava cerca de cem volumes, e foi sem dúvida a obra mais importante do século,
exercendo grande influência no desenvolvimento para a “Matemática Moderna”.
DIRETRIZES CURRICULARES
Até o final da década de 40 e início da década de 50, o currículo utilizado no
ensino da matemática em todo o mundo, obedecia uma seqüência e disposição de
conteúdos similares. Os seis graus da escola elementar eram dedicados à aritméti-
ca, o sétimo e oitavo graus à álgebra e a geometria “mais simples”. Na escola se-
cundária , o primeiro ano preocupava-se com a álgebra “ elementar”, o segundo era
dedicado à geometria “dedutiva” e o terceiro,à álgebra ”intermediária e trigonometria.
O quarto ano era dedicado à geometria “sólida” e álgebra “adiantada”, porém sem
muita regularidade quanto ao conteúdo(KLINE,1976 ). O professor licenciado com
formação de três anos de matemática e um ano de matérias pedagógicas, ensinava
no curso ginasial-equivalente , na estrutura atual ao primeiro grau maior- e no cole-
gial-equivalente ao segundo grau- e, o professor normalista com formação geral de
colegial, ensinava no primário (D’AMBROSIO,1996)
Este currículo, denominado como Tradicional, tinha por objetivo o conheci-
mento da Matemática como conjunto de Técnicas. Detinha, de acordo com Kline
(1976) vários “defeitos”, entre os quais ressalta: não dispensava atenção à compre-
ensão, apresentava desconexão entre tópicos e primava pela memorização dos con-
teúdos, uma vez que faltava motivação e associação com o mundo real. Neste cur-

24. rículo “ trabalhava-se com a simples exposição de conteúdos e a resolução de pro-
blemas básicos através dos quais resolver-se iam todos os outros”. (KLINE, 1976, p.
190)
Nos Estados Unidos segundo Kline(1976), desde 1900 as publicações na á-
rea da matemática tornou-se repetitivas. Os Tópicos de aritmética,álgebra, geome-
tria se repetiam utilizando-se, via de regras, os mesmos materiais didáticos.
Surge o movimento da Escola Nova e a situação parece se inverter. O movi
mento preconizando o favorecimento de uma metodologia adequada, possibilitaria a
participação do aluno. O conteúdo continuou o mesmo, porém a ênfase passou a ser
na maneira de aprender. Assim as duas concepções mesclavam-se, “ convivendo,
simultaneamente, práticas ultrapassadas com uma profusão de materiais e uma
pseudoparticipação dos alunos” (KLINE, 1976, p. 191-192)
Em 1952, a base de soluções para alguns destes problemas levou à proposi-
ção de um novo currículo para a Matemática , através da comissão de Matemática
Escolar da Universidade de Ilinois.
Este moderno currículo foi empregado nas escolas secundárias do país, por
volta de 1960, e progressivamente se estendeu aos demais níveis de escolariza-
ção.A partir de então, muitos autores começaram a escrever inúmeros livros com o
novo currículo.
Com a mudança do currículo tradicional para a então denominada Matemática
Moderna, destacava-se principalmente duas características: uma nova abordagem
dos conteúdos da matemática tradicional e o novo currículo. A nova roupagem do
conteúdo centralizava o “programa na teoria dos conjuntos e acrescentando alguns
outros tópicos que mostrariam uma nova faceta dos fatos matemáticos”, buscando
“a reabilitação da ciência matemática”. Entretanto, “passou a oferecer uma confusa
mistura de teorias mais avançadas tecnicamente com uma metodologia que, longe
de garantir a integração e a compreensão, forçava a uma simbolização prematura e
uma visão deturpada do assunto” (KLINE,1976, p.192).

25. Kline (1976) questiona, nesta época, se realmente era necessário modificar o
currículo da Matemática. Para a educação, o ensino de matemática era considerado
antiquado por suas diretrizes datarem de 1700, aproximadamente, e chama a aten-
ção para os esforços e gastos desprendidos para esta mudança, apontando para a
necessidade de investimentos na atualização e qualificação de professores da área.
As questões então discutidas nos lembram que praticamente toda a Matemá-
tica surge da resolução de problemas do mundo real e que, no entanto, muitos são
os professores que desconhecem estas ligações e não conseguem motivar seus
alunos para atender suas aplicações. Com a Matemática Moderna muitos autores
reduziram significativamente o estudo da Geometria Euclidiana, substituindo em
grande parte a Geometria sintética pela analítica.
Na década de 50, com o movimento da Escola Nova e a implantação da
pedagogia tecnicista, o Brasil, subordinado ao capital estrangeiro, submeteu-se
às imposições do mercado. Assim, com as Leis 4024 e 5692, o ensino de primeiro e
segundo graus passaram por mudanças consideráveis para se adequar às novas
tendências (CAMPOS, 1998).
Uma das exigências destas leis, era “qualificar” o aluno para o mercado de
trabalho, e deste modo, os conteúdos de Geometria Euclidiana passaram a integrar
apenas os cursos onde se julgava “necessários” para, posteriormente, integrar os
livros de matemática de 5ª a 8ª séries de 1º grau, (CAMPOS, 1998), ora aparecendo
como anexo da disciplina de Educação Artística, ora aparecendo no final do progra-
ma de Matemática (IMENES, 1997). Como conseqüência desta orientação, a geo-
metria foi, via de regra, excluída dos programas e exames com resultados desastro-
sos para o aluno (CAMPOS, 1998).
O Movimento pela “Matemática Moderna” no Brasil, na década de 60, recebeu
especial atenção no estado de São Paulo, com a criação do GEEM-Grupo de Estu-
dos de Educação Matemática, liderados por Oswaldo Sangiorgi. Sangiorgi escreveu
manuais escolares, destacando axiomas e estruturas algébricas nas primeiras séries
do ensino elementar. Na Bahia, o movimento foi liderado por Omar Catunda que es-

26. creveu, com um grupo de professores de matemática, sete livros, sendo quatro para
as escolas elementares e três para as escolas secundárias.
Para Lima (2005), com a “Matemática Moderna” houve a predominância da
conceituação em detrimento da manipulação e da aplicação dos conteúdos, e, deste
modo, o ensino de Matemática e especialmente o da Geometria, tornaram-se alta-
mente complexos, exigindo um elevado nível de abstração para compreensão dos
seus conteúdos. Já D’Ambrósio (1996, p.57-58), afirma que o movimento pela ma-
temática moderna não produziu os resultados pretendidos, no entanto, serviu para
desmistificar muito do que se fazia no ensino da matemática e também para mudar
“o estilo das aulas e das provas e para introduzir muitas coisas novas, sobretudo a
linguagem dos conjuntos” assim, para este, o “saldo foi altamente positivo”.
Na década de 80, à luz da Constituição de 1988, surge com o Plano Decenal
de Educação, a necessidade e a obrigação do Estado de elaborar uma nova lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional.
O Projeto de Lei, tramitou nas diversas instâncias até ser aprovado como a
Lei nº 9.394, em 20 de dezembro de 1996. A nova LDB determina como competên-
cia da União, estabelecer em consonância com Estados, Distrito Federal e Municipi-
os, as diretrizes para nortear os currículos e os conteúdos mínimos no ensino, de
modo a assegurar uma formação básica comum a todos.
Estas diretrizes foram traçadas com a instituição dos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN’s). Os Parâmetros foram criados pelo Ministério da Educação e
Desporto (MEC), em 1998, com o objetivo de proporcionar ao professor subsídios
para “ampliar os horizontes de seus alunos”, preparando-os competitivamente para o
mundo. Os PCNS são orientações gerais e devem funcionar como sugestões ao
professor, adaptadas de acordo com a realidade dos seus alunos.
Nos PCNS são abordadas além das áreas de Português, Matemática, Ciên-
cias Naturais, História, Geografia, Língua Estrangeira, Educação Física e Arte, tam-
bém os temas transversais, tratando-se de ética, saúde, meio ambiente, pluralidade
cultural, orientação sexual, trabalho e consumo.

27. Os PCNS sugerem que o professor, inclua os temas transversais em suas
aulas, como “resposta” a alguns fatos, positivos ou não, ocorridos ou abordados, na
escola ou em torno dela. Com isto, a Escola estaria voltada para as exigências do
“progresso científico”. E neste processo de transformação das relações sociais, o
sistema educativo brasileiro englobaria todos os segmentos, escola, pais, governo e
sociedade, buscando uma ação para melhorar a qualidade do ensino e transformar o
aluno em um cidadão.
Neste contexto ,os parâmetros destacam a Matemática como fundamental no
cotidiano da vida das pessoas para estabelecer situações de quantidade, localiza-
ção espacial em gráficos mapas e previsões em geral.
Salienta ainda, que é essencial superar a aprendizagem centrada em proce-
dimentos mecânicos, levando-se em conta a importância de incorporar ao seu ensi-
no, recursos das” tecnologias de comunicações”. Para cumprir estes propósitos es-
tabelecidos, propõem e explicam algumas alternativas para o ensino de Matemática,
permitindo ao aluno compreender a realidade na qual está inserido, desenvolvendo
deste modo a capacidade cognitiva e confiança para ampliar seu processo de a-
prendizagem.
Os Parâmetros Curriculares ressaltam a importância de atualização constan-
tes dos professores,reconhecem as dificuldades que passam com a desvalorização
salarial mas não sugere diretrizes para a questão.
Consideramos que, com relação aos conteúdos, uma das omissões mais
tocantes do documento, já como reflexo da sua exclusão pela nova Lei de Diretrizes
e Bases da Educação Nacional refere-se ao ensino da Geometria. Embora incluída
no ensino de Matemática, a Geometria não ganhou Status de disciplina no currículo
escolar, visto que não há Parâmetros que a englobe, nem mesmo ganhou lugar de-
finido no currículo de Matemática, onde pode constar ou não, à critério da escola ou
mesmo do professor.

28. 2.2- A ORIGEM DO ORIGAMI E SUA UTILIZAÇÃO PEDAGÓGICA
Entre os séculos VI e X, o papel foi introduzido no Japão por monges budistas
chineses, após ser mantido em segredo por quinhentos anos na China.E era acessí-
vel apenas aos nobres, devido ao seu alto custo. O papel erro do tipo “Washi”, arte-
sanal, fino e resistente, com a fabricação no período Nara (710-794), e sua utilização
restringia-se às cerimônias religiosas e confecção de moldes de quimonos.
O hábito de fazer figuras com papéis é muito antigo, segundo ASCHENBACH
(1997), tanto quanto a origem do próprio papel. A arte de dobrar papel foi cultivada
e desenvolvida no Japão, onde recebeu inicialmente a denominação de Orikata e
em 1880 de Origami. Quanto à etmologia,significa dobrar (ori) papel (kami).Em 1797
surgiram os primeiros escritos a respeito do origami, com a publicação “Senbazuru
Orikata” ( Como dobrar mil Garças ou Dobraduras de mil Garças) de Ro Ko An. De-
pois essa cultura se espalhou por várias gerações como resultado de transmissão
do conhecimento de pai para filho, e em 1876 passou a fazer parte do currículo es-
colar.
Por volta do ano 751, o segredo da fabricação do papel foi revelado aos euro-
peus através de prisioneiros de guerra árabe, em troca de garantia de liberdade. Da
Espanha foi para a América. Já na época, a Geometria era estudada nas formas e
nas dobras dos papéis, uma vez que a religião dos mouros não admitia a criação de
figuras simbólicas. Com a expulsão dos mouros da Espanha, os espanhóis desen-
volveram a arte de dobrar papel, a Papiroflexia, nome como é conhecida até hoje na
Espanha e na Argentina. O Origami se expandiu mundialmente e recebeu diferentes
denominações “Paper-folding em inglês, Papiroflexia em castelhano, Faltenpapier
em alemão e Pliage em francês” (ASCHENBACH, 1997).
A arte de dobrar papel tornou-se mais popular a partir do período Heian (794-
1192) e principalmente no período Muromachi (1338-1392), quando foram criados
aproximadamente setenta tipos de origamis. Figuras como sapo, garça, navio, cesto,
balão homem e lírio derivam destes períodos.

29. No Brasil, o origami, ou as dobraduras chegaram com os colonizadores por-
tugueses e com os preceptores europeus que vieram ao país no intuito de orientar
as famílias de alto poder aquisitivo. Ganharam mais destaque com a imigração de
famílias japonesas, principalmente nos estados de São Paulo e Paraná. Esta cultura
permanece viva no país, principalmente através da Aliança Cultural Brasil –Japão,
que promove constantemente cursos de origami.
Uma das figuras mais importantes no universo dos origamis é o Tsuru, uma
espécie de cegonha. Acredita-se que inicialmente o Tsuru tenha sido empregado
como decoração e posteriormente associado a crenças religiosas O Tsuru é conhe-
cido como a Ave da Felicidade e da Longevidade , serve como formas básica para
outras figuras de papel, e é distribuído como enfeites e em embalagens de presente,
nos festejos de Ano Novo, casamento, nascimento e funerais,entre outros.Nos fune-
rais os origamis eram queimados representando objetos, na intenção de que os es-
píritos dos mortos conseguissem tudo que almejavam em outras vidas.Nas festas de
casamento eram também queimados para trazer prosperidade ao casal, simbolizan-
do um desejo a ser realizado. (ALMEIDA, 2000)
De acordo com a lenda japonesa, é possível realizar desejos, desde que mil
tsurus ou grou, sejam confeccionados com o pensamento voltado para o que se de-
seja alcançar. Anualmente, em agosto, nos monumentos de paz em Hiroshima, onde
caiu a bomba atômica (1945), vários conjuntos de mil Tsurus de papel são enviados
a todas as partes do mundo, em unificação de pedido de paz. (ASCHENBACH,
1997, p. 36)
Outro tipo de origami, o tsuru, é utilizado como uma espécie de selo de quali-
dade, conferindo autenticidade a documentos de valor, tais como apólices de seguro
e escrituras, ou atestando a origem do fim do trabalho dos artesãos de espadas).
O origami é dividido em duas categorias: as figuras noshi, que são utilizadas
em alguns tipos de cerimoniais ou acrescidos aos presentes e as figuras que repre-
sentam animais, insetos, flores, pessoas, móveis e outros objetos. Para a constru-
ção de suas figuras, o origami conta com vários símbolos ou códigos, conhecidos

30. mundialmente que facilitam a sua interpretação, independente da língua utilizada no
texto.
Entre os japoneses modernos, Akira Yoshizawa e Kunihiko Kasahara, rece-
bem especial destaque como as maiores expressões origamistas.
Existem ainda o kirigami e o origami arquitetônico.O kirigami é composto de
dobras assim como o origami, porém com utilização de recortes; enquanto o origami
arquitetônico, é uma variação do origami, pelo qual se obtém formas tradicionais a
partir de cortes e dobras, cuidadosamente planejadas, entre dois planos formados
por um mesmo papel. O kirigami originou-se no período conhecido como a Era E-
do.( 1590 – 1868). Masahiro Chatani é um dos precursores modernos desta ar-
te.Através da confecção de cartões que “saem do plano para o espaço ( pop-up
card)”, Chatani inaugurou em 1982, em Tóquio a sua primeira exposição de origami
arquitetônico. (ALMEIDA, 2000).
O Origami foi utilizado como recurso didático, primeiramente no período Meiji
(1868), quando foi introduzido no jardim de infância e nos primeiros anos do primá-
rio. No período Taisho (1912-1926), os origamis recreativos e educativos foram mui-
to mais difundidos e começaram a ser dobrados com papéis coloridos e em quadra-
dos(15x15cm).
O Origami espalhou-se por todo o mundo e foi utilizado no século XIX, pelo
educador alemão Friedrich Froebel, como um método pedagógico, na escola alemã
Bauhaus, no curso de desenho industrial. Froebel percebeu nas atividades relacio-
nadas com origami um excelente recurso para familiarização da criança com concei-
tos geométricos. Há ainda, como exemplo de aplicação de origami, os flexágonos,
um tipo de recreação que permite verificar certos conceitos matemáticos, concebida
pelo inglês Arthur H. Stone em 1939. Na Espanha, Miguel de Unamuno, escritor e
filósofo, fez das dobraduras seu maior hobby, como pode ser facilmente verificado
em seu livro “Amor e pedagogia”.
Inúmeros estudiosos, por todo o mundo, voltam-se para a compreensão e sis-
tematização do origami, a partir da perspectiva educacional. Como exemplos, po-

31. dem ser citados: Humiaki Huzita, matemático italiano, formulou uma lista de axiomas
para definir geometricamente o origami. O físico Jun Maekawa descobriu teoremas
fundamentais sobre origami e os usou para projetar origamis de extrema elegância.
Toshikazu Kawasaki estabeleceu vários teoremas sobre origami , generalizando
alguns deles para desenvolver origamis em dimensões mais altas. Além destes
Robert Lang, californiano, desenvolveu algoritmo projetavam modelos complexos de
origamis com auxilio do computador. (ALMEIDA, 2000)
Deste modo, o estudo de origamis ganha a cada dia, novos estudiosos e au-
menta seu campo de atuação, possibilitando inclusive, sua utilização como recurso
para propiciar a interdisciplinalidade dentro do currículo escolar, ou em atividade
mais específica, como por exemplo, auxiliar na compreensão de conteúdos matemá-
ticos e geométricos.
Além disso, suas características intrínsecas se adequam sobremaneira à ati-
vidades que pretendam desenvolver no aluno, a percepção visual e espacial dos
objetos que estão sendo manipulados, e favorecem atividades pedagógicas que te-
nham como intenção desenvolver a criatividade do estudante, a exemplo de cola-
gens, desenhos, recortes, pinturas ou ilustrar canções e histórias infantis, como o fez
Aschembach (1997) e utilizadas como terapia ocupacional, no auxilio do desenvol-
vimento de auto-estima e auto-confiança.
Diante de todo exposto, acreditamos que a prática do Origami favorece a
concentração, destreza e paciência, além da satisfação de poder criar formas ape-
nas com um pedaço de papel. Promove também o desenvolvimento intelectual da
criança, sua capacidade criativa e a psicomotricidade.
2.3 – APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA EM GEOMETRIA POR MEIO DAS
DOBRADURAS.
O processo de desenvolvimento cognitivo das crianças , passa por seis dife-
rentes etapas. Estas etapas possibilitam que a criança adquira, ao seu término, pos-
sibilidades de aprendizagem, abstração, generalização e transferência para um a-
prendizado significativo da matemática.

32. Segundo E.R.HILGARD (apud BOGDAN, 1994):
aprendizagem é o processo pelo qual uma atividade tem origem ou é modi-
ficada pela reação a uma situação encontrada, desde que as características
de mudança não possam ser explicadas por tendências inatas de respostas,
maturação ou estados temporários do organismo.
De acordo com a teoria de aprendizagem significativa de AUSUBEL ( apud
PAVANELLO, 2002), a estrutura cognitiva é o fator que mais influencia a aprendiza-
gem e ela é hierarquicamente organizada, isso significa que se a estrutura cognitiva
estiver bem organizada,o aluno terá mais facilidade de aprendizagem e consequen-
temente melhor compreensão de um assunto. Caso contrário, a aprendizagem será
prejudicada uma vez que se dá de forma desorganizada e instável.
O recurso mais utilizado pelo professor no ensino é a linguagem oral. Não
obstante, inúmeras pesquisas comprovam que a linguagem oral auxiliada por outros
recursos que estimulam os demais sentidos, pode criar uma “ecologia da aprendiza-
gem”, facilitando o ensino e, por conseqüência a aprendizagem.
Fonseca(2001, p.72), defende que há duas etapas no sistema de educação,
primeiro o simbolismo e depois a representação; além disso, ressalta que na crian-
ça, tais etapas se desenvolvem nesta ordem. Porém, “ descobre-se, ainda que a cri-
ança não está apta a aplicar os conceitos, mesmo depois dos recursos audiovisuais;
consequentemente, tornar-se-ia necessário ensinar-lhe as aplicações na realidade,
de onde se deveria ter partido”, ou seja, tudo tornar-se-ia mais fácil se o processo
de aprendizagem fosse feito ao contrário do que geralmente é concebido: primeiro a
aplicação, a seguir a representação e por fim o simbolismo.
Durante o processo de aprendizagem da matemática, na fase de sistematiza-
ção dos conhecimentos, as crianças sentem necessidade da nomenclatura especí-
fica da área; entretanto, a partir dessa necessidade, fica mais fácil relacionar os no-
mes, mesmo que difíceis, com os respectivos conceitos. Deste modo, a matemática
pode ser ensinada no Ensino Fundamental, através de dados simples extraídos de

33. fatos da vida real, evitando que um simbolismo exagerado leve à fuga do conceito
e ameace tornar as aulas enfadonhas.
Além disso, toda criança chaga à escola com um repertório de conhecimen-
tos adquiridos desde cedo através de sua própria observação, pelo raciocínio lógico
ou pela explicação de adultos. Diversas formas geométricas já lhes são familiares
pela observação e/ ou manipulação de caixas, bolas, rodas, tijolos, corredores, ruas,
portas, janelas, etc.(NETO, 2001).
Como KIYOSHI(2000), acreditamos que:
manipulação de materiais, a observação dos desenhos e das figuras
construídas, auxiliam o aluno na formação das imagens mentais necessárias
para que se familiarize não somente com as partes nas quais os sólidos se
constituem, mas com noções espaciais.
De uma forma lúdica para resolver problemas que exijam um raciocínio es-
pacial mais desenvolvido”. IMENES(1997, p. 28), afirma que há “indícios de que cri-
anças que trabalham formas geométricas, tornam-se mais organizadas, desenvol-
vem coordenação motora e visual, melhoram a leitura, compreendem mais rapida-
mente gráficos, mapas e outras informações visuais.”
Desde muito pequena a criança sente necessidade do aspecto lúdico contido
nos jogos e brincadeiras para desenvolver suas atividades. Assim, através do lúdi-
co é possível desenvolver, com melhor rendimento, o estudo da Matemática e tam-
bém da Geometria “ à medida que se propunham ao aluno desafios que leve procu-
rar vencer, atendendo a seu gosto de descobrir, de participar, de compreender, de
criar , de jogar”(BARALDI,1999, p. 61). Não se trata, de facilitar o conhecimento in-
fantilizando-o, porém de colocá-lo ao alcance das possibilidades cognitivas e ne-
cessidades psicológicas do aluno.
Na escola, é preciso exigir uma participação mais crítica e criativa dos que por
ela passam. É preciso perguntar em que medida essa possível contribuição refletiria
na ampliação do acesso à Escola. É preciso pensar numa ação educativa que con-
sidere as relações entre a escola, o lazer e o processo educativo. Por isto, é funda-

34. mental, nos tempos atuais, adequarmos recursos, tempo e criatividade, afim de que
se efetivem os propósitos da Educação Básica. Igualmente, nesta projeção e sob
esta ótica, temos como objetivo específico, neste contexto, o estudo da dobradura
ou origami, cujo caráter lúdico se apresenta como uma motivação para o professor
na sua aula.
Nesse sentido, consideramos que visando a consecução de melhores níveis
de aprendizagem, o uso dos recursos plurisensoriais apresenta-se como instrumento
motivador em qualquer área de estudo. Cabe a cada professor procurar seus pró-
prios recursos e meios de aplicá-los, adequando-os aos alunos e às suas necessi-
dades. O origami é apenas um dos muitos recursos que podem ser utilizados nas
aulas de Geometria e de Matemática.
As dobraduras são de grande utilidade na exploração das propriedades geo-
métricas das figuras planas e espaciais. A construção e utilização de exemplos e
sua análise detalhada trazem algumas sugestões, para bem aproveitar essa alterna-
tiva de trabalho no ensino da Geometria.
De acordo com Almeida (2002):
O origami pode representar para o processo de ensino-aprendizagem de
Matemática um importante recurso metodológico através do qual os alu-
nos ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos
inicialmente de maneira informal por meio da observação do mundo, de
objetos e formas que os cercam. Com uma atividade manual que integra
dentre outros campos do conhecimento, Geometria e Arte.
Além de trabalhar com dobraduras os conceitos de geometria, elas servem
também para ilustrar histórias contadas, para criação de trabalhos escolares em Ar-
tes e Ciências, para fazer máscaras... Mas, principalmente, para viver com o aluno
um momento de interiorização, de criação, de expressão de estados emocionais, de
contato consigo mesmo, na riqueza de conteúdos internos que são solicitados e ela-
borados no momento da execução.
Ao dobrarmos o papel, executamos verdadeiros atos geométricos, ao constru-
irmos: retas, ângulos, polígonos, poliendros, etc. Ainda fazermos triângulos equiláte-

35. ros, tetraedros regulares, cubos, sólidos estrelados, sem o uso de compasso, tesou-
ra e cola, apenas com dobraduras.
As possibilidades de utilização do origami são infinitas. A bibliografia sobre o
tema apresenta processos para a confecção das mais variadas figuras e com dife-
rentes graus de dificuldade: flores, animais ou objetos de variados formatos; onde a
“magia” da sua construção é obtida através das marcas deixadas no papel dobrado.
Uma das principais vantagens da utilização do origami como recurso educa-
cional repousa na sua simplicidade e viabilidade econômica e sua utilização em sala
de aula pode trazer melhores rendimentos em vários conteúdos não só de Geome-
tria, mas de outras disciplinas.
As figuras que mostraremos a seguir são alguns exemplos de aplicação práti-
ca das dobraduras como instrumento motivador e prazeroso de aprender.
Na Matemática usamos régua e compasso para traçar linhas e retas e cons-
truir ângulos e suas bissetrizes, mas, através das dobraduras podemos desenvolver
o mesmo trabalho sem o uso desses objetos, apenas dobrando o papel. Vejamos
Retas perpendiculares
1) – Para uma linha reta, um pedaço de papel qualquer.
Figura 01

36. 2) Para retas perpendiculares, bastam duas dobras
Figura 02
3) Para retas paralelas, bastam três dobras.
Figura 03

37. Retângulos
4) Acrescentado uma quarta dobra na figura anterior formamos um retângulo.
Figura 04
5) Dobrando um retângulo obtemos um quadrado.
Figura 05

38. 6) A partir do quadrado formamos um octógono
Figura 06
Triângulo eqüilátero
6) Com um papel retangular fazemos um triângulo eqüilátero.
Figura 07

39. 7) A partir de um triângulo eqüilátero posso dobrar e obter um Hexágono regular.
Figura 08
Exemplo de Origami comum
8) Com uma folha comum retangular construímos aviões.

40. Analisando a construção do avião matematicamente, observamos que cons-
truirmos através desta dobradura um ângulo reto e dois ângulos de 45º, isto é, um
triângulo retângulo isósceles.
(Figura 09)
Exemplos de Origami tradicionais.

41. Dentre os resultados encontrados, por ocasião de aplicar o uso de dobraduras
nos conteúdos focalizados na escola, pode-se destacar o interesse provocado pelo
questionamento dos alunos, e entender as justificativas.
As dobraduras permitem que sejam trabalhados diferentes conceitos geomé-
tricos, uma vez que são ilimitáveis as possibilidades de se dobrar um papel e, tam-
bém, do próprio direcionamento dos conteúdos que se pretende trabalhar com as
dobras. Essa característica é de grande utilidade para o ensino de geometria, uma
vez que funciona como um laboratório de pesquisa para o professor e o aluno, com
a vantagem de se trabalhar com material concreto, de fácil manipulação e altamente
criativo.

42. CAPÍTULO III
METODOLOGIA
3.1 – PESQUISA QUALITATIVA COMO MÉTODO NA ESCOLA PROFESSORA
MUNICIPAL ALICE LOPES MAIA.
Esta investigação é um trabalho de campo, sob forma de estudos, dos mais
relevantes tipos de pesquisa qualitativa. Seu objetivo é o trabalho do Origami como
instrumento para o ensino-aprendizagem de Geometria em Matemática, aplicada na
escola Municipal Professora Alice Lopes Maia em Filadélfia, a partir de oficinas, en-
trevistas, questionários, registros de professores e alunos envolvidos.
Por ser flexível e adaptável é que buscamos na realização desse trabalho,
fazer uso da pesquisa qualitativa, expondo mais diretamente a natureza da interação
entre investigador e participante, tendo o ambiente natural e familiar sua fonte direta
de dados.
Segundo Prestes, esse tipo de pesquisa é voltado para a intervenção na rea-
lidade social quando cita:
“Esse tipo de pesquisa é aquele voltado para a intervenção na reali-
dade social. Caracteriza-se por uma interação efetiva e ampla entre
pesquisadores e pesquisados. Seu objeto de estudo se constitui
pela situação social e pelos problemas de naturezas diversas encon-
tradas em tal situação. Ela busca resolver e/ou esclarecer a problema
mática observada, não ficando em nível de simples ativismo, mas ob-
jetivando aumentar o conhecimento dos pesquisadores e o nível de
consciência dos pesquisados.” (PRESTES, 2005, P. 25).
De fato a opção por essa metodologia possibilitou o contato entre a realidade
vivida e informações das experiências educacionais obtidas. De acordo com Ludke
(1986, p. 15), não existe um método que possa ser recomendado como o melhor ou
mais efetivo. Ainda segundo Stubss e Delamont (apud BOGDAN, 1994), a natureza
dos problemas é que determina o método, isto é, a escolha do método se faz em

43. função do tipo de problema estudado. E Alertam Barros e Lehfel (2000, p. 55) acres-
centando:
“método não é o único e nem sempre o mesmo para o estudo deste ou da-
quele objeto e/ou para este ou aquele quadro da ciência, uma vez que reflete
as condições históricas do momento em que o conhecimento é construído”.
(apud, BOGDAN, 1994)
Partiu-se de alguns pressupostos teóricos iniciais ficando porém atento a no-
vos elementos que poderiam surgir durante o estudo e que certamente, enriqueceria
o trabalho. Levou-se em conta o contexto em que a Escola está inserida, as rela-
ções, características e os vários elementos que interagiram para configurar as ques-
tões abordadas. Nesta perspectiva da pesquisa, citamos Bogdan e Biklen (Apud
LUDKE, 1986, p.13) onde diz:
“a pesquisa qualitativa envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no
contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o pro-
cesso do que o produto e se preocupa em retratar a perspectiva dos partici-
pantes”.
Para a coleta de dados, utilizou-se um instrumento básico e sobremaneira
eficaz na obtenção das informações desejadas que é a entrevista. Sobre sua impor-
tância Ludke e André (1986, p. 33), ressalta:
ao lado da observação, a entrevista representa um dos instrumentos básicos
para a coleta de dados. Ela desempenha importante papel não apenas nas a-
tividades científicas como em muitas outras atividades humanas. Na entrevis-
ta a relação que se cria é de interação, havendo uma atmosfera de influência
recíproca entre quem pergunta e quem responde.
Procurou-se estabelecer um clima de estímulo e aceitação para com os en-
trevistados, no entanto foi lhes dada a oportunidade de discorrer sobre o tema com
base nas informações por eles obtidas. Organizando um roteiro onde foram eviden-
ciados tópicos principais a serem cobertos.

44. Contamos ainda com a utilização de questionários que, embora trata-se de
uma pesquisa mais superficial, não deixa de ser importante. Estes continham ques-
tões abertas e fechadas para professores e alunos e uma avaliação do trabalho nas
oficinas para os alunos, que se sentiram satisfeitos ao responder.
A oficina com dobraduras foi aplicada como subsídio integrador para o desen-
volvimento sócio-educacional, analisando o que os alunos iriam extrair de melhor
diante do novo desafio. Nessa experimentação de manipular um material concreto,
observar a relação existente entre o fazer e o aprender. Lembrando a proposta de
Aschenbach (1997, prefácio) quando descreve:
deparo-me também com a folha de papel, não para dobrá-la, mas para es-
tendê-la. Sinto como a obra se debruça para o lúdico e não perde seus con-
teúdos, ao contrário, grifa-os, sublinha-os, não apenas inclui a arte na educa-
ção, mas, alicia, seduz, ensina e pede reflexão.
Instrumentos necessários para a consecução da pesquisa também serviram
como base firmadora. Entre as fontes bibliográficas citamos livros, revistas especiali-
zadas, internet e outros trabalhos acadêmicos.
3.2 - SUJEITOS DA PESQUISA
É importante para o sujeito que ele se desenvolva de forma equilibrada e pos-
sa exercer todo seu potencial e criatividade. Desse modo, concluímos que as dobra-
duras se apresentam como uma excelente ferramenta para o ensino de geometria,
além de contribuir para a efetiva aquisição dos conhecimentos, possibilitando o de-
senvolvimento de habilidades outras, como a interdisciplinaridade, trabalhos em gru-
pos, raciocínio, etc. de fundamentais importâncias para a formação do aluno. Os su-
jeitos englobados nesta pesquisa são alunos matriculados nas 6ª séries A, B, D, E, F
e G, com faixa etária de 12 a 18 anos e (05) professores de 20 a 39 anos de idade.
O conceito dos alunos em relação a disciplina Matemática já era esperado, a maioria
afirma não gostar ou não entender, o que caracteriza o baixo rendimento nestas dis-
ciplina.

45. 3.3 - LOCAL DA PESQUISA
Todo esse trabalho foi realizado na Escola Municipal Professora Alice Lopes
Maia, situada à Avenida Antonio Carlos Magalhães, centro, na cidade de Filadélfia.
Uma vez atuando como professora da disciplina em Filadélfia favoreceu a escolha
da mesma para esta pesquisa. A escola funciona os três turnos com as séries de 5ª
a 8ª, atendendo alunos das zonas rural e urbana. Constituída por uma estrutura físi-
ca de (10) salas de aula, (1) secretaria, (1) sala para professores, (1) cozinha, (5)
banheiros, (1) pátio com bebedouros. Funciona com cerca de (20) professores, a
maioria com nível superior completo e os demais estão concluindo. Os serviços ad-
ministrativos estão sob a supervisão de (1) diretor , (1) vice-diretor e (1) coordenado-
ra, que supervisiona todas as áreas de ensino, desenvolvendo um trabalho de auxí-
lio ao professor e responsável pela operacionalização do Projeto Político Pedagógi-
co. A escola ainda conta com o auxílio de pessoal para os serviços gerais. Todos
demonstram ter um bom relacionamento e atuam no sentido de ampliar seus conhe-
cimentos para melhor garantir uma aprendizagem significativa.

46. CAPÍTULO IV
ANÁLISE E DISCUSSÃO DE DADOS
4.1 – A ESCOLA E SUA PRÁTICA PEDAGÓGICA
A análise e a interpretação dos dados coletados foram realizadas dentro da
proposta de que por meio das dobraduras, o ensino de geometria se torne acessível,
significativo, levando-se em conta o “mundo” real e concreto do aluno e viabilizando
um novo despertar.
Podemos perceber que a metodologia tradicional é empregada com frequên-
cia no ensino da Matemática, exigindo dos alunos excesso de técnicas operatórias
sem justificativas destas, a memorização de regras que acaba por não levar em con-
ta os conhecimentos e as experiências acumuladas pelo aluno em sua vida extra-
escolar, visto que os professores são apenas transmissores de conhecimentos, tor-
nando o aluno passivo e seguidor de modelos.
Só que esta postura por parte do professor bem como esta discussão, já es-
tão desgastadas. Não é a primeira vez que encontramos estes dados e os interpre-
tamos, comparando-os aos demais tradicionais para chegarmos infelizmente aos
mesmos resultados.
Diante desse quadro é que ousamos afirmar que, nossa intenção nesta pes-
quisa é apresentar uma proposta diferente em relação a prática pedagógica, priori-
zando qualidade no ensino, apresentando um novo material, sem excesso de forma-
lismo, com uma linguagem mais próxima do aluno, respeitando suas limitações e
oferecendo meios para que os mesmos construam e criem seu saber.
A questão da aprendizagem matemática por meio do lúdico é um assunto que
está tomando conta da mente de vários autores, que acreditam que os alunos de-

47. vem ter a oportunidade de vivenciar situações desafiadoras através desse recurso
pedagógico. Não se pode substituir a matéria da sala de aula por jogos de aprendi-
zagem.
o que se deve ter em mente é que o ensino por meio deles precisa acontecer
de forma a auxiliar a captura de todo o conteúdo, proporcionando a aquisição
de habilidades pelo aluno”. (CASTRO; Portal educacional-pesquisa é coisa
séria).
Para que aconteça na prática o uso do recurso lúdico é necessário que o pro-
fessor proponha boas questões aos alunos, potencializando suas capacidades para
compreender e explicar os fatos e os conceitos da Matemática. Assim o aluno per-
cebe a real necessidade dessa ciência em sua vida. Trabalhando os conteúdos de
geometria: Ponto, reta, plano, polígono e ângulos de forma significativa. Formamos
grupos para promover a compreensão das idéias da matemática, permitindo que nós
ministrantes da oficina e professores abordássemos aspectos da vida do aluno e seu
cotidiano ligados ao conhecimento matemático. Sobre este aspecto Baraldi, nos
lembra:
“a aprendizagem significativa só ocorre quando o indivíduo traduz de um ní-
vel de abstração a outra, de uma forma simbólica a outra, de uma forma ver-
bal a outra... o novo material de modo adequado à sua estrutura cognitiva”.
(1999, p.38).
Através das dobraduras que íamos construindo passo a passo dávamos for-
mas e conceitos geométricos, desenvolvendo e despertando o aluno para conheci-
mentos geométricos. A motivação do trabalho levou os alunos a construírem painéis,
onde cada grupo usou sua criatividade.
Exploramos tais conhecimentos através do mundo que nos rodeia. Dentro
deste espaço foram utilizados objetos como: régua, tesoura, palitos de picolé, chur-
rasco, e fósforo, sulfite branco e colorido, cola, hidrocor, lápis de cor, cartolina, pa-
pel madeira, piloto, tachinhas e barbante. Portanto todo esse material foi essencial
para que pudéssemos contextualizar conteúdos em situações bem próximas do alu-
no. Uma forma que encontramos para dar sentido ao que é visto somente no quadro
de giz, de forma diferente com práticas de construção divertidas.

48. 4.2 - DOCENTES E O ENSINO COM DOBRADURAS
Para retratar as formas de representações da Matemática no ensino funda-
mental, foram distribuídos questionários, incluindo questões fechadas e abertas para
professores da escola pesquisada. Visando também identificar seu conceito em re-
lação ao trabalho lúdico com dobraduras. Os professores envolvidos na pesquisa
foram cinco, três deles com o nível superior completo em matemática e dois em fase
de conclusão. Na sondagem perguntamos aos professores o seguinte:
1 – Você trabalha a disciplina matemática? Há quanto tempo?
A primeira questão abordada sobre se este educador sendo formado em Ma-
temática trabalhava com esta disciplina, tem a ver com uma realidade que nos cer-
ca, é que muitos estão atuando em uma área na qual não foram habilitados. É rele-
vante pois, para que aconteça uma transposição didática, o professor precisa ter
domínio dos conteúdos a serem ensinados, o que é bem diferente de apenas co-
nhecê-lo. É o que enfatiza Pavanello (2002, p. 30).
“...esta pressupõe a capacidade de identificar os obstáculos didáticos e
epistemológicos que interferem na aprendizagem dos diferentes conteúdos
a relação destes com o mundo real, sua aplicação a outras disciplinas”.
Quanto a fala dos professores, suas respostas foram afirmativas, todos estão
atuando na área em que foram habilitados e já por mais de cinco anos.
2 – Você inclui o conteúdo de geometria no plano de curso de matemática ou há
uma carga horária designada apenas para a disciplina desenho geométrico?
Todos foram unânimes ao responder que sim, incluíam porque não tem a dis-
ciplina específica de Desenho Geométrico. Uma deficiência foi constatada quando
todos afirmaram que:
...“.a grade curricular do meu curso de formação não possui a disciplina dese-
nho geométrico” (Prof. X).

49. De fasto, de acordo com Pontes, (1987) a geometria foi, via de regra, excluí-
da dos programas e exames com resultados desastrosos para o aluno.
Embora não conste na grade curricular os professores questionados concor-
dam que o ensino da mesma é muito importante.
Aos professores foi questionado:
3 – Para você qual a importância do ensino da geometria?
... “a geometria está presente em tudo, não há como deixá-la passar desper-
cebida, até mesmo porque é através dela que resolvemos diversos problemas do
cotidiano” (Profª X).
“... essencial para a aprendizagem do aluno” (Profª Y).
“... acho que deveria trabalhar a matemática separadamente de geome-
tria...”(Profª Z)
4- Quais as causas que levam os alunos a sentirem tanta dificuldades em geome-
tria?
“...a falta de material didático, inclusive do livro didático”... (Profª X)
“... a maioria dos professores trabalham de forma abstrata, não contextualiza
os conteúdos” (Profª Y)
Constatamos nas suas justificativas que os professores em nenhum momen-
to se colocam como responsáveis pela deficiência que seus alunos possuem mas,
fatores externos são a causa deste problema.
Isso nos reporta o que diz Pirola (apud PAVANELLO, 2002, p. 51):
“... conceber a formação do que precisamos: A formação de professores para
atuarem no Ensino Fundamental é uma tarefa complexa porque o trabalho a
ser desenvolvido em sala de aula exige uma sólida formação teórica e inter-
disciplinar, que não só os habilite a compreender o fenômeno educacional e
seus fundamentos históricos, políticos e sociais, como também lhes assegu-
re o domínio dos conteúdos a serem ensinados nesse nível da escolarização”

50. 5- Você já utilizou dobraduras para trabalhar conteúdos de desenho geométrico?
Quais conteúdos? Por quê?
“...sempre trabalho com dobraduras. Noções básicas como ponto, reta e pla-
no e a própria origem das dobraduras. Porque é mais fácil aprender quando mani-
pulamos algo, quando o conteúdo deixa de ser apenas definições e passa a ser algo
real, concreto”. (Profª X)
“... não, nunca trabalhei, porque acho difícil para o aluno aprender” (Profª Y)
É importante lembrar que hoje, não é mais permitido uma prática pedagógica
que se constitua apenas na apresentação de situações de aprendizagem calcadas
em técnicas operatórias que conduzem somente à operacionalização ou à repetição
de procedimentos conhecidos. (Fainguelernt, 2000, p. 52). Mas de acordo com os
PCN (1997, p. 29), a prática docente “exige a criação”, uma organização e a orienta-
ção de situações que levem o aluno a pensar, desenvolver sua capacidade de gene-
ralizar, projetar, prever, abstrais, desenvolver seu raciocínio lógico.
IMENES(1997, p. 28), afirma que há “indícios de que crianças que trabalham
formas geométricas, tornam-se mais organizadas, desenvolvem coordenação moto-
ra e visual, melhoram a leitura, compreendem mais rapidamente gráficos, mapas e
outras informações visuais.”
6 – Qual a avaliação que você faz dos alunos ao se trabalhar geometria usando do-
braduras?
Os professores que oportunizaram seus alunos com o trabalho com
dobraduras, mencionam que é uma modalidade eficaz, levam ao aprendizado de
fato e ainda se divertem.
“... eles aprendem mais rápido e ficam bem mais interessados”. (Profª X).
“... eles desenvolvem a criatividade e visualizam o que haviam aprendido a-
penas na teoria” (Profª Y).

51. “...aprendem com mais facilidade e ainda se divertem na hora de dobrar o pa-
pel”. (Profª Z).
Diante destes dados coletados observamos que a maioria dos professores
reconhecem que o trabalho com o lúdico é importante, mas, ainda é uma prática dis-
tante no seu dia-a-dia. A nossa proposta é que continuemos enfatizando o valor de
se trabalhar o concreto, que não basta apenas dominar idéias básicas, mas, usá-las
eficientemente, e isto exige um aprofundamento da compreensão que delas se tem.
O momento é apropriado para uma mudança. Está mais do que na hora de
desmistificar a matemática como o “bicho-papão”. Apresentar aos nossos alunos
através do lúdico como uma disciplina prazerosa, e não como nos foi apresentada
no passado. Devemos esquecer as nossas más experiências em relação a esta dis-
ciplina para não construir conceitos negativos em nossos alunos.
4.3 - A RECEPTIVIDADE DOS DISCENTES FRENTE ÀS DOBRADURAS
A oficina aplicada na referida escola contou com a participação de professo-
res e alunos das cinco turmas da 6ª série. Desde a inscrição para participar na ofici-
na até a avaliação, foi muito gratificante. A experiência mostrou que embora nossos
alunos ainda apresentem uma certa limitação na compreensão de esquemas mate-
máticos, certamente demonstram uma disposição enorme através do lúdico.
Por serem alunos de faixa etária entre 12 e 18 anos, demonstraram maior in-
teresse em trabalhar os conteúdos propostos, e uma melhor compreensão nas tare-
fas que lhes foram solicitadas.
A oficina: “O mundo mágico da Geometria”, foi realizada em três dias na Es-
cola Municipal Professora Alice Lopes Maia.
Todos os três dias, iniciamos com dinâmica e mensagem para que pudésse-
mos tornar o ambiente mais agradável e que pudéssemos antes de tudo refletir so-

52. bre nossa vida enquanto seres humanos e trazer isso para dentro da sala de aula,
analisando nossa prática enquanto alunos e professores. Após a realização destas
atividades era explicado o conteúdo, com auxílio das dobraduras, e a partir de cada
produção antes proposta ao aluno, indicava-se o polígono formado e sua classifica-
ção, localizava-se ponto, reta, planos e ângulos nomeando-os de acordo com sua
medida. Essas produções eram utilizadas como decoração da sala. Utilizava-se na-
ylon para fixar estes trabalhos realizados no teto da sala, dando um colorido es-
pecial. Seguiu-se para o intervalo e retornávamos com atividades do tipo:
Construir (planos, retas paralelas, coincidentes, concorrentes)
Confeccionar (ângulos complementares e suplementares)
Montar quebra cabeça de polígonos.
Utilizando materiais como palitos de fósforo, palito de picolé, churrasco, cola,
lápis de cor entre outros. E também exercícios do tipo, calcular perímetro, área, cal-
cular o complementar e o suplementar de um ângulo etc. No final expomos os traba-
lhos em painéis construídos por alunos que usaram sua criatividade.
Pudemos perceber o quanto eles vinham para a escola com expectativas do
que poderiam encontrar tanto que obtivemos uma ótima freqüência. A curiosidade e
os questionamentos dos alunos nos incentivava ao mesmo tempo que nos deixava
surpresos com a participação, ânimo, desenvolvimento e desempenho dos mesmos.
Dentro do nosso projeto para a oficina a ser aplicada, a prioridade era explo-
rar através de técnicas de dobraduras os seguintes conteúdos de geometria:
* Ponto
* Retas (paralelas, concorrentes, coincidentes, e perpendiculares)
* Segmentos de retas
* Ângulos (classificação, bissetriz, mediana)
* O.P.V
* Ângulos suplementares
* Ângulos complementares
* Polígonos

53. As situações permitiram aplicar o que já era do conhecimento do aluno e
produzir novos a partir do trabalho com dobraduras. Valorizamos as idéias deles e
usamos uma linguagem mais próxima do seu vocabulário.
A observação e visualização das formas geométricas através do material con-
creto, facilitou para que os mesmos relacionassem a matemática com o seu cotidia-
no.
“... a representação tem como objetivo prático concorrer para uma realidade
comum, ajudando o aluno á interpretar as descobertas do meio físico e social
(Jodelet, 2001, p.15) .
Na confecção das dobraduras, bem como a produção de um mural, levou os
alunos a descobrirem que o estudo da geometria não é apenas utilizar compasso,
régua, transferidor etc., numa linguagem formal e complexa sem nenhum atrativo.
Isso pode ser comprovado pelas suas respostas ao serem abordados sobre o que
acharam de trabalhar os conteúdos de geometria através de dobraduras:
“... com dobraduras é fácil”. (Aluno X)
“... com dobraduras aprendo não só geometria mas também arte”. (Aluno Y)
“... com dobraduras nós aprendemos, é novidade”. (Aluno Z)
É importante ressaltar que os conteúdos supracitados foram trabalhados inici-
almente com uma explanação teórica dos seus conceitos, em seguida, cada conteú-
do transformava-se em uma dobradura, seguido de dinâmicas que os envolvia num
clima de descontração e confiança.
Perguntamos em seguida para os alunos qual sua maior dificuldade e qual
conteúdo sentiu mais facilidade em aprender:
“... nenhuma, todos”. (Aluno X)

54. “... não tive dificuldade, aprendi nomes e medidas dos ângulos e polígonos”.
(Aluno Y)
“... minha maior dificuldade foi fazer um balão, mais entendi quadrado, triân-
gulo, retângulo...” (Aluno Z)
Percebemos através das falas, que a maioria dos alunos no decorrer das ati-
vidades propostas, começam a sentir mais afinidade com o conteúdo quando traba-
lhado com dobraduras, inclusive no que diz respeito a nomenclatura dos ângulos.
Sondamos sobre o que acharam do material utilizado, bem como o conteúdo
trabalhado:
“... ótimo” (Aluno X)
“... bom” (Aluno Y)
Queríamos saber a opinião de cada um se era melhor trabalhar tais conteú-
dos com dobraduras ou sem sobraduras? Podemos afirmar que 99% dos alunos
responderam que as dobraduras facilitaram seu entendimento, com exceção de um
único aluno que afirmou:
“... prefiro sem dobraduras, com dobraduras senti mais dificuldade”.
Comparando com a maioria, concluímos que há uma aceitação e maior identi-
ficação destes conteúdos quando desenvolvidos através do lúdico. Diante desta
constatação é fundamental que o professor fique em alerta, não se atenha exclusi-
vamente a aulas expositivas de matemática, apenas com o livro didático, transfor-
mando o aluno em um ser passivo, receptor de informações, sendo conduzido pelo
caminho que você quer traçar, é preciso rever nosso métodos de ensino.
D’Ambrósio Cita:
“... há algo de errado com a matemática que estamos ensinando. O conteúdo
que tentamos passar adiante através dos sistemas escolares é obsoleto,
desinteressante e inútil”. (Apud Lara, 2003, p.10).

55. Podemos concluir que a aprendizagem do aluno depende da influência do
professor e da metodologia de ensino utilizada, destacando principalmente a impor-
tância do conhecimento prévio do aluno e em geral, dos seus processos de pensa-
mento, pois, percebemos durante a oficina aplicada que o aluno mostrou maior de-
sempenho e aprendizado a partir do manuseio do papel na construção de dobradu-
ras, especificando os conteúdos geométricos já citados anteriormente, comparando-
os com métodos apenas expositivos sem nenhuma significação para o aluno.
Ainda que neste momento tenhamos uma compreensão muito limitada dos
processos os quais os alunos atribuem um sentido às atividades de aprendizagem,
não há qualquer dúvida acerca de sua existência e de sua importância para a reali-
zação de aprendizagens significativas.

56. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Mais do que uma retomada de todas as questões analisadas nesta
monografia, neste momento, vemos também neste espaço, uma oportunidade para
“provocar” aos que tomarem conhecimento deste trabalho, lançando um desafio de
experimentarem na prática o uso de origamis como meio condutor de oferecer aos
alunos a possibilidade de desenvolver o raciocínio lógico, a criatividade e a capaci-
dade de resolver problemas.
Sendo verdade a conclusão de que a matemática está em tudo, querendo ou
não, vivemos pensando em números. Principalmente no âmbito escolar. Torna-se
fundamental repensar essa ação para conseguirmos melhores resultados diante do
desafio de educar.
Para subsidiar a análise deste momento final, é importante considerar as rele-
vantes colocações da pesquisadora Maria Luci Prestes, (2005) quando mostra que
“assim como as habilidades de leitura e escrita não são inatas ao educando, mas
desenvolvidas e aprimoradas durante os anos de estudo na escola, também não é
inerente ao aluno o raciocínio lógico, solucionar um desafio, registrar idéias, tirar su-
as próprias conclusões e agregar ao que já sabe”.
Recebendo dos professores a orientação adequada e, sendo auxiliado no uso
dos recursos didáticos, o aluno estará percorrendo, de forma adequada as etapas do
processo de ensino-aprendizagem, desenvolvendo habilidades matemáticas, crian-
do, acompanhando cronogramas para execução de tarefas em jogos, olimpíadas,
concebendo de forma plena seu conhecimento.
A pesquisa foi fundamentada em outros teóricos para sistematizar uma e-
xaustiva explanação sobre os conceitos de geometria, sua trajetória histórica e suas
reformulações. No Brasil, só a partir da década de 80, com a nova Constituição Fe-
deral é que houve mudanças de fato, através da Lei de Diretrizes e bases da Educa-
ção Nacional. Mesmo com a intenção de melhoria na qualidade do ensino, os entra-

57. ves não deixaram de existir. Para Pavanello, (2002) “formar professores para ensi-
nar geometria é um grande desafio para as licenciaturas em matemática, quando
cita que, “esta formação é uma tarefa complexa”, e para dominar as idéias básicas e
usá-las eficientemente, “exige constante aprofundamento que a capacidade de ensi-
nar está na “capacidade de identificar os obstáculos didáticos e epistemológicos que
interferem na aprendizagem dos diferentes conteúdos”, ou seja, a relação destes
com o mundo real, sua aplicação a outras disciplinas.
Destacamos o estudo do Origami como instrumento eficaz na aquisição dos
conhecimentos em geometria. Após o envolvimento dos alunos com as atividades de
dobraduras através da oficina, percebemos que já começaram a externar suas opi-
niões e relacionar a Matemática com o seu cotidiano e as demais atividades vivenci-
adas em sala de aula.
Na metodologia ressaltamos o valor da pesquisa de natureza qualitativa, onde
pesquisadores e pesquisados, sentiram-se estimulados a participar na produção
deste trabalho. Sabemos que uma pesquisa agrega muitas atividades com finalidade
de descobrir novos conhecimentos que irão enriquecer nosso fazer pedagógico, e
sem dúvida nesta pesquisa-ação, sentimos na prática que nossa experiência foi de
grande valia na aquisição destes conhecimentos.
Diante de todo exposto, esperamos contribuir significativamente para as es-
tratégias de ensino dos docentes, incentivando-os a continuar seu processo de auto-
construção do conhecimento, ampliar seus recursos de atividade profissional e atuar
para melhorar o ambiente social ao seu redor.

58. REFERÊNCIAS
• ALMEIDA, I. A. C. et al. A Geometria do Origami: Um Estudo da Geometria
das Dobraduras (Origamis) com Foco no Relacionamento entre ‘Formas e
Fórmulas’ Matemáticas.
In: // CIEG.[online]iolanda@iterway.com.br, (10/04/2000).
• ASCHENBACH, Maria Helena C. Valente et al. A Arte-magia das Dobraduras:
Histórias e Atividades Pedagógicas com Origami. 3 ed. São Paulo: Scipione,
1997.
• A Tradição do Origami. [online]www.optionline.com/members/qbasic/cássia/
Simb.htm, (12/03/2000).
• BARALDI, Ivete Maria. Matemática na Escola: Que ciência é esta? Bauru:
EDUSC, 1999.
• BOGDAN, Robert C. Biklen, Sari Knopp. Investigação Qualitativa em Educa-
ção. Uma introdução à teoria e aos métodos. Porto editora, Portugal, 1994.
• BORIM, J.Jogos e resoluções de problemas: Uma estratégia para as aulas de
matemática. São Paulo: EAEM, IME-USP, 1996.
• BOYER, Carl B. Histórias da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2 ed.
São Paulo: Edgard Bluncher, 1996.
• BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Na-
cionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998
• BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Na-
cionais: Terceiro e Quarto Ciclo do Ensino Fundamental: Introdução aos Pa-
râmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998.

59. • BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Na-
cionais: Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental: Apresentação dos
Temas Transversais, Brasília: MEC/SEF, 1998.
• CAMPOS, T.M.M., Pires, C.M.C et al. (1998). Perfil e representações de pro-
fessores de matemática de 5ª a 8ª séries da rede pública do Estado de São
Paulo. In: Encontro Paulista de Educação Matemática, 5, 1998, São José do
Rio Preto, SP.
• D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da teoria a prática. Campi-
nas, São Paulo: Papirus, 1996.
• FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação Matemática: Representação e
Construção em Geometria. Porto Alegre: Artes Médicas. Sul, 1999.
• FONSECA, Maria da Conceição – F. R. et al. O Ensino da Geometria na Es-
cola Fundamental – Três questões para a formação do Professor dos ciclos
iniciais. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
• GÊNOVA, C. Origami. [online].www.moderna2000.com.br/origami/index.htm,
Em (06/09/2001).
• IMENNES, Luis Marcio. Geometrias das Dobraduras. São Paulo: Scipione,
1997.
• JODELET, D. As Representações Sociais. Rio de Janeiro: EDVE. RJ, 2001.
• KIYOSHI, Ricardo. Mundo do Origami[online].Disponível na internet via:
http://usuers.sti.com.br/batori/origami, )17/04/2000)
• KLINE, Morris. O Fracasso da Matemática Moderna. Tradução de: Leônidas
Gontijo de Carvalho. São Paulo: IBRASA, 1976.

60. • LARA, Isabel Cristina Machado. De. Jogando com a Matemática de 5ª a 8ª
séries – São Paulo: Rêspel, 2003.
• LIMA, Fabíola. de 0. Pedreira: Tópicos de Geometria – Especialização em
metodologia de matemática, 2005.
• LUDKE, Menga, et al. Pesquisa em Educação: Abordagens Qualitativas. São
Paulo: EPU, 1986.
• NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. Editora Ática, 2001; 11ª edi-
ção.
• PAVANELLO, Regina Maria. Formar Professores para ensinar Geometria: Um
desafio para licenciaturas em Matemática. Revista Ano 9, nº 11. São Paulo:
Abril [2002].
• PESQUISA é coisa séria. Nova Escola Online, n. 122, maio 1999. Disponível
em http://uol.com.br/novaescola/ed/122 maio 99/htm/repcapa 4.htm Acesso
em 20 nov 2001.
• PRESTES, Maria Luci de Mesquita. A Pesquisa e Construção do Conheci-
mento Científico – Do Planejamento aos Textos, da Escola à Academia. 3ª
ed. Atual.e ampl. São Paulo: Rêspel, 2005.
• SANTANA, M.B. Origami e Geometria: Uma contribuição para o ensino fun-
damental, Monografia (Especialização). UEFS. Feira de Santana: UEFS,
2000.
• VITTI, Catarina Maria. Matemática com prazer: a partir da história e da geo-
metria. Prefácio de Ubiratan D’Ambrósio. 2ª ed. Piracicaba: Editora
UNIMEP,1999.
• (www.option-line.com/members/kroII/tradição.htm

61. APÊNDICE I

62. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO
CAMPUS VII – SENHOR DO BONFIM
ROTEIRO DA ENTREVISTA
1 – Há quanto tempo você trabalha a disciplina Matemática.
2 – Você inclui o conteúdo de geometria no seu plano de curso de Matemática?
3 – Qual seu conceito sobre dobraduras? Já utilizou este recurso para trabalhar
Conteúdos de desenho geométrico? Quais?
4 – Como é o rendimento de seus alunos quando trabalham com dobraduras?
Justifique.
5 – Como você avalia seu trabalho com auxílio das dobraduras?

63. QUESTIONÁRIO SEMI-ESTRUTURADO PARA PROFESSOR(A)
Querido (a) Professor (a) estamos desenvolvendo um estudo pela Universidade do
Esta do Bahia – UNEB Campus VII – Senhor do Bonfim, como trabalho de conclu-
são do curso de matemática – pesquisa sobre a utilização de dobraduras no ensino
da geometria. Gostaríamos que você pudesse responder às questões abaixo, para a
conclusão da pesquisa.
1 - Você trabalha a disciplina matemática? Há quanto tempo?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2 – Você inclui o conteúdo de geometria no plano de curso de matemática ou há
carga horária designada apenas para disciplina desenho geométrico?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3 – Para você qual a importância do ensino da geometria?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4 – Quais as causas que levam os alunos a sentirem tanta dificuldade em geome-
tria?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5 – Você já utilizou dobraduras para trabalhar conteúdos de desenho geométrico?
Quais conteúdos? Por quê?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
6 – Qual a avaliação que você faz dos alunos ao se trabalhar geometria usando do-
braduras?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

64. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO
CAMPUS VII – SENHOR DO BONFIM
FICHA DE AVALIAÇÃO DA OFICINA PARA O ALUNO(A)
1. Você gosta de ver o conteúdo de geometria através de dobraduras? Qual foi a
sua maior dificuldade?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. Dentro dos conteúdos trabalhados, qual você sentiu mais facilidade? Dê exemplo:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. Quanto a oficina avalia os seguintes itens:
► O material didático bom( ) ótimo( ) ruim( )
► O conteúdo trabalhado bom( ) ótimo( ) ruim( )
► Seu nível de participação bom( ) ótimo( ) ruim( )
4. Na sua opinião é melhor trabalhar os conteúdos geométricos com dobraduras ou
sem dobraduras? Porque?

65. ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5. Você já trabalhou com dobraduras em sala? ( )Sim ( )Não
AVALIANDO SEUS CONHECIMENTOS
6. Para verificar sua aprendizagem veja se consegue responder as atividades abai-
xo:
Dê o complemento e o suplemento dos ângulos:
a) 50º _____ ______ b) 110º ______ ______ c)80º _______ _______
d) 75º _____ _______ e) 145º ________ ________
Na figura abaixo indique os ângulos opostos:

66. DINÂMICAS APLICADAS NA OFICINA
“O MUNDO MÁGICO DA GEOMETRIA”

70. APÊNDICE ll
ALGUMAS PRODUÇÕES DOS ALUNOS
DESENVOLVIDAS NA OFICINA